Svängningar Dessa är processer där ett system, med större eller mindre periodicitet, upprepade gånger passerar genom en jämviktsposition.
Oscillationsklassificering:
A) av naturen (mekaniska, elektromagnetiska, fluktuationer i koncentration, temperatur, etc.);
b) enligt form (enkel = harmonisk; komplex, är summan av enkla harmoniska vibrationer);
V) efter frekvensgrad = periodisk (systemegenskaper upprepas efter en strikt definierad tidsperiod (period)) och aperiodisk;
G) i förhållande till tiden (odämpad = konstant amplitud; dämpad = minskande amplitud);
G) på energi – gratis (engångsinmatning av energi i systemet från utsidan = extern engångspåverkan); påtvingad (multipel (periodisk) inmatning av energi i systemet utifrån = periodisk yttre påverkan); självsvängningar (odämpade svängningar som uppstår på grund av systemets förmåga att reglera tillförseln av energi från en konstant källa).
Förutsättningar för uppkomsten av svängningar.
a) Närvaron av ett oscillerande system (upphängd pendel, fjäderpendel, oscillerande krets, etc.);
b) Närvaron av en extern energikälla som kan föra systemet ur jämvikt minst en gång;
c) Uppkomsten i systemet av en kvasi-elastisk återställande kraft (dvs. en kraft som är proportionell mot förskjutningen);
d) Närvaron av tröghet (tröghetselement) i systemet.
Som ett illustrativt exempel, betrakta rörelsen av en matematisk pendel. Matematisk pendel kallas en liten kropp upphängd på en tunn outtöjbar tråd, vars massa är försumbar jämfört med kroppens massa. I jämviktsläget, när pendeln hänger i lod, balanseras tyngdkraften av trådens spänningskraft 
. När pendeln avviker från jämviktspositionen med en viss vinkel α
en tangentiell komponent av gravitationen uppträder F=-
mg
sinα.
Minustecknet i denna formel betyder att den tangentiella komponenten är riktad i motsatt riktning mot pendelns avböjning. Hon är en återställande kraft. Vid små vinklar α (ca 15-20 o) är denna kraft proportionell mot pendelns förskjutning, dvs. är kvasi-elastisk, och pendelns svängningar är harmoniska.
När pendeln avviker stiger den till en viss höjd, d.v.s. han ges en viss reserv av potentiell energi ( E svettas = mgh). När pendeln rör sig till jämviktsposition omvandlas potentiell energi till kinetisk energi. I det ögonblick när pendeln passerar jämviktspositionen är den potentiella energin noll och den kinetiska energin maximal. På grund av närvaron av massa m(massa är en fysikalisk storhet som bestämmer materiens tröghets- och gravitationsegenskaper) pendeln passerar jämviktspositionen och avviker i motsatt riktning. Om det inte finns någon friktion i systemet kommer pendelns svängningar att fortsätta på obestämd tid.
Den harmoniska vibrationsekvationen har formen:
x(t) = x m för(ω 0 t+φ 0 ),
Var X– förskjutning av kroppen från jämviktspositionen;
x m (A) – amplitud av svängningar, det vill säga modulen för maximal förskjutning,
ω 0 – cyklisk (eller cirkulär) frekvens av svängningar,
t- tid.
Kvantiteten under cosinus-tecknet φ = ω 0 t + φ 0 kallad fas harmonisk vibration. Fas bestämmer förskjutningen vid en given tidpunkt t. Fasen uttrycks i vinkelenheter (radianer).
På t= 0 φ = φ 0 , Det är därför φ 0 kallad inledande fas.
Tidsperioden genom vilken vissa tillstånd i det oscillerande systemet upprepas kallas period av svängning T.
Den fysiska storheten som är inverterad till svängningsperioden kallas oscillationsfrekvens: 
. Oscillationsfrekvens ν
visar hur många svängningar som uppstår per tidsenhet. Frekvensenhet – hertz (Hz) – en vibration per sekund.
Oscillationsfrekvens ν
relaterad till cyklisk frekvens ω
och svängningsperiod T förhållanden: 
.
Det vill säga, den cirkulära frekvensen är antalet kompletta svängningar som inträffar i 2π tidsenheter.
Grafiskt kan harmoniska svängningar representeras som ett beroende X från t och vektordiagrammetod.
