>>Matrix rang

Matrix rang

Bestämma rangen av en matris

Tänk på en rektangulär matris. Om vi i denna matris väljer godtyckligt k linjer och k kolumner, då bildar elementen i skärningspunkten mellan de valda raderna och kolumnerna en kvadratisk matris av k:te ordningen. Determinanten för denna matris kallas moll av k:te ordningen matris A. Uppenbarligen har matris A moll av vilken ordning som helst från 1 till det minsta av talen m och n. Bland alla mindreåriga som inte är noll i matrisen A finns det minst en mindre vars ordning är störst. Den största av de mindre beställningarna som inte är noll i en given matris kallas rang matriser. Om rangordningen för matris A är r, betyder detta att matris A har en moll som inte är noll r, men varje mindre av ordning större än r, är lika med noll. Rangen för matris A betecknas med r(A). Uppenbarligen håller relationen

Beräkna rangordningen för en matris med hjälp av minderåriga

Rangen för en matris hittas antingen genom metoden att gränsa till minderåriga eller genom metoden elementära transformationer. När du beräknar rangordningen för en matris med den första metoden, bör du gå från lägre ordningens mindreåriga till högre ordningens minderåriga. Om ett moll-D av k:te ordningen i matrisen A, som skiljer sig från noll, redan har hittats, behöver endast (k+1)-ordern som gränsar till moll-D beräkning, dvs. innehåller den som minderårig. Om de alla är lika med noll, är matrisens rangordning k.

Exempel 1.Hitta rangordningen för matrisen med hjälp av metoden att gränsa till minderåriga

Lösning.Vi börjar med 1:a ordningens minderåriga, d.v.s. från elementen i matris A. Låt oss till exempel välja ett mindre (element) M 1 = 1, placerat i första raden och första kolumnen. Gränsande med hjälp av den andra raden och tredje kolumnen får vi en mindre M 2 = annorlunda än noll. Vi övergår nu till 3:e ordningens minderåriga som gränsar till M2. Det finns bara två av dem (du kan lägga till en andra eller fjärde kolumn). Låt oss räkna ut dem: = 0. Således visade sig alla angränsande minderåriga av tredje ordningen vara lika med noll. Rangen för matris A är två.

Beräkna rangordningen för en matris med hjälp av elementära transformationer

ElementärFöljande matristransformationer kallas:

1) permutation av två rader (eller kolumner),

2) multiplicera en rad (eller kolumn) med ett tal som inte är noll,

3) lägga till en rad (eller kolumn) till en rad (eller kolumn), multiplicerat med ett visst tal.

De två matriserna kallas ekvivalent, om en av dem erhålls från den andra med hjälp av en ändlig uppsättning elementära transformationer.

Likvärdiga matriser är generellt sett inte lika, men deras rangordning är lika. Om matriserna A och B är ekvivalenta, skrivs det så här: A~B.

KanoniskEn matris är en matris där det i början av huvuddiagonalen finns flera ettor i rad (vars antal kan vara noll), och alla andra element är lika med noll, till exempel,

Genom att använda elementära transformationer av rader och kolumner kan vilken matris som helst reduceras till kanonisk. Rangen för en kanonisk matris är lika med antalet ettor på dess huvuddiagonal.

Exempel 2Hitta rangordningen för en matris

och föra den till kanonisk form.

Lösning. Från den andra raden, subtrahera den första och ordna om dessa linjer:

Nu från den andra och tredje raden subtraherar vi den första, multiplicerad med 2 respektive 5:

;

subtrahera den första från den tredje raden; vi får en matris

B = ,

vilket är ekvivalent med matris A, eftersom den erhålls från den med hjälp av en ändlig uppsättning elementära transformationer. Uppenbarligen är rangordningen för matris B 2, och därför är r(A)=2. Matris B kan lätt reduceras till kanonisk. Genom att subtrahera den första kolumnen, multiplicerad med lämpliga tal, från alla efterföljande, vänder vi till noll alla element i den första raden, utom den första, och elementen i de återstående raderna ändras inte. Sedan subtraherar vi den andra kolumnen, multiplicerad med lämpliga tal, från alla efterföljande, vänder vi till noll alla element i den andra raden, utom den andra, och får den kanoniska matrisen:

Vilken matris som helst A beställa m×n kan betraktas som en samling m strängvektorer eller n kolumnvektorer.

Rang matriser A beställa m×när det maximala antalet linjärt oberoende kolumnvektorer eller radvektorer.

Om matrisen rankas A lika r, då står det skrivet:

Att hitta rangordningen för en matris

Låta A godtycklig ordningsmatris m× n. För att hitta rangordningen för en matris A Vi tillämpar den Gaussiska elimineringsmetoden på den.

Observera att om vid något stadium av elimineringen det inledande elementet är lika med noll, så byter vi denna linje med den linje där det inledande elementet skiljer sig från noll. Om det visar sig att det inte finns någon sådan rad, gå vidare till nästa kolumn, etc.

Efter den direkta gaussiska elimineringsprocessen får vi en matris vars element under huvuddiagonalen är lika med noll. Dessutom kan det finnas nollradsvektorer.

Antalet radvektorer som inte är noll kommer att vara rangordningen för matrisen A.

Låt oss titta på allt detta med enkla exempel.

Exempel 1.

Om vi multiplicerar den första raden med 4 och lägger till den andra raden och multiplicerar den första raden med 2 och lägger till den tredje raden har vi:

Multiplicera den andra raden med -1 och lägg till den på den tredje raden:

Vi fick två rader som inte var noll och därför är matrisens rangordning 2.

Exempel 2.

Låt oss hitta rangordningen för följande matris:

Multiplicera den första raden med -2 och lägg den till den andra raden. På liknande sätt återställer vi elementen i den tredje och fjärde raden i den första kolumnen:

Låt oss återställa elementen i den tredje och fjärde raden i den andra kolumnen genom att lägga till motsvarande rader till den andra raden multiplicerat med siffran -1.

Rangen på matrisen är viktig numerisk egenskap. Det mest typiska problemet som kräver att hitta rangordningen för en matris är att kontrollera kompatibiliteten hos ett linjärt system algebraiska ekvationer. I den här artikeln kommer vi att ge begreppet matrisrankning och överväga metoder för att hitta den. För att bättre förstå materialet kommer vi att analysera i detalj lösningarna på flera exempel.

Sidnavigering.

Bestämning av rangordningen för en matris och nödvändiga ytterligare begrepp.

Innan du uttrycker definitionen av rangordningen för en matris bör du ha en god förståelse för begreppet minderårig, och att hitta minderåriga i en matris innebär att du kan beräkna determinanten. Så, om det behövs, rekommenderar vi att du minns artikelns teori, metoder för att hitta determinanten för en matris och egenskaperna för determinanten.

Låt oss ta en matris A av ordning . Låt k vara några naturligt tal, som inte överstiger det minsta av talen m och n, dvs. .

Definition.

Mindre kth order matris A är bestämningsfaktorn för en kvadratisk matris av ordning, sammansatt av element av matris A, som är placerade i förvalda k rader och k kolumner, och arrangemanget av element i matris A bevaras.

Med andra ord, om vi i matrisen A tar bort (p–k) rader och (n–k) kolumner, och från de återstående elementen skapar vi en matris och bevarar arrangemanget av elementen i matrisen A, då är determinanten för den resulterande matrisen är en moll av ordningen k av matrisen A.

Låt oss titta på definitionen av en matrismoll med hjälp av ett exempel.

Tänk på matrisen .

Låt oss skriva ner flera första ordningens minderåriga i denna matris. Till exempel, om vi väljer den tredje raden och den andra kolumnen i matris A, så motsvarar vårt val en första ordningens moll . Med andra ord, för att få denna minor, strök vi över den första och andra raden, såväl som den första, tredje och fjärde kolumnen från matrisen A, och gjorde en determinant från det återstående elementet. Om vi väljer den första raden och den tredje kolumnen i matris A, får vi en moll .

Låt oss illustrera tillvägagångssättet för att erhålla de underåriga av första ordningen
Och .

Således är de första ordningens mindre i en matris själva matriselementen.

Låt oss visa flera andra ordningens minderåriga. Välj två rader och två kolumner. Ta till exempel första och andra raden och den tredje och fjärde kolumnen. Med detta val har vi en andra ordningens mindre . Denna mindre kan också skapas genom att ta bort den tredje raden, första och andra kolumnen från matris A.

En annan andra ordningens moll av matrisen A är .

Låt oss illustrera konstruktionen av dessa andra ordningens minderåriga
Och .

På liknande sätt kan tredje ordningens minderåriga av matrisen A hittas. Eftersom det bara finns tre rader i matris A väljer vi alla. Om vi väljer de tre första kolumnerna i dessa rader får vi en tredje ordningens moll

Det kan också konstrueras genom att stryka över den sista kolumnen i matrisen A.

En annan tredje ordningens minderårig är

erhålls genom att ta bort den tredje kolumnen i matris A.

Här är en bild som visar konstruktionen av dessa tredje ordningens minderåriga
Och .

För en given matris A finns det inga minderåriga av ordning högre än tredje, eftersom .

Hur många minderåriga av k:te ordningen finns det i en matris A av ordning?

Antalet minderåriga av ordning k kan beräknas som , där Och - antalet kombinationer från p till k respektive från n till k.

Hur konstruerar man alla minorer av ordningen k av matrisen A av ordningen p vid n?

Vi kommer att behöva många matrisradnummer och många kolumnnummer. Vi skriver ner allt kombinationer av p element med k(de kommer att motsvara de valda raderna i matris A när man konstruerar en moll av ordningen k). Till varje kombination av radnummer lägger vi sekventiellt till alla kombinationer av n element av k kolumnnummer. Dessa uppsättningar av kombinationer av radnummer och kolumnnummer i matris A kommer att hjälpa till att komponera alla minderåriga av ordningen k.

Låt oss titta på det med ett exempel.

Exempel.

Hitta alla andra ordningens mindreåriga i matrisen.

Lösning.

Eftersom ordningen på den ursprungliga matrisen är 3 gånger 3, kommer det totala antalet andra ordningens minderåriga att vara .

Låt oss skriva ner alla kombinationer av 3 till 2 radnummer i matris A: 1, 2; 1, 3 och 2, 3. Alla kombinationer av 3 till 2 kolumnnummer är 1, 2; 1, 3 och 2, 3.

Låt oss ta den första och andra raden av matris A. Genom att välja den första och andra kolumnen, den första och tredje kolumnen, den andra och tredje kolumnen för dessa rader får vi de mindre resp.

För den första och tredje raden, med ett liknande val av kolumner, har vi

Det återstår att lägga till den första och andra, första och tredje, andra och tredje kolumnen till den andra och tredje raden:

Så alla nio andra ordningens minderåriga i matris A har hittats.

Nu kan vi fortsätta med att bestämma matrisens rangordning.

Definition.

Matrix rang- Det här högsta ordningen matris moll, skiljer sig från noll.

Rangen för matris A betecknas som Rank(A) . Du kan också hitta beteckningarna Rg(A) eller Rang(A) .

Från definitionerna av matrisrang och matrisminor kan vi dra slutsatsen att rangordningen för en nollmatris är lika med noll, och rangordningen för en matris som inte är noll är inte mindre än en.

Att hitta rangordningen för en matris per definition.

Så den första metoden för att hitta rangordningen för en matris är metod för att räkna upp minderåriga. Denna metod är baserad på att bestämma matrisens rangordning.

Låt oss hitta rangordningen för en matris A av ordning.

Låt oss kort beskriva algoritm lösa detta problem genom att räkna upp minderåriga.

Om det finns minst ett element i matrisen som skiljer sig från noll, är matrisens rangordning minst lika med ett (eftersom det finns en första ordningens moll som inte är lika med noll).

Därefter tittar vi på andra ordningens minderåriga. Om alla andra ordningens minderåriga är lika med noll, är matrisens rangordning lika med ett. Om det finns minst en icke-noll moll av den andra ordningen, fortsätter vi att räkna upp de minderåriga av den tredje ordningen, och matrisens rang är minst lika med två.

På liknande sätt, om alla minderåriga av tredje ordningen är noll, är matrisens rangordning två. Om det finns minst en tredje ordningens moll annan än noll, är matrisens rangordning minst tre, och vi går vidare till att räkna upp fjärde ordningens minderåriga.

Observera att matrisens rangordning inte kan överstiga det minsta av talen p och n.

Exempel.

Hitta matrisens rangordning .

Lösning.

Eftersom matrisen inte är noll är dess rang inte mindre än ett.

Mindre av andra ordningen skiljer sig från noll, därför är rangordningen för matris A minst två. Vi går vidare till att räkna upp minderåriga av tredje ordningen. Totalt av dem saker.

Alla tredje ordningens minderåriga är lika med noll. Därför är rangen på matrisen två.

Svar:

Rank(A) = 2 .

Att hitta rangordningen för en matris med metoden att gränsa till minderåriga.

Det finns andra metoder för att hitta rangordningen för en matris som gör att du kan få resultatet med mindre beräkningsarbete.

En sådan metod är kant mindre metod.

Låt oss ta itu med begreppet kantmoll.

Det sägs att en moll M ok av (k+1):e ordningen av matrisen A gränsar till en moll M av ordningen k av matrisen A om matrisen som motsvarar den moll M ok "innehåller" matrisen som motsvarar den moll. M .

Med andra ord, matrisen som motsvarar den gränsande minor M erhålls från matrisen som motsvarar den gränsande minor M ok genom att ta bort elementen i en rad och en kolumn.

Tänk till exempel på matrisen och ta en andra ordningens mindre. Låt oss skriva ner alla gränsande minderåriga:

Metoden att gränsa till minderåriga motiveras av följande teorem (vi presenterar dess formulering utan bevis).

Sats.

Om alla moll som gränsar till k:te ordningens moll av en matris A av ordningen p gånger n är lika med noll, då är alla moll av ordningen (k+1) i matrisen A lika med noll.

För att hitta rangordningen för en matris är det alltså inte nödvändigt att gå igenom alla minderåriga som är tillräckligt gränsande. Antalet minderåriga som gränsar till moll av k:te ordningen i en matris A av ordning, hittas av formeln . Observera att det inte finns fler molor som gränsar till k:te ordningens moll i matrisen A än det finns (k + 1) ordningens moll i matrisen A. Därför är det i de flesta fall mer lönsamt att använda metoden att gränsa till minderåriga än att bara räkna upp alla minderåriga.

Låt oss gå vidare till att hitta rangordningen för matrisen med metoden att gränsa till minderåriga. Låt oss kort beskriva algoritm denna metod.

Om matrisen A inte är noll, tar vi som första ordningens moll vilket element som helst i matrisen A som skiljer sig från noll. Låt oss titta på dess gränsande minderåriga. Om de alla är lika med noll, är matrisens rangordning lika med ett. Om det finns minst en gränsande minderårig som inte är noll (dess ordning är två), fortsätter vi att överväga dess gränsande minderåriga. Om alla är noll så är Rank(A) = 2. Om minst en gränsande minderårig är icke-noll (dess ordning är tre), så betraktar vi dess gränsande minderåriga. Och så vidare. Som ett resultat är Rank(A) = k om alla gränsande molorer av (k + 1):e ordningen i matrisen A är lika med noll, eller Rank(A) = min(p, n) om det finns en icke- noll moll som gränsar till en moll av ordning (min( p, n) – 1) .

Låt oss titta på metoden att gränsa till minderåriga för att hitta rangordningen för en matris med hjälp av ett exempel.

Exempel.

Hitta matrisens rangordning genom metoden att gränsa till minderåriga.

Lösning.

Eftersom element a 1 1 i matris A inte är noll tar vi det som en första ordningens moll. Låt oss börja söka efter en gränsande minderårig som skiljer sig från noll:

En kantmoll av andra ordningen, som skiljer sig från noll, hittas. Låt oss titta på dess angränsande minderåriga (deras saker):

Alla minderåriga som gränsar till andra ordningens moll är lika med noll, därför är rangordningen för matris A lika med två.

Svar:

Rank(A) = 2 .

Exempel.

Hitta matrisens rangordning använder gränsande minderåriga.

Lösning.

Som en moll som inte är noll av första ordningen tar vi elementet a 1 1 = 1 av matrisen A. Den omgivande moll av andra ordningen inte lika med noll. Denna minderåriga kantas av en minderårig av tredje ordningen
. Eftersom det inte är lika med noll och det inte finns en enda gränsande moll för det, är rangordningen för matris A lika med tre.

Svar:

Rank(A) = 3 .

Hitta rangordningen med hjälp av elementära matristransformationer (Gauss-metoden).

Låt oss överväga ett annat sätt att hitta rangordningen för en matris.

Följande matristransformationer kallas elementära:

omarrangera rader (eller kolumner) i en matris;
multiplicera alla element i valfri rad (kolumn) i en matris med ett godtyckligt tal k, som skiljer sig från noll;
addera till elementen i en rad (kolumn) motsvarande element i en annan rad (kolumn) i matrisen, multiplicerat med ett godtyckligt tal k.

Matris B kallas ekvivalent med matris A, om B erhålls från A med användning av ett ändligt antal elementära transformationer. Matrisernas ekvivalens betecknas med symbolen "~", det vill säga skriven A ~ B.

Att hitta rangordningen för en matris med hjälp av elementära matristransformationer baseras på påståendet: om matris B erhålls från matris A med ett ändligt antal elementära transformationer, då är Rank(A) = Rank(B) .

Giltigheten av detta påstående följer av egenskaperna hos matrisens determinant:

När du omarrangerar raderna (eller kolumnerna) i en matris ändrar dess determinant tecken. Om det är lika med noll, förblir det lika med noll när raderna (kolumnerna) omarrangeras.
När du multiplicerar alla element i en rad (kolumn) i en matris med ett godtyckligt tal k annat än noll, är determinanten för den resulterande matrisen lika med determinanten för den ursprungliga matrisen multiplicerad med k. Om determinanten för den ursprungliga matrisen är lika med noll, efter att ha multiplicerat alla element i en rad eller kolumn med talet k, kommer determinanten för den resulterande matrisen också att vara lika med noll.
Att lägga till elementen i en viss rad (kolumn) i en matris motsvarande element i en annan rad (kolumn) i matrisen, multiplicerat med ett visst tal k, ändrar inte dess determinant.

Kärnan i metoden för elementära transformationer består i att reducera matrisen vars rang vi behöver hitta till en trapetsformad (i ett särskilt fall till en övre triangulär) med hjälp av elementära transformationer.

Varför görs detta? Rangen på matriser av denna typ är mycket lätt att hitta. Det är lika med antalet rader som innehåller minst ett element som inte är noll. Och eftersom matrisens rangordning inte ändras när man utför elementära transformationer, kommer det resulterande värdet att vara rangordningen för den ursprungliga matrisen.

Vi ger illustrationer av matriser, varav en ska erhållas efter transformationer. Deras utseende beror på matrisens ordning.

Dessa illustrationer är mallar som vi kommer att transformera matrisen A till.

Låt oss beskriva metodalgoritm.

Låt oss ta reda på rangordningen för en matris A som inte är noll (p kan vara lika med n).

Så, . Låt oss multiplicera alla element i den första raden i matris A med . I det här fallet får vi en ekvivalent matris som betecknar den A (1):

Till elementen i den andra raden i den resulterande matrisen A (1) lägger vi till motsvarande element i den första raden, multiplicerat med . Till elementen på den tredje raden lägger vi till motsvarande element på den första raden, multiplicerat med . Och så vidare till den p-te raden. Låt oss få en ekvivalent matris, beteckna den A (2):

Om alla element i den resulterande matrisen som ligger i rader från den andra till den p-th är lika med noll, är rankningen av denna matris lika med en, och följaktligen är rankningen av den ursprungliga matrisen lika med till en.

Om det finns minst ett element som inte är noll på linjerna från andra till p-te, fortsätter vi att utföra transformationer. Dessutom agerar vi på exakt samma sätt, men bara med den del av matris A (2) som är markerad i figuren.

Om , då arrangerar vi om raderna och (eller) kolumnerna i matris A (2) så att det "nya" elementet blir icke-noll.

För att arbeta med begreppet matrisrankning kommer vi att behöva information från ämnet "Algebraiska komplement och biroller. Typer av biämnen och algebraiska komplement." Först och främst handlar det om termen "matrix minor", eftersom vi kommer att bestämma rangen på matrisen exakt genom de minderåriga.

Matrix rangär den maximala ordningen för dess minderåriga, bland vilka det finns minst en som inte är lika med noll.

Likvärdiga matriser- matriser vars rangordningar är lika med varandra.

Låt oss förklara mer i detalj. Antag att det bland andra ordningens minderåriga finns åtminstone en som skiljer sig från noll. Och alla minderåriga vars ordning är högre än två är lika med noll. Slutsats: rangen på matrisen är 2 Eller, till exempel, bland minderåriga i tionde ordningen finns det minst en som inte är lika med noll. Och alla minderåriga vars ordning är högre än 10 är lika med noll. Slutsats: rangen på matrisen är 10.

Rangen för matrisen $A$ anges på följande sätt: $\rang A$ eller $r(A)$. Rangen för nollmatrisen $O$ antas vara noll, $\rang O=0$. Låt mig påminna dig om att för att bilda en matris-moll måste du stryka ut rader och kolumner, men det är omöjligt att stryka ut fler rader och kolumner än vad matrisen själv innehåller. Till exempel, om matrisen $F$ har storleken $5\x4$ (dvs. innehåller 5 rader och 4 kolumner), då är den maximala ordningen för mindreåriga fyra. Det kommer inte längre att vara möjligt att bilda minderåriga av femte ordningen, eftersom de kommer att kräva 5 kolumner (och vi har bara 4). Detta innebär att rangen på matrisen $F$ inte kan vara mer än fyra, d.v.s. $\rang F≤4$.

I mer allmän form ovanstående betyder att om en matris innehåller $m$ rader och $n$ kolumner, så får dess rang inte överstiga den minsta av $m$ och $n$, dvs. $\rang A≤\min(m,n)$.

I princip, från själva definitionen av rang följer metoden för att hitta den. Processen att hitta rangordningen för en matris, per definition, kan schematiskt representeras enligt följande:

Låt mig förklara detta diagram mer i detalj. Låt oss börja resonera redan från början, d.v.s. från första ordningens minderåriga av någon matris $A$.

Om alla första ordningens minderåriga (dvs. element i matrisen $A$) är lika med noll, då $\rang A=0$. Om det bland de minderåriga av första ordningen finns minst en som inte är lika med noll, då $\rang A≥ 1$. Låt oss gå vidare till att kontrollera andra ordningens minderåriga.
Om alla andra ordningens minderåriga är lika med noll, då $\rang A=1$. Om det bland andra ordningens minderåriga finns minst en som inte är lika med noll, då $\rang A≥ 2$. Låt oss gå vidare till att kontrollera minderåriga av tredje ordningen.
Om alla minderåriga av tredje ordningen är lika med noll, då $\rang A=2$. Om det bland de minderåriga av tredje ordningen finns minst en som inte är lika med noll, då $\rang A≥ 3$. Låt oss gå vidare till att kontrollera minderåriga av fjärde ordningen.
Om alla minderåriga av fjärde ordningen är lika med noll, då $\rang A=3$. Om det bland de minderåriga av fjärde ordningen finns minst en som inte är lika med noll, då $\rang A≥ 4$. Vi går vidare till att kontrollera femte ordningens minderåriga och så vidare.

Vad väntar oss i slutet av denna procedur? Det är möjligt att det bland de k:te ordningens mindreåriga kommer att finnas åtminstone en som skiljer sig från noll, och alla (k+1) ordningens mindreåriga kommer att vara lika med noll. Det betyder att k är den maximala ordningen för minderåriga, bland vilka det finns minst en som inte är lika med noll, dvs. rangen blir lika med k. Det kan finnas en annan situation: bland de k:te ordningens mindreåriga kommer det att finnas minst en som inte är lika med noll, men det kommer inte längre att vara möjligt att bilda (k+1) ordningens minderåriga. I det här fallet är matrisens rangordning också lika med k. Kort sagt, ordningen för den senast sammansatta moll som inte är noll kommer att vara lika med rangen på matrisen.

Låt oss gå vidare till exempel där processen att hitta rangordningen för en matris, per definition, kommer att tydligt illustreras. Låt mig återigen betona att i exemplen i detta ämne kommer vi att hitta rangordningen av matriser med endast definitionen av rang. Andra metoder (beräkna rangordningen för en matris med metoden för att gränsa till minderåriga, beräkning av rangordningen för en matris med hjälp av metoden för elementära transformationer) diskuteras i följande ämnen.

Förresten, det är inte alls nödvändigt att starta proceduren för att hitta rangen med minderåriga av den minsta ordningen, som gjordes i exemplen nr 1 och nr 2. Du kan omedelbart gå vidare till minderåriga av högre ordning (se exempel nr 3).

Exempel nr 1

Hitta rangordningen för matrisen $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

Denna matris har storlek $3\ gånger 5$, dvs. innehåller tre rader och fem kolumner. Av siffrorna 3 och 5 är minimum 3, därför är rangordningen för matrisen $A$ inte mer än 3, d.v.s. $\rang A≤ 3$. Och denna ojämlikhet är uppenbar, eftersom vi inte längre kommer att kunna bilda minderåriga av fjärde ordningen - de kräver 4 rader, och vi har bara 3. Låt oss gå vidare direkt till processen att hitta rangen för en given matris.

Bland första ordningens mindreåriga (dvs. bland elementen i matrisen $A$) finns ettor som inte är noll. Till exempel 5, -3, 2, 7. I allmänhet är vi inte intresserade av det totala antalet element som inte är noll. Det finns minst ett element som inte är noll - och det räcker. Eftersom det bland de minderåriga av första ordningen finns minst en som inte är noll, drar vi slutsatsen att $\rang A≥ 1$ och fortsätter med att kontrollera andra ordningens minderåriga.

Låt oss börja utforska andra ordningens minderåriga. Till exempel, vid skärningspunkten mellan raderna nr 1, nr 2 och kolumner nr 1, nr 4 finns element av följande mindre: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|. För denna determinant är alla element i den andra kolumnen lika med noll, därför är själva determinanten lika med noll, dvs. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (se egenskap nr 3 i ämnet egenskaper hos determinanter). Eller så kan du helt enkelt beräkna denna determinant med formel nr 1 från avsnittet om beräkning av andra och tredje ordningens determinanter:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Den första andra ordningens moll vi testade visade sig vara lika med noll. vad betyder det? Om behovet av att ytterligare kontrollera andra ordningens minderåriga. Antingen kommer de alla att visa sig vara noll (och då kommer rangordningen att vara lika med 1), eller bland dem kommer det att finnas minst en mindre som skiljer sig från noll. Låt oss försöka göra ett bättre val genom att skriva en andra ordningens moll, vars element är placerade i skärningspunkten mellan raderna nr 1, nr 2 och kolumnerna nr 1 och nr 5: $\left|\begin( array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|$. Låt oss ta reda på värdet av denna andra ordningens mindre:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Denna moll är inte lika med noll. Slutsats: bland de minderåriga av andra ordningen finns det minst en som inte är noll. Därför $\rang A≥ 2$. Vi måste gå vidare till att studera tredje ordningens minderåriga.

Om vi väljer kolumn nr 2 eller kolumn nr 4 för att bilda tredje ordningens minderåriga, kommer sådana minderåriga att vara lika med noll (eftersom de kommer att innehålla en nollkolumn). Det återstår att kontrollera endast en tredje ordningens mindre, vars element är belägna i skärningspunkten mellan kolumn nr 1, nr 3, nr 5 och raderna nr 1, nr 2, nr 3. Låt oss skriva ner detta mindre och hitta dess värde:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Så alla tredje ordningens minderåriga är lika med noll. Den sista moll som inte var noll vi kompilerade var av andra ordningen. Slutsats: den maximala ordningen för minderåriga, bland vilka det finns minst en icke-noll, är 2. Därför är $\rang A=2$.

Svar: $\rang A=2$.

Exempel nr 2

Hitta rangordningen för matrisen $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.

Vi har en kvadratisk matris av fjärde ordningen. Låt oss omedelbart notera att rangordningen för denna matris inte överstiger 4, dvs. $\rang A≤ 4$. Låt oss börja hitta rangordningen för matrisen.

Bland de första ordningens mindreåriga (dvs bland elementen i matrisen $A$) finns det minst en som inte är lika med noll, därför $\rang A≥ 1$. Låt oss gå vidare till att kontrollera andra ordningens minderåriga. Till exempel, vid skärningspunkten mellan raderna nr 2, nr 3 och kolumner nr 1 och nr 2, får vi följande andra ordningens moll: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. Låt oss räkna ut det:

$$\vänster| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10. $$

Bland andra ordningens minderåriga finns det minst en som inte är lika med noll, så $\rang A≥ 2$.

Låt oss gå vidare till minderåriga av tredje ordningen. Låt oss till exempel hitta en minderårig vars element är belägna i skärningspunkten mellan raderna nr 1, nr 3, nr 4 och kolumner nr 1, nr 2, nr 4:

$$\vänster | \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0. $$

Eftersom denna minderåriga av tredje ordningen visade sig vara lika med noll, är det nödvändigt att undersöka ytterligare en minderårig av tredje ordningen. Antingen kommer alla att vara lika med noll (då kommer rangordningen att vara lika med 2), eller bland dem kommer det att finnas minst en som inte är lika med noll (då kommer vi att börja studera fjärde ordningens minderåriga). Låt oss överväga en tredje ordningens mindre, vars element är belägna i skärningspunkten mellan raderna nr 2, nr 3, nr 4 och kolumner nr 2, nr 3, nr 4:

$$\vänster| \begin(array) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$

Bland de minderåriga av tredje ordningen finns det minst en icke-noll, så $\rang A≥ 3$. Låt oss gå vidare till att kontrollera minderåriga av fjärde ordningen.

Varje fjärde ordningens moll är placerad i skärningspunkten mellan fyra rader och fyra kolumner i matrisen $A$. Med andra ord, fjärde ordningens moll är determinanten för matrisen $A$, eftersom denna matris innehåller 4 rader och 4 kolumner. Determinanten för denna matris beräknades i exempel nr 2 i ämnet "Reducering av determinantens ordning i en rad (kolumn)", så låt oss bara ta det färdiga resultatet:

$$\left| \begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (array)\right|=86. $$

Så den fjärde ordningens moll är inte lika med noll. Vi kan inte längre bilda minderåriga av femte ordningen. Slutsats: den högsta ordningen av minderåriga, bland vilka det finns minst en icke-noll, är 4. Resultat: $\rang A=4$.

Svar: $\rang A=4$.

Exempel nr 3

Hitta rangordningen för matrisen $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( array) \right)$.

Låt oss omedelbart notera att denna matris innehåller 3 rader och 4 kolumner, så $\rang A≤ 3$. I de tidigare exemplen började vi processen att hitta rangen genom att överväga minderåriga av den minsta (första) ordningen. Här kommer vi att omedelbart försöka kontrollera de minderåriga av högsta möjliga ordning. För matrisen $A$ är detta tredje ordningens minderåriga. Låt oss överväga en tredje ordningens mindre, vars element ligger i skärningspunkten mellan raderna nr 1, nr 2, nr 3 och kolumner nr 2, nr 3, nr 4:

$$\left| \begin(array) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$

Så den högsta ordningen av minderåriga, bland vilka det finns minst en som inte är lika med noll, är 3. Därför är matrisens rangordning 3, d.v.s. $\rang A=3$.

Svar: $\rang A=3$.

Generellt sett är det i allmänhet en ganska arbetskrävande uppgift att hitta rangordningen för en matris per definition. Till exempel har en relativt liten matris med storlek $5\x4$ 60 andra ordningens minderåriga. Och även om 59 av dem är lika med noll, kan den 60:e minor visa sig vara icke-noll. Sedan kommer du att behöva studera tredje ordningens mindreåriga, varav denna matris har 40 stycken. Vanligtvis försöker de använda mindre besvärliga metoder, som metoden att gränsa till minderåriga eller metoden för motsvarande transformationer.

Den här artikeln kommer att diskutera ett sådant koncept som rangen på en matris och de nödvändiga ytterligare begreppen. Vi kommer att ge exempel och bevis för att hitta rangordningen för en matris, och även berätta vad en matris-moll är och varför den är så viktig.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Matrix moll

För att förstå vilken rangordning en matris har, måste du förstå begreppet matrismoll.

Definition 1

Mindrekmatrisens ordning är bestämningsfaktorn för en kvadratisk matris av ordningen k×k, som är sammansatt av element i matris A placerade i förvalda k-rader och k-kolumner, samtidigt som elementen i matris A bibehålls.

Enkelt uttryckt, om vi i matris A tar bort (p-k) rader och (n-k) kolumner, och från de element som finns kvar skapar vi en matris som bevarar arrangemanget av elementen i matris A, då är determinanten för den resulterande matrisen ordningen k-moll av matris A.

Det följer av exemplet att de första ordningens mindre i matris A är själva matriselementen.

Vi kan ge flera exempel på 2:a ordningens minderåriga. Låt oss välja två rader och två kolumner. Till exempel 1:a och 2:a raden, 3:e och 4:e kolumnen.

Med detta val av element blir andra ordningens moll - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

En annan 2:a ordningens moll av matris A är 0 0 1 1 = 0

Låt oss ge illustrationer av konstruktionen av andra ordningens minderåriga av matris A:

En 3:e ordningens moll erhålls genom att stryka över den tredje kolumnen i matris A:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Illustration av hur 3:e ordningens moll av matris A erhålls:

För en given matris finns det inga minderåriga högre än 3:e ordningen, eftersom

k ≤ m i n (p , n) = m i n (3 , 4) = 3

Hur många minderåriga av ordningen k finns det för matris A av ordningen p×n?

Antalet minderåriga beräknas med följande formel:

C p k × C n k , där e C p k = p ! k! (p - k) ! och Cnk = n! k! (n - k) ! - antalet kombinationer från p till k, från n till k, respektive.

Efter att vi har bestämt vilka minderåriga i matris A är, kan vi fortsätta med att bestämma rangen för matris A.

Matrix rank: metoder för att hitta

Definition 2

Matrix rang - den högsta ordningen av matrisen förutom noll.

Beteckning 1

Rang (A), Rg (A), Rang (A).

Från definitionen av rangordningen för en matris och den mindre av en matris, blir det tydligt att rangordningen för en nollmatris är lika med noll, och rangordningen för en matris som inte är noll är annorlunda från noll.

Att hitta rangordningen för en matris per definition

Definition 3

Metod för att räkna upp minderåriga - en metod baserad på bestämning av rangordningen för en matris.

Algoritm för åtgärder som använder metoden för att räkna upp minderåriga :

Det är nödvändigt att hitta rangordningen för en matris A av ordning sid× n. Om det finns minst ett element som inte är noll, är matrisens rangordning minst lika med ett ( därför att det finns en 1:a ordningens moll som inte är lika med noll).

Därefter kommer uppräkningen av 2:a ordningens minderåriga. Om alla 2:a ordningens minderåriga är lika med noll, är rangen lika med ett. Om det finns minst en moll som inte är noll av 2:a ordningen, är det nödvändigt att gå vidare till att räkna upp minderåriga i 3:e ordningen, och matrisens rangordning, i detta fall, kommer att vara lika med minst två.

Låt oss göra samma sak med rangen av den 3:e ordningen: om alla minderåriga i matrisen är lika med noll, kommer rangordningen att vara lika med två. Om det finns minst en moll som inte är noll av 3:e ordningen, är matrisens rangordning minst tre. Och så vidare, i analogi.

Exempel 2

Hitta rangordningen för matrisen:

A = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Eftersom matrisen inte är noll, är dess lägsta rang ett.

Andra ordningens moll - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 är icke-noll. Det följer att rangordningen för matris A är minst två.

Vi sorterar ut 3:e ordningens minderåriga: C 3 3 × C 5 3 = 1 5! 3! (5 - 3) ! = 10 stycken.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Minderåriga av 3:e ordningen är lika med noll, så rangordningen på matrisen är två.

Svar : Rank (A) = 2.

Att hitta rangordningen för en matris med metoden för gränsande minderåriga

Definition 3

Gränsande mindre metod - en metod som gör att du kan få resultat med mindre beräkningsarbete.

Kant moll - moll M o k (k + 1) av den e ordningen av matrisen A, som gränsar till den mindre M av ordningen k i matrisen A, om matrisen som motsvarar den moll M o k "innehåller" matrisen som motsvarar mindre M.

Enkelt uttryckt, matrisen som motsvarar den gränsande moll M erhålls från matrisen som motsvarar den gränsande moll Mo k genom att ta bort elementen i en rad och en kolumn.

Exempel 3

Hitta rangordningen för matrisen:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

För att hitta rangen tar vi 2:a ordningens moll M = 2 - 1 4 1

Vi skriver ner alla gränsande minderåriga:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

För att motivera metoden att gränsa till minderåriga presenterar vi ett teorem, vars formulering inte kräver något bevis.

Sats 1

Om alla moll som gränsar till k:te ordningens moll av en matris A av ordningen p gånger n är lika med noll, då är alla moll av ordningen (k+1) i matrisen A lika med noll.

Algoritm för åtgärder :

För att hitta rangordningen för en matris är det inte nödvändigt att gå igenom alla minderåriga, titta bara på de angränsande.

Om de angränsande minderåriga är lika med noll, är matrisens rangordning noll. Om det finns minst en minderårig som inte är lika med noll, så överväger vi att gränsa till minderåriga.

Om de alla är noll så är Rank(A) två. Om det finns minst en gränsande minderårig som inte är noll, fortsätter vi att överväga dess gränsande minderåriga. Och så vidare, på samma sätt.

Exempel 4

Hitta rangordningen för en matris med metoden edge minors

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Hur lösas?

Eftersom element a 11 i matris A inte är lika med noll, tar vi en moll av 1:a ordningen. Låt oss börja leta efter en gränsande minderårig som skiljer sig från noll:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

Vi hittade en gränsande moll av 2:a ordningen som inte är lika med noll 2 0 4 1 .

Låt oss räkna upp de gränsande minderåriga - (det finns (4 - 2) × (5 - 2) = 6 stycken).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Svar : Rank(A) = 2.

Att hitta rangordningen för en matris med den Gaussiska metoden (med hjälp av elementära transformationer)

Låt oss komma ihåg vad elementära transformationer är.

Elementära transformationer:

genom att omarrangera raderna (kolumnerna) i matrisen;
genom att multiplicera alla element i valfri rad (kolumn) i matrisen med ett godtyckligt icke-nolltal k;

genom att lägga till elementen i valfri rad (kolumn) element som motsvarar en annan rad (kolumn) i matrisen, vilka multipliceras med ett godtyckligt tal k.

Definition 5

Att hitta rangordningen för en matris med den Gaussiska metoden - en metod som är baserad på teorin om matrisekvivalens: om matris B erhålls från matris A med ett ändligt antal elementära transformationer, då är Rank(A) = Rank(B).

Giltigheten av detta uttalande följer av definitionen av matrisen:

Om raderna eller kolumnerna i en matris omarrangeras ändrar dess determinant tecken. Om det är lika med noll, förblir det lika med noll vid omarrangering av rader eller kolumner;
i fallet att multiplicera alla element i valfri rad (kolumn) i matrisen med ett godtyckligt tal k som inte är lika med noll, är determinanten för den resulterande matrisen lika med determinanten för den ursprungliga matrisen, som multipliceras med k;

i fallet med att lägga till elementen i en viss rad eller kolumn i en matris, ändrar inte motsvarande element i en annan rad eller kolumn, som multipliceras med talet k, dess determinant.

Kärnan i metoden för elementära transformationer : reducera matrisen vars rangordning måste hittas till en trapetsformad med hjälp av elementära transformationer.

För vad?

Rangen på matriser av denna typ är ganska lätt att hitta. Det är lika med antalet linjer som har minst ett element som inte är noll. Och eftersom rangordningen inte ändras när man utför elementära transformationer, kommer detta att vara matrisens rangordning.

Låt oss illustrera denna process:

för rektangulära matriser A av ordningen p och n, vars antal rader mer antal kolumner:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ k 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k

för rektangulära matriser A av ordningen p gånger n, vars antal rader är mindre än antalet kolumner:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 p b 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 p b 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 p 1 ⋯ b p n , R a nk (A) = p

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ k 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

för kvadratiska matriser A av ordningen n till n:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 0 1 Rank (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ k 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k , k< n

Exempel 5

Hitta rangordningen för matris A med hjälp av elementära transformationer:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Hur lösas?

Eftersom element a 11 skiljer sig från noll, är det nödvändigt att multiplicera elementen i den första raden i matris A med 1 a 11 = 1 2:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Vi lägger till elementen i den andra raden motsvarande element i den första raden, som multipliceras med (-3). Till elementen i den tredje raden lägger vi till elementen i den första raden, som multipliceras med (-1):

~ A (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Element a 22 (2) är icke-noll, så vi multiplicerar elementen i den andra raden i matris A med A (2) med 1 a 22 (2) = - 2 3:

A (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Till elementen i den 3:e raden i den resulterande matrisen lägger vi till motsvarande element i den andra raden, som multipliceras med 3 2;
till elementen i den fjärde raden - elementen i den andra raden, som multipliceras med 9 2;
till elementen i den 5:e raden - elementen i den andra raden, som multipliceras med 3 2.

Alla radelement är noll. Med hjälp av elementära transformationer förde vi alltså matrisen till en trapetsform, från vilken det kan ses att R an k (A (4)) = 2. Det följer att rangordningen för den ursprungliga matrisen också är lika med två.

Kommentar

Om du utför elementära transformationer är ungefärliga värden inte tillåtna!

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter