Den här artikeln avslöjar hur man får ekvationen för en rät linje som går genom två givna poäng V rektangulärt system koordinaterna på planet. Låt oss härleda ekvationen för en rät linje som går genom två givna punkter i ett rektangulärt koordinatsystem. Vi kommer tydligt visa och lösa flera exempel relaterade till det material som behandlas.
Innan man erhåller ekvationen för en linje som går genom två givna punkter, är det nödvändigt att uppmärksamma några fakta. Det finns ett axiom som säger att genom två divergerande punkter på ett plan är det möjligt att dra en rät linje och bara en. Med andra ord, två givna punkter på ett plan definieras av en rät linje som går genom dessa punkter.
Om planet definieras av det rektangulära koordinatsystemet Oxy, kommer vilken rät linje som helst som visas i det att motsvara ekvationen för en rät linje på planet. Det finns också ett samband med den räta linjens riktningsvektor. Dessa data är tillräckliga för att sammanställa ekvationen för en rät linje som går genom två givna punkter.
Låt oss titta på ett exempel på att lösa ett liknande problem. Det är nödvändigt att skapa en ekvation för en linje a som går genom två divergerande punkter M 1 (x 1, y 1) och M 2 (x 2, y 2), belägna i det kartesiska koordinatsystemet.
I den kanoniska ekvationen för en linje på ett plan, med formen x - x 1 a x = y - y 1 a y, anges ett rektangulärt koordinatsystem O x y med en linje som skär med den i en punkt med koordinaterna M 1 (x 1, y 1) med en guidevektor a → = (a x , a y) .
Det är nödvändigt att skapa en kanonisk ekvation av en rät linje a, som kommer att passera genom två punkter med koordinaterna M 1 (x 1, y 1) och M 2 (x 2, y 2).
Rakt a har en riktningsvektor M 1 M 2 → med koordinater (x 2 - x 1, y 2 - y 1), eftersom den skär punkterna M 1 och M 2. Vi har erhållit nödvändiga data för att transformera den kanoniska ekvationen med koordinaterna för riktningsvektorn M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) och koordinaterna för punkterna M 1 som ligger på dem (x 1, y 1) och M2 (x 2, y 2). Vi får en ekvation av formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 eller x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.
Betrakta figuren nedan.
Efter beräkningarna skriver vi ner de parametriska ekvationerna för en linje på ett plan som går genom två punkter med koordinaterna M 1 (x 1, y 1) och M 2 (x 2, y 2). Vi får en ekvation av formen x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ eller x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y2+ (y2 - y1) · X.
Låt oss titta närmare på att lösa flera exempel.
Exempel 1
Skriv ner ekvationen för en rät linje som går genom 2 givna punkter med koordinaterna M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.
Lösning
Den kanoniska ekvationen för en linje som skär i två punkter med koordinaterna x 1, y 1 och x 2, y 2 har formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Enligt villkoren för problemet har vi att x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Det är nödvändigt att ersätta de numeriska värdena i ekvationen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Härifrån får vi att den kanoniska ekvationen har formen x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Svar: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Om du behöver lösa ett problem med en annan typ av ekvation, kan du först gå till den kanoniska, eftersom det är lättare att komma från den till någon annan.
Exempel 2
Komponera allmän ekvation en rät linje som går genom punkter med koordinaterna M 1 (1, 1) och M 2 (4, 2) i O x y-koordinatsystemet.
Lösning
Först måste du skriva ner den kanoniska ekvationen för en given linje som går genom givna två punkter. Vi får en ekvation av formen x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .
Låt oss ta den kanoniska ekvationen till önskad form, då får vi:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
Svar: x-3 y + 2 = 0.
Exempel på sådana uppgifter diskuterades i skolböcker under algebralektionerna. Skolproblem skiljde sig genom att ekvationen för en rät linje med en vinkelkoefficient var känd, med formen y = k x + b. Om du behöver hitta värdet på lutningen k och talet b, för vilka ekvationen y = k x + b definierar en linje i O x y-systemet som går genom punkterna M 1 (x 1, y 1) och M 2 (x 2, y 2) , där x 1 ≠ x 2. När x 1 = x 2 , då antar vinkelkoefficienten värdet av oändlighet, och den räta linjen M 1 M 2 definieras av den allmänna ofullständig ekvation av formen x - x 1 = 0 .
Eftersom poängen M 1 Och M 2är på en rät linje, så uppfyller deras koordinater ekvationen y 1 = k x 1 + b och y 2 = k x 2 + b. Det är nödvändigt att lösa ekvationssystemet y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b för k och b.
För att göra detta hittar vi k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 eller k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .
Med dessa värden på k och b blir ekvationen för en linje som går genom de givna två punkterna y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 eller y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
Det är omöjligt att memorera ett så stort antal formler på en gång. För att göra detta är det nödvändigt att öka antalet repetitioner för att lösa problem.
Exempel 3
Skriv ner ekvationen för en rät linje med en vinkelkoefficient som går genom punkter med koordinaterna M 2 (2, 1) och y = k x + b.
Lösning
För att lösa problemet använder vi en formel med en lutning, som har formen y = k x + b. Koefficienterna k och b måste ha ett sådant värde att denna ekvation motsvarar en rät linje som går genom två punkter med koordinaterna M 1 (- 7, - 5) och M 2 (2, 1).
Poäng M 1 Och M 2 ligger på en rät linje, måste deras koordinater göra ekvationen y = k x + b till en sann likhet. Av detta får vi att - 5 = k · (- 7) + b och 1 = k · 2 + b. Låt oss kombinera ekvationen till systemet - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b och lösa.
Vid byte får vi det
5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Nu ersätts värdena k = 2 3 och b = - 1 3 i ekvationen y = k x + b. Vi finner att den nödvändiga ekvationen som passerar genom de givna punkterna kommer att vara en ekvation av formen y = 2 3 x - 1 3 .
Denna lösningsmetod förutbestämmer utgifterna stor mängd tid. Det finns ett sätt på vilket uppgiften löses i bokstavligen två steg.
Låt oss skriva den kanoniska ekvationen för linjen som går genom M 2 (2, 1) och M 1 (- 7, - 5), med formen x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
Låt oss nu gå vidare till lutningsekvationen. Vi får att: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.
Svar: y = 2 3 x - 1 3 .
Om det i det tredimensionella rummet finns ett rektangulärt koordinatsystem O x y z med två givna icke sammanfallande punkter med koordinaterna M 1 (x 1, y 1, z 1) och M 2 (x 2, y 2, z 2), rät linje M som passerar genom dem 1 M 2 , är det nödvändigt att erhålla ekvationen för denna linje.
Vi har att kanoniska ekvationer av formen x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z och parametriska ekvationer av formen x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ kan definiera en linje i koordinatsystemet O x y z, som går genom punkter som har koordinater (x 1, y 1, z 1) med en riktningsvektor a → = (a x, a y, a z).
Rak M 1 M 2 har en riktningsvektor av formen M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), där den räta linjen går genom punkten M 1 (x 1, y 1, z 1) och M 2 (x 2 , y 2 , z 2), därför kan den kanoniska ekvationen ha formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 eller x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, i sin tur parametrisk x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ eller x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · Xz = z2+ (z2 - zl) · X.
Betrakta en ritning som visar 2 givna punkter i rymden och ekvationen för en rät linje.
Exempel 4
Skriv ekvationen för en linje definierad i ett rektangulärt koordinatsystem O x y z i tredimensionellt rymd, som går genom givna två punkter med koordinaterna M 1 (2, - 3, 0) och M 2 (1, - 3, - 5).
Lösning
Det är nödvändigt att hitta den kanoniska ekvationen. Därför att vi pratar om om tredimensionellt rymd, vilket innebär att när en rät linje passerar genom givna punkter kommer den önskade kanoniska ekvationen att ha formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .
Som villkor har vi att x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Det följer att de nödvändiga ekvationerna kommer att skrivas enligt följande:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Svar: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter
Låt oss titta på hur man skapar en ekvation för en linje som går genom två punkter med hjälp av exempel.
Exempel 1.
Skriv en ekvation för en rät linje som går genom punkterna A(-3; 9) och B(2;-1).
Metod 1 - skapa en ekvation av en rät linje med en vinkelkoefficient.
Ekvationen för en rät linje med en vinkelkoefficient har formen . Genom att ersätta koordinaterna för punkterna A och B i den räta linjens ekvation (x= -3 och y=9 - i det första fallet, x=2 och y= -1 - i det andra), får vi ett ekvationssystem varifrån vi hittar värdena för k och b:
Om vi adderar 1:a och 2:a ekvationerna term för term får vi: -10=5k, varav k= -2. Genom att ersätta k= -2 i den andra ekvationen finner vi b: -1=2·(-2)+b, b=3.
Således är y= -2x+3 den nödvändiga ekvationen.
Metod 2 - låt oss skapa en generell ekvation för en rät linje.
Den allmänna ekvationen för en rät linje har formen . Genom att ersätta koordinaterna för punkterna A och B i ekvationen får vi systemet:
Sedan antalet okända mer kvantitet ekvationer är systemet inte lösbart. Men alla variabler kan uttryckas genom en. Till exempel genom b.
Genom att multiplicera den första ekvationen i systemet med -1 och addera term för term med den andra:
vi får: 5a-10b=0. Därför a=2b.
Låt oss ersätta det resulterande uttrycket i den andra ekvationen: 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c= -3b.
Ersätt a=2b, c= -3b i ekvationen ax+by+c=0:
2bx+by-3b=0. Det återstår att dela båda sidor med b:
Den allmänna ekvationen för en rät linje kan lätt reduceras till ekvationen för en rät linje med en lutning:
Metod 3 - skapa en ekvation av en rät linje som går genom 2 punkter.
Ekvationen för en linje som går genom två punkter är:
Låt oss ersätta koordinaterna för punkterna A(-3; 9) och B(2;-1) i denna ekvation
(det vill säga x 1 = -3, y 1 = 9, x 2 = 2, y 2 = -1):
och förenkla:
därav 2x+y-3=0.
I skolkurs Oftast används ekvationen för en rät linje med en lutning. Men det enklaste sättet är att härleda och använda formeln för ekvationen för en linje som går genom två punkter.
Kommentar.
Om, när man ersätter koordinaterna för givna punkter, en av ekvationens nämnare
visar sig vara lika med noll, då erhålls den erforderliga ekvationen genom att likställa motsvarande täljare med noll.
Exempel 2.
Skriv en ekvation för en rät linje som går genom två punkter C(5; -2) och D(7;-2).
Vi ersätter koordinaterna för punkterna C och D i ekvationen för en rät linje som går genom 2 punkter.
Låt två poäng ges M 1 (x 1, y 1) Och M 2 (x 2, y 2). Låt oss skriva linjens ekvation i formen (5), där k fortfarande okänd koefficient:
Sedan poängen M 2 tillhör en given linje, då uppfyller dess koordinater ekvation (5): . Genom att uttrycka härifrån och ersätta den i ekvation (5), får vi den nödvändiga ekvationen:
Om 
denna ekvation kan skrivas om i en form som är mer bekväm för memorering:
(6)
Exempel. Skriv ner ekvationen för en rät linje som går genom punkterna M 1 (1,2) och M 2 (-2,3)
Lösning. 
. Genom att använda egenskapen proportion och utföra de nödvändiga transformationerna får vi den allmänna ekvationen för en rät linje:
Vinkel mellan två raka linjer
Tänk på två raka linjer l 1 Och l 2:
l 1: , , Och
l 2: , ,
φ är vinkeln mellan dem (). Av fig. 4 framgår tydligt: .
 |
Härifrån 
, eller
Med formeln (7) kan du bestämma en av vinklarna mellan räta linjer. Den andra vinkeln är lika med .
Exempel. Två räta linjer ges av ekvationerna y=2x+3 och y=-3x+2. hitta vinkeln mellan dessa linjer.
Lösning. Från ekvationerna är det tydligt att k 1 =2 och k 2 =-3. Genom att ersätta dessa värden i formel (7), finner vi
. Således är vinkeln mellan dessa linjer lika med .
Villkor för parallellitet och vinkelräthet för två räta linjer
Om rakt l 1 Och l 2är alltså parallella φ=0 Och tgφ=0. av formel (7) följer att , varifrån k 2 = k 1. Således är villkoret för parallellism av två linjer likheten mellan deras vinkelkoefficienter.
Om rakt l 1 Och l 2är alltså vinkelräta φ=π/2, a2 = π/2+ ai. 
. Således är villkoret för vinkelrätheten hos två räta linjer att deras vinkelkoefficienter är omvända i storlek och motsatta i tecken.
Avstånd från punkt till linje
Sats. Om en punkt M(x 0, y 0) ges, så bestäms avståndet till linjen Ax + Bу + C = 0 som
Bevis. Låt punkten M 1 (x 1, y 1) vara basen för en vinkelrät som sjunkit från punkt M till en given rät linje. Då är avståndet mellan punkterna M och M 1:
Koordinaterna x 1 och y 1 kan hittas genom att lösa ekvationssystemet:
Systemets andra ekvation är ekvationen för en linje som går genom en given punkt M 0 vinkelrätt mot en given linje.
Om vi transformerar den första ekvationen i systemet till formen:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
sedan, när vi löser, får vi:
Genom att ersätta dessa uttryck i ekvation (1) finner vi:
Teoremet har bevisats.
Exempel. Bestäm vinkeln mellan linjerna: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k^ = -3; k2 = 2 tanj=; j = p/4.
Exempel. Visa att linjerna 3x – 5y + 7 = 0 och 10x + 6y – 3 = 0 är vinkelräta.
Vi finner: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, därför är linjerna vinkelräta.
Exempel. Angivna är hörnen för triangeln A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Hitta ekvationen för höjden från vertex C.
Vi hittar ekvationen för sidan AB: ; 4x = 6y – 6;
2x – 3y + 3 = 0;
Den nödvändiga höjdekvationen har formen: Ax + By + C = 0 eller y = kx + b.
k= . Då y = . Därför att höjd passerar genom punkt C, då uppfyller dess koordinater denna ekvation: varav b = 17. Totalt: .
Svar: 3x + 2y – 34 = 0.
Avståndet från en punkt till en linje bestäms av längden på vinkelrät ritat från punkten till linjen.
Om linjen är parallell med projektionsplanet (h | | P 1), sedan för att bestämma avståndet från punkten A till en rak linje h det är nödvändigt att sänka vinkelrät från punkten A till det horisontella h.
Låt oss överväga mer komplext exempel, när den räta linjen tar allmän ståndpunkt. Låt det vara nödvändigt att bestämma avståndet från en punkt M till en rak linje A allmän ståndpunkt.
Bestämningsuppgift avstånd mellan parallella linjer löses på samma sätt som den föregående. En punkt tas på en linje och en perpendikel släpps från den till en annan linje. Längden på en vinkelrät är lika med avståndet mellan parallella linjer.
Andra ordningens kurva kallas en linje definierad av en ekvation av andra graden relativt strömmen Kartesiska koordinater. I det allmänna fallet är Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,
där A, B, C, D, E, F – reella tal och minst ett av talen A2+B2+C2≠0.
Cirkel
Cirkel mitt– detta är det geometriska stället för punkter i planet på samma avstånd från en punkt i planet C(a,b).
Cirkeln ges av följande ekvation:
Där x,y är koordinaterna för en godtycklig punkt på cirkeln, är R cirkelns radie.
Tecken på en cirkels ekvation
1. Termen med x,y saknas
2. Koefficienterna för x 2 och y 2 är lika
Ellips
Ellips kallas det geometriska stället för punkter i ett plan, summan av avstånden för var och en av vilka från två givna punkter i detta plan kallas foci (ett konstant värde).
Kanonisk ekvation ellips:
X och y tillhör ellipsen.
a – ellipsens halvstora axel
b – ellipsens halvmollaxel
Ellipsen har 2 symmetriaxlar OX och OU. Symmetriaxlarna för en ellips är dess axlar, skärningspunkten är ellipsens centrum. Den axel på vilken brännpunkterna är belägna kallas fokal axel. Skärningspunkten mellan ellipsen och axlarna är ellipsens spets.
Kompressionsförhållande (spänning): ε = s/a– excentricitet (karakteriserar formen på ellipsen), ju mindre den är, desto mindre förlängs ellipsen längs fokalaxeln.
Om ellipsens centrum inte är i centrum C(α, β)
Hyperbel
Överdrift kallas det geometriska stället för punkter i ett plan, absolut värde skillnaderna i avstånd, var och en från två givna punkter i detta plan, kallade foci, är ett konstant värde som skiljer sig från noll.
Kanonisk hyperbelekvation
En hyperbel har 2 symmetriaxlar:
a – verklig symmetrihalvaxel
b – imaginär symmetrihalvaxel
Asymptoter för en hyperbel:
Parabel
Parabelär platsen för punkter i planet på samma avstånd från en given punkt F, kallad fokus, och en given rät linje, kallad riktlinje.
Den kanoniska ekvationen för en parabel:
У 2 =2рх, där р är avståndet från fokus till riktlinjen (parabelparameter)
Om parabelns vertex är C (α, β), då är parabelns ekvation (y-β) 2 = 2р(x-α)
Om fokalaxeln tas som ordinataaxeln kommer parabelns ekvation att ha formen: x 2 =2qу
