Som är lika med produkten av kraften med sin skuldra.
Kraftmomentet beräknas med formeln:
Var F- tvinga, l- axel av styrka.
Axel av makt- detta är det kortaste avståndet från kraftens verkningslinje till kroppens rotationsaxel. Bilden nedan visar en stel kropp som kan rotera runt en axel. Denna kropps rotationsaxel är vinkelrät mot figurens plan och passerar genom punkten, som betecknas som bokstaven O. Kraftskuldran Med här är avståndet l, från rotationsaxeln till kraftens verkningslinje. Det definieras så här. Det första steget är att rita en kraftlinje, sedan från punkt O, genom vilken kroppens rotationsaxel passerar, sänk en vinkelrät mot kraftens verkningslinje. Längden på denna vinkelrät visar sig vara armen för en given kraft.
Kraftmomentet kännetecknar en krafts roterande verkan. Denna åtgärd är beroende av både styrka och hävstångseffekt. Ju större hävstång, desto mindre kraft måste appliceras för att uppnå önskat resultat, det vill säga samma kraftmoment (se figuren ovan). Det är därför det är mycket svårare att öppna en dörr genom att trycka den nära gångjärnen än att ta tag i handtaget, och det är mycket lättare att skruva loss en mutter med en lång än med en kort skiftnyckel.
SI-enheten för kraftmoment anses vara ett kraftmoment på 1 N, vars arm är lika med 1 m - newtonmeter (N m).
Ögonblickens regel.
En stel kropp som kan rotera runt fast axel, är i jämvikt om kraftmomentet M 1 att rotera den medurs är lika med kraftmomentet M 2 , som roterar den moturs:
Momentregeln är en följd av en av mekanikens teorem, som formulerades av den franske vetenskapsmannen P. Varignon 1687.
Ett par krafter.
Om en kropp påverkas av 2 lika och motsatt riktade krafter som inte ligger på samma räta linje, är en sådan kropp inte i jämvikt, eftersom det resulterande momentet för dessa krafter i förhållande till någon axel inte är lika med noll, eftersom båda krafterna har moment riktade i samma riktning. Två sådana krafter som samtidigt verkar på en kropp kallas ett par krafter. Om kroppen är fixerad på en axel, kommer den att rotera under påverkan av ett par krafter. Om ett par krafter appliceras på en fri kropp, kommer den att rotera runt sin axel. passerar genom kroppens tyngdpunkt, figur b.
Momentet för ett kraftpar är detsamma kring vilken axel som helst som är vinkelrät mot parets plan. Totalt ögonblick M par alltid lika med produkten en av krafterna F på avstånd l mellan krafter, som kallas parets axel, oavsett vilka segment l, och delar positionen för axelns axel på paret:
Momentet för flera krafter, vars resultant är noll, kommer att vara detsamma i förhållande till alla axlar parallella med varandra, därför kan verkan av alla dessa krafter på kroppen ersättas av verkan av ett kraftpar med samma ögonblick.
Bestämning av kraftmomentet relativt en punkt och en axel. Bestämning av kraftarmen i förhållande till en punkt. Formuleringar och bevis på kraftmomentets egenskaper. Uttryck av momentets absoluta värde i form av produkten av kraftarmen och kraftmodulen.
InnehållMomentet kring punkten O, från kraften vars verkningslinje går genom denna punkt, är lika med noll.
.
Detsamma gäller krafter vars fortsättningslinjer skär varandra i en punkt. I det här fallet tas skärningspunkten för linjerna för deras handling som tillämpningspunkten för summan av krafter.
,
.
Kraftens ögonblick är pseudovektor eller, vad är samma, axiell vektor.
Denna egenskap följer av egenskapen hos vektorprodukten. Eftersom vektorerna är Sann(eller polär) vektorer, sedan deras vektor produktär pseudovektor. Det betyder att vi bara kan bestämma absolutvärdet och den axel längs vilken vektorprodukten är riktad. Vi ställer in riktningen längs denna axel godtyckligt, med hjälp av regeln för den högra skruven. Det vill säga att vi mentalt plottar vektorer från samma centrum. Vrid sedan handtaget från position till position. Som ett resultat rör sig den högra skruven i en riktning vinkelrät mot planet där vektorerna är belägna. Vi tar denna riktning som vektorproduktens riktning.
