En fjäderpendel är en materialspets med massa fäst vid en absolut elastisk viktlös fjäder med en styvhet 
. Det finns två enklaste fall: horisontell (fig. 15, A) och vertikala (fig. 15, b) pendlar.
A)
Horisontell pendel(Fig. 15,a). När lasten rör sig 
från jämviktsläget 
med beloppet 
verkar på den i horisontell riktning återställande av elastisk kraft
(Hookes lag).
Det antas att det horisontella stödet längs vilket lasten glider 
under dess vibrationer är den absolut slät (ingen friktion).
b) Vertikal pendel(Fig. 15, b). Jämviktspositionen i detta fall kännetecknas av tillståndet:
Där 
- storleken på den elastiska kraften som verkar på lasten 
när fjädern statiskt sträcks av 
under påverkan av lastens gravitation 
.
|
A |
|
Fig. 15. Fjäderpendel: A– horisontell och b– vertikal
Om du sträcker fjädern och släpper belastningen kommer den att börja svänga vertikalt. Om förskjutningen vid någon tidpunkt är 
,
då kommer den elastiska kraften nu att skrivas som 
.
I båda de övervägda fallen utför fjäderpendeln harmoniska svängningar med en period
(27)
och cyklisk frekvens
.
(28)
Med hjälp av exemplet med en fjäderpendel kan vi dra slutsatsen att harmoniska svängningar är rörelse orsakad av en kraft som ökar i proportion till förskjutningen 
. Således, om återställande kraft liknar Hookes lag
(hon fick namnetkvasi-elastisk kraft
), måste systemet utföra harmoniska svängningar. I det ögonblick då jämviktspositionen passerar verkar ingen återställande kraft på kroppen, men kroppen passerar genom tröghet jämviktspositionen och den återställande kraften ändrar riktning till den motsatta.
Matematik pendel
Fig. 16.
, upphängd på en viktlös outtöjbar tråd av längd
, som gör små svängningar under påverkan av gravitationen (fig. 16). 
Svängningar av en sådan pendel vid små avböjningsvinklar
,
(29)
(inte överstiger 5º) kan betraktas som harmonisk, och den cykliska frekvensen för en matematisk pendel:
.
(30)
och period:
Energin som tilldelas det oscillerande systemet under den första tryckningen kommer att omvandlas periodiskt: den potentiella energin hos den deformerade fjädern kommer att omvandlas till den kinetiska energin för den rörliga lasten och tillbaka.
Låt fjäderpendeln utföra harmoniska svängningar med startfasen 
, dvs. 
(Fig. 17).
Fig. 17. Lagen om bevarande av mekanisk energi
när en fjäderpendel svänger
Vid maximal avvikelse av belastningen från jämviktsläget, pendelns totala mekaniska energi (energin hos en deformerad fjäder med en styvhet 
) är lika med 
. 
När du passerar jämviktspositionen ( ) fjäderns potentiella energi blir noll och den totala mekaniska energin oscillerande system 
.
kommer att bestämmas som
Figur 18 visar grafer över beroenden av kinetisk, potentiell och total energi i fall där harmoniska vibrationer beskrivs av trigonometriska funktioner av sinus (streckad linje) eller cosinus (heldragen linje).
Fig. 18. Grafer över tidsberoende av kinetik
och potentiell energi under harmoniska svängningar
Av graferna (fig. 18) följer att förändringsfrekvensen i kinetisk och potentiell energi är dubbelt så hög som den naturliga frekvensen för harmoniska svängningar.
Definition 1 Fria svängningar kan utföras under påverkan inre krafter
först efter att hela systemet har förts ur jämvikt.
För att svängningar ska uppstå enligt den harmoniska lagen är det nödvändigt att kraften som återför kroppen till jämviktsläget är proportionell mot kroppens förskjutning från jämviktsläget och riktad i motsatt riktning mot förskjutningen.
F (t) = ma (t) = - m ω 2 x (t).
Sambandet säger att ω är frekvensen för en harmonisk svängning. Denna egenskap är karakteristisk för elastisk kraft inom gränserna för tillämpligheten av Hookes lag:
F y p r = - k x .
