Peelback och dess egenskaper
En antiderivata av en funktion f(x) på intervallet (a; b) är en funktion F(x) så att likheten gäller för valfritt x från det givna intervallet.
Om vi tar hänsyn till det faktum att derivatan av konstanten C är lika med noll, så är likheten sann 
. Funktionen f(x) har alltså en uppsättning antiderivator F(x)+C, för en godtycklig konstant C, och dessa antiderivator skiljer sig från varandra med ett godtyckligt konstant värde.
Antiderivatets egenskaper.
Om funktionen F(x) är en antiderivata för funktionen f(x) på intervallet X, så kommer funktionen f(x) + C, där C är en godtycklig konstant, också att vara en antiderivata för f(x) på detta intervall.
Om funktionen F(x) är någon antiderivata av funktionen f(x) i intervallet X=(a,b), så kan vilken annan antiderivata F1(x) som helst representeras som F1(x) = F(x) + C, där C är en konstant funktion på X.
2 Definition inte bestämd integral .
Allt klart antiderivata funktioner f(x) kallas den obestämda integralen av denna funktion och betecknas 
.
Uttrycket kallas integranden och f(x) kallas integranden. Integranden representerar differentialen för funktionen f(x).
Åtgärden att hitta en okänd funktion givet dess differential kallas obestämd integration, eftersom resultatet av integrationen inte är en funktion F(x), utan en uppsättning av dess antiderivator F(x)+C.
egenskaper hos den obestämda integralen (egenskaper hos antiderivatan).
Derivatan av integrationsresultatet är lika med integranden.
Obestämd integral av differentialfunktion lika med summan själva funktionen och en godtycklig konstant.
där k är en godtycklig konstant. Koefficienten kan tas ut som ett tecken på den obestämda integralen.
Den obestämda integralen av summan/skillnaden av funktioner är lika med summan/skillnaden av de obestämda integralerna av funktioner.
Ändra en variabel i en obestämd integral
Variabel ersättning i den obestämda integralen utförs med två typer av substitutioner:
a) där är en monoton, kontinuerligt differentierbar funktion av den nya variabeln t. Formeln för variabelersättning i det här fallet är:
Där U är en ny variabel. Formeln för att ersätta en variabel med denna substitution är:
Integrering av delar
Hitta integralen med hjälp av formeln 
kallas integration av delar. Här är U=U(x),υ=υ(x) kontinuerligt differentierbara funktioner av x. Genom att använda den här formeln reduceras att hitta en integral till att hitta en annan integral är att rekommendera i fall där den sista integralen antingen är enklare än den ursprungliga eller liknar den.
I detta fall antas υ vara en funktion som förenklas vid differentiering, och dU antas vara den del av integranden vars integral är känd eller kan hittas.
Newton–Leibniz formel
Kontinuitet för den bestämda integralen som en funktion av den övre gränsen
Om funktionen y = f (x) är integrerbar på intervallet , så är den naturligtvis också integrerbar på ett godtyckligt intervall [a, x] inbäddat i . Fungera 
,
där x О kallas en integral med en variabel övre gräns. Värdet på funktionen Ф (x) i punkt x är lika med arean S(x) under kurvan y = f (x) på segmentet [a, x]. Detta är geometrisk betydelse integrerad med en variabel övre gräns.
Sats. Om funktionen f (x) är kontinuerlig på ett intervall, är funktionen Ф (x) också kontinuerlig på [a, b].
Låt Δх vara sådan att x + Δ x О . Det har vi
Med medelvärdessatsen finns det ett värde med О [ x, x + Δ x] så att eftersom med О , och funktionen f (x) är begränsad, och sedan passerar till gränsen som Δ x → 0, får vi
ODR 1:a ordningen
Vad är skillnaden mellan homogena differentialekvationer och andra typer av differentialekvationer? Det enklaste sättet att omedelbart förklara detta är med ett specifikt exempel.
Lös differentialekvation
Vad bör analyseras först när man bestämmer ev differentialekvation första beställningen? Först och främst är det nödvändigt att kontrollera om det är möjligt att omedelbart separera variablerna med hjälp av "skola" åtgärder? Vanligtvis görs denna analys mentalt eller genom att försöka separera variablerna i ett utkast.
I det här exemplet kan variablerna inte delas (du kan prova att kasta termer från del till del, höja faktorer utanför parentes, etc.). Förresten, i det här exemplet är det faktum att variablerna inte kan delas ganska uppenbart på grund av närvaron av multiplikatorn
Frågan uppstår: hur löser man detta diffusa problem?
