Problem relaterade till omvända trigonometriska funktioner erbjuds ofta vid skolprov och inträdesprov vid vissa universitet. En detaljerad studie av detta ämne kan endast uppnås i valbara klasser eller valbara kurser. Den föreslagna kursen är utformad för att utveckla varje elevs förmågor så fullt som möjligt och förbättra hans matematiska förberedelser.
Kursen pågår i 10 timmar:
1.Funktioner arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 timmar).
2. Operationer på inversa trigonometriska funktioner (4 timmar).
3. Inversa trigonometriska operationer på trigonometriska funktioner (2 timmar).
Lektion 1 (2 timmar) Ämne: Funktioner y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.
Mål: fullständig täckning av denna fråga.
1.Funktion y = båge x.
a) För funktionen y = sin x på ett segment finns en invers (envärdig) funktion, som vi kom överens om att kalla arcsine och beteckna den så här: y = arcsin x. Grafen för den inversa funktionen är symmetrisk med grafen för huvudfunktionen med avseende på bisektrisen för koordinatvinklarna I - III.
Egenskaper för funktionen y = båge x.
1) Definitionsdomän: segment [-1; 1];
2) Förändringsområde: segment;
3) Funktion y = arcsin x udda: arcsin (-x) = - arcsin x;
4) Funktionen y = båge x ökar monotont;
5) Grafen skär Ox, Oy-axlarna vid origo.
Exempel 1. Hitta a = arcsin. Detta exempel kan formuleras i detalj på följande sätt: hitta ett argument a, som ligger i intervallet från till, vars sinus är lika med.
Lösning. Det finns otaliga argument vars sinus är lika med , till exempel: 
etc. Men vi är bara intresserade av argumentet som finns på segmentet. Detta skulle vara argumentet. Så, .
Exempel 2. Hitta 
.Lösning. Att argumentera på samma sätt som i exempel 1 får vi 
.
b) muntliga övningar. Hitta: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Exempelsvar: 
, eftersom 
. Har uttrycken mening: ; arcsin 1,5; 
?
c) Ordna i stigande ordning: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.
II. Funktioner y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (liknande).
Lektion 2 (2 timmar) Ämne: Inversa trigonometriska funktioner, deras grafer.
Syfte: i den här lektionen är det nödvändigt att utveckla färdigheter i att fastställa värderingar trigonometriska funktioner, vid konstruktion av grafer av inversa trigonometriska funktioner med användning av D (y), E (y) och de nödvändiga transformationerna.
I den här lektionen, kompletta övningar som inkluderar att hitta definitionsdomänen, värdedomänen för funktioner av typen: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos.
Du bör konstruera grafer för funktionerna: a) y = båge 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y = arcsin;
d) y = arcsin; e) y = arcsin; e) y = arcsin; g) y = | arcsin | .
Exempel. Låt oss plotta y = arccos
Du kan inkludera följande övningar i dina läxor: bygga grafer av funktioner: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .
Grafer över inversa funktioner
Lektion nr 3 (2 timmar) Ämne:
Operationer på inversa trigonometriska funktioner.Mål: att utöka matematiska kunskaper (detta är viktigt för de som går in i specialiteter med ökade krav på matematisk träning) genom att introducera grundläggande relationer för inversa trigonometriska funktioner.
Material till lektionen.
Några enkla trigonometriska operationer på inversa trigonometriska funktioner: sin (arcsin x) = x , i xi ? 1; cos (arсcos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x)= x, xIR; ctg (arcctg x) = x , x I R.
Övningar.
a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = 
.
ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .
b) cos (+ arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Låt arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6;
cos (arcsin x) = ; sin (arccos x) = .
Notera: vi tar "+"-tecknet framför roten eftersom a = arcsin x uppfyller .
c) sin (1,5 + arcsin) Svar: ;
d) ctg ( + arctg 3).
e) tg ( – arcctg 4).
e) cos (0,5 + arccos). Svar: .
Kalkylera:
a) synd (2 arktan 5) .
Låt arctan 5 = a, sedan sin 2 a = 
eller sin (2 arctan 5) = 
;
b) cos ( + 2 båge 0,8).
c) arctg + arctg.
Låt a = arctg, b = arctg,
sedan tg(a + b) = 
.
d) sin (arcsin + arcsin).
e) Bevisa att för alla x I [-1; 1] sann båge x + bågar x = .
