Aritmetisk progression a n. Aritmetisk progression: vad är det? Självständigt arbete i par

Lektionstyp: lära sig nytt material.

Lektionens mål:

• utöka och fördjupa elevernas förståelse för problem lösta med aritmetisk progression; organisera elevernas sökaktiviteter när man härleder formeln för summan av de första n termerna i en aritmetisk progression;
• utveckla förmågan att självständigt förvärva ny kunskap och använda redan förvärvad kunskap för att uppnå en given uppgift;
• utveckla önskan och behovet av att generalisera de erhållna fakta, utveckla självständighet.

Uppgifter:

• sammanfatta och systematisera befintlig kunskap om ämnet "Aritmetisk progression";
• härleda formler för att beräkna summan av de första n termerna av en aritmetisk progression;
• lära ut hur man tillämpar de erhållna formlerna när man löser olika problem;
• uppmärksamma eleverna på proceduren för att hitta värdet av ett numeriskt uttryck.

Utrustning:

• kort med uppgifter för att arbeta i grupper och par;
• utvärderingspapper;
• presentation “Aritmetisk progression”.

I. Uppdatering av grundläggande kunskaper.

1. Självständigt arbete i par.

1:a alternativet:

Definiera aritmetisk progression. Skriv ner det formel för återfall, som används för att definiera en aritmetisk progression. Ge ett exempel på en aritmetisk progression och ange dess skillnad.

Alternativ 2:

Skriv ner formeln för den n:e termen i en aritmetisk progression. Hitta den 100:e termen i den aritmetiska progressionen ( en}: 2, 5, 8 …
Vid denna tid, två studenter baksidan styrelser förbereder svar på samma frågor.
Eleverna utvärderar sin partners arbete genom att kontrollera dem på tavlan. (Ark med svar lämnas in.)

2. Spelmoment.

Övning 1.

Lärare. Jag tänkte på en viss aritmetisk utveckling. Ställ bara två frågor till mig så att du efter svaren snabbt kan namnge den 7:e terminen i denna progression. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...)

Frågor från studenter.

1. Vilken är den sjätte termen av progressionen och vad är skillnaden?
2. Vilken är den åttonde termen av progressionen och vad är skillnaden?

Om det inte finns fler frågor kan läraren stimulera dem - ett "förbud" mot d (skillnad), det vill säga det är inte tillåtet att fråga vad skillnaden är lika med. Du kan ställa frågor: vad är den 6:e termen av progressionen lika med och vad är den 8:e termen av progressionen lika med?

Uppgift 2.

Det finns 20 nummer skrivna på tavlan: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Läraren står med ryggen mot tavlan. Eleverna ropar upp numret och läraren ropar omedelbart upp numret själv. Förklara hur jag kan göra detta?

Läraren kommer ihåg formeln för den n:e terminen a n = 3n – 2 och genom att ersätta de angivna värdena n, hittar motsvarande värden en.

II. Att ställa in en inlärningsuppgift.

Jag föreslår att lösa ett uråldrigt problem som går tillbaka till det 2:a årtusendet f.Kr., som finns i egyptisk papyrus.

Uppgift:"Låt det sägas till er: dela 10 mått korn mellan 10 personer, skillnaden mellan varje person och hans granne är 1/8 av måttet."

• Hur är detta problem relaterat till ämnet aritmetisk progression? (Varje nästa person får 1/8 av måttet mer, vilket betyder att skillnaden är d=1/8, 10 personer, vilket betyder n=10.)
• Vad tror du att mått 10 betyder? (Summa av alla termer av progressionen.)
• Vad mer behöver du veta för att göra det enkelt och enkelt att dela upp kornet efter förutsättningarna för problemet? (Första terminen av progression.)

Lektionens mål– att erhålla beroendet av summan av termerna för progressionen på deras antal, den första termen och skillnaden, och kontrollera om problemet löstes korrekt i antiken.

Innan vi härleder formeln, låt oss titta på hur de gamla egyptierna löste problemet.

Och de löste det på följande sätt:

1) 10 mått: 10 = 1 mått – genomsnittlig andel;
2) 1 mått ∙ = 2 mått – dubbelt genomsnitt dela med sig.
Fördubblats genomsnitt aktie är summan av andelarna för den 5:e och 6:e personen.
3) 2 mått – 1/8 mått = 1 7/8 mått – dubbla andelen av den femte personen.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – bråkdel av en femtedel; och så vidare kan du hitta andelen för varje föregående och efterföljande person.

Vi får sekvensen:

III. Löser problemet.

1. Arbeta i grupp

Grupp I: Hitta summan av 20 naturliga tal i följd: S20 =(20+1)∙10 =210.

I allmän syn

II grupp: Hitta summan av naturliga tal från 1 till 100 (The Legend of Little Gauss).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Slutsats:

III grupp: Hitta summan av naturliga tal från 1 till 21.

Lösning: 1+21=2+20=3+19=4+18...

Slutsats:

IV grupp: Hitta summan av naturliga tal från 1 till 101.

Slutsats:

Denna metod för att lösa de övervägda problemen kallas "Gauss-metoden".

2. Varje grupp presenterar lösningen på problemet på tavlan.

3. Generalisering av de föreslagna lösningarna för en godtycklig aritmetisk progression:

a 1, a 2, a 3,..., a n-2, a n-1, a n.
Sn =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +...+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Låt oss hitta denna summa med liknande resonemang:

4. Har vi löst problemet?(Ja.)

IV. Primär förståelse och tillämpning av de erhållna formlerna vid problemlösning.

1. Kontrollera lösningen på ett gammalt problem med hjälp av formeln.

2. Tillämpning av formeln för att lösa olika problem.

3. Övningar för att utveckla förmågan att tillämpa formler vid problemlösning.

A) nr 613

Givet: ( en) - aritmetisk progression;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Hitta: S 1500

Lösning: , a 1 = 1 och 1500 = 1500,

B) Givet: ( en) - aritmetisk progression;
(a n): 1, 2, 3, …
Sn = 210

Hitta: n
Lösning:

V. Självständigt arbete med ömsesidig verifiering.

Denis började jobba som kurir. Under den första månaden var hans lön 200 rubel, varje efterföljande månad ökade den med 30 rubel. Hur mycket tjänade han totalt på ett år?

Givet: ( en) - aritmetisk progression;
ai = 200, d=30, n=12
Hitta: S 12
Lösning:

Svar: Denis fick 4380 rubel för året.

VI. Läxundervisning.

1. Avsnitt 4.3 – lär dig härledningen av formeln.
2. №№ 585, 623 .
3. Skapa ett problem som kan lösas med hjälp av formeln för summan av de första n termerna i en aritmetisk progression.

VII. Sammanfattning av lektionen.

1. Resultatblad

2. Fortsätt meningarna

• Idag på lektionen lärde jag mig...
• Formler lärde sig...
• Jag tror det …

3. Kan du hitta summan av siffror från 1 till 500? Vilken metod kommer du att använda för att lösa detta problem?

Bibliografi.

1. Algebra, 9:e klass. Handledning för läroanstalter. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: "Enlightenment", 2009.

Till exempel sekvensen \(2\); \(5\); \(8\); \(elva\); \(14\)... är en aritmetisk progression, eftersom varje efterföljande element skiljer sig från det föregående med tre (kan erhållas från det föregående genom att lägga till tre):

I denna progression är skillnaden \(d\) positiv (lika med \(3\)), och därför är varje nästa term större än den föregående. Sådana progressioner kallas ökande.

Men \(d\) kan också vara ett negativt tal. Till exempel, i aritmetisk progression \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progressionsskillnaden \(d\) är lika med minus sex.

Och i det här fallet kommer varje nästa element att vara mindre än det föregående. Dessa progressioner kallas minskar.

Aritmetisk progressionsnotation

Progression indikeras med en liten latinsk bokstav.

Tal som bildar en progression kallas medlemmar(eller element).

