Tröghetsmoment för dummies: definition, formler, exempel på problemlösning. Geometriska egenskaper hos plana sektioner Vad är axiellt tröghetsmoment

GEOMETRISKA KARAKTERISTIKA FÖR PLATSAKER.

Som erfarenheten visar beror en stavs motstånd mot olika deformationer inte bara på tvärsnittsdimensionerna utan också på formen.

Tvärsnittsdimensionerna och formen kännetecknas av olika geometriska egenskaper: tvärsnittsarea, statiska moment, tröghetsmoment, motståndsmoment, etc.

1. Statiskt moment för arean(tröghetsmoment av första graden).

Statiskt tröghetsmoment area relativt vilken axel som helst är summan av produkterna av elementära områden och avståndet till denna axel, fördelat över hela området (fig. 1)

Figur 1

Egenskaper för statiskt areamoment:

1. Det statiska areamomentet mäts i längdenheter för tredje potensen (till exempel cm 3).

2. Det statiska momentet kan vara mindre än noll, större än noll och därför lika med noll. De axlar kring vilka det statiska momentet är noll passerar genom sektionens tyngdpunkt och kallas centralaxlar.

Om x c Och y cär koordinaterna för tyngdpunkten, alltså

3. Statiskt tröghetsmoment för en komplex sektion relativt vilken axel som helst lika med summan statiska moment för komponenterna i enkla sektioner i förhållande till samma axel.

Begreppet statiskt tröghetsmoment i vetenskapen om styrka används för att bestämma läget för sektionernas tyngdpunkt, även om man måste komma ihåg att i symmetriska sektioner ligger tyngdpunkten i skärningspunkten mellan symmetriaxlarna.

2. Tröghetsmoment för plana sektioner (figurer) (tröghetsmoment av andra graden).

A) axial(ekvatoriellt) tröghetsmoment.

Axiella tröghetsmoment Arean av en figur i förhållande till någon axel är summan av produkterna av elementära områden med kvadraten på avståndet till denna distributionsaxel över hela området (fig. 1)

Egenskaper för det axiella tröghetsmomentet.

1. Områdets axiella tröghetsmoment mäts i längdenheter av fjärde potensen (till exempel cm 4).

2. Det axiella tröghetsmomentet är alltid större än noll.

3. Det axiella tröghetsmomentet för en komplex sektion i förhållande till vilken axel som helst är lika med summan av de axiella momenten för komponenterna i enkla sektioner i förhållande till samma axel:

4. Storleken på det axiella tröghetsmomentet kännetecknar förmågan hos en stav (balk) med ett visst tvärsnitt att motstå böjning.

b) Polärt tröghetsmoment.

Polärt tröghetsmoment Arean av en figur i förhållande till någon pol är summan av produkterna av elementära områden med kvadraten på avståndet till polen, fördelat över hela området (fig. 1).

Egenskaper för det polära tröghetsmomentet:

1. Det polära tröghetsmomentet för ett område mäts i längdenheter av fjärde potensen (till exempel cm 4).

2. Det polära tröghetsmomentet är alltid större än noll.

3. Det polära tröghetsmomentet för en komplex sektion i förhållande till någon pol (centrum) är lika med summan av de polära momenten för komponenterna i enkla sektioner i förhållande till denna pol.

4. Det polära tröghetsmomentet för en sektion är lika med summan av de axiella tröghetsmomenten för denna sektion relativt två inbördes vinkelräta axlar som passerar genom polen.

5. Storleken på det polära tröghetsmomentet kännetecknar förmågan hos en stav (balk) med en viss tvärsnittsform att motstå vridning.

c) Centrifugalt tröghetsmoment.