Bevis:
arcsin x = – arccos x
sin (arcsin x) = sin ( – arccos x)
x = cos (arccos x)
För att lösa det själv: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).
För en hemlösning: 1) sin (arcsin 0,6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin; 3) ctg ( – arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5); 5) sin (1,5 – arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 – arctg 3.
Lektion nr 4 (2 timmar) Ämne: Operationer på inversa trigonometriska funktioner.
Mål: I den här lektionen, demonstrera användningen av förhållanden för att transformera mer komplexa uttryck.
Material till lektionen.
ORALT:
a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);
b) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5);
c) sin (arctg -3), cos (arcсtg());
d) tg (arccos), ctg (arccos()).
SKRIFTLIGT:
1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).
2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arctg 0,8) + sin (arctg 5) sin (arctg 0,8) =
3) tg (- arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) = 
4) 
Självständigt arbete kommer att hjälpa till att identifiera graden av behärskning av materialet.
| 1) tg (arctg 2 – arctg) 2) cos( - arctan2) 3) arcsin + arccos |
1) cos (arcsin + arcsin) 2) synd (1,5 - arktan 3) 3) arcctg3 – arctg 2 |
För läxa vi kan föreslå:
1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tan ( arcsin )); 4) sin(2 arctg); 5) tg ( (arcsin))
Lektion nr 5 (2 timmar) Ämne: Inversa trigonometriska operationer på trigonometriska funktioner.
Mål: att bilda elevernas förståelse för inversa trigonometriska operationer på trigonometriska funktioner, med fokus på att öka förståelsen av teorin som studeras.
När man studerar detta ämne antas det att mängden teoretiskt material som ska memoreras är begränsad.
Lektionsmaterial:
Du kan börja lära dig nytt material genom att studera funktionen y = arcsin (sin x) och rita dess graf.
3. Varje xI R är associerad med yI, dvs.<= y <= такое, что sin y = sin x.
4. Funktionen är udda: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).
6. Graf y = arcsin (sin x) på:
a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .
b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо
sin y = sin ( – x) = sin x , 0<= - x <= .
Så, 
Efter att ha konstruerat y = arcsin (sin x) på fortsätter vi symmetriskt kring ursprunget på [- ; 0], med tanke på hur udda denna funktion är. Med hjälp av periodicitet fortsätter vi längs hela tallinjen.
Skriv sedan ner några relationer: arcsin (sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos a ) = a om 0<= a <= ; arctg (tg a) = a if< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .
Och gör följande övningar:a) arccos(sin 2).Svar: 2 - ; b) arcsin (cos 0,6) Svar: - 0,1; c) arctg (tg 2) Svar: 2 - ;
d) arcctg(tg 0,6).Svar: 0,9; e) arccos (cos ( - 2) Svar: 2 - ; e) arcsin (sin (-0,6)). Svar: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Svar: 2 - ; h) аrcctg (tg 0,6). Svar: - 0,6; - arctan x; e) arccos + arccos
Omvända trigonometriska funktioner- dessa är arcsine, arccosine, arctangent och arccotangent.
Låt oss först ge några definitioner.
arcsine Eller så kan vi säga att detta är en vinkel som tillhör ett segment vars sinus är lika med talet a.
bågkosinus nummer a kallas ett tal så att
Arctangens nummer a kallas ett tal så att
Arccotangent nummer a kallas ett tal så att
Låt oss prata i detalj om dessa fyra nya funktioner för oss - omvända trigonometriska.
Kom ihåg, vi har redan träffats.
Till exempel är den aritmetiska kvadratroten ur a ett icke-negativt tal vars kvadrat är lika med a.
Logaritmen för ett tal b till bas a är ett tal c så att
Samtidigt
Vi förstår varför matematiker var tvungna att "uppfinna" nya funktioner. Till exempel är lösningarna till en ekvation och Vi kunde inte skriva ner dem utan den speciella aritmetiska kvadratrotssymbolen.
Konceptet med en logaritm visade sig vara nödvändigt för att skriva ner lösningar, till exempel till en sådan ekvation: Lösningen till denna ekvation är ett irrationellt tal Detta är en exponent för den potens som 2 måste höjas till för att få 7.
