Vektor konstverkär en pseudovektor vinkelrät mot ett plan konstruerat av två faktorer, vilket är resultatet av den binära operationen "vektormultiplikation" över vektorer i det tredimensionella euklidiska rummet. Vektorprodukten har inte egenskaperna kommutativitet och associativitet (den är antikommutativ) och är, till skillnad från skalärprodukten av vektorer, en vektor. Används allmänt i många ingenjörs- och fysikapplikationer. Till exempel skrivs rörelsemängd och Lorentzkraft matematiskt som en vektorprodukt. Korsprodukten är användbar för att "mäta" vinkelrätheten hos vektorer - modulen för korsprodukten för två vektorer är lika med produkten av deras moduler om de är vinkelräta, och minskar till noll om vektorerna är parallella eller antiparallella.

Vektorprodukten kan definieras på olika sätt, och teoretiskt kan man i ett utrymme av vilken dimension n som helst beräkna produkten av n-1 vektorer och därigenom erhålla en enda vektor vinkelrät mot dem alla. Men om produkten är begränsad till icke-triviala binära produkter med vektorresultat, definieras den traditionella vektorprodukten endast i tredimensionella och sjudimensionella utrymmen. Resultatet av en vektorprodukt, som en skalär produkt, beror på måtten för det euklidiska rummet.

Till skillnad från formeln för att beräkna koordinaterna för punktproduktvektorer i ett tredimensionellt rektangulärt koordinatsystem, beror formeln för korsprodukten på orienteringen rektangulärt system koordinater eller, med andra ord, dess "kiralitet".

Definition:
Vektorprodukten av vektor a och vektor b i rymden R3 är en vektor c som uppfyller följande krav:
längden av vektor c är lika med produkten av längderna av vektorerna a och b och sinus av vinkeln φ mellan dem:
|c|=|a||b|sin φ;
vektor c är ortogonal mot var och en av vektorerna a och b;
vektor c är riktad så att trippeln av vektorer abc är högerhänt;
i fallet med utrymmet R7 krävs associativiteten för trippeln av vektorerna a, b, c.
Beteckning:
c===a × b

Ris. 1. Arean av ett parallellogram är lika med modulen för vektorprodukten

Geometriska egenskaper hos en korsprodukt:
Nödvändigt och tillräckligt skick kolinearitet av två icke-noll vektorer är likheten mellan deras vektorprodukt och noll.

Cross Product Module är lika med area S parallellogram konstruerat på vektorer reducerade till ett gemensamt ursprung a Och b(se fig. 1).

Om e- enhetsvektor ortogonal mot vektorerna a Och b och valt så att tre a,b,e- rätt, och Sär området för parallellogrammet konstruerat på dem (reducerat till ett gemensamt ursprung), då är formeln för vektorprodukten giltig:
=S e

Fig.2. Volym av en parallellepiped med hjälp av vektorn och skalärprodukten av vektorer; de streckade linjerna visar projektionerna av vektor c på a × b och vektor a på b × c, det första steget är att hitta de skalära produkterna

Om c- någon vektor, π - vilket plan som helst som innehåller denna vektor, e- enhetsvektor som ligger i planet π och ortogonalt mot c,g- enhetsvektor ortogonal mot planet π och riktade så att trippeln av vektorer ecgär rätt, då för alla som ligger i planet π vektor a formeln är korrekt:
=Pr e a |c|g
där Pr e a är projektionen av vektorn e på a
|c|-modul för vektor c

När du använder vektor- och skalära produkter kan du beräkna volymen av en parallellepiped byggd på vektorer reducerade till ett gemensamt ursprung a, b Och c. En sådan produkt av tre vektorer kallas blandad.
V=|a (b×c)|
Figuren visar att denna volym kan hittas på två sätt: det geometriska resultatet bevaras även när produkterna "skalär" och "vektor" byts:
V=a×b c=a b×c

Storleken på korsprodukten beror på sinus för vinkeln mellan de ursprungliga vektorerna, så korsprodukten kan uppfattas som graden av "vinkelrätt" av vektorerna, precis som den skalära produkten kan ses som graden av "parallellism" ”. Vektorprodukten av två enhetsvektorer är lika med 1 (enhetsvektor) om de ursprungliga vektorerna är vinkelräta och lika med 0 (nollvektorer) om vektorerna är parallella eller antiparallella.