Det CENTRIFUGALA TRÖGHETSMOMENTET för arean av en figur i förhållande till vilket koordinatsystem som helst är summan av produkterna av elementära områden och koordinater, utsträckt till hela området (Fig. 1)

Egenskaper för det centrifugala tröghetsmomentet:

1. Det centrifugala tröghetsmomentet för ett område mäts i längdenheter av fjärde potensen (till exempel cm 4).

2. Det centrifugala tröghetsmomentet kan vara större än noll, mindre än noll och lika med noll. De axlar kring vilka det centrifugala tröghetsmomentet är noll kallas för tröghetsaxlarna. Två ömsesidigt vinkelräta axlar, varav åtminstone en är en symmetriaxel, kommer att vara huvudaxlarna. De huvudsakliga axlarna som passerar genom områdets tyngdpunkt kallas de huvudsakliga centralaxlarna, och de axiella tröghetsmomenten för området kallas de huvudsakliga centrala tröghetsmomenten.

3. Centrifugaltröghetsmomentet för en komplex sektion i vilket koordinatsystem som helst är lika med summan av centrifugaltröghetsmomenten för de ingående figurerna i samma koordinatsystem.

TRÖGGSMOMENT RELATIVT TILL PARALLELLA AXLAR.

Fig.2

Givet: yxor x, y– central;

de där. det axiella tröghetsmomentet i en sektion kring en axel parallell med den centrala är lika med det axiella momentet kring dess centrala axel plus produkten av arean och kvadraten på avståndet mellan axlarna. Härav följer att det axiella tröghetsmomentet för sektionen i förhållande till den centrala axeln har ett minimivärde i ett system med parallella axlar.

Efter att ha gjort liknande beräkningar för det centrifugala tröghetsmomentet får vi:

J x1y1 =J xy +Aab

de där. Centrifugaltröghetsmomentet för sektionen i förhållande till axlarna parallella med det centrala koordinatsystemet är lika med centrifugalmomentet i det centrala koordinatsystemet plus produkten av arean och avståndet mellan axlarna.

TRÖGGSMOMENT I ETT ROTERADE KOORDINATSYSTEM

de där. summan av sektionens axiella tröghetsmoment är ett konstant värde, beror inte på koordinataxlarnas rotationsvinkel och är lika med det polära tröghetsmomentet i förhållande till origo. Det centrifugala tröghetsmomentet kan ändra sitt värde och bli "0".

De axlar kring vilka centrifugalmomentet är noll kommer att vara tröghetsaxlarna, och om de passerar genom tyngdpunkten kallas de för tröghetsaxlarna och betecknas " u" och "".

Tröghetsmomenten kring de huvudsakliga centrala axlarna kallas de huvudsakliga centrala tröghetsmomenten och betecknas , och de viktigaste centrala tröghetsmomenten har extrema värden, dvs. en är "min" och den andra är "max".

Låt vinkeln "a 0" karakterisera huvudaxlarnas position, då:

Med hjälp av detta beroende bestämmer vi positionen för huvudaxlarna. Storleken på de viktigaste tröghetsmomenten efter vissa transformationer bestäms av följande förhållande:

EXEMPEL PÅ BESTÄMNING AV Axiella tröghetsmoment, polära tröghetsmoment och motståndsmoment för enkla figurer.

1. Rektangulär sektion

Axlar x och y - här och i andra exempel - de viktigaste centrala tröghetsaxlarna.

Låt oss bestämma de axiella motståndsmomenten:

2. Rund massiv sektion. Tröghetsmoment.

Det axiella tröghetsmomentet är lika med summan av produkterna från de elementära områdena och kvadraten på avståndet till motsvarande axel.

(8)

Tecknet är alltid "+".

Kan inte vara lika med 0.

Fast egendom: Tar ett minimivärde när skärningspunkten för koordinataxlarna sammanfaller med sektionens tyngdpunkt.

Det axiella tröghetsmomentet för en sektion används vid beräkningar av styrka, styvhet och stabilitet.

1.3. Polärt tröghetsmoment för sektionen Jρ

(9)

Förhållandet mellan polära och axiella tröghetsmoment:

(10)

(11)

Sektionens polära tröghetsmoment är lika med summan av de axiella momenten.

