Differentialekvation för rörelse materiell punkt under våld F kan representeras i följande vektorform:
Eftersom massan av en punkt m accepteras som konstant, då kan den anges under derivattecknet. Sedan
Formel (1) uttrycker satsen om förändringen i rörelsemängden för en punkt in differentiell form: den första derivatan med avseende på tiden av en punkts rörelsemängd är lika med kraften som verkar på punkten.
I projektioner på koordinataxlar kan (1) representeras som
Om båda sidorna (1) multipliceras med dt, då får vi en annan form av samma sats - momentumsatsen i differentialform:
dessa. differentialen för en punkts rörelsemängd är lika med elementarimpulsen för kraften som verkar på punkten.
Vi får fram båda delarna av (2) på koordinataxlarna
Genom att integrera båda delarna av (2) från noll till t (fig. 1), har vi
var är punktens hastighet för tillfället t; - hastighet vid t = 0;
S- kraftimpuls över tid t.
Ett uttryck i formen (3) kallas ofta momentumsatsen i finit (eller integral) form: förändringen i en punkts rörelsemängd över en viss tidsperiod är lika med kraftimpulsen under samma tidsperiod.
I projektioner på koordinataxlar kan detta teorem representeras i följande form:
För en materiell punkt är satsen om förändringen i rörelsemängd i någon av formerna väsentligen inte skild från differentialekvationerna för rörelse för en punkt.
Sats om förändringen i ett systems rörelsemängd
Systemets rörelsemängd kommer att kallas vektorkvantiteten F, lika med den geometriska summan (huvudvektor) av rörelsemängderna för alla punkter i systemet.
Betrakta ett system som består av n materiella poäng. Låt oss sammanställa differentialekvationer för rörelse för detta system och lägga till dem term för term. Då får vi:
Sista belopp per fastighet inre krafter lika med noll. Dessutom,
Till sist finner vi:
Ekvation (4) uttrycker satsen om förändringen i systemets rörelsemängd i differentialform: tidsderivatan av systemets rörelsemängd är lika med den geometriska summan av alla yttre krafter som verkar på systemet.
Låt oss hitta ett annat uttryck för satsen. Släpp in ögonblicket t= 0 mängden rörelse i systemet är Q 0, och i tidens ögonblick t 1 blir lika Q 1. Multiplicera sedan båda sidor av likhet (4) med dt och genom att integrera får vi:
Eller var:
(S-kraftimpuls)
eftersom integralerna till höger ger impulser av yttre krafter,
Ekvation (5) uttrycker satsen om förändringen i systemets rörelsemängd i integralform: förändringen i systemets rörelsemängd under en viss tidsperiod är lika med summan av impulserna av yttre krafter som verkar på systemet under samma tidsperiod.
I projektioner på koordinataxlarna kommer vi att ha:
Lagen om bevarande av momentum
Från satsen om förändringen i ett systems rörelsemängd kan följande viktiga följder erhållas:
1. Låt summan av alla yttre krafter som verkar på systemet vara lika med noll:
Sedan följer av ekvation (4) att i detta fall Q = konst.
Således, om summan av alla yttre krafter som verkar på systemet är lika med noll, kommer vektorn för systemets rörelsemängd att vara konstant i storlek och riktning.
2. 01Låt de yttre krafterna som verkar på systemet vara sådana att summan av deras projektioner på någon axel (till exempel Ox) är lika med noll:
Sedan följer av ekvation (4`) att i detta fall Q = konst.
Således, om summan av projektionerna av alla verkande yttre krafter på någon axel är lika med noll, då är projektionen av mängden rörelse hos systemet på denna axel ett konstant värde.
Dessa resultat uttrycker lagen om bevarande av ett systems momentum. Det följer av dem att inre krafter inte kan förändra systemets totala rörelsemängd.
Låt oss titta på några exempel:
· Fenomen om rullens retur. Om vi betraktar geväret och kulan som ett system, kommer trycket från pulvergaserna under ett skott att vara en intern kraft. Denna kraft kan inte ändra systemets totala momentum. Men eftersom pulvergaserna, som verkar på kulan, ger den en viss rörelse riktad framåt, måste de samtidigt ge geväret samma rörelse i omvänd riktning. Detta gör att geväret rör sig bakåt, d.v.s. den så kallade avkastningen. Ett liknande fenomen uppstår när man avfyrar en pistol (rollback).