Definition 2 Krafter av alla slag som uppfyller villkoret kallas.
kvasi-elastisk
Det vill säga en last med massan m fäst vid en fjäder av styvhet k med en fast ände, som visas i figur 2. 2. 1, utgör ett system som kan utföra harmoniska fria vibrationer i frånvaro av friktion.
Definition 3
En vikt placerad på en fjäder kallas en linjär harmonisk oscillator. 2 . 2 . 1 . Ritning
Svängningar av en belastning på en fjäder. Det finns ingen friktion.
Cirkulär frekvens
Den cirkulära frekvensen ω 0 hittas genom att tillämpa formeln för Newtons andra lag:
m a = - k x = m ω 0 2 x .
Så vi får:
Definition 4 Frekvensen ω 0 kallas.
Perioden för harmoniska svängningar för belastningen på fjädern T bestäms från formeln:
T = 2 π ω 0 = 2 π mk.
Det horisontella arrangemanget av fjäderbelastningssystemet, tyngdkraften kompenseras av stödets reaktionskraft. När man hänger en last på en fjäder går tyngdriktningen längs lastens rörelselinje. Jämviktspositionen för den sträckta fjädern är lika med:
x 0 = m g k , medan svängningar uppstår runt ett nytt jämviktstillstånd. Formlerna för egenfrekvensen ω 0 och oscillationsperioden T i ovanstående uttryck är giltiga.
Definition 5
Med tanke på den befintliga matematiska kopplingen mellan accelerationen av kroppen a och koordinaten x, kännetecknas det oscillerande systemets beteende av en strikt beskrivning: acceleration är andraderivatan av koordinaten för kroppen x med avseende på tiden t:
Beskrivningen av Newtons andra lag med en belastning på en fjäder kommer att skrivas som:
ma - m x = - k x, eller x ¨ + ω 0 2 x = 0, där fri frekvens ω 0 2 = k m.
Om fysiska system beroende av formeln x ¨ + ω 0 2 x = 0, då kan de utföra fria oscillerande harmoniska rörelser med olika amplituder. Detta är möjligt eftersom x = x m cos (ω t + φ 0) används.
Definition 6En ekvation av formen x ¨ + ω 0 2 x = 0 anropas ekvationer fria vibrationer . Deras fysiska egenskaper kan bara bestämma egenfrekvensen för svängningar ω 0 eller perioden T.
Amplituden x m och den initiala fasen φ 0 hittas med en metod som förde dem ur jämviktstillståndet i det initiala tidsögonblicket.
Exempel 1
I närvaro av en förskjuten last från jämviktsläget till ett avstånd ∆ l och ett tidsögonblick lika med t = 0, sänks den utan en initial hastighet. Då är x m = ∆ l, φ 0 = 0. Om lasten var i jämviktsläget överförs den initiala hastigheten ± υ 0 under tryckningen, alltså x m = m k υ 0, φ 0 = ± π 2.
Amplituden x m med den initiala fasen φ 0 bestäms av närvaron av initiala förhållanden.
Figur 2. 2. 2. Modell av fria svängningar av en last på en fjäder.
Mekaniska oscillerande system kännetecknas av närvaron av elastiska deformationskrafter i var och en av dem. Figur 2. 2. 2 visar vinkelanalogen för en harmonisk oscillator som utför vridningssvängningar. Skivan är placerad horisontellt och hänger på en elastisk tråd fäst vid dess massacentrum. Om den roteras genom en vinkel θ, uppstår ett kraftmoment av elastisk vridningsdeformation M y p p:
M y p r = - x θ .
Detta uttryck motsvarar inte Hookes lag för vridningsdeformation. Värdet x liknar fjäderstyvheten k. Skriver Newtons andra lag för rotationsrörelse disken tar formen
I ε = M y p p = - x θ eller I θ ¨ = - x θ, där tröghetsmomentet betecknas med I = IC, och ε är vinkelaccelerationen.
På samma sätt med formeln för en fjäderpendel:
ω 0 = xI, T = 2 πIx.
Användningen av en torsionspendel har setts i mekanisk klocka. Det kallas en balanseringsanordning, där momentet av elastiska krafter skapas med hjälp av en spiralfjäder.
Figur 2. 2. 3. Torsionspendel.
Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter
Syftet med arbetet. Bekanta dig med de viktigaste egenskaperna hos odämpade och dämpade fria mekaniska vibrationer.
Uppgift. Bestäm perioden för naturliga svängningar av fjäderpendeln; kontrollera linjäriteten för beroendet av kvadraten av perioden på massan; bestämma fjäderstyvheten; bestämma perioden för dämpade svängningar och den logaritmiska dämpningsminskningen för en fjäderpendel.
Enheter och tillbehör. Ett stativ med en våg, en fjäder, en uppsättning vikter av olika vikt, ett kärl med vatten, ett stoppur.
1. Fria svängningar av en fjäderpendel. Allmän information
Oscillationer är processer där en eller flera fysiska storheter som beskriver dessa processer periodiskt förändras. Svängningar kan beskrivas med olika periodiska funktioner i tiden. De enklaste svängningarna är harmoniska svängningar - sådana svängningar där svängningsmängden (till exempel förskjutningen av en last på en fjäder) ändras över tiden enligt lagen om cosinus eller sinus. Svängningar som uppstår efter inverkan av en extern korttidskraft på systemet kallas fria.
Om lasten avlägsnas från jämviktsläget genom att avböjas med ett belopp x, då ökar den elastiska kraften: F kontrollera = – kx 2= – k(x 1 + x). Efter att ha nått jämviktsläget kommer lasten att ha en hastighet som inte är noll och kommer att passera jämviktspositionen med tröghet. När rörelsen fortsätter kommer avvikelsen från jämviktspositionen att öka, vilket leder till en ökning av den elastiska kraften, och processen kommer att upprepas i omvänd riktning. Således beror systemets oscillerande rörelse av två skäl: 1) kroppens önskan att återgå till jämviktspositionen och 2) tröghet, som inte tillåter kroppen att omedelbart stanna i jämviktspositionen. I frånvaro av friktionskrafter skulle svängningarna fortsätta på obestämd tid. Förekomsten av friktionskrafter leder till att en del av svängningsenergin övergår i intern energi och svängningarna dör gradvis ut. Sådana svängningar kallas dämpade.
Odämpade fria svängningar
Låt oss först betrakta svängningarna hos en fjäderpendel, som inte påverkas av friktionskrafter - odämpade fria svängningar. Enligt Newtons andra lag, med hänsyn till tecknen på projektioner på X-axeln
Från jämviktstillståndet, förskjutningen orsakad av gravitationen: . Om vi ställer in i ekvation (1), får vi: Differential" href="/text/category/differentcial/" rel="bokmärke"> differentialekvation
https://pandia.ru/text/77/494/images/image008_28.gif" width="152" height="25 src=">. (3)
Denna ekvation kallas harmonisk ekvation. Lastens största avvikelse från jämviktsläget A 0 kallas svängningarnas amplitud. Kvantiteten i cosinusargumentet kallas oscillationsfas. Konstanten φ0 representerar fasvärdet vid den initiala tiden ( t= 0) och kallas inledande fas av svängningar. Storlek
är det cirkulärt eller cykliskt? naturlig frekvens relaterade till period av svängning T förhållande https://pandia.ru/text/77/494/images/image012_17.gif" width="125" height="55">. (5)
Dämpade svängningar
Låt oss överväga fria svängningar av en fjäderpendel i närvaro av friktionskraft (dämpade svängningar). I det enklaste och samtidigt vanligaste fallet är friktionskraften proportionell mot hastigheten υ rörelser:
Ftr = – rυ, (6)
Där r– en konstant som kallas motståndskoefficienten. Minustecknet visar att friktionskraften och hastigheten är i motsatta riktningar. Ekvation för Newtons andra lag i projektion på X-axeln i närvaro av elastisk kraft och friktionskraft
ma = – kx – rυ. (7)
Denna differentialekvation med hänsyn tagen υ = dx/ dt kan skrivas ner
https://pandia.ru/text/77/494/images/image014_12.gif" width="59" height="48 src="> – dämpningskoefficient; – cyklisk frekvens av fria odämpade svängningar i ett givet svängningssystem, d.v.s. i frånvaro av energiförluster (β = 0). Ekvation (8) kallas differentialekvation för dämpade svängningar.