Det är nödvändigt att kontrollera om denna ekvation är homogen? Verifieringen är enkel och själva verifieringsalgoritmen kan formuleras enligt följande:
Till den ursprungliga ekvationen:
Istället för x ersätter vi istället för y ersätter vi derivatan utan att röra: 
Bokstaven lambda är någon abstrakt numerisk parameter, punkten finns inte i själva lambdan och inte i deras värden, men poängen är denna:
Om det, som ett resultat av transformationer, är möjligt att reducera ALLA "lambdas" (dvs. erhålla den ursprungliga ekvationen), så är denna differentialekvation homogen.
Det är uppenbart att lambdas omedelbart reduceras med exponenten: 
Nu på höger sida tar vi ut lambdan ur parentes: 
Båda sidorna av ekvationen kan reduceras till samma lambda: Som ett resultat försvann alla lambdorna som en dröm, som morgondimma, och vi fick den ursprungliga ekvationen.
Slutsats: Denna ekvationär homogen
LOU. Allmänna egenskaper hos lösningar
det vill säga den är linjär med avseende på den okända funktionen y och dess derivat och . Koefficienterna och och den högra sidan av denna ekvation är kontinuerliga.
Om den högra sidan av ekvationen är , då kallas ekvationen linjär inhomogen. Om , då har ekvationen formen
 | (9) |
och kallas linjär homogen.
Låt och vara några speciella lösningar av ekvation (9), det vill säga inte innehåller godtyckliga konstanter.
Sats 1. Om och är två partiella lösningar av det linjära homogen ekvation andra ordningen, då är också en lösning på denna ekvation.
Eftersom och är lösningar till ekvation (9), gör de denna ekvation till en identitet, det vill säga
 Och  | (10) |
Låt oss ersätta in i ekvation (9). Då har vi:
Med stöd av (10). Det betyder att detta är en lösning på ekvationen.
Sats 2. If är en lösning på en linjär homogen ekvation av andra ordningen, och C– konstant, då är också en lösning på denna ekvation.
Bevis. Låt oss ersätta det med ekvation (9). Vi får: det vill säga en lösning på ekvationen.
Följd. Om och är lösningar av ekvation (9), så är de också dess lösningar i kraft av satser (1) och (2).
Definition. Två lösningar och ekvationer (9) kallas linjärt beroende (på intervallet) om det är möjligt att välja tal och som inte samtidigt är lika med noll så att den linjära kombinationen av dessa lösningar är identiskt lika med noll på , det vill säga om .
Om sådana tal inte kan väljas kallas lösningarna linjärt oberoende (på segmentet ).
Uppenbarligen kommer lösningar och att vara linjärt beroende om och endast om deras förhållande är konstant, det vill säga (eller vice versa).
Faktum är att om och är linjärt beroende, var är då åtminstone en konstant eller icke-noll. Låt till exempel . Då , , Betecknar vi får , det vill säga förhållandet är konstant.
Tillbaka om då 
. Här är koefficienten vid , det vill säga skiljer sig från noll, vilket per definition betyder att och är linjärt beroende.
Kommentar. Från definitionen av linjärt oberoende lösningar och resonemanget ovan kan vi dra slutsatsen att om och är linjärt oberoende, så kan deras förhållande inte vara konstant.
Till exempel är funktionerna och at linjärt oberoende, eftersom 
, eftersom . Här är de 5 funktionerna x Och x– är linjärt beroende, eftersom deras förhållande är .
Sats. Om och är linjärt oberoende partiella lösningar av en linjär homogen ekvation av andra ordningen, så är deras linjära kombination, där och är godtyckliga konstanter, en allmän lösning på denna ekvation.
Bevis. I kraft av satser 1 och 2 (och deras följder) är det en lösning på ekvation (9) för alla val av konstanter och .
Om lösningarna och är linjärt oberoende, så är – en generell lösning, eftersom denna lösning innehåller två godtyckliga konstanter som inte kan reduceras till en.
Samtidigt, även om de var linjära beroende beslut, då skulle det inte längre vara en generell lösning. I det här fallet, var α -konstant. Sedan, var är en konstant. kan inte vara en generell lösning på en andra ordningens differentialekvation, eftersom den beror på endast en konstant.