· Drift av propellern (propellern). Propellern ger rörelse till en viss mängd luft (eller vatten) längs propellerns axel och kastar denna massa tillbaka. Om vi betraktar den kastade massan och flygplanet (eller fartyget) som ett system, så kan inte krafterna för samverkan mellan propellern och omgivningen, som interna, förändra den totala mängden rörelse i detta system. Därför, när en massa av luft (vatten) kastas tillbaka, får flygplanet (eller fartyget) en motsvarande hastighet framåt så att den totala mängden rörelse för det aktuella systemet förblir lika med noll, eftersom det var noll innan rörelsen började .
En liknande effekt uppnås genom verkan av åror eller skovelhjul.
· R e c t i v e Framdrivning I en raket (raket) sprutas gasformiga produkter från bränsleförbränning ut med hög hastighet från hålet i raketens bakdel (från jetmotorns munstycke). Tryckkrafterna som verkar i detta fall kommer att vara interna krafter och de kan inte ändra det totala momentumet för raket-pulvergassystemet. Men eftersom de utströmmande gaserna har en viss rörelse bakåtriktad får raketen en motsvarande hastighet framåt.
Momentsats om en axel.
Tänk på materialets massapunkt m, rör sig under påverkan av våld F. Låt oss finna sambandet mellan vektorernas moment mV Och F i förhållande till någon fast Z-axel.
mz (F) = xF - yF (7)
Likadant för värdet m(mV), om den tas ut m kommer att vara utanför parentes
m z (mV) = m(xV - yV)(7`)
Om vi tar derivatan med avseende på tid från båda sidor av denna jämlikhet, finner vi
På höger sida av det resulterande uttrycket är den första parentesen lika med 0, eftersom dx/dt=V och dу/dt = V, är den andra parentesen enligt formel (7) lika med
mz(F), eftersom enligt dynamikens grundläggande lag:
Äntligen kommer vi att ha (8)
Den resulterande ekvationen uttrycker momentsatsen kring axeln: tidsderivatan av momentet för en punkt i förhållande till någon axel är lika med momentet för den verkande kraften i förhållande till samma axel. Ett liknande teorem gäller för ögonblick om vilket centrum O som helst.
Bestående av n materiella poäng. Låt oss välja en viss punkt från detta system M j med massa m j. Som bekant verkar yttre och inre krafter på denna punkt.
Låt oss tillämpa det på sak M j resultatet av alla inre krafter F j i och resultatet av alla yttre krafter F j e(Figur 2.2). För en vald materialpunkt M j(som för en fri poäng) skriver vi satsen om förändringen i momentum i differentialform (2.3):
Låt oss skriva liknande ekvationer för alla punkter i det mekaniska systemet (j=1,2,3,…,n).
Figur 2.2
Låt oss lägga ihop det hela bit för bit n ekvationer:
∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)
d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)
Här ∑m j ×V j =Q– Mängden rörelse hos det mekaniska systemet;
∑F j e = R e– huvudvektorn för alla yttre krafter som verkar på mekaniskt system;
∑Fjj = Ri =0– huvudvektorn för systemets inre krafter (enligt egenskapen hos interna krafter är den lika med noll).
Slutligen, för det mekaniska systemet vi får
dQ/dt = R e. (2.11)
Uttryck (2.11) är ett teorem om förändringen i rörelsemängd för ett mekaniskt system i differentiell form (i vektoruttryck): tidsderivatan av rörelsemängdsvektorn för ett mekaniskt system är lika med huvudvektorn för alla yttre krafter som verkar på systemet.
Genom att projicera vektorlikheten (2.11) på de kartesiska koordinataxlarna får vi uttryck för satsen om förändringen i rörelsemängden för ett mekaniskt system i koordinatuttryck (skalärt):
dQ x/dt = R x e;
dQ y/dt = R y e;
dQz/dt = Rz e, (2.12)
dessa. tidsderivatan av projektionen av ett mekaniskt systems rörelsemängd på vilken axel som helst är lika med projektionen på denna axel av huvudvektorn av alla yttre krafter som verkar på detta mekaniska system.