Fast egendom:

När axlarna roteras i valfri riktning ökar ett av de axiella tröghetsmomenten och det andra minskar (och vice versa). Summan av de axiella tröghetsmomenten förblir konstant.

1.4. Centrifugalt tröghetsmoment för sektionen Jxy

Det centrifugala tröghetsmomentet för sektionen är lika med summan av produkterna från de elementära områdena och avstånden till båda axlarna

(12)

Måttenhet [cm 4 ], [mm 4 ].

Tecken "+" eller "-".

, om koordinataxlarna är symmetriaxlar (exempel - I-stråle, rektangel, cirkel), eller en av koordinataxlarna sammanfaller med symmetriaxeln (exempel - kanal).

För symmetriska figurer är alltså centrifugaltröghetsmomentet 0.

Koordinataxlar u Och v , som passerar genom tyngdpunkten för sektionen, kring vilken centrifugalmomentet är lika med noll, kallas huvudtröghetsaxlarna i sektionen. De kallas huvud eftersom centrifugalmomentet relativt dem är noll, och centralt eftersom de passerar genom sektionens tyngdpunkt.

För sektioner som inte är symmetriska kring axlarna x eller y till exempel vid hörnet, kommer inte att vara lika med noll. För dessa sektioner bestäms axlarnas position u Och v genom att beräkna axlarnas rotationsvinkel x Och y

(13)

Centrifugalmoment kring axlarna u Och v -

Formel för bestämning av axiella tröghetsmoment kring de huvudsakliga centralaxlarna u Och v :

(14)

Var
- axiella tröghetsmoment i förhållande till de centrala axlarna,

- centrifugalt tröghetsmoment i förhållande till de centrala axlarna.

1.5. Tröghetsmoment kring en axel parallell med den centrala (Steiners sats)

Steiners teorem:

Tröghetsmomentet kring en axel parallell med den centrala är lika med det centrala axiella tröghetsmomentet plus produkten av hela figurens area och kvadraten på avståndet mellan axlarna.

(15)

Bevis för Steiners teorem.

Enligt fig. 5 avstånd på till den elementära platsen dF

Ersätter värdet på i formeln får vi:

Termin
, eftersom punkt C är tyngdpunkten för sektionen (se egenskapen för statiska moment av snittarean i förhållande till de centrala axlarna).

För en rektangel med höjdh och breddb :

Axiella tröghetsmoment:

Böjningsmoment:

motståndet mot böjning är lika med förhållandet mellan tröghetsmomentet och avståndet för den mest avlägsna fibern från neutrallinjen:

därför att
, Den där

För en cirkel:

Polärt tröghetsmoment:

Axiella tröghetsmoment:

Vridmoment:

Därför att
, Den där

Böjningsmoment:

Exempel 2. Bestäm tröghetsmomentet för ett rektangulärt tvärsnitt runt den centrala axeln MED x .

Lösning. Låt oss dela upp arean av rektangeln i elementära rektanglar med dimensioner b (bredd) och dy (höjd). Då är arean av en sådan rektangel (skuggad i fig. 6) lika med dF=bdy. Låt oss beräkna värdet på det axiella tröghetsmomentet J x

I analogi skriver vi

- axiellt tröghetsmoment för sektionen i förhållande till mitten

Centrifugalt tröghetsmoment

, eftersom axlarna MED x och C y är symmetriaxlar.

Exempel 3. Bestäm det polära tröghetsmomentet för ett cirkulärt tvärsnitt.

Lösning. Låt oss dela in cirkeln i oändligt tunna ringar av tjocklek
radie , området för en sådan ring
. Ersätter värdet
Genom att integrera i uttrycket för det polära tröghetsmomentet får vi

Med hänsyn till likheten mellan axiella moment i en cirkulär sektion
Och

, vi får

De axiella tröghetsmomenten för ringen är lika

Med– förhållandet mellan utskärningsdiametern och axelns ytterdiameter.

Föreläsning nr 2 ”Huvudyxor ochhuvudpunktertröghet

Låt oss överväga hur tröghetsmomenten förändras när koordinataxlarna roteras. Låt oss anta att tröghetsmomenten för en viss sektion i förhållande till 0-axlarna är givna X, 0på(inte nödvändigtvis centralt) - ,- sektionens axiella tröghetsmoment. Behöver bestämma ,- axiella moment kring axlarna u,v, roterad i förhållande till det första systemet med en vinkel
(Fig. 8)

Eftersom projektionen av den brutna linjen OABC är lika med projektionen av den bakre linjen, finner vi:

(15)

Låt oss utesluta u och v i uttrycken för tröghetsmoment:

(18)

Låt oss betrakta de två första ekvationerna. Lägger vi till dem term för term, får vi

Således beror summan av axiella tröghetsmoment kring två ömsesidigt vinkelräta axlar inte på vinkeln
och förblir konstant när axlarna roteras. Låt oss samtidigt notera det

Var - avstånd från koordinaternas ursprung till den elementära platsen (se fig. 5). Således

Var - det redan välkända polära tröghetsmomentet:

Låt oss bestämma cirkelns axiella tröghetsmoment i förhållande till diametern.

Sedan på grund av symmetri
men som ni vet,

Därför för en cirkel

Med ändring av axlarnas rotationsvinkel
momentvärden Och ändras, men beloppet förblir detsamma. Därför finns det en sådan mening
, vid vilket ett av tröghetsmomenten når sitt maximala värde, medan det andra momentet antar ett minimivärde. Att differentiera uttrycket efter vinkel
och likställa derivatan med noll, finner vi

(19)

Vid detta vinkelvärde
ett av de axiella momenten kommer att vara det största och det andra kommer att vara det minsta. Samtidigt, det centrifugala tröghetsmomentet
försvinner, vilket enkelt kan verifieras genom att likställa formeln för centrifugaltröghetsmomentet med noll
.

Axlar kring vilka det centrifugala tröghetsmomentet är noll och de axiella momenten har extrema värden kallas huvudyxor. Om de också är centrala (ursprungspunkten sammanfaller med sektionens tyngdpunkt), så kallas de centrala huvudaxlar (u; v). Axiella tröghetsmoment kring huvudaxlarna kallas huvudsakliga tröghetsmoment -Och

Och deras värde bestäms av följande formel:

(20)

Plustecknet motsvarar det maximala tröghetsmomentet, minustecknet till minimum.

Det finns en annan geometrisk egenskap - svängningsradie sektioner. Detta värde används ofta i teoretiska slutsatser och praktiska beräkningar.

Svängradien för sektionen relativt en viss axel, till exempel 0 x , kallas kvantiteten , bestäms utifrån jämlikhet

(21)

F – tvärsnittsarea,

- axiellt tröghetsmoment för sektionen,

Av definitionen följer att svängningsradien är lika med avståndet från axeln 0 X till den punkt vid vilken tvärsnittsarean F bör koncentreras (villkorligt) så att tröghetsmomentet för denna punkt är lika med tröghetsmomentet för hela sektionen. Genom att känna till sektionens tröghetsmoment och dess yta kan du hitta gyrationsradien i förhållande till 0-axeln X:

(22)

Girationsradien som motsvarar huvudaxlarna kallas huvudsakliga tröghetsradier och bestäms av formlerna

(23)

Föreläsning 3. Torsion av stavar med cirkulärt tvärsnitt.

tröghetsprodukt, en av de storheter som kännetecknar fördelningen av massor i en kropp ( mekaniskt system). C. m. och. beräknas som summor av produkter av massor m till punkter i kroppen (systemet) till två av koordinaterna x k, y k, z k dessa punkter:

Värden på C. m. och. beror på koordinataxlarnas riktningar. I det här fallet finns det för varje punkt på kroppen minst tre sådana ömsesidigt vinkelräta axlar, kallade tröghetsaxlarna, för vilka centrifugalmassan och. är lika med noll.

Begreppet C. m. och. pjäser viktig roll när man studerar kroppars rotationsrörelse. Från värdena för C. m. och. beror på storleken på tryckkrafterna på lagren i vilka den roterande kroppens axel är fixerad. Dessa tryck kommer att vara de minsta (lika statiska) om rotationsaxeln är huvudaxel tröghet som passerar genom kroppens masscentrum.

- ...
Fysisk uppslagsverk
- ...
Fysisk uppslagsverk
- se Efferent...
Bra psykologiskt uppslagsverk
- geometrisk karaktäristik för tvärsnittet av en öppen tunnväggig stång, lika med summan av produkterna av elementära tvärsnittsareor med kvadraterna på sektorområdena - sektoriellt tröghetsmoment -...
Byggordbok
- geometrisk karaktäristik för stavens tvärsnitt, lika med summan av produkterna från sektionens elementära sektioner med kvadraterna på deras avstånd till den aktuella axeln - tröghetsmoment - moment setrvačnosti - Trägheitsmoment -...
Byggordbok
- en kvantitet som kännetecknar fördelningen av massor i kroppen och är tillsammans med massa ett mått på kroppens tröghet när den inte rör sig. rörelse. Det finns axiella och centrifugala M. och. Axial M. och. lika med summan av produkterna...
- huvud, tre ömsesidigt vinkelräta axlar, som kan dras genom vilken punkt som helst på TV:n. kroppar, som skiljer sig åt genom att om en kropp som är fixerad vid denna punkt bringas att rotera runt en av dem, då i frånvaro...
Naturvetenskap. encyklopedisk ordbok
- en axel i tvärsnittsplanet för en solid kropp, i förhållande till vilken sektionens tröghetsmoment bestäms - tröghetsmoment os - osa setrvačnosti - Trägheitsachse - tröghet - tröghet tenkhleg - oś bezwładności - axă de inerţie - osa inercije - osa inercije eje...
Byggordbok
- den tidpunkt då produkter som skickats till köparen anses vara sålda...
Encyclopedic Dictionary of Economics and Law
- detta koncept introducerades i vetenskapen av Euler, även om Huygens tidigare hade använt ett uttryck av samma slag, utan att ge det ett speciellt namn: ett av sätten som leder till dess definition är följande...
Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Euphron
- en kvantitet som kännetecknar fördelningen av massor i en kropp och är, tillsammans med massa, ett mått på en kropps tröghet under icke-translationell rörelse. Inom mekaniken skiljer man på mekanismer och axiell och centrifugal...
- huvudsakliga, tre ömsesidigt vinkelräta axlar dragna genom någon punkt på kroppen, med egenskapen att, om de tas som koordinataxlar, då kroppens centrifugala tröghetsmoment i förhållande till ...
Stora sovjetiska encyklopedien
- produkt av tröghet, en av de kvantiteter som kännetecknar fördelningen av massor i en kropp...
Stora sovjetiska encyklopedien
- en kvantitet som kännetecknar fördelningen av massor i kroppen och är tillsammans med massa ett mått på kroppens tröghet när den inte rör sig. rörelse. Det finns axiella och centrifugala tröghetsmoment...
- huvud - tre inbördes vinkelräta axlar som kan dras genom vilken punkt som helst fast kännetecknad av att om en kropp som är fixerad vid denna punkt bringas att rotera runt en av dem, då när...
Stor encyklopedisk ordbok
- ...
Ordformer

"Centrifugalt tröghetsmoment" i böcker

Tvärtemot trögheten

Från boken 1900-talets sfinxer författare Petrov Rem Viktorovich

Tvärtemot trögheten

Från boken 1900-talets sfinxer författare Petrov Rem Viktorovich

I motsats till tröghet "Under de senaste två decennierna har den immunologiska karaktären av avstötning av vävnadstransplantat blivit allmänt accepterad och alla aspekter av avstötningsprocesserna är under strikt experimentell kontroll." Leslie Brent Fingerprints Så, till frågan "Vad

Genom tröghet

Från boken Hur mycket är en person värd? Berättelsen om upplevelsen i 12 anteckningsböcker och 6 volymer. författare

Genom tröghet

Från boken Hur mycket är en person värd? Anteckningsbok tio: Under gruvans "vinge". författare Kersnovskaya Evfrosiniya Antonovna

Genom tröghet För att uppskatta landskapet måste du titta på bilden på lite avstånd. För att korrekt bedöma en händelse krävs också ett visst avstånd. Tröghetslagen var i kraft. Medan förändringens anda har nått Norilsk, under en lång tid det verkade som att allt gled fram

24. Tröghetskraft

Från boken Ethereal Mechanics författaren Danina Tatyana

24. Tröghetskraft Etern som emitteras av den bakre halvklotet av en partikel som rör sig trögt är tröghetskraften. Denna tröghetskraft är frånstötningen av etern som fyller partikeln med den eter som sänds ut av sig själv. Storleken på tröghetskraften är proportionell mot emissionshastigheten

3.3.1. Dränkbar centrifugalpump

Ur boken Din egen rörmokare. VVS landskommunikation författare Kashkarov Andrey Petrovich

3.3.1. Dränkbar centrifugalpump I det här avsnittet kommer vi att överväga alternativet med dränkbar centrifugalpump NPTs-750. Jag använder källvatten från april till oktober. Jag pumpar den med en dränkbar centrifugalpump NPTs-750/5nk (den första siffran anger strömförbrukningen i watt,

DEFINITION

Axiella (eller ekvatoriala) tröghetsmoment sektion relativt axeln kallas en storhet som definieras som:

Uttryck (1) betyder att för att beräkna det axiella tröghetsmomentet tas summan av produkterna av oändliga ytor () multiplicerat med kvadraterna på avstånden från dem till rotationsaxeln över hela arean S:

Summan av sektionens axiella tröghetsmoment i förhållande till ömsesidigt vinkelräta axlar (till exempel i förhållande till X- och Y-axlarna i det kartesiska koordinatsystemet) ger det polära tröghetsmomentet () i förhållande till skärningspunkten för dessa axlar:

DEFINITION

Polar ögonblick tröghet kallas tröghetsmomentet sektion med avseende på någon punkt.

Axiella tröghetsmoment är alltid större än noll, eftersom det i deras definitioner (1) under integraltecknet finns värdet på arean av det elementära området (), alltid positivt, och kvadraten på avståndet från detta område till axeln.

Om vi har att göra med en sektion med komplex form, använder vi ofta i beräkningar det faktum att det axiella tröghetsmomentet för en komplex sektion i förhållande till axeln är lika med summan av de axiella tröghetsmomenten för delarna i denna sektion i förhållande till samma axel. Man bör dock komma ihåg att det är omöjligt att summera de tröghetsmoment som finns i förhållande till olika axlar och punkter.

Det axiella tröghetsmomentet i förhållande till axeln som går genom sektionens tyngdpunkt har det minsta värdet av alla moment i förhållande till axlarna parallella med den. Tröghetsmomentet kring valfri axel () förutsatt att det är parallellt med axeln som passerar genom tyngdpunkten är lika med:

var är sektionens tröghetsmoment i förhållande till axeln som passerar genom sektionens tyngdpunkt; - tvärsnittsarea; - avstånd mellan axlarna.

Exempel på problemlösning

EXEMPEL 1

Träning

Vilket är det axiella tröghetsmomentet för ett likbent triangulärt tvärsnitt i förhållande till Z-axeln som går genom triangelns tyngdpunkt () parallellt med dess bas? Höjden på triangeln är .

Lösning

Låt oss välja ett rektangulärt elementärt område på en triangulär sektion (se fig. 1). Den ligger på avstånd från rotationsaxeln, längden på ena sidan är , den andra sidan är . Av fig. 1 följer att:

Arean av den valda rektangeln, med hänsyn till (1.1), är lika med:

För att hitta det axiella tröghetsmomentet använder vi dess definition i formen:

Svar

EXEMPEL 2

Träning	Ta reda på de axiella tröghetsmomenten i förhållande till de vinkelräta axlarna X och Y (fig. 2) i ett snitt i form av en cirkel vars diameter är lika med d.
Lösning	För att lösa problemet är det bekvämare att börja med att hitta det polära momentet i förhållande till mitten av sektionen (). Låt oss dela upp hela sektionen i oändligt tunna ringar av tjocklek, vars radie kommer att betecknas med . Då finner vi det elementära området som:

Låt oss titta på några fler geometriska egenskaper hos platta figurer. En av dessa egenskaper kallas axial eller ekvatorial tröghetsmoment. Denna egenskap är i förhållande till axlarna och
(Fig.4.1) har formen:

;
. (4.4)

Huvudegenskapen för det axiella tröghetsmomentet är att det inte kan vara mindre än noll eller lika med noll. Detta tröghetsmoment är alltid större än noll:
;
. Måttenheten för axiellt tröghetsmoment är (längd 4).

Anslut origo för koordinater med ett rakt linjesegment med oändligt liten yta
och beteckna detta segment med bokstaven (Fig.4.4). Tröghetsmomentet för en figur i förhållande till polen - ursprunget - kallas det polära tröghetsmomentet:

. (4.5)

Detta tröghetsmoment, liksom det axiella, är alltid större än noll (
) och har dimension – (längd 4).

Låt oss skriva ner det invarians tillstånd summan av ekvatoriella tröghetsmoment kring två inbördes vinkelräta axlar. Av fig. 4.4 framgår att
.

Genom att ersätta detta uttryck med formel (4.5) får vi:

Invariansvillkoret är formulerat enligt följande: summan av axiella tröghetsmoment i förhållande till två ömsesidigt vinkelräta axlar är ett konstant värde och lika med det polära tröghetsmomentet i förhållande till skärningspunkten för dessa axlar.

Tröghetsmomentet för en platt figur relativt två samtidigt vinkelräta axlar kallas biaxiell eller centrifugal tröghetsmoment. Det centrifugala tröghetsmomentet har följande form:

. (4.7)

Det centrifugala tröghetsmomentet har dimensionen – (längd 4). Det kan vara positivt, negativt eller noll. Axlar kring vilka det centrifugala tröghetsmomentet är noll kallas huvudtröghetsaxlar. Låt oss bevisa att symmetriaxeln för en plan figur är huvudaxeln.

Betrakta den platta figuren som visas i Fig. 4.5.

Välj vänster och höger från symmetriaxeln två element med oändlig yta
. Tyngdpunkten för hela figuren är vid punkt C. Låt oss placera origo för koordinater vid punkt C och beteckna de vertikala koordinaterna för de valda elementen med bokstaven " ”, horisontellt – för det vänstra elementet ”
", för rätt element " " Låt oss beräkna summan av centrifugala tröghetsmoment för utvalda element med en oändlig yta i förhållande till axlarna Och :

Om vi integrerar uttryck (4.8) från vänster och höger får vi:

, (4.9)

eftersom om axeln är en symmetriaxel, så för varje punkt som ligger till vänster om denna axel finns det alltid en punkt som är symmetrisk till den.

Genom att analysera den erhållna lösningen kommer vi till slutsatsen att symmetriaxeln är den huvudsakliga tröghetsaxeln. Central axel är också huvudaxeln, även om det inte är en symmetriaxel, eftersom det centrifugala tröghetsmomentet beräknades samtidigt för två axlar Och och visade sig vara noll.