För att få förskjutningsberoendet x då och då t, är det nödvändigt att lösa differentialekvationen (8)..gif" width="172" height="27">, (9)
Där A 0 och φ0 – initial amplitud och initial fas av svängningar; 
– cyklisk frekvens av dämpade oscillationer vid ω >> https://pandia.ru/text/77/494/images/image019_12.gif" width="96" height="27 src=">. (10)
På grafen för funktion (9), Fig. 2 visar de streckade linjerna förändringen i amplitud (10) för dämpade svängningar.
Ris. 2. Förskjutningsberoende X ladda då och då t i närvaro av friktionskraft
För kvantitativa egenskaper graden av dämpning av svängningar introducerar ett värde lika med förhållandet mellan amplituder som skiljer sig åt med en period, och kallas dämpningsminskning:
. (11)
Den naturliga logaritmen för denna kvantitet används ofta. Denna parameter kallas logaritmisk dämpningsminskning:
Amplituden minskar in n gånger, sedan följer det av ekvation (10).
Härifrån får vi uttrycket för det logaritmiska dekrementet
Om under tiden t" amplituden minskar i e en gång ( e= 2,71 – bas naturlig logaritm), kommer systemet att hinna slutföra antalet svängningar
Ris. 3. Installationsschema
Installationen består av ett stativ 1 med mätskala 2 . Till ett stativ med fjäder 3 laster är upphängda 4 av olika massor. När man studerar dämpade svängningar i uppgift 2 används en ring för att förstärka dämpningen 5 , som placeras i en genomskinlig behållare 6 med vatten.
I uppgift 1 (utfört utan ett kärl med vatten och en ring), till en första approximation, kan dämpningen av svängningar försummas och betraktas som harmonisk. Som följer av formel (5) för harmoniska svängningar, beroendet T 2 = f (m) – linjär, från vilken fjäderstyvhetskoefficienten kan bestämmas k enligt formeln
var är den raka linjens lutning T 2 från m.
Uppgift 1. Bestämning av beroendet av perioden med naturliga svängningar hos en fjäderpendel på lastens massa.
1. Bestäm svängningsperioden för en fjäderpendel vid olika betydelser lastmassa m. För att göra detta, använd ett stoppur för varje värde m mäta tiden tre gånger t full n fluktuationer ( n≥10) och enligt det genomsnittliga tidsvärdet https://pandia.ru/text/77/494/images/image030_6.gif" width="57 height=28" height="28">. Ange resultaten i tabell 1.
2. Baserat på mätresultaten, konstruera en graf över periodens kvadrat T2 efter vikt m. Bestäm fjäderstyvheten utifrån grafens lutning k enligt formel (16).
Tabell 1
Mätresultat för att bestämma perioden för naturliga svängningar
3. Ytterligare uppgift. Uppskatta slumpmässiga, totala och relativa ε t tidsmätfel för massvärde m = 400 g.
Uppgift 2. Bestämning av den logaritmiska dämpningsminskningen för en fjäderpendel.
1. Häng en massa på en fjäder m= 400 g med ring och lägg i ett kärl med vatten så att ringen är helt nedsänkt i vatten. Bestäm perioden för dämpade svängningar för ett givet värde m enligt metoden som beskrivs i punkt 1 i uppgift 1. Upprepa mätningarna tre gånger och ange resultaten till vänster i tabellen. 2.
2. Ta bort pendeln från jämviktspositionen och notera dess initiala amplitud på en linjal och mät tiden t" , under vilken svängningsamplituden minskar med 2 gånger. Ta mått tre gånger. Ange resultaten till höger i tabellen. 2.
Tabell 2
Mätresultat
för att bestämma den logaritmiska dämpningsminskningen
Mätning av svängningsperioden | Mätning av tid minska amplituden med 2 gånger |
|||||
4. Säkerhetsfrågor och uppgifter
1. Vilka svängningar kallas harmoniska? Definiera deras huvudsakliga egenskaper.
2. Vilka svängningar kallas dämpade? Definiera deras huvudsakliga egenskaper.
3. Förklara den fysiska innebörden av den logaritmiska dämpningsminskningen och dämpningskoefficienten.
4. Härled tidsberoendet för hastigheten och accelerationen för en last på en fjäder som utför harmoniska svängningar. Ge grafer och analysera.