Så, den allmänna lösningen till ekvation (9):
19. Konceptet med ett linjärt oberoende system av funktioner. Vronskys avgörande. tillräckligt skick linjärt oberoende. begreppet ett grundläggande funktionssystem. Exempel. Nödvändigt och tillräckligt villkor för att Wronski-determinanten ska skilja sig från noll på intervallet [a,c]
Konceptet med ett linjärt oberoende system av funktioner 
Funktioner 
kallas linjärt beroende på om en av dem är en linjär kombination av de andra. Funktionerna med andra ord kallas linjärt beroende på om det finns tal varav minst ett inte är lika med noll så att
Om identitet (4) är uppfylld endast i fallet när alla , då kallas funktionerna linjärt oberoende av .
System av linjärt oberoende lösningar på ett intervall
homogen differentialekvation av ordningen (3) med kontinuerliga koefficienter kallas det fundamentala systemet av lösningar till denna ekvation.
För att lösa en linjär homogen differentialekvation av ordningen (3) med kontinuerliga koefficienter är det nödvändigt att hitta dess grundläggande lösningssystem.
Enligt sats 1 är en godtycklig linjär kombination av lösningar, dvs summan
, (5)
där är godtyckliga tal, är i sin tur en lösning till ekvation (3) på . Men det visar sig att, omvänt, varje lösning av differentialekvationen (3) på intervallet är någon linjär kombination av de angivna (oberoende) partiella lösningarna (se sats 4 nedan), som bildar ett grundläggande system av lösningar.
Sålunda har den allmänna lösningen av den homogena differentialekvationen (3) formen (5), där är godtyckliga konstanter, och är partiella lösningar (3), som bildar ett grundläggande system av lösningar till den homogena ekvationen.
Observera att den allmänna lösningen inhomogen ekvation(1) är summan av någon av dess specifika lösningar och generell lösning homogen ekvation
. (6)
I själva verket,
.
Å andra sidan, om det finns en godtycklig lösning på ekvation (1), då
och är därför en lösning på en homogen ekvation; men så finns det siffror så
,
dvs. likhet (6) gäller för dessa siffror.
Vronskys avgörande.
Sats 2. Om funktionerna är linjärt beroende av och har derivator upp till :e ordningen, sedan determinanten
. (7)
jag
Determinanten (7) kallas Wronski-determinanten eller Wronskian och betecknas med symbolen 
.
Bevis. Eftersom funktionerna är linjärt beroende av , då finns det tal som inte alla är lika med noll för vilka identitet (4) håller på . Genom att differentiera det en gång får vi ett ekvationssystem
Tillstånd har detta homogena system en icke-trivial lösning (d.v.s. minst en) för . Det senare är möjligt när systemets determinant, som är Wronski-determinanten, är identiskt lika med noll. Teoremet har bevisats.
Kommentar. Det följer av sats 2 att om minst en punkt är funktionerna linjärt oberoende av .
Exempel 2. Funktionerna är linjärt oberoende av någon , eftersom
.
Exempel 3. Funktionerna är linjärt oberoende av alla om - olika tal (reella eller komplexa).
Verkligen.
,
eftersom den sista determinanten är Vandermonde-determinanten, som inte är lika med noll för olika.
Exempel 4: Funktioner 
är linjärt oberoende vid någon .
Sedan
Att linjärt oberoende specificerade funktioner följer av det andra exemplet.
Sats 3. För lösningar 
linjär differentialhomogen ekvation med kontinuerliga koefficienter är linjärt oberoende av , det är nödvändigt och tillräckligt att för alla .
Bevis. 1) Om på, då funktionerna är linjärt oberoende oavsett om de är lösningar till ekvationen eller inte (se anmärkning).
2) Låta vara linjärt oberoende funktioner på och vara lösningar av ekvationen .
Låt oss bevisa det överallt. Låt oss anta motsatsen, att det finns en punkt där . Låt oss välja tal som inte är lika med noll samtidigt, så att de är lösningar till systemet
(8)
Detta kan göras eftersom determinanten för system (8) är . Sedan, genom sats 1, funktionen 
kommer att vara en lösning på ekvationen med noll initiala villkor (enligt (8))
Men den triviala lösningen uppfyller också samma villkor. I kraft av existens- och unikhetssatsen kan det bara finnas en lösning som uppfyller dessa initiala villkor, därför är funktionerna linjärt beroende av , vilket inte antogs. Teoremet har bevisats.