Multiplicera båda sidor av jämlikhet (2,12) med dt, får vi satsen i en annan differentialform:
dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)
dessa. differentialmomentet för ett mekaniskt system är lika med den elementära impulsen för huvudvektorn (summan av elementära impulser) av alla yttre krafter som verkar på systemet.
Integrering av jämlikhet (2.13) inom tidsförändringen från 0 till t, får vi ett teorem om förändringen i rörelsemängden hos ett mekaniskt system i slutlig (integral) form (i vektoruttryck):
Q - Qo = S e,
dessa. förändringen i ett mekaniskt systems rörelsemängd över en begränsad tidsperiod är lika med den totala impulsen från huvudvektorn (summan av de totala impulserna) av alla yttre krafter som verkar på systemet under samma tidsperiod.
Genom att projicera vektorlikheten (2.14) på de kartesiska koordinataxlarna får vi uttryck för satsen i projektioner (i ett skalärt uttryck):
dessa. förändringen i projektionen av ett mekaniskt systems rörelsemängd på vilken axel som helst under en begränsad tidsperiod är lika med projektionen på samma axel av den totala impulsen av huvudvektorn (summan av de totala impulserna) av alla yttre krafter verkar på det mekaniska systemet under samma tidsperiod.
Följande följder följer av den övervägda satsen (2.11) – (2.15):
- Om R e = ∑F j e = 0, Det Q = konst– vi har lagen om bevarande av rörelsemängdsvektorn för ett mekaniskt system: om huvudvektorn R e av alla yttre krafter som verkar på ett mekaniskt system är lika med noll, då förblir detta systems rörelsemängdsvektor konstant i storlek och riktning och lika med dess initiala värde Q 0, dvs. Q = Q 0.
- Om R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), Det Q x = konst– vi har lagen om bevarande av projektionen på ett mekaniskt systems rörelsemängdsaxel: om projektionen av huvudvektorn av alla krafter som verkar på ett mekaniskt system på någon axel är noll, då projektionen på samma axel av rörelsemängdsvektorn för detta system kommer att vara ett konstant värde och lika med projektionen på denna axels initiala rörelsemängdsvektor, dvs. Q x = Q 0x.
Differentialform av momentumförändringssatsen materialsystem har viktiga och intressanta tillämpningar inom mekanik kontinuum. Från (2.11) kan vi få Eulers teorem.
Mängd rörelsemått mekanisk rörelse, om den mekaniska rörelsen övergår till mekanisk. Till exempel förvandlas den mekaniska rörelsen av en biljardboll (Fig. 22) före stöten till mekanisk rörelse av bollarna efter stöten. För en punkt är momentum lika med produkten .
Måttet på kraften i detta fall är kraftimpulsen
.
(9.1)
Momentum bestämmer kraftens verkan 
över en tidsperiod 
. För en materiell punkt kan satsen om förändringen i momentum användas i differentialform 
(9.2) eller integral (ändlig) form 
.
(9.3)
Förändringen i en materiell punkts rörelsemängd under en viss tidsperiod är lika med impulsen av alla krafter som appliceras på punkten under samma tid.
Bild 22
Vid problemlösning används sats (9.3) oftare i projektioner på koordinataxlar 
;
;
(9.4)
.
Med hjälp av satsen om förändringen i en punkts rörelsemängd är det möjligt att lösa problem där en punkt eller en kropp som rör sig translationellt påverkas av konstanta eller variabla krafter som beror på tid, och de givna och sökta storheterna inkluderar tiden för rörelse och hastigheter i början och slutet av rörelsen. Problem med att använda satsen löses i följande ordning:
1. välj ett koordinatsystem;
2. skildra alla givna (aktiva) krafter och reaktioner som verkar på en punkt;
3. skriva ner en sats om förändringen i en punkts rörelsemängd i projektioner på de valda koordinataxlarna;
4. bestäm erforderliga kvantiteter.
EXEMPEL 12.