Det är samma sak med trigonometriska ekvationer. Vi vill till exempel lösa ekvationen
Det är tydligt att dess lösningar motsvarar punkter på den trigonometriska cirkeln vars ordinata är lika med Och det är tydligt att detta inte är tabellvärdet för sinus. Hur skriver man ner lösningar?
Här kan vi inte klara oss utan en ny funktion, som betecknar vinkeln vars sinus är lika med ett givet tal a. Ja, alla har redan gissat. Detta är arcsine.
Vinkeln som hör till segmentet vars sinus är lika är bågen av en fjärdedel. Och detta betyder att serien av lösningar till vår ekvation som motsvarar den högra punkten på den trigonometriska cirkeln är
Och den andra serien av lösningar till vår ekvation är
Lär dig mer om att lösa trigonometriska ekvationer -.
Det återstår att ta reda på - varför indikerar definitionen av båge att detta är en vinkel som hör till segmentet?
Faktum är att det finns oändligt många vinklar vars sinus är lika med t.ex. Vi måste välja en av dem. Vi väljer den som ligger på segmentet .
Ta en titt på den trigonometriska cirkeln. Du kommer att se att på segmentet motsvarar varje vinkel ett visst sinusvärde, och endast en. Och vice versa, vilket som helst värde på sinus från segmentet motsvarar ett enda värde på vinkeln på segmentet. Det betyder att du på ett segment kan definiera en funktion som tar värden från till
Låt oss upprepa definitionen igen:
Ett tals båge är talet , sådan att
Beteckning: Bågdefinitionsområdet är ett segment. Värdeintervallet är ett segment.
Du kan komma ihåg frasen "arcsines bor till höger." Glöm bara inte att det inte bara är till höger utan också på segmentet.
Vi är redo att plotta funktionen
Som vanligt plottar vi x-värdena på den horisontella axeln och y-värdena på den vertikala axeln.
Därför att x ligger i intervallet från -1 till 1.
Detta betyder att definitionsdomänen för funktionen y = båge x är segmentet
Vi sa att y tillhör segmentet. Detta betyder att värdeintervallet för funktionen y = båge x är segmentet.
Observera att grafen för funktionen y=arcsinx passar helt inom det område som begränsas av linjerna och
Som alltid när du ritar en graf för en obekant funktion, låt oss börja med en tabell.
Per definition är nollbågen ett tal från segmentet vars sinus är lika med noll. Vad är det här för nummer? – Det är klart att det här är noll.
På liknande sätt är arcsinus för ett ett tal från segmentet vars sinus är lika med ett. Uppenbarligen detta
Vi fortsätter: - detta är ett tal från segmentet vars sinus är lika med . Ja det är det
| 0 | |||||
| 0 |
Bygga en graf över en funktion
Funktionsegenskaper
1. Definitionens omfattning
2. Värdeintervall
3., det vill säga den här funktionen är udda. Dess graf är symmetrisk om ursprunget.
4. Funktionen ökar monotont. Dess lägsta värde, lika med - , uppnås vid , och dess största värde, lika med , vid
5. Vad gör graferna för funktioner och ? Tror du inte att de är "gjorda enligt samma mönster" - precis som den högra grenen av en funktion och grafen för en funktion, eller som graferna för exponential- och logaritmiska funktioner?
Föreställ dig att vi klippte ut ett litet fragment från till till från en vanlig sinusvåg och sedan vände den vertikalt - så får vi en bågdiagram.
Vad för en funktion på detta intervall är värdena för argumentet, då för arcsine kommer det att finnas värdena för funktionen. Det är så det ska vara! När allt kommer omkring är sinus och arcsine ömsesidigt inversa funktioner. Andra exempel på par av ömsesidigt inversa funktioner är vid och , samt exponentiella och logaritmiska funktioner.
Kom ihåg att graferna för ömsesidigt inversa funktioner är symmetriska med avseende på den räta linjen
På samma sätt definierar vi funktionen. Vi behöver bara ett segment där varje vinkelvärde motsvarar sitt eget cosinusvärde, och genom att känna till cosinus kan vi hitta vinkeln på ett unikt sätt. Ett segment kommer att passa oss
Bågcosinus för ett tal är talet , sådan att
Det är lätt att komma ihåg: "arc cosines lever uppifrån", och inte bara ovanifrån, utan på segmentet
Beteckning: Bågcosinusdefinitionsintervallet är ett segment. Värdeintervallet är ett segment.