Om det finns diskontinuerliga funktioner i intervallet där vi letar efter en lösning, så kan ekvationen ha mer än en lösning som uppfyller initialvillkoren, och då är det möjligt att på .
Exempel 5. Det är enkelt att kontrollera att funktionerna fungerar
är linjärt oberoende av och för dem på .
Detta beror på att funktionen 
är en generell lösning på ekvationen
,
Där 
diskontinuerlig vid punkt . För denna ekvation gäller inte existens- och unikhetssatsen (i närheten av punkten). Inte bara funktionen utan även funktionen är en lösning på en differentialekvation som uppfyller villkoren och för .
Den allmänna lösningens struktur.
jag ndex.Direct Alla annonser Lösa ekvationer online! LoviOtvet Calculator – lös ekvationer med ett klick! Ladda ner gratis!loviotvet.ru Vem är Jesus Hur tar man reda på vem Jesus Kristus verkligen är?godlovesrussia.com
Sats 4. If är linjärt oberoende lösningar av en linjär homogen differentialekvation av ordningen med kontinuerliga koefficienter 
, sedan funktionen
, (9)
där är godtyckliga konstanter, är en generell lösning av ekvationen , dvs summan (9) för någon , är en lösning till denna ekvation och omvänt kan vilken lösning som helst av denna ekvation representeras som en summa (9) för motsvarande ekvation värden på.
Bevis. Vi vet redan att summan (9) för någon är en lösning på ekvationen . Låt omvänt det finnas en godtycklig lösning på denna ekvation. Låt oss sätta
För de mottagna siffrorna 
låt oss sminka oss linjärt system ekvationer för okända tal: , det räcker att hitta några reella konstanter.
För att hitta en generell lösning på ekvation (8) gör vi detta. Vi sammanställer den karakteristiska ekvationen för ekvation (8): . Med hjälp av de initiala förutsättningarna bestämmer vi Betrakta den linjära differentialekvationen n
y (Betrakta den linjära differentialekvationen) + -:e ordningen -1 (x)y (Betrakta den linjära differentialekvationen- 1) + ... + ett n 1 (x)y" + ett n 0 (x)y = a(x).
f -:e ordningen -1 (x), -:e ordningen -2 (x), ..., ett n 1 (x), ett n 0 (x med kontinuerliga koefficienter a(x).
) och kontinuerlig höger sida Superpositionsprincipen utifrån följande
egenskaper hos lösningar av linjära differentialekvationer. y 1 (x 1. Om y 2 (x) Och
y (Betrakta den linjära differentialekvationen) + -:e ordningen -1 (x)y (Betrakta den linjära differentialekvationen- 1) + ... + ett n 1 (x)y" + ett n 0 (x)y = 0
) - två lösningar till en linjär homogen differentialekvation y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x sedan någon linjär kombination av dem
) är en lösning på denna homogena ekvation. y 1 (x 1. Om y 2 (x 2. Om ) - två lösningar till en linjär inhomogen ekvation(y) = a(x L y(x) = y 1 (x) − y 2 (x) sedan deras skillnad ) - två lösningar till en linjär inhomogen ekvation(y) = 0 .
) är en lösning på den homogena ekvationen 3. Varje lösning av inhomogena ) - två lösningar till en linjär inhomogen ekvation(y) = a(x) är summan av varje fixerad (specifik) lösning av en inhomogen ekvation och någon lösning av en homogen ekvation.
4. Om y 1 (x 1. Om y 2 (x) - lösningar av linjära inhomogena ekvationer ) - två lösningar till en linjär inhomogen ekvation(y) = a 1 (x 1. Om ) - två lösningar till en linjär inhomogen ekvation(y) = a 2 (x) i enlighet därmed, sedan deras summa y(x) =y 1 (x) + y 2 (x) är en lösning på den inhomogena ekvationen ) - två lösningar till en linjär inhomogen ekvation(y) = a 1 (x) + a 2 (x).
Vanligtvis kallas detta sista uttalande superpositionsprincipen.
Metod för variation av konstanter
Betrakta den inhomogena ekvationen av den e ordningen
där koefficienterna och högersidan ges kontinuerliga funktioner på intervallet.
Låt oss anta att vi känner till det grundläggande lösningssystemet motsvarande homogen ekvation
Som vi visade i § 1.15 (formel (6)), är den allmänna lösningen till ekvation (1) lika med summan av den allmänna lösningen till ekvation (2) och eventuell lösning till ekvation (1).