5. Härled tidsberoendet av kinetisk, potentiell och total energi för en last som oscillerar på en fjäder. Ge grafer och analysera.
6. Skaffa differentialekvationen för fria vibrationer och dess lösning.
7. Konstruera grafer för övertonssvängningar med initiala faser π/2 och π/3.
8. Inom vilka gränser kan den logaritmiska dämpningsminskningen variera?
9. Ge differentialekvationen för dämpade svängningar för en fjäderpendel och dess lösning.
10. Enligt vilken lag ändras amplituden för dämpade svängningar? Är dämpade svängningar periodiska?
11. Vilken rörelse kallas aperiodisk? Under vilka förhållanden observeras det?
12. Vilken är svängningarnas naturliga frekvens? Hur beror det på massan av den oscillerande kroppen för en fjäderpendel?
13. Varför är frekvensen av dämpade svängningar mindre än frekvensen av naturliga svängningar i systemet?
14. En kopparkula upphängd i en fjäder utför vertikala svängningar. Hur kommer svängningsperioden att förändras om i stället för en kopparkula en aluminiumkula med samma radie hängs upp i fjädern?
15. Vid vilket värde av den logaritmiska dämpningsminskningen avtar svängningarna snabbare: vid θ1 = 0,25 eller θ2 = 0,5? Ge grafer över dessa dämpade svängningar.
Bibliografi
1. OCH. Fysikkurs / . – 11:e uppl. – M.: Akademin, 2006. – 560 sid.
2. I. Allmän fysikkurs: 3 volymer / . – St Petersburg. : Lan, 2008. – T. 1. – 432 sid.
3. MED. Laboratorieverkstad i fysik / .
– M.: Högre. skola, 1980. – 359 sid.
10.4. Lagen för bevarande av energi under harmoniska svängningar
10.4.1. Energisparande kl mekaniska harmoniska vibrationer
Bevarande av energi under svängningar av en matematisk pendel
Under harmoniska vibrationer bevaras systemets totala mekaniska energi (förblir konstant).
Total mekanisk energi för en matematisk pendel
E = Wk + Wp,
där W k - kinetisk energi Wk = = mv2/2; Wp - potentiell energi, Wp = mgh; m är lastens massa; g - accelerationsmodul för fritt fall; v - lasthastighetsmodul; h är höjden på lasten över jämviktsläget (fig. 10.15).
Under harmoniska svängningar går en matematisk pendel genom ett antal på varandra följande tillstånd, så det är tillrådligt att överväga energin hos en matematisk pendel i tre positioner (se fig. 10.15):
Ris. 10.15
1) in jämviktsposition
potentiell energi är noll; Den totala energin sammanfaller med den maximala kinetiska energin:
E = Wkmax;
2) in nödsituation(2) kroppen höjs över den ursprungliga nivån till den maximala höjden h max, därför är den potentiella energin också maximal:
W p max = m g h max;
kinetisk energi är noll; total energi sammanfaller med maximal potentiell energi:
E = Wpmax;
3) in mellanläge(3) kroppen har en momentan hastighet v och höjs över den initiala nivån till en viss höjd h, därför är den totala energin summan
E = m v 2 2 + m g h ,
där mv2/2 är kinetisk energi; mgh - potentiell energi; m är lastens massa; g - accelerationsmodul för fritt fall; v - lasthastighetsmodul; h - lyfthöjd för lasten över jämviktsläget.
Under harmoniska svängningar av en matematisk pendel bevaras den totala mekaniska energin:
E = konst.
Värdena för den totala energin för den matematiska pendeln i dess tre positioner återspeglas i tabellen. 10.1.
| № | Placera | Wp | Wk | E = Wp + Wk |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Jämvikt | 0 | m v max 2/2 | m v max 2/2 |
| 2 | Extrem | mgh max | 0 | mgh max |
| 3 | Mellanliggande (omedelbar) | mgh | mv 2/2 | mv 2/2 + mgh |
Värdena för total mekanisk energi som presenteras i den sista kolumnen i tabellen. 10.1, ha lika värden för alla positioner på pendeln, dvs matematiska uttryck :
m v max 2 2 = m g h max;
m v max 2 2 = m v 2 2 + m g h;
m g h max = m v 2 2 + m g h ,
där m är lastens massa; g - accelerationsmodul för fritt fall; v - modul momentan hastighet vikt i position 3; h - lyfthöjd för lasten över jämviktsläget i position 3; v max - modul för lastens maximala hastighet i position 1; h max - maximal höjd för att lyfta lasten över jämviktsläget i position 2.