Uppenbarligen valdes segmentet eftersom varje cosinusvärde bara tas en gång. Med andra ord, varje cosinusvärde, från -1 till 1, motsvarar ett enda vinkelvärde från intervallet
Arc cosinus är varken en jämn eller udda funktion. Men vi kan använda följande uppenbara relation:
Låt oss plotta funktionen
Vi behöver en del av funktionen där den är monoton, det vill säga den tar varje värde exakt en gång.
Låt oss välja ett segment. På detta segment minskar funktionen monotont, det vill säga överensstämmelsen mellan mängderna är en-till-en. Varje x-värde har ett motsvarande y-värde. På detta segment finns en funktion invers till cosinus, det vill säga funktionen y = arccosx.
Låt oss fylla i tabellen med definitionen av bågekosinus.
Bågcosinus för ett tal x som hör till intervallet kommer att vara ett tal y som hör till intervallet så att
Detta betyder, eftersom ;
Eftersom ;
eftersom,
eftersom,
| 0 | |||||
| 0 |
Här är bågkosinusgrafen:
Funktionsegenskaper
1. Definitionens omfattning
2. Värdeintervall
Denna funktion är av allmän form - den är varken jämn eller udda.
4. Funktionen minskar strikt. Funktionen y = arccosx tar sitt största värde, lika med , at , och dess minsta värde, lika med noll, tar vid
5. Funktionerna och är ömsesidigt inversa.
De nästa är arctangent och arccotangent.
Arktangensen för ett tal är talet , sådan att
Beteckning: . Området för definitionen av arctangens är intervallet. Arean av värden är intervallet.
Varför är ändarna av intervallet - punkter - uteslutna i definitionen av arctangens? Naturligtvis eftersom tangenten vid dessa punkter inte är definierad. Det finns inget tal a lika med tangenten för någon av dessa vinklar.
Låt oss bygga en graf över arctangensen. Enligt definitionen är arctangensen för ett tal x ett tal y som hör till intervallet så att
Hur man bygger en graf är redan klart. Eftersom arctangens är den inversa funktionen av tangent går vi tillväga enligt följande:
Vi väljer ett avsnitt av grafen för funktionen där överensstämmelsen mellan x och y är en-till-en. Detta är intervallet C. I det här avsnittet tar funktionen värden från till
Då har den inversa funktionen, det vill säga funktionen, en definitionsdomän som kommer att vara hela tallinjen, från till, och värdeintervallet kommer att vara intervallet
Medel,
Medel,
Medel,
Men vad händer för oändligt stora värden på x? Med andra ord, hur beter sig denna funktion då x tenderar till plus oändlighet?
Vi kan ställa oss frågan: för vilket tal i intervallet tenderar tangentvärdet till oändlighet? - Uppenbarligen det här
Detta betyder att för oändligt stora värden på x, närmar sig arktangensgrafen den horisontella asymptoten
På liknande sätt, om x närmar sig minus oändlighet, närmar sig arktangensgrafen den horisontella asymptoten
Figuren visar en graf över funktionen
Funktionsegenskaper
1. Definitionens omfattning
2. Värdeintervall
3. Funktionen är udda.
4. Funktionen ökar strängt.
6. Fungerar och är ömsesidigt inversa - naturligtvis när funktionen beaktas på intervallet
På liknande sätt definierar vi den inversa tangentfunktionen och plottar dess graf.
Arcotangensen för ett tal är talet , sådan att
Funktionsdiagram:
Funktionsegenskaper
1. Definitionens omfattning
2. Värdeintervall
3. Funktionen är av allmän form, det vill säga varken jämn eller udda.
4. Funktionen minskar strikt.
5. Direkta och horisontella asymptoter för denna funktion.
6. Funktionerna och är ömsesidigt inversa om de beaktas på intervallet
Omvända trigonometriska funktioner(cirkulära funktioner, bågfunktioner) - matematiska funktioner som är inversa till trigonometriska funktioner.
Dessa inkluderar vanligtvis 6 funktioner:
- arcsine(beteckning: båge x; båge x- det här är vinkeln synd som är lika med x),
- arccosine(beteckning: arccos x; arccos xär den vinkel vars cosinus är lika med x och så vidare),
- arctangens(beteckning: arctan x eller arctan x),
- arccotangens(beteckning: arcctg x eller arccot x eller arccotan x),
- ljusbågande(beteckning: arcsec x),
- arccosecant(beteckning: arccosec x eller arccsc x).
arcsine (y = båge x) - invers funktion till synd (x = sin y 
. Med andra ord, returnerar vinkeln med dess värde synd.
bågkosinus (y = arccos x) - invers funktion till cos (x = cos y cos.