Lösningen till den inhomogena ekvationen (1) kan vara
Integration genom substitution (variabel ersättning). Anta att du behöver beräkna en integral som inte är tabellformad. Essensen av substitutionsmetoden är att i integralen ersätts variabeln x med variabeln t enligt formeln x = q(t), från vilken dx = q"(t)dt.
Sats. Låt funktionen x=t(t) vara definierad och differentierbar på en viss mängd T och låt X vara den uppsättning värden för denna funktion som funktionen f(x) är definierad på. Sedan om på mängden X funktionen f(x) har en antiderivata, så är formeln giltig på mängden T:
Formel (1) kallas ändring av variabelformel i den obestämda integralen.
Integrering av delar. Metoden för integrering av delar följer av formeln för differentialen av produkten av två funktioner. Låt u(x) och v(x) vara två differentierbara funktioner av variabeln x. Sedan:
d(uv)=udv+vdu. - (3)
Genom att integrera båda sidor av jämlikhet (3) får vi:
Men sedan dess:
Relation (4) kallas integrationen av delar formel. Använd den här formeln och hitta integralen. Det är tillrådligt att använda det när integralen på höger sida av formel (4) är enklare att beräkna än den ursprungliga.
I formel (4) finns det ingen godtycklig konstant C, eftersom det på höger sida av denna formel finns en obestämd integral som innehåller en godtycklig konstant.
Vi presenterar några ofta förekommande typer av integraler beräknade med metoden för integrering av delar.
I. Integraler av formen, (P n (x) är ett polynom av grad n, k är ett visst tal). För att hitta dessa integraler räcker det att sätta u=P n (x) och tillämpa formel (4) n gånger.
II. Integraler av formen, (Pn(x) är ett polynom av grad n med avseende på x). De kan hittas med hjälp av frekvenser och tar för u en funktion som är en multiplikator för P n (x).
Variabla förändringar kan användas för att utvärdera enkla integraler och, i vissa fall, för att förenkla beräkningen av mer komplexa.
Den variabla ersättningsmetoden är att vi från originalet integrationsvariabel, låt det vara x, låt oss gå vidare till en annan variabel, som vi betecknar som t. I det här fallet tror vi att variablerna x och t är relaterade till någon relation x = x(t) eller t = t(x) . Till exempel, x = ln t, x = synd t, t =
2 x + 1
, etc. Vår uppgift är att välja ett sådant förhållande mellan x och t att den ursprungliga integralen antingen reduceras till en tabell eller blir enklare. eller t = t Grundläggande variabelersättningsformel I det här fallet tror vi att variablerna x och t är relaterade till någon relation x = x Låt oss överväga uttrycket som står under integraltecknet. Den består av produkten av integranden, som vi betecknar som f eller t = t och differential dx: .
Låt oss gå till en ny variabel t genom att välja någon relation x = x eller t = t. I det här fallet tror vi att variablerna x och t är relaterade till någon relation x = x.
Då måste vi uttrycka funktionen f
.
och differentialen dx genom variabeln t. För att uttrycka integrandfunktionen f genom variabeln t behöver du bara ersätta den valda relationen x = x istället för variabeln x
Differentialkonverteringen görs så här:
.
Det vill säga dx-differentialen eller t = t lika med produkten
,
derivata av x med avseende på t med differentialen dt. eller t = t Sedan
.
I praktiken är det vanligaste fallet att vi utför en ersättning genom att välja en ny variabel som funktion av den gamla: t = t
(1)
,
.
(2)
,
Om vi gissade att integrand-funktionen kan representeras som
där t′
är derivatan av t med avseende på x, alltså
Så den grundläggande variabelersättningsformeln kan presenteras i två former. där x är en funktion av t.
.
där t är en funktion av x.
;
;
.
Viktig anmärkning
.
I tabeller med integraler betecknas integrationsvariabeln oftast som x.
.
Det är dock värt att tänka på att integrationsvariabeln kan betecknas med vilken bokstav som helst. Dessutom kan vilket uttryck som helst användas som en integrationsvariabel.
.
Tänk som ett exempel
.
bordintegral (2)
Här kan x ersättas med vilken annan variabel eller funktion som helst av en variabel. Här är exempel på möjliga alternativ: I det sista exemplet måste du ta hänsyn till att när du flyttar till integrationsvariabeln x, omvandlas differentialen enligt följande: Sedan
;
;
.