En hammare som väger G=2t faller från en höjd h=1m på arbetsstycket i tiden t=0,01s och stämplar delen (fig. 23). Bestäm den genomsnittliga tryckkraften för hammaren på arbetsstycket.
LÖSNING.
1. Arbetsstycket utsätts för hammarens tyngdkraft 
och markreaktion 
. 
.
Storleken på stödreaktionen ändras över tiden, så låt oss överväga dess genomsnittliga värde 
2. rikta koordinataxeln y vertikalt nedåt och tillämpa satsen om förändringen av rörelsemängden för en punkt i projektion på denna axel: 
, (1) var
-- hammarhastighet vid slutet av slaget;
-- hammarens initiala hastighet vid kontakt med arbetsstycket. 
3. För att bestämma hastigheten
.
(2)
Låt oss skapa en differentialekvation för hammarens rörelse i projektion på y-axeln: 
;
;
Låt oss separera variablerna och integrera ekvation (2) två gånger: 
. Vi hittar integrationskonstanterna C 1, C 2 från initialförhållandena. Vid t=0 Vy=0, då C1=0; y=0, sedan C2=0. Därför rör sig hammaren enligt lagen 
, (3) och hammarens hastighet ändras enligt lagen 
;
.
(5)
. 
(4) Låt oss uttrycka tidpunkten för hammarens rörelse från (3) och ersätta den med (4) 
4. Vi hittar projektionen av impulsen av yttre krafter på y-axeln med hjälp av formeln: 
.
(6) Ersätt (5) och (6) i (1):
, varifrån vi finner reaktionen av stödet, och följaktligen det önskade trycket från hammaren på arbetsstycketT. 
;
.
(9.7)
TILL 
,
(9.6)där M är systemets massa, V c är hastigheten för massacentrum. Satsen om förändringen i momentum för ett mekaniskt system kan skrivas i differentiell och finit (integral) form: 
;
(9.8)
.
(9.9)
Mängden rörelse hos ett mekaniskt system kan definieras som summan av rörelsemängden för systemets punkter 
,
.
. 
(9.5) Ett systems eller en stel kropps rörelsemängd kan bestämmas genom att känna till systemets massa och hastigheten för massacentrum 
Förändringen i ett mekaniskt systems rörelsemängd under en viss tidsperiod är lika med summan av impulserna av yttre krafter som verkar under samma tid. Ibland är det bekvämare att använda satsen om förändringen i momentum i projektion på koordinataxlarna 
.
Lagen om bevarande av rörelsemängd säger att i frånvaro av yttre krafter förblir rörelsemängden i ett mekaniskt system konstant. Verkan av inre krafter kan inte förändra systemets rörelsemängd. Av ekvation (9.6) framgår att när
Om , Det eller 
D 
propeller eller propeller, jetframdrivning. 
Bläckfiskar rör sig i ryck och kastar ut vatten ur muskelsäcken som en vattenkanon (bild 25). Det avvisade vattnet har en känd 
.
Tillämpning av satsen om förändringen i momentum tillåter oss att utesluta alla inre krafter från hänsyn.
EXEMPEL 13.
En vinsch A med en trumma med radie r installeras på en järnvägsplattform fristående på rälsen (fig. 26). Vinschen är konstruerad för att flytta en last B med en massa m 1 längs plattformen. Plattformens vikt med vinsch m 2. Vinschtrumman roterar enligt lagen 
. Vid det första ögonblicket var systemet mobilt. Försumma friktion, hitta lagen om förändring i plattformens hastighet efter att ha vridit på vinschen.
R 
LÖSNING.
1. Betrakta plattformen, vinschen och lasten som ett enda mekaniskt system, som påverkas av yttre krafter: lastens gravitation 
och plattformar 
och reaktioner 
Och 
.
2. Eftersom alla yttre krafter är vinkelräta mot x-axeln, d.v.s. 
, tillämpar vi lagen om bevarande av momentum för ett mekaniskt system i projektion på x-axeln: 
. Vid det första ögonblicket var systemet därför orörligt, 
Låt oss uttrycka mängden rörelse hos systemet vid ett godtyckligt ögonblick i tiden. Plattformen rör sig framåt med en hastighet 
, lasten genomgår en komplex rörelse bestående av relativ rörelse längs plattformen i fart 
och portabel rörelse tillsammans med plattformen i fart 
., var 
. Plattformen kommer att röra sig i motsatt riktning mot lastens relativa rörelse.