Arctangens (y = arktan x) - invers funktion till tg (x = brun y), som har en definitionsdomän och en uppsättning värden 
. Med andra ord, returnerar vinkeln med dess värde tg.
Arccotangent (y = arcctg x) - invers funktion till ctg (x = stuga y), som har en definitionsdomän och en uppsättning värden. Med andra ord, returnerar vinkeln med dess värde ctg.
arcsec- arcscant, returnerar vinkeln enligt värdet på dess sekant.
arccosec- arccosecant, returnerar en vinkel baserat på värdet av dess cosecant.
När den inversa trigonometriska funktionen inte är definierad vid en angiven punkt, kommer dess värde inte att visas i sluttabellen. Funktioner arcsec Och arccosec bestäms inte på segmentet (-1,1), men arcsin Och arccos bestäms endast på intervallet [-1,1].
Namnet på den inversa trigonometriska funktionen bildas från namnet på motsvarande trigonometriska funktion genom att lägga till prefixet "båge-" (från lat. båge oss- båge). Detta beror på det faktum att geometriskt sett är värdet på den inversa trigonometriska funktionen associerat med längden på bågen av enhetscirkeln (eller vinkeln som underordnar denna båge), vilket motsvarar ett eller annat segment.
Ibland i utländsk litteratur, såväl som i vetenskapliga/tekniska miniräknare, använder de notationer som synd −1, cos−1 för arcsine, arccosine och liknande anses detta inte vara helt korrekt, eftersom det finns sannolikt förväxling med att höja en funktion till en makt −1 (« −1 » (minus första potensen) definierar funktionen x = f -1 (y), inversen av funktionen y = f(x)).
Grundläggande samband mellan inversa trigonometriska funktioner.
Här är det viktigt att vara uppmärksam på de intervaller som formlerna är giltiga för.
Formler som relaterar inversa trigonometriska funktioner.
Låt oss beteckna något av värdena för inversa trigonometriska funktioner med Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot x och behåll notationen: båge x, arcos x, arctan x, arccot x för deras huvudsakliga värden, så uttrycks sambandet mellan dem genom sådana relationer.
Lektion 32-33. Omvända trigonometriska funktioner
09.07.2015 8936 0Mål: överväga inversa trigonometriska funktioner och deras användning för att skriva lösningar till trigonometriska ekvationer.
I. Kommunicera ämnet och syftet med lektionerna
II. Att lära sig nytt material
1. Omvända trigonometriska funktioner
Låt oss börja vår diskussion om detta ämne med följande exempel.
Exempel 1
Låt oss lösa ekvationen: a) sin x = 1/2; b) sin x = a.
a) På ordinataaxeln plottar vi värdet 1/2 och konstruerar vinklarna x 1 och x2, för vilket synd x = 1/2. I detta fall x1 + x2 = π, varav x2 = π – x 1 . Med hjälp av värdetabellen för trigonometriska funktioner hittar vi värdet x1 = π/6, sedan
Låt oss ta hänsyn till sinusfunktionens periodicitet och skriva ner lösningarna till denna ekvation:
där k ∈ Z.
b) Uppenbarligen algoritmen för att lösa ekvationen synd x = a är samma som i föregående stycke. Naturligtvis är nu värdet a ritat längs ordinataaxeln. Det finns ett behov av att på något sätt beteckna vinkeln x1. Vi kom överens om att beteckna denna vinkel med symbolen arcsin A. Sedan kan lösningarna till denna ekvation skrivas i formenDessa två formler kan kombineras till en: samtidigt 
De återstående inversa trigonometriska funktionerna introduceras på liknande sätt.
Mycket ofta är det nödvändigt att bestämma storleken på en vinkel från det kända värdet av dess trigonometriska funktion. Ett sådant problem är flervärdigt - det finns otaliga vinklar vars trigonometriska funktioner är lika med samma värde. Därför, baserat på monotoniteten hos trigonometriska funktioner, introduceras följande inversa trigonometriska funktioner för att unikt bestämma vinklar.