Uttryck för korsprodukten i kartesiska koordinater
Om två vektorer a Och b definieras av deras rektangulära Kartesiska koordinater, eller mer exakt, representeras i en ortonormal basis
a=(a x ,a y ,a z)
b=(b x ,b y ,b z)
och koordinatsystemet är högerhänt, då har deras vektorprodukt formen
=(a y b z -a z b y, a z b x -a x b z, a x b y -a y b x)
För att komma ihåg denna formel:
i =∑ε ijk a j b k
Där ε ijk- symbol för Levi-Civita.

Vinkel mellan vektorer

För att vi ska kunna introducera konceptet med vektorprodukten av två vektorer måste vi först förstå ett sådant koncept som vinkeln mellan dessa vektorer.

Låt oss ges två vektorer $\overline(α)$ och $\overline(β)$. Låt oss ta en punkt $O$ i rymden och plotta vektorerna $\overline(α)=\overline(OA)$ och $\overline(β)=\overline(OB)$ från den, sedan vinkeln $AOB$ kommer att kallas vinkeln mellan dessa vektorer (fig. 1).

Notation: $∠(\överlinje(α),\överlinje(β))$

Konceptet med en vektorprodukt av vektorer och formeln för att hitta

Definition 1

Vektorprodukten av två vektorer är en vektor vinkelrät mot båda givna vektorerna, och dess längd kommer att vara lika med produkten av längderna av dessa vektorer med sinus för vinkeln mellan dessa vektorer, och även denna vektor med två initiala har samma orientering som det kartesiska koordinatsystemet.

Notation: $\overline(α)х\overline(β)$.

Matematiskt ser det ut så här:

1. $|\överlinje(α)х\överlinje(β)|=|\överlinje(α)||\överlinje(β)|sin⁡∠(\överlinje(α),\överlinje(β))$
2. $\överlinje(α)х\överlinje(β)⊥\överlinje(α)$, $\överlinje(α)х\överlinje(β)⊥\överlinje(β)$
3. $(\overline(α)х\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ och $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ är samma riktning (Fig. 2)

Uppenbarligen kommer den yttre produkten av vektorer att vara lika med nollvektorn i två fall:

1. Om längden på en eller båda vektorerna är noll.
2. Om vinkeln mellan dessa vektorer är lika med $180^\circ$ eller $0^\circ$ (eftersom sinusen i detta fall är noll).

För att tydligt se hur korsprodukten av vektorer hittas, överväg följande exempel på lösningar.

Exempel 1

Hitta längden på vektorn $\overline(δ)$, som blir resultatet av vektorprodukten av vektorer, med koordinaterna $\overline(α)=(0,4,0)$ och $\overline(β) =(3,0,0 )$.

Lösning.

Låt oss avbilda dessa vektorer i kartesiskt koordinatutrymme (Fig. 3):

Figur 3. Vektorer i kartesiskt koordinatutrymme. Author24 - utbyte av studentverk online

Vi ser att dessa vektorer ligger på $Ox$ respektive $Oy$ axlarna. Därför blir vinkeln mellan dem $90^\circ$. Låt oss hitta längden på dessa vektorer:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Sedan, enligt definition 1, får vi modulen $|\overline(δ)|$

$|\överlinje(δ)|=|\överlinje(α)||\överlinje(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Svar: $12$.

Beräkna korsprodukten från vektorkoordinater

Definition 1 innebär omedelbart en metod för att hitta vektorprodukten för två vektorer. Eftersom en vektor, förutom sitt värde, också har en riktning, är det omöjligt att hitta den endast med hjälp av en skalär kvantitet. Men förutom detta finns det också ett sätt att hitta de vektorer som ges till oss med hjälp av koordinaterna.

Låt oss ges vektorerna $\overline(α)$ och $\overline(β)$, som kommer att ha koordinater $(α_1,α_2,α_3)$ respektive $(β_1,β_2,β_3)$. Sedan kan vektorn för korsprodukten (nämligen dess koordinater) hittas med följande formel:

$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

I annat fall, genom att expandera determinanten, får vi följande koordinater

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Exempel 2

Hitta vektorn för vektorprodukten av kolinjära vektorer $\overline(α)$ och $\overline(β)$ med koordinaterna $(0,3,3)$ och $(-1,2,6)$.

Lösning.

Låt oss använda formeln ovan. Vi får

$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\överlinje(i)-(0+3)\överlinje(j)+(0+3)\överlinje(k)=12\överlinje(i)-3\överlinje(j)+3\överlinje(k) )=(12,-3,3)$

Svar: $(12,-3,3)$.

Egenskaper för vektorprodukten av vektorer

För godtyckligt blandade tre vektorer $\overline(α)$, $\overline(β)$ och $\overline(γ)$, samt $r∈R$, gäller följande egenskaper:

Exempel 3

Hitta arean av ett parallellogram vars hörn har koordinater $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ och $(3,8,0) $.

Lösning.

Låt oss först avbilda detta parallellogram i koordinatutrymme (fig. 5):

Figur 5. Parallelogram i koordinatutrymme. Author24 - utbyte av studentverk online

Vi ser att de två sidorna av detta parallellogram är konstruerade med hjälp av kolinjära vektorer med koordinaterna $\overline(α)=(3,0,0)$ och $\overline(β)=(0,8,0)$. Med den fjärde egenskapen får vi:

$S=|\överlinje(α)х\överlinje(β)|$

Låt oss hitta vektorn $\overline(α)х\overline(β)$:

$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\överlinje(j)+24\överlinje(k)=(0,0,24)$

Därför

$S=|\overline(α)х\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$

Uppenbarligen, när det gäller en vektorprodukt, spelar den ordning i vilken vektorerna tas också roll,

Direkt från definitionen följer också att för varje skalär faktor k (tal) gäller följande:

Korsprodukten av kolinjära vektorer är lika med nollvektorn. Dessutom är korsprodukten av två vektorer noll om och endast om de är kolinjära. (Om en av dem är en nollvektor är det nödvändigt att komma ihåg att en nollvektor per definition är kolinjär med vilken vektor som helst).

Vektorprodukten har fördelningsegendom, det vill säga

Att uttrycka vektorprodukten genom vektorernas koordinater.

Låt två vektorer ges

(hur man hittar koordinaterna för en vektor från koordinaterna för dess början och slut - se artikeln Prickprodukt av vektorer, artikel Alternativ definition av prickprodukten eller beräkning av prickprodukten av två vektorer specificerade av deras koordinater.)

Varför behöver du en vektorprodukt?

Det finns många sätt att använda korsprodukten, till exempel, som skrivits ovan, genom att beräkna korsprodukten av två vektorer kan du ta reda på om de är kolinjära.

Eller det kan användas som ett sätt att beräkna arean av ett parallellogram konstruerat från dessa vektorer. Baserat på definitionen är längden på den resulterande vektorn området för det givna parallellogrammet.

Det finns också ett stort antal tillämpningar inom elektricitet och magnetism.

Online vektor produkt kalkylator.

För att hitta skalärprodukten av två vektorer med hjälp av denna kalkylator måste du ange koordinaterna för den första vektorn på första raden i ordningsföljd. andra - andra. Koordinaterna för vektorer kan beräknas från koordinaterna för deras början och slut (se artikel Punktprodukt av vektorer, post En alternativ definition av punktprodukt, eller beräkning av punktprodukten av två vektorer som ges av deras koordinater.)

I den här lektionen kommer vi att titta på ytterligare två operationer med vektorer: vektorprodukt av vektorer Och blandad produkt av vektorer (direktlänk för de som behöver det). Det är okej, ibland händer det att för fullständig lycka, förutom skalär produkt av vektorer, mer och mer krävs. Detta är vektorberoende. Det kan tyckas att vi är på väg in i djungeln av analytisk geometri. Detta är fel. I den här delen av högre matematik finns det i allmänhet lite ved, förutom kanske tillräckligt för Pinocchio. Faktum är att materialet är väldigt vanligt och enkelt - knappast mer komplicerat än detsamma prickprodukt, till och med typiska uppgifter det blir mindre. Huvudsaken inom analytisk geometri, eftersom många kommer att vara övertygade eller redan har blivit övertygade, är ATT INTE GÖRA FEL I BERÄKNINGAR. Upprepa som en trollformel så blir du glad =)

Om vektorer gnistrar någonstans långt borta, som blixtar vid horisonten, spelar det ingen roll, börja med lektionen Vektorer för dummies att återställa eller återhämta grundläggande kunskaper om vektorer. Mer förberedda läsare kan selektivt bekanta mig med informationen som jag försökte samla in så mycket som möjligt komplett samling exempel som ofta finns i praktiskt arbete

Vad gör dig glad direkt? När jag var liten kunde jag jonglera med två och till och med tre bollar. Det gick bra. Nu behöver du inte jonglera alls, eftersom vi kommer att överväga endast rumsliga vektorer, och platta vektorer med två koordinater kommer att utelämnas. Varför? Det är så dessa handlingar föddes - vektorn och den blandade produkten av vektorer definieras och fungerar i tredimensionellt rymd. Det är redan lättare!

Denna operation, precis som den skalära produkten, innebär två vektorer. Låt dessa vara oförgängliga bokstäver.

Själva handlingen betecknas med enligt följande: . Det finns andra alternativ, men jag är van vid att beteckna vektorprodukten av vektorer på detta sätt, inom hakparenteser med ett kryss.

Och direkt fråga: om i skalär produkt av vektorer två vektorer är inblandade, och här multipliceras också två vektorer, alltså vad är skillnaden? Den uppenbara skillnaden ligger först och främst i RESULTAT:

Resultatet av den skalära produkten av vektorer är ANTAL:

Resultatet av korsprodukten av vektorer är VECTOR: , det vill säga vi multiplicerar vektorerna och får en vektor igen. Stängd klubb. Egentligen är det här namnet på operationen kommer ifrån. I olika utbildningslitteratur beteckningar kan också variera, jag använder bokstaven .

Definition av korsprodukt

Först blir det en definition med en bild, sedan kommentarer.

Definition: Vektorprodukt icke-kollinjär vektorer, tagna i denna ordning, kallad VECTOR, längd vilket är numeriskt lika med parallellogrammets area, byggd på dessa vektorer; vektor ortogonal mot vektorer, och är inriktad så att grunden har en rätt orientering:

Låt oss bryta ner definitionen, det finns mycket intressant här!

Så följande viktiga punkter kan lyftas fram:

1) De ursprungliga vektorerna, indikerade med röda pilar, per definition inte kolinjär. Det kommer att vara lämpligt att överväga fallet med kolinjära vektorer lite senare.

2) Vektorer tas i en strikt definierad ordning: – "a" multipliceras med "vara", och inte "vara" med "a". Resultatet av vektormultiplikationär VECTOR, som indikeras i blått. Om vektorerna multipliceras i omvänd ordning får vi en vektor lika lång och motsatt i riktning (hallonfärg). Det vill säga att jämställdheten är sann .

3) Låt oss nu bekanta oss med den geometriska betydelsen av vektorprodukten. Detta är en mycket viktig punkt! LÄNGDEN för den blå vektorn (och därför den crimson vektorn) är numeriskt lika med AREAN för parallellogrammet byggt på vektorerna. I figuren är detta parallellogram skuggat svart.

Notera : ritningen är schematisk, och naturligtvis är den nominella längden på vektorprodukten inte lika med parallellogrammets yta.

Låt oss komma ihåg en av geometriska formler: Arean av ett parallellogram är lika med produkten av intilliggande sidor och sinus för vinkeln mellan dem. Därför, baserat på ovanstående, är formeln för att beräkna LÄNGDEN för en vektorprodukt giltig:

Jag betonar att formeln handlar om vektorns LÄNGD och inte om själva vektorn. Vad är den praktiska innebörden? Och meningen är att i problem med analytisk geometri hittas området för ett parallellogram ofta genom konceptet med en vektorprodukt:

Låt oss få den andra viktiga formeln. Diagonalen på ett parallellogram (röd streckad linje) delar det i två lika triangel. Därför kan arean av en triangel byggd på vektorer (röd skuggning) hittas med formeln:

4) Ett lika viktigt faktum är att vektorn är ortogonal mot vektorerna, det vill säga . Naturligtvis är den motsatt riktade vektorn (hallonpilen) också ortogonal mot de ursprungliga vektorerna.

5) Vektorn är riktad så att grund har rätt orientering. I lektionen om övergång till en ny grund Jag talade tillräckligt detaljerat om plan orientering, och nu kommer vi att ta reda på vad rymdorientering är. Jag ska förklara på dina fingrar höger hand. Kombinera mentalt pekfinger med vektor och långfinger med vektor. Ringfinger och lillfinger tryck in den i handflatan. Som ett resultat tumme– vektorprodukten kommer att slå upp. Detta är en högerorienterad grund (det är den här i figuren). Ändra nu vektorerna ( pek- och långfinger) på vissa ställen, som ett resultat kommer tummen att vända sig om, och vektorprodukten kommer redan att titta ner. Detta är också en högerorienterad grund. Du kanske har en fråga: vilken grund har lämnat orienteringen? "Tilldela" till samma fingrar vänster hand vektorer, och få vänster bas och vänster orientering av rymden (i det här fallet kommer tummen att vara placerad i den nedre vektorns riktning). Bildligt talat "vrider" dessa baser eller orienterar rymden i olika riktningar. Och det här konceptet bör inte betraktas som något långsökt eller abstrakt - till exempel ändras rymdens orientering av den vanligaste spegeln, och om du "drar det reflekterade föremålet ur glaset", så är det i det allmänna fallet kommer inte att vara möjligt att kombinera det med "originalet". Håll förresten tre fingrar mot spegeln och analysera reflektionen ;-)

...hur bra det är att du nu vet om höger- och vänsterorienterad grunder, eftersom vissa föreläsares uttalanden om en förändring i inriktning är skrämmande =)

Korsprodukt av kolinjära vektorer

Definitionen har diskuterats i detalj, det återstår att se vad som händer när vektorerna är kolinjära. Om vektorerna är kolinjära kan de placeras på en rak linje och vårt parallellogram "viks" också till en rak linje. Området för sådana, som matematiker säger, degenererad parallellogram är lika med noll. Detsamma följer av formeln - sinus för noll eller 180 grader är lika med noll, vilket betyder att arean är noll

Alltså, om, då Och . Observera att själva vektorprodukten är lika med nollvektorn, men i praktiken försummas detta ofta och de skrivs att den också är lika med noll.

Specialfall– vektorprodukt av en vektor med sig själv:

Med hjälp av vektorprodukten kan du kontrollera kolineariteten hos tredimensionella vektorer, och vi kommer även att analysera bland annat detta problem.

För att lösa praktiska exempel kan du behöva trigonometrisk tabell för att hitta värdena för sinus från den.

Nåväl, låt oss tända elden:

Exempel 1

a) Hitta längden på vektorprodukten av vektorer if

b) Hitta arean av ett parallellogram byggt på vektorer if

Lösning: Nej, detta är inte ett stavfel, jag gjorde medvetet de ursprungliga uppgifterna i klausulerna lika. För designen på lösningarna blir annorlunda!

a) Enligt tillståndet måste du hitta längd vektor (korsprodukt). Enligt motsvarande formel:

Svar:

Om du blev tillfrågad om längd, anger vi i svaret dimensionen - enheter.

b) Enligt tillståndet måste du hitta fyrkant parallellogram byggt på vektorer. Arean av detta parallellogram är numeriskt lika med längden på vektorprodukten:

Svar:

Observera att svaret inte alls talar om vektorprodukten vi blev tillfrågade om figurens yta, följaktligen är dimensionen kvadratiska enheter.

Vi tittar alltid på VAD vi behöver hitta utifrån tillståndet, och utifrån detta formulerar vi rensa svar. Det kan tyckas som bokstavstrogen, men det finns gott om bokstavstrogna bland lärare, och uppgiften med bra chanseråterkommer för revision. Även om detta inte är en särskilt långsökt käbbla - om svaret är felaktigt får man intrycket att personen inte förstår enkla saker och/eller inte har förstått kärnan i uppgiften. Denna punkt måste alltid hållas under kontroll när man löser alla problem i högre matematik, och även i andra ämnen.

Var tog den stora bokstaven "en" vägen? I princip kunde det ha varit extra kopplat till lösningen, men för att förkorta posten gjorde jag inte detta. Jag hoppas att alla förstår det och är en beteckning för samma sak.

Ett populärt exempel för oberoende beslut:

Exempel 2

Hitta arean av en triangel byggd på vektorer om

Formeln för att hitta arean av en triangel genom vektorprodukten ges i kommentarerna till definitionen. Lösningen och svaret finns i slutet av lektionen.

I praktiken är uppgiften verkligen mycket vanlig; trianglar kan i allmänhet plåga dig.

För att lösa andra problem behöver vi:

Egenskaper för vektorprodukten av vektorer

Vi har redan övervägt några egenskaper hos vektorprodukten, men jag kommer att inkludera dem i den här listan.

För godtyckliga vektorer och ett godtyckligt tal är följande egenskaper sanna:

1) I andra informationskällor är denna post vanligtvis inte markerad i egenskaperna, men den är mycket viktig i rent praktiskt. Så låt det vara.

2) – fastigheten diskuteras också ovan, ibland kallas det antikommutativitet. Med andra ord, ordningen på vektorerna har betydelse.

3) – associativ eller associativ vektor produktlagar. Konstanter kan enkelt flyttas utanför vektorprodukten. Egentligen, vad ska de göra där?

4) – distribution eller distributiv vektor produktlagar. Det är inga problem med att öppna fästena heller.

För att demonstrera, låt oss titta på ett kort exempel:

Exempel 3

Hitta om

Lösning: Villkoret kräver återigen att man hittar längden på vektorprodukten. Låt oss måla vår miniatyr:

(1) Enligt associativa lagar tar vi konstanterna utanför vektorproduktens ram.

(2) Vi flyttar konstanten utanför modulen, och modulen "äter" minustecknet. Längden kan inte vara negativ.

(3) Resten är klart.

Svar:

Det är dags att lägga till mer ved till elden:

Exempel 4

Beräkna arean av en triangel byggd på vektorer om

Lösning: Hitta arean av triangeln med hjälp av formeln . Haken är att vektorerna "tse" och "de" själva presenteras som summor av vektorer. Algoritmen här är standard och påminner en del om exempel nr 3 och 4 på lektionen Punktprodukt av vektorer. För tydlighetens skull kommer vi att dela upp lösningen i tre steg:

1) I det första steget uttrycker vi vektorprodukten genom vektorprodukten, faktiskt, låt oss uttrycka en vektor i termer av en vektor. Inga ord ännu om längder!

(1) Ersätt uttrycken för vektorerna.

(2) Med hjälp av distributiva lagar öppnar vi parenteserna enligt regeln för multiplikation av polynom.

(3) Med hjälp av associativa lagar flyttar vi alla konstanter bortom vektorprodukterna. Med lite erfarenhet kan steg 2 och 3 utföras samtidigt.

(4) De första och sista termerna är lika med noll (nollvektor) på grund av den fina egenskapen. I den andra termen använder vi egenskapen antikommutativitet för en vektorprodukt:

(5) Vi presenterar liknande termer.

Som ett resultat visade sig vektorn uttryckas genom en vektor, vilket är vad som krävdes för att uppnås:

2) I det andra steget hittar vi längden på vektorprodukten vi behöver. Denna åtgärd liknar exempel 3:

3) Hitta arean av den önskade triangeln:

Steg 2-3 av lösningen kunde ha skrivits på en rad.

Svar:

Problemet som betraktas är ganska vanligt i tester, här är ett exempel på en oberoende lösning:

Exempel 5

Hitta om

En kort lösning och svar i slutet av lektionen. Låt oss se hur uppmärksam du var när du studerade de tidigare exemplen ;-)

Korsprodukt av vektorer i koordinater

, specificerad på ortonormal basis, uttrycks med formeln:

Formeln är verkligen enkel: i den översta raden av determinanten skriver vi koordinatvektorerna, på den andra och tredje raden "sätter" vi koordinaterna för vektorerna, och vi sätter i strikt ordning– först koordinaterna för vektorn "ve", sedan koordinaterna för vektorn "dubbel-ve". Om vektorerna behöver multipliceras i en annan ordning, bör raderna bytas:

Exempel 10

Kontrollera om följande rymdvektorer är kolinjära:
A)
b)

Lösning: Kontrollen är baserad på ett av påståendena i den här lektionen: om vektorerna är kolinjära är deras vektorprodukt lika med noll (noll vektor): .

a) Hitta vektorprodukten:

Således är vektorerna inte kolinjära.

b) Hitta vektorprodukten:

Svar: a) inte kolinjär, b)

Här är kanske all grundläggande information om vektorprodukten av vektorer.

Detta avsnitt kommer inte att vara särskilt stort, eftersom det finns få problem där den blandade produkten av vektorer används. Faktum är att allt beror på definitionen, geometrisk betydelse och ett par arbetsformler.

En blandad produkt av vektorer är produkten av tre vektorer:

Så de ställde upp som ett tåg och kan inte vänta på att bli identifierade.

Först, återigen, en definition och en bild:

Definition: Blandat arbete icke-koplanär vektorer, tagna i denna ordning, ringde parallellepiped volym, byggd på dessa vektorer, utrustad med ett "+"-tecken om basen är höger, och ett "–"-tecken om basen är vänster.

Låt oss rita. Linjer som är osynliga för oss ritas med prickade linjer:

Låt oss dyka in i definitionen:

2) Vektorer tas i en viss ordning, det vill säga omordningen av vektorer i produkten, som du kan gissa, sker inte utan konsekvenser.

3) Innan jag kommenterar den geometriska betydelsen kommer jag att notera ett uppenbart faktum: den blandade produkten av vektorer är ett TAL: . I utbildningslitteratur kan designen vara något annorlunda Jag är van vid att beteckna en blandad produkt med , och resultatet av beräkningar med bokstaven "pe".

Per definition den blandade produkten är volymen av parallellepipeden, byggd på vektorer (figuren är ritad med röda vektorer och svarta linjer). Det vill säga att antalet är lika med volymen av en given parallellepiped.

Notera : Ritningen är schematisk.

4) Låt oss inte oroa oss igen om konceptet med orientering av basen och utrymmet. Meningen med den sista delen är att ett minustecken kan läggas till volymen. Med enkla ord, kan den blandade produkten vara negativ: .

Direkt från definitionen följer formeln för att beräkna volymen av en parallellepiped byggd på vektorer.