Detta exempel fångar essensen av integration genom substitution. Det vill säga, det måste vi gissa
1)
Därefter reduceras integralen till en tabellform.
.
Du kan utvärdera denna integral med hjälp av en variabeländring med formeln . Låt oss sätta t = x Sedan
.
Här använde vi substitutionen t = synd x.
2)
Därefter reduceras integralen till en tabellform.
.
Det märker vi.
.
Sedan Här utförde vi integrationen genom att ändra variabeln t =.
3)
arctan x
.
Det märker vi.
Låt oss integrera 2 + 1
.
.
Här, under integrationen, ersätts variabeln t = x
Linjära substitutioner
Det vanligaste är kanske linjära substitutioner. Detta är en ersättning för en variabel i formuläret
.
t = axe + b,
där a och b är konstanter. Med en sådan ersättning är skillnaderna relaterade av relationen Exempel på integration genom linjära substitutioner
.
A)
.
Beräkna integral Lösning.
.
A)
B)
.
Hitta integralen Låt oss använda egenskaperna för exponentialfunktionen.
.
ln 2 Exempel på integration genom linjära substitutioner
.
A)
- det här är en konstant. Vi beräknar integralen. C) Låt oss ge
.
kvadratiskt polynom
.
i bråkets nämnare till summan av kvadrater. Lösning.
.
A)
Vi beräknar integralen.
.
D)
.
Låt oss transformera polynomet under roten.
.
Vi integrerar med hjälp av variabelersättningsmetoden.
.
Tidigare fick vi formeln
Härifrån Exempel på integration genom linjära substitutioner
.
A)
Genom att ersätta detta uttryck får vi det slutliga svaret.
;
.
E)
.
Låt oss tillämpa formeln för produkten av sinus och cosinus.
Vi integrerar och gör ersättningar.
Använd litteratur:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Samling av problem i högre matematik, "Lan", 2003.
Ändring av variabel i en obestämd integral används för att hitta integraler där en av funktionerna är derivatan av en annan funktion. Låt det finnas en integral $ \int f(x) dx $, låt oss ersätta $ x=\phi(t) $. Observera att funktionen $ \phi(t) $ är differentierbar, så vi kan hitta $ dx = \phi"(t) dt $.
Nu ersätter vi $ \begin(vmatrix) x = \phi(t) \\ dx = \phi"(t) dt \end(vmatrix) $ i integralen och vi får det: $$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi"(t) dt $$.
Den här är
formel för att ändra en variabel i en obestämd integral
Algoritm för variabelersättningsmetoden
Således, om problemet ges en integral av formen: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx $$ Det är lämpligt att ersätta variabeln med en ny: $$ t = \phi(x) $ $ $$ dt = \phi"(t) dt $$
Efter detta kommer integralen att presenteras i en form som lätt kan tas av de grundläggande integrationsmetoderna: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx = \int f(t) dt $$
| Glöm inte att även returnera den ersatta variabeln tillbaka till $x$. |
|
Exempel på lösningar |
| Exempel 1 |
|
Hitta den obestämda integralen med metoden för ändring av variabel: $$ \int e^(3x) dx $$ Lösning Vi ersätter variabeln i integralen med $ t = 3x, dt = 3dx $: $$ \int e^(3x) dx = \int e^t \frac(dt)(3) = \frac(1)(3) \int e^t dt = $$ Om du inte kan lösa ditt problem, skicka det till oss. Vi kommer att tillhandahålla detaljerad lösning. Du kommer att kunna se framstegen i beräkningen och få information. Detta hjälper dig att få ditt betyg från din lärare i tid! |
| Svar |
| $$ \int e^(3x) dx = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ |
I den här lektionen kommer vi att bekanta oss med en av de viktigaste och vanligaste teknikerna som används vid lösning av obestämda integraler - variabeländringsmetoden. Framgångsrik behärskning av materialet kräver initial kunskap och integrationsförmåga. Om det finns en känsla av en tom, full vattenkokare i integralkalkyl, då bör du först bekanta dig med materialet, där jag förklarade i tillgänglig form vad en integral är och analyserade i detalj grundläggande exempel för nybörjare.
Tekniskt sett implementeras metoden för att ändra en variabel i en obestämd integral på två sätt:
– Subsumera funktionen under differentialtecknet;
– Egentligen ersätter variabeln.
I huvudsak är detta samma sak, men designen på lösningen ser annorlunda ut.
Låt oss börja med ett enklare fall.
Subsumera en funktion under differentialtecknet
I klassen Obestämd integral. Exempel på lösningar vi lärde oss hur man öppnar differentialen, jag påminner dig om exemplet jag gav:
Det vill säga att avslöja en differential är formellt nästan detsamma som att hitta en derivata.
Glöm inte att även returnera den ersatta variabeln tillbaka till $x$.
Utför kontroll.
Vi tittar på tabellen över integraler och hittar en liknande formel: 
. Men problemet är att under sinus har vi inte bara bokstaven "X", utan ett komplext uttryck. Vad ska man göra?
Vi tar funktionen under differentialtecknet:
Genom att öppna differentialen är det enkelt att kontrollera att: 
Faktiskt och 
är en inspelning av samma sak.
Men ändå kvarstod frågan, hur kom vi till idén att vi i det första steget måste skriva vår integral exakt så här: 
? Varför är detta och inte annars?
Formel 
(och alla andra tabellformler) är giltiga och tillämpliga INTE BARA för variabeln, utan även för alla komplexa uttryck ENDAST SOM ETT FUNKTIONSARGUMENT(- i vårt exempel) OCH UTTRYCKET UNDER DIFFERENTIALTECKNET VAR SAMMA
.
Därför bör det mentala resonemanget när man löser vara ungefär så här: ”Jag behöver lösa integralen. Jag tittade i tabellen och hittade en liknande formel 
. Men jag har ett komplext argument och jag kan inte direkt använda formeln. Men om jag lyckas få den under differentialtecknet så kommer allt att bli bra. Om jag skriver ner det då. Men i den ursprungliga integralen finns det ingen faktor tre, därför, för att integrandfunktionen inte ska ändras, måste jag multiplicera den med ". Under loppet av ungefär sådana mentala resonemang föds posten:
Nu kan du använda tabellformeln 
:
Redo
Den enda skillnaden är att vi inte har bokstaven "X", utan ett komplext uttryck.
Låt oss kolla. Öppna tabellen med derivator och särskilj svaret: 
Den ursprungliga integrandfunktionen har erhållits, vilket betyder att integralen har hittats korrekt.
Observera att vi under verifieringen använde differentieringsregeln komplex funktion 
. I huvudsak subsumerar funktionen under differentialtecknet och 
- Det här är två ömsesidigt omvända regler.
Exempel 2
Låt oss analysera integrandfunktionen. Här har vi ett bråk, och nämnaren är en linjär funktion (med "X" i första potens). Vi tittar på tabellen över integraler och hittar det mest liknande: 
.
Vi tar funktionen under differentialtecknet: 
De som har svårt att omedelbart räkna ut vilket bråk som ska multipliceras med kan snabbt avslöja differentialen i ett utkast: . Ja, det visar sig att detta betyder att för att ingenting ska förändras måste jag multiplicera integralen med .
Därefter använder vi tabellformeln 
:
Undersökning: 
Den ursprungliga integrandfunktionen har erhållits, vilket betyder att integralen har hittats korrekt.
Exempel 3
Hitta den obestämda integralen. Utför kontroll.
Exempel 4
Hitta den obestämda integralen. Utför kontroll.
Detta är ett exempel för oberoende beslut. Svaret finns i slutet av lektionen.
Med viss erfarenhet av att lösa integraler kommer sådana exempel att verka lätta och klicka som nötter:
I slutet av detta stycke skulle jag vilja uppehålla mig vid det "fria" fallet, när jag är inne linjär funktion variabeln ingår med en enhetskoefficient, till exempel:
Strängt taget borde lösningen se ut så här:
Som du kan se var det "smärtfritt" att subsumera funktionen under differentialtecknet utan någon multiplikation. Därför försummas i praktiken ofta en så lång lösning och skrivs omedelbart ner det 
. Men var beredd på att vid behov förklara för läraren hur du löste det! Eftersom det faktiskt inte finns någon integral i tabellen.
Variabel ändringsmetod i obestämd integral
Låt oss gå vidare för att överväga det allmänna fallet - metoden för att ändra variabler i den obestämda integralen.
Exempel 5
Hitta den obestämda integralen.
Som exempel tog jag integralen som vi tittade på alldeles i början av lektionen. Som vi redan har sagt, för att lösa integralen gillade vi tabellformeln 
, och jag skulle vilja reducera hela saken till henne.
Tanken bakom ersättningsmetoden är att ersätt ett komplext uttryck (eller någon funktion) med en enda bokstav.
I det här fallet ber det:
Det näst mest populära ersättningsbrevet är brevet.
I princip kan du använda andra bokstäver, men vi kommer fortfarande att hålla oss till traditioner.
Så: 
Men när vi byter ut den står vi kvar med ! Förmodligen har många gissat att om en övergång görs till en ny variabel, så ska allt i den nya integralen uttryckas genom bokstaven, och det finns ingen plats för en differential där alls.
Den logiska slutsatsen är att du behöver förvandlas till något uttryck som bara beror på.
Åtgärden är som följer. Efter att vi har valt en ersättare, i det här exemplet, måste vi hitta differentialen. Med skillnader tror jag att alla redan har etablerat vänskap.
Sedan dess
Efter att ha demonterat differentialen rekommenderar jag att du skriver om det slutliga resultatet så kort som möjligt:
Nu, enligt proportionsreglerna, uttrycker vi vad vi behöver:
Som ett resultat: 
Således: 
Och detta är redan den mest tabellformade integralen 
(tabellen över integraler är naturligtvis också giltig för variabeln).
Slutligen återstår bara att utföra det omvända utbytet. Låt oss komma ihåg det.
Redo.
Den slutliga utformningen av exemplet bör se ut ungefär så här:
“
Låt oss ersätta: 
“
Ikonen har ingen matematisk betydelse det betyder att vi har avbrutit lösningen för mellanliggande förklaringar.
När du förbereder ett exempel i en anteckningsbok är det bättre att markera den omvända ersättningen med en enkel penna.
Uppmärksamhet! I de följande exemplen kommer att hitta skillnaden inte att beskrivas i detalj.
Och nu är det dags att komma ihåg den första lösningen: 
Vad är skillnaden? Det finns ingen grundläggande skillnad. Det är faktiskt samma sak. Men ur synvinkeln av att utforma uppgiften är metoden att subsumera en funktion under differentialtecknet mycket kortare.
En fråga uppstår. Om den första metoden är kortare, varför använda ersättningsmetoden? Faktum är att för ett antal integraler är det inte så lätt att "passa" funktionen till differentialens tecken.
Exempel 6
Hitta den obestämda integralen. 
Låt oss byta ut: (det är svårt att tänka på en annan ersättare här) 
Som du kan se, som ett resultat av bytet, förenklades den ursprungliga integralen avsevärt - reducerad till det vanliga kraftfunktion. Detta är syftet med bytet - att förenkla integralen.
Lata avancerade personer kan enkelt lösa denna integral genom att subsumera funktionen under differentialtecknet: 
En annan sak är att en sådan lösning uppenbarligen inte är för alla elever. Dessutom, redan i detta exempel, användningen av metoden att subsumera en funktion under differentialtecknet ökar avsevärt risken att bli förvirrad i ett beslut.
Exempel 7
Hitta den obestämda integralen. Utför kontroll.
Exempel 8
Hitta den obestämda integralen. 
Ersättning:
Det återstår att se vad det blir 
Okej, vi har uttryckt det, men vad ska man göra med "X" kvar i täljaren?!
Då och då, när vi löser integraler, stöter vi på följande knep: vi kommer att uttrycka från samma ersättare! 
Exempel 9
Hitta den obestämda integralen.
Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand. Svaret finns i slutet av lektionen.
Exempel 10
Hitta den obestämda integralen.
Vissa har säkert märkt att det inte finns någon regel för variabelersättning i min uppslagstabell. Detta gjordes medvetet. Regeln skulle skapa förvirring i förklaring och förståelse, eftersom den inte förekommer explicit i exemplen ovan.
Nu är det dags att prata om grundförutsättningen för att använda variabelsubstitutionsmetoden: integranden måste innehålla någon funktion och dess derivata:(funktioner kanske inte finns i produkten)
I detta avseende, när du hittar integraler, måste du ofta titta på tabellen över derivator.
I det aktuella exemplet märker vi att graden av täljaren är en mindre än graden av nämnaren. I tabellen över derivator hittar vi formeln, som bara minskar graden med en. Och det betyder att om du anger den som nämnaren, så är chansen stor att täljaren blir till något bra.