Arcsinus för talet a (arcsin , vars sinus är lika med a, dvs.
Arc cosinus av ett tal a(arccos a) är en vinkel a från intervallet vars cosinus är lika med a, dvs.
Arktangens av ett nummer a(arctg a) - en sådan vinkel a från intervalletvars tangent är lika med a, dvs.
tg a = a.
Arcotangens av ett nummer a(arcctg a) är en vinkel a från intervallet (0; π), vars cotangens är lika med a, dvs. ctg a = a.
Exempel 2
Låt oss hitta:
Med hänsyn till definitionerna av inversa trigonometriska funktioner får vi:
Exempel 3
Låt oss räkna 
Låt vinkeln a = arcsin 3/5, då per definition sin a = 3/5 och . Därför måste vi hitta cos A. Med hjälp av den grundläggande trigonometriska identiteten får vi:
Det tas med i beräkningen att cos a ≥ 0. Så, 
Funktionsegenskaper | Fungera |
|||
y = båge x | y = arccos x | y = arktan x | y = arcctg x |
|
Definitionsdomän | x ∈ [-1; 1] | x ∈ [-1; 1] | x ∈ (-∞; +∞) | x ∈ (-∞ +∞) |
Värdeintervall | y ∈ [-π/2; π /2 ] | y ∈ | y ∈ (-π/2 ; π /2 ) | y ∈ (0; π) |
Paritet | Udda | Varken jämnt eller udda | Udda | Varken jämnt eller udda |
Funktionsnollor (y = 0) | Vid x = 0 | Vid x = 1 | Vid x = 0 | y ≠ 0 |
Intervaller för teckenkonstans | y > 0 för x ∈ (0; 1], på< 0 при х ∈ [-1; 0) | y > 0 för x ∈ [-1; 1) | y > 0 för x ∈ (0; +∞), på< 0 при х ∈ (-∞; 0) | y > 0 för x ∈ (-∞; +∞) |
Monoton | Ökande | Fallande | Ökande | Fallande |
Relation till den trigonometriska funktionen | sin y = x | eftersom y = x | tg y = x | ctg y = x |
Schema | ||||
Låt oss ge ett antal mer typiska exempel relaterade till definitioner och grundläggande egenskaper för inversa trigonometriska funktioner.
Exempel 4
Låt oss hitta definitionsdomänen för funktionen
För att funktionen y ska definieras är det nödvändigt att tillfredsställa ojämlikheten
vilket är likvärdigt med systemet med ojämlikheter
Lösningen på den första olikheten är intervallet x∈
(-∞; +∞), andra - Denna lucka och är en lösning på systemet av ojämlikheter, och därför definitionsdomänen för funktionen
Exempel 5
Låt oss hitta området för ändring av funktionen
Låt oss överväga funktionens beteende z = 2x - x2 (se bild).
Det är tydligt att z ∈ (-∞; 1]. Med tanke på att argumentet z bågcotangensfunktionen ändras inom de angivna gränserna, från tabelldata får vi det
Alltså området för förändring
Exempel 6
Låt oss bevisa att funktionen y = arctg x udda. Låta
Sedan tg a = -x eller x = - tg a = tg (- a), och 
Därför, - a = arctg x eller a = - arctg X. Det ser vi alltsådvs y(x) är en udda funktion.
Exempel 7
Låt oss uttrycka genom alla inversa trigonometriska funktioner
Låta 
Det är uppenbart att 
Sedan sedan
Låt oss presentera vinkeln 
Därför att 
Att 
Likaså därför 
Och 
Så,
Exempel 8
Låt oss bygga en graf av funktionen y = cos(arcsin x).
Låt oss då beteckna a = båge x 
Låt oss ta hänsyn till att x = sin a och y = cos a, dvs x 2 + y2 = 1, och begränsningar för x (x∈
[-1; 1]) och y (y > 0). Då grafen för funktionen y = cos(arcsin x) är en halvcirkel.
Exempel 9
Låt oss bygga en graf av funktionen y = arccos (cos x ).
Eftersom cos-funktionen x förändringar på intervallet [-1; 1], så definieras funktionen y på hela den numeriska axeln och varierar på segmentet . Låt oss komma ihåg att y = arccos(cosx) = x på segmentet; funktionen y är jämn och periodisk med period 2π. Med tanke på att funktionen har dessa egenskaper för x Nu är det enkelt att skapa en graf.