Gängavböjningsvinkel matematisk pendel från vertikalen (Fig. 10.15) bestäms av uttrycket
cos α = l − hl = 1 − hl ,
där l är längden på tråden; h - lyfthöjd för lasten över jämviktsläget.
Maximal vinkel avvikelse α max bestäms av den maximala höjden för att lyfta lasten över jämviktsläget h max:
cos α max = 1 − h max l .
Exempel 11. Perioden för små svängningar för en matematisk pendel är 0,9 s. Vilken är den maximala vinkeln med vilken tråden kommer att avvika från vertikalen om bollen passerar jämviktspositionen med en hastighet av 1,5 m/s? Det finns ingen friktion i systemet.
Lösning. Figuren visar två positioner för den matematiska pendeln:
- jämviktsposition 1 (kännetecknas av kulans maximala hastighet v max);
- ytterläge 2 (kännetecknas av kulans maximala lyfthöjd h max över jämviktsläget).
Den erforderliga vinkeln bestäms av likheten
cos α max = l − h max l = 1 − h max l ,
där l är längden på pendeltråden.
Vi finner pendelkulans maximala höjd över jämviktspositionen från lagen om bevarande av total mekanisk energi.
Pendelns totala energi i jämviktsposition och i extremposition bestäms av följande formler:
- i en balanserad position -
E 1 = m v max 2 2,
där m är pendelkulans massa; v max - modul för kulhastigheten i jämviktsläget (maximal hastighet), v max = 1,5 m/s;
- i extremläge -
E 2 = mgh max,
där g är; h max är den maximala höjden på kulan som lyfts över jämviktsläget.
Lagen om bevarande av total mekanisk energi:
m v max 2 2 = m g h max .
Låt oss härifrån uttrycka den maximala höjden för bollens stigning över jämviktspositionen:
h max = v max 2 2 g .
Vi bestämmer längden på tråden från formeln för oscillationsperioden för en matematisk pendel
T = 2 π lg ,
dessa. trådlängd
l = T2g4π2.
Låt oss ersätta h max och l i uttrycket för cosinus för den önskade vinkeln:
cos α max = 1 − 2 π 2 v max 2 g 2 T 2
och utför beräkningen med hänsyn till den ungefärliga likheten π 2 = 10:
cos α max = 1 − 2 ⋅ 10 ⋅ (1,5) 2 10 2 ⋅ (0,9) 2 = 0,5 .
Härav följer att den maximala avböjningsvinkeln är 60°.
Strängt taget, vid en vinkel på 60° är kulans oscillationer inte små och det är olagligt att använda standardformeln för svängningsperioden för en matematisk pendel.
Bevarande av energi under svängningar av en fjäderpendel
Total mekanisk energi för en fjäderpendel består av kinetisk energi och potentiell energi:
E = Wk + Wp,
där Wk är kinetisk energi, Wk = mv2/2; Wp - potentiell energi, Wp = k(Ax)2/2; m är lastens massa; v - lasthastighetsmodul; k är fjäderns styvhetskoefficient (elasticitet); Δx - deformation (spänning eller kompression) av fjädern (Fig. 10.16).
I International System of Units mäts energin i ett mekaniskt oscillerande system i joule (1 J).
Under harmoniska svängningar går fjäderpendeln genom ett antal på varandra följande tillstånd, så det är tillrådligt att överväga energin hos fjäderpendeln i tre lägen (se fig. 10.16):
1) in jämviktsposition(1) kroppens hastighet har ett maximalt värde v max, därför är den kinetiska energin också maximal:
Wkmax = mvmax22;
fjäderns potentiella energi är noll, eftersom fjädern inte är deformerad; Den totala energin sammanfaller med den maximala kinetiska energin:
E = Wkmax;
2) in nödsituation(2) fjädern har en maximal deformation (Δx max), så den potentiella energin har också ett maximalt värde:
Wpmax = k (Axmax)22;
kroppens kinetiska energi är noll; total energi sammanfaller med maximal potentiell energi:
E = Wpmax;
3) in mellanläge(3) kroppen har en momentan hastighet v, fjädern har viss deformation i detta ögonblick (Δx), så den totala energin är summan
E = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ,
där mv2/2 är kinetisk energi; k (Ax)2/2 - potentiell energi; m är lastens massa; v - lasthastighetsmodul; k är fjäderns styvhetskoefficient (elasticitet); Δx - deformation (spänning eller kompression) av fjädern.
När belastningen på en fjäderpendel förskjuts från sitt jämviktsläge, påverkas den av återställande kraft, vars projektion på pendelns rörelseriktning bestäms av formeln
F x = −kx ,
där x är förskjutningen av fjäderpendelbelastningen från jämviktsläget, x = ∆x, ∆x är fjäderns deformation; k är styvhetskoefficienten (elasticitetskoefficienten) för pendelfjädern.
Under harmoniska svängningar av en fjäderpendel bevaras den totala mekaniska energin:
E = konst.
Värdena för fjäderpendelns totala energi i dess tre positioner återspeglas i tabellen. 10.2.
| № | Placera | Wp | Wk | E = Wp + Wk |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Jämvikt | 0 | m v max 2/2 | m v max 2/2 |
| 2 | Extrem | k (Δx max) 2/2 | 0 | k (Δx max) 2/2 |
| 3 | Mellanliggande (omedelbar) | k(Ax)2/2 | mv 2/2 | mv2/2 + k (Ax)2/2 |
Värdena på den totala mekaniska energin som presenteras i den sista kolumnen i tabellen har lika värden för varje position av pendeln, vilket är ett matematiskt uttryck lagen om bevarande av total mekanisk energi:
mvmax22 = k (Axmax)22;
m v max 2 2 = m v 2 2 + k (A x) 2 2;
k (Δ x max) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ,
där m är lastens massa; v är modulen för lastens momentana hastighet i position 3; Δx - deformation (spänning eller kompression) av fjädern i position 3; v max - modul för lastens maximala hastighet i position 1; Δx max - maximal deformation (spänning eller kompression) av fjädern i position 2.
Exempel 12. En fjäderpendel utför harmoniska svängningar. Hur många gånger är dess kinetiska energi större än dess potentiella energi i det ögonblick då kroppens förskjutning från jämviktspositionen är en fjärdedel av amplituden?
Lösning. Låt oss jämföra två positioner av fjäderpendeln:
- ytterläge 1 (kännetecknas av den maximala förskjutningen av pendelbelastningen från jämviktspositionen x max);
- mellanläge 2 (kännetecknas av mellanliggande värden för förskjutning från jämviktsposition x och hastighet v →).
Pendelns totala energi i yttersta och mellanliggande positioner bestäms av följande formler:
- i extremläge -
E 1 = k (Δ x max) 2 2,
där k är fjäderns styvhetskoefficient (elasticitet); ∆x max - amplitud av svängningar (maximal förskjutning från jämviktspositionen), ∆x max = A;
- i ett mellanläge -
E2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2,
där m är pendelbelastningens massa; ∆x - lastens förskjutning från jämviktsläget, ∆x = A /4.
Lagen om bevarande av total mekanisk energi för en fjäderpendel har följande form:
k (A x max) 2 2 = k ( Δ x) 2 2 + m v 2 2 .
Låt oss dividera båda sidorna av den skriftliga likheten med k (∆x) 2 /2:
(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p ,
där Wk är pendelns kinetiska energi i ett mellanläge, Wk = mv2/2; W p - pendelns potentiella energi i ett mellanläge, W p = k (∆x ) 2 /2.
Låt oss uttrycka det erforderliga energiförhållandet från ekvationen:
W k W p = (Δ x max Δ x) 2 − 1
och beräkna dess värde:
W k W p = (A A / 4) 2 − 1 = 16 − 1 = 15 .
Vid den angivna tidpunkten, förhållandet mellan kinetisk och potentiell energi pendel är lika med 15.