Men om vi bestämde riktningen med hjälp av den vänstra skruvregeln, så skulle vektorprodukten riktas i motsatt riktning. I det här fallet uppstår ingen motsägelse. Det vill säga, i själva verket kan axiella vektorer ha två inbördes motsatta riktningar. För att inte komplicera de matematiska formlerna väljer vi en av dem med hjälp av rätt skruvregel. Av denna anledning kan pseudovektorer inte adderas geometriskt till sanna vektorer. Men de kan multipliceras med hjälp av en skalär eller vektorprodukt.
Kraftmoment runt axeln
Definition
Det finns ofta fall då vi inte behöver veta alla komponenter i momentet för en kraft om en vald punkt, utan bara behöver veta momentet för en kraft runt en vald axel.
Kraftmomentet kring en axel är projektionen av vektorn för kraftmomentet kring en godtycklig punkt som hör till denna axel på axelns riktning.
Låta vara en enhetsvektor riktad längs axeln. Och låt O vara en godtycklig punkt som hör till den. Då är kraftmomentet runt axeln en skalär produkt:
.
Denna definition är möjlig eftersom för vilka två punkter O och O som helst som hör till axeln är projektionerna av momenten kring dessa punkter på axeln lika. Låt oss visa det.
Låt oss använda vektorekvationen:
;
.
Låt oss multiplicera denna ekvation skalärt med en enhetsvektor riktad längs axeln:
.
Eftersom vektorn är parallell med axeln, då . Härifrån
.
Det vill säga projektionerna av moment på axeln i förhållande till punkterna O och O′ som hör till denna axel är lika.
Egenskaper
Momentet kring en axel på grund av en kraft vars verkningslinje går genom denna axel är lika med noll.
Bevis på egenskaper
Flytta punkten för applicering av kraft längs linjen för dess verkan
Om kraftanbringningspunkten flyttas längs kraftens verkningslinje, kommer ögonblicket, med sådan rörelse, inte att förändras.
Bevis
Låt kraften appliceras vid punkt A. Genom punkt A drar vi en rät linje parallell med kraftvektorn. Denna räta linje är linjen för dess handling. Låt oss flytta kraftpåläggningspunkten A till punkten A′ som hör till handlingslinjen. Sedan
.
Vektorn ritas genom två punkter på handlingslinjen. Därför sammanfaller dess riktning eller är motsatt riktningen för kraftvektorn. Sedan, där λ är en parameter; . , om punkten A′ förskjuts i förhållande till A i vektorns riktning. Annars.
Således har vektorn från O till A′ formen:
.
Låt oss hitta kraftmomentet som appliceras vid punkt A′ med hjälp av egenskaperna hos vektorprodukten:
.
Vi ser att ögonblicket inte har förändrats:
.
Fastigheten är bevisad.
Det absoluta värdet av kraftmomentet
Absolutvärde kraftmoment i förhållande till en viss punkt är lika med produkten av kraftens absoluta värde och skuldran av denna kraft i förhållande till den valda punkten.
Bevis
Det absoluta värdet av momentet M relativt punkt O är lika med produkten av kraften F och dess arm d = |OD| .
Låt oss anbringa en kraft vid punkt A. Låt oss betrakta ögonblicket för denna kraft i förhållande till någon punkt O. Observera att punkterna O, A och vektorn ligger i samma plan. Låt oss avbilda det i figuren. Dra en rät linje AB genom punkt A, i vektorns riktning. Denna räta linje kallas kraftens verkningslinje. Genom punkt O sänker vi den vinkelräta OD till verkningslinjen. Och låt D vara skärningspunkten mellan handlingslinjen och vinkelrät. Sedan är kraftarmen i förhållande till mitten O. Låt oss beteckna det med bokstaven. Låt oss använda , enligt vilken punkten för applicering av kraft kan flyttas längs dess handlingslinje. Låt oss flytta det till punkt D. Kraftens ögonblick:
.