EXEMPEL 14.
LÖSNING.
1. Låt oss tillämpa satsen om förändringen av rörelsemängden för ett mekaniskt system i projektion på x-axeln. Eftersom alla yttre krafter som verkar på systemet är vertikala, alltså 
, Då 
, var 
.
(1)
2. Låt oss uttrycka projektionen av rörelsemängden på x-axeln för det mekaniska systemet i fråga 
,
t 2) (S-in meter, t-in sekunder), (Fig. 26). Bestäm plåtens hastighet vid tidpunkten t 1 = 1s, med hjälp av satsen om förändringen i rörelsemängd hos ett mekaniskt system.Där 
,
-- Mängden rörelse hos plattan respektive last. 
;
, Var 
--lastens absoluta hastighet D. Av likhet (1) följer att K 1x + K 2x =C 1 eller m 1 u x +m 2 V Dx =C 1. 
,
(3)
(2) För att bestämma V Dx, betrakta rörelsen av lasten D som komplex, med hänsyn till dess rörelse i förhållande till plattans relativa rörelse, och rörelsen av själva plattan bärbar, sedan 
eller i projektion på x-axeln: 
. 
(5) Vi bestämmer integrationskonstanten C 1 från initialvillkoren: vid t=0 u=u 0 ;
(m1 +m2)u0=C1.
(6) Genom att ersätta värdet på konstanten C 1 i ekvation (5) får vi
m/s.
Systemets rörelsemängd, som vektorkvantitet, bestäms av formlerna (4.12) och (4.13).
(4.28)
Sats. Derivatan av systemets rörelsemängd med avseende på tid är lika med den geometriska summan av alla yttre krafter som verkar på det.
I projektioner av kartesiska axlar får vi skalära ekvationer.
Lagen om bevarande av momentum
Du kan skriva en vektor
och skalära ekvationer
Som uttrycker satsen om förändringen i systemets rörelsemängd i integralform: ändringen i systemets rörelsemängd under en viss tidsperiod är lika med summan av impulserna under samma tidsperiod. Vid problemlösning används oftare ekvationer (4.27). 
(4.30)
Sats om förändringen i rörelsemängd
(4.31)
Satsen om förändringen i rörelsemängdsrörelsen för en punkt i förhållande till centrum: tidsderivatan av rörelsemängden för en punkt i förhållande till ett fast centrum är lika med vektorkraftmomentet som verkar på punkten i förhållande till samma centrum.
|
(4.32)
Denna likhet uttrycker momentumsatsen för en punkt i förhållande till en axel.
(4.33)
Ris. 4.1.
(4.34)
(4.35)
(4.36)
Satsen om förändringen av det huvudsakliga rörelsemängdmängd eller rörelsemängd för ett mekaniskt system i förhållande till centrum: tidsderivatan av systemets kinetiska rörelsemängd i förhållande till något fast centrum är lika med summan av momenten av alla yttre krafter i förhållande till samma centrum.
Om vi projicerar uttrycket (4.32) på axeln som går genom centrum O, får vi en likhet som kännetecknar satsen om förändringen i rörelsemängd i förhållande till axeln.
Genom att ersätta (4.10) med likhet (4.33) kan vi skriva differentialekvationen för en roterande stel kropp (hjul, axlar, axlar, rotorer, etc.) i tre former.
Sedan följer av ekvation (4.32) att, dvs. om summan av momenten av alla yttre krafter som appliceras på systemet i förhållande till ett givet centrum är lika med noll, så kommer det kinetiska momentet för systemet i förhållande till detta centrum att vara numeriskt och riktningsmässigt konstant.
2. Om , då . Således, om summan av momenten av yttre krafter som verkar på systemet i förhållande till en viss axel är noll, kommer systemets kinetiska moment i förhållande till denna axel att vara ett konstant värde.
Dessa resultat uttrycker lagen om bevarande av rörelsemängd.
När det gäller en roterande stel kropp följer det av jämlikhet (4.34) att, om , då . Härifrån kommer vi till följande slutsatser:
Om systemet är oföränderligt (absolut stel kropp), så roterar följaktligen den stela kroppen runt en fast axel med en konstant vinkelhastighet.
Om systemet är ändringsbart, då . Med en ökning (då rör sig enskilda element i systemet bort från rotationsaxeln) minskar vinkelhastigheten, eftersom , och när den minskar ökar den, sålunda, i fallet med ett variabelt system, med hjälp av inre krafter är det möjligt att ändra vinkelhastigheten.
Andra uppgiften D2 provarbeteägnas åt satsen om förändringen av ett systems rörelsemängd i förhållande till en axel.
Problem D2
En homogen horisontell plattform (cirkulär med radien R eller rektangulär med sidorna R och 2R, där R = 1,2 m) med en massa på kg roterar med vinkelhastighet runt den vertikala axeln z, på avstånd från plattformens masscentrum C vid en avstånd OC = b (Fig. E2.0 – D2.9, tabell D2); Mått för alla rektangulära plattformar visas i fig. D2.0a (vy ovanifrån).
Vid tidpunkten börjar en last D med en massa på kg att röra sig längs plattformsrännan (under påverkan av inre krafter) enligt lagen, där s uttrycks i meter, t - i sekunder. Samtidigt, ett kraftpar med ett moment M (specificerat i newtonometer; vid M< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).
Bestäm, om man försummar axelns massa, beroendet d.v.s. plattformens vinkelhastighet som en funktion av tiden.
I alla figurer visas lasten D i ett läge där s > 0 (när s< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.
Vägbeskrivning. Uppgift D2 – att tillämpa satsen om förändringen i systemets rörelsemängd. När man tillämpar satsen på ett system som består av en plattform och en last, bestäms systemets rörelsemängd i förhållande till z-axeln som summan av plattformens och lastens moment. Det bör beaktas att lastens absoluta hastighet är summan av de relativa och bärbara hastigheterna, dvs. . Därför mängden rörelse av denna last 
. Sedan kan du använda Varignons teorem (statik), enligt vilken ; dessa moment beräknas på samma sätt som kraftmoment. Lösningen förklaras mer i detalj i exempel D2.
När du löser problemet är det användbart att på hjälpritningen avbilda en vy av plattformen ovanifrån (från slutet z), som görs i fig. D2.0, a – D2.9, a.
Tröghetsmomentet för en platta med massan m i förhållande till Cz-axeln, vinkelrät mot plattan och som går genom dess massacentrum, är lika med: för en rektangulär platta med sidor och
;
För en rund platta med radie R
| Villkorsnummer | b | s = F(t) | M |
| R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 | -0,4 0,6 0,8 10 t 0,4 -0,5t -0,6t 0,8t 0,4 0,5 | 4t -6 -8t -9 6 -10 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Exempel D2. En homogen horisontell plattform (rektangulär med sidorna 2l och l), med en massa, är stelt fäst vid en vertikal axel och roterar med den runt en axel z med vinkelhastighet (Fig. E2a ). Vid tidpunkten börjar ett vridmoment M verka på axeln, riktat motsatt ; samtidigt last D massa som ligger i diket AB vid punkten MED, börjar röra sig längs rännan (under påverkan av inre krafter) enligt lagen s = CD = F(t).
Givet: m 1 = 16 kg, t 2= 10 kg, l= 0,5 m, = 2, s = 0,4t 2 (s - i meter, t - i sekunder), M= kt, Där k=6 Nm/s. Bestäm: - lagen för förändring av plattformens vinkelhastighet.
Lösning. Tänk på ett mekaniskt system som består av en plattform och en last D. För att bestämma w tillämpar vi satsen om förändringen i systemets rörelsemängd i förhållande till axeln z:
(1)
Låt oss skildra de yttre krafterna som verkar på systemet: reaktionens gravitationskraft och vridmomentet M. Eftersom krafterna och är parallella med z-axeln, och reaktionerna skär denna axel, är deras moment i förhållande till z-axeln lika med noll. Sedan, med tanke på att riktningen för ögonblicket är positiv (d.v.s. moturs), får vi 
och ekvation (1) kommer att ha denna form.
Eftersom massan av en punkt är konstant och dess acceleration, kan ekvationen som uttrycker dynamikens grundläggande lag representeras i formen
Ekvationen uttrycker samtidigt satsen om förändringen i en punkts rörelsemängd i differentialform: tidsderivat av en punkts rörelsemängd är lika med den geometriska summan av krafterna som verkar på punkten.
Låt oss integrera denna ekvation. Låt massan peka m, som rör sig under inverkan av kraft (fig. 15), har för tillfället t=0 hastighet, och för tillfället t 1-hastighet.
Fig. 15
Låt oss då multiplicera båda sidor av jämlikheten med och ta från dem bestämda integraler. I det här fallet, till höger, där integration sker över tid, kommer integralernas gränser att vara 0 och t 1, och till vänster, där hastigheten är integrerad, kommer gränserna för integralen att vara motsvarande värden för hastighet och . Eftersom integralen av är lika med , då får vi som ett resultat:
.
Integralerna till höger representerar impulser aktiva krafter. Därför kommer vi äntligen ha:
.
Ekvationen uttrycker satsen om förändringen i en punkts rörelsemängd i slutlig form: förändringen i en punkts rörelsemängd under en viss tidsperiod är lika med den geometriska summan av impulserna av alla krafter som verkar på punkten under samma tidsperiod ( ris. 15).
Vid problemlösning används ofta ekvationer i projektioner istället för vektorekvationer.
Vid rätlinjig rörelse längs axeln Åh satsen uttrycks av den första av dessa ekvationer.
Självtestfrågor
Formulera mekanikens grundläggande lagar.
Vilken ekvation kallas dynamikens fundamentala ekvation?
Vad är måttet på tröghet hos fasta kroppar under translationell rörelse?
Beror en kropps vikt på dess plats på jorden?
Vilket referenssystem kallas tröghet?
På vilken kropp appliceras tröghetskraften hos en materiell punkt och vilken är dess modul och riktning?
Förklara skillnaden mellan begreppen "tröghet" och "tröghetskraft"?
På vilka kroppar appliceras tröghetskraften, hur riktas den och med vilken formel kan den beräknas?
Vad är principen för kinetostatik?
Vilka är modulerna och riktningarna för de tangentiella och normala tröghetskrafterna för en materialpunkt?
Vad kallas kroppsvikt? Vad är SI-enheten för massa?
Vad är måttet på en kropps tröghet?
Skriv ner grundlagen för dynamiken i vektor- och differentialform?
En konstant kraft verkar på en materiell punkt. Hur rör sig punkten?
Vilken acceleration får en punkt om en kraft lika med två gånger tyngdkraften verkar på den?
Efter kollisionen av två materialpunkter med massor m 1 = 6 kg och m 2 =24 kg fick den första punkten en acceleration på 1,6 m/s. Vilken acceleration får den andra punkten?
Vid vilken rörelse av en materialpunkt är dess tangentiella tröghetskraft lika med noll och vid vilken rörelse är den normal?
Vilka formler används för att beräkna modulerna för rotations- och centrifugaltröghetskrafterna för en punkt som tillhör fast kropp, roterar runt en fast axel?
Hur formuleras grundlagen för punktdynamiken?
Ge formuleringen av lagen om oberoende av krafternas verkan.
Skriv ner differentialekvationerna för rörelse för en materialpunkt i vektor- och koordinatform.
Formulera kärnan i punktdynamikens första och andra huvudproblem.
Ange de villkor från vilka ständiga integrationer differentialekvationer för rörelse för en materialpunkt.
Vilka dynamikekvationer kallas de naturliga rörelseekvationerna för en materiell punkt?
Vilka är de två huvudproblemen med punktdynamik som löses med hjälp av differentiella rörelser av en materialpunkt?
Differentialekvationer för rörelse för en fri materialpunkt.
Hur bestäms konstanter när man integrerar differentialekvationer för rörelse för en materialpunkt?
Bestämning av värdena för godtyckliga konstanter som visas när man integrerar differentialekvationer för rörelse för en materialpunkt.
Vilka är lagarna för en kropps fritt fall?
