Tal – typer, begrepp och operationer, naturliga och andra typer av tal.
Tal är ett grundläggande begrepp i matematik som tjänar till att bestämma kvantitativa egenskaper, numrering, jämförelse av objekt och deras delar. Olika aritmetiska operationer är tillämpliga på tal: addition, subtraktion, multiplikation, division, exponentiering och andra.
Siffrorna som är involverade i operationen kallas operander. Beroende på vilken åtgärd som utförs får de olika namn. I allmänhet kan operationsschemat representeras enligt följande:<операнд1> <знак операции> <операнд2> = <результат>.
I en divisionsoperation kallas den första operanden för utdelning (detta är namnet på numret som delas). Den andra (med vilken de delar) är divisorn, och resultatet är kvoten (den visar hur många gånger utdelningen är större än divisorn).
Typer av siffror
Olika nummer kan vara inblandade i divisionsverksamheten. Resultatet av division kan vara heltal eller bråk. I matematik finns följande typer av siffror:
- Naturliga tal är tal som används vid räkning. Bland dem sticker en delmängd ut primtal, med bara två delare: en och sig själv. Alla andra utom 1 kallas sammansatta och har fler än två delare (exempel på primtal: 2, 5, 7, 11, 13, 17, 19, etc.);
- Heltal är en mängd som består av negativa, positiva tal och noll. När man dividerar ett heltal med ett annat kan kvoten vara ett heltal eller ett reellt (bråktal). Bland dem kan vi urskilja en delmängd av perfekta tal - lika med summan alla dess divisorer (inklusive 1), utom sig själv. De gamla grekerna kände bara till fyra perfekta tal. Sekvens av perfekta tal: 6, 28, 496, 8128, 33550336... Hittills är inte ett enda udda perfekt tal känt;
- Rationell - representeras som en bråkdel a/b, där a är täljaren och b är nämnaren (kvoten av sådana tal beräknas vanligtvis inte);
- Real (verklig) – innehåller ett heltal och en bråkdel. Mängden innehåller rationella och irrationella tal (representeras som ett icke-periodiskt oändligt decimalbråk). Kvoten av sådana tal är vanligtvis ett reellt värde.
Det finns flera funktioner förknippade med att utföra den aritmetiska operationen - division. Att förstå dem är viktigt för att få rätt resultat:
- Du kan inte dividera med noll (i matematik är denna operation ingen mening);
- Heltalsdivision är en operation som ett resultat av vilken endast heltalsdelen beräknas (bråkdelen kasseras);
- Genom att beräkna resten av en heltalsdivision kan du som ett resultat få det heltal som återstår efter att operationen är klar (till exempel när du dividerar 17 med 2 är heltalsdelen 8, resten är 1).
Konceptet med ett reellt tal: verkligt tal- (reellt tal), alla icke-negativa eller negativa tal eller noll. Reella tal används för att uttrycka mätningar av varje fysisk storhet.
Verklig, eller verkligt tal uppstod ur behovet av att mäta geometriska och fysiska mängder fred. Dessutom för att utföra rotextraktionsoperationer, beräkna logaritmer, lösa algebraiska ekvationer etc.
Naturliga tal bildades med utvecklingen av räkning, och rationella tal med behov av att hantera delar av en helhet, sedan används reella tal (reala) för att mäta kontinuerliga storheter. Sålunda ledde expansionen av beståndet av tal som betraktas till mängden reella tal, som förutom rationella tal består av andra element som kallas irrationella tal.
Uppsättning av reella tal(betecknas R) är uppsättningar av rationella och irrationella tal samlade tillsammans.
Verkliga siffror dividerat medrationell Och irrationell.
Uppsättningen av reella tal betecknas och kallas ofta verklig eller nummerrad. Reella tal består av enkla objekt: hela Och rationella tal.
Ett tal som kan skrivas som ett förhållande, därmär ett heltal, och n- naturligt tal, ärrationellt tal.
Vilket rationellt tal som helst kan lätt representeras som ett ändligt bråktal eller ett oändligt periodiskt decimaltal.
Exempel,
Oändlig decimal, är ett decimaltal som har ett oändligt antal siffror efter decimalkomma.
Siffror som inte kan representeras i formuläret är irrationella tal.
Exempel:
Vilket irrationellt tal som helst kan lätt representeras som ett oändligt icke-periodiskt decimaltal.
Exempel,
Rationella och irrationella tal skapar uppsättning reella tal. Alla reella tal motsvarar en punkt på koordinatlinjen, som kallas nummerrad.
För numeriska uppsättningar används följande notation:
- N- många naturliga tal;
- Z- uppsättning heltal;
- F- uppsättning rationella tal;
- R- uppsättning reella tal.
Teori om oändliga decimalbråk.
Ett reellt tal definieras som oändlig decimal, dvs.:
±a 0 ,a 1 a 2 …a n …
där ± är en av symbolerna + eller −, ett taltecken,
a 0 är ett positivt heltal,
a 1 ,a 2 ,…a n ,… är en sekvens av decimaler, dvs. element nummeruppsättning {0,1,…9}.
En oändlig decimalbråk kan förklaras som ett tal som ligger mellan rationella punkter på tallinjen som:
±a 0 ,a 1 a 2 …a n Och ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) för alla n=0,1,2,...
Jämförelse av reella tal som oändliga decimalbråk sker platsvis. Till exempel, anta att vi får 2 positiva tal:
α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …
β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …
Om en 0 0, Att α<β ; Om a 0 > b 0 Att α>β . När a 0 =b 0 Låt oss gå vidare till jämförelsen av nästa kategori. Etc. När α≠β , vilket betyder att efter ett ändligt antal steg kommer den första siffran att påträffas n, sådan att a n ≠b n. Om a n n, Det α<β ; Om a n > b n Att α>β .
Men det är tråkigt att uppmärksamma det faktum att antalet a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 , a 1 a 2 …a n +10 −n . Därför, om posten för ett av talen som jämförs, med början från en viss siffra, är en periodisk decimalbråkdel med 9 i perioden, måste den ersättas med en motsvarande post med en nolla i perioden.
Aritmetiska operationer med oändliga tal decimaler det är en kontinuerlig fortsättning på motsvarande operationer med rationella tal. Till exempel, summan av reella tal α Och β är ett verkligt tal α+β , som uppfyller följande villkor:
∀ a′,a′′,b′,b′′∈ Q(a′⩽ α ⩽ a′′)∧ (b′⩽ β ⩽ b′′)⇒ (a′+b′⩽ α + β ⩽ a′′+b′′)
Operationen att multiplicera oändliga decimalbråk definieras på liknande sätt.
Hitta punkterna på talcirkeln med den givna abskissan. Koordinater. Egenskapen för punktkoordinater. Mitten av talcirkeln. Från cirkel till trigonometer. Hitta punkterna på talcirkeln. Prickar med abskiss. Trigonometer. Markera en punkt på talcirkeln. Nummercirkel på koordinatplanet. Nummercirkel. Punkter med ordinata. Ange punktens koordinat. Namnge linjen och koordinaten för punkten.
""Derivater" 10:e klass algebra" - Tillämpning av derivator på studiefunktioner. Derivatan är noll. Hitta poängen. Låt oss sammanfatta informationen. Arten av monotoniteten i funktionen. Tillämpning av derivatan för studier av funktioner. Teoretisk uppvärmning. Fyll i påståendena. Välja sant uttalande. Sats. Jämföra. Derivaten är positiv. Jämför formuleringarna av satserna. Funktionen ökar. Tillräckliga förutsättningar extremum.
""Trigonometriska ekvationer" grad 10" - Värden från intervallet. X= brun x. Ge rötter. Är jämställdheten sann? Serie av rötter. Ekvation barnsäng t = a. Definition. Alltså 4x. Hitta rötterna till ekvationen. Ekvation tg t = a. Sin x. Är uttrycket vettigt? Sin x =1. Gör aldrig det du inte vet. Fortsätt meningen. Låt oss ta ett prov på rötterna. Lös ekvationen. Ctg x = 1. Trigonometriska ekvationer. Ekvation.
"Algebra "Derivater"" - Tangentekvation. Termernas ursprung. Lös problemet. Derivat. Materialpunkt. Differentieringsformler. Mekanisk betydelse av derivata. Utvärderingskriterier. Derivatfunktion. Tangent till grafen för en funktion. Definition av derivat. Ekvation för en tangent till grafen för en funktion. Algoritm för att hitta derivatan. Ett exempel på att hitta derivatan. Ämnesstudiens struktur. Punkten rör sig i en rak linje.
"Kortaste vägen" - En väg i en digraf. Ett exempel på två olika grafer. Riktade grafer. Exempel på riktade grafer. Nåbarhet. Den kortaste vägen från vertex A till vertex D. Beskrivning av algoritmen. Fördelar med en hierarkisk lista. Viktade grafer. Sökväg i grafen. Programmet ProGraph. Intilliggande hörn och kanter. Högsta grad. Adjacency matris. Banlängd i en viktad graf. Ett exempel på en närliggande matris. Att hitta den kortaste vägen.
"Trigonometrins historia" - Jacob Bernoulli. Driftteknik med trigonometriska funktioner. Läran om att mäta polyedrar. Leonard Euler. Trigonometrins utveckling från 1500-talet till våra dagar. Eleven ska träffa trigonometri tre gånger. Fram till nu har trigonometri formats och utvecklats. Konstruktion gemensamt system trigonometrisk och relaterad kunskap. Tiden går och trigonometrin återvänder till skolbarn.
Att förstå tal, särskilt naturliga tal, är en av de äldsta matematiska "färdigheterna". Många civilisationer, även moderna, har tillskrivit vissa mystiska egenskaper till siffror på grund av deras enorma betydelse för att beskriva naturen. Även om modern vetenskap och matematik bekräftar inte dessa "magiska" egenskaper, betydelsen av talteorin är obestridlig.
Historiskt sett uppträdde en mängd naturliga tal först, sedan lades ganska snabbt bråk och positiva irrationella tal till dem. Noll och negativa tal introducerades efter dessa delmängder av uppsättningen av reella tal. Den sista uppsättningen, uppsättningen av komplexa tal, dök upp först med utvecklingen av modern vetenskap.
I modern matematik skrivs inte siffror in historisk ordning, fast ganska nära det.
Naturliga tal $\mathbb(N)$
Mängden naturliga tal betecknas ofta som $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, och är ofta utfylld med noll för att beteckna $\mathbb(N)_0$.
$\mathbb(N)$ definierar operationerna addition (+) och multiplikation ($\cdot$) med följande egenskaper för alla $a,b,c\in \mathbb(N)$:
1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ uppsättningen $\mathbb(N)$ stängs under operationerna addition och multiplikation
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ kommutativitet
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ associativitet
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ distribution
5. $a\cdot 1=a$ är ett neutralt element för multiplikation
Eftersom mängden $\mathbb(N)$ innehåller ett neutralt element för multiplikation men inte för addition, säkerställer man att lägga till en nolla till denna mängd att den inkluderar ett neutralt element för addition.
Utöver dessa två operationer, "mindre än"-relationerna ($
1. $a b$ trikotomi
2. om $a\leq b$ och $b\leq a$, då $a=b$ antisymmetri
3. om $a\leq b$ och $b\leq c$, då är $a\leq c$ transitiv
4. om $a\leq b$ då $a+c\leq b+c$
5. om $a\leq b$ då $a\cdot c\leq b\cdot c$
Heltal $\mathbb(Z)$
Exempel på heltal:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$
Att lösa ekvationen $a+x=b$, där $a$ och $b$ är kända naturliga tal, och $x$ är ett okänt naturligt tal, kräver införandet av en ny operation - subtraktion(-). Om det finns ett naturligt tal $x$ som uppfyller denna ekvation, då $x=b-a$. Denna speciella ekvation har dock inte nödvändigtvis en lösning på mängden $\mathbb(N)$, så praktiska överväganden kräver att man utökar mängden naturliga tal till att inkludera lösningar till en sådan ekvation. Detta leder till introduktionen av en uppsättning heltal: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.
Eftersom $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$ är det logiskt att anta att de tidigare introducerade operationerna $+$ och $\cdot$ och relationerna $ 1. $0+a=a+0=a$ det finns ett neutralt element för addition
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ det finns ett motsatt nummer $-a$ för $a$
Fastighet 5.:
5. om $0\leq a$ och $0\leq b$, då $0\leq a\cdot b$
Uppsättningen $\mathbb(Z)$ är också stängd under subtraktionsoperationen, det vill säga $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.
Rationella tal $\mathbb(Q)$
Exempel på rationella tal:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$
Betrakta nu ekvationer av formen $a\cdot x=b$, där $a$ och $b$ är kända heltal, och $x$ är ett okänt. För att lösningen ska vara möjlig är det nödvändigt att introducera divisionsoperationen ($:$), och lösningen har formen $x=b:a$, det vill säga $x=\frac(b)(a)$ . Återigen uppstår problemet att $x$ inte alltid tillhör $\mathbb(Z)$, så uppsättningen heltal måste utökas. Detta introducerar uppsättningen av rationella tal $\mathbb(Q)$ med elementen $\frac(p)(q)$, där $p\in \mathbb(Z)$ och $q\in \mathbb(N)$. Mängden $\mathbb(Z)$ är en delmängd där varje element $q=1$, därför sträcker sig $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ och operationerna addition och multiplikation till denna mängd enl. följande regler, som bevarar alla ovanstående egenskaper på uppsättningen $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$
Uppdelningen introduceras enligt följande:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$
På mängden $\mathbb(Q)$ har ekvationen $a\cdot x=b$ en unik lösning för varje $a\neq 0$ (division med noll är odefinierad). Detta betyder att det finns ett inverst element $\frac(1)(a)$ eller $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$
Ordningen för uppsättningen $\mathbb(Q)$ kan utökas enligt följande:
$\frac(p_1)(q_1)
Mängden $\mathbb(Q)$ har en viktig egenskap: mellan två rationella tal finns det oändligt många andra rationella tal, därför finns det inga två intilliggande rationella tal, till skillnad från mängderna naturliga tal och heltal.
Irrationella tal $\mathbb(I)$
Exempel på irrationella tal:
$\sqrt(2) \ca 1,41422135...$
$\pi\ungefär 3,1415926535...$
Eftersom det mellan två rationella tal finns oändligt många andra rationella tal, är det lätt att felaktigt dra slutsatsen att mängden rationella tal är så tät att det inte finns något behov av att utöka den ytterligare. Till och med Pythagoras gjorde ett sådant misstag på sin tid. Men hans samtida tillbakavisade redan denna slutsats när de studerade lösningar till ekvationen $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) på uppsättningen av rationella tal. För att lösa en sådan ekvation är det nödvändigt att introducera begreppet kvadratrot, och då har lösningen till denna ekvation formen $x=\sqrt(2)$. En ekvation som $x^2=a$, där $a$ är ett känt rationellt tal och $x$ är ett okänt, har inte alltid en lösning på uppsättningen av rationella tal, och återigen uppstår behovet av att expandera uppsättning. En uppsättning irrationella tal uppstår, och tal som $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... tillhör denna uppsättning.
Reella tal $\mathbb(R)$
Unionen av mängderna av rationella och irrationella tal är mängden av reella tal. Eftersom $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, är det återigen logiskt att anta att de introducerade aritmetiska operationerna och relationerna behåller sina egenskaper på den nya mängden. Ett formellt bevis på detta är ganska svårt, så ovanstående egenskaper aritmetiska operationer och relationer på mängden reella tal introduceras som axiom. I algebra kallas ett sådant objekt ett fält, så uppsättningen av reella tal sägs vara ett ordnat fält.
För att definitionen av mängden reella tal ska vara komplett är det nödvändigt att införa ett ytterligare axiom som skiljer mängderna $\mathbb(Q)$ och $\mathbb(R)$ åt. Antag att $S$ är en icke-tom delmängd av mängden reella tal. Ett element $b\in \mathbb(R)$ kallas den övre gränsen för en uppsättning $S$ om $\forall x\in S$ innehåller $x\leq b$. Sedan säger vi att mängden $S$ är avgränsad ovan. Den minsta övre gränsen av mängden $S$ kallas supremum och betecknas $\sup S$. Begreppen nedre gräns, mängd avgränsad nedan och infinum $\inf S$ introduceras på liknande sätt. Nu är det saknade axiomet formulerat enligt följande:
Varje icke-tom och övre gräns delmängd av uppsättningen av reella tal har ett supremum.
Det kan också bevisas att fältet för reella tal definierat på ovanstående sätt är unikt.
Komplexa tal$\mathbb(C)$
Exempel på komplexa tal:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ där $i = \sqrt(-1)$ eller $i^2 = -1$
Mängden komplexa tal representerar alla ordnade par av reella tal, det vill säga $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, där operationerna av addition och multiplikation definieras på följande sätt:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
Det finns flera sätt att skriva komplexa tal, varav den vanligaste är $z=a+ib$, där $(a,b)$ är ett par reella tal och talet $i=(0,1)$ kallas den imaginära enheten.
Det är lätt att visa att $i^2=-1$. Genom att utöka uppsättningen $\mathbb(R)$ till uppsättningen $\mathbb(C)$ kan vi definiera kvadratrot negativa tal, vilket var anledningen till införandet av mängden komplexa tal. Det är också lätt att visa att en delmängd av mängden $\mathbb(C)$, given av $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, uppfyller alla axiom för reella tal, därför $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, eller $R\subset\mathbb(C)$.
Den algebraiska strukturen för mängden $\mathbb(C)$ med avseende på operationerna addition och multiplikation har följande egenskaper:
1. kommutativitet av addition och multiplikation
2. associativitet av addition och multiplikation
3. $0+i0$ - neutralt element för tillägg
4. $1+i0$ - neutralt element för multiplikation
5. Multiplikation är distributiv med avseende på addition
6. Det finns en enkel invers för både addition och multiplikation.
Tal är en abstraktion som används för att kvantifiera objekt. Siffror uppstod i det primitiva samhället i samband med människors behov av att räkna föremål. Med tiden, allteftersom vetenskapen utvecklades, förvandlades antalet till det viktigaste matematiska begreppet.
För att lösa problem och bevisa olika teorem måste du förstå vilka typer av tal som finns. Grundläggande typer av tal inkluderar: naturliga tal, heltal, rationella tal, reella tal.
Naturliga tal- dessa är tal som erhålls genom naturlig räkning av objekt, eller snarare genom att numrera dem ("första", "andra", "tredje"...). Mängden naturliga tal betecknas med en latinsk bokstav N (du kan komma ihåg baserat på engelska ord naturlig). Det kan man säga N ={1,2,3,....}
Heltal– det här är siffror från mängden (0, 1, -1, 2, -2, ....). Denna mängd består av tre delar - naturliga tal, negativa heltal (motsatsen till naturliga tal) och talet 0 (noll). Heltal betecknas med en latinsk bokstav Z . Det kan man säga Z ={1,2,3,....}.
Rationella talär tal representerade som en bråkdel, där m är ett heltal och n är ett naturligt tal. Den latinska bokstaven används för att beteckna rationella tal F . Alla naturliga tal och heltal är rationella.
Verkliga siffrorär tal som används för att mäta kontinuerliga storheter. Uppsättningen av reella tal betecknas med den latinska bokstaven R. Reella siffror inkluderar rationella tal och irrationella tal. Irrationella tal är tal som erhålls som ett resultat av att utföra olika operationer med rationella tal (till exempel att slå rötter, beräkna logaritmer), men som inte är rationella.
1. Nummersystem.
Ett talsystem är ett sätt att namnge och skriva siffror. Beroende på metoden för att representera tal är de uppdelade i positionella - decimala och icke-positionella - romerska.
Datorer använder 2-siffriga, 8-siffriga och 16-siffriga nummersystem.
Skillnader: inspelningen av ett nummer i det 16:e siffersystemet är mycket kortare jämfört med en annan inspelning, d.v.s. kräver mindre bitkapacitet.
I ett positionsnummersystem behåller varje siffra sitt konstanta värde oavsett dess position i talet. I ett positionsnummersystem bestämmer varje siffra inte bara dess betydelse, utan beror också på positionen den upptar i numret. Varje talsystem kännetecknas av en bas. Basen är antalet olika siffror som används för att skriva tal i ett givet talsystem. Basen visar hur många gånger värdet på samma siffra ändras när man flyttar till en intilliggande position. Datorn använder ett 2-siffrigt system. Systemets bas kan vara vilket tal som helst. Aritmetiska operationer på tal i valfri position utförs enligt regler som liknar 10-talssystemet. Nummer 2 använder binär aritmetik, som är implementerad i en dator för att utföra aritmetiska beräkningar.
Addering av binära tal:0+0=1;0+1=1;1+0=1;1+1=10
Subtraktion:0-0=0;1-0=1;1-1=0;10-1=1
Multiplikation:0*0=0;0*1=0;1*0=0;1*1=1
Datorn använder i stor utsträckning 8-talssystemet och 16-talssystemet. De används för att förkorta binära tal.
2. Begreppet uppsättning.
Begreppet "mängd" är ett grundläggande begrepp i matematik och har ingen definition. Arten av genereringen av alla uppsättningar är olika, i synnerhet omgivande föremål, vilda djur och växter etc.
Definition 1: Objekten som en mängd bildas av kallas delar av denna uppsättning. För att beteckna en uppsättning används stora bokstäver i det latinska alfabetet: till exempel X, Y, Z och dess element skrivs inom parenteser, separerade med kommatecken. gemener, till exempel: (x,y,z).
Ett exempel på notation för en mängd och dess element:
X = (x 1, x 2,..., x n) – en mängd som består av n element. Om elementet x tillhör mängden X, så ska det skrivas: xÎX, annars hör inte elementet x till mängden X, som skrivs: xÏX. Element i en abstrakt uppsättning kan till exempel vara siffror, funktioner, bokstäver, former, etc. I matematik, i alla avsnitt, används begreppet mängd. I synnerhet kan vi ge några specifika uppsättningar av reella tal. Mängden reella tal x som uppfyller ojämlikheterna:
· a ≤ x ≤ b kallas segment och betecknas med ;
a ≤ x< b или а < x ≤ b называется halvsegment och betecknas med: ;
· A< x < b называется intervall och betecknas med (a,b).
Definition 2: En mängd som har ett ändligt antal element kallas ändligt. Exempel. X = (xl, x2, x3).
Definition 3: Uppsättningen heter ändlös, om den består av ett oändligt antal element. Till exempel är mängden av alla reella tal oändlig. Exempelinlägg. X = (x 1, x 2, ...).
Definition 4: En mängd som inte har ett enda element kallas en tom mängd och betecknas med symbolen Æ.
En egenskap hos en uppsättning är begreppet makt. Makt är antalet av dess element. Mängden Y=(y 1 , y 2 ,...) har samma kardinalitet som mängden X=(x 1 , x 2 ,...) om det finns en en-till-en-överensstämmelse y= f(x ) mellan elementen i dessa uppsättningar. Sådana uppsättningar har samma kardinalitet eller lika kardinalitet. En tom uppsättning har noll kardinalitet.
3. Metoder för att specificera uppsättningar.
Man tror att en uppsättning definieras av dess element, dvs. uppsättningen är given, om vi kan säga om något objekt: det tillhör denna uppsättning eller inte. Du kan ange en uppsättning på följande sätt:
1) Om en mängd är finit kan den definieras genom att lista alla dess element. Så, om uppsättningen A består av element 2, 5, 7, 12 , så skriver de A = (2, 5, 7, 12). Antal element i uppsättningen A lika 4 , skriver de n(A) = 4.
Men om mängden är oändlig, kan dess element inte räknas upp. Det är svårt att definiera en mängd genom uppräkning och en finit mängd med ett stort antal element. I sådana fall används en annan metod för att specificera en uppsättning.
2) En mängd kan specificeras genom att ange den karakteristiska egenskapen för dess element. Karakteristisk egenskap– Det här är en egenskap som varje element som hör till en mängd har, och inte ett enda element som inte tillhör det. Betrakta till exempel en uppsättning X med tvåsiffriga tal: egenskapen som varje element i denna uppsättning har är "att vara tvåsiffrigt nummer" Denna karakteristiska egenskap gör det möjligt att avgöra om ett objekt tillhör mängden X eller inte. Till exempel finns siffran 45 i denna uppsättning, eftersom den är tvåsiffrig och siffran 4 hör inte till mängden X, eftersom den är entydig och inte tvåvärdig. Det händer att samma uppsättning kan definieras genom att indikera olika karakteristiska egenskaper hos dess element. Till exempel kan en uppsättning kvadrater definieras som en uppsättning rektanglar med lika sidor och som en uppsättning romber med räta vinklar.
I de fall där den karakteristiska egenskapen hos elementen i en mängd kan representeras i symbolisk form, är en motsvarande notation möjlig. Om uppsättningen I består av alla naturliga tal mindre än 10, sen skriver de B = (x N | x<10}.
Den andra metoden är mer generell och låter dig specificera både finita och oändliga uppsättningar.
4. Numeriska uppsättningar.
Numerisk - en mängd vars element är tal. Numeriska mängder anges på axeln för reella tal R. På denna axel väljs skalan och ursprung och riktning anges. De vanligaste nummeruppsättningarna:
· - uppsättning naturliga tal;
· - uppsättning heltal;
· - uppsättning rationella eller bråktal;
· - uppsättning reella tal.
5. Setets kraft. Ge exempel på ändliga och oändliga mängder.
Uppsättningar kallas lika kraftfulla eller ekvivalenta om det finns en en-till-en- eller en-till-en-överensstämmelse mellan dem, det vill säga en parvis överensstämmelse. när varje element i en uppsättning är associerat med ett enda element i en annan uppsättning och vice versa, medan olika element i en uppsättning är associerade med olika element i en annan.
Låt oss till exempel ta en grupp på trettio studenter och utfärda examensbiljetter, en biljett till varje student från en stack som innehåller trettio biljetter, en sådan parvis korrespondens med 30 studenter och 30 biljetter kommer att vara en-till-en.
Två uppsättningar av lika kardinalitet med samma tredje uppsättning har lika kardinalitet. Om mängderna M och N har lika kardinalitet, så är mängderna av alla delmängder av var och en av dessa mängder M och N också lika kardinalitet.
En delmängd av en given mängd är en mängd så att varje element i den är ett element i den givna mängden. Så uppsättningen bilar och uppsättningen lastbilar kommer att vara delmängder av uppsättningen bilar.
Kraften i mängden reella tal kallas kontinuumets kraft och betecknas med bokstaven "alef" א . Den minsta oändliga domänen är kardinaliteten av mängden naturliga tal. Kardinaliteten av mängden av alla naturliga tal betecknas vanligtvis med (alef-noll).
Potenser kallas ofta för kardinaltal. Detta koncept introducerades av den tyske matematikern G. Cantor. Om mängder betecknas med symboliska bokstäver M, N, betecknas kardinalnummer med m, n. G. Cantor bevisade att mängden av alla delmängder av en given mängd M har en kardinalitet som är större än mängden M själv.
En mängd lika med mängden av alla naturliga tal kallas en räknebar mängd.
6. Delmängder av den angivna uppsättningen.
Om vi väljer flera element från vår uppsättning och grupperar dem separat, kommer detta att vara en delmängd av vår uppsättning. Det finns många kombinationer från vilka en delmängd kan erhållas. Antalet kombinationer beror bara på antalet element i den ursprungliga uppsättningen.
Låt oss ha två mängder A och B. Om varje element i mängd B är ett element i mängd A, så kallas mängd B en delmängd av A. Betecknas med: B ⊂ A. Exempel.
Hur många delmängder av mängden A=1;2;3 finns det?
Lösning. Delmängder som består av delar av vår uppsättning. Sedan har vi 4 alternativ för antalet element i delmängden:
En delmängd kan bestå av 1 element, 2, 3 element och kan vara tom. Låt oss skriva ner våra element sekventiellt.
Delmängd av 1 element: 1,2,3
Delmängd av 2 element: 1,2,1,3,2,3.
Delmängd av 3 element: 1;2;3
Låt oss inte glömma att den tomma uppsättningen också är en delmängd av vår uppsättning. Då finner vi att vi har 3+3+1+1=8 delmängder.
7. Operationer på uppsättningar.
Vissa operationer kan utföras på mängder, som i vissa avseenden liknar operationer på reella tal i algebra. Därför kan vi prata om mängdalgebra.
Förening(anslutning) av uppsättningar A Och Iär en mängd (symboliskt betecknas den med ), som består av alla de element som tillhör minst en av mängderna A eller I. I form från X föreningen av mängder skrivs enligt följande
Inlägget lyder: ”enande A Och I" eller " A, kombinerat med I».
Uppsättningsoperationer representeras visuellt grafiskt med Euler-cirklar (ibland används termen "Venn-Euler-diagram"). Om alla delar av uppsättningen A kommer att koncentreras inom cirkeln A, och elementen i uppsättningen I- inom en cirkel I, kan föreningsoperationen med Euler-cirklar representeras i följande form
Exempel 1. Förening av många A= (0, 2, 4, 6, 8) jämna siffror och uppsättningar I= (1, 3, 5, 7, 9) udda siffror är mängden = =(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) av alla siffror i decimalsystemet.
8. Grafisk representation av mängder. Euler-Venn diagram.
Euler-Venn-diagram är geometriska representationer av mängder. Konstruktionen av diagrammet består av att rita en stor rektangel som representerar den universella uppsättningen U, och inuti den - cirklar (eller några andra slutna figurer) som representerar uppsättningar. Formerna måste skära varandra på det mest allmänna sätt som krävs av problemet och måste märkas därefter. Punkter som ligger inom olika områden i diagrammet kan betraktas som delar av motsvarande uppsättningar. Med diagrammet konstruerat kan du skugga vissa områden för att indikera nybildade uppsättningar.
Uppsättningsoperationer anses erhålla nya uppsättningar från befintliga.
Definition. Förening uppsättningarna A och B är en mängd som består av alla de element som tillhör minst en av uppsättningarna A, B (fig. 1):
Definition. Genom att korsa set A och B är en mängd som består av alla dessa och endast de element som samtidigt hör till både set A och set B (fig. 2):
Definition. Genom skillnad uppsättningarna A och B är mängden av alla dessa och endast de element i A som inte ingår i B (Fig. 3):
Definition. Symmetrisk skillnad set A och B är uppsättningen av element i dessa uppsättningar som antingen bara hör till uppsättning A eller bara till uppsättning B (fig. 4):
Kartesisk (eller direkt) produkt av uppsättningarA Och B en sådan resulterande uppsättning par av formen ( x,y) konstruerad på ett sådant sätt att det första elementet från uppsättningen A, och det andra elementet i paret är från setet B. Vanlig beteckning:
A× B={(x,y)|x∈A,y∈B}
Produkter av tre eller flera uppsättningar kan konstrueras enligt följande:
A× B× C={(x,y,z)|x∈A,y∈B,z∈C}
Formens produkter A× A,A× A× A,A× A× A× A etc. Det är vanligt att skriva det som en examen: A 2 ,A 3 ,A 4 (basen för graden är multiplikatormängden, exponenten är antalet produkter). De läser en sådan post som en "kartesisk kvadrat" (kub, etc.). Det finns andra avläsningar för huvuduppsättningarna. Till exempel, R n Det är vanligt att läsa som "er nnoe".
Egenskaper
Låt oss överväga flera egenskaper hos den kartesiska produkten:
1. Om A,Bär alltså ändliga mängder A× B- final. Och vice versa, om en av faktormängderna är oändlig, så är resultatet av deras produkt en oändlig mängd.
2. Antalet element i en kartesisk produkt är lika med produkten av antalet element i faktormängderna (om de är ändliga, naturligtvis): | A× B|=|A|⋅|B| .
3. En np ≠(A n) sid- i det första fallet är det tillrådligt att överväga resultatet av den kartesiska produkten som en matris med dimensioner 1× n.p., i den andra - som en matris av storlekar n× sid .
4. Den kommutativa lagen är inte uppfylld, eftersom par av element av resultatet av en kartesisk produkt beställs: A× B≠B× A .
5. Den associativa lagen är inte uppfylld: ( A× B)× C≠A×( B× C) .
6. Det finns distributionsförmåga med avseende på grundläggande operationer på set: ( A∗B)× C=(A× C)∗(B× C),∗∈{∩,∪,∖}
10. Begreppet yttrande. Elementära och sammansatta påståenden.
Påståendeär ett påstående eller deklarativ mening som kan sägas vara sann (I-1) eller falsk (F-0), men inte båda.
Till exempel, "Det regnar idag", "Ivanov slutförde laboratoriearbete nr 2 i fysik."
Om vi har flera initiala uttalanden, sedan från dem, med hjälp av logiska fackföreningar eller partiklar vi kan bilda nya påståenden, vars sanningsvärde endast beror på sanningsvärdena för de ursprungliga påståendena och på de specifika konjunktioner och partiklar som deltar i konstruktionen av det nya påståendet. Orden och uttrycken "och", "eller", "inte", "om..., då", "därför", "då och först då" är exempel på sådana konjunktioner. De ursprungliga uttalandena kallas enkel , och nya påståenden konstruerade från dem med hjälp av vissa logiska konjunktioner - sammansatt . Naturligtvis har ordet "enkelt" ingenting att göra med essensen eller strukturen i de ursprungliga uttalandena, som i sig kan vara ganska komplexa. I detta sammanhang är ordet "enkelt" synonymt med ordet "original". Det som spelar roll är att sanningsvärdena för enkla påståenden antas vara kända eller givna; i alla fall diskuteras de inte på något sätt.
Även om ett påstående som "Idag är inte torsdag" inte är sammansatt av två olika enkla påståenden, anses det för enhetlighet i konstruktionen också som en sammansättning, eftersom dess sanningsvärde bestäms av sanningsvärdet för det andra påståendet "Idag är det torsdag. ”
Exempel 2. Följande påståenden betraktas som komponenter:
Jag läser Moskovsky Komsomolets och jag läser Kommersant.
Om han sa det så är det sant.
Solen är inte en stjärna.
Om det är soligt och temperaturen överstiger 25 0 så kommer jag med tåg eller bil
Enkla uttalanden som ingår i föreningar kan i sig vara helt godtyckliga. I synnerhet kan de själva vara sammansatta. De grundläggande typerna av sammansatta påståenden som beskrivs nedan definieras oberoende av de enkla påståenden som utgör dem.
11. Operationer på utlåtanden.
1. Negationsoperation.
Genom att förneka uttalandet A ( står "inte A"," det är inte sant att A"), vilket är sant när A falskt och falskt när A– sant.
Uttalanden som förnekar varandra A Och kallas motsatt.
2. Konjunkturoperation.
Samband uttalanden A Och I kallas ett uttalande betecknat med A B(läser" A Och I"), vars sanna värden bestäms om och endast om båda påståendena A Och Iär sanna.
Konjunktionen av påståenden kallas en logisk produkt och betecknas ofta AB.
Låt ett uttalande ges A- "i mars är lufttemperaturen från 0 C till + 7 C" och säger I- "Det regnar i Vitebsk." Sedan A B blir följande: ”i mars är lufttemperaturen från 0 C till + 7 C och det regnar i Vitebsk." Denna konjunktion kommer att vara sann om det finns påståenden A Och I sann. Om det visar sig att temperaturen var lägre 0 C eller så kom det inget regn i Vitebsk A B kommer att vara falskt.
3 . Disjunction operation.
Åtskiljande uttalanden A Och I kallas ett uttalande A B (A eller I), vilket är sant om och endast om minst ett av påståendena är sant och falskt - när båda påståendena är falska.
Disjunktionen av påståenden kallas också en logisk summa A+B.
Uttalandet " 4<5 eller 4=5 "är sant. Sedan uttalandet " 4<5 "är sant, och påståendet" 4=5 » – falskt alltså A B representerar det sanna uttalandet " 4 5 ».
4 . Verksamhet av implikation.
Underförstått uttalanden A Och I kallas ett uttalande A B("Om A, Det I", "från A skall I"), vars värde är falskt om och endast om A sant, men I falsk.
Underförstått A B påstående A kallad grund, eller premiss, och uttalandet I – följd, eller slutsats.
12. Sanningstabeller för påståenden.
En sanningstabell är en tabell som upprättar en överensstämmelse mellan alla möjliga uppsättningar av logiska variabler som ingår i en logisk funktion och funktionens värden.
Sanningstabeller används för:
Beräkna sanningen i komplexa påståenden;
Fastställande av påståendens likvärdighet;
Definitioner av tautologier.