Vektordiagrammet låter dig tydligt presentera alla parametrar som ingår i ekvationen för harmoniska svängningar. Ja, om amplitudvektorn A ligger i vinkel φ till axeln X, sedan dess projektion på axeln X kommer att vara lika med: x = Acos(φ ) . Hörn φ och det finns den inledande fasen. Om vektorn A sätts i rotation med en vinkelhastighet ω 0 lika med den cirkulära frekvensen av svängningar, då kommer projektionen av änden av vektorn att röra sig längs axeln X och ta värderingar från -A innan +A, och koordinaten för denna projektion kommer att förändras över tiden enligt lagen: x(t) = Acos(ω 0 t+ φ) . Tiden det tar för amplitudvektorn att göra ett helt varv är lika med perioden T harmoniska vibrationer. Antalet vektorvarv per sekund är lika med oscillationsfrekvensen ν .
Förändringar i valfri kvantitet beskrivs med hjälp av lagarna för sinus eller cosinus, då kallas sådana svängningar harmoniska. Låt oss betrakta en krets som består av en kondensator (som laddades innan den ingick i kretsen) och en induktor (Fig. 1).
Bild 1.
Den harmoniska vibrationsekvationen kan skrivas på följande sätt:
$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)
där $t$ är tid; $q$ avgift, $q_0$-- maximal avgiftsavvikelse från dess genomsnittliga (noll) värde under ändringar; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- oscillationsfas; $(\alpha )_0$- initial fas; $(\omega )_0$ - cyklisk frekvens. Under perioden ändras fasen med $2\pi $.
Formens ekvation:
ekvation av harmoniska svängningar i differentialform för en oscillerande krets som inte kommer att innehålla aktivt motstånd.
Vilken typ av periodiska svängningar som helst kan exakt representeras som summan av övertonssvängningar, den så kallade övertonsserien.
För oscillationsperioden för en krets som består av en spole och en kondensator får vi Thomsons formel:
Om vi differentierar uttryck (1) med avseende på tid, kan vi få formeln för funktionen $I(t)$:
Spänningen över kondensatorn kan hittas som:
Av formlerna (5) och (6) följer att strömstyrkan ligger före spänningen på kondensatorn med $\frac(\pi )(2).$
Övertonssvängningar kan representeras både i form av ekvationer, funktioner och vektordiagram.
Ekvation (1) representerar fria odämpade svängningar.
Dämpad oscillationsekvation
Förändringen i laddning ($q$) på kondensatorplattorna i kretsen, med hänsyn till resistansen (fig. 2), kommer att beskrivas med en differentialekvation av formen:
Figur 2.
Om motståndet som är en del av kretsen $R\
där $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ är den cykliska oscillationsfrekvensen. $\beta =\frac(R)(2L)-$dämpningskoefficient. Amplituden för dämpade svängningar uttrycks som:
Om vid $t=0$ laddningen på kondensatorn är lika med $q=q_0$ och det inte finns någon ström i kretsen, kan vi för $A_0$ skriva:
Svängningsfasen vid det inledande ögonblicket ($(\alpha )_0$) är lika med:
När $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ är förändringen i laddningen inte en svängning, urladdningen av kondensatorn kallas aperiodisk.
Exempel 1
Träning: Det maximala debiteringsvärdet är $q_0=10\ C$. Den varierar harmoniskt med en period på $T= 5 s$. Bestäm högsta möjliga ström.
Lösning:
Som grund för att lösa problemet använder vi:
För att hitta strömstyrkan måste uttryck (1.1) differentieras med avseende på tid:
där det maximala (amplitudvärdet) för strömstyrkan är uttrycket:
Från villkoren för problemet vet vi amplitudvärdet för laddningen ($q_0=10\ C$). Du bör hitta den naturliga frekvensen av svängningar. Låt oss uttrycka det som:
\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\vänster(1.4\höger).\]
I detta fall kommer det önskade värdet att hittas med hjälp av ekvationerna (1.3) och (1.2) som:
Eftersom alla kvantiteter i problemförhållandena presenteras i SI-systemet kommer vi att utföra beräkningarna:
Svar:$I_0=12.56\ A.$
Exempel 2
Träning: Vad är svängningsperioden i en krets som innehåller en induktor $L=1$H och en kondensator, om strömstyrkan i kretsen ändras enligt lagen: $I\left(t\right)=-0.1sin20\ pi t\ \left(A \right)?$ Vad är kondensatorns kapacitans?
Lösning:
Från ekvationen för nuvarande fluktuationer, som ges i förhållandena för problemet:
vi ser att $(\omega )_0=20\pi $, därför kan vi beräkna oscillationsperioden med formeln:
\ \
Enligt Thomsons formel för en krets som innehåller en induktor och en kondensator har vi:
Låt oss beräkna kapaciteten:
Svar:$T=0.1$ c, $C=2.5\cdot (10)^(-4)F.$
§ 6. MEKANISKA VIBRATIONERGrundläggande formler
Harmonisk ekvation
Var X - förskjutning av svängningspunkten från jämviktspositionen; t- tid; A,ω, φ - amplitud, vinkelfrekvens, initial fas av svängningar, respektive; - svängningsfas för tillfället t.
Vinkelfrekvens
där ν och T är svängningarnas frekvens och period.
Hastigheten för en punkt som utför harmoniska svängningar är
Acceleration under harmonisk svängning
Amplitud A den resulterande svängningen som erhålls genom att addera två svängningar med samma frekvenser, som sker längs en rät linje, bestäms av formeln
Var a 1 Och A 2 - amplituder av vibrationskomponenter; φ 1 och φ 2 är deras initiala faser.
Den initiala fasen φ av den resulterande svängningen kan hittas från formeln
Frekvensen av slag som uppstår när man adderar två svängningar som sker längs en rät linje med olika men liknande frekvenser ν 1 och ν 2,
Ekvation för banan för en punkt som deltar i två ömsesidigt vinkelräta svängningar med amplituder A 1 och A 2 och initiala faser φ 1 och φ 2,
Om de initiala faserna φ 1 och φ 2 av oscillationskomponenterna är desamma, tar banaekvationen formen
det vill säga punkten rör sig i en rak linje.
I händelse av att fasskillnaden är , tar ekvationen formen
det vill säga punkten rör sig längs en ellips.
Differentialekvation för harmoniska svängningar för en materialpunkt
, eller 
,där m är punktens massa; k-
kvasi-elastisk kraftkoefficient ( k=Tω 2).
Den totala energin för en materialpunkt som utför harmoniska svängningar är
Perioden för svängning av en kropp upphängd i en fjäder (fjäderpendel)
Var m- kroppsmassa; k- fjäderstyvhet. Formeln är giltig för elastiska vibrationer inom de gränser där Hookes lag är uppfylld (med en liten fjädermassa jämfört med kroppens massa).
Period av svängning av en matematisk pendel
Var l- pendelns längd; g- gravitationsacceleration. Period av svängning av en fysisk pendel
Var J- tröghetsmoment för den oscillerande kroppen i förhållande till axeln
tvekan; A- avståndet mellan pendelns massacentrum från svängningsaxeln;
Minskad längd på en fysisk pendel.
De givna formlerna är korrekta för fallet med infinitesimala amplituder. För ändliga amplituder ger dessa formler endast ungefärliga resultat. Med amplituder som inte är större än, överstiger felet i periodvärdet inte 1 %.
Perioden för vridningsvibrationer hos en kropp upphängd i en elastisk tråd är
Var J- kroppens tröghetsmoment i förhållande till axeln som sammanfaller med den elastiska tråden; k- styvheten hos en elastisk tråd, lika med förhållandet mellan det elastiska momentet som uppstår när tråden vrids till den vinkel med vilken tråden vrids.
Differentialekvation för dämpade svängningar 
, eller ,
Var r- motståndskoefficient; δ - dämpningskoefficient: ;ω 0 - naturlig vinkelfrekvens för oscillationer *
Dämpad oscillationsekvation
Var På)- amplitud av dämpade svängningar för tillfället t;ω är deras vinkelfrekvens.
Vinkelfrekvens för dämpade svängningar
О Beroende av amplituden för dämpade svängningar i tid
jag
Var A 0 - amplitud av svängningar för tillfället t=0.
Logaritmisk svängningsminskning
Var På) Och A(t+T)- amplituder av två på varandra följande svängningar separerade i tid med en period.
Differentialekvation för forcerade svängningar
där är en extern periodisk kraft som verkar på en oscillerande materialpunkt och orsakar forcerade svängningar; F 0 - dess amplitudvärde;
Amplituden av forcerade svängningar
Resonansfrekvens och resonansamplitud 
Och
Exempel på problemlösning
Exempel 1. Punkten pendlar enligt lagen x(t)=
,
Var A=2 se Bestäm startfasen φ if
x(0)=cm och X , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо- мента t=0.
Lösning. Låt oss använda rörelseekvationen och uttrycka förskjutningen för tillfället t=0 genom den inledande fasen:
Härifrån hittar vi den inledande fasen:
* I de tidigare givna formlerna för harmoniska vibrationer betecknades samma kvantitet helt enkelt ω (utan index 0).
Låt oss ersätta de givna värdena i detta uttryck x(0) och A:φ=
= 
. Värdet på argumentet uppfylls av två vinkelvärden:
För att avgöra vilket av dessa värden på vinkeln φ som också uppfyller villkoret, finner vi först:
Ersätter värdet i detta uttryck t=0 och växelvis värdena för de inledande faserna och, vi finner
T 
som alltid A>0 och ω>0, då uppfyller endast det första värdet av den initiala fasen villkoret. Alltså den önskade inledande fasen
Med hjälp av det funna värdet på φ konstruerar vi ett vektordiagram (Fig. 6.1). Exempel 2. Materialspets med massa T=5 g utför harmoniska svängningar med frekvens ν =0,5 Hz. Oscillationsamplitud A=3 cm Bestäm: 1) hastighet υ poäng vid den tidpunkt då förskjutningen x== 1,5 cm; 2) den maximala kraften Fmax som verkar på spetsen; 3) Fig. 6,1 total energi E oscillerande punkt.
och vi får hastighetsformeln genom att ta den första tidsderivatan av förskjutningen:
För att uttrycka hastighet genom förskjutning är det nödvändigt att utesluta tid från formlerna (1) och (2). För att göra detta kvadrerar vi båda ekvationerna och dividerar den första med A 2 , den andra på A 2 ω 2 och lägg till:
, eller 
Efter att ha löst den sista ekvationen för υ , vi hittar
Efter att ha utfört beräkningar med denna formel får vi
Plustecknet motsvarar fallet när hastighetens riktning sammanfaller med axelns positiva riktning X, minustecken - när hastighetsriktningen sammanfaller med axelns negativa riktning X.
Förskjutningen under harmonisk svängning kan förutom ekvation (1) också bestämmas av ekvationen
Om vi upprepar samma lösning med denna ekvation får vi samma svar.
2. Vi finner kraften som verkar på en punkt med hjälp av Newtons andra lag:
Var A - acceleration av punkten, som vi får genom att ta tidsderivatan av hastigheten:
Genom att ersätta accelerationsuttrycket i formel (3) får vi
Därav kraftens maximala värde
Genom att ersätta värdena för π, ν i denna ekvation, T Och A, vi hittar
3. Den totala energin för en oscillerande punkt är summan av de kinetiska och potentiella energierna som beräknas för varje ögonblick i tiden.
Det enklaste sättet att beräkna den totala energin är i det ögonblick då den kinetiska energin når sitt maximala värde. I detta ögonblick är den potentiella energin noll. Därför den totala energin E oscillerande punkten är lika med den maximala kinetiska energin
Vi bestämmer den maximala hastigheten från formel (2) och sätter: 
. Genom att ersätta uttrycket för hastighet i formel (4), finner vi
Genom att ersätta värdena för kvantiteter i denna formel och göra beräkningar får vi
eller µJ.
Exempel 3. I ändarna av en tunn stång längd l= 1 m och massa m 3 =400 g förstärkta små kulor med massor m 1 = 200 g Och m 2 = 300 g. Staven svänger runt en horisontell axel, vinkelrät
dikulärt mot stången och passerar genom dess mitt (punkt O i fig. 6.2). Definiera period T svängningar gjorda av staven.
Lösning. Svängningsperioden för en fysisk pendel, såsom en stav med kulor, bestäms av förhållandet
Var J- T - dess massa; l MED - avståndet från pendelns masscentrum till axeln.
Tröghetsmomentet för denna pendel är lika med summan av kulornas tröghetsmoment J 1 och J 2 och spö J 3:
Med bollarna som materiella punkter uttrycker vi deras tröghetsmoment:
Eftersom axeln passerar genom mitten av stången, är dess tröghetsmoment i förhållande till denna axel J 3 = =. Ersätter de resulterande uttrycken J 1 , J 2 Och J 3 i formel (2) finner vi det totala tröghetsmomentet för den fysiska pendeln:
Efter att ha utfört beräkningar med denna formel finner vi
Ris. 6.2 Pendelns massa består av massan av kulorna och massan av staven:
Distans l MED Vi kommer att hitta pendelns masscentrum från oscillationsaxeln baserat på följande överväganden. Om axeln X rikta längs staven och rikta in koordinaternas ursprung med punkten HANDLA OM, sedan önskat avstånd l lika med koordinaten för pendelns masscentrum, dvs.
Ersätter värdena för kvantiteterna m 1 , m 2 , m, l och efter att ha utfört beräkningar finner vi
Efter att ha gjort beräkningar med formeln (1) får vi svängningsperioden för en fysisk pendel:
Exempel 4. En fysisk pendel är en stång av längd l= 1 m och massa 3 T 1 Med fäst vid en av dess ändar med en båge med diameter och massa T 1 . Horisontell axel Uns
pendeln går genom mitten av stången vinkelrätt mot den (fig. 6.3). Definiera period T svängningar av en sådan pendel.
Lösning. Svängningsperioden för en fysisk pendel bestäms av formeln
(1)
Var J- pendelns tröghetsmoment i förhållande till svängningsaxeln; T - dess massa; l C - avståndet från pendelns massacentrum till svängningsaxeln.
Pendelns tröghetsmoment är lika med summan av stavens tröghetsmoment J 1 och båge J 2:
(2).
Stångens tröghetsmoment i förhållande till axeln vinkelrät mot staven och som går genom dess masscentrum bestäms av formeln 
. I detta fall t= 3T 1 och
Vi hittar bågens tröghetsmoment med hjälp av Steiners teorem 
,Var J-
tröghetsmoment kring en godtycklig axel; J 0
-
tröghetsmoment kring en axel som går genom masscentrum parallellt med en given axel; A - avståndet mellan de angivna axlarna. Genom att tillämpa denna formel på bågen får vi
Ersättande uttryck J 1 och J 2 i formel (2) finner vi pendelns tröghetsmoment i förhållande till rotationsaxeln:
Distans l MED från pendelns axel till dess masscentrum är lika med
Ersätter uttrycken med formel (1) J, l s och pendelns massa finner vi perioden för dess svängningar:
Efter att ha beräknat med denna formel får vi T=2,17 s.
Exempel 5. Två svängningar i samma riktning adderas, uttryckta av ekvationerna; X 2 = =, var A 1 = 1 centimeter, A 2 =2 cm, s, s, ω = =. 1. Bestäm de initiala faserna φ 1 och φ 2 för komponenterna i oscillatorn
Baniya. 2. Hitta amplituden A och den initiala fasen φ av den resulterande svängningen. Skriv ekvationen för den resulterande vibrationen.
Lösning. 1. Ekvationen för harmonisk vibration har formen
Låt oss omvandla ekvationerna som anges i problemformuleringen till samma form:
Från en jämförelse av uttryck (2) med likhet (1) finner vi de initiala faserna av den första och andra svängningen:
Glad och 
glad.
2. För att bestämma amplituden A av den resulterande oscillationen är det bekvämt att använda vektordiagrammet som presenteras i ris. 6.4. Enligt cosinussatsen får vi
var är fasskillnaden för oscillationskomponenterna sedan 
, sedan genom att ersätta de funna värdena för φ 2 och φ 1 får vi rad.
Låt oss ersätta värdena A 1 , A 2 och in i formel (3) och utför beräkningarna:
A= 2,65 cm.
Låt oss bestämma tangenten för den initiala fasen φ av den resulterande svängningen direkt från fig. 6.4: 
, var kommer den inledande fasen ifrån?
Grunderna i Maxwells teori för det elektromagnetiska fältet
Vortex elektriskt fält
Från Faradays lag ξ=dФ/dt följer det några en förändring i det magnetiska induktionsflödet som är associerat med kretsen leder till uppkomsten av en elektromotorisk induktionskraft och som ett resultat uppstår en induktionsström. Följaktligen kan förekomsten av emf. elektromagnetisk induktion är också möjlig i en stationär krets belägen i ett alternerande magnetfält. Emellertid har e.m.f. i någon krets uppstår endast när yttre krafter verkar på strömbärare i den - krafter av icke-elektrostatiskt ursprung (se § 97). Därför uppstår frågan om karaktären av yttre krafter i detta fall.
Erfarenheten visar att dessa yttre krafter inte är förknippade med vare sig termiska eller kemiska processer i kretsen; deras förekomst kan inte heller förklaras av Lorentz-styrkor, eftersom de inte agerar på stationära laddningar. Maxwell antog att varje alternerande magnetfält exciterar ett elektriskt fält i det omgivande rymden, vilket
och är orsaken till förekomsten av inducerad ström i kretsen. Enligt Maxwells idéer spelar kretsen där emk:n uppträder en sekundär roll, eftersom den är en sorts endast en "enhet" som upptäcker detta fält.
första ekvationen Maxwell säger att förändringar i det elektriska fältet genererar ett virvelmagnetfält.
Andra ekvationen Maxwell uttrycker Faradays lag om elektromagnetisk induktion: Emk i varje sluten slinga är lika med förändringshastigheten (dvs tidsderivatan) av det magnetiska flödet. Men EMF är lika med den tangentiella komponenten av den elektriska fältstyrkevektorn E, multiplicerad med kretsens längd. För att gå till rotorn, som i Maxwells första ekvation, räcker det att dividera emk med konturens area och rikta den senare till noll, dvs. ta en liten kontur som täcker den punkt i rymden som övervägs (Fig. 9, c). Sedan på höger sida av ekvationen kommer det inte längre att finnas ett flöde, utan en magnetisk induktion, eftersom flödet är lika med induktionen multiplicerat med kretsens area.
Så vi får: rotE = - dB/dt.
Således genereras det elektriska virvelfältet av förändringar i magnetfältet, vilket visas i fig. 9,c och representeras av den nyss angivna formeln.
Tredje och fjärde ekvationerna Maxwell hanterar avgifter och de fält som genereras av dem. De är baserade på Gauss teorem, som säger att flödet av den elektriska induktionsvektorn genom en stängd yta är lika med laddningen inuti den ytan.
En hel vetenskap bygger på Maxwells ekvationer – elektrodynamik, vilket gör det möjligt att lösa många användbara praktiska problem med rigorösa matematiska metoder. Det är möjligt att beräkna till exempel strålningsfältet för olika antenner både i fritt utrymme och nära jordytan eller nära kroppen på ett flygplan, till exempel ett flygplan eller en raket. Elektrodynamik gör det möjligt att beräkna utformningen av vågledare och kavitetsresonatorer - enheter som används vid mycket höga frekvenser i centimeter- och millimetervågområdena, där konventionella transmissionsledningar och oscillerande kretsar inte längre är lämpliga. Utan elektrodynamik skulle utvecklingen av radar, rymdradiokommunikation, antennteknik och många andra områden inom modern radioteknik vara omöjlig.
Bias ström
FÖRVÄRVSTRÖM, ett värde som är proportionellt mot förändringshastigheten för ett elektriskt växelfält i ett dielektrikum eller vakuum. Namnet "ström" beror på det faktum att förskjutningsström, liksom ledningsström, genererar ett magnetfält.
När J. C. Maxwell konstruerade teorin om det elektromagnetiska fältet lade fram en hypotes (senare bekräftad experimentellt) att magnetfältet skapas inte bara av laddningars rörelse (ledningsström eller helt enkelt ström), utan också av varje förändring i tiden för det elektriska fältet.
Begreppet förskjutningsström introducerades av Maxwell för att fastställa kvantitativa samband mellan ett föränderligt elektriskt fält och det magnetiska fält det orsakar.
Enligt Maxwells teori, i en växelströmskrets som innehåller en kondensator, skapar det elektriska växelfältet i kondensatorn vid varje ögonblick samma magnetfält som skulle skapas av strömmen (kallad förskjutningsström) om den flödade mellan plattorna på kondensatorn. Av denna definition följer det J cm = J(dvs de numeriska värdena för ledningsströmtätheten och förskjutningsströmtätheten är lika), och därför omvandlas ledningsströmdensitetslinjerna inuti ledaren kontinuerligt till förskjutningsströmdensitetslinjerna mellan kondensatorns plattor. Förspänningsströmtäthet j cm kännetecknar förändringshastigheten för elektrisk induktion D i tid:
J cm = + AD/?t.
Förskjutningsströmmen avger inte Joule-värme, dess huvudsakliga fysiska egenskap är förmågan att skapa ett magnetfält i det omgivande rummet.
Ett magnetiskt virvelfält skapas av en totalström vars densitet är j, är lika med summan av ledningsströmtätheten och förskjutningsströmmen?D/?t. Det är därför som namnet ström infördes för kvantiteten ?D/?t.
Harmonisk oscillatorär ett system som oscillerar, beskrivet av ett uttryck av formen d 2 s/dt 2 + ω 0 2 s = 0 eller
där de två punkterna ovan betyder dubbel differentiering i tid. Oscillationer av en harmonisk oscillator är ett viktigt exempel på periodisk rörelse och fungerar som en exakt eller ungefärlig modell i många problem inom klassisk och kvantfysik. Exempel på en harmonisk oscillator inkluderar fjäderpendlar, fysiska och matematiska pendlar och en oscillerande krets (för strömmar och spänningar så små att kretselementen kan anses linjära).
Harmoniska vibrationer
Tillsammans med de translationella och roterande rörelserna hos kroppar inom mekanik, är oscillerande rörelser också av betydande intresse. Mekaniska vibrationer kallas rörelser av kroppar som upprepas exakt (eller ungefär) med lika tidsintervall. Rörelselagen för en oscillerande kropp specificeras med hjälp av en viss periodisk funktion av tiden x = f (t). En grafisk representation av denna funktion ger en visuell representation av den oscillerande processens förlopp över tiden.
Exempel på enkla oscillerande system är en belastning på en fjäder eller en matematisk pendel (Fig. 2.1.1).
Mekaniska vibrationer, som oscillerande processer av någon annan fysisk natur, kan vara fri Och tvingade. Fria vibrationer begås under påverkan inre krafter systemet efter att systemet har förts ur jämvikt. Svängningar av en vikt på en fjäder eller svängningar av en pendel är fria svängningar. Vibrationer som uppstår under påverkan extern periodiskt växlande krafter kallas tvingade Den enklaste typen av oscillerande process är enkla harmoniska vibrationer , som beskrivs av ekvationen
Oscillationsfrekvens f visar hur många svängningar som sker på 1 s. Frekvensenhet – hertz(Hz). Oscillationsfrekvens f relaterad till den cykliska frekvensen ω och oscillationsperioden T förhållanden:
ger beroendet av den fluktuerande kvantiteten S från tid t; detta är ekvationen för fria harmoniska svängningar i explicit form. Vanligtvis förstås dock vibrationsekvationen som en annan representation av denna ekvation, i differentialform. För tydlighetens skull, låt oss ta ekvation (1) i formen
Låt oss skilja det två gånger med avseende på tid:
Det kan ses att följande förhållande gäller:
som kallas ekvationen för fria harmoniska svängningar (i differentialform). Ekvation (1) är en lösning till differentialekvation (2). Eftersom ekvation (2) är en differentialekvation av andra ordningen, krävs två initiala villkor för att få en fullständig lösning (det vill säga bestämma konstanterna som ingår i ekvation (1) A och jO); till exempel oscillerande systemets position och hastighet vid t = 0.
Tillägg av harmoniska vibrationer i samma riktning och samma frekvens. Takter
Låt det finnas två harmoniska svängningar i samma riktning och samma frekvens
Ekvationen för den resulterande oscillationen kommer att ha formen
Låt oss verifiera detta genom att lägga till systemekvationerna (4.1)
Att tillämpa cosinussummesatsen och göra algebraiska transformationer:
Det är möjligt att hitta värden på A och φ0 så att ekvationerna är uppfyllda
Om vi betraktar (4.3) som två ekvationer med två okända A och φ0, finner vi genom att kvadrera dem och lägga till dem, och sedan dividera den andra med den första:
Genom att ersätta (4.3) med (4.2) får vi:
Eller slutligen, med hjälp av cosinussummesatsen, har vi:
En kropp, som deltar i två övertonssvängningar i samma riktning och samma frekvens, utför också en övertonssvängning i samma riktning och med samma frekvens som de adderade oscillationerna. Amplituden för den resulterande oscillationen beror på fasskillnaden (φ2-φ1) för de utjämnade svängningarna.
Beroende på fasskillnaden (φ2-φ1):
1) (φ2-φ1) = ±2mπ (m=0, 1, 2, …), då A= A1+A2, dvs. amplituden för den resulterande svängningen A är lika med summan av amplituderna för de adderade svängningarna;
2) (φ2-φ1) = ±(2m+1)π (m=0, 1, 2, ...), då A= |A1-A2|, dvs amplituden för den resulterande svängningen är lika med skillnaden i amplituderna för de tillagda svängningarna
Periodiska förändringar i amplituden av vibrationer som uppstår när två harmoniska vibrationer med liknande frekvenser läggs till kallas beats.
Låt de två svängningarna skilja sig lite i frekvens. Då är amplituderna för de adderade oscillationerna lika med A, och frekvenserna är lika med ω och ω+Δω, och Δω är mycket mindre än ω. Vi väljer startpunkten så att de initiala faserna för båda svängningarna är lika med noll:
Låt oss lösa systemet
Systemlösning:
Den resulterande oscillationen kan betraktas som harmonisk med frekvensen ω, amplitud A, som varierar enligt följande periodiska lag:
Frekvensen av förändring av A är två gånger frekvensen av förändring av cosinus. Slagfrekvensen är lika med skillnaden i frekvenserna för de adderade oscillationerna: ωb = Δω
Beatperiod:
Att bestämma frekvensen av en ton (ett ljud av en viss slaghöjd genom en referens och uppmätta vibrationer är den mest använda metoden för att jämföra ett uppmätt värde med ett referensvärde. Beatmetoden används för att stämma musikinstrument, hörselanalys etc. .
Relaterad information.
« Fysik - 11:e klass"
Acceleration är andraderivatan av en koordinat med avseende på tid.
Den momentana hastigheten för en punkt är derivatan av punktens koordinater i förhållande till tiden.
En punkts acceleration är derivatan av dess hastighet med avseende på tid, eller andraderivatan av koordinaten med avseende på tid.
Därför kan rörelseekvationen för en pendel skrivas på följande sätt:
där x" är andraderivatan av koordinaten med avseende på tid.
För fria svängningar, koordinaten Xändras med tiden så att andraderivatan av koordinaten med avseende på tid är direkt proportionell mot själva koordinaten och är motsatt i tecken.
Harmoniska vibrationer
Från matematik: andraderivatorna av sinus och cosinus är genom deras argument proportionella mot själva funktionerna, tagna med motsatt tecken, och inga andra funktioner har denna egenskap.
Det är därför:
Koordinaten för en kropp som utför fria svängningar ändras över tiden enligt lagen om sinus eller cosinus.
Periodiska förändringar i en fysisk storhet beroende på tid, som sker enligt sinus- eller cosinuslagen, kallas harmoniska vibrationer.
Oscillationsamplitud
Amplitud harmoniska svängningar är modulen för den största förskjutningen av en kropp från dess jämviktsposition.
Amplituden bestäms av de initiala förhållandena, eller mer exakt av den energi som tillförs kroppen.
Grafen över kroppskoordinater mot tid är en cosinusvåg.
x = x m cos ω 0 t
Sedan rörelseekvationen som beskriver pendelns fria svängningar:
Period och frekvens för harmoniska svängningar.
Vid oscillering upprepas kroppens rörelser med jämna mellanrum.
Tidsperioden T under vilken systemet fullbordar en komplett cykel av svängningar kallas period av svängning.
Oscillationsfrekvens är antalet svängningar per tidsenhet.
Om en svängning inträffar i tid T, då antalet svängningar per sekund
I International System of Units (SI) kallas enheten för frekvens hertz(Hz) för att hedra den tyske fysikern G. Hertz.
Antalet svängningar i 2π s är lika med:
Storleken ω 0 är den cykliska (eller cirkulära) frekvensen av svängningar.
Efter en tidsperiod lika med en period upprepas svängningarna.
Frekvensen av fria svängningar kallas naturlig frekvens oscillerande system.
Ofta kallas den cykliska frekvensen kort och gott frekvensen.
Beroende av frekvens och period av fria svängningar på systemets egenskaper.
1.för fjäderpendel
Den naturliga oscillationsfrekvensen för en fjäderpendel är lika med:
Ju större fjäderstyvhet k, desto större är den, och ju mindre, desto större kroppsmassa m.
En styv fjäder ger kroppen större acceleration, ändrar kroppens hastighet snabbare, och ju mer massiv kroppen är, desto långsammare ändrar den hastighet under påverkan av kraft.
Svängningsperioden är:
Svängningsperioden för en fjäderpendel beror inte på svängningarnas amplitud.
2.för trådpendel
Den naturliga svängningsfrekvensen för en matematisk pendel vid små vinklar för trådens avvikelse från vertikalen beror på pendelns längd och tyngdaccelerationen:
Perioden för dessa svängningar är lika med
Svängningsperioden för en gängpendel vid små avböjningsvinklar beror inte på svängningarnas amplitud.
Svängningsperioden ökar med ökande längd på pendeln. Det beror inte på pendelns massa.
Ju mindre g, desto längre svängningsperiod för pendeln och därför desto långsammare går pendelklockan. Således kommer en klocka med en pendel i form av en vikt på en stång att falla efter med nästan 3 s per dag om den lyfts från källaren till översta våningen på Moskvas universitet (höjd 200 m). Och detta beror bara på minskningen av accelerationen av fritt fall med höjden.