Enligt vilka lagar sker horisontella och vertikala rörelser av en kropp som kastas i en vinkel mot horisonten i rymden? Vilken är banan för dess rörelse och i vilken vinkel har kroppen störst flygräckvidd?
Hur beräknar man impulsen för en variabel kraft över en begränsad tidsperiod?
Vad kallas rörelsemängden för en materiell punkt?
Hur uttrycker man en krafts elementära arbete genom den elementära vägen för kraftens appliceringspunkt och hur - genom ökningen av bågkoordinaten för denna punkt?
Vid vilka förskjutningar är gravitationsarbetet: a) positivt, b) negativt, c) noll?
Hur beräknar man kraften av en kraft som appliceras på en materialpunkt som roterar runt en fast axel med vinkelhastighet?
Formulera ett teorem om förändringen i rörelsemängd för en materiell punkt.
Under vilka förhållanden förändras inte en materiell punkts momentum? Under vilka förhållanden förändras inte dess projektion på en viss axel?
Ge formuleringen av förändringssatsen kinetisk energi materialpunkt i differentiell och finit form.
Vad kallas rörelsemängden för en materialpunkt i förhållande till: a) centrum, b) axeln?
Hur formuleras satsen om förändringen i rörelsemängd för en punkt i förhållande till centrum och i förhållande till axeln?
Under vilka förhållanden förblir rörelsemängden för en punkt i förhållande till axeln oförändrad?
Hur bestäms rörelsemängden för en materialpunkt i förhållande till centrum och i förhållande till axeln? Vad är förhållandet mellan dem?
Vid vilken plats för momentvektorn för en materialpunkt är dess moment relativt axeln lika med noll?
Varför ligger banan för en materiell punkt som rör sig under påverkan av en central kraft i samma plan?
Vilken rörelse av en punkt kallas rätlinjig? Skriv ner differentialekvationen för en materialpunkts rätlinjiga rörelse.
Skriv ner differentialekvationerna för planrörelse för en materialpunkt.
Vilken rörelse hos en materialpunkt beskrivs av Lagranges differentialekvationer av det första slaget?
I vilka fall kallas en materiell punkt icke-fri och vilka är differentialekvationerna för rörelse för denna punkt?
Ge definitioner av stationära och icke-stationära, holonomiska och icke-holonomiska samband.
Vilken typ av förbindelser kallas bilaterala? Ensidig?
Vad är kärnan i principen om befrielse från band?
Vilken form har differentialekvationerna för rörelse för en icke-fri materiell punkt i lagrangeform? Vad kallas Lagrange-multiplikatorn?
Ge formuleringen av Coriolis dynamiska sats.
Vad är kärnan i Galileo-Newtons relativitetsprincip?
Nämn rörelserna där Coriolis tröghetskraft är noll.
Vilken modul och vilken riktning har överförings- och Coriolis-tröghetskrafterna?
Vad är skillnaden mellan differentialekvationer relativa och absoluta rörelser av en materiell punkt?
Hur bestäms överförings- och Coriolis-tröghetskrafterna i olika fall av överföringsrörelse?
Vad är kärnan i den klassiska mekanikens relativitetsprincip?
Vilka referenssystem kallas tröghet?
Vad är villkoret för den relativa resten av en materiell punkt?
Vid vilka punkter jordens yta gravitationen är störst och minsta värde?
Vad förklarar fallande kroppars avvikelse österut?
I vilken riktning böjs en kropp som kastas vertikalt?
En skopa sänks ner i axeln med acceleration A=4 m/s 2. Hink gravitation G=2 kN. Bestäm spänningskraften för repet som stöder badkaret?
Två materialpunkter rör sig i en rak linje med konstanta hastigheter på 10 och 100 m/s. Kan vi säga att likvärdiga kraftsystem appliceras på dessa punkter?
1) det är omöjligt;
Lika krafter appliceras på två materialpunkter med vikten 5 och 15 kg. Jämför de numeriska värdena för accelerationen av dessa punkter?
1) accelerationerna är desamma;
2) accelerationen för en punkt med en massa av 15 kg är tre gånger mindre än accelerationen för en punkt med en massa av 5 kg.
Kan dynamikproblem lösas med hjälp av jämviktsekvationer?
