Undervisning utan tvång

(En guide till matematikens fascinerande värld)

Matematik måste då läras ut, för det sätter ordning på sinnet. (M.V. Lomonosov)

Så hur lär man ut matematik?

Denna fråga intresserar många.

Det första steget är att eliminera luckorna från det förflutna. Om du missade (inte förstod, inte studerade i princip, etc.) något ämne, förr eller senare kommer du definitivt att kliva på denna rake. Med ett klassiskt resultat... Det är så matematik fungerar.

Oavsett om du studerar nytt ämne, eller upprepa den gamla - behärska matematiska definitioner och termer! Observera att jag inte säger "lär dig", utan jag säger "mästare". Det här är olika saker. Du måste till exempel förstå vad en nämnare, diskriminant eller arcsine är på en enkel, till och med primitiv nivå. Vad är det, varför behövs det och hur man hanterar det. Livet kommer att bli lättare.

Om jag frågar dig hur man använder en enhet för att korsa täta, begränsade miljöer, blir du obekväm med att svara, eller hur? Och om du förstår att just den här enheten är en vanlig dörr? Egentligen är det på något sätt roligare.

Och vi måste förstås bestämma oss. Om du inte vet hur du ska bestämma dig är det okej. Du måste försöka bestämma dig, försök. Alla misslyckades en gång. Men de som försökte och försökte, även om felaktigt, med misstag, vet nu hur de ska lösa. Och de som inte försökte, inte studerade, lärde sig aldrig.

Här är tre komponenter i svaret på frågan: "Hur lär man sig matematik?" Eliminera luckor, behärska termer på en begriplig nivå och lös problem på ett meningsfullt sätt.

Om matematik verkar för dig som en djungel av några regler, formler, uttryck som är omöjliga att navigera i, då ska jag trösta dig. Det finns stigar och ledstjärnor där! Du kommer att bosätta dig, vänja dig vid det och börja beundra dessa vilda...

Matematik i skolans kurs löser inte komplexa exempel eftersom han inte vet hur. Hon kan lösa något som 5x = 10 mycket bra, andragradsekvation genom diskriminanten, och samma enkla från trigonometri, logaritmer, etc. Och all kraft i matematiken syftar till att förenkla komplexa uttryck. Det är just därför som regler och formler för olika transformationer behövs. De tillåter oss att skriva det ursprungliga uttrycket i en annan form som är bekväm för oss, utan att ändra dess väsen.

"Matematik är konsten att kalla olika saker vid samma namn." (A. Poincare)

Till exempel, 8 = 6 + 2 = 2 = = log 6561 = 32: 4. Allt detta är samma nummer 8! Endast inspelad i en mängd olika former. Vilken typ vi ska välja är upp till oss! Överensstämmer med uppgiften och sunt förnuft.

Det främsta ledstjärnan i matematik är förmågan att omvandla uttryck. Nästan varje lösning börjar med att transformera det ursprungliga uttrycket. Med hjälp av regler och formler, som inte alls är så tokiga som man tror.

Vi säger ofta, "Alla formler fungerar från vänster till höger och från höger till vänster." Låt oss säga, (a + b) nästan alla kommer att skriva det som a + 2ab + b. Men inte alla kommer (tyvärr) att inse att x + 2x + 1 kan skrivas som (x + 1) . Men det här är vad du behöver för att kunna göra! Du måste kunna formlerna genom synen! Kunna känna igen dem i uttryck krypterade av listiga lärare, identifiera delar av formler och, om nödvändigt, föra dem till kompletta sådana.

Att konvertera uttryck är lite krångligt i början. Kräver arbete. I det inledande skedet måste du kontrollera, där det är möjligt, riktigheten av den omvända omvandlingen. När du har faktoriserat dem, multiplicera dem tillbaka och ge liknande. Vi fick det ursprungliga uttrycket - hurra! När du har hittat rötterna till ekvationen, ersätter du den med det ursprungliga uttrycket. Titta vad som hände. Och så vidare.

Så jag inbjuder dig till fantastisk värld matematik. Låt oss börja vår resa med att bekanta oss med bråk, eftersom detta kanske är den mest utsatta platsen för de flesta skolbarn.

Lycka till!

Lektion 1.

Typer av bråk. Transformationer.

Den som kan bråk är stark och modig i matematik!

Det finns tre typer av bråk.

1. Vanliga bråk , Till exempel: , , , .

Ibland sätter de ett snedstreck istället för en horisontell linje: 1/2, 3/7, 19/5. Stapeln, både horisontell (vinculium) och sned (solidus), betyder samma operation: att dividera det övre talet (täljaren) med det undre talet (nämnaren). Det är allt! Istället för en linje är det fullt möjligt att sätta ett divisionstecken - två punkter. 1/2 = 1:2.

När fullständig uppdelning är möjlig måste detta göras. Så istället för bråket 32/8 är det mycket trevligare att skriva siffran 4. Dvs. 32 delas helt enkelt med 8. 32/8 = 32: 8 = 4. Jag pratar inte ens om bråket 4/1, som också är lika med 4. Och om det inte är delbart med en helhet, lämnar vi det som en bråkdel. Ibland måste du göra den motsatta operationen. Konvertera ett heltal till ett bråktal. Men mer om det senare.

2. Decimaler till exempel: 0,5; 3,28; 0,543; 23.32.

3. Blandade siffror , Till exempel: , , , .

Blandade siffror används praktiskt taget inte i gymnasiet. För att kunna arbeta med dem måste de omvandlas till vanliga bråk. Men du måste definitivt kunna göra detta! Annars kommer du att stöta på ett sådant nummer i ett problem och frysa... Från ingenstans. Men vi kommer ihåg denna procedur!

De mest mångsidiga är vanliga fraktioner. Låt oss börja med dem. Förresten, om ett bråk innehåller alla möjliga logaritmer, sinus och andra bokstäver så förändrar detta ingenting. I den meningen att alla handlingar med bråkuttryck inte skiljer sig från handlingar med vanliga bråktal!

Så gå vidare! Hela variationen av fraktionstransformationer tillhandahålls av en enda egenskap! Det är vad det heter huvudegenskapen hos en bråkdel. Kom ihåg: om täljaren och nämnaren för ett bråk multipliceras (divideras) med samma tal, ändras inte bråket. De där:

Behöver vi det, alla dessa förvandlingar? - du frågar. Och hur! Nu ska du se själv. Låt oss först använda den grundläggande egenskapen för bråk för att reducera bråk. Det verkar vara en elementär sak. Dividera täljaren och nämnaren med samma tal och det är allt! Det är omöjligt att göra ett misstag! Men... människan är en kreativ varelse. Du kan göra ett misstag var som helst! Speciellt om du inte måste reducera en bråkdel av formen 5/10, utan ett bråkdelar rationellt uttryck.

Vanligtvis tänker en elev inte på att dividera täljaren och nämnaren med samma tal (eller uttryck)! Han stryker helt enkelt över allt som är lika ovan och under! Det är här det lurar typiskt misstag, en blooper, om du så vill.

Till exempel måste du förenkla uttrycket: .

Vad gör vi? Stryk över faktorn a ovan och graden under! Vi får: .