De betecknas med samma bokstav som en aritmetisk progression, men med ett numeriskt index som är lika med numret på elementet i ordning.

Till exempel består den aritmetiska progressionen \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) av elementen \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) och så vidare.

Med andra ord, för progressionen \(a_n = \vänster\(2; 5; 8; 11; 14...\höger\)\)

Lösa aritmetiska progressionsproblem

I princip räcker informationen ovan redan för att lösa nästan alla aritmetiska progressionsproblem (inklusive de som erbjuds vid OGE).

Exempel (OGE). Den aritmetiska progressionen specificeras av villkoren \(b_1=7; d=4\). Hitta \(b_5\).
Lösning:

Svar: \(b_5=23\)

Exempel (OGE). De tre första termerna i en aritmetisk progression ges: \(62; 49; 36...\) Hitta värdet på den första negativa termen i denna progression..
Lösning:

	Vi får de första elementen i sekvensen och vet att det är en aritmetisk progression. Det vill säga att varje element skiljer sig från sin granne med samma antal. Låt oss ta reda på vilken genom att subtrahera den föregående från nästa element: \(d=49-62=-13\).
	Nu kan vi återställa vår progression till det (första negativa) elementet vi behöver.
	Redo. Du kan skriva ett svar.

Svar: \(-3\)

Exempel (OGE). Givet flera på varandra följande element i en aritmetisk progression: \(…5; x; 10; 12,5...\) Hitta värdet på elementet som anges med bokstaven \(x\).
Lösning:

	För att hitta \(x\) behöver vi veta hur mycket nästa element skiljer sig från det föregående, med andra ord progressionsskillnaden. Låt oss hitta det från två kända närliggande element: \(d=12,5-10=2,5\).
	Och nu kan vi enkelt hitta det vi letar efter: \(x=5+2.5=7.5\).
	Redo. Du kan skriva ett svar.

Svar: \(7,5\).

Exempel (OGE). Den aritmetiska progressionen definieras av följande villkor: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Hitta summan av de första sex termerna i denna progression.
Lösning:

Vi måste hitta summan av de första sex termerna av progressionen. Men vi känner inte till deras betydelser; vi får bara det första elementet. Därför beräknar vi först värdena en efter en, med hjälp av vad som ges till oss: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Och efter att ha beräknat de sex element vi behöver hittar vi deras summa.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Det nödvändiga beloppet har hittats.

Svar: \(S_6=9\).

Exempel (OGE). I aritmetisk progression \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Hitta skillnaden i denna utveckling.
Lösning:

Svar: \(d=7\).

Viktiga formler för aritmetisk progression

Som du kan se kan många problem med aritmetisk progression lösas helt enkelt genom att förstå huvudsaken - att en aritmetisk progression är en kedja av tal, och varje efterföljande element i denna kedja erhålls genom att lägga till samma tal till den föregående (den skillnad i progressionen).

Men ibland finns det situationer då det är väldigt obekvämt att bestämma sig för att "direkt". Föreställ dig till exempel att vi i det allra första exemplet inte behöver hitta det femte elementet \(b_5\), utan det trehundraåttiosjätte \(b_(386)\). Ska vi lägga till fyra \(385\) gånger? Eller föreställ dig att du i det näst sista exemplet behöver hitta summan av de första sjuttiotre elementen. Du kommer att bli trött på att räkna...

Därför löser de i sådana fall inte saker "head-on", utan använder speciella formler härledda för aritmetisk progression. Och de viktigaste är formeln för den n:te termen i progressionen och formeln för summan av \(n\) första termer.

Formel för \(n\):e termen: \(a_n=a_1+(n-1)d\), där \(a_1\) är den första termen i progressionen;
\(n\) – nummer på det obligatoriska elementet;
\(a_n\) – term för progressionen med nummer \(n\).

Den här formeln gör att vi snabbt kan hitta till och med det trehundrade eller miljonte elementet, med bara kunskap om det första och skillnaden i progressionen.

Exempel. Den aritmetiska progressionen specificeras av villkoren: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Hitta \(b_(246)\).
Lösning:

Svar: \(b_(246)=1850\).

Formel för summan av de första n termerna: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), där

\(a_n\) – den senast summerade termen;

Exempel (OGE). Den aritmetiska progressionen specificeras av villkoren \(a_n=3,4n-0,6\). Hitta summan av de första \(25\) termerna i denna progression.
Lösning:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		För att beräkna summan av de första tjugofem termerna behöver vi veta värdet av de första och tjugofemte termerna. Vår progression ges av formeln för den n:e termen beroende på dess antal (för mer information, se). Låt oss beräkna det första elementet genom att ersätta \(n\) med ett.
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Låt oss nu hitta den tjugofemte termen genom att ersätta tjugofem istället för \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Nåväl, nu kan vi enkelt beräkna det nödvändiga beloppet.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Svaret är klart.

Svar: \(S_(25)=1090\).

För summan \(n\) av de första termerna kan du få en annan formel: du behöver bara \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \) (\cdot 25\ ) istället för \(a_n\) ersätt formeln för det \(a_n=a_1+(n-1)d\). Vi får:

Formel för summan av de första n termerna: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), där

\(S_n\) – den nödvändiga summan av \(n\) första element;
\(a_1\) – den första summerade termen;
\(d\) – progressionsskillnad;
\(n\) – antal element i summan.

Exempel. Hitta summan av de första \(33\)-ex termerna i den aritmetiska progressionen: \(17\); \(15,5\); \(14\)...
Lösning:

Svar: \(S_(33)=-231\).

Mer komplexa aritmetiska progressionsproblem

Nu har du all information du behöver för att lösa nästan alla aritmetiska progressionsproblem. Låt oss avsluta ämnet med att överväga problem där du inte bara behöver tillämpa formler utan också tänka lite (i matematik kan detta vara användbart ☺)

Exempel (OGE). Hitta summan av alla negativa termer i progressionen: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)...
Lösning:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Uppgiften är väldigt lik den tidigare. Vi börjar lösa samma sak: först hittar vi \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Nu skulle jag vilja ersätta \(d\) i formeln för summan... och här framträder en liten nyans - vi vet inte \(n\). Med andra ord, vi vet inte hur många termer som behöver läggas till. Hur får man reda på det? Låt oss tänka efter. Vi kommer att sluta lägga till element när vi når det första positiva elementet. Det vill säga du måste ta reda på numret på detta element. Hur? Låt oss skriva ner formeln för att beräkna ett element i en aritmetisk progression: \(a_n=a_1+(n-1)d\) för vårt fall.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Vi behöver \(a_n\) för att bli större än noll. Låt oss ta reda på vad \(n\) detta kommer att hända.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		Vi dividerar båda sidor av ojämlikheten med \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Vi överför minus ett, och glömmer inte att ändra skyltarna
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Låt oss räkna ut...
\(n>65 333...\)		...och det visar sig att det första positiva elementet kommer att ha talet \(66\). Följaktligen har den sista negativa \(n=65\). För säkerhets skull, låt oss kolla detta.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Så vi måste lägga till de första \(65\) elementen.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Svaret är klart.

Svar: \(S_(65)=-630.5\).

Exempel (OGE). Den aritmetiska progressionen specificeras av villkoren: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Hitta summan från \(26\):e till och med \(42\) elementet.
Lösning:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	I det här problemet måste du också hitta summan av element, men inte från den första, utan från den \(26\)th. För ett sådant fall har vi ingen formel. Hur bestämmer man sig? Det är enkelt - för att få summan från \(26\):e till \(42\):e måste du först hitta summan från \(1\):e till \(42\):e, och sedan subtrahera från den summan från första till \(25\)th (se bild).
	För vår progression \(a_1=-33\), och skillnaden \(d=4\) (det är trots allt de fyra som vi lägger till i föregående element för att hitta nästa). När vi vet detta hittar vi summan av de första \(42\)-y elementen.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Nu summan av de första \(25\) elementen.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Och slutligen beräknar vi svaret.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Svar: \(S=1683\).