Eftersom vektorerna och är vinkelräta, då, genom egenskapen hos vektorprodukten, det absoluta värdet av momentet:
,
var är kraftens absoluta värde.
Observera att momentvektorn är vinkelrät mot ritningens plan. Dess riktning bestäms av rätt skruvregel. Om vi roterar en skruv som passerar genom punkt O vinkelrätt mot figurens plan i kraften Fs riktning, kommer den att röra sig mot oss. Därför är momentvektorn vinkelrät mot ritningens plan och riktad mot oss.
Fastigheten är bevisad.
Moment omkring en punkt på grund av en kraft som passerar genom den punkten
Momentet kring punkten O, från kraften vars verkningslinje går genom denna punkt, är lika med noll.
Bevis
Låt kraftens verkningslinje passera genom punkt O. Då är skuldran för denna kraft i förhållande till O lika med noll: . Enligt är det absoluta värdet av kraftmomentet i förhållande till den valda punkten noll:
.
Fastigheten är bevisad.
Moment för summan av krafter som appliceras vid en punkt
Momentet från vektorsumman av krafter som appliceras på en punkt i kroppen är lika med vektorsumman av moment från var och en av krafterna som appliceras på samma punkt:
.
Bevis
Låt krafterna appliceras på en punkt A. Låt vara vektorsumman av dessa krafter. Vi hittar momentet omkring någon punkt O från vektorsumman som tillämpas vid punkt A. För att göra detta använder vi egenskaperna för en vektorprodukt:
.
Fastigheten är bevisad.
Moment för ett kraftsystem vars vektorsumma är noll
Om vektorsumman av krafter är noll:
,
då beror summan av momenten från dessa krafter inte på läget för mitten i förhållande till vilket momenten beräknas:
.
Bevis
Låt krafterna appliceras på punkter, respektive. Och låt punkterna O och C beteckna de två centra som vi ska beräkna momenten kring. Då gäller följande vektorekvationer:
.
Vi använder dem när vi beräknar summan av moment kring punkt O:
det anges att kraftmomentet kring en axel är projektionen av vektorn för kraftmomentet relativt en godtycklig punkt som hör till denna axel i axelns riktning. Som en sådan punkt tar vi skärningspunkten för kraftens verkningslinje med axeln. Men enligt , är ögonblicket kring denna punkt lika med noll. Därför är dess projektion på denna axel också noll.
Fastigheten är bevisad.
Moment kring en axel på grund av en kraft parallell med denna axel
Momentet kring en axel på grund av en kraft parallell med denna axel är lika med noll.
Bevis
Låt O vara en godtycklig punkt på axeln. Låt oss överväga kraftens ögonblick på denna punkt. Enligt definitionen:
.
Enligt korsproduktegenskapen är momentvektorn vinkelrät mot kraftvektorn. Eftersom kraftvektorn är parallell med axeln är momentvektorn vinkelrät mot den. Därför är projektionen av momentet kring punkt O på axeln noll.
Fastigheten är bevisad.
Kraftmoment runt axelnär ögonblicket för projektion av en kraft på ett plan vinkelrätt mot en axel, i förhållande till skärningspunkten mellan axeln och detta plan
Ett ögonblick kring en axel är positivt om kraften tenderar att rotera planet vinkelrätt mot axeln moturs när man tittar mot axeln.
Kraftmomentet runt axeln är 0 i två fall:
Om kraften är parallell med axeln
Om kraften korsar axeln
Om aktionslinjen och axeln ligger i samma plan, är kraftmomentet runt axeln lika med 0.
27. Samband mellan kraftmomentet kring en axel och vektorkraftmomentet kring en punkt.
Mz(F)=Mo(F)*cosαKraftmomentet relativt axeln är lika med projektionen av vektorn för kraftmomentet relativt axelns punkt på denna axel.
