Lektion "Förenkla trigonometriska uttryck". Lektionssammanfattning på ämnet "Trigonometriska uttryck och deras transformationer Förenkling av trigonometriska uttryck online med lösning

I identitetsförvandlingar trigonometriska uttryck Följande algebraiska tekniker kan användas: addera och subtrahera identiska termer; sätta den gemensamma faktorn utanför parantes; multiplikation och division med samma kvantitet; tillämpning av förkortade multiplikationsformler; välja en komplett kvadrat; sönderfall kvadratisk trinomial genom multiplikatorer; införande av nya variabler för att förenkla transformationer.

När du konverterar trigonometriska uttryck som innehåller bråk, kan du använda egenskaperna för proportion, reducerande bråk eller omvandling av bråk till gemensam nämnare. Dessutom kan du använda urvalet av hela delen av bråket, multiplicera täljaren och nämnaren av bråket med samma belopp, och även, om möjligt, ta hänsyn till täljarens eller nämnarens homogenitet. Vid behov kan du representera ett bråk som summan eller skillnaden av flera enklare bråk.

Dessutom, när du använder alla nödvändiga metoder för att konvertera trigonometriska uttryck, är det nödvändigt att ständigt ta hänsyn till intervallet av tillåtna värden för uttrycken som konverteras.

Låt oss titta på några exempel.

Exempel 1.

Beräkna A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos (2x – 7π /2) +
+ sin (3π/2 – x) sin (2x –5π/2)) 2

Lösning.

Från reduktionsformlerna följer:

sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;

sin (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5π/2) = -cos 2x.

Varifrån får vi, i kraft av formlerna för att lägga till argument och den trigonometriska huvudidentiteten,

A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Svar: 1.

Exempel 2.

Konvertera uttrycket M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ till en produkt.

Lösning.

Från formlerna för att lägga till argument och formlerna för att omvandla summan av trigonometriska funktioner till en produkt efter lämplig gruppering, har vi

M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α +β)/2) cos ((α + γ)/2).

Svar: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

Exempel 3.

Visa att uttrycket A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) tar ett för alla x från R och samma betydelse. Hitta detta värde.

Lösning.

Här är två sätt att lösa detta problem. Genom att tillämpa den första metoden, genom att isolera en fullständig kvadrat och använda motsvarande grundläggande trigonometriska formler, får vi

A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

Lös problemet på det andra sättet, betrakta A som en funktion av x från R och beräkna dess derivata. Efter förvandlingar får vi

А´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =

Sin 2x – (sin (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =

Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

På grund av kriteriet om konstans för en funktion som kan differentieras på ett intervall, drar vi slutsatsen att

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Svar: A = 3/4 för x € R.

De viktigaste teknikerna för att bevisa trigonometriska identiteter är:

A) reducera den vänstra sidan av identiteten till höger genom lämpliga transformationer;
b) reducera den högra sidan av identiteten till vänster;
V) reducera höger och vänster sida av identiteten till samma form;
G) minska till noll skillnaden mellan vänster och höger sida av identiteten som bevisas.

Exempel 4.

Kontrollera att cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).

Lösning.

Att transformera den högra sidan av denna identitet med hjälp av motsvarande trigonometriska formler, vi har

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Den högra sidan av identiteten reduceras till vänster.

Exempel 5.

Bevisa att sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2 om α, β, γ är de inre vinklarna i någon triangel.

Lösning.

Med tanke på att α, β, γ är de inre vinklarna i någon triangel, får vi att

α + β + γ = π och därför γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Den ursprungliga jämlikheten har bevisats.

Exempel 6.

Bevisa att för att en av vinklarna α, β, γ i triangeln ska vara lika med 60°, är det nödvändigt och tillräckligt att sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Lösning.

Villkoret för detta problem innebär att bevisa både nödvändighet och tillräcklighet.

Låt oss först bevisa nödvändighet.

Det kan man visa

sin 3a + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3a/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Därför, med hänsyn till att cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, får vi att om en av vinklarna α, β eller γ är lika med 60°, då

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 och därför är sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Låt oss bevisa nu lämplighet det angivna tillståndet.

Om sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, då cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, och därför

antingen cos (3α/2) = 0, eller cos (3β/2) = 0, eller cos (3γ/2) = 0.

Därför,

eller 3a/2 = π/2 + πk, dvs. α = π/3 + 2πk/3,

eller 3β/2 = π/2 + πk, dvs. β = π/3 + 2πk/3,

eller 3γ/2 = π/2 + πk,

dessa. γ = π/3 + 2πk/3, där k ϵ Z.

Från det faktum att α, β, γ är vinklarna i en triangel har vi

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Därför, för α = π/3 + 2πk/3 eller β = π/3 + 2πk/3 eller

γ = π/3 + 2πk/3 av alla kϵZ är endast k = 0 lämplig.

Det följer att antingen α = π/3 = 60°, eller β = π/3 = 60°, eller γ = π/3 = 60°.

Påståendet är bevisat.

Har du fortfarande frågor? Är du osäker på hur man förenklar trigonometriska uttryck?
För att få hjälp av en handledare, registrera dig.
Första lektionen är gratis!

webbplats, vid kopiering av material helt eller delvis krävs en länk till källan.

Avsnitt: Matematik

Klass: 11

Lektion 1

Ämne: 11:e klass (förberedelse för Unified State Exam)

Förenkla trigonometriska uttryck.

Lösa enkla trigonometriska ekvationer. (2 timmar)

Mål:

Systematisera, generalisera, utöka elevernas kunskaper och färdigheter relaterade till användningen av trigonometriformler och lösa enkla trigonometriska ekvationer.

Utrustning för lektionen:

Lektionens struktur:

Organisatoriskt ögonblick
Testar på bärbara datorer. Diskussion om resultat.
Förenkla trigonometriska uttryck
Lösa enkla trigonometriska ekvationer
Självständigt arbete.
Lektionssammanfattning. Förklaring av hemuppgift.

1. Organisatoriskt ögonblick. (2 min.)

Läraren hälsar publiken, tillkännager ämnet för lektionen, påminner dem om att uppgiften tidigare gavs att upprepa trigonometriformler och förbereder eleverna för testning.

2. Testning. (15 min + 3 min diskussion)

Målet är att testa kunskaper om trigonometriska formler och förmågan att tillämpa dem. Varje elev har en bärbar dator på sitt skrivbord med en version av provet.

Det kan finnas hur många alternativ som helst, jag kommer att ge ett exempel på ett av dem:

Jag alternativ.

Förenkla uttryck:

a) grundläggande trigonometriska identiteter

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) additionsformler

3. sin5x - sin3x;

c) omvandla en produkt till en summa

6. 2sin8y cos3y;

d) dubbla vinkelformler

7. 2sin5x cos5x;

e) formler för halva vinklar

e) formler för trippelvinklar

g) universell substitution

h) gradminskning

16. cos 2 (3x/7);

Eleverna ser sina svar på den bärbara datorn bredvid varje formel.

Arbetet kontrolleras omedelbart av datorn. Resultaten visas på en stor skärm för alla att se.

Efter avslutat arbete visas också de rätta svaren på elevernas bärbara datorer. Varje elev ser var misstaget gjordes och vilka formler han behöver upprepa.

3. Förenkling av trigonometriska uttryck. (25 min.)

Målet är att upprepa, öva och konsolidera användningen av grundläggande trigonometriformler. Lösa problem B7 från Unified State Exam.

I detta skede är det lämpligt att dela upp klassen i grupper av starka elever (arbetar självständigt med efterföljande testning) och svaga elever som arbetar med läraren.

Uppdrag för starka elever (förberedda i förväg på tryckt basis). Huvudvikten ligger på formlerna för reduktion och dubbel vinkel, enligt Unified State Exam 2011.

Förenkla uttryck (för starka elever):

Samtidigt arbetar läraren med svaga elever, diskuterar och löser uppgifter på skärmen under elevernas diktamen.

Kalkylera:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

Förenkla:

Det var dags att diskutera resultatet av den starka gruppens arbete.

Svaren visas på skärmen, och även, med hjälp av en videokamera, visas arbetet från 5 olika elever (en uppgift för varje).

Den svaga gruppen ser tillståndet och lösningsmetoden. Diskussion och analys pågår. Använder tekniska medel det händer snabbt.

4. Lösa enkla trigonometriska ekvationer. (30 min.)

Målet är att upprepa, systematisera och generalisera lösningen av de enklaste trigonometriska ekvationerna och skriva ner deras rötter. Lösning av problem B3.

Varje trigonometrisk ekvation, oavsett hur vi löser den, leder till den enklaste.

När de slutför uppgiften bör eleverna vara uppmärksamma på att skriva ner rötterna till ekvationer i specialfall och allmän syn och på valet av rötter i den sista ekvationen.

Lös ekvationer:

Skriv ner den minsta positiva roten som ditt svar.

5. Självständigt arbete (10 min.)

Målet är att testa de förvärvade färdigheterna, identifiera problem, fel och sätt att eliminera dem.

Arbete på flera nivåer erbjuds efter studentens val.

Alternativ "3"

1) Hitta värdet på uttrycket

2) Förenkla uttrycket 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Lös ekvationen

Alternativ för "4"

1) Hitta värdet på uttrycket

2) Lös ekvationen Skriv ner den minsta positiva roten i ditt svar.

Alternativ för "5"

1) Hitta tanα if

2) Hitta roten till ekvationen Skriv ner den minsta positiva roten som ditt svar.

6. Lektionssammanfattning (5 min.)

Läraren sammanfattar vad som upprepades och förstärktes på lektionen trigonometriska formler, lösa enkla trigonometriska ekvationer.

Läxor tilldelas (förberedda på tryckt basis i förväg) med en stickprovskontroll vid nästa lektion.

Lös ekvationer:

10) I ditt svar, ange den minsta positiva roten.

Lektion 2

Ämne: 11:e klass (förberedelse för Unified State Exam)

Metoder för att lösa trigonometriska ekvationer. Rotval. (2 timmar)

Mål:

Generalisera och systematisera kunskap om att lösa trigonometriska ekvationer av olika typer.
Att främja utvecklingen av elevers matematiska tänkande, förmågan att observera, jämföra, generalisera och klassificera.
Uppmuntra eleverna att övervinna svårigheter i processen med mental aktivitet, till självkontroll och introspektion av sina aktiviteter.

Utrustning för lektionen: KRMu, bärbara datorer för varje elev.

Lektionens struktur:

Organisatoriskt ögonblick
Diskussion om d/z och själv. arbete från förra lektionen
Genomgång av metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.
Lösa trigonometriska ekvationer
Urval av rötter i trigonometriska ekvationer.
Självständigt arbete.
Lektionssammanfattning. Läxa.

1. Organisatoriskt ögonblick (2 min.)

Läraren hälsar publiken, meddelar lektionens ämne och arbetsplanen.

2. a) Analys läxa(5 min.)

Målet är att kontrollera utförandet. Ett verk visas på skärmen med hjälp av en videokamera, resten samlas selektivt in för lärarkontroll.

b) Analys självständigt arbete(3 min.)

Målet är att analysera misstag och ange sätt att övervinna dem.

Svar och lösningar visas på skärmen. Analysen går snabbt.

3. Genomgång av metoder för att lösa trigonometriska ekvationer (5 min.)

Målet är att återkalla metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.

Fråga eleverna vilka metoder för att lösa trigonometriska ekvationer de känner till. Betona att det finns så kallade grundläggande (ofta använda) metoder:

variabel ersättning,
faktorisering,
homogena ekvationer,

och det finns tillämpade metoder:

använda formlerna för att omvandla en summa till en produkt och en produkt till en summa,
enligt formlerna för att minska graden,
universell trigonometrisk substitution
införande av en hjälpvinkel,
multiplikation med några trigonometrisk funktion.

Man bör också komma ihåg att en ekvation kan lösas på olika sätt.

4. Lösa trigonometriska ekvationer (30 min.)

Målet är att generalisera och konsolidera kunskaper och färdigheter om detta ämne, för att förbereda för C1-lösningen från Unified State Exam.

Jag anser att det är tillrådligt att lösa ekvationer för varje metod tillsammans med eleverna.

Eleven dikterar lösningen, läraren skriver ner den på surfplattan och hela processen visas på skärmen. Detta gör att du snabbt och effektivt kan återkalla tidigare täckt material i ditt minne.

Lös ekvationer:

1) ersätter variabeln 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorisering 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogena ekvationer sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) omvandla summan till en produkt cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) omvandla produkten till summan 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) minskning av graden sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) universell trigonometrisk substitution sinx + 5cosx + 5 = 0.

När man löser denna ekvation bör det noteras att man använder denna metod leder till en avsmalning av definitionsområdet, eftersom sinus och cosinus ersätts med tg(x/2). Innan du skriver ut svaret måste du därför kontrollera om talen från mängden π + 2πn, n Z är hästar i denna ekvation.

8) införande av en hjälpvinkel √3sinx + cosx - √2 = 0

9) multiplikation med någon trigonometrisk funktion cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Val av rötter till trigonometriska ekvationer (20 min.)

Eftersom det inte är tillräckligt att lösa den första delen av provet under hård konkurrens när de går in på universitet, bör de flesta studenter vara uppmärksamma på uppgifterna i den andra delen (C1, C2, C3).

Därför är målet med detta skede av lektionen att komma ihåg tidigare studerat material och förbereda sig för att lösa problem C1 från Unified State Exam 2011.

Det finns trigonometriska ekvationer där du måste välja rötter när du skriver ut svaret. Detta beror på vissa begränsningar, till exempel: nämnaren för bråket är inte lika med noll, uttrycket under roten jämn gradär icke-negativt, uttrycket under logaritmetecknet är positivt osv.

Sådana ekvationer betraktas som ekvationer med ökad komplexitet och i version av Unified State Exam finns i den andra delen, nämligen C1.

Lös ekvationen:

Ett bråktal är lika med noll om då genom att använda enhetscirkel låt oss välja rötterna (se figur 1)

Bild 1.

vi får x = π + 2πn, n Z

Svar: π + 2πn, n Z

På skärmen visas urvalet av rötter på en cirkel i en färgbild.

Produkten är lika med noll när minst en av faktorerna är lika med noll, och bågen inte förlorar sin betydelse. Sedan

Med hjälp av enhetscirkeln väljer vi rötterna (se figur 2)

Figur 2.

Låt oss gå till systemet:

I systemets första ekvation gör vi ersättningsloggen 2 (sinx) = y, vi får då ekvationen , låt oss återgå till systemet

med hjälp av enhetscirkeln väljer vi rötterna (se figur 5),

Bild 5.

6. Självständigt arbete (15 min.)

Målet är att konsolidera och kontrollera assimileringen av materialet, identifiera fel och skissera sätt att korrigera dem.

Arbetet erbjuds i tre versioner, förberedda i förväg på tryckt basis, som eleverna kan välja mellan.

Du kan lösa ekvationer på vilket sätt som helst.

Alternativ "3"

Lös ekvationer:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

Alternativ för "4"

Lös ekvationer:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

Alternativ för "5"

Lös ekvationer:

1) 2sinx - 3cosx = 2

7. Lektionssammanfattning, läxor (5 min.)

Läraren sammanfattar lektionen och uppmärksammar återigen att en trigonometrisk ekvation kan lösas på flera sätt. Mest bästa sättet för att uppnå ett snabbt resultat är det det som bäst lärs av en viss elev.

När du förbereder dig inför tentamen behöver du systematiskt upprepa formler och metoder för att lösa ekvationer.

Läxor (förberedda i förväg på tryckt basis) delas ut och metoderna för att lösa några ekvationer kommenteras.

Lös ekvationer:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2 x + sin2x = 3

4) sin 2 x + sin 2 2x - sin 2 3x - sin 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8)cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8)cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)

Videolektionen "Simplifying Trigonometric Expressions" är utformad för att utveckla elevernas färdigheter i att lösa trigonometriska problem med hjälp av grundläggande trigonometriska identiteter. Under videolektionen diskuteras typer av trigonometriska identiteter och exempel på att lösa problem med hjälp av dem. Genom att använda visuella hjälpmedel är det lättare för läraren att nå lektionens mål. Levande presentation av material främjar memorering viktiga punkter. Användningen av animationseffekter och voice-over låter dig ersätta läraren helt när du förklarar materialet. Genom att använda detta visuella hjälpmedel i matematiklektionerna kan läraren alltså öka effektiviteten i undervisningen.

I början av videolektionen meddelas dess ämne. Sedan minns vi de trigonometriska identiteter som studerats tidigare. Skärmen visar likheterna sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, där t≠π/2+πk för kϵZ, ctg t=cos t/sin t, korrekt för t≠πk, där kϵZ, tg t· ctg t=1, för t≠πk/2, där kϵZ, kallas de grundläggande trigonometriska identiteterna. Det noteras att dessa identiteter ofta används för att lösa problem där det är nödvändigt att bevisa jämlikhet eller förenkla ett uttryck.

Nedan tar vi upp exempel på tillämpningen av dessa identiteter för att lösa problem. Först föreslås att man överväger att lösa problem med att förenkla uttryck. I exempel 1 är det nödvändigt att förenkla uttrycket cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. För att lösa exemplet, ta först den gemensamma faktorn cos 2 t inom parentes. Som ett resultat av denna transformation inom parentes erhålls uttrycket 1- cos 2 t, vars värde från trigonometrins huvudidentitet är lika med sin 2 t. Efter omvandling av uttrycket är det uppenbart att ytterligare en vanlig faktor sin 2 t kan tas ur parentes, varefter uttrycket tar formen sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). Från samma grundläggande identitet härleder vi värdet av uttrycket inom parentes lika med 1. Som ett resultat av förenklingen får vi cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

I exempel 2 behöver uttrycket kostnad/(1- sint)+ kostnad/(1+ sint) förenklas. Eftersom täljaren för båda bråken innehåller uttrycket kostnad kan den tas ur parentes som en gemensam faktor. Sedan reduceras bråken inom parentes till en gemensam nämnare genom att multiplicera (1- sint)(1+ sint). Efter att ha tagit med liknande termer förblir täljaren 2, och nämnaren 1 - sin 2 t. På höger sida av skärmen återkallas den grundläggande trigonometriska identiteten sin 2 t+cos 2 t=1. Med hjälp av den hittar vi nämnaren för bråket cos 2 t. Efter att ha reducerat bråket får vi en förenklad form av uttrycket kostnad/(1- sint)+ kostnad/(1+ sint)=2/kostnad.

Därefter tar vi upp exempel på identitetsbevis som använder den förvärvade kunskapen om trigonometrins grundläggande identiteter. I exempel 3 är det nödvändigt att bevisa identiteten (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Den högra sidan av skärmen visar tre identiteter som kommer att behövas för beviset - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t och tg t=sin t/cost t med restriktioner. För att bevisa identiteten öppnas först parenteserna, varefter en produkt bildas som speglar uttrycket för den trigonometriska huvudidentiteten tg t·ctg t=1. Sedan, enligt identiteten från definitionen av cotangens, transformeras ctg 2 t. Som ett resultat av transformationerna erhålls uttrycket 1-cos 2 t. Med hjälp av huvudidentiteten hittar vi meningen med uttrycket. Således har det bevisats att (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

I exempel 4 måste du hitta värdet på uttrycket tg 2 t+ctg 2 t om tg t+ctg t=6. För att beräkna uttrycket, kvadrera först höger och vänster sida av likheten (tg t+ctg t) 2 =6 2. Den förkortade multiplikationsformeln återkallas på höger sida av skärmen. Efter att ha öppnat parenteserna på vänster sida av uttrycket bildas summan tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t, för att transformera vilken man kan tillämpa en av de trigonometriska identiteterna tg t·ctg t=1 , vars form återkallas på höger sida av skärmen. Efter transformationen erhålls likheten tg 2 t+ctg 2 t=34. Den vänstra sidan av jämlikheten sammanfaller med problemets tillstånd, så svaret är 34. Problemet är löst.

Videolektionen "Förenkling av trigonometriska uttryck" rekommenderas för användning i en traditionell matematiklektion i skolan. Materialet kommer också att vara användbart för läraren som implementerar distansundervisning. För att utveckla färdigheter i att lösa trigonometriska problem.

TEXTAVKODNING:

"Förenkling av trigonometriska uttryck."

Jämlikheter

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus kvadrat te plus cosinus kvadrat te är lika med en)

2)tgt =, för t ≠ + πk, kϵZ (tangens te är lika med förhållandet mellan sinus te och cosinus te med te inte lika med pi med två plus pi ka, ka tillhör zet)

3)ctgt = , för t ≠ πk, kϵZ (cotangens te är lika med förhållandet mellan cosinus te och sinus te med te inte lika med pi ka, ka tillhör zet).

4)tgt ∙ ctgt = 1 för t ≠ , kϵZ (produkten av tangenten te med cotangens te är lika med ett när te inte är lika med toppen ka, dividerat med två, ka tillhör zet)

kallas grundläggande trigonometriska identiteter.

De används ofta för att förenkla och bevisa trigonometriska uttryck.

Låt oss titta på exempel på hur man använder dessa formler för att förenkla trigonometriska uttryck.

EXEMPEL 1. Förenkla uttrycket: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (uttryck en cosinus kvadratisk te minus cosinus av fjärde graden te plus sinus av fjärde graden te).

Lösning. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(vi tar ut den gemensamma faktorn cosinus kvadrat te, inom parentes får vi skillnaden mellan enhet och kvadratisk cosinus te, som är lika med kvadraten sinus te av den första identiteten. Vi får summan av fjärde potensen sinus te av produkt cosinus kvadrat te och sinus kvadrat te Vi tar ut den gemensamma faktorn sinus kvadrat te utanför parentesen, inom parentes får vi summan av kvadraterna av cosinus och sinus, som enligt den grundläggande trigonometriska identiteten är lika med ett. Som ett resultat får vi kvadraten av sinus te).

EXEMPEL 2. Förenkla uttrycket: + .

(uttrycket be är summan av två bråk i täljaren för den första cosinus te i nämnaren en minus sinus te, i täljaren för den andra cosinus te i nämnaren för den andra plus sinus te).

(Låt oss ta den gemensamma faktorn cosinus te ur parentes, och inom parentes tar vi den till en gemensam nämnare, som är produkten av en minus sinus te med en plus sinus te.

I täljaren får vi: en plus sinus te plus en minus sinus te, vi presenterar liknande, täljaren är lika med två efter att ha kommit med liknande.

I nämnaren kan du använda den förkortade multiplikationsformeln (skillnaden mellan kvadrater) och få skillnaden mellan enhet och kvadraten av sinus te, vilket enligt den grundläggande trigonometriska identiteten

lika med kvadraten på cosinus te. Efter att ha reducerat med cosinus te får vi det slutliga svaret: två dividerat med cosinus te).

Låt oss titta på exempel på hur man använder dessa formler när man bevisar trigonometriska uttryck.

EXEMPEL 3. Bevisa identiteten (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (produkten av skillnaden mellan kvadraterna på tangenten te och sinus te med kvadraten på cotangens te är lika med kvadraten på sina te).

Bevis.

Låt oss förvandla den vänstra sidan av jämlikheten:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = sin 2 t

(Låt oss öppna parentesen; från det tidigare erhållna förhållandet är det känt att produkten av kvadraterna av tangenten te med cotangens te är lika med ett. Låt oss komma ihåg att cotangens te är lika med förhållandet mellan cosinus te och sinus te, vilket betyder att kvadraten av cotangens är förhållandet mellan kvadraten av cosinus te och kvadraten av sinus te.

Efter reduktion med sinus kvadrat te får vi skillnaden mellan enhet och cosinus kvadrat te, vilket är lika med sinus kvadrat te). Q.E.D.

EXEMPEL 4. Hitta värdet på uttrycket tg 2 t + ctg 2 t om tgt + ctgt = 6.

(summan av kvadraterna av tangent te och cotangens te, om summan av tangent och cotangens är sex).

Lösning. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Låt oss kvadrera båda sidorna av den ursprungliga likheten:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (kvadraten på summan av tangenten te och cotangensen te är lika med sex i kvadrat). Låt oss komma ihåg formeln för förkortad multiplikation: Kvadraten på summan av två storheter är lika med kvadraten på den första plus två gånger produkten av den första med den andra plus kvadraten på den andra. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Vi får tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (tangens kvadratisk te plus dubbla produkten av tangent te och cotangens te plus cotangens kvadratisk te är lika med trettiosex).

Eftersom produkten av tangent te och cotangens te är lika med ett, då är tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (summan av kvadraterna av tangent te och cotangens te och två är lika med trettiosex),

Avsnitt: Matematik

Klass: 11

Lektion 1

Ämne: 11:e klass (förberedelse för Unified State Exam)

Förenkla trigonometriska uttryck.

Lösa enkla trigonometriska ekvationer. (2 timmar)

Mål:

Systematisera, generalisera, utöka elevernas kunskaper och färdigheter relaterade till användningen av trigonometriformler och lösa enkla trigonometriska ekvationer.

Utrustning för lektionen:

Lektionens struktur:

Organisatoriskt ögonblick
Testar på bärbara datorer. Diskussion om resultat.
Förenkla trigonometriska uttryck
Lösa enkla trigonometriska ekvationer
Självständigt arbete.
Lektionssammanfattning. Förklaring av hemuppgift.

1. Organisatoriskt ögonblick. (2 min.)

Läraren hälsar publiken, tillkännager ämnet för lektionen, påminner dem om att uppgiften tidigare gavs att upprepa trigonometriformler och förbereder eleverna för testning.

2. Testning. (15 min + 3 min diskussion)

Målet är att testa kunskaper om trigonometriska formler och förmågan att tillämpa dem. Varje elev har en bärbar dator på sitt skrivbord med en version av provet.

Det kan finnas hur många alternativ som helst, jag kommer att ge ett exempel på ett av dem:

Jag alternativ.

Förenkla uttryck:

a) grundläggande trigonometriska identiteter

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) additionsformler

3. sin5x - sin3x;

c) omvandla en produkt till en summa

6. 2sin8y cos3y;

d) dubbla vinkelformler

7. 2sin5x cos5x;

e) formler för halva vinklar

e) formler för trippelvinklar

g) universell substitution

h) gradminskning

16. cos 2 (3x/7);

Eleverna ser sina svar på den bärbara datorn bredvid varje formel.

Arbetet kontrolleras omedelbart av datorn. Resultaten visas på en stor skärm för alla att se.

Efter avslutat arbete visas också de rätta svaren på elevernas bärbara datorer. Varje elev ser var misstaget gjordes och vilka formler han behöver upprepa.

3. Förenkling av trigonometriska uttryck. (25 min.)

Målet är att upprepa, öva och konsolidera användningen av grundläggande trigonometriformler. Lösa problem B7 från Unified State Exam.

I detta skede är det lämpligt att dela upp klassen i grupper av starka elever (arbetar självständigt med efterföljande testning) och svaga elever som arbetar med läraren.

Uppdrag för starka elever (förberedda i förväg på tryckt basis). Huvudvikten ligger på formlerna för reduktion och dubbel vinkel, enligt Unified State Exam 2011.

Förenkla uttryck (för starka elever):

Samtidigt arbetar läraren med svaga elever, diskuterar och löser uppgifter på skärmen under elevernas diktamen.

Kalkylera:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

Förenkla:

Det var dags att diskutera resultatet av den starka gruppens arbete.

Svaren visas på skärmen, och även, med hjälp av en videokamera, visas arbetet från 5 olika elever (en uppgift för varje).

Den svaga gruppen ser tillståndet och lösningsmetoden. Diskussion och analys pågår. Med hjälp av tekniska medel går detta snabbt.

4. Lösa enkla trigonometriska ekvationer. (30 min.)

Målet är att upprepa, systematisera och generalisera lösningen av de enklaste trigonometriska ekvationerna och skriva ner deras rötter. Lösning av problem B3.

Varje trigonometrisk ekvation, oavsett hur vi löser den, leder till den enklaste.

När de slutför uppgiften bör eleverna vara uppmärksamma på att skriva rötterna till ekvationer i specialfall och allmän form och att välja rötterna i den sista ekvationen.

Lös ekvationer:

Skriv ner den minsta positiva roten som ditt svar.

5. Självständigt arbete (10 min.)

Målet är att testa de förvärvade färdigheterna, identifiera problem, fel och sätt att eliminera dem.

Arbete på flera nivåer erbjuds efter studentens val.

Alternativ "3"

1) Hitta värdet på uttrycket

2) Förenkla uttrycket 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Lös ekvationen

Alternativ för "4"

1) Hitta värdet på uttrycket

2) Lös ekvationen Skriv ner den minsta positiva roten i ditt svar.

Alternativ för "5"

1) Hitta tanα if

2) Hitta roten till ekvationen Skriv ner den minsta positiva roten som ditt svar.

6. Lektionssammanfattning (5 min.)

Läraren sammanfattar det faktum att de under lektionen upprepade och förstärkte trigonometriska formler och löste de enklaste trigonometriska ekvationerna.

Läxor tilldelas (förberedda på tryckt basis i förväg) med en stickprovskontroll vid nästa lektion.

Lös ekvationer:

10) I ditt svar, ange den minsta positiva roten.

Lektion 2

Ämne: 11:e klass (förberedelse för Unified State Exam)

Metoder för att lösa trigonometriska ekvationer. Rotval. (2 timmar)

Mål:

Generalisera och systematisera kunskap om att lösa trigonometriska ekvationer av olika typer.
Att främja utvecklingen av elevers matematiska tänkande, förmågan att observera, jämföra, generalisera och klassificera.
Uppmuntra eleverna att övervinna svårigheter i processen med mental aktivitet, till självkontroll och introspektion av sina aktiviteter.

Utrustning för lektionen: KRMu, bärbara datorer för varje elev.

Lektionens struktur:

Organisatoriskt ögonblick
Diskussion om d/z och själv. arbete från förra lektionen
Genomgång av metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.
Lösa trigonometriska ekvationer
Urval av rötter i trigonometriska ekvationer.
Självständigt arbete.
Lektionssammanfattning. Läxa.

1. Organisatoriskt ögonblick (2 min.)

Läraren hälsar publiken, meddelar lektionens ämne och arbetsplanen.

2. a) Analys av läxor (5 min.)

Målet är att kontrollera utförandet. Ett verk visas på skärmen med hjälp av en videokamera, resten samlas selektivt in för lärarkontroll.

b) Analys av självständigt arbete (3 min.)

Målet är att analysera misstag och ange sätt att övervinna dem.

Svar och lösningar visas på skärmen. Analysen går snabbt.

3. Genomgång av metoder för att lösa trigonometriska ekvationer (5 min.)

Målet är att återkalla metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.

Fråga eleverna vilka metoder för att lösa trigonometriska ekvationer de känner till. Betona att det finns så kallade grundläggande (ofta använda) metoder:

variabel ersättning,
faktorisering,
homogena ekvationer,

och det finns tillämpade metoder:

använda formlerna för att omvandla en summa till en produkt och en produkt till en summa,
enligt formlerna för att minska graden,
universell trigonometrisk substitution
införande av en hjälpvinkel,
multiplikation med någon trigonometrisk funktion.

Man bör också komma ihåg att en ekvation kan lösas på olika sätt.

4. Lösa trigonometriska ekvationer (30 min.)

Målet är att generalisera och konsolidera kunskaper och färdigheter om detta ämne, för att förbereda för C1-lösningen från Unified State Exam.

Jag anser att det är tillrådligt att lösa ekvationer för varje metod tillsammans med eleverna.

Lös ekvationer:

1) ersätter variabeln 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorisering 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogena ekvationer sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) omvandla summan till en produkt cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) omvandla produkten till summan 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) minskning av graden sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) universell trigonometrisk substitution sinx + 5cosx + 5 = 0.

När man löser denna ekvation bör det noteras att användningen av denna metod leder till en minskning av definitionsområdet, eftersom sinus och cosinus ersätts med tg(x/2). Innan du skriver ut svaret måste du därför kontrollera om talen från mängden π + 2πn, n Z är hästar i denna ekvation.

8) införande av en hjälpvinkel √3sinx + cosx - √2 = 0

9) multiplikation med någon trigonometrisk funktion cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Val av rötter till trigonometriska ekvationer (20 min.)

Därför är målet med detta skede av lektionen att komma ihåg tidigare studerat material och förbereda sig för att lösa problem C1 från Unified State Exam 2011.

Det finns trigonometriska ekvationer där du måste välja rötter när du skriver ut svaret. Detta beror på vissa begränsningar, till exempel: nämnaren för bråket är inte lika med noll, uttrycket under den jämna roten är icke-negativt, uttrycket under logaritmtecknet är positivt, etc.

Sådana ekvationer anses vara ekvationer med ökad komplexitet och i Unified State Exam-versionen finns de i den andra delen, nämligen C1.

Lös ekvationen:

Ett bråktal är lika med noll om då med hjälp av enhetscirkeln väljer vi rötterna (se figur 1)