Allt är korrekt. Men egentligen delade ni er hela täljaren Och hela nämnaren på multiplikator a. Om du är van vid att bara stryka över, då kan du i all hast stryka över bokstaven a i uttrycket och få igen. Vad skulle vara kategoriskt fel: ett oförlåtligt misstag. För här hela täljaren på och redan inte delad! Denna andel kan inte reduceras.

Vid förkortning ska man dela upp hela täljaren och hela nämnaren!

Att reducera bråk gör livet mycket enklare. Du får en bråkdel någonstans, till exempel 375/1000. Hur kan jag fortsätta jobba med henne nu? Utan en miniräknare? Multiplicera, säg, addera, kvadrat!? Och om du inte är för lat och försiktigt skär ner den med fem, och med ytterligare fem, och till och med... medan den reduceras. Låt oss få 3/8! Mycket trevligare, eller hur?

Den grundläggande egenskapen för bråk låter dig konvertera bråk till decimaler och vice versa, utan en miniräknare! Detta är viktigt i DH, eller hur?

Med decimalbråk är allt enkelt. Som det hörs, så är det skrivet! Låt oss säga 0,25. Detta är noll komma tjugofem hundradelar. Så vi skriver: 25/100. Vi reducerar (vi dividerar täljaren och nämnaren med 25), vi får ett vanligt bråktal: 1/4. Allt. Det händer, och ingenting minskar. Till exempel 0,3. Detta är tre tiondelar, d.v.s. 3/10.

Vad händer om heltal inte är noll? Det är ok. Vi skriver hela bråket utan kommatecken i täljaren, och i nämnaren - det som hörs. Till exempel: 3.17. Detta är tre komma sjutton hundradelar. Vi skriver 317 i täljaren och 100 i nämnaren. Vi får 317/100. Ingenting reduceras, det betyder allt. Detta är svaret. Av allt som har sagts, en användbar slutsats: Vilken decimalbråk som helst kan omvandlas till en vanlig bråkdel.

Men vissa människor kan inte göra omvänd konvertering från vanlig till decimal utan en miniräknare. Och det är nödvändigt! Hur ska du skriva ner svaret!? Läs noga och bemästra denna process.

Vad kännetecknar ett decimaltal? Dess nämnare är alltid 10, eller 100, eller 1000, eller 10000, och så vidare. Om din bråkdel har denna nämnare är det inga problem. Till exempel, 4/10 = 0,4. Eller 7/100 = 0,07. Eller 12/10 = 1,2. Tänk om lösningen resulterade i 1/2? Och svaret måste skrivas med decimaler...

Låt oss komma ihåg huvudegenskapen hos en bråkdel! Matematik låter dig fördelaktigt multiplicera täljaren och nämnaren med samma tal. Vad som helst, förresten! Förutom noll förstås. Så låt oss använda denna fastighet till vår fördel! Vad kan nämnaren multipliceras med, d.v.s. 2 så att det blir 10, eller 100, eller 1000 (mindre är bättre förstås...)? Vid 5, så klart. Multiplicera gärna nämnaren med 5. Men då måste täljaren också multipliceras med 5. Vi får 1/2 = 0,5. Det är allt.

Däremot kan nämnarna vara olika. Till exempel bråket 3/16. Sedan kan du helt enkelt dividera 3 med 16. I avsaknad av en miniräknare måste du dividera med ett hörn, som de lärde ut i grundskolan. Vi får 0,1875.

Och det finns också väldigt dåliga nämnare. Det finns till exempel inget sätt att förvandla bråket 1/3 till en bra decimal. Både på räknaren och vid division med ett hörn får vi 0,3333333... Därav en annan användbar slutsats. Inte varje bråktal konverteras till en decimal!

Så vi räknade ut vanliga bråk och decimalbråk. Allt som återstår är att ta itu med blandade siffror. För att arbeta med dem måste de omvandlas till vanliga bråk. Hur man gör det? Du kan fånga en femteklassare och fråga honom. Men en femteklassare kommer inte alltid att vara i närheten... Du måste göra det själv. Det är inte svårt. Du måste multiplicera nämnaren för bråkdelen med hela delen och lägga till täljaren för bråkdelen. Detta kommer att vara täljaren för det vanliga bråket. Hur är det med nämnaren? Nämnaren förblir densamma. Det låter komplicerat, men i verkligheten är allt enkelt. Låt oss titta på ett exempel.

Anta att du såg ett nummer i problemet med skräck:

Vi resonerar lugnt, utan panik. Hela delen är 1. Enhet. Bråkdelen är 3/7. Därför är nämnaren för bråkdelen 7. Denna nämnare kommer att vara nämnaren för det vanliga bråket. Vi räknar: täljare. Vi multiplicerar 7 med 1 (heltalsdelen) och adderar 3 (täljaren för bråkdelen). Vi får 10. Detta kommer att vara täljaren för ett vanligt bråk. Det är allt. Det ser ännu enklare ut i matematisk notation:

Lätt? Säkra sedan din framgång! Konvertera dessa blandade tal , , till vanliga bråk. Du bör få 10/3, 23/10 och 21/4.

Tja, det är praktiskt taget allt. Du kom ihåg typerna av bråk och förstod hur du konverterar dem från en typ till en annan. Frågan kvarstår: varför gör man detta? Var och när ska man tillämpa denna djupa kunskap?

Varje exempel i sig föreslår nödvändiga åtgärder. Om i exemplet vanliga bråk, decimaler och till och med blandade tal blandas ihop, omvandlar vi allt till vanliga bråk. Det går alltid att göra. Tja, om det till exempel skrivs 0,8 + 0,3, så räknar vi det så, utan någon översättning. Varför behöver vi extraarbete? Vi väljer lösningsvägen vilket är bekvämt för oss!

Om uppgiften är helt decimaler, men um... några läskiga, gå till vanliga, prova dem! Kanske löser sig allt. Till exempel måste du kvadrera talet 0,125. Det är inte så lätt om du inte har vant dig vid att använda en miniräknare! Du måste inte bara multiplicera siffror i en kolumn, du måste också tänka på var du ska infoga kommatecken! Det kommer definitivt inte att fungera i ditt huvud! Vad händer om vi går vidare till en vanlig bråkdel? 0,125 = 125/1000. Vi minskar det med 5 (detta är till att börja med). Vi får 25/200. Återigen vid 5. Vi får 5/40. Fortfarande krymper! Tillbaka till 5! Vi får 1/8. Vi kan lätt kvadrera det (i våra sinnen!) och få 1/64. Allt!

Låt oss sammanfatta vår lektion.

1. Det finns tre typer av bråk: vanliga tal, decimaltal och blandade tal.

2. Decimaler och blandade tal kan alltid konverteras till bråk. Omvänd översättning är inte alltid möjlig.

3. Valet av typ av bråk att arbeta med en uppgift beror på själva uppgiften. I närvaro av olika typer bråk i en uppgift är det mest pålitliga att gå vidare till vanliga bråk.

Praktiskt råd:

1. Det viktigaste när man arbetar med bråkuttryck är noggrannhet och uppmärksamhet! Är inte vanliga ord, inte bra önskningar! Detta är en trängande nödvändighet! Det är bättre att skriva två extra rader i ett utkast än att göra ett misstag när du räknar i huvudet.