28. Statikens huvudsats om att föra ett kraftsystem till ett givet centrum (Poinsots teorem). Huvudvektorn och huvudmomentet för kraftsystemet.
I det allmänna fallet kan vilket rumsligt kraftsystem som helst ersättas av ett ekvivalent system som består av en kraft som appliceras på någon punkt av kroppen (reduktionscentrum) och som är lika med huvudvektorn för detta kraftsystem, och ett kraftpar , vars moment är lika med huvudmomentet för alla krafter i förhållande till det valda adduktionscentrumet.
Kraftsystemets huvudvektor kallas vektor R, lika med vektorsumman av dessa krafter:
R = F 1 + F 2 + ... + F n= F i.
För ett plan kraftsystem ligger dess huvudvektor i dessa krafters verkningsplan.
Huvudpunkten i kraftsystemet relativt centrum O kallas en vektor L O, lika med summan av vektormomenten för dessa krafter i förhållande till punkt O:
L O= M O( F 1) + M O( F 2) + ... + M O( F n) = M O( F i).
Vektor R beror inte på valet av centrum O och vektorn L När mittens läge ändras kan O i allmänhet ändras.
Poinsots teorem: Ett godtyckligt rumsligt kraftsystem kan ersättas av en kraft med kraftsystemets huvudvektor och ett kraftpar med ett huvudmoment utan att störa den stela kroppens tillstånd. Huvudvektorn är den geometriska summan av alla krafter som verkar på en fast kropp och ligger i krafternas verkningsplan. Huvudvektorn betraktas genom sina projektioner på koordinataxlarna.
För att föra krafter till ett givet centrum som appliceras vid någon punkt av en solid kropp, är det nödvändigt: 1) överför kraften parallellt med sig själv till ett givet centrum utan att ändra kraftmodulen; 2) vid ett givet centrum, applicera ett kraftpar, vars vektormoment är lika med vektormomentet för den överförda kraften i förhållande till det nya centrumet.
Huvudmomentets beroende av valet av reduktionscentrum. Huvudmomentet om det nya reduktionscentrumet är lika med den geometriska summan av huvudmomentet om det gamla reduktionscentrumet och vektorprodukten av radievektorn som förbinder det nya reduktionscentrumet med det gamla med huvudvektorn.
29 Särskilda fall av reduktion av ett rumsligt kraftsystem
|
Huvudvektor- och huvudmomentvärden |
Resultat av gjutning |
|
|
|
Force system reduceras till ett kraftpar, vars moment är lika med huvudmomentet (kraftsystemets huvudmoment beror inte på valet av reduktionscentrum O). |
|
|
|
Kraftsystemet reduceras till en resultant lika med att passera genom centrum O. |
|
|
|
Kraftsystemet reduceras till en resultant lika med huvudvektorn och parallell med den och belägen på avstånd från den. Positionen för resultantens verkningslinje måste vara sådan att riktningen för dess moment i förhållande till reduktionscentrum O sammanfaller med riktningen relativt centrum O. |
|
|
|
Kraftsystemet reduceras till en dyna (kraftskruv) - en kombination av kraft och ett kraftpar som ligger i ett plan vinkelrätt mot denna kraft. |
|
|
|
Systemet av krafter som appliceras på en fast kropp är balanserat. |
, och vektorerna är inte vinkelräta
30. Minskad dynamik. Inom mekaniken kallas dynamik för en sådan uppsättning krafter och kraftpar () som verkar på en solid kropp, där kraften är vinkelrät mot kraftparets verkningsplan. Med hjälp av vektormomentet för ett kraftpar kan vi också definiera dynamik som kombinationen av en kraft och ett par vars kraft är parallell med vektormomentet för kraftparet.
Ekvation för den centrala spiralaxeln Låt oss anta att vid reduktionscentrum, taget som origo för koordinater, är huvudvektorn med projektioner på koordinataxlarna och huvudpoäng med projektioner När kraftsystemet förs till reduktionens centrum O 1 (fig. 30), erhålls en dyna med huvudvektorn och huvudmomentet, vektorer och som bildar en linama. är parallella och kan därför endast skilja sig åt i skalärfaktorn k 0. Vi har, eftersom huvudmomenten och uppfyller förhållandet
Vi får ersätta
Låt oss beteckna koordinaterna för punkt O 1 där dynamiken erhålls som x, y, z. Då är projektionerna av vektorn på koordinataxlarna lika med koordinaterna x, y, z. Med tanke på detta kan (*) uttryckas i formuläret
där jag. j ,k är enhetsvektorer för koordinataxlarna, och vektorprodukten *representeras av determinanten. Vektorekvationen (**) är ekvivalent med tre skalära ettor, som, efter att ha kasserats, kan representeras som
De resulterande linjära ekvationerna för koordinaterna x, y, z är ekvationerna för en rät linje - den centrala spiralaxeln. Följaktligen finns det en rät linje vid vars punkter kraftsystemet reduceras till dynamik.
Definition
Vektorprodukten av radien - vektor (), som dras från punkt O (Fig. 1) till punkten där kraften appliceras på själva vektorn kallas kraftmomentet () med avseende på punkt O:
I fig. 1 är punkt O och kraftvektorn () och radievektorn i figurens plan. I det här fallet är vektorn för kraftmomentet () vinkelrät mot ritningens plan och har en riktning bort från oss. Vektorn för kraftmomentet är axiell. Kraftmomentvektorns riktning väljs på så sätt att rotation runt punkt O i kraftriktningen och vektorn skapar ett högerhänt system. Riktning av kraftmomentet och vinkelacceleration passa ihop.
Vektorns storlek är:
där är vinkeln mellan radien och kraftvektorns riktningar, är kraftarmen relativt punkt O.
Kraftmoment runt axeln
Kraftmomentet i förhållande till axeln är fysisk kvantitet, lika med projektionen av vektorn för kraftmomentet i förhållande till punkten för den valda axeln på denna axel. I det här fallet spelar valet av punkt ingen roll.
Styrkans främsta ögonblick
Huvudmomentet för en uppsättning krafter i förhållande till punkt O kallas en vektor (kraftmoment), som lika med summan moment för alla krafter som verkar i systemet i förhållande till samma punkt:
I detta fall kallas punkt O centrum för reduktion av kraftsystemet.
Om det finns två huvudmoment ( och ) för ett kraftsystem för olika två kraftcentra (O och O'), så är de relaterade med uttrycket:
där är radievektorn, som dras från punkt O till punkt O’, är kraftsystemets huvudvektor.
I det allmänna fallet är resultatet av verkan av ett godtyckligt kraftsystem på en stel kropp detsamma som verkan på kroppen av kraftsystemets huvudmoment och kraftsystemets huvudvektor, vilket är appliceras i reduktionens centrum (punkt O).
Grundlag för rotationsrörelsens dynamik
var är rörelsemängden för en kropp i rotation.
För en solid kropp kan denna lag representeras som:
där I är kroppens tröghetsmoment och är vinkelaccelerationen.
Momentenheter
Den grundläggande måttenheten för kraftmoment i SI-systemet är: [M]=N m
I GHS: [M]=din cm
Exempel på problemlösning
Exempel
Träning. Figur 1 visar en kropp som har en rotationsaxel OO". Kraftmomentet som appliceras på kroppen i förhållande till en given axel blir lika med noll? Axeln och kraftvektorn är placerade i figurens plan.
Lösning. Som grund för att lösa problemet kommer vi att ta formeln som bestämmer kraftmomentet:
I vektorprodukten (kan ses från figuren). Vinkeln mellan kraftvektorn och radievektorn kommer också att skilja sig från noll (eller), därför är vektorprodukten (1.1) inte lika med noll. Det betyder att kraftmomentet skiljer sig från noll.
Svar.
Exempel
Träning. Vinkelhastighet av en roterande stel kropp förändras i enlighet med grafen som visas i fig. 2. Vid vilken av punkterna som anges på grafen är kraftmomentet som appliceras på kroppen lika med noll?