För aritmetisk progression finns det flera fler formler som vi inte övervägde i den här artikeln på grund av deras låga praktiska användbarhet. Men du kan lätt hitta dem.

Ja, ja: aritmetisk progression är ingen leksak för dig :)

Tja, vänner, om ni läser den här texten, då säger de interna cap-bevisen mig att ni ännu inte vet vad en aritmetisk progression är, men ni vill verkligen (nej, sådär: SÅÅÅÅ!) veta. Därför kommer jag inte att plåga dig med långa introduktioner och kommer rakt på sak.

Först ett par exempel. Låt oss titta på flera uppsättningar siffror:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Vad har alla dessa uppsättningar gemensamt? Vid första anblicken ingenting. Men det finns faktiskt något. Nämligen: varje nästa element skiljer sig från det föregående med samma nummer.

Döm själv. Den första uppsättningen är helt enkelt på varandra följande nummer, vart och ett är ett mer än det föregående. I det andra fallet är skillnaden mellan intilliggande nummer redan fem, men denna skillnad är fortfarande konstant. I det tredje fallet finns det inga rötter alls. Men $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, och $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dvs. och i det här fallet ökar varje nästa element helt enkelt med $\sqrt(2)$ (och var inte rädd att detta nummer är irrationellt).

Alltså: alla sådana sekvenser kallas aritmetiska progressioner. Låt oss ge en strikt definition:

Definition. En sekvens av tal där varje nästa skiljer sig från den föregående med exakt samma mängd kallas en aritmetisk progression. Själva summan med vilken siffrorna skiljer sig kallas progressionsskillnaden och betecknas oftast med bokstaven $d$.

Notation: $\left(((a)_(n)) \right)$ är själva progressionen, $d$ är dess skillnad.

Och bara ett par viktiga anteckningar. För det första beaktas bara progression beordrade nummersekvens: de får läsas strikt i den ordning som de är skrivna - och inget annat. Siffror kan inte ordnas om eller bytas.

För det andra kan sekvensen i sig vara antingen finit eller oändlig. Till exempel är mängden (1; 2; 3) uppenbarligen en ändlig aritmetisk progression. Men om du skriver något i anden (1; 2; 3; 4; ...) - är detta redan en oändlig utveckling. Ellipsen efter de fyra tycks antyda att det finns en hel del fler nummer att komma. Oändligt många till exempel :)

Jag skulle också vilja notera att utvecklingen kan vara ökande eller minskande. Vi har redan sett ökande - samma uppsättning (1; 2; 3; 4; ...). Här är exempel på minskande progressioner:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Okej, okej: det sista exemplet kan verka alltför komplicerat. Men resten tror jag du förstår. Därför introducerar vi nya definitioner:

Definition. En aritmetisk progression kallas:

1. ökar om varje nästa element är större än det föregående;
2. minskar om, tvärtom, varje efterföljande element är mindre än det föregående.

Dessutom finns det så kallade "stationära" sekvenser - de består av samma repeterande nummer. Till exempel (3; 3; 3; ...).

Bara en fråga återstår: hur skiljer man en ökande progression från en minskande? Som tur är beror allt här bara på tecknet för talet $d$, d.v.s. progressionsskillnader:

1. Om $d \gt 0$, så ökar progressionen;
2. Om $d \lt 0$, så minskar uppenbarligen progressionen;
3. Slutligen finns det fallet $d=0$ - i detta fall reduceras hela progressionen till en stationär sekvens identiska nummer: (1; 1; 1; 1; ...), etc.

Låt oss försöka beräkna skillnaden $d$ för de tre minskande progressionerna ovan. För att göra detta räcker det att ta två intilliggande element (till exempel det första och det andra) och subtrahera talet till vänster från talet till höger. Det kommer att se ut så här:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Som vi kan se visade sig skillnaden i alla tre fallen faktiskt vara negativ. Och nu när vi mer eller mindre har listat ut definitionerna är det dags att ta reda på hur progressioner beskrivs och vilka egenskaper de har.

Progressionstermer och återfallsformel

Eftersom elementen i våra sekvenser inte kan bytas ut kan de numreras:

\[\vänster(((a)_(n)) \höger)=\vänster\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \höger\)\]

De individuella elementen i denna uppsättning kallas medlemmar av en progression. De indikeras med ett nummer: första medlem, andra medlem, etc.

Dessutom, som vi redan vet, är angränsande termer för progressionen relaterade med formeln:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\högerpil ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Kort sagt, för att hitta den $n$:te termen i en progression, måste du känna till $n-1$:e termen och skillnaden $d$. Den här formeln kallas återkommande, för med hjälp av den kan du bara hitta vilket nummer som helst genom att känna till den föregående (och faktiskt alla tidigare). Detta är väldigt obekvämt, så det finns en mer listig formel som reducerar alla beräkningar till den första termen och skillnaden:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\vänster(n-1 \höger)d\]

Du har förmodligen redan stött på denna formel. De ger det gärna i alla möjliga uppslagsböcker och problemböcker. Och i alla vettiga läroböcker i matematik är den en av de första.

Jag föreslår dock att du tränar lite.

Uppgift nr 1. Skriv ner de tre första termerna i den aritmetiska progressionen $\left(((a)_(n)) \right)$ om $((a)_(1))=8,d=-5$.

Lösning. Så vi känner till den första termen $((a)_(1))=8$ och skillnaden i progressionen $d=-5$. Låt oss använda den nyss angivna formeln och ersätta $n=1$, $n=2$ och $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\vänster(2-1 \höger)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\vänster(3-1 \höger)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Svar: (8; 3; −2)

Det är allt! Observera: vår utveckling minskar.

Naturligtvis kunde $n=1$ inte ersättas - den första termen är redan känd för oss. Men genom att ersätta enhet var vi övertygade om att vår formel fungerar även under den första mandatperioden. I andra fall handlade allt om banal aritmetik.

Uppgift nr 2. Skriv ner de tre första termerna i en aritmetisk progression om dess sjunde term är lika med -40 och dess sjuttonde term är lika med -50.

Lösning. Låt oss skriva problemtillståndet i bekanta termer:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \höger.\]

Jag sätter systemtecknet eftersom dessa krav måste uppfyllas samtidigt. Låt oss nu notera att om vi subtraherar den första från den andra ekvationen (vi har rätt att göra detta, eftersom vi har ett system), får vi detta:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Så enkelt är det att hitta progressionsskillnaden! Allt som återstår är att ersätta det hittade talet i någon av systemets ekvationer. Till exempel, i den första:

\[\begin(matris) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matris)\]

Nu, med att känna till den första termen och skillnaden, återstår det att hitta den andra och tredje termen:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Redo! Problemet är löst.

Svar: (−34; −35; −36)

Lägg märke till den intressanta egenskapen för progression som vi upptäckte: om vi tar termerna $n$th och $m$th och subtraherar dem från varandra, får vi skillnaden i progressionen multiplicerad med $n-m$-talet:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \höger)\]

Enkelt men väldigt användbar egendom, som du definitivt behöver veta - med dess hjälp kan du avsevärt påskynda lösningen av många progressionsproblem. Här är ett tydligt exempel på detta:

Uppgift nr 3. Den femte termen i en aritmetisk progression är 8,4 och dess tionde term är 14,4. Hitta den femtonde termen i denna progression.

Lösning. Eftersom $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, och vi behöver hitta $((a)_(15))$, noterar vi följande:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Men enligt villkoret $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, alltså $5d=6$, från vilket vi har:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Svar: 20.4

Det är allt! Vi behövde inte skapa några ekvationssystem och beräkna den första termen och skillnaden - allt löstes på bara ett par rader.

Låt oss nu titta på en annan typ av problem - att söka efter negativa och positiva termer för en progression. Det är ingen hemlighet att om en progression ökar och dess första term är negativ, så kommer förr eller senare positiva termer att dyka upp i den. Och vice versa: villkoren för en minskande progression kommer förr eller senare att bli negativa.

Samtidigt är det inte alltid möjligt att hitta detta ögonblick "head-on" genom att sekventiellt gå igenom elementen. Ofta är problem skrivna på ett sådant sätt att utan att känna till formlerna skulle beräkningarna ta flera pappersark — vi skulle helt enkelt somna medan vi hittade svaret. Låt oss därför försöka lösa dessa problem på ett snabbare sätt.

Uppgift nr 4. Hur många negativa termer finns det i den aritmetiska progressionen −38,5; −35,8; ...?

Lösning. Så $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, varifrån vi omedelbart finner skillnaden:

Observera att skillnaden är positiv, så progressionen ökar. Den första termen är negativ, så någon gång kommer vi verkligen att stöta på positiva siffror. Frågan är bara när detta kommer att hända.

Låt oss försöka ta reda på: tills när (dvs tills vad naturligt nummer$n$) negativiteten i termerna bevaras:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Högerpil ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Högerpil ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Den sista raden kräver viss förklaring. Så vi vet att $n \lt 15\frac(7)(27)$. Å andra sidan nöjer vi oss med endast heltalsvärden av talet (desutom: $n\in \mathbb(N)$), så det största tillåtna talet är just $n=15$, och i inget fall 16 .

Uppgift nr 5. I aritmetisk progression $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Hitta numret på den första positiva termen i denna progression.

Detta skulle vara exakt samma problem som det föregående, men vi känner inte till $((a)_(1))$. Men närliggande termer är kända: $((a)_(5))$ och $((a)_(6))$, så vi kan enkelt hitta skillnaden i progressionen:

Dessutom, låt oss försöka uttrycka den femte termen genom den första och skillnaden med standardformeln:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Nu fortsätter vi analogt med föregående uppgift. Låt oss ta reda på vid vilken tidpunkt i vår sekvens positiva tal kommer att visas:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Högerpil ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Den lägsta heltalslösningen för denna ojämlikhet är talet 56.

Observera: i den senaste uppgiften handlade det hela om strikt ojämlikhet, så alternativet $n=55$ kommer inte att passa oss.

Nu när vi har lärt oss hur man löser enkla problem, låt oss gå vidare till mer komplexa. Men först, låt oss studera en annan mycket användbar egenskap hos aritmetiska progressioner, som kommer att spara oss mycket tid och ojämlika celler i framtiden :)

Aritmetiskt medelvärde och lika indrag

Låt oss betrakta flera på varandra följande termer av den ökande aritmetiska progressionen $\left(((a)_(n)) \right)$. Låt oss försöka markera dem på nummerraden:

Termer för en aritmetisk progression på tallinjen

Jag markerade specifikt godtyckliga termer $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, och inte några $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, etc. Eftersom regeln som jag ska berätta om nu fungerar på samma sätt för alla "segment".

Och regeln är väldigt enkel. Låt oss komma ihåg den återkommande formeln och skriva den för alla markerade termer:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Dessa likheter kan dock skrivas om på olika sätt:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Vadå då? Och det faktum att termerna $((a)_(n-1))$ och $((a)_(n+1))$ ligger på samma avstånd från $((a)_(n)) $ . Och detta avstånd är lika med $d$. Detsamma kan sägas om termerna $((a)_(n-2))$ och $((a)_(n+2))$ - de är också borttagna från $((a)_(n) )$ på samma avstånd lika med $2d$. Vi kan fortsätta i det oändliga, men innebörden illustreras väl av bilden

Villkoren för progressionen ligger på samma avstånd från centrum

Vad betyder detta för oss? Detta betyder att $((a)_(n))$ kan hittas om närliggande siffror är kända:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Vi har härlett ett utmärkt uttalande: varje term i en aritmetisk progression är lika med det aritmetiska medelvärdet av dess närliggande termer! Dessutom: vi kan ta ett steg tillbaka från vår $((a)_(n))$ till vänster och till höger inte med ett steg, utan med $k$ steg - och formeln kommer fortfarande att vara korrekt:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k))))(2)\]

De där. vi kan lätt hitta några $((a)_(150))$ om vi känner till $((a)_(100))$ och $((a)_(200))$, eftersom $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Vid första anblicken kan det tyckas att detta faktum inte ger oss något användbart. Men i praktiken är många problem speciellt anpassade för att använda det aritmetiska medelvärdet. Ta en titt:

Uppgift nr 6. Hitta alla värden för $x$ för vilka talen $-6((x)^(2))$, $x+1$ och $14+4((x)^(2))$ är på varandra följande termer av en aritmetisk progression (i den ordning som anges).

Lösning. Eftersom dessa tal är medlemmar av en progression, är det aritmetiska medelvärdet uppfyllt för dem: det centrala elementet $x+1$ kan uttryckas i termer av angränsande element:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Det blev klassiskt andragradsekvation. Dess rötter: $x=2$ och $x=-3$ är svaren.

Svar: −3; 2.

Uppgift nr 7. Hitta värdena på $$ för vilka talen $-1;4-3;(()^(2))+1$ bildar en aritmetisk progression (i den ordningen).

Lösning. Låt oss återigen uttrycka mellantermen genom det aritmetiska medelvärdet av angränsande termer:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Andragradsekvationen igen. Och återigen finns det två rötter: $x=6$ och $x=1$.

Svar: 1; 6.

Om du i processen med att lösa ett problem kommer på några brutala siffror, eller om du inte är helt säker på att svaren är korrekta, så finns det en underbar teknik som låter dig kontrollera: har vi löst problemet korrekt?

Låt oss säga att vi i uppgift nr 6 fick svaren −3 och 2. Hur kan vi kontrollera att dessa svar är korrekta? Låt oss bara koppla in dem i originalskicket och se vad som händer. Låt mig påminna dig om att vi har tre tal ($-6(()^(2))$, $+1$ och $14+4(()^(2))$), som måste bilda en aritmetisk progression. Låt oss ersätta $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Högerpil \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Vi fick siffrorna −54; −2; 50 som skiljer sig med 52 är utan tvekan en aritmetisk progression. Samma sak händer för $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Högerpil \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Återigen en progression, men med en skillnad på 27. Därmed löstes problemet korrekt. De som vill kan kontrollera det andra problemet på egen hand, men jag säger genast: allt är korrekt där också.

I allmänhet stötte vi på ett annat när vi löste de sista problemen intressant fakta, som också måste komma ihåg:

Om tre siffror är sådana att det andra är det aritmetiska medelvärdet av det första och det sista, så bildar dessa tal en aritmetisk progression.

I framtiden kommer förståelsen av detta uttalande att tillåta oss att bokstavligen "konstruera" de nödvändiga utvecklingen baserat på problemets villkor. Men innan vi ägnar oss åt en sådan "konstruktion", bör vi uppmärksamma ytterligare ett faktum, som direkt följer av det som redan har diskuterats.

Gruppering och summering av element

Låt oss återgå till nummeraxeln igen. Låt oss där notera flera medlemmar av progressionen, mellan vilka kanske. är värt många andra medlemmar:

Det finns 6 element markerade på talraden

Låt oss försöka uttrycka "vänster svans" genom $((a)_(n))$ och $d$, och "höger svans" genom $((a)_(k))$ och $d$. Det är väldigt enkelt:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Observera nu att följande belopp är lika:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Enkelt uttryckt, om vi som en början betraktar två element av progressionen, som totalt är lika med något tal $S$, och sedan börjar gå från dessa element i motsatta riktningar (mot varandra eller vice versa för att flytta bort), sedan summan av de element som vi kommer att snubbla över kommer också att vara lika$S$. Detta kan tydligast representeras grafiskt:

Lika indrag ger lika mycket

Förståelse Detta faktum kommer att tillåta oss att lösa problem i ett fundamentalt mer hög nivå svårigheter än de vi ansåg ovan. Till exempel dessa:

Uppgift nr 8. Bestäm skillnaden för en aritmetisk progression där den första termen är 66, och produkten av den andra och tolfte termen är den minsta möjliga.

Lösning. Låt oss skriva ner allt vi vet:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Så vi vet inte progressionsskillnaden $d$. Egentligen kommer hela lösningen att byggas kring skillnaden, eftersom produkten $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ kan skrivas om enligt följande:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

För dem i tanken: Jag tog den totala multiplikatorn på 11 från den andra konsolen. Den erforderliga produkten är alltså en kvadratisk funktion med avseende på variabeln $d$. Tänk därför på funktionen $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - dess graf kommer att vara en parabel med grenar uppåt, eftersom om vi utökar parenteserna får vi:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Som du kan se är koefficienten för den högsta termen 11 - detta är ett positivt tal, så vi har verkligen att göra med en parabel med uppåtgående grenar:

schema kvadratisk funktion- parabel

Observera: denna parabel tar sitt lägsta värde vid sin spets med abskissan $((d)_(0))$. Naturligtvis kan vi beräkna denna abskissa med standardschemat (det finns formeln $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), men det skulle vara mycket mer rimligt att notera att den önskade vertexen ligger på parabelns axelsymmetri, därför är punkten $((d)_(0))$ på samma avstånd från rötterna till ekvationen $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Det var därför jag inte hade särskilt bråttom att öppna fästena: i sin ursprungliga form var rötterna väldigt, väldigt lätta att hitta. Därför är abskissan lika med det aritmetiska medelvärdet av talen −66 och −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Vad ger det upptäckta numret oss? Med det tar den nödvändiga produkten minsta värde(förresten, vi har aldrig beräknat $((y)_(\min ))$ - detta krävs inte av oss). Samtidigt är detta nummer skillnaden mellan den ursprungliga progressionen, dvs. vi hittade svaret :)

Svar: −36

Uppgift nr 9. Mellan talen $-\frac(1)(2)$ och $-\frac(1)(6)$ infogas tre tal så att de tillsammans med dessa tal bildar en aritmetisk fortsättning.

Lösning. I huvudsak måste vi göra en sekvens av fem nummer, med det första och sista numret redan kända. Låt oss beteckna de saknade talen med variablerna $x$, $y$ och $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Observera att talet $y$ är "mitten" i vår sekvens - det är lika långt från talen $x$ och $z$, och från talen $-\frac(1)(2)$ och $-\frac (1)(6)$. Och om vi är med från siffrorna $x$ och $z$ det här ögonblicket vi kan inte få $y$, då är situationen annorlunda med slutet av progressionen. Låt oss komma ihåg det aritmetiska medelvärdet:

Nu, när vi känner till $y$, kommer vi att hitta de återstående siffrorna. Observera att $x$ ligger mellan talen $-\frac(1)(2)$ och $y=-\frac(1)(3)$ vi just hittade. Det är därför

Med liknande resonemang hittar vi det återstående antalet:

Redo! Vi hittade alla tre siffrorna. Låt oss skriva dem i svaret i den ordning som de ska infogas mellan de ursprungliga siffrorna.

Svar: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Uppgift nr 10. Mellan siffrorna 2 och 42, infoga flera siffror som tillsammans med dessa siffror bildar en aritmetisk progression, om du vet att summan av det första, andra och sista av de infogade talen är 56.

Lösning. Ännu mer svår uppgift, som dock löses enligt samma schema som de föregående - genom det aritmetiska medelvärdet. Problemet är att vi inte vet exakt hur många siffror som behöver infogas. Låt oss därför anta för bestämdhet att efter att ha infogat allt kommer det att finnas exakt $n$-tal, och det första av dem är 2, och det sista är 42. I det här fallet kan den nödvändiga aritmetiska progressionen representeras i formen:

\[\vänster(((a)_(n)) \höger)=\vänster\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \höger\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Observera dock att siffrorna $((a)_(2))$ och $((a)_(n-1))$ erhålls från siffrorna 2 och 42 vid kanterna med ett steg mot varandra, dvs. till mitten av sekvensen. Och detta betyder det

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Men då kan uttrycket skrivet ovan skrivas om på följande sätt:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Genom att känna till $((a)_(3))$ och $((a)_(1))$, kan vi enkelt hitta skillnaden i progressionen:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\vänster(3-1 \höger)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Högerpil d=5. \\ \end(align)\]

Allt som återstår är att hitta de återstående termerna:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Redan vid det 9:e steget kommer vi alltså till den vänstra änden av sekvensen - siffran 42. Totalt behövde endast 7 siffror infogas: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Svar: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Ordproblem med progressioner

Avslutningsvis skulle jag vilja överväga ett par relativt enkla uppgifter. Tja, så enkelt är det: för de flesta elever som läser matematik i skolan och inte har läst det som står ovan kan dessa problem tyckas vara svåra. Ändå är dessa typer av problem som förekommer i OGE och Unified State Exam i matematik, så jag rekommenderar att du bekantar dig med dem.

Uppgift nr 11. Teamet producerade 62 delar i januari, och varje efterföljande månad producerade de 14 fler delar än föregående månad. Hur många delar producerade teamet i november?

Lösning. Uppenbarligen kommer antalet delar listade per månad att representera en ökande aritmetisk progression. Dessutom:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\vänster(n-1 \höger)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November är den 11:e månaden på året, så vi måste hitta $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Därför kommer 202 delar att produceras i november.

Uppgift nr 12. Bokbinderiverkstaden band in 216 böcker i januari och varje efterföljande månad band 4 fler böcker än föregående månad. Hur många böcker band verkstaden i december?

Lösning. Alla likadana:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\vänster(n-1 \höger)\cdot 4. \\ \end(align)$

December är den sista, 12:e månaden på året, så vi letar efter $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Detta är svaret – 260 böcker kommer att bindas in i december.

Tja, om du har läst så här långt, skyndar jag mig att gratulera dig: du har framgångsrikt genomfört "kursen för unga kämpar" i aritmetiska progressioner. Du kan säkert gå vidare till nästa lektion, där vi kommer att studera formeln för summan av progression, såväl som viktiga och mycket användbara konsekvenser av den.

Vad huvudsaken formler?

Denna formel låter dig hitta några EFTER HANS NUMMER " n" .

Självklart måste du också kunna första terminen en 1 och progressionsskillnad d, ja, utan dessa parametrar kan du inte skriva ner en specifik progression.

Att memorera (eller skriva) denna formel är inte tillräckligt. Du måste förstå dess väsen och tillämpa formeln i olika problem. Och inte heller att glömma i rätt ögonblick, ja...) Hur inte glömma- Jag vet inte. Och här hur man minns Om det behövs kommer jag definitivt att ge dig råd. För dem som slutför lektionen till slutet.)

Så låt oss titta på formeln för den n:e termen i en aritmetisk progression.

Vad är en formel i allmänhet? Förresten, ta en titt om du inte har läst den. Allt är enkelt där. Det återstår att ta reda på vad det är n:e terminen.

Progression i allmänhet kan skrivas som en serie siffror:

en 1, en 2, en 3, en 4, en 5, .....

en 1- betecknar den första termen i en aritmetisk progression, en 3- tredje medlem, en 4- den fjärde och så vidare. Om vi ​​är intresserade av den femte terminen, låt oss säga att vi jobbar med en 5, om hundra och tjugonde - s en 120.

Hur kan vi definiera det i allmänna termer? några term av en aritmetisk progression, med några siffra? Väldigt enkelt! Så här:

en

Det är vad det är n:e termen av en aritmetisk progression. Bokstaven n döljer alla medlemsnummer på en gång: 1, 2, 3, 4 och så vidare.

Och vad ger en sådan skiva oss? Tänk bara, istället för en siffra skrev de ner en bokstav...

Denna notation ger oss ett kraftfullt verktyg för att arbeta med aritmetisk progression. Använda notationen en, kan vi snabbt hitta några medlem några aritmetisk progression. Och lösa en massa andra progressionsproblem. Du får se själv längre.

I formeln för den n:e termen i en aritmetisk progression:

a n = ai + (n-1)d

en 1- den första termen i en aritmetisk progression;

n- medlemsnummer.

Formeln kopplar samman nyckelparametrarna för varje progression: en ; a 1; d Och n. Alla progressionsproblem kretsar kring dessa parametrar.

Den n:e termformeln kan också användas för att skriva en specifik progression. Till exempel kan problemet säga att progressionen specificeras av villkoret:

a n = 5 + (n-1) 2.

Ett sådant problem kan vara en återvändsgränd... Det finns varken en serie eller skillnad... Men, om man jämför tillståndet med formeln, är det lätt att förstå att i denna progression a1=5 och d=2.

Och det kan vara ännu värre!) Om vi ​​tar samma villkor: a n = 5 + (n-1) 2, Ja, öppna parentesen och ta med liknande? Vi får en ny formel:

a n = 3 + 2n.

Detta Bara inte generellt, utan för en specifik progression. Det är här fallgropen lurar. Vissa tror att den första termen är en trea. Även om den första termen i verkligheten är fem... Lite lägre kommer vi att arbeta med en sådan modifierad formel.

I progressionsproblem finns det en annan notation - a n+1. Detta är, som du gissat, "n plus first"-termen för progressionen. Dess betydelse är enkel och ofarlig.) Detta är en medlem av progressionen vars antal är större än nummer n med en. Till exempel, om i något problem vi tar en femte terminen alltså a n+1 blir den sjätte medlemmen. Etc.

Oftast beteckningen a n+1 finns i återfallsformler. Var inte rädd för detta läskiga ord!) Detta är bara ett sätt att uttrycka en medlem av en aritmetisk progression genom den föregående. Låt oss säga att vi får en aritmetisk progression i denna form, med hjälp av en återkommande formel:

a n+1 = a n+3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Den fjärde - genom den tredje, den femte - genom den fjärde, och så vidare. Hur kan vi omedelbart räkna, säg, den tjugonde termen? en 20:a? Men det går inte!) Tills vi får reda på den 19:e terminen kan vi inte räkna den 20:e. Detta är den grundläggande skillnaden mellan den återkommande formeln och formeln för den n:e termen. Återkommande fungerar bara igenom tidigare term, och formeln för den n:e termen är genom först och tillåter direkt hitta vilken medlem som helst efter dess nummer. Utan att räkna ut hela talserien i ordning.

I en aritmetisk progression är det lätt att förvandla en återkommande formel till en vanlig. Räkna ett par på varandra följande termer, beräkna skillnaden d, hitta vid behov den första termen en 1, skriv formeln i dess vanliga form och arbeta med den. I Statens vetenskapsakademi stöter man ofta på sådana uppgifter.

Tillämpning av formeln för den n:e termen i en aritmetisk progression.

Låt oss först titta på den direkta tillämpningen av formeln. I slutet av föregående lektion uppstod ett problem:

En aritmetisk progression (a n) ges. Hitta en 121 om a 1 =3 och d=1/6.

Detta problem kan lösas utan några formler, helt enkelt baserat på betydelsen av en aritmetisk progression. Lägg till och lägg till... En timme eller två.)

Och enligt formeln tar lösningen mindre än en minut. Du kan tajma det.) Låt oss bestämma.

Villkoren ger all data för att använda formeln: ai=3, d=1/6. Det återstår att ta reda på vad som är lika n. Inga problem! Vi måste hitta en 121. Så vi skriver:

Var uppmärksam! Istället för ett index n ett specifikt nummer dök upp: 121. Vilket är ganska logiskt.) Vi är intresserade av medlemmen i den aritmetiska progressionen nummer etthundratjugoett. Det här blir vårt n. Detta är meningen n= 121 kommer vi att ersätta längre in i formeln, inom parentes. Vi ersätter alla siffror i formeln och beräknar:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Det är allt. Lika snabbt kunde man hitta den femhundrationde termen, och den tusen och tredje, vilken som helst. Vi lägger istället nönskat nummer i indexet för bokstaven " en" och inom parentes, och vi räknar.

Låt mig påminna dig om poängen: denna formel låter dig hitta några aritmetisk progressionsterm EFTER HANS NUMMER " n" .

Låt oss lösa problemet på ett mer listigt sätt. Låt oss stöta på följande problem:

Hitta den första termen i den aritmetiska progressionen (a n), om a 17 =-2; d=-0,5.

Om du har några svårigheter kommer jag att berätta det första steget. Skriv ner formeln för den n:e termen i en aritmetisk progression! Jaja. Skriv ner med händerna, direkt i din anteckningsbok:

a n = ai + (n-1)d

Och nu, när vi tittar på bokstäverna i formeln, förstår vi vilka data vi har och vad som saknas? Tillgängliga d=-0,5, det finns en sjuttonde medlem... Är det det? Om du tror att det är det, kommer du inte att lösa problemet, ja...

Vi har fortfarande ett nummer n! I skick a 17 =-2 dold två parametrar. Detta är både värdet på den sjuttonde termen (-2) och dess nummer (17). De där. n=17. Denna "bagatell" glider ofta förbi huvudet, och utan den, (utan "bagatell", inte huvudet!) kan problemet inte lösas. Fast... och utan huvud också.)

Nu kan vi helt enkelt dumt ersätta våra data med formeln:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Åh ja, en 17 vi vet att det är -2. Okej, låt oss ersätta:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Det är i princip allt. Det återstår att uttrycka den första termen i den aritmetiska progressionen från formeln och beräkna den. Svaret blir: a 1 = 6.

Denna teknik - att skriva ner en formel och helt enkelt ersätta kända data - är till stor hjälp vid enkla uppgifter. Jo, visst måste man kunna uttrycka en variabel från en formel, men vad ska man göra!? Utan denna färdighet kanske du inte studerar matematik alls...

Ett annat populärt pussel:

Hitta skillnaden mellan den aritmetiska progressionen (a n), om a 1 =2; a 15 =12.

Vad gör vi? Du kommer att bli förvånad, vi skriver formeln!)

a n = ai + (n-1)d

Låt oss överväga vad vi vet: ai=2; a15=12; och (jag ska särskilt lyfta fram!) n=15. Ersätt gärna detta med formeln:

12=2 + (15-1)d

Vi räknar.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Detta är det korrekta svaret.

Så, uppgifterna för ett n, en 1 Och d bestämt. Allt som återstår är att lära sig hur man hittar numret:

Siffran 99 är en medlem av den aritmetiska progressionen (a n), där a 1 =12; d=3. Hitta denna medlemsnummer.

Vi ersätter de kvantiteter som är kända för oss med formeln för den n:e termen:

a n = 12 + (n-1) 3

Vid första anblicken finns det två okända kvantiteter här: a n och n. Men en- det här är en medlem av progressionen med ett nummer n...Och vi känner denna medlem av progressionen! Det är 99. Vi vet inte dess nummer. n, Så det här numret är vad du behöver hitta. Vi ersätter termen för progressionen 99 med formeln:

99 = 12 + (n-1) 3

Vi uttrycker från formeln n, Vi tror. Vi får svaret: n=30.

Och nu ett problem om samma ämne, men mer kreativt):

Bestäm om talet 117 är en medlem av den aritmetiska progressionen (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Låt oss skriva formeln igen. Vadå, det finns inga parametrar? Hm... Varför får vi ögon?) Ser vi den första termen av progressionen? Vi ser. Detta är -3,6. Du kan lugnt skriva: a 1 = -3,6. Skillnad d kan du avgöra från en serie? Det är enkelt om du vet vad skillnaden mellan en aritmetisk progression är:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Så vi gjorde det enklaste. Det återstår att ta itu med det okända numret n och det obegripliga talet 117. I det förra problemet var det åtminstone känt att det var terminen för progressionen som gavs. Men här vet vi inte ens... Vad ska vi göra!? Tja, vad man ska göra, vad man ska göra... Slå på Kreativa färdigheter!)

Vi anta att 117 trots allt är en medlem av vår progression. Med ett okänt nummer n. Och precis som i föregående problem, låt oss försöka hitta detta nummer. De där. vi skriver formeln (ja, ja!)) och ersätter våra siffror:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Återigen uttrycker vi från formelnn, vi räknar och får:

hoppsan! Numret visade sig fraktionerad! Hundra och ett och ett halvt. Och bråktal i förlopp kan inte vara. Vilken slutsats kan vi dra? Ja! Nummer 117 är inte medlem av vår progression. Det är någonstans mellan etthundra och första och hundra och andra termerna. Om antalet visade sig naturligt, dvs. är ett positivt heltal, då skulle talet vara en medlem av progressionen med det hittade numret. Och i vårt fall kommer svaret på problemet att vara: Nej.

En uppgift baserad på en riktig version av GIA:

Den aritmetiska progressionen ges av villkoret:

an = -4 + 6,8n

Hitta den första och tionde termen i progressionen.

Här sätts utvecklingen på ett ovanligt sätt. Någon form av formel... Det händer.) Men den här formeln (som jag skrev ovan) - också formeln för den n:e termen i en aritmetisk progression! Hon tillåter också hitta en medlem av progressionen efter dess nummer.

Vi söker den första medlemmen. Den som tänker. att den första termen är minus fyra är fatalt felaktigt!) Eftersom formeln i problemet är modifierad. Den första termen i den aritmetiska progressionen i den dold. Det är okej, vi hittar det nu.)

Precis som i tidigare problem ersätter vi n=1 i denna formel:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Här! Den första termen är 2,8, inte -4!

Vi söker den tionde terminen på samma sätt:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Det är allt.

Och nu, för dem som har läst till dessa rader, den utlovade bonusen.)

Anta att du i en svår stridssituation med State Examination eller Unified State Examination har glömt den användbara formeln för den n:e termen av en aritmetisk progression. Jag minns något, men på något sätt osäkert... Eller n där, eller n+1, eller n-1... Hur man är!?

Lugna! Denna formel är lätt att härleda. Inte särskilt strikt, men för självförtroende och rätt beslut definitivt tillräckligt!) För att dra en slutsats räcker det att komma ihåg den elementära betydelsen av en aritmetisk progression och ha ett par minuter på sig. Du behöver bara rita en bild. För tydlighets skull.

Rita en tallinje och markera den första på den. andra, tredje osv. medlemmar. Och vi noterar skillnaden d mellan medlemmarna. Så här:

Vi tittar på bilden och tänker: vad motsvarar den andra termen? Andra ett d:

a 2 =a 1+ 1 d

Vad är den tredje termen? Tredje term är lika med första term plus två d.

a 3 =a 1+ 2 d

Förstår du? Det är inte för inte som jag lyfter fram några ord i fet stil. Okej, ett steg till).

Vad är den fjärde termen? Fjärde term är lika med första term plus tre d.

a 4 =a 1+ 3 d

Det är dags att inse att antalet luckor, d.v.s. d, Alltid en mindre än numret på den medlem du letar efter n. Det vill säga till numret n, antal utrymmen kommer n-1. Därför blir formeln (utan variationer!):

a n = ai + (n-1)d

I allmänhet är visuella bilder till stor hjälp för att lösa många problem i matematik. Försumma inte bilderna. Men om det är svårt att rita en bild, då ... bara en formel!) Dessutom låter formeln för den n:e termen dig koppla hela den kraftfulla arsenalen av matematik till lösningen - ekvationer, ojämlikheter, system, etc. Du kan inte infoga en bild i ekvationen...

Uppgifter för självständig lösning.

Att värma upp:

1. I aritmetisk progression (a n) a 2 =3; a 5 = 5,1. Hitta en 3 .

Tips: enligt bilden kan problemet lösas på 20 sekunder... Enligt formeln blir det svårare. Men för att behärska formeln är den mer användbar.) I avsnitt 555 löses detta problem med både bilden och formeln. Känn skillnaden!)

Och det här är inte längre en uppvärmning.)

2. I aritmetisk progression (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Hitta en 3 .

Vadå, du vill inte rita en bild?) Självklart! Bättre enligt formeln, ja...

3. Den aritmetiska progressionen ges av villkoret:ai = -5,5; a n+1 = an+0,5. Hitta den hundra och tjugofemte termen i denna progression.

I denna uppgift specificeras progressionen på ett återkommande sätt. Men räknar man till den hundra tjugofemte termen... Alla kan inte göra en sådan bedrift.) Men formeln för den n:e termen ligger inom allas makt!

4. Givet en aritmetisk progression (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Hitta numret på den minsta positiva termen i progressionen.

5. Enligt villkoren för uppgift 4, hitta summan av de minsta positiva och största negativa termerna i progressionen.

6. Produkten av de femte och tolfte termerna av en ökande aritmetisk progression är lika med -2,5, och summan av de tredje och elfte termerna är lika med noll. Hitta en 14 .

Inte den lättaste uppgiften, ja...) "Fingertoppsmetoden" fungerar inte här. Du kommer att behöva skriva formler och lösa ekvationer.

Svar (i oordning):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Hände? Det är bra!)

Allt löser sig inte? Händer. Förresten, det finns en subtil punkt i den sista uppgiften. Försiktighet kommer att krävas när du läser problemet. Och logik.

Lösningen på alla dessa problem diskuteras i detalj i avsnitt 555. Och elementet av fantasi för den fjärde, och den subtila punkten för den sjätte, och allmänna tillvägagångssätt för att lösa eventuella problem som involverar formeln för den n:te termen - allt beskrivs. Jag rekomenderar.

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Låt oss lära oss - med intresse!)

Du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

När du studerar algebra i gymnasieskola(9:e klass) ett av de viktiga ämnena är studien nummersekvenser, som inkluderar progressioner - geometriska och aritmetiska. I den här artikeln kommer vi att titta på en aritmetisk progression och exempel med lösningar.

Vad är en aritmetisk progression?

För att förstå detta är det nödvändigt att definiera progressionen i fråga, samt tillhandahålla de grundläggande formlerna som kommer att användas senare för att lösa problem.

En aritmetisk eller algebraisk progression är en uppsättning ordnade rationella tal, vars termer skiljer sig från den föregående med något konstant värde. Detta värde kallas skillnaden. Det vill säga, genom att känna till vilken medlem som helst i en ordnad talserie och skillnaden kan du återställa hela aritmetiska progressionen.

Låt oss ge ett exempel. Följande talföljd kommer att vara en aritmetisk progression: 4, 8, 12, 16, ..., eftersom skillnaden i detta fall är 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Men uppsättningen med siffror 3, 5, 8, 12, 17 kan inte längre hänföras till den typ av progression som övervägs, eftersom skillnaden för det inte är ett konstant värde (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17-12).

Viktiga formler

Låt oss nu presentera de grundläggande formlerna som kommer att behövas för att lösa problem med aritmetisk progression. Låt oss beteckna med symbolen a n den n:te medlemmen av sekvensen, där n är ett heltal. Vi betecknar skillnaden med den latinska bokstaven d. Då är följande uttryck giltiga:

1. För att bestämma värdet på den n:e termen är följande formel lämplig: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. För att bestämma summan av de första n termerna: S n = (a n +a 1)*n/2.

För att förstå några exempel på aritmetisk progression med lösningar i 9:e klass räcker det att komma ihåg dessa två formler, eftersom eventuella problem av den typ som övervägs baseras på deras användning. Du bör också komma ihåg att progressionsskillnaden bestäms av formeln: d = a n - a n-1.

Exempel #1: hitta en okänd term

Låt oss ge ett enkelt exempel på en aritmetisk progression och de formler som behöver användas för att lösa den.

Låt sekvensen 10, 8, 6, 4, ... ges, du måste hitta fem termer i den.

Av villkoren för problemet följer redan att de första 4 termerna är kända. Den femte kan definieras på två sätt:

1. Låt oss först beräkna skillnaden. Vi har: d = 8 - 10 = -2. På samma sätt kan du ta vilka två andra medlemmar som helst som står bredvid varandra. Till exempel, d = 4 - 6 = -2. Eftersom det är känt att d = a n - a n-1, då d = a 5 - a 4, från vilket vi får: a 5 = a 4 + d. Vi ersätter de kända värdena: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Den andra metoden kräver också kunskap om skillnaden mellan progressionen i fråga, så du måste först bestämma den enligt ovan (d = -2). När vi vet att den första termen a 1 = 10 använder vi formeln för n-talet i sekvensen. Vi har: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Genom att ersätta n = 5 i det sista uttrycket får vi: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Som du kan se ledde båda lösningarna till samma resultat. Observera att i detta exempel är progressionsskillnaden d ett negativt värde. Sådana sekvenser kallas minskande, eftersom varje nästa term är mindre än den föregående.

Exempel #2: progressionsskillnad

Låt oss nu komplicera uppgiften lite, låt oss ge ett exempel på hur

Det är känt att i vissa är den första termen lika med 6, och den sjunde termen är lika med 18. Det är nödvändigt att hitta skillnaden och återställa denna sekvens till den sjunde termen.

Låt oss använda formeln för att bestämma den okända termen: a n = (n - 1) * d + a 1 . Låt oss ersätta kända data från villkoret i det, det vill säga siffrorna a 1 och a 7, vi har: 18 = 6 + 6 * d. Från detta uttryck kan du enkelt beräkna skillnaden: d = (18 - 6) /6 = 2. Vi har alltså besvarat den första delen av problemet.

För att återställa sekvensen till den 7:e termen bör du använda definitionen av en algebraisk progression, det vill säga a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, och så vidare. Som ett resultat återställer vi hela sekvensen: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Exempel nr 3: rita upp en progression

Låt oss komplicera problemet ännu mer. Nu måste vi svara på frågan om hur man hittar en aritmetisk progression. Följande exempel kan ges: två siffror ges, till exempel - 4 och 5. Det är nödvändigt att skapa en algebraisk progression så att ytterligare tre termer placeras mellan dessa.

Innan du börjar lösa det här problemet måste du förstå vilken plats de givna numren kommer att uppta i den framtida utvecklingen. Eftersom det kommer att finnas ytterligare tre termer mellan dem, då är en 1 = -4 och en 5 = 5. Efter att ha fastställt detta går vi vidare till problemet, som liknar det föregående. Återigen, för den n:e termen använder vi formeln, vi får: a 5 = a 1 + 4 * d. Från: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Det vi har här är inte ett heltalsvärde för skillnaden, men det är det rationellt tal, så formlerna för den algebraiska progressionen förblir desamma.

Låt oss nu lägga till den hittade skillnaden till en 1 och återställa de saknade termerna i progressionen. Vi får: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, vilket sammanföll med förutsättningarna för problemet.

Exempel nr 4: första terminen av progression

Låt oss fortsätta att ge exempel på aritmetisk progression med lösningar. I alla tidigare problem var det första numret av den algebraiska progressionen känt. Låt oss nu överväga ett problem av en annan typ: låt två tal ges, där en 15 = 50 och en 43 = 37. Det är nödvändigt att hitta vilket nummer denna sekvens börjar med.

Formlerna som hittills använts förutsätter kunskap om a 1 och d. I problemformuleringen är ingenting känt om dessa siffror. Ändå kommer vi att skriva ner uttryck för varje term som det finns information om: a 15 = a 1 + 14 * d och a 43 = a 1 + 42 * d. Vi fick två ekvationer där det finns 2 okända storheter (a 1 och d). Detta innebär att problemet reduceras till att lösa ett system av linjära ekvationer.

Det enklaste sättet att lösa detta system är att uttrycka en 1:a i varje ekvation och sedan jämföra de resulterande uttrycken. Första ekvationen: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; andra ekvationen: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Genom att likställa dessa uttryck får vi: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, varav skillnaden d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (endast 3 decimaler anges).

Genom att känna till d kan du använda något av de två uttrycken ovan för en 1. Till exempel, först: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Om du har tvivel om det erhållna resultatet kan du kontrollera det, till exempel bestämma den 43:e terminen av progressionen, som anges i villkoret. Vi får: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Det lilla felet beror på att avrundning till tusendelar användes i beräkningarna.

Exempel nr 5: belopp

Låt oss nu titta på flera exempel med lösningar för summan av en aritmetisk progression.

Låt det ges numerisk progression av följande form: 1, 2, 3, 4, ...,. Hur beräknar man summan av 100 av dessa siffror?

Tack vare utvecklingen av datorteknik är det möjligt att lösa detta problem, det vill säga lägga till alla siffror sekventiellt, vilket datorn kommer att göra så snart en person trycker på Enter-tangenten. Problemet kan dock lösas mentalt om du uppmärksammar att den presenterade sifferserien är en algebraisk progression, och dess skillnad är lika med 1. Genom att tillämpa formeln för summan får vi: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Det är intressant att notera att detta problem kallas "Gaussian" eftersom i tidiga XVIIIårhundradet kunde den berömde tysken, medan han fortfarande bara var 10 år gammal, lösa det i sitt huvud på några sekunder. Pojken visste inte formeln för summan av en algebraisk progression, men han märkte att om du adderar talen i slutet av sekvensen i par, får du alltid samma resultat, det vill säga 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., och eftersom dessa summor blir exakt 50 (100 / 2), så räcker det för att få rätt svar att multiplicera 50 med 101.

Exempel nr 6: summan av termer från n till m

Ett annat typiskt exempel på summan av en aritmetisk progression är följande: givet en serie tal: 3, 7, 11, 15, ..., måste du hitta vad summan av dess termer från 8 till 14 blir lika med .

Problemet löses på två sätt. Den första av dem går ut på att hitta okända termer från 8 till 14 och sedan summera dem sekventiellt. Eftersom det finns få termer är denna metod inte riktigt arbetskrävande. Ändå föreslås det att lösa detta problem med en andra metod, som är mer universell.

Tanken är att få fram en formel för summan av den algebraiska progressionen mellan termerna m och n, där n > m är heltal. För båda fallen skriver vi två uttryck för summan:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Eftersom n > m är det uppenbart att den 2:a summan inkluderar den första. Den sista slutsatsen innebär att om vi tar skillnaden mellan dessa summor och adderar termen a m till den (om vi tar skillnaden, subtraheras den från summan S n), får vi det nödvändiga svaret på problemet. Vi har: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Det är nödvändigt att ersätta formler för ett n och ett m i detta uttryck. Då får vi: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m/2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Den resulterande formeln är något besvärlig, men summan S mn beror bara på n, m, a 1 och d. I vårt fall är a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Om vi ​​ersätter dessa tal får vi: S mn = 301.

Som framgår av ovanstående lösningar är alla problem baserade på kunskap om uttrycket för den n:e termen och formeln för summan av mängden första termer. Innan du börjar lösa något av dessa problem, rekommenderas det att du noggrant läser villkoret, förstår tydligt vad du behöver hitta och först därefter fortsätter med lösningen.

Ett annat tips är att sträva efter enkelhet, det vill säga om du kan svara på en fråga utan att använda komplexa matematiska beräkningar, måste du göra just det, eftersom sannolikheten för att göra ett misstag i det här fallet är mindre. Till exempel, i exemplet med en aritmetisk progression med lösning nr 6, skulle man kunna stanna vid formeln S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, och dela upp det övergripande problemet i separata deluppgifter (i det här fallet, hitta först termerna a n och a m).

Om du har tvivel om det erhållna resultatet, rekommenderas det att kontrollera det, vilket gjordes i några av de givna exemplen. Vi fick reda på hur man hittar en aritmetisk progression. Om du räknar ut det är det inte så svårt.