2. I exempel med olika typer av bråk går vi vidare till vanliga bråk.

3. Vi minskar alla fraktioner tills de stannar.

4. Vi reducerar bråkuttryck på flera nivåer till vanliga uttryck med hjälp av division genom två punkter (vi följer divisionsordningen!).

5. Dela en enhet med en bråkdel i ditt huvud, vänd helt enkelt på bråket.

Försök nu att omsätta teorin i praktiken.

Så låt oss lösa det i examensläge! Vi löser exemplet, kollar det, löser nästa. Vi bestämde allt - vi kollade igen från första till sista exemplet. Och först då titta på svaren.

Bestämt? Vi letar efter svar som matchar dina. Svaren är nedskrivna i ordning, borta från frestelser så att säga...

0; 17/22; 3; 1; 3/4; 14; -5/4; 17/12; 1/3; 5; 2/5; 25.

Nu drar vi slutsatser. Om allt löste sig är jag glad för din skull! Grundläggande beräkningar med bråk - inte ditt problem! Du kan göra mer seriösa saker. Om inte... Tålamod och arbete kommer att mala ner allt.

Bråk

Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För dem som är väldigt "inte särskilt..."
Och för dem som "mycket...")

Bråk är inte mycket till besvär i gymnasiet. För närvarande. Tills du stöter på grader med rationella indikatorer ja logaritmer. Och där... Du trycker och trycker på räknaren, och den visar en fullständig visning av vissa siffror. Man måste tänka med huvudet som i tredje klass.

Låt oss äntligen räkna ut bråk! Tja, hur mycket kan man bli förvirrad i dem!? Dessutom är det hela enkelt och logiskt. Så, vilka typer av bråk finns det?

Typer av bråk. Transformationer.

Det finns tre typer av bråk.

1. Vanliga bråk , Till exempel:

Ibland sätter de ett snedstreck istället för en horisontell linje: 1/2, 3/4, 19/5, ja, och så vidare. Här kommer vi ofta att använda denna stavning. Det översta numret kallas täljare, lägre - nämnare. Om du ständigt förväxlar dessa namn (det händer...), säg till dig själv frasen: " Zzzzz kom ihåg! Zzzzz nämnare - titta zzzzz eh!" Titta, allt kommer att bli zzzz ihågkommen.)

Strecket, antingen horisontellt eller lutande, betyder division det övre numret (täljaren) till det nedre (nämnaren). Det är allt! Istället för ett streck är det fullt möjligt att sätta ett divisionstecken - två punkter.

När fullständig uppdelning är möjlig måste detta göras. Så istället för bråket "32/8" är det mycket trevligare att skriva siffran "4". De där. 32 delas helt enkelt med 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Jag pratar inte ens om bråkdelen "4/1". Vilket också bara är "4". Och om det inte är helt delbart lämnar vi det som en bråkdel. Ibland måste du göra den motsatta operationen. Konvertera ett heltal till ett bråktal. Men mer om det senare.

2. Decimaler , Till exempel:

Det är i detta formulär som du kommer att behöva skriva ner svaren på uppgifter "B".

3. Blandade siffror , Till exempel:

Mest mångsidig vanliga bråk. Låt oss börja med dem. Förresten, om ett bråk innehåller alla möjliga logaritmer, sinus och andra bokstäver så förändrar det ingenting. I den meningen att allt handlingar med bråkuttryck skiljer sig inte från handlingar med vanliga bråk!

Huvudegenskapen för en bråkdel.

Låt oss gå! Till att börja med kommer jag att överraska dig. Hela variationen av fraktionstransformationer tillhandahålls av en enda egenskap! Det är vad det heter huvudegenskapen hos en bråkdel. Kom ihåg: Om täljaren och nämnaren för ett bråk multipliceras (divideras) med samma tal, ändras inte bråket. De där:

Det är klart att man kan fortsätta skriva tills man är blå i ansiktet. Låt inte sinus och logaritmer förvirra dig, vi kommer att ta itu med dem ytterligare. Det viktigaste är att förstå att alla dessa olika uttryck är samma bråkdel . 2/3.

Behöver vi det, alla dessa förvandlingar? Och hur! Nu ska du se själv. Till att börja med, låt oss använda den grundläggande egenskapen för en bråkdel för reducerande fraktioner. Det verkar vara en elementär sak. Dividera täljaren och nämnaren med samma tal och det är allt! Det är omöjligt att göra ett misstag! Men... människan är en kreativ varelse. Du kan göra ett misstag var som helst! Speciellt om du inte ska minska ett bråk som 5/10, utan ett bråkuttryck med alla möjliga bokstäver.

Hur man korrekt och snabbt minskar bråk utan att göra extra arbete finns att läsa i den särskilda 555 §.

En normal elev bryr sig inte om att dividera täljaren och nämnaren med samma tal (eller uttryck)! Han stryker helt enkelt över allt som är lika ovan och under! Det är här ett typiskt misstag, en blunder, om man så vill, lurar.

Till exempel måste du förenkla uttrycket:

Det finns inget att tänka på här, stryk över bokstaven "a" överst och "2" längst ner! Vi får:

Allt är korrekt. Men egentligen delade ni er Allt täljare och Allt nämnaren är "a". Om du är van vid att bara stryka över kan du i en hast stryka över "a" i uttrycket

och få det igen

Vilket skulle vara kategoriskt osant. För här Allt täljaren på "a" är redan inte delad! Denna andel kan inte reduceras. Förresten, en sådan minskning är, um... en allvarlig utmaning för läraren. Detta är inte förlåtet! Kommer du ihåg? När du reducerar måste du dela Allt täljare och Allt nämnare!

Att reducera bråk gör livet mycket enklare. Du kommer att få en bråkdel någonstans, till exempel 375/1000. Hur kan jag fortsätta jobba med henne nu? Utan en miniräknare? Multiplicera, säg, addera, kvadrat!? Och om du inte är för lat och försiktigt skär ner den med fem, och med ytterligare fem, och till och med... medan den förkortas, kort sagt. Låt oss få 3/8! Mycket trevligare, eller hur?

Huvudegenskapen för ett bråk låter dig konvertera vanliga bråk till decimaler och vice versa utan miniräknare! Detta är viktigt för Unified State Exam, eller hur?

Hur man konverterar bråk från en typ till en annan.

Med decimalbråk är allt enkelt. Som det hörs, så är det skrivet! Låt oss säga 0,25. Detta är noll komma tjugofem hundradelar. Så vi skriver: 25/100. Vi reducerar (vi dividerar täljaren och nämnaren med 25), vi får det vanliga bråket: 1/4. Allt. Det händer, och ingenting minskar. Som 0,3. Detta är tre tiondelar, d.v.s. 3/10.

Vad händer om heltal inte är noll? Det är ok. Vi skriver ner hela bråket utan kommatecken i täljaren, och i nämnaren - vad som hörs. Till exempel: 3.17. Detta är tre komma sjutton hundradelar. Vi skriver 317 i täljaren och 100 i nämnaren. Vi får 317/100. Ingenting reduceras, det betyder allt. Detta är svaret. Elementär Watson! Av allt som har sagts, en användbar slutsats: vilket decimalbråk som helst kan omvandlas till ett vanligt bråktal .

Men vissa människor kan inte göra omvänd konvertering från vanlig till decimal utan en miniräknare. Och det är nödvändigt! Hur kommer du att skriva ner svaret på Unified State Exam!? Läs noga och bemästra denna process.

Vad kännetecknar ett decimaltal? Hennes nämnare är Alltid kostar 10, eller 100, eller 1000, eller 10 000 och så vidare. Om din vanliga bråkdel har en sådan här nämnare är det inga problem. Till exempel, 4/10 = 0,4. Eller 7/100 = 0,07. Eller 12/10 = 1,2. Tänk om svaret på uppgiften i avsnitt "B" visade sig vara 1/2? Vad kommer vi att skriva som svar? Decimaler krävs...

Låt oss komma ihåg huvudegenskapen hos en bråkdel ! Matematik låter dig fördelaktigt multiplicera täljaren och nämnaren med samma tal. Vad som helst, förresten! Förutom noll förstås. Så låt oss använda denna fastighet till vår fördel! Vad kan nämnaren multipliceras med, d.v.s. 2 så att det blir 10, eller 100, eller 1000 (mindre är bättre förstås...)? Vid 5, så klart. Multiplicera gärna nämnaren (det här är oss nödvändigt) med 5. Men då måste täljaren också multipliceras med 5. Detta är det redan matematik krav! Vi får 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Det är allt.

Men alla möjliga nämnare stöter på. Du kommer till exempel att stöta på bråket 3/16. Försök ta reda på vad du ska multiplicera 16 med för att göra 100 eller 1000... Fungerar det inte? Sedan kan du helt enkelt dividera 3 med 16. I avsaknad av en miniräknare måste du dividera med ett hörn, på ett papper, som de lärde ut i grundskolan. Vi får 0,1875.

Och det finns också väldigt dåliga nämnare. Det finns till exempel inget sätt att förvandla bråket 1/3 till en bra decimal. Både på miniräknaren och på ett papper får vi 0,3333333... Det betyder att 1/3 är ett exakt decimaltal. översätter inte. Samma som 1/7, 5/6 och så vidare. Det finns många av dem, oöversättbara. Detta leder oss till en annan användbar slutsats. Inte varje bråk kan omvandlas till en decimal !

Förresten, det här användbar information för självtest. I avsnitt "B" ska du skriva ner ett decimaltal i ditt svar. Och du fick till exempel 4/3. Denna bråkdel konverteras inte till en decimal. Det betyder att du har gjort ett misstag någonstans på vägen! Gå tillbaka och kolla lösningen.

Så vi räknade ut vanliga bråk och decimalbråk. Allt som återstår är att ta itu med blandade siffror. För att arbeta med dem måste de omvandlas till vanliga bråk. Hur man gör det? Du kan fånga en sjätteklassare och fråga honom. Men en sjätteklassare kommer inte alltid att finnas till hands... Du måste göra det själv. Det är inte svårt. Du måste multiplicera nämnaren för bråkdelen med hela delen och lägga till täljaren för bråkdelen. Detta kommer att vara täljaren för det vanliga bråket. Hur är det med nämnaren? Nämnaren förblir densamma. Det låter komplicerat, men i verkligheten är allt enkelt. Låt oss titta på ett exempel.

Anta att du blev förskräckt över att se numret i problemet:

Lugnt, utan panik, tänker vi. Hela delen är 1. Enhet. Bråkdelen är 3/7. Därför är nämnaren för bråkdelen 7. Denna nämnare kommer att vara nämnaren för det vanliga bråket. Vi räknar täljaren. Vi multiplicerar 7 med 1 (heltalsdelen) och adderar 3 (täljaren för bråkdelen). Vi får 10. Detta kommer att vara täljaren för ett vanligt bråk. Det är allt. Det ser ännu enklare ut i matematisk notation:

Är det klart? Säkra sedan din framgång! Omvandla till vanliga bråk. Du bör få 10/7, 7/2, 23/10 och 21/4.

Den omvända operationen - att konvertera en oegentlig bråkdel till ett blandat tal - krävs sällan i gymnasiet. Tja, om så är fallet... Och om du inte går på gymnasiet kan du titta in i den särskilda sektionen 555. Förresten kommer du också att lära dig om oegentliga bråk där.

Tja, det är praktiskt taget allt. Du kom ihåg typerna av bråk och förstod Hur överföra dem från en typ till en annan. Frågan kvarstår: För vad gör det? Var och när ska man tillämpa denna djupa kunskap?

Jag svarar. Varje exempel i sig föreslår nödvändiga åtgärder. Om i exemplet vanliga bråk, decimaler och till och med blandade tal blandas ihop, omvandlar vi allt till vanliga bråk. Det går alltid att göra. Tja, om det står något som 0,8 + 0,3, så räknar vi det så, utan någon översättning. Varför behöver vi extraarbete? Vi väljer den lösning som är bekväm oss !

Om uppgiften bara är decimalbråk, men um... någon sorts onda, gå till vanliga och prova! Titta, allt kommer att ordna sig. Till exempel måste du kvadrera talet 0,125. Det är inte så lätt om du inte har vant dig vid att använda en miniräknare! Du måste inte bara multiplicera siffror i en kolumn, du måste också tänka på var du ska infoga kommatecken! Det kommer definitivt inte att fungera i ditt huvud! Vad händer om vi går vidare till en vanlig bråkdel?

0,125 = 125/1000. Vi minskar det med 5 (detta är till att börja med). Vi får 25/200. Återigen vid 5. Vi får 5/40. Åh, det krymper fortfarande! Tillbaka till 5! Vi får 1/8. Vi kan lätt kvadrera det (i våra sinnen!) och få 1/64. Allt!

Låt oss sammanfatta den här lektionen.

1. Det finns tre typer av bråk. Vanliga, decimala och blandade tal.

2. Decimaler och blandade tal Alltid kan omvandlas till vanliga bråk. Omvänd överföring inte alltid tillgängliga.

3. Valet av typ av bråk att arbeta med en uppgift beror på själva uppgiften. Om det finns olika typer av bråk i en uppgift är det mest tillförlitliga att gå till vanliga bråk.

Nu kan du träna. Konvertera först dessa decimalbråk till vanliga bråk:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Du borde få svar så här (i en röra!):

Låt oss avsluta här. I den här lektionen fräschade vi upp vårt minne om viktiga punkter om bråk. Det händer dock att det inte finns något speciellt att uppdatera...) Om någon helt har glömt, eller ännu inte bemästrat det... Då kan du gå till en särskild 555 §. Alla grunderna behandlas i detalj där. Många plötsligt förstår allt börjar. Och de löser fraktioner i farten).

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Låt oss lära oss - med intresse!)

Du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

Från algebrakursen Läroplanen Låt oss gå ner till detaljerna. I den här artikeln kommer vi att studera i detalj en speciell typ av rationella uttryck - rationella bråk, och även överväga vilken egenskap identisk omvandlingar av rationella bråkäga rum.

Låt oss omedelbart notera att rationella bråk i den mening som vi definierar dem nedan kallas algebraiska bråk i vissa algebraläroböcker. Det vill säga, i den här artikeln kommer vi att förstå rationella och algebraiska bråk som betyder samma sak.

Låt oss som vanligt börja med en definition och exempel. Därefter kommer vi att prata om att föra ett rationellt bråk till en ny nämnare och ändra tecknen på bråkdelens medlemmar. Efter detta ska vi titta på hur man minskar fraktioner. Låt oss slutligen titta på att representera ett rationellt bråk som summan av flera bråk. Vi kommer att tillhandahålla all information med exempel detaljerade beskrivningar beslut.

Sidnavigering.

Definition och exempel på rationella bråk

Rationella bråk studeras i 8:e klass algebra lektioner. Vi kommer att använda definitionen av en rationell bråkdel, som ges i algebraläroboken för 8:e klass av Yu N. Makarychev et al.

I denna definition det anges inte om polynomen i täljaren och nämnaren i ett rationellt bråk måste vara polynom standardvy eller inte. Därför kommer vi att anta att notationerna för rationella bråk kan innehålla både standardpolynom och icke-standardiserade polynom.

Här är några exempel på rationella bråk. Så, x/8 och - rationella bråk. Och bråk och passar inte den angivna definitionen av ett rationellt bråk, eftersom täljaren i den första av dem inte innehåller ett polynom, och i den andra innehåller både täljaren och nämnaren uttryck som inte är polynom.

Omvandling av täljaren och nämnaren för ett rationellt bråk

Täljaren och nämnaren för varje bråk är självförsörjande matematiska uttryck i fallet med rationella bråk, dessa är polynom i ett visst fall, monomer och tal. Därför kan identiska transformationer utföras med täljaren och nämnaren för ett rationellt bråk, som med alla uttryck. Med andra ord kan uttrycket i täljaren för ett rationellt bråk ersättas med ett identiskt lika uttryck, precis som nämnaren.

Du kan utföra identiska transformationer i täljaren och nämnaren för ett rationellt bråk. I täljaren kan du till exempel gruppera och reducera liknande termer, och i nämnaren kan du ersätta produkten av flera tal med dess värde. Och eftersom täljaren och nämnaren för en rationell bråkdel är polynom, är det möjligt att utföra transformationer som är karakteristiska för polynom med dem, till exempel reduktion till en standardform eller representation i form av en produkt.

För tydlighetens skull, låt oss överväga lösningar på flera exempel.

Exempel.

Konvertera rationell bråkdel så att täljaren innehåller ett polynom av standardform, och nämnaren innehåller produkten av polynom.

Lösning.

Att reducera rationella bråk till en ny nämnare används främst för att addera och subtrahera rationella bråk.

Ändra tecken framför ett bråk, samt i dess täljare och nämnare

Huvudegenskapen för ett bråk kan användas för att ändra tecknen för medlemmarna i ett bråk. Faktum är att multiplicera täljaren och nämnaren för ett rationellt bråk med -1 är ekvivalent med att ändra deras tecken, och resultatet är ett bråk som är identiskt lika med det givna. Denna omvandling måste användas ganska ofta när man arbetar med rationella bråk.

Således, om du samtidigt ändrar tecknen för täljaren och nämnaren för ett bråk, får du ett bråk som är lika med det ursprungliga. Detta uttalande besvaras av jämlikhet.

Låt oss ge ett exempel. Ett rationellt bråk kan ersättas med ett identiskt lika bråk med ändrade tecken på formens täljare och nämnare.

Med bråk kan du utföra ytterligare en identisk transformation, där tecknet för antingen täljaren eller nämnaren ändras. Låt oss ange motsvarande regel. Om du byter ut bråkets tecken tillsammans med täljarens eller nämnarens tecken får du ett bråktal som är identiskt lika med det ursprungliga. Det skriftliga utlåtandet motsvarar jämlikheterna och .

Att bevisa dessa jämlikheter är inte svårt. Beviset är baserat på egenskaperna för multiplikation av tal. Låt oss bevisa den första av dem: . Genom att använda liknande transformationer bevisas jämlikheten.

Till exempel kan ett bråk ersättas med uttrycket eller.

För att avsluta denna punkt presenterar vi ytterligare två användbara likheter och . Det vill säga om du ändrar tecknet för bara täljaren eller bara nämnaren kommer bråket att ändra sitt tecken. Till exempel, Och .

De övervägda transformationerna, som gör det möjligt att ändra tecknet för termerna för ett bråk, används ofta vid transformering av rationella bråkuttryck.

Minskning av rationella fraktioner

Följande omvandling av rationella bråk, kallad reduktion av rationella bråk, är baserad på samma grundläggande egenskap hos ett bråk. Denna transformation motsvarar likheten , där a, b och c är några polynom, och b och c är icke-noll.

Av ovanstående likhet blir det tydligt att en minskning av ett rationellt bråk innebär att man blir av med den gemensamma faktorn i dess täljare och nämnare.

Exempel.

Avbryt en rationell bråkdel.

Lösning.

Den gemensamma faktorn 2 är omedelbart synlig, låt oss göra en minskning av den (när du skriver är det bekvämt att stryka över de vanliga faktorerna som reduceras med). Vi har . Eftersom x 2 =x·x och y 7 =y 3 ·y 4 (se vid behov), är det tydligt att x är en gemensam faktor för täljaren och nämnaren för det resulterande bråket, liksom y 3. Låt oss minska med dessa faktorer: . Detta fullbordar minskningen.

Ovan utförde vi reduktionen av rationella fraktioner sekventiellt. Eller så var det möjligt att utföra reduktionen i ett steg, och omedelbart minska fraktionen med 2 x y 3. I det här fallet skulle lösningen se ut så här: .

Svar:

När man reducerar rationella bråk är huvudproblemet att den gemensamma faktorn för täljaren och nämnaren inte alltid är synlig. Dessutom finns det inte alltid. För att hitta en gemensam faktor eller verifiera dess frånvaro måste du faktorisera täljaren och nämnaren för ett rationellt bråk. Om det inte finns någon gemensam faktor behöver den ursprungliga rationella fraktionen inte reduceras, annars utförs reduktion.

Olika nyanser kan uppstå i processen att reducera rationella fraktioner. De viktigaste subtiliteterna diskuteras i artikeln som reducerar algebraiska bråk med hjälp av exempel och i detalj.

Avslutande samtalet om reduktionen av rationella bråk, noterar vi att denna transformation är identisk, och den största svårigheten i dess implementering ligger i att faktorisera polynomen i täljaren och nämnaren.

Representation av ett rationellt bråk som en summa av bråk

Ganska specifik, men i vissa fall mycket användbar, är omvandlingen av ett rationellt bråk, som består i dess representation som summan av flera bråk, eller summan av ett helt uttryck och ett bråk.

Ett rationellt bråk, vars täljare innehåller ett polynom som representerar summan av flera monomer, kan alltid skrivas som en summa av bråk med samma nämnare, vars täljare innehåller motsvarande monomer. Till exempel, . Denna representation förklaras av regeln för att addera och subtrahera algebraiska bråk med lika nämnare.

I allmänhet kan vilket rationellt bråk som helst representeras som en summa av bråk på många olika sätt. Bråket a/b kan till exempel representeras som summan av två bråk - en godtycklig bråkdel c/d och en bråkdel lika med skillnaden mellan bråken a/b och c/d. Detta påstående är sant, eftersom jämlikheten gäller . Till exempel kan ett rationellt bråk representeras som en summa av bråk olika sätt: Låt oss föreställa oss det ursprungliga bråket som summan av ett heltalsuttryck och ett bråk. Genom att dividera täljaren med nämnaren med en kolumn får vi likheten . Värdet av uttrycket n 3 +4 för ett heltal n är ett heltal. Och värdet på ett bråk är ett heltal om och bara om dess nämnare är 1, −1, 3 eller −3. Dessa värden motsvarar värdena n=3, n=1, n=5 respektive n=−1.

Svar:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografi.

Algebra: lärobok för 8:e klass. Allmän utbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigerad av S. A. Teljakovskij. - 16:e upplagan. - M.: Utbildning, 2008. - 271 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 7 grader. Kl 14.00 Del 1. Lärobok för elever läroanstalter/ A. G. Mordkovich. - 13:e upplagan, rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 s.: ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 8: e klass. Om 2 timmar Del 1. Lärobok för studenter vid allmänna läroanstalter / A. G. Mordkovich. - 11:e uppl., raderad. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (en manual för dem som går in på tekniska skolor): Proc. ersättning.- M.; Högre skola, 1984.-351 s., ill.

Att förenkla algebraiska uttryck är en av nycklarna till att lära sig algebra och är en extremt användbar färdighet för alla matematiker. Förenkling gör att du kan reducera ett komplext eller långt uttryck till ett enkelt uttryck som är lätt att arbeta med. Grundläggande färdigheter i förenkling är bra även för dem som inte är entusiastiska över matematik. Genom att observera flera enkla regler, kan du förenkla många av de vanligaste typerna av algebraiska uttryck utan några speciella matematiska kunskaper.

Steg

Viktiga definitioner

Liknande medlemmar . Dessa är medlemmar med en variabel av samma ordning, medlemmar med samma variabler eller fria medlemmar (medlemmar som inte innehåller en variabel). Med andra ord, liknande termer inkluderar samma variabel i samma grad, inkluderar flera av samma variabler, eller inkluderar inte en variabel alls. Ordningen på termerna i uttrycket spelar ingen roll.
- Till exempel är 3x 2 och 4x 2 liknande termer eftersom de innehåller en andra ordningens (till andra potens) variabel "x". Men x och x2 är inte liknande termer, eftersom de innehåller variabeln "x" av olika ordning (första och andra). På samma sätt är -3yx och 5xz inte liknande termer eftersom de innehåller olika variabler.
Faktorisering . Detta är att hitta nummer vars produkt leder till det ursprungliga numret. Varje originalnummer kan ha flera faktorer. Till exempel kan talet 12 faktoriseras i följande serier av faktorer: 1 × 12, 2 × 6 och 3 × 4, så vi kan säga att talen 1, 2, 3, 4, 6 och 12 är faktorer för nummer 12. Faktorerna är desamma som faktorerna , det vill säga de tal som det ursprungliga talet delas med.
- Till exempel, om du vill faktorisera talet 20, skriv det så här: 4×5.
- Observera att vid factoring beaktas variabeln. Till exempel, 20x = 4(5x).
- Primtal kan inte faktoriseras eftersom de bara är delbara med sig själva och 1.
Kom ihåg och följ operationsordningen för att undvika misstag.
- Fästen
- Grad
- Multiplikation
- Division
- Tillägg
- Subtraktion
Ta med liknande medlemmar
1. Skriv ner uttrycket. Protozoer algebraiska uttryck(som inte innehåller fraktioner, rötter etc.) kan lösas (förenklas) på bara några få steg.
  - Förenkla till exempel uttrycket 1 + 2x - 3 + 4x.
2. Definiera liknande termer (termer med en variabel av samma ordning, termer med samma variabler eller fria termer).
  - Hitta liknande termer i detta uttryck. Termerna 2x och 4x innehåller en variabel av samma ordning (första). Dessutom är 1 och -3 fria termer (innehåller ingen variabel). Således, i detta uttryck villkoren 2x och 4xär lika, och medlemmarna 1 och -3är också lika.
3. Ge liknande termer. Detta innebär att lägga till eller subtrahera dem och förenkla uttrycket.
  - 2x + 4x = 6x
  - 1 - 3 = -2
4. Skriv om uttrycket med hänsyn till de givna termerna. Du får ett enkelt uttryck med färre termer. Det nya uttrycket är lika med det ursprungliga.
  - I vårt exempel: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, det vill säga det ursprungliga uttrycket är förenklat och lättare att arbeta med.
5. Följ ordningsföljden när du tar med liknande medlemmar. I vårt exempel var det lätt att tillhandahålla liknande termer. Men när det gäller komplexa uttryck där termer är inneslutna inom parentes och bråktal och rötter förekommer, är det inte så lätt att ta med sådana termer. Följ i dessa fall operationsordningen.
  - Tänk till exempel uttrycket 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Här skulle det vara ett misstag att omedelbart definiera 3x och 2x som liknande termer och ge dem, eftersom det är nödvändigt att öppna parenteserna först. Utför därför operationerna enligt deras ordning.
    - 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
    - 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
    - 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Nu, när uttrycket endast innehåller additions- och subtraktionsoperationer kan du ta med liknande termer.
    - x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
    - x 2 + 12x + 3
Att ta multiplikatorn ur parentes
1. Hitta största gemensamma delaren(GCD) för uttryckets alla koefficienter. GCD är det största tal som alla koefficienter i uttrycket delas med.
  - Tänk till exempel på ekvationen 9x 2 + 27x - 3. I det här fallet är GCD = 3, eftersom alla koefficienter för detta uttryck är delbara med 3.
2. Dela varje term i uttrycket med gcd. De resulterande termerna kommer att innehålla mindre koefficienter än i det ursprungliga uttrycket.
  - I vårt exempel, dividera varje term i uttrycket med 3.
    - 9x 2 /3 = 3x 2
    - 27x/3 = 9x
    - -3/3 = -1
    - Resultatet blev ett uttryck 3x 2 + 9x - 1. Det är inte lika med det ursprungliga uttrycket.
3. Skriv det ursprungliga uttrycket som lika med produkten GCD för det resulterande uttrycket. Det vill säga, omge det resulterande uttrycket inom parentes och ta bort gcd från parentes.
  - I vårt exempel: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)
4. Förenkla bråkuttryck genom att sätta faktorn inom parentes. Varför helt enkelt sätta multiplikatorn utanför parentes, som gjordes tidigare? Sedan, för att lära sig hur man förenklar komplexa uttryck, som bråk-uttryck. Om du i det här fallet sätter faktorn utanför parentes kan det hjälpa att bli av med bråket (från nämnaren).
  - Tänk till exempel på bråkuttrycket (9x 2 + 27x - 3)/3. Använd factoring out för att förenkla detta uttryck.
    - Sätt faktorn 3 inom parentes (som du gjorde tidigare): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
    - Lägg märke till att det nu finns en 3:a i både täljaren och nämnaren. Detta kan reduceras för att ge uttrycket: (3x 2 + 9x – 1)/1
    - Eftersom varje bråktal som har siffran 1 i nämnaren helt enkelt är lika med täljaren, förenklas det ursprungliga bråkuttrycket till: 3x 2 + 9x - 1.
Ytterligare förenklingsmetoder
1. Förenklade bråktalsuttryck. Som nämnts ovan, om både täljaren och nämnaren innehåller samma termer (eller till och med identiska uttryck), då kan de minskas. För att göra detta måste du ta ut den gemensamma faktorn för täljaren eller nämnaren, eller både täljaren och nämnaren. Eller så kan du dividera varje term i täljaren med nämnaren och på så sätt förenkla uttrycket.
  - Tänk till exempel på bråkuttrycket (5x 2 + 10x + 20)/10. Här delar du helt enkelt varje täljarterm med nämnaren (10). Men observera att termen 5x 2 inte är jämnt delbar med 10 (eftersom 5 är mindre än 10).
    - Så skriv ett förenklat uttryck så här: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.
2. Förenkling av radikala uttryck. Uttryck under rottecknet kallas radikala uttryck. De kan förenklas genom deras nedbrytning i lämpliga faktorer och efterföljande avlägsnande av en faktor under roten.
  - Låt oss titta på ett enkelt exempel: √(90). Talet 90 kan inkluderas i följande faktorer: 9 och 10, och från 9 kan vi ta kvadratroten (3) och ta ut 3 under roten.
    - √(90)
    - √(9×10)
    - √(9)×√(10)
    - 3×√(10)
    - 3√(10)
3. Förenkla uttryck med krafter. Vissa uttryck innehåller operationer för multiplikation eller division av termer med potenser. Om termer multipliceras med samma bas, adderas deras potenser; i fallet med att dividera termer med samma bas, subtraheras deras potenser.
  - Tänk till exempel på uttrycket 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). Vid multiplikation, addera potenserna, och vid division, subtrahera dem.
    - 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
    - (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
    - 48 x 7 + x 2
  - Följande är en förklaring av reglerna för att multiplicera och dividera termer med potenser.
    - Att multiplicera termer med potenser är likvärdigt med att multiplicera termer med sig själva. Till exempel, eftersom x 3 = x × x × x och x 5 = x × x × x × x × x, då x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), eller x8.
    - Likaså är att dividera termer med grader likvärdigt med att dividera termer för sig själva. x 5 / x 3 = (x x x x x x x x)/(x x x x x). Eftersom liknande termer som finns i både täljaren och nämnaren kan reduceras, stannar produkten av två "x" eller x 2 kvar i täljaren.

Detta generaliserade material är känt från skolans matematikkurs. Här betraktar vi allmänna bråk med tal, potenser, rötter, logaritmer, trigonometriska funktioner eller andra objekt. Grundläggande omvandlingar av fraktioner kommer att beaktas, oavsett deras typ.

Vad är en bråkdel?

Definition 1

Det finns flera andra definitioner.

Definition 2

Det horisontella snedstrecket som separerar A och B kallas ett bråk snedstreck eller bråkstapel.

Definition 3

Uttrycket som visas ovanför bråklinjen kallas täljare och under – nämnare.

Från vanliga bråk till allmänna bråk

Introduktion till bråk förekommer i 5:an, då ordinarie bråktal lärs ut. Av definitionen framgår att täljaren och nämnaren är naturliga tal.

Exempel 1

Till exempel 1 5, 2 6, 12 7, 3 1, som kan skrivas som 1/5, 2/6, 12/7, 3/1.

Efter att ha studerat operationerna med vanliga bråk, har vi att göra med bråk som har mer än en nämnare naturligt nummer, och uttryck med naturliga tal.

Exempel 2

Till exempel, 1 + 3 5, 9 - 5 16, 2 · 7 9 · 12.

När vi har att göra med bråk där det finns bokstäver eller bokstavsuttryck skrivs det så här:

a + b c , a - b c , a · c b · d .

Definition 4

Låt oss fixa reglerna för addition, subtraktion, multiplikation vanliga bråk a c + b c = a + b c , a c - b c = a - b c , a b v d = a c b d

För att beräkna är det ofta nödvändigt att komma till en översättning blandade siffror i vanliga bråk. När vi betecknar hela delen som a, då bråkdelen har formen b / c, får vi en bråkdel av formen a · c + b c, vilket förklarar utseendet av sådana bråk 2 · 11 + 3 11, 5 · 2 + 1 2 och så vidare.

Bråklinjen betraktas som ett deltecken. Därför kan posten transformeras på ett annat sätt:

1: a - (2 b + 1) = 1 a - 2 b + 1, 5 - 1, 7 3: 2 3 - 4: 2 = 5 - 1, 7 3 2 3 - 4: 2, där kvoten 4 : 2 kan ersättas med bråk, då får vi ett uttryck av formen

5 - 1, 7 3 2 3 - 4 2

Beräkningar med rationella bråk upptar en speciell plats i matematiken, eftersom täljaren och nämnaren inte bara kan innehålla numeriska värden utan polynom.

Exempel 3

Till exempel, 1 x 2 + 1, x · y - 2 · y 2 0, 5 - 2 · x + y 3.

Rationella uttryck behandlas som allmänna bråk.

Exempel 4

Till exempel, x x + 1 4 x 2 x 2 - 1 2 x 3 + 3, 1 + x 2 y (x - 2) 1 x + 3 x 1 + 2 - x 4 x 5 + 6 x .

Studie av rötter, potenser med rationella exponenter, logaritmer, trigonometriska funktioner indikerar att deras ansökan visas i givna bråkdelar av formuläret:

Exempel 5

a n bn, 2 x + x 2 3 x 1 3 - 12 x, 2 x 2 + 3 3 x 2 + 3, ln (x - 3) ln e5, cos 2 α - sin 2 α 1 - 1 cos 2 α.

Bråk kan kombineras, det vill säga ha formen x + 1 x 3 log 3 sin 2 x + 3, log x + 2 log x 2 - 2 x + 1.

Typer av bråkomvandlingar

För en rad identitetsförvandlingar Flera typer övervägs:

Definition 5

transformation typisk för att arbeta med täljaren och nämnaren;
ändra tecknet före ett bråk-uttryck;
leder till gemensam nämnare och fraktionsreduktion;
representation av en bråkdel som summan av polynom.

Konvertera täljare och nämnaruttryck

Definition 6

Med identiskt lika uttryck har vi att det resulterande bråket är identiskt lika med det ursprungliga.

Om ges en bråkdel av formen A/B, så är A och B några uttryck. Sedan, vid utbyte, får vi en bråkdel av formen A 1 / B 1 . Det är nödvändigt att bevisa giltigheten av likheten A / A 1 = B / B 1 för alla värden på variabler som uppfyller ODZ.

Det har vi A Och A 1 Och B Och B 1är identiskt lika, då är deras värden också lika. Det följer att för vilket värde som helst A/B Och A 1 / B 1 dessa fraktioner kommer att vara lika.

Denna omvandling förenklar arbetet med bråk om du behöver konvertera täljaren och nämnaren separat.

Exempel 6

Låt oss till exempel ta en bråkdel av formen 2/18, som vi omvandlar till 2 2 · 3 · 3. För att göra detta utökar vi nämnaren till primära faktorer. Bråket x 2 + x y x 2 + 2 x y + y 2 = x x + y (x + y) 2 har en täljare på formen x 2 + x y, vilket betyder att det är nödvändigt att ersätta det med x (x + y) , vilket kommer att erhållas genom att ta den gemensamma faktorn x ur parentes. Nämnaren för det givna bråket x 2 + 2 x y + y 2 kollapsa med den förkortade multiplikationsformeln. Då finner vi att dess identiskt lika uttryck är (x + y) 2 .

Exempel 7

Om en bråkdel av formen sin 2 3 · φ - π + cos 2 3 · φ - π φ · φ 5 6 ges, så för att förenkla är det nödvändigt att ersätta täljaren med 1 enligt formeln och ta med nämnaren till formen φ 11 12. Då finner vi att 1 φ 11 12 är lika med den givna bråkdelen.

Ändra tecknet framför ett bråk, i dess täljare, nämnare

Att konvertera bråk är också ett byte av tecken framför ett bråk. Låt oss titta på några regler:

Definition 7

när vi ändrar täljarens tecken får vi en bråkdel som är lika med den givna, och bokstavligen ser det ut som _ - A - B = A B, där A och B är några uttryck;
vid byte av tecknet framför bråket och framför täljaren får vi att - - A B = A B;
när vi byter ut tecknet framför bråket och dess nämnare får vi att - A - B = A B.

Bevis

Minustecknet behandlas i de flesta fall som en koefficient med tecknet - 1, och bråkstapeln är en division. Av detta får vi att - A - B = - 1 · A: - 1 · B. Gruppera faktorerna, det har vi

1 A: - 1 B = ((- 1) : (- 1) A: B = = 1 A: B = A: B = A B

Efter att ha bevisat det första påståendet, motiverar vi de återstående. Vi får:

A B = (- 1) · (((- 1) · A) : B) = (- 1 · - 1) · A: B = = 1 · (A: B) = A: B = A B - A - B = (- 1) · (A: - 1 · B) = ((- 1) : (- 1)) · (A: B) = = 1 · (A: B) = A: B = A B

Låt oss titta på exempel.

Exempel 8

När det är nödvändigt att konvertera bråkdelen 3 / 7 till formen - 3 - 7, - - 3 7, - 3 - 7, görs det på samma sätt med en bråkdel av formen - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x · 3 x .

Transformationerna utförs enligt följande:

1) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - (- 1 + x - x 2) - 2 2 3 - ln x 2 + 3 x + sin 2 x 3 x = = 1 - x + x 2 - 2 2 3 + ln (x 2 + 3) x - s i n 2 x 3 x 2) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - (- 1 + x - x 2) 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - 1 - x + x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x 3) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - 1 + x - x 2 - 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - 1 + x - x 2 - 2 2 3 + ln (x 2 + 3) x - sin 2 x · 3 x

Att reducera en bråkdel till en ny nämnare

När vi studerade vanliga bråk, berörde vi den grundläggande egenskapen för bråk, som gör att vi kan multiplicera och dividera täljaren och nämnaren med samma naturliga tal. Detta kan ses av likheten a · m b · m = a b och a: m b: m = a b, där a, b, m är naturliga tal.

Denna likhet är giltig för alla värden av a, b, m och alla a, förutom b ≠ 0 och m ≠ 0. Det vill säga, vi får att om täljaren för bråket A/B med A och C, som är några uttryck, multipliceras eller divideras med uttrycket M, inte lika med 0, så får vi ett bråk som är identiskt lika med det initiala. . Vi får att A · M B · M = A B och A: M B: M = A B.

Detta visar att transformationerna är baserade på 2 transformationer: reduktion till en gemensam nämnare, reduktion.

När man reducerar till en gemensam nämnare, utförs multiplikation med samma tal eller uttryck av täljaren och nämnaren. Det vill säga, vi går vidare till att lösa den identiska, lika transformerade fraktionen.

Låt oss titta på exempel.

Exempel 9

Om vi tar bråket x + 1 0, 5 · x 3 och multiplicerar med 2, så får vi att den nya nämnaren är 2 · 0, 5 · x 3 = x 3, och uttrycket blir 2 · x + 1 x 3 .

Exempel 10

För att reducera bråkdelen 1 - x 2 x 2 3 1 + ln x till en annan nämnare av formen 6 x 1 + ln x 3, är det nödvändigt att täljaren och nämnaren multipliceras med 3 x 1 3 (1 + ln x) 2. Som ett resultat får vi bråket 3 x 1 3 1 + ln x 2 1 - x 6 x (1 + ln x) 3

En sådan omvandling som att bli av med irrationalitet i nämnaren är också tillämplig. Det eliminerar behovet av en rot i nämnaren, vilket förenklar lösningsprocessen.

Reducerande bråk

Huvudegenskapen är transformation, det vill säga dess direkta reduktion. När vi minskar får vi en förenklad bråkdel. Låt oss titta på ett exempel:

Exempel 11

Eller en bråkdel av formen x 3 x 3 x 2 (2 x 2 + 1 + 3) x 3 x 3 2 x 2 + 1 + 3 3 + 1 3 x, där reduktionen görs med x 3, x 3, 2 x 2 + 1 + 3 eller ett uttryck av formen x 3 · x 3 · 2 x 2 + 1 + 3 . Då får vi bråket x 2 3 + 1 3 x

Att minska en bråkdel är enkelt när de gemensamma faktorerna är omedelbart uppenbara. I praktiken inträffar detta inte ofta, så det är först nödvändigt att utföra några transformationer av uttryck av denna typ. Det finns tillfällen då det är nödvändigt att hitta den gemensamma faktorn.

Om du har en bråkdel av formen x 2 2 3 · (1 - cos 2 x) 2 · sin x 2 · cos x 2 2 · x 1 3 , då måste du använda trigonometriska formler och egenskaper hos potenser så att du kan omvandla bråket till formen x 1 3 · x 2 1 3 · sin 2 x sin 2 x · x 1 3 . Detta gör det möjligt att minska den med x 1 3 · sin 2 x.

Representerar ett bråk som en summa

När täljaren har en algebraisk summa av uttryck som A 1 , A 2 , … , A n, och nämnaren betecknas B, då kan denna fraktion representeras som A 1/B, A 2/B, …, A n/B.

Definition 8

För att göra detta, låt oss fixa detta A 1 + A 2 + . . . + A n B = A1B + A2B+. . . + A n B .

Denna transformation skiljer sig fundamentalt från att lägga till fraktioner med samma exponenter. Låt oss titta på ett exempel.

Exempel 12

Givet en bråkdel av formen sin x - 3 · x + 1 + 1 x 2 , som vi kommer att representera som en algebraisk summa av bråk. För att göra detta, föreställ dig det som sin x x 2 - 3 x + 1 x 2 + 1 x 2 eller sin x - 3 x + 1 x 2 + 1 x 2 eller sin x x 2 + - 3 x + 1 + 1 x 2.

Varje bråk som har formen A/B representeras som en summa av bråk på något sätt. Uttrycket A i täljaren kan minskas eller ökas med valfritt tal eller uttryck A 0, vilket gör det möjligt att gå till A + A 0 B - A 0 B.

Att bryta ner ett bråk till dess enklaste form är ett specialfall för att omvandla ett bråk till en summa. Oftast används det i komplexa beräkningar för integration.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter