En funktion F(x) som är differentierbar i ett givet intervall X anropas antiderivata av funktionen f(x), eller integralen av f(x), om för varje x ∈X följande likhet gäller:
F " (x) = f(x). (8.1)
Att hitta alla antiderivator för en given funktion kallas dess integration. Obestämd integralfunktion f(x) på ett givet intervall kallas X för mängden av alla antiderivata funktioner för funktionen f(x); beteckning -
Om F(x) är någon antiderivata för funktionen f(x), då ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)
där C är en godtycklig konstant.
Tabell över integraler
Direkt från definitionen får vi huvudegenskaperna Inte bestämd integral och lista bordsintegraler:
1) d∫f(x)dx=f(x)
2)∫df(x)=f(x)+C
3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=konst)
4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx
Lista över tabellintegraler
1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)
3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)
4.∫e x dx = e x + C
5.∫sin x dx = cosx + C
6.∫cos x dx = - sin x + C
7. = arktan x + C
8. = båge x + C
10. = - ctg x + C
Variabel ersättning
För att integrera många funktioner, använd variabelersättningsmetoden eller substitutioner, så att du kan reducera integraler till tabellform.
Om funktionen f(z) är kontinuerlig på [α,β], har funktionen z =g(x) en kontinuerlig derivata och α ≤ g(x) ≤ β, då
∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)
Dessutom, efter integration på höger sida, bör substitutionen z=g(x) göras.
För att bevisa det räcker det att skriva den ursprungliga integralen i formen:
∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).
Till exempel:
Metod för integrering av delar
Låt u = f(x) och v = g(x) vara funktioner som har kontinuerlig . Sedan, enligt arbetet,
d(uv))= udv + vdu eller udv = d(uv) - vdu.
För uttrycket d(uv) kommer antiderivatan uppenbarligen att vara uv, så formeln gäller:
∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)
Denna formel uttrycker regeln integration av delar. Det leder integrationen av uttrycket udv=uv"dx till integrationen av uttrycket vdu=vu"dx.
Låt, till exempel, du vill hitta ∫xcosx dx. Låt oss sätta u = x, dv = cosxdx, så du=dx, v=sinx. Sedan
∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.
Regeln om integrering av delar har en mer begränsad räckvidd än substitution av variabler. Men det finns hela klasser av integraler, t.ex.
∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax och andra, som beräknas exakt med hjälp av integrering av delar.
Definitiv integral
Begreppet en bestämd integral introduceras enligt följande. Låt en funktion f(x) definieras på ett intervall. Låt oss dela upp segmentet [a,b] i n delar av punkterna a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 ,
x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i)
Δx i где
Axi = xi - xi-1. En summa av formen f(ξ i)Δ x i kallas integral summa, och dess gräns vid λ = maxΔx i → 0, om den finns och är ändlig, kallas bestämd integral funktioner f(x) av a till b och betecknas:
F(ξ i)Δxi (8,5).
Funktionen f(x) i detta fall anropas integrerbar på intervallet, siffrorna a och b kallas nedre och övre gränser för integralen.
Följande egenskaper gäller för en bestämd integral:
4), (k = const, k∈R);
5)
6)
7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).
Den sista egenskapen kallas medelvärdessats.
Låt f(x) vara kontinuerlig på . Sedan finns det på detta segment en obestämd integral
∫f(x)dx = F(x) + C
och äger rum Newton-Leibniz formel, förbinder den bestämda integralen med den obestämda integralen:
F(b) - F(a). (8,6)
Geometrisk tolkning: den bestämda integralen är arean av en kurvlinjär trapets som avgränsas ovanifrån av kurvan y=f(x), räta linjer x = a och x = b och ett segment av axeln Oxe.
Felaktiga integraler
Integraler med oändliga gränser och integraler av diskontinuerliga (obegränsade) funktioner kallas inte din egen. Felaktiga integraler av det första slaget - Dessa är integraler över ett oändligt intervall, definierade enligt följande:
(8.7)
Om denna gräns finns och är ändlig, så kallas den konvergent oegentlig integral av f(x) på intervallet [a,+ ∞), och funktionen f(x) anropas integrerbar över ett oändligt intervall[a,+ ∞). Annars sägs integralen vara existerar inte eller avviker.
Felaktiga integraler på intervallen (-∞,b] och (-∞, + ∞) definieras på liknande sätt:
Låt oss definiera begreppet en integral av en obegränsad funktion. Om f(x) är kontinuerlig för alla värden x segment , förutom punkten c, där f(x) har en oändlig diskontinuitet, alltså felaktig integral av den andra typen av f(x) allt från a till b beloppet kallas:
om dessa gränser finns och är ändliga. Beteckning:
Exempel på integralberäkningar
Exempel 3.30. Beräkna ∫dx/(x+2).
Lösning. Låt oss beteckna t = x+2, då dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.
Exempel 3.31. Hitta ∫ tgxdx.
Lösning.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Låt t=cosx, då ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.
Exempel3.32 . Hitta ∫dx/sinxLösning.
Exempel3.33. Hitta .
Lösning. = .
Exempel3.34 . Hitta ∫arctgxdx.
Lösning. Låt oss integrera med delar. Låt oss beteckna u=arctgx, dv=dx. Då du = dx/(x 2 +1), v=x, varav ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; därför att
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.
Exempel3.35 . Beräkna ∫lnxdx.
Lösning. Genom att tillämpa formeln för integration efter delar får vi:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Då ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.
Exempel3.36 . Beräkna ∫e x sinxdx.
Lösning. Låt oss beteckna u = e x, dv = sinxdx, då du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Vi integrerar också integralen ∫e x cosxdx med delar: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Vi har:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Vi fick relationen ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, från vilken 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.
Exempel 3.37. Beräkna J = ∫cos(lnx)dx/x.
Lösning. Eftersom dx/x = dlnx, då J= ∫cos(lnx)d(lnx). Genom att ersätta lnx genom t kommer vi fram till tabellintegralen J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.
Exempel 3.38 . Beräkna J = .
Lösning. Med tanke på att = d(lnx) gör vi substitutionen lnx = t. Då J = 
.
Exempel 3.39
. Beräkna integralen J = 
.
Lösning. Vi har: 
. Därför =
=
=.
skrevs in så här: sqrt(tan(x/2)).
Och om du i resultatfönstret klickar på Visa steg i det övre högra hörnet får du en detaljerad lösning.
För att beräkna denna integral måste vi om möjligt med en eller annan metod reducera den till en tabellintegral och på så sätt hitta det önskade resultatet. I vår kurs kommer vi bara att överväga några av de vanligaste integrationsteknikerna och ange deras tillämpning till de enklaste exemplen.
De viktigaste integrationsmetoderna är:
1) direkt integrationsmetod (expansionsmetod),
2) substitutionsmetod (metod för att introducera en ny variabel),
3) metod för integration av delar.
I. Direkt integrationsmetod
Problemet med att hitta obestämda integraler för många funktioner löses genom att reducera dem till en av tabellintegralerna. 
∫(1-√x) 2 dx=∫(1-2√x+x)dx=∫dx-∫2√xdx+∫xdx=∫dx-2∫x dx+∫xdx=
Exempel 3. ∫sin 2 xdx
Eftersom sin 2 x=(1-cos2x), alltså
∫sin 2 xdx=(1-cos2x)dx=∫dx-∫cos2xd(2x)=x-sin2x+C
Exempel 4. ∫sinxcos3xdx
Eftersom sinxcos3x=(sin4x-sin2x) har vi
∫sinxcos3xdx=∫(sin4x-sin2x)dx=∫sin4xd(4x)-∫sin2xd(2x)=-cos4x+cos2x+C
Exempel 5. Hitta den obestämda integralen: ∫cos(7x-3)dx
∫cos(7x-3)=∫cos(7x-3)d(7x-3)=sin(7x-3)+C
II. Substitutionsmetod (integrering genom ändring av variabel)
Om funktionen x=φ(t) har en kontinuerlig derivata, så kan man i en given obestämd integral ∫f(x)dx alltid gå till en ny variabel t med formeln
∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ"(t)dt
Hitta sedan integralen från höger sida och återgå till den ursprungliga variabeln. I det här fallet kan integralen på den högra sidan av denna likhet visa sig vara enklare än integralen på den vänstra sidan av denna likhet, eller till och med i tabellform. Denna metod för att hitta integralen kallas metod för förändring av variabel.
Exempel 7. ∫x√x-5dx
För att bli av med roten sätter vi √x-5=t. Därför x=t 2 +5 och därför dx=2tdt. När vi gör bytet har vi konsekvent:
∫x√x-5dx=∫(t 2 +5) 2tdt=∫(2t 4 +10t 2)dt=2∫t 4 dt+10∫t 2 dt=
Exempel 8. 
Sedan har vi det
Exempel 9. 
Exempel 10. ∫e -x 3 x 2 dx
Låt oss använda substitutionen -x 3 =t. Då har vi -3x 2 dx=dt och ∫e -x 3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x 3 +C
Exempel 11. 
Låt oss tillämpa substitutionen 1+sinx=t , sedan cosxdx=dt och
III. Metod för integrering av delar
Metoden för integration efter delar är baserad på följande formel:
∫udv=uv-∫vdu
där u(x),v(x) är kontinuerligt differentierbara funktioner. Formeln kallas integration av delar formel. Denna formel visar att integralen ∫udv leder till integralen ∫vdu, som kan visa sig vara enklare än den ursprungliga, eller till och med tabellform.
Exempel 12. Hitta den obestämda integralen ∫xe -2x dx
Att lösa integraler är en enkel uppgift, men bara för ett fåtal utvalda. Den här artikeln är till för dig som vill lära dig att förstå integraler, men som ingenting eller nästan ingenting vet om dem. Integral... Varför behövs det? Hur räknar man ut det? Vad är bestämda och obestämda integraler? Om den enda användningen du känner till för en integral är att använda en virknål formad som en integrerad ikon för att få ut något användbart från svåråtkomliga platser, så välkommen! Ta reda på hur du löser integraler och varför du inte klarar dig utan den.
Vi studerar begreppet "integral"
Integration var känd redan i det antika Egypten. Naturligtvis inte i sin moderna form, men ändå. Sedan dess har matematiker skrivit många böcker om detta ämne. Särskilt utmärkt sig Newton Och Leibniz , men sakens essens har inte förändrats. Hur förstår man integraler från början? Inget sätt! För att förstå detta ämne behöver du fortfarande en grundläggande kunskap om grunderna i matematisk analys. Vi har redan information om , nödvändig för att förstå integraler, på vår blogg.
Obestämd integral
Låt oss ha en funktion f(x) .
Obestämd integralfunktion f(x) denna funktion kallas F(x) , vars derivata är lika med funktionen f(x) .
Med andra ord, en integral är en derivata omvänt eller en antiderivata. Läs förresten om hur i vår artikel.
En antiderivata finns för alla kontinuerliga funktioner. Dessutom läggs ofta ett konstant tecken till antiderivatan, eftersom derivatorna av funktioner som skiljer sig med en konstant sammanfaller. Processen att hitta integralen kallas integration.
Enkelt exempel:
För att inte ständigt beräkna antiderivator av elementära funktioner är det bekvämt att lägga dem i en tabell och använda färdiga värden.
Komplett tabell över integraler för studenter
Definitiv integral
När vi har att göra med begreppet en integral har vi att göra med oändligt små storheter. Integralen hjälper till att beräkna arean av en figur, massan av en ojämn kropp, avståndet som tillryggalagts under ojämn rörelse och mycket mer. Man bör komma ihåg att en integral är summan av ett oändligt stort antal infinitesimala termer.
Som ett exempel, föreställ dig en graf över någon funktion. Hur hittar man arean av en figur som begränsas av grafen för en funktion?
Använder en integral! Låt oss dela upp den krökta trapetsen, begränsad av koordinataxlarna och grafen för funktionen, i infinitesimala segment. På så sätt kommer figuren att delas upp i tunna kolumner. Summan av kolonnernas ytor kommer att vara trapetsens yta. Men kom ihåg att en sådan beräkning kommer att ge ett ungefärligt resultat. Men ju mindre och smalare segmenten är, desto mer exakt blir beräkningen. Om vi minskar dem till en sådan grad att längden tenderar till noll, kommer summan av segmentens area att tendera mot figurens yta. Detta är en bestämd integral, som är skriven så här:
Punkterna a och b kallas integrationsgränser.
Bari Alibasov och gruppen "Integral" Förresten! För våra läsare finns nu 10% rabatt på
Regler för beräkning av integraler för dummies
Egenskaper hos den obestämda integralen
Hur löser man en obestämd integral? Här kommer vi att titta på egenskaperna hos den obestämda integralen, vilket kommer att vara användbart när du löser exempel.
- Integralens derivata är lika med integranden:
- Konstanten kan tas ut under integraltecknet:
- Summans integral är lika med summan av integralerna. Detta gäller även för skillnaden:
Egenskaper hos en bestämd integral
- Linjäritet:
- Integralens tecken ändras om integrationens gränser byts om:
- På några poäng a, b Och Med:
Vi har redan upptäckt att en bestämd integral är gränsen för en summa. Men hur får man ett specifikt värde när man löser ett exempel? För detta finns Newton-Leibniz formel:
Exempel på att lösa integraler
Nedan kommer vi att överväga flera exempel på att hitta obestämda integraler. Vi föreslår att du själv tar reda på krångligheterna i lösningen, och om något är oklart, ställ frågor i kommentarerna.
För att förstärka materialet, se en video om hur integraler löses i praktiken. Misströsta inte om integralen inte ges direkt. Kontakta en professionell service för studenter, och eventuell trippel eller böjd integral över en stängd yta kommer att vara inom din makt.
Processen att lösa integraler i den vetenskap som kallas matematik kallas integration. Med hjälp av integration kan du hitta några fysiska storheter: area, volym, massa av kroppar och mycket mer.
Integraler kan vara obestämda eller bestämda. Låt oss överväga formen av den bestämda integralen och försöka förstå dess fysiska betydelse. Den representeras i denna form: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Ett utmärkande drag för att skriva en bestämd integral från en obestämd integral är att det finns gränser för integration a och b. Nu ska vi ta reda på varför de behövs och vad en bestämd integral faktiskt betyder. I geometrisk mening är en sådan integral lika med arean av figuren som begränsas av kurvan f(x), linjerna a och b och Ox-axeln.
Av fig. 1 framgår det tydligt att den bestämda integralen är samma område som är skuggat i grått. Låt oss kontrollera detta med ett enkelt exempel. Låt oss hitta arean av figuren i bilden nedan med hjälp av integration och sedan beräkna den på vanligt sätt genom att multiplicera längden med bredden.
Från fig. 2 är det tydligt att $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Nu sätter vi in dem i definitionen av integralen, vi får att $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(enheter)^2 $$ Låt oss göra kontrollen på vanligt sätt. I vårt fall är längd = 3, figurens bredd = 1. $$ S = \text(längd) \cdot \text(bredd) = 3 \cdot 1 = 3 \text(enheter)^2 $$ Som du kan se, allt passar perfekt.
Frågan uppstår: hur löser man obestämda integraler och vad är deras betydelse? Att lösa sådana integraler är att hitta antiderivativa funktioner. Denna process är motsatsen till att hitta derivatan. För att hitta antiderivatan kan du använda vår hjälp för att lösa problem i matematik, eller så måste du självständigt memorera egenskaperna hos integraler och tabellen för integration av de enklaste elementära funktionerna. Att hitta det ser ut så här $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(där) F(x) $ är antiderivatan av $ f(x), C = const $.
För att lösa integralen måste du integrera funktionen $ f(x) $ över en variabel. Om funktionen är tabellformad skrivs svaret i lämplig form. Om inte, kommer processen ner på att erhålla en tabellfunktion från funktionen $ f(x) $ genom knepiga matematiska transformationer. Det finns olika metoder och egenskaper för detta, som vi kommer att överväga vidare.
Så låt oss nu skapa en algoritm för att lösa integraler för dummies?
Algoritm för beräkning av integraler
- Låt oss ta reda på den definitiva integralen eller inte.
- Om odefinierat måste du hitta antiderivatansfunktionen $ F(x) $ för integranden $ f(x) $ med hjälp av matematiska transformationer som leder till en tabellform av funktionen $ f(x) $.
- Om det är definierat måste du utföra steg 2 och sedan ersätta gränserna $ a $ och $ b $ med antiderivatfunktionen $ F(x) $. Du kommer att ta reda på vilken formel du ska använda för att göra detta i artikeln "Newton-Leibniz Formel".
Exempel på lösningar
Så du har lärt dig hur man löser integraler för dummies, exempel på att lösa integraler har sorterats ut. Vi lärde oss deras fysiska och geometriska betydelse. Lösningsmetoderna kommer att beskrivas i andra artiklar.
Definition. Integrationsmetoden, där en given integral reduceras till en eller flera tabellintegraler med hjälp av identiska transformationer av integranden (eller integranduttrycket) och applicering av egenskaperna hos den obestämda integralen direkt integration .
Ofta, under direkt integration, används följande differentialtransformationer (operationen att "gå in under differentialtecknet"):
Till exempel. 1) ;
När vi beräknade dessa integraler använde vi formlerna 1 och 2 i integraltabellen, som ges nedan.
Tabell över grundläggande obestämda integraler.
- Integrationsmetod genom substitution (variabel ersättning).
Metoden för integration genom substitution innebär att en ny integrationsvariabel introduceras. I detta fall reduceras den givna integralen till en ny integral, som är tabellformad eller reducerbar till den.
Denna integrationsmetod är baserad på följande teorem:
Sats. Låt funktionen f(x) representeras i formen: f(x)=g(j(x))×j¢(x), då om G(u) är en antiderivata för g(u), då G( j(x)) är antiderivat av g(j(x)). Det vill säga att det finns jämlikhet: .
Till exempel.
- Metod för integrering av delar.
Integration av delar består av att representera integranden av någon integral som produkten av två faktorer u och dv, och sedan använda formeln för integration av delar.
Sats Låt funktionerna u(x) och v(x) vara differentierbara, då gäller formeln:
Eftersom u¢(x)dx=du, v¢(x)dx=dv, kan formeln skrivas om som:
Till exempel.
Formeln för integration av delar kan användas flera gånger under lösningsprocessen.
Till exempel
Till exempel
Låt oss gå från den högra sidan av jämlikheten till vänster:
Några typer av integraler som är bekväma att beräkna med hjälp av integreringsmetoden för delar:
| ; ; , där P(x) är ett polynom i x, k är ett visst tal | u=P(x), dv – andra faktorer |
| ; ; ; ; | dv=P(x)dх, u – alla andra faktorer |
| ; , där a och b är några tal | , dv – andra faktorer |
- Integrering av rationella bråk.
Definition Rationell vi kallar bråkdelar av formen , där P n (x), Q m (x) är polynom av n:te respektive m:te graden i x. De enklaste rationella bråken inkluderar bråk av fyra typer:
Där A och a är några reella tal, det enklaste bråket första typ;
– enkel bråkdel andra typ;
– enkel bråkdel tredje typ;
– enkel bråkdel fjärde typ.
Låt oss överväga integrationen av fraktioner av de tre första typerna.
3) Integration av den enklaste fraktionen av den tredje typen utförs i två steg. Låt oss titta på integrationsprocessen med ett exempel.
(vi väljer derivatan av nämnaren i täljaren för efterföljande inmatning under differentialtecknet: (x 2 +2x+3)¢=2x+2)
Definition Rationella bråk kallas rätta om graden av polynomet i täljaren är mindre än graden av polynomet i nämnaren och fel om graden av polynomet i täljaren är större än eller lika med graden av polynomet i nämnaren.
I fallet med en felaktig rationell fraktion är det möjligt att isolera hela delen. För att göra detta delas polynomet från täljaren med resten med polynomet i nämnaren. Den resulterande kvoten kommer att vara heltalsdelen, och resten kommer att vara täljaren för det nya egentliga rationella bråket. Låt oss till exempel välja hela delen: .
Således kommer integrationen av rationella bråk i båda fallen ner till integrationen av en riktig rationell bråkdel, som inte alltid är den enklaste rationella bråkdelen av en av de fyra typerna.
Låt oss betrakta ett polynom Q(x). Låt talet a vara roten till detta polynom, då Q(x)=(x-a)Q 1 (x), där Q 1 (x) är ett polynom med grad 1 mindre än graden av Q(x). Talet a kan vara en rot av multipliciteten k, då Q(x) = (x-a) till Q 2 (x), där Q 2 (x) är ett polynom med graden k mindre än graden av Q(x). Dessutom kan polynomet Q(x), tillsammans med reella rötter, ha en komplex rot a+bi, då blir det komplexa talet a-bi också en rot av Q(x). I detta fall är Q(x)=(x2+px+q)Q3(x), där x2+px+q=(x-(a+bi))(x-(a-bi)). Om de angivna komplexa talen är rötter av multiplicitet m, då Q(x)=(x 2 +px+q) m Q 4 (x).
Således kan vilket polynom Q(x) som helst representeras som:
Q(x)=(x-a 1) till 1 (x-a 2) till 2 ...(x-a n) k n (x 2 +p 1 x+q 1) m 1 (x 2 +p 2 x+ q 2) m 2 …(x 2 +p s x+q s) m s.
Sats. Vilken egentlig rationell bråk som helst kan representeras som summan av de enklaste rationella bråken av typ 1-4.
Till exempel. Låt oss överväga en algoritm för att representera en riktig rationell bråkdel som summan av de enklaste rationella bråken av typ 1-4.
Eftersom bråkens nämnare är lika måste uppenbarligen även täljarna vara lika, och denna likhet är möjlig om koefficienterna är lika för samma potenser av x. Således ersätter deras värden istället för de obestämda koefficienterna A, B, C: .
Till exempel Hitta integralen.
Integranden är en felaktig rationell bråkdel. Efter att ha dividerat täljaren med nämnaren med resten får vi: .
Låt oss dekomponera en riktig rationell bråkdel till dess enklaste bråk med metoden med obestämda koefficienter:
Det följer att Löser vi det resulterande systemet med linjära ekvationer, får vi Då , det vill säga = ;
Vi hittar det separat
Alltså,.
- Integration av trigonometriska funktioner.
1. Låt det vara nödvändigt att hitta , där R är någon funktion
När man hittar sådana integraler är det ofta användbart att använda den universella trigonometriska substitutionen: . Med dess hjälp kan du alltid gå från integralen av en trigonometrisk funktion till integralen av en rationell funktion:
Х=2arctgt, .
2. Om funktionen R(sinx, cosx) är udda i förhållande till sinx, det vill säga R(-sinx, cosx)=- R(sinx, cosx), använd substitutionen cosx=t;
3. Om funktionen R(sinx, cosx) är udda med avseende på cosx, det vill säga R(sinx, -cosx)=- R(sinx, cosx), använd då substitutionen sinx=t;
4. Om funktionen R(sinx, cosx) är jämn med avseende på sinx och cosx, det vill säga R(-sinx, -cosx)=R(sinx, cosx), använd substitutionen tgx=t; samma substitution gäller vid .
Till exempel.
Till exempel Hitta integralen. Integranden är jämn med avseende på sinx, då använder vi substitutionen tgx=t.
5. För att hitta integraler av formuläret, använd följande tekniker:
a) om n är ett udda positivt heltal, använd substitutionen sinx=t;
b) om m är ett udda positivt heltal, använd substitutionen сosx=t;
c) om m och n är icke-negativa jämna heltal, används ordningsreduktionsformler; ; ;
d) om m+n är ett jämnt negativt heltal, använd substitutionen tgx=t.
Till exempel. .
Till exempel.. ; reduceras till integraler av trigonometriska funktioner med hjälp av följande substitutioner:
a) för integralen, substitution x=a×sint;
b) för integralen, substitution x=a×tgt;
c) för integralen, substitution .