Låt oss notera några användbara likheter:
Exempel 10
Låt oss hitta de minsta och största värdena för funktionen Låt oss beteckna 
Sedan 
Låt oss ta funktionen 
Denna funktion har ett minimum vid punkten z = π/4, och det är lika med 
Funktionens största värde uppnås vid punkten z = -π/2, och det är lika 
Alltså och
Exempel 11
Låt oss lösa ekvationen
Låt oss ta hänsyn till det 
Då ser ekvationen ut så här:
eller 
där Per definition av arctangens får vi:
2. Lösa enkla trigonometriska ekvationer
I likhet med exempel 1 kan du få lösningar på de enklaste trigonometriska ekvationerna.
Ekvation | Lösning |
tgx = a | |
ctg x = a |
Exempel 12
Låt oss lösa ekvationen 
Eftersom sinusfunktionen är udda skriver vi ekvationen i formen
Lösningar på denna ekvation:
var hittar vi det ifrån? 
Exempel 13
Låt oss lösa ekvationen 
Med hjälp av den givna formeln skriver vi ner lösningarna till ekvationen:
och vi hittar 
Observera att i speciella fall (a = 0; ±1) vid lösning av ekvationerna sin x = a och cos x = och det är enklare och bekvämare att inte använda allmänna formler, utan att skriva ner lösningar baserade på enhetscirkeln:
för ekvationen sin x = 1 lösning
för ekvationen sin x = 0 lösningar x = π k;
för ekvationen sin x = -1 lösning 
för cos-ekvationen x = 1 lösning x = 2π k;
för ekvationen cos x = 0 lösningar
för ekvationen cos x = -1 lösning 
Exempel 14
Låt oss lösa ekvationen 
Eftersom det i detta exempel finns ett specialfall av ekvationen, kommer vi att skriva lösningen med hjälp av lämplig formel:
var kan vi hitta det ifrån? 
III. Kontrollfrågor (frontal undersökning)
1. Definiera och lista huvudegenskaperna för inversa trigonometriska funktioner.
2. Ge grafer över inversa trigonometriska funktioner.
3. Lösa enkla trigonometriska ekvationer.
IV. Lektionsuppgift
15 § nr 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12 (b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;
16 § nr 4 (a, b); 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);
17 § nr 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).
V. Läxor
15 § nr 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (g); 16 (b); 18 (c, d); 19 (g); 22;
16 § nr 4 (c, d); 7(b); 8(a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);
17 § nr 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (g); 10 (b, d).
VI. Kreativa uppgifter
1. Hitta funktionens domän:
Svar:
2. Hitta räckvidden för funktionen:
Svar:
3. Rita funktionen:
VII. Sammanfattning av lektionerna
Inversa trigonometriska funktioner är matematiska funktioner som är inversen av trigonometriska funktioner.
Funktion y=arcsin(x)
Arcsinus för ett tal α är ett tal α från intervallet [-π/2;π/2] vars sinus är lika med α.
Graf över en funktion
Funktionen у= sin(x) på intervallet [-π/2;π/2], är strikt ökande och kontinuerlig; därför har den en omvänd funktion, strikt ökande och kontinuerlig.
Den inversa funktionen för funktionen y= sin(x), där x ∈[-π/2;π/2], kallas arcsin och betecknas y=arcsin(x), där x∈[-1;1 ].
Så, enligt definitionen av den inversa funktionen, är definitionsdomänen för bågen segmentet [-1;1], och uppsättningen värden är segmentet [-π/2;π/2].
Observera att grafen för funktionen y=arcsin(x), där x ∈[-1;1], är symmetrisk med grafen för funktionen y= sin(x), där x∈[-π/2;π /2], med avseende på halveringslinjen för koordinatvinklarna första och tredje fjärdedelen.
Funktionsområde y=arcsin(x).
Exempel nr 1.
Hitta arcsin(1/2)?
Eftersom värdeintervallet för funktionen arcsin(x) tillhör intervallet [-π/2;π/2], är därför endast värdet π/6 lämpligt. Därför är arcsin(1/2) =π/. 6.
Svar:π/6
Exempel nr 2.
Hitta arcsin(-(√3)/2)?
Eftersom intervallet av värden arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], så är bara värdet -π/3 lämpligt. Därför är arcsin(-(√3)/2) =- π /3.
Funktion y=arccos(x)
Bågcosinus för ett tal α är ett tal α från intervallet vars cosinus är lika med α.
Graf över en funktion
Funktionen y= cos(x) på segmentet är strikt avtagande och kontinuerlig; därför har den en omvänd funktion, strikt avtagande och kontinuerlig.
Den inversa funktionen för funktionen y= cosx, där x ∈, anropas bågkosinus och betecknas med y=arccos(x), där x ∈[-1;1].
Så, enligt definitionen av den inversa funktionen, är definitionsdomänen för bågcosinus segmentet [-1;1], och uppsättningen värden är segmentet.
Observera att grafen för funktionen y=arccos(x), där x ∈[-1;1] är symmetrisk med grafen för funktionen y= cos(x), där x ∈, med avseende på bisektrisen av koordinatvinklar för första och tredje kvartalet.
Funktionsområde y=arccos(x).
Exempel nr 3.
Hitta arccos(1/2)?
Eftersom intervallet för värden är arccos(x) x∈, så är bara värdet π/3 lämpligt. Därför är arccos(1/2) =π/3.
Exempel nr 4.
Hitta arccos(-(√2)/2)?
Eftersom värdeintervallet för funktionen arccos(x) tillhör intervallet, är därför endast värdet 3π/4 lämpligt. Därför är arccos(-(√2)/2) = 3π/4.
Svar: 3π/4
Funktion y=arctg(x)
Arktangensen för ett tal α är ett tal α från intervallet [-π/2;π/2] vars tangent är lika med α.
Graf över en funktion 
Tangentfunktionen är kontinuerlig och strikt ökande på intervallet (-π/2;π/2); därför har den en omvänd funktion som är kontinuerlig och strikt ökande.
Den inversa funktionen för funktionen y= tan(x), där x∈(-π/2;π/2); kallas arctangens och betecknas med y=arctg(x), där x∈R.
Så, enligt definitionen av den inversa funktionen, är definitionsdomänen för arctangens intervallet (-∞;+∞), och uppsättningen värden är intervallet
(-π/2; π/2).
Observera att grafen för funktionen y=arctg(x), där x∈R, är symmetrisk med grafen för funktionen y=tanx, där x ∈ (-π/2;π/2), i förhållande till bisektris av koordinatvinklarna för den första och tredje fjärdedelen.
Området för funktionen y=arctg(x).
Exempel nr 5?
Hitta arctan((√3)/3).
Eftersom intervallet av värden arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), är därför endast värdet π/6 lämpligt. Därför är arctg((√3)/3) =π/6.
Exempel nr 6.
Hitta arctg(-1)?
Eftersom intervallet av värden arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), är därför endast värdet -π/4 lämpligt. Därför är arctg(-1) = - π/4.
Funktion y=arcctg(x)
Bågcotangensen för ett tal α är ett tal α från intervallet (0;π) vars cotangens är lika med α.
Graf över en funktion
På intervallet (0;π) minskar cotangensfunktionen strikt; dessutom är den kontinuerlig vid varje punkt i detta intervall; därför, på intervallet (0;π), har denna funktion en invers funktion, som är strikt avtagande och kontinuerlig.
Den inversa funktionen för funktionen y=ctg(x), där x ∈(0;π), kallas arccotangent och betecknas y=arcctg(x), där x∈R.
Så, enligt definitionen av den inversa funktionen, kommer definitionsdomänen för arccotangenten att vara R, och uppsättningen värden kommer att vara intervallet (0;π Grafen för funktionen y=arcctg(x). , där x∈R är symmetrisk med grafen för funktionen y=ctg(x) x∈(0 ;π), relativt bisektrisen för koordinatvinklarna för den första och tredje fjärdedelen.
Funktionsområde y=arcctg(x).
Exempel nr 7.
Hitta arcctg((√3)/3)?
Eftersom intervallet av värden arcctg(x) x ∈(0;π), så är bara värdet π/3 lämpligt därför arccos((√3)/3) =π/3.
Exempel nr 8.
Hitta arcctg(-(√3)/3)?
Eftersom intervallet för värden är arcctg(x) x∈(0;π), är endast värdet 2π/3 lämpligt. Därför är arccos(-(√3)/3) = 2π/3.
Redaktörer: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna
