Okonventionella sätt att multiplicera flersiffriga tal. Vetenskapligt forskningsarbete ”Icke-standardiserade räknealgoritmer eller snabbräkning utan miniräknare. Ovanliga metoder för multiplikation

Forskningsarbete om matematik i grundskolan

Kort sammanfattning av forskningsarbetet
Varje skolbarn vet hur man multiplicerar flersiffriga tal i en kolumn. I detta arbete uppmärksammar författaren att det finns alternativa metoder för multiplikation yngre skolbarn, vilket kan göra "tråkiga" beräkningar till ett roligt spel.
Arbetet diskuterar sex okonventionella metoder för multiplikation flersiffriga nummer, används i olika historiska epoker: rysk bonde, galler, litet slott, kinesiska, japanska, enligt tabellen av V. Okoneshnikov.
Projektet syftar till att utveckla det kognitiva intresset för det ämne som studeras och att fördjupa kunskaperna inom matematikområdet.
Innehållsförteckning
Inledning 3
Kapitel 1. Alternativa metoder för multiplikation 4
1.1. Lite historia 4
1.2. Ryska bonde metoden för multiplikation 4
1.3. Multiplikation med metoden "Small Castle" 5
1.4. Multiplicera siffror med metoden "avundsjuka" eller "gittermultiplikation" 5
1.5. Kinesiskt sätt att multiplicera 5
1.6. Japanskt sätt att multiplicera 6
1.7. Okoneshnikov tabell 6
1.8.Multiplikation med kolumn. 7
Kapitel 2. Praktisk del 7
2.1. Bondeväg 7
2.2. Lilla slottet 7
2.3. Multiplicera siffror med metoden "avundsjuka" eller "gittermultiplikation" 7
2.4. Kinesisk metod 8
2.5. Japansk metod 8
2.6. Okoneshnikov bord 8
2.7. Frågeformulär 8
Slutsats 9
Bilaga 10

"Ämnet matematik är ett så allvarligt ämne att det är bra att ta alla tillfällen i akt för att göra det lite underhållande."
B. Pascal
Introduktion
Personen i Vardagsliv det är omöjligt att göra utan beräkningar. Därför lär vi oss i matematiklektioner först och främst att utföra operationer med siffror, det vill säga att räkna. Vi multiplicerar, dividerar, adderar och subtraherar på de vanliga sätt som man studerar i skolan. Frågan uppstod: finns det några andra alternativa beräkningsmetoder? Jag ville studera dem mer i detalj. I sökandet efter ett svar på dessa frågor genomfördes denna studie.
Syftet med studien: att identifiera okonventionella metoder för multiplikation för att studera möjligheten att använda dem.
I enlighet med målet formulerade vi följande uppgifter:
- Hitta så många ovanliga multiplikationssätt som möjligt.
- Lär dig använda dem.
- Välj själv de mest intressanta eller enklare än de som erbjuds i skolan, och använd dem när du räknar.
- Kontrollera i praktiken multiplikationen av flersiffriga tal.
- Genomföra en undersökning av elever i 4:an
Studieobjekt: olika icke-standardiserade algoritmer för att multiplicera flersiffriga tal
Studieämne: matematisk handling "multiplikation"
Hypotes: om det finns standardmetoder multiplikation av flersiffriga tal, kan det finnas alternativa sätt.
Relevans: Kunskapsspridning om alternativa metoder för multiplikation.
Praktisk betydelse. Under arbetets gång löstes många exempel och ett album skapades, som innehöll exempel med olika algoritmer för att multiplicera flersiffriga tal på flera alternativa sätt. Detta kan intressera klasskamrater att vidga sina matematiska horisonter och fungera som början på nya experiment.

Kapitel 1. Alternativa metoder för multiplikation

1.1. Lite historia
De beräkningsmetoder som vi använder nu var inte alltid så enkla och bekväma. Förr i tiden användes krångligare och långsammare tekniker. Och om en modern skolpojke kunde gå tillbaka femhundra år, skulle han förvåna alla med hastigheten och noggrannheten i sina beräkningar. Rykten om honom skulle ha spridit sig över de omgivande skolorna och klostren och överskuggat glansen av de skickligaste miniräknare från den tiden, och folk skulle komma från hela världen för att studera med den nye store mästaren.
Operationerna med multiplikation och division var särskilt svåra förr i tiden.
I V. Bellustins bok "Hur människor gradvis nådde verklig aritmetik" beskrivs 27 multiplikationsmetoder, och författaren noterar: "det är mycket möjligt att det finns andra metoder gömda i bokförrådens fördjupningar, utspridda i många, huvudsakligen handskrivna samlingar.” Och alla dessa multiplikationstekniker konkurrerade med varandra och lärdes in med stor svårighet.
Låt oss titta på de mest intressanta och enkla sätt multiplikation.
1.2. Rysk bonde metod för multiplikation
I Ryssland, för 2-3 århundraden sedan, var en metod vanlig bland bönder i vissa provinser som inte krävde kunskap om hela multiplikationstabellen. Man behövde bara kunna multiplicera och dividera med 2. Denna metod kallades bondemetoden.
För att multiplicera två tal skrevs de sida vid sida, och sedan dividerades det vänstra talet med 2, och det högra talet multiplicerades med 2. Resultaten skrevs i en kolumn tills 1 blev kvar till vänster. Kryssa över de linjer som har jämna nummer till vänster. Vi lägger ihop de återstående siffrorna i den högra kolumnen.
1.3. Multiplikation med metoden "Small Castle".
Den italienske matematikern Luca Pacioli ger i sin avhandling "Summa of Arithmetic, Ratios and Proportionality" (1494), åtta olika metoder för multiplikation. Den första av dem heter "Lilla slottet".
Fördelen med multiplikationsmetoden "Little Castle" är att de inledande siffrorna bestäms redan från början, och detta kan vara viktigt om du snabbt behöver uppskatta ett värde.
Siffrorna i det övre talet, med början från den mest signifikanta siffran, multipliceras i tur och ordning med det lägre talet och skrivs i en kolumn med tillägget önskat antal nollor. Resultaten läggs sedan ihop.
1.4. Multiplicera siffror med metoden "avundsjuka" eller "gittermultiplikation".
Luca Paciolis andra metod kallas "avundsjuka" eller "gittermultiplikation".
Först ritas en rektangel, uppdelad i rutor. Sedan delas de kvadratiska cellerna diagonalt och "... resultatet är en bild som liknar gallerluckor", skriver Pacioli. "Sådana luckor hängdes på fönstren i venetianska hus, vilket hindrade förbipasserande gatan från att se damerna och nunnorna sitta vid fönstren."
Genom att multiplicera varje siffra i den första faktorn med varje siffra i den andra, skrivs produkterna i motsvarande celler, och placerar tiotal ovanför diagonalen och ettor under den. Produktens siffror erhålls genom att lägga till siffrorna i sneda ränder. Resultaten av tillägg skrivs under tabellen, såväl som till höger om den.
1.5. Kinesiskt sätt att multiplicera
Låt oss nu introducera multiplikationsmetoden, som diskuteras intensivt på Internet, som kallas kinesiska. När man multiplicerar siffror, beräknas skärningspunkterna för linjerna, som motsvarar antalet siffror för varje siffra av båda faktorerna.
1.6. Japanskt sätt att multiplicera
Den japanska metoden för multiplikation är en grafisk metod som använder cirklar och linjer. Inte mindre rolig och intressant än kinesiska. Till och med lite lik honom.
1.7. Okoneshnikov bord
Filosofikandidat Vasily Okoneshnikov, deltidsuppfinnare nytt system huvudräkning, tror att skolbarn kommer att kunna lära sig att verbalt addera och multiplicera miljoner, miljarder och till och med sextiljoner och kvadriljoner. Enligt forskaren själv är det mest fördelaktiga i detta avseende det niofaldiga systemet - all data placeras helt enkelt i nio celler, placerade som knappar på en miniräknare.
Enligt forskaren är det nödvändigt att memorera tabellen han skapade innan han blir en "dator".
Bordet är uppdelat i 9 delar. De är placerade enligt principen för en miniräknare: "1" i det nedre vänstra hörnet, "9" i det övre högra hörnet. Varje del är en multiplikationstabell för siffror från 1 till 9 (med samma "tryckknapp"-system). För att multiplicera valfritt tal, till exempel med 8, hittar vi en stor kvadrat som motsvarar talet 8 och skriver ut från denna kvadrat siffrorna som motsvarar siffrorna i den flersiffriga multiplikatorn. Vi lägger till de resulterande siffrorna separat: den första siffran förblir oförändrad, och alla övriga läggs till i par. Det resulterande talet kommer att vara resultatet av multiplikation.
Om, när man lägger till två siffror, ett tal större än nio erhålls, läggs dess första siffra till den föregående siffran i resultatet, och den andra skrivs på sin "egen" plats.
Den nya tekniken testades i flera ryska skolor och universitet. Ryska federationens utbildningsministerium har tillåtit publiceringen av en ny multiplikationstabell i rutiga anteckningsböcker tillsammans med den vanliga Pythagoras-tabellen - för nu, bara för bekantskap.
1.8. Kolumnmultiplikation.
Det är inte många som vet att författaren till vår vanliga metod att multiplicera ett flersiffrigt tal med ett flersiffrigt tal med en kolumn bör betraktas som Adam Riese (bilaga 7). Denna algoritm anses vara den mest bekväma.
Kapitel 2. Praktisk del
Genom att bemästra de listade metoderna för multiplikation löstes många exempel och ett album förbereddes med prover av olika beräkningsalgoritmer. (Ansökan). Låt oss titta på beräkningsalgoritmen med hjälp av exempel.
2.1. Bondens sätt
Multiplicera 47 med 35 (bilaga 1),
-skriv ner siffrorna på en rad, dra en vertikal linje mellan dem;
-det vänstra talet kommer att divideras med 2, det högra talet multipliceras med 2 (om en rest uppstår under divisionen kommer resten att kasseras);
- division slutar när en enhet visas till vänster;
-krysa ut de linjer där det finns jämna nummer till vänster;
-vi lägger ihop de återstående siffrorna till höger - detta är resultatet.
35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.
Slutsats. Metoden är bekväm genom att det räcker att känna till tabellen endast för 2. Men när man arbetar med stora siffror är det väldigt besvärligt. Praktiskt för att arbeta med tvåsiffriga siffror.
2.2. Litet slott
(Bilaga 2). Slutsats. Metoden är väldigt lik vår moderna "kolumn". Dessutom bestäms numren för de högsta siffrorna omedelbart. Detta kan vara viktigt om du snabbt behöver uppskatta ett värde.
2.3. Multiplicera siffror med metoden "avundsjuka" eller "gittermultiplikation".
Låt oss multiplicera till exempel siffrorna 6827 och 345 (bilaga 3):
1. Rita ett kvadratiskt rutnät och skriv en av faktorerna ovanför kolumnerna, och den andra - längs höjden.
2. Multiplicera numret på varje rad i tur och ordning med siffrorna i varje kolumn. Vi multiplicerar successivt 3 med 6, med 8, med 2 och med 7 osv.
4. Lägg till siffrorna efter de diagonala ränderna. Om summan av en diagonal innehåller tiotal, addera dem till nästa diagonal.
Av resultaten av att addera siffrorna längs diagonalerna bildas talet 2355315, vilket är produkten av talen 6827 och 345, det vill säga 6827 ∙ 345 = 2355315.
Slutsats. Metoden "gittermultiplikation" är inte sämre än den allmänt accepterade. Det är ännu enklare, eftersom siffror skrivs in i tabellens celler direkt från multiplikationstabellen utan den samtidiga additionen som finns i standardmetoden.
2.4. kinesiskt sätt
Anta att du behöver multiplicera 12 med 321 (bilaga 4). På ett pappersark ritar vi linjer en efter en, vars antal bestäms från detta exempel.
Rita den första siffran – 12. För att göra detta, från topp till botten, från vänster till höger, rita:
en grön pinne (1)
och två orange (2).
Rita det andra numret – 321, från botten till toppen, från vänster till höger:
tre blå pinnar (3);
två röda (2);
en lila (1).
Nu, med en enkel penna, separerar vi skärningspunkterna och börjar räkna dem. Vi rör oss från höger till vänster (medurs): 2, 5, 8, 3.
Låt oss läsa resultatet från vänster till höger - 3852
Slutsats. Ett intressant sätt, men att rita 9 raka linjer när man multiplicerar med 9 är på något sätt långt och ointressant, och sedan räkna skärningspunkterna. Utan skicklighet är det svårt att förstå uppdelningen av tal i siffror. I allmänhet kan du inte klara dig utan en multiplikationstabell!
2.5. japanskt sätt
Låt oss multiplicera 12 med 34 (bilaga 5). Eftersom den andra faktorn är ett tvåsiffrigt tal, och den första siffran i den första faktorn är 1, konstruerar vi två enkla cirklar på den översta raden och två binära cirklar på den nedersta raden, eftersom den andra siffran i den första faktorn är 2 .
Eftersom den första siffran i den andra faktorn är 3, och den andra är 4, delar vi cirklarna i den första kolumnen i tre delar och cirklarna i den andra kolumnen i fyra delar.
Antalet delar som cirklarna delades i är svaret, det vill säga 12 x 34 = 408.
Slutsats. Metoden är mycket lik kinesisk grafik. Endast raka linjer ersätts av cirklar. Det är lättare att bestämma siffrorna i ett nummer, men att rita cirklar är mindre bekvämt.
2.6. Okoneshnikov bord
Du måste multiplicera 15647 x 5. Vi kommer genast ihåg den stora "knappen" 5 (den är i mitten) och mentalt hittar de små knapparna 1, 5, 6, 4, 7 på den (de finns också som på en miniräknare) . De motsvarar siffrorna 05, 25, 30, 20, 35. Vi lägger till de resulterande siffrorna: den första siffran är 0 (förblir oförändrad), 5 läggs mentalt till 2, vi får 7 - detta är den andra siffran i resultatet , 5 läggs till 3, vi får den tredje siffran - 8 , 0+2=2, 0+3=3 och den sista siffran i produkten kvarstår - 5. Resultatet är 78 235.
Slutsats. Metoden är väldigt bekväm, men du måste lära dig den utantill eller alltid ha ett bord till hands.
2.7. Elevundersökning
En undersökning av fjärdeklassare genomfördes. 26 personer deltog (bilaga 8). Baserat på undersökningen visade det sig att alla respondenter kunde föröka sig på traditionellt sätt. Men de flesta killar vet inte om icke-traditionella metoder för multiplikation. Och det finns människor som vill lära känna dem.
Efter den första undersökningen, fritidsaktiviteter"Multiplying with Passion", där barnen bekantade sig med alternativa multiplikationsalgoritmer. Därefter genomfördes en undersökning för att identifiera de metoder som vi gillade mest. Den obestridde ledaren var mest modern metod Vasily Okoneshnikov. (Bilaga 9)
Slutsats
Efter att ha lärt mig att räkna på alla de sätt som presenteras, tror jag det mest bekväm metod multiplikation är metoden "Little Castle" - den är så lik vår nuvarande!
Av alla ovanliga räknemetoder jag hittade verkade den "japanska" metoden mer intressant. Den enklaste metoden tycktes mig vara "fördubbling och splittring", som användes av ryska bönder. Jag använder det inte för mycket när jag multiplicerar. stora nummer. Det är väldigt bekvämt att använda när man multiplicerar tvåsiffriga tal.
Därmed uppnådde jag målet med min forskning - jag studerade och lärde mig att använda okonventionella metoder för att multiplicera flersiffriga tal. Min hypotes bekräftades - jag behärskade sex alternativa metoder och fick reda på att dessa inte alla är möjliga algoritmer.
De icke-traditionella multiplikationsmetoderna jag har studerat är mycket intressanta och har rätt att existera. Och i vissa fall är de ännu lättare att använda. Jag tror att du kan prata om förekomsten av dessa metoder i skolan, hemma och överraska dina vänner och bekanta.
Hittills har vi bara studerat och analyserat redan kända metoder för multiplikation. Men vem vet, kanske i framtiden kommer vi själva att kunna upptäcka nya sätt att multiplicera. Dessutom vill jag inte sluta där och fortsätta att studera okonventionella metoder för multiplikation.
Lista över informationskällor
1. Referenser
1.1. Harutyunyan E., Levitas G. Underhållande matematik. - M.: AST - PRESS, 1999. - 368 sid.
1.2. Bellustina V. Hur människor gradvis nådde riktig aritmetik. - LKI, 2012.-208 sid.
1.3. Depman I. Berättelser om matematik. – Leningrad: Education, 1954. – 140 sid.
1.4. Likum A. Allt om allt. T. 2. - M.: Filologiska Sällskapet “Slovo”, 1993. - 512 s.
1.5. Olehnik S. N., Nesterenko Yu V., Potapov M. K.. Antik underhållande uppgifter. – M.: Vetenskap. Huvudredaktion för fysisk och matematisk litteratur, 1985. – 160 sid.
1.6. Perelman Ya.I. Intressant aritmetik. - M.: Rusanova, 1994 – 205 sid.
1.7. Perelman Ya.I. Snabb räkning. Trettio enkla mentalräkningstekniker. L.: Lenizdat, 1941 - 12 sid.
1.8. Savin A.P. Matematiska miniatyrer. Underhållande matematik för barn. - M.: Barnlitteratur, 1998 - 175 sid.
1.9. Encyklopedi för barn. Matematik. – M.: Avanta +, 2003. – 688 sid.
1.10. Jag utforskar världen: Barnens uppslagsverk: Matematik / komp. Savin A.P., Stanzo V.V., Kotova A.Yu. - M.: AST Publishing House LLC, 2000. - 480 sid.
2. Andra informationskällor
Internetresurser:
2.1. Korneev A.A. Fenomenet rysk multiplikation. Berättelse. [Elektronisk resurs]

problem: förstå typerna av multiplikation

Mål:Introduktion till olika multiplikationsmetoder naturliga tal, som inte används i lektioner, och deras tillämpning vid beräkning av numeriska uttryck.
Uppgifter:
1. Hitta och analysera olika multiplikationsmetoder.
2. Lär dig att demonstrera några metoder för multiplikation.
3. Prata om nya sätt att multiplicera och lär eleverna hur man använder dem.
4. Utveckla färdigheter självständigt arbete: informationssökning, urval och design av hittat material.
5. Experimentera "vilken metod är snabbare"
Hypotes:Behöver jag känna till multiplikationstabellen?
Relevans:I Nyligen studenter litar mer på prylar än sig själva. Och det är därför de bara räknar med miniräknare. Vi ville visa att det finns olika sätt att multiplicera, så att det skulle vara lättare för eleverna att räkna och intressant att lära sig.
INTRODUKTION
Du kommer inte att kunna multiplicera flersiffriga tal – inte ens tvåsiffriga – om du inte memorerar alla resultat för ensiffrig multiplikation, det vill säga det som kallas multiplikationstabellen.
Vid olika tidpunkter olika folk kände till olika sätt att multiplicera naturliga tal.
Varför använder alla folk nu en metod för multiplikation "kolumn"?
Varför övergav människor gamla metoder för multiplikation till förmån för moderna?
Har bortglömda multiplikationsmetoder rätt att existera i vår tid?
För att svara på dessa frågor gjorde jag följande arbete:
1. Med hjälp av Internet hittade jag information om några multiplikationsmetoder som användes tidigare.;
2. Studerade den litteratur som läraren föreslagit;
3. Jag löste ett par exempel med alla de studerade metoderna för att ta reda på deras brister;
4) Identifierade de mest effektiva bland dem;
5. Genomförde ett experiment;
6. Dra slutsatser.
1. Hitta och analysera olika multiplikationsmetoder.
Multiplikation på fingrar.

Den gamla ryska metoden att multiplicera på fingrar är en av de mest använda metoderna, som framgångsrikt användes av ryska köpmän i många århundraden. De lärde sig att multiplicera ensiffriga tal från 6 till 9 på fingrarna. I det här fallet räckte det med grundläggande fingerräkningsfärdigheter i "enheter", "par", "treor", "fyror", "femmor" och. "tiotals". Fingrarna här fungerade som en extra datorenhet.

För att göra detta sträckte de å ena sidan ut så många fingrar som den första faktorn överstiger siffran 5, och på den andra gjorde de samma sak för den andra faktorn. De återstående fingrarna var böjda. Sedan togs antalet (totalt) förlängda fingrar och multiplicerades med 10, sedan multiplicerades siffrorna, vilket visar hur många fingrar som böjdes, och resultaten adderades.

Låt oss till exempel multiplicera 7 med 8. I exemplet kommer 2 och 3 fingrar att böjas. Om du lägger ihop antalet böjda fingrar (2+3=5) och multiplicerar antalet ej böjda (2 3=6), får du antalet tiotals respektive ettor av den önskade produkten 56. På så sätt kan du beräkna produkten av alla ensiffriga tal större än 5.

Sätt att multiplicera tal olika länderÅh

Multiplicera med 9.

Multiplikation för talet 9 - 9 1, 9 2 ... 9 10 - är lättare att glömma från minnet och svårare att räkna om manuellt med hjälp av additionsmetoden, men specifikt för talet 9 kan multiplikation enkelt reproduceras "på fingrarna ”. Sprid fingrarna på båda händerna och vänd händerna med handflatorna vända bort från dig. Tilldela dina fingrar mentalt nummer från 1 till 10, börja med din vänstra hands lillfinger och sluta med din högra hands lillfinger (detta visas i figuren).

Vem uppfann multiplikation på fingrar

Låt oss säga att vi vill multiplicera 9 med 6. Vi böjer fingret med ett tal lika med talet som vi ska multiplicera nio med. I vårt exempel behöver vi böja fingret med nummer 6. Antalet fingrar till vänster om det böjda fingret visar antalet tior i svaret, antalet fingrar till höger visar antalet ettor. Till vänster har vi 5 fingrar som inte är böjda, till höger - 4 fingrar. Således, 9·6=54. Bilden nedan visar i detalj hela principen för "beräkning".

Multiplicera på ett ovanligt sätt

Ett annat exempel: du måste räkna ut 9·8=?. Längs vägen, låt oss säga att fingrarna inte nödvändigtvis kan fungera som en "räknemaskin". Ta till exempel 10 celler i en anteckningsbok. Stryk över den 8:e rutan. Det finns 7 celler kvar till vänster, 2 celler till höger. Alltså 9·8=72. Allt är väldigt enkelt.

7 celler 2 celler.

Indiskt sätt att multiplicera.

Det mest värdefulla bidraget till skattkammaren för matematisk kunskap gjordes i Indien. Hinduerna föreslog metoden vi använder för att skriva siffror med tio tecken: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Grunden för denna metod är tanken att samma siffra representerar enheter, tiotals, hundratal eller tusentals, beroende på var siffran upptar. Det upptagna utrymmet, i avsaknad av några siffror, bestäms av de nollor som tilldelats siffrorna.

Indianerna var bra på att räkna. De kom på ett väldigt enkelt sätt att föröka sig. De utförde multiplikation med början från den mest signifikanta siffran och skrev ner ofullständiga produkter precis ovanför multiplikaden, bit för bit. I det här fallet var den viktigaste siffran omedelbart synlig färdigt arbete och dessutom uteslöts saknade siffror. Multiplikationstecknet var ännu inte känt, så de lämnade ett litet avstånd mellan faktorerna. Låt oss till exempel multiplicera dem med metoden 537 med 6:

(5 ∙ 6 =30) 30

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222

6
Multiplikation med metoden "SMALL CASTLE".

Multiplikation av tal studeras nu i första klass i skolan. Men på medeltiden var det väldigt få som behärskade konsten att multiplicera. Det var en sällsynt aristokrat som kunde skryta med att kunna multiplikationstabellerna, även om han tog examen från ett europeiskt universitet.

Under årtusenden av matematikens utveckling har många sätt att multiplicera tal uppfunnits. Den italienske matematikern Luca Pacioli ger i sin avhandling "Summa of Arithmetic, Ratios and Proportionality" (1494), åtta olika metoder för multiplikation. Den första av dem kallas "Little Castle", och den andra kallas inte mindre romantiskt "Avundsjuka eller gallermultiplikation".

Fördelen med multiplikationsmetoden "Little Castle" är att de inledande siffrorna bestäms redan från början, och detta kan vara viktigt om du snabbt behöver uppskatta ett värde.

Siffrorna i det övre talet, med början från den mest signifikanta siffran, multipliceras i tur och ordning med det lägre talet och skrivs i en kolumn med det antal nollor som krävs. Resultaten läggs sedan ihop.

Metoder för att multiplicera tal i olika länder

Multiplicera siffror med "avundsjuka"-metoden.

"Metod för multiplikation Den andra metoden har det romantiska namnet svartsjuka" eller "gittermultiplikation."

Först ritas en rektangel, uppdelad i kvadrater, och dimensionerna på rektangelns sidor motsvarar antalet decimaler för multiplikanten och multiplikatorn. Sedan delas de kvadratiska cellerna diagonalt, och "... resultatet är en bild som liknar gallerluckor", skriver Pacioli. "Sådana luckor hängdes på fönstren i venetianska hus, vilket hindrade förbipasserande gatan från att se damerna och nunnorna sitta vid fönstren."

Låt oss multiplicera 347 med 29 på det här sättet. Låt oss rita en tabell, skriv siffran 347 ovanför den och siffran 29 till höger.

I varje rad kommer vi att skriva produkten av talen ovanför denna cell och till höger om den, medan vi kommer att skriva tiotalssiffran för produkten ovanför snedstrecket, och enhetssiffran under den. Nu lägger vi till siffrorna i varje sned remsa, genom att utföra denna operation, från höger till vänster. Om beloppet är mindre än 10, skriver vi det under remsans nedre nummer. Om det visar sig vara större än 10, så skriver vi bara enhetssiffran för summan och lägger till tiotalssiffran till nästa summa. Som ett resultat får vi den önskade produkten 10063.

Bondens metod för multiplikation.

Det mest "inhemska" och enklaste sättet att multiplicera, enligt min mening, är den metod som används av ryska bönder. Denna teknik kräver inte alls kunskap om multiplikationstabellen utöver talet 2. Kärnan är att multiplikationen av två valfria tal reduceras till en serie av successiva divisioner av ett tal på mitten samtidigt som det andra talet fördubblas. Att dela på mitten fortsätter tills kvoten når 1, samtidigt som det andra talet fördubblas. Det sista dubblerade talet ger önskat resultat.

Om siffran är udda, ta bort en och dela resten på mitten; men till det sista numret i den högra kolumnen måste du lägga till alla de siffror i denna kolumn som står mittemot de udda talen i den vänstra kolumnen: summan blir den önskade produkten

Produkten av alla par av motsvarande tal är densamma, så

37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

Om ett av talen är udda eller båda talen är udda, gör så här:

384 ∙ 1 = 384

24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408
Ett nytt sätt att föröka sig.

Intressant nytt sätt multiplikation, som nyligen har rapporterats. Uppfinnaren av det nya mentala räkningssystemet, kandidaten för filosofi Vasily Okoneshnikov, hävdar att en person kan komma ihåg en enorm mängd information, det viktigaste är hur man ordnar denna information. Enligt forskaren själv är det mest fördelaktiga i detta avseende det niofaldiga systemet - all data placeras helt enkelt i nio celler, placerade som knappar på en miniräknare.

Det är väldigt enkelt att beräkna med en sådan tabell. Låt oss till exempel multiplicera talet 15647 med 5. I den del av tabellen som motsvarar fem väljer du siffrorna som motsvarar siffrorna i numret i ordning: ett, fem, sex, fyra och sju. Vi får: 05 25 30 20 35

Vi lämnar den vänstra siffran (noll i vårt exempel) oförändrad och lägger till följande siffror i par: fem med en tvåa, fem med en trea, noll med en tvåa, noll med en trea. Den sista siffran är också oförändrad.

Som ett resultat får vi: 078235. Talet 78235 är resultatet av multiplikation.

Om, när man lägger till två siffror, ett tal större än nio erhålls, läggs dess första siffra till den föregående siffran i resultatet, och den andra skrivs på sin "egen" plats.

Slutsats.

När jag arbetade med det här ämnet lärde jag mig att det finns ett 30-tal olika, roliga och intressanta sätt att föröka sig. Vissa används fortfarande i olika länder. Jag har valt några intressanta sätt för mig själv. Men inte alla metoder är bekväma att använda, särskilt när man multiplicerar flersiffriga tal.

Multiplikationsmetoder

MBOU "Skolskola" Volnoye" Kharabalinsky-distriktet, Astrakhan-regionen

Projekt om:

« Ovanliga sätt att föröka sigoch jag»

Arbetet slutfördes av:

5:e klass elever :

Tulesheva Amina,

Sultanov Samat,

Kuyanguzova Rasita.

R projektledare:

matematiklärare

Fateeva T.V.

Volnoe 201 6 år .

"Allt är nummer" Pythagoras

Introduktion

På 2000-talet är det omöjligt att föreställa sig livet för en person som inte utför beräkningar: dessa inkluderar säljare, revisorer och vanliga skolbarn.

Att läsa nästan vilket ämne som helst i skolan kräver goda kunskaper i matematik och utan det är det omöjligt att behärska dessa ämnen. Två element dominerar i matematiken - siffror och figurer med deras oändliga variation av egenskaper och handlingar med dem.

Vi ville veta mer om historien om matematiska operationer. Nu när datortekniken utvecklas snabbt vill många inte besvära sig med huvudräkning. Därför bestämde vi oss för att visa inte bara att processen att utföra åtgärder i sig kan vara intressant, utan också att du kan tävla med en dator efter att ha behärskat teknikerna för snabb räkning.

Relevansen av detta ämne ligger i det faktum att användningen av icke-standardiserade tekniker vid bildandet av beräkningsfärdigheter ökar elevernas intresse för matematik och främjar utvecklingen av matematiska förmågor.

Målet med arbetet:

OCHlära dig några icke-standardiserade multiplikationstekniker och visa att deras användning gör beräkningsprocessen rationell och intressantoch för beräkningen av vilken räcker det med mental beräkning eller användning av penna, penna och papper.

Hypotes:

EOm våra förfäder visste hur man förökar sig på gamla sätt, kan ett modernt skolbarn lära sig detta efter att ha studerat litteraturen om detta problem, eller behövs någon form av övernaturliga förmågor?

Uppgifter:

1. Hitta ovanliga sätt att multiplicera.

2. Lär dig att tillämpa dem.

3. Välj själv de mest intressanta eller enklare än de som erbjuds i skolan, och använd dem när du räknar.

4. Lär klasskamrater att använda nyaesättsmultiplikation.

Studieobjekt: matematisk operation multiplikation

Studieämne: multiplikationsmetoder

Forskningsmetoder:

Sökmetod med hjälp av vetenskaplig och utbildningslitteratur, Internet;

Forskningsmetod vid bestämning av multiplikationsmetoder;

Praktisk metod för att lösa exempel;

- - Undersöka respondenterna om deras kunskap om icke-standardiserade multiplikationsmetoder.

Historisk referens

Det finns människor med extraordinära förmågor som kan tävla med datorer i mentalberäkningarnas hastighet. De kallas "mirakelräknare". Och det finns många sådana människor.

Det sägs att Gauss far, när han betalade sina arbetare i slutet av veckan, lade till betalning till varje dags förtjänst för övertidstimmar. En dag, efter att fader Gauss hade avslutat sina beräkningar, utbrast ett 3-årigt barn som följde sin fars operationer: "Pappa, beräkningen stämmer inte! Det här borde vara beloppet!" Beräkningarna upprepades och vi blev förvånade över att se att pojken hade angett rätt mängd.

I Ryssland i början av 1900-talet lyste "beräkningarnas magiker" Roman Semenovich Levitan, känd under pseudonymen Arrago, med sina färdigheter. Pojkens unika förmågor började visa sig i tidig ålder. På några sekunder kvadrerade och kuberade han tiosiffriga tal och extraherade rötter varierande grad. Han verkade göra allt detta med enastående lätthet. Men denna lätthet var vilseledande och krävdes bra jobbat hjärna.

2007 förvånade Mark Cherry, då 2,5 år gammal, hela landet med sina intellektuella förmågor. Den unga deltagaren i "Minute of Fame" visar lätträknade flersiffriga siffror i huvudet, vilket överträffar sina föräldrar och juryn, som använde miniräknare, i beräkningarna. Redan vid två års ålder behärskade han tabellen med cosinus och sinus, samt några logaritmer.

Tävlingar mellan datorer och människor hölls vid Institute of Cybernetics vid den ukrainska vetenskapsakademin. Tävlingen deltog av en ung motfenomen Igor Shelushkov och ZVM "Mir". Maskinen utförde många komplexa operationer på några sekunder, men vinnaren var Igor Shelushkov.

University of Sydney i Indien var också värd för en man-maskin-tävling. Shakuntala Devi var också före datorn.

De flesta av dessa människor har utmärkt minne och talang. Men några av dem har inga speciella förmågor i matematik. De vet hemligheten! Och denna hemlighet är att de har behärskat teknikerna för snabb räkning och memorerat flera speciella formler. Det gör att vi också kan räkna snabbt och korrekt med dessa tekniker.

De beräkningsmetoder som vi använder nu var inte alltid så enkla och bekväma. Förr i tiden användes krångligare och långsammare tekniker. Och om en skolbarn från 2000-talet kunde resa tillbaka fem århundraden, skulle han förvåna våra förfäder med hastigheten och noggrannheten i sina beräkningar. Rykten om honom skulle ha spridit sig över de omgivande skolorna och klostren och överskuggat glansen av de skickligaste miniräknare från den tiden, och folk skulle komma från hela världen för att studera med den nye store mästaren.

Operationerna med multiplikation och division var särskilt svåra förr i tiden. Sedan fanns det ingen metod utvecklad av praktiken för varje åtgärd.

Tvärtom, nästan ett dussin var i bruk samtidigt på olika sätt multiplikation och division - tekniker är mer komplicerade än de andra, som en person med genomsnittliga förmågor inte kunde komma ihåg. Varje lärare i räkning höll fast vid sin favoritteknik, varje "divisionsmästare" (det fanns sådana specialister) berömde sitt eget sätt att utföra denna åtgärd.

I V. Bellustins bok "Hur människor gradvis nådde verklig aritmetik" beskrivs 27 multiplikationsmetoder, och författaren noterar: "det är mycket möjligt att det finns andra metoder gömda i bokförrådens fördjupningar, utspridda i många, huvudsakligen handskrivna samlingar.”

Och alla dessa metoder för multiplikation - "schack eller orgel", "vikning", "kors", "gitter", "bakåt till front", "diamant" och andra tävlade med varandra och lärdes med stor svårighet.

Låt oss titta på de mest intressanta och enkla sätten att multiplicera.

Gammal rysk metod för multiplikation på fingrar

Detta är en av de mest använda metoderna, som ryska köpmän framgångsrikt har använt i många århundraden.

Principen för denna metod: multiplicera ensiffriga tal från 6 till 9 på fingrarna. Fingrarna här fungerade som en extra datorenhet.

Multiplikation för talet 9 är mycket lätt att reproducera "på fingrarna"

Rastjärnorde därfingrar på båda händerna och vrid händerna med handflatorna vända bort från dig. Mentalt tilldela siffror från 1 till 10 till dina fingrar, börja med lillfingret på vänster hand och slutar med lillfingret på höger hand. Låt oss säga att vi vill multiplicera 9 med 6. Vi böjer fingret med ett tal lika med talet som vi ska multiplicera nio med. I vårt exempel behöver vi böja fingret med nummer 6. Antalet fingrar till vänster om det böjda fingret visar antalet tior i svaret, antalet fingrar till höger visar antalet ettor. Till vänster har vi 5 fingrar som inte är böjda, till höger - 4 fingrar. Således, 9·6=54.

Multiplicera med 9 med anteckningsbokens celler

Låt oss ta till exempel 10 celler i en anteckningsbok. Stryk över den 8:e rutan. Det finns 7 celler kvar till vänster, 2 celler till höger. Alltså 9·8=72. Allt är väldigt enkelt!

7 2

Multiplikationsmetod "Små slott"

Fördelen med multiplikationsmetoden "Little Castle" är att de inledande siffrorna bestäms redan från början, och detta kan vara viktigt om du snabbt behöver uppskatta ett värde.Siffrorna i det övre talet, med början från den mest signifikanta siffran, multipliceras i tur och ordning med det lägre talet och skrivs i en kolumn med det antal nollor som krävs. Resultaten läggs sedan ihop.

"Gitter multiplikation"

Först ritas en rektangel, uppdelad i kvadrater, och dimensionerna på rektangelns sidor motsvarar antalet decimaler för multiplikanten och multiplikatorn.

Sedan delas de kvadratiska cellerna diagonalt, och ”... du får en bild som ser ut som gallerluckor. Sådana fönsterluckor hängdes på fönstren i venetianska hus..."

"Ryskt bondesätt"

I Ryssland var en metod vanlig bland bönder som inte krävde kunskap om hela multiplikationstabellen. Allt du behöver är förmågan att multiplicera och dividera siffror med 2.

Låt oss skriva ett nummer till vänster och ett annat till höger på en rad. Vi delar det vänstra talet med 2 och multiplicerar det högra talet med 2 och skriver resultatet i en kolumn.

Om en rest uppstår under delning kasseras den. Multiplikation och division med 2 fortsätter tills det är 1 kvar till vänster.

Sedan kryssar vi ut de linjerna från kolumnen där det finns jämna siffror. Lägg nu ihop de återstående siffrorna i den högra kolumnen.

Denna multiplikationsmetod är mycket enklare än de tidigare diskuterade multiplikationsmetoderna. Men det är också väldigt skrymmande.

"Multiplicera med ett kors"

De gamla grekerna och hinduerna kallade i antiken tekniken för korsförökning "blixtmetoden" eller "korsförökning".

24 och 32

2 4

3 2

4x2=8 - sista siffran i resultatet;

2x2=4; 4x3=12; 4+12=16; 6 är den näst sista siffran i resultatet, kom ihåg enheten;

2x3=6 och även ett tal i åtanke, vi har 7 - detta är den första siffran i resultatet.

Vi får alla siffror på produkten: 7,6,8. Svar:768.

Indiskt sätt att multiplicera

546 7

5 7=35 35

350+ 4 7=378 378

3780 + 6 7=3822 3822

546 7= 3822

UVi startar multiplikationen från den högsta siffran och skriver ner de ofullständiga produkterna strax ovanför multiplikanten, bit för bit. I det här fallet är den viktigaste siffran i hela produkten omedelbart synlig och dessutom elimineras saknade siffror. Multiplikationstecknet var ännu inte känt, så ett litet avstånd lämnades mellan faktorerna

Kinesisk (ritning) metod för multiplikation

Exempel nr 1: 12 × 321 = 3852
Låt oss ritaförsta numret uppifrån och ned, från vänster till höger: en grön pinne (1 ); två orange pinnar (2 ). 12 ritade
Låt oss ritaandra numret från botten till toppen, från vänster till höger: tre små blå pinnar (3 ); två röda (2 ); en lila en (1 ). 321 ritade

Låt oss nu gå igenom ritningen med en enkel penna, dela upp skärningspunkterna för pinnnumren i delar och börja räkna poängen. Flytta från höger till vänster (medurs):2 , 5 , 8 , 3 . Resultatnummer vi kommer att "samla" från vänster till höger (moturs) vi fick3852

Exempel nr 2: 24 × 34 = 816
Det finns nyanser i det här exemplet;-) När man räknade poängen i första delen visade det sig16 . Vi skickar en och lägger till den till punkterna i den andra delen (20 + 1 )…

Exempel nr 3: 215 × 741 = 159315

Under arbetet med projektet genomförde vi en undersökning. Eleverna svarade på följande frågor.

1. Är det nödvändigt till den moderna människan verbalt räknande?

JaNej

2. Känner du till andra sätt att multiplicera förutom lång multiplikation?

JaNej

3. Använder du dem??

JaNej

4. Vill du veta andra sätt att föröka sig??

Inte riktigt

Vi undersökte elever i årskurs 5-10.

Denna undersökning visade att moderna skolbarn inte känner till andra sätt att utföra handlingar, eftersom de sällan vänder sig till material utanför skolans läroplan.

Slutsats:

Det finns mycket i matematikens historia intressanta händelser och upptäckter, tyvärr når inte all denna information oss, moderna studenter.

Med detta arbete ville vi fylla denna lucka åtminstone lite och förmedla information till våra kamrater om uråldriga metoder för multiplikation.

Under roboten lärde vi oss om ursprunget till multiplikationsåtgärden. Förr i tiden var det inte en lätt uppgift att bemästra denna handling, då som nu, fanns det ännu inte en teknik utvecklad genom övning. Tvärtom, det fanns nästan ett dussin olika multiplikationsmetoder som användes samtidigt - metoder som var mer intrikat än den andra, fast, som en person med genomsnittlig förmåga inte kunde komma ihåg. Varje lärare i räkning höll sig till sin favoritteknik, varje "mästare" (det fanns sådana specialister) berömde sitt eget sätt att utföra denna åtgärd. Det insågs till och med att för att behärska konsten att snabbt och exakt multiplicera flersiffriga tal behöver du en speciell naturlig talang, exceptionella förmågor; Denna visdom är otillgänglig för vanliga människor.

Med vårt arbete har vi bevisat att vår hypotes är korrekt man behöver inte ha övernaturliga förmågor för att kunna använda uråldriga metoder för multiplikation. Vi lärde oss också hur man väljer material, bearbetar det, det vill säga lyfter fram det viktigaste och systematiserar det.

Efter att ha lärt oss att räkna på alla de presenterade sätten kom vi till slutsatsen att de enklaste metoderna är de som vi studerar i skolan, eller kanske vi bara är vana vid dem.

Den moderna multiplikationsmetoden är enkel och tillgänglig för alla.

Men vi tror att vår metod att multiplicera med kolumn inte är perfekt och vi kan komma på ännu snabbare och mer pålitliga metoder.

Det är möjligt att många människor inte snabbt, på plats, kan utföra dessa eller andra beräkningar första gången.

Inga problem. Konstant beräkningsträning behövs. Det kommer att hjälpa dig att skaffa användbara mentala aritmetiska färdigheter!

Bibliografi

1. Glazer, G. I. Matematikens historia i skolan ⁄ G. I. Glazer ⁄ Historia om matematiken i skolan: en manual för lärare ⁄ redigerad av V. N. Molodshy. – M.: Utbildning, 1964. – S. 376.

Perelman Ya I. Underhållande aritmetik: Gåtor och under i siffrornas värld. – M.: Rusanova Publishing House, 1994. – S. 142.

Encyklopedi för barn. T. 11. Matematik / Kapitel. ed. M. D. Aksenova. – M.: Avata+, 2003. – S. 130.

Tidningen "Matematik" nr 15 2011

Internetresurser.

Kommunal utbildningsinstitution "Kurovskaya sekundär grundskola nr 6"

ABSTRAKT OM MATEMATIK OM ÄMNET:

« OVENLIGA SÄTT FÖR MULTIPLIKATION».

Slutförd av en elev i årskurs 6 "b"

Krestnikov Vasilij.

Handledare:

Smirnova Tatyana Vladimirovna.

Introduktion…………………………………………………………………………2

Huvudsak. Ovanliga sätt att multiplicera…………………………3

2.1. Lite historia…………………………………………………………………………..3

2.2. Multiplikation på fingrar………………………………………………………………4

2.3. Multiplikation med 9………………………………………………………………………………………………………5

2.4. Indiskt sätt att multiplicera………………………………………………….6

2.5. Multiplikation med metoden "Små slott"…………………………………………7

2.6. Multiplikation med ”Avundsjuka”-metoden………………………………………………………………8

2.7. Bondens multiplikationsmetod………………………………………………………..9

2.8 Nytt sätt………………………………………………………………………………………………………..10

Slutsats………………………………………………………………………………………………11

Referenser……………………………………………………………………….1 2

jag. Introduktion.

Det är omöjligt för en person att klara sig utan beräkningar i vardagen. Därför lär vi oss i matematiklektionerna först och främst att utföra operationer på siffror, det vill säga att räkna. Vi multiplicerar, dividerar, adderar och subtraherar på de vanliga sätt som man studerar i skolan.

En dag kom jag av misstag över en bok av S. N. Olekhnik, Yu V. Nesterenko och M. K. Potapov, "Gamla underhållande problem." När jag bläddrade igenom den här boken drogs min uppmärksamhet till en sida som heter "Multiplication on the fingers." Det visade sig att du kan multiplicera inte bara som föreslagits för oss i matematikläroböcker. Jag undrade om det fanns några andra beräkningsmetoder. När allt kommer omkring är förmågan att snabbt utföra beräkningar uppriktigt sagt överraskande.

Den ständiga användningen av modern datorteknik leder till att eleverna har svårt att göra några beräkningar utan att ha tabeller eller räknemaskin. Kunskap om förenklade beräkningstekniker gör det möjligt att inte bara snabbt utföra enkla beräkningar i sinnet, men också att kontrollera, utvärdera, hitta och korrigera fel som ett resultat av mekaniserade beräkningar. Dessutom utvecklar behärskning av beräkningsfärdigheter minnet, ökar nivån på matematisk tankekultur och hjälper till att fullt ut bemästra ämnena i den fysiska och matematiska cykeln.

Målet med arbetet:

Visa ovanligtmetoder för multiplikation.

Uppgifter:

Hitta så många som möjligtovanliga beräkningsmetoder.

Lär dig använda dem.

Välj själv de mest intressanta eller enklare än de somerbjudsi skolan och använd dem när du räknar.

II. Huvudsak. Ovanliga sätt att multiplicera.

2.1. Lite historia.

Operationerna med multiplikation och division var särskilt svåra förr i tiden. Sedan fanns det ingen metod utvecklad av praktiken för varje åtgärd. Tvärtom, det fanns nästan ett dussin olika metoder för multiplikation och division i användning samtidigt - tekniker som var mer komplicerade än de andra, som en person med genomsnittlig förmåga inte kunde komma ihåg. Varje lärare i räkning höll fast vid sin favoritteknik, varje "divisionsmästare" (det fanns sådana specialister) berömde sitt eget sätt att utföra denna åtgärd.

Och alla dessa metoder för multiplikation - "schack eller orgel", "vikning", "kors", "gitter", "bakåt till front", "diamant" och andra tävlade med varandra och lärdes med stor svårighet.

Låt oss titta på de mest intressanta och enkla sätten att multiplicera.

2.2. Multiplikation på fingrar.

2.3. Multiplicera med 9.

Multiplikation för talet 9– 9·1, 9·2 ... 9·10 – är lättare att glömma från minnet och svårare att räkna om manuellt med hjälp av additionsmetoden, men specifikt för talet 9 reproduceras multiplikation enkelt "på fingrarna". Sprid fingrarna på båda händerna och vänd händerna med handflatorna vända bort från dig. Tilldela dina fingrar mentalt nummer från 1 till 10, börja med din vänstra hands lillfinger och sluta med din högra hands lillfinger (detta visas i figuren).

Låt oss säga att vi vill multiplicera 9 med 6. Vi böjer fingret med ett tal lika med talet som vi ska multiplicera nio med. I vårt exempel behöver vi böja fingret med nummer 6. Antalet fingrar till vänster om det böjda fingret visar antalet tiotal i svaret, antalet fingrar till höger visar antalet enheter. Till vänster har vi 5 fingrar som inte är böjda, till höger har vi 4 fingrar. Således, 9·6=54. Bilden nedan visar i detalj hela principen för "beräkning".

7 celler 2 celler.

2.4. Indiskt sätt att multiplicera.

Det mest värdefulla bidraget till skattkammaren för matematisk kunskap gjordes i Indien. Hinduerna föreslog metoden vi använder för att skriva siffror med tio tecken: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Indianerna var bra på att räkna. De kom på ett väldigt enkelt sätt att föröka sig. De utförde multiplikation med början från den mest signifikanta siffran och skrev ner ofullständiga produkter precis ovanför multiplikaden, bit för bit. I det här fallet var den mest signifikanta siffran i hela produkten omedelbart synlig och dessutom eliminerades utelämnandet av någon siffra. Multiplikationstecknet var ännu inte känt, så de lämnade ett litet avstånd mellan faktorerna. Låt oss till exempel multiplicera dem med metoden 537 med 6:

(5 ∙ 6 =30) 30

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222

2.5 . Multiplikationssätt"LILLA SLOTTET".

Fördelen med multiplikationsmetoden "Little Castle" är att de inledande siffrorna bestäms redan från början, och detta kan vara viktigt om du snabbt behöver uppskatta ett värde.

2.6. Multiplicera siffroranvänder "avundsjuka"-metoden.

Den andra metoden har det romantiska namnet "avundsjuka" eller "gittermultiplikation".

Låt oss multiplicera 347 med 29 på det här sättet. Låt oss rita en tabell, skriv siffran 347 ovanför den och siffran 29 till höger.

2.7. TILLbondemetoden för multiplikation.

Produkten av alla par av motsvarande tal är densamma, så

37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

Om ett av talen är udda eller båda talen är udda, gör så här:

384 ∙ 1 = 384

24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408

2.8 . Ett nytt sätt att föröka sig.

Intressant en ny multiplikationsmetod som nyligen har rapporterats. Uppfinnaren av det nya mentala räkningssystemet, kandidaten för filosofi Vasily Okoneshnikov, hävdar att en person kan komma ihåg en enorm mängd information, det viktigaste är hur man ordnar denna information. Enligt forskaren själv är det mest fördelaktiga i detta avseende det niofaldiga systemet - all data placeras helt enkelt i nio celler, placerade som knappar på en miniräknare.

Som ett resultat får vi: 078235. Talet 78235 är resultatet av multiplikation.

Om, när man lägger till två siffror, ett tal större än nio erhålls, läggs dess första siffra till den föregående siffran i resultatet, och den andra skrivs på sin "egen" plats.

III. Slutsats.

Av alla ovanliga räknemetoder jag hittade verkade metoden "gittermultiplikation eller svartsjuka" mer intressant. Jag visade den för mina klasskamrater och de tyckte verkligen om den också.

Den enklaste metoden tycktes mig vara "fördubbling och splittring", som användes av ryska bönder. Jag använder det när jag multiplicerar inte för stora tal (det är väldigt bekvämt att använda det när jag multiplicerar tvåsiffriga tal).

Jag var intresserad av den nya multiplikationsmetoden, eftersom den låter mig "slänga runt" enorma tal i mitt sinne.

Jag tror att vår metod att multiplicera med kolumn inte är perfekt och vi kan komma på ännu snabbare och mer pålitliga metoder.

Litteratur.

Depman I. "Berättelser om matematik." – Leningrad: Education, 1954. – 140 sid.

Korneev A.A. Fenomenet rysk multiplikation. Berättelse. http://numbernautics.ru/

Olehnik S. N., Nesterenko Yu V., Potapov M. K. "Gamla underhållande problem." – M.: Vetenskap. Huvudredaktion för fysisk och matematisk litteratur, 1985. – 160 sid.

Perelman Ya.I. Snabb räkning. Trettio enkla mentalräkningstekniker. L., 1941 - 12 sid.

Perelman Ya.I. Intressant aritmetik. M. Rusanova, 1994–205 sid.

Encyclopedia ”Jag utforskar världen. Matematik". – M.: Astrel Ermak, 2004.

Encyklopedi för barn. "Matematik". – M.: Avanta +, 2003. – 688 sid.

Matematikens värld är väldigt stor, men jag har alltid varit intresserad av multiplikationsmetoder. När jag arbetade med det här ämnet lärde jag mig många intressanta saker och lärde mig att välja det material jag behövde från det jag läste. Jag lärde mig att lösa vissa underhållande problem, pussel och exempel på multiplikation på olika sätt, samt vad räknetrick och intensiva räknetekniker bygger på.

OM MULTIPLIKATION

Vad finns kvar i de flesta människors medvetande från det de en gång studerade i skolan? Självklart olika människor- olika, men alla har nog en multiplikationstabell. Förutom de ansträngningar som gjorts för att "borra ner" det, låt oss komma ihåg de hundratals (om inte tusentals) problem som vi löste med hjälp av den. För trehundra år sedan i England ansågs en person som kunde multiplikationstabellerna redan vara en lärd person.

Många metoder för multiplikation har uppfunnits. Den italienske matematikern från slutet av 1400-talet - början av 1500-talet, Luca Pacioli, ger i sin avhandling om aritmetik 8 olika metoder för multiplikation. I det första, som kallas det "lilla slottet", multipliceras siffrorna i det övre numret, som börjar med det högsta, i tur och ordning med det lägre talet och skrivs i en kolumn med det antal nollor som krävs. Resultaten läggs sedan ihop. Fördelen med den här metoden jämfört med den vanliga är att siffrorna för de mest signifikanta siffrorna bestäms redan från början, och detta kan vara viktigt för grova beräkningar.

Den andra metoden har det inte mindre romantiska namnet "avundsjuka" (eller gallermultiplikation). Ett gitter ritas in i vilket resultatet av mellanberäkningar sedan matas in, närmare bestämt tal från multiplikationstabellen. Rutnätet är en rektangel indelad i kvadratiska celler, som i sin tur är delade på mitten av diagonaler. Den första faktorn skrevs till vänster (uppifrån och ned) och den andra överst. I skärningspunkten mellan motsvarande rad och kolumn skrevs produkten av siffrorna i dem. Sedan lades de resulterande siffrorna till längs de ritade diagonalerna, och resultatet skrevs i slutet av en sådan kolumn. Resultatet lästes längst ner och höger sidor rektangel. "Ett sådant galler", skriver Luca Pacioli, "som påminner om gallerluckor som hängdes på venetianska fönster och hindrade förbipasserande från att se damerna och nunnorna sitta vid fönstren."

Alla multiplikationsmetoder som beskrivs i Luca Paciolis bok använde en multiplikationstabell. Men ryska bönder visste hur man förökade sig utan bord. Deras multiplikationsmetod använde bara multiplikation och division med 2. För att multiplicera två tal skrevs de sida vid sida, och sedan dividerades det vänstra talet med 2, och det högra multiplicerades med 2. Om divisionen resulterade i en rest, den kasserades. Sedan ströks de linjerna i den vänstra kolumnen som innehåller jämna nummer över. De återstående siffrorna i den högra kolumnen adderades. Resultatet var produkten av de ursprungliga siffrorna. Kontrollera på flera par av nummer att så verkligen är fallet. Beviset för giltigheten av denna metod visas av binärt system Beräkning.

En gammal rysk metod för multiplikation.

Från antiken och nästan fram till artonhundratalet gjorde det ryska folket sina beräkningar utan multiplikation och division: de använde bara två aritmetiska operationer - addition och subtraktion, och även den så kallade "dubbleringen" och "bifurkationen". Kärnan i den gamla ryska multiplikationsmetoden är att multiplikationen av två valfria tal reduceras till en serie av successiva divisioner av ett tal på mitten (sekventiell, bifurkation) samtidigt som det andra talet fördubblas. Om i en produkt, till exempel 24 X 5, reduceras multiplikanten med 2 gånger ("dubbel") och multiplikatorn ökas med 2 gånger

("dubbel"), då kommer produkten inte att ändras: 24 x 5 = 12 X 10 = 120. Exempel:

Att dela multiplikanten på mitten fortsätter tills kvoten visar sig vara 1, samtidigt som multiplikatorn fördubblas. Det sista dubblerade talet ger önskat resultat. Så 32 X 17 = 1 X 544 = 544.

I de gamla tiderna togs dubblering och bifurkation till och med som speciella aritmetiska operationer. Så speciella de är. handlingar? När allt kommer omkring är till exempel att dubbla ett nummer inte en speciell åtgärd, utan bara att lägga till ett givet tal till sig själv.

Observera att tal är delbara med 2 hela tiden utan en rest. Men vad händer om multiplikaden är delbar med 2 med en rest? Exempel:

Om multiplikanden inte är delbar med 2, subtraheras först en från den och divideras sedan med 2. Linjerna med jämna multiplikander är överstrukna och de högra delarna av linjerna med udda multiplikander läggs till.

21 X 17 = (20 + 1) X 17 = 20 X 17+17.

Låt oss komma ihåg siffran 17 (första raden är inte överstruken!), och byt ut produkten 20 X 17 med den lika produkten 10 X 34. Men produkten 10 X 34 kan i sin tur ersättas med den lika produkten 5 X 68; så den andra raden är överstruken:

5 X 68 = (4 + 1) X 68 = 4 X 68 + 68.

Låt oss komma ihåg siffran 68 (den tredje raden är inte överstruken!), och ersätt produkten 4 X 68 med den lika produkten 2 X 136. Men produkten 2 X 136 kan ersättas med den lika produkten 1 X 272; därför är den fjärde raden överstruken. Det betyder att för att beräkna produkten 21 X 17 måste du lägga till siffrorna 17, 68, 272 - linjernas högra sida med udda multiplikander. Produkter med jämna multiplikander kan alltid ersättas med att dubbla multiplikaden och dubbla faktorn med lika produkter; därför utesluts sådana linjer från beräkningen av slutprodukten.

Jag försökte föröka mig på gammaldags sätt. Jag tog siffrorna 39 och 247, och det här är vad jag fick:

Kolumnerna kommer att visa sig vara ännu längre än mina om vi tar multiplikaden mer än 39. Då bestämde jag mig, samma exempel på ett modernt sätt:

Det visar sig att vår skolmetod att multiplicera tal är mycket enklare och mer ekonomisk än den gamla ryska metoden!

Bara vi måste först och främst känna till multiplikationstabellen, men våra förfäder visste det inte. Dessutom måste vi väl känna till själva multiplikationsregeln, men de visste bara hur man dubblar och dubblar tal. Som du kan se kan du multiplicera mycket bättre och snabbare än den mest kända miniräknaren i forntida Ryssland. Förresten, för flera tusen år sedan utförde egyptierna multiplikation nästan exakt på samma sätt som det ryska folket gjorde förr i tiden.

Det är fantastiskt att människor från olika länder förökat sig på samma sätt.

För inte så länge sedan, för bara hundra år sedan, var det mycket svårt för elever att lära sig multiplikationstabellerna. För att övertyga eleverna om behovet av att kunna tabeller utantill har författare av matematiska böcker länge tillgripit. till poesi.

Här är några rader från en bok som vi inte känner till: "Men för multiplikation behöver du ha följande tabell, bara ha den stadigt i ditt minne, så att varje tal, efter att ha multiplicerats med det, utan någon fördröjning i talet, säger eller skriv, också 2 gånger 2 är 4, eller 2 gånger 3 är 6, och 3 gånger 3 är 9 och så vidare."

Om någon inte upprepar tabellen och är stolt över all vetenskap, är han inte fri från plåga,

Koliko kan inte veta utan att lära efter siffra att multiplicera tonfisk kommer att trycka ner honom

Det är sant, i denna passage och verser är inte allt klart: det är på något sätt inte skrivet helt på ryska, eftersom allt detta skrevs för mer än 250 år sedan, 1703, av Leonty Filippovich Magnitsky, en underbar rysk lärare, och sedan dess ryska. språket har förändrats märkbart.

L. F. Magnitsky skrev och publicerade den första tryckta aritmetiska läroboken i Ryssland; före honom fanns det bara handskrivna matematiska böcker. Den store ryska vetenskapsmannen M.V. Lomonosov, liksom många andra framstående ryska vetenskapsmän från 1700-talet, studerade från L. F. Magnitskys "Aritmetik".

Hur förökade de sig på den tiden, på Lomonosovs tid? Låt oss se ett exempel.

Som vi förstår skrevs multiplikationens verkan då ner nästan på samma sätt som i vår tid. Endast multiplikanten kallades "kvantitet", och produkten kallades "produkt" och dessutom skrevs inte multiplikationstecknet.

Hur förklarade de multiplikation då?

Det är känt att M.V. Lomonosov kände till hela Magnitskys "arithmetik". I enlighet med denna lärobok skulle lilla Misha Lomonosov förklara multiplikationen av 48 med 8 på följande sätt: "8 gånger 8 är 64, jag skriver 4 under raden, mot 8, och har 6 decimaler i mitt sinne. Och sedan är 8 gånger 4 32, och jag har 3 i tankarna, och till 2 lägger jag till 6 decimaler, och det blir 8. Och jag kommer att skriva denna 8 bredvid 4, i rad till min vänstra hand, och medan 3 är i mina tankar, kommer jag att skriva i rad nära 8, till vänster. Och från multiplikationen av 48 med 8 blir produkten 384.”

Ja, och vi förklarar det nästan på samma sätt, bara vi talar i modern, inte antika, och dessutom namnger vi kategorierna. Till exempel bör 3 skrivas på tredje plats eftersom det blir hundratals, och inte bara "i rad bredvid 8, till vänster hand."

Berättelsen "Masha är en magiker."

"Jag kan gissa inte bara födelsedagen, som Pavlik gjorde förra gången, utan också födelseåret," började Masha.

Multiplicera numret för den månad då du föddes med 100 och lägg sedan till din födelsedag. , multiplicera resultatet med 2. , lägg till 2 till det resulterande talet; multiplicera resultatet med 5, lägg till 1 till det resulterande talet, lägg till noll till resultatet. , lägg till ytterligare 1 till det resulterande talet och, slutligen, lägg till numret på dina år.

Klart, jag fick 20721. - Säger jag.

* Korrekt,” bekräftade jag.

Och jag fick 81321, säger Vitya, en elev i tredje klass.

"Du, Masha, måste ha tagit fel," tvivlade Petya. – Hur går det till: Vitya är från tredje klass, och föddes också 1949, liksom Sasha.

Nej, Masha gissade rätt”, bekräftar Vitya. Bara jag var sjuk länge i ett år och gick därför i andra klass två gånger.

* Och jag fick 111521, rapporterar Pavlik.

Hur är det möjligt, frågar Vasya, Pavlik är också 10 år, som Sasha, och han föddes 1948. Varför inte 1949?

Men eftersom det är september nu och Pavlik föddes i november, och han är fortfarande bara 10 år gammal, även om han föddes 1948, förklarade Masha.

Hon gissade födelsedatumen för tre eller fyra andra elever och förklarade sedan hur hon gjorde det. Det visar sig att hon subtraherar 111 från det sista talet, och sedan läggs resten till tre sidor från höger till vänster, två siffror vardera. De två mittersta siffrorna anger födelsedagen, de två första eller en anger månaden och de två sista siffrorna anger antalet år. Att veta hur gammal en person är är det inte svårt att bestämma födelseåret. Jag fick till exempel siffran 20721. Om du drar ifrån 111 får du 20610. Det betyder att jag nu är 10 år och jag är född den 6 februari. Eftersom det nu är september 1959 betyder det att jag är född 1949.

Varför måste du subtrahera 111 och inte något annat tal? - vi frågade. -Och varför fördelas födelsedag, månadsnummer och antal år exakt så här?

Men titta”, förklarade Masha. - Till exempel, Pavlik, som uppfyller mina krav, löste följande exempel:

1)11 X 100 = 1100; 2) 1100 + J4 = 1114; 3) 1114 X 2 =

2228; 4) 2228 + 2 = 2230; 57 2230 X 5 = 11150; 6) 11150 1 = 11151; 7) 11151 X 10 = 111510

8)111510 1 1-111511; 9)111511 + 10=111521.

Som du kan se multiplicerade han månadsnumret (11) med 100, sedan med 2, sedan med ytterligare 5 och slutligen med ytterligare 10 (han lade till en säck), och totalt med 100 X 2 X 5 X 10, det vill säga med 10 000. Detta betyder att 11 blev tiotusentals, det vill säga de utgör den tredje sidan, om du räknar två siffror från höger till vänster. Så här får de reda på numret på den månad då du föddes. Han multiplicerade sin födelsedag (14) med 2, sedan med 5 och slutligen med ytterligare 10, och totalt med 2 X 5 X 10, det vill säga med 100. Det betyder att födelsedagen måste sökas bland hundratals, i det andra ansiktet, men här finns hundratals främlingar. Titta: han lade till talet 2, som han multiplicerade med 5 och 10. Det betyder att han fick extra 2x5x10=100 - 1 hundra. Jag subtraherar denna 1 hundra från de 15 hundra i talet 111521, vilket resulterar i 14 hundra. Så här får jag reda på min födelsedag. Antalet år (10) multiplicerades inte med någonting. Det betyder att detta nummer måste sökas bland enheterna, i första ansiktet, men det finns främmande enheter här. Titta: han lade till talet 1, som han multiplicerade med 10, och lade sedan till ytterligare 1. Det betyder att han bara fick extra 1 x TO + 1 = 11 enheter. Jag subtraherar dessa 11 enheter från de 21 enheterna i talet 111521, det blir 10. Så här tar jag reda på antalet år, som du kan se, från talet 111521 subtraherade jag 100 + 11 = 111. . När jag subtraherade 111 från talet 111521, så visade det sig vara PNU. Betyder att,

Pavlik föddes den 14 november och är 10 år gammal. Nu är året 1959, men jag subtraherade 10 inte från 1959, utan från 1958, sedan Pavlik fyllde 10 förra året, i november.

Naturligtvis kommer du inte ihåg den här förklaringen direkt, men jag försökte förstå den med mitt eget exempel:

1) 2 X 100 = 200; 2) 200 + 6 = 206; 3) 206 X 2 = 412;

4) 412 + 2 = 414; 5) 414 X 5 = 2070; 6) 2070 + 1 = 2071; 7) 2071 X 10 = 20710; 8) 20710 + 1 = 20711; 9) 20711 + + 10 = 20721; 20721 - 111 = 2 "Obto; 1959 - 10 = 1949;

Pussel.

Första uppgiften: Vid middagstid lämnar en passagerarångare Stalingrad till Kuibyshev. En timme senare lämnar ett gods- och passagerarfartyg Kuibyshev till Stalingrad och rör sig långsammare än det första fartyget. När fartygen möts, vilket kommer att vara längre bort från Stalingrad?

Detta är inget vanligt räkneproblem, utan ett skämt! Ångfartygen kommer att ligga på samma avstånd från Stalingrad, såväl som från Kuibyshev.

Och här är den andra uppgiften: I söndags planterade vårt lag och truppen i femteklass träd längs Bolshaya Pionerskaya Street. Lagen fick plantera lika många träd på varje sida av gatan. Som ni minns kom vårt team till jobbet tidigt, och innan femteklassarna kom, lyckades vi plantera 8 träd, men som det visade sig, inte på vår sida av gatan: vi blev glada och började arbeta på fel sätt. plats. Sedan jobbade vi på vår sida av gatan. Femteklassarna avslutade sitt arbete tidigt. Men de förblev inte i skuld till oss: de kom över till vår sida och planterade först 8 träd ("de betalade av skulden") och sedan ytterligare 5 träd, och vi avslutade arbetet.

Frågan är, hur många fler träd har femteklassare planterat än vad vi har?

: Naturligtvis planterade femteklassarna bara 5 träd mer än oss: när de planterade 8 träd på vår sida, betalade de därigenom skulden; och när de planterade ytterligare 5 träd var det som om de hade gett oss 5 träd till låns. Så det visar sig att de planterat bara 5 fler träd än oss.

Nej, resonemanget är fel. Det är sant att femteklassarna gjorde oss en tjänst genom att plantera 5 träd åt oss. Men sedan, för att få det rätta svaret, måste vi resonera så här: vi underuppfyllde vår uppgift med 5 träd, medan femteklassarna överskred deras med 5 träd. Så det visar sig att skillnaden mellan antalet träd som planterats av femteklassare och antalet träd som planterats av oss inte är 5, utan 10 träd!

Och här är den sista pusseluppgiften, Spela boll, 16 elever placerades på sidorna av ett kvadratiskt område så att det var 4 personer på varje sida. Sedan gick 2 elever Resten flyttade så att det återigen var 4 personer på var sida om torget. Äntligen gick 2 elever till, men resten slog sig ner så att det fortfarande var 4 personer på var sida om torget. Hur kunde detta hända?

Två knep för snabb multiplikation

En dag erbjöd en lärare sina elever detta exempel: 84 X 84. En pojke svarade snabbt: 7056. "Vad räknade du?" – frågade läraren eleven. "Jag tog 50 X 144 och rullade 144," svarade han. Nåväl, låt oss förklara hur eleven tänkte.

84 x 84 = 7 X 12 X 7 X 12 = 7 X 7 X 12 X 12 = 49 X 144 = (50 - 1) X 144 = 50 X 144 - 144, och 144 femtio är 72 hundra, så 84 X 84 = 7200 - 144 =

Låt oss nu på samma sätt beräkna hur mycket 56 X 56 är.

56 X 56 = 7 X 8 X 7 X 8 = 49 X 64 = 50 X 64 - 64, det vill säga 64 femtio, eller 32 hundra (3200), utan 64, dvs. för att multiplicera ett tal med 49, behöver du detta tal multiplicera med 50 (femtio) och subtrahera detta tal från den resulterande produkten.

Här är exempel på en annan beräkningsmetod, 92 X 96, 94 X 98.

Svar: 8832 och 9212. Exempel, 93 X 95. Svar: 8835. Våra beräkningar gav samma antal.

Du kan räkna så snabbt bara när talen är nära 100. Vi hittar komplementen upp till 100 till dessa tal: för 93 blir det 7, och för 95 blir det 5, från det första givna talet subtraherar vi komplementet av den andra: 93 - 5 = 88 - detta kommer att vara i produkten hundratals, multiplicera tilläggen: 7 X 5 = 3 5 - detta är hur mycket kommer att vara i produkten av enheter. Det betyder 93 X 95 = 8835. Och varför just detta ska göras är inte svårt att förklara.

Till exempel är 93 100 utan 7:an och 95 är 100 utan 5:an. 95 X 93 = (100 - 5) x 93 = 93 X 100 - 93 x 5.

För att subtrahera 5 gånger 93 kan du subtrahera 5 gånger 100, men lägga till 5 gånger 7. Då visar det sig:

95 x 93 = 93 x 100 - 5 x 100 + 5 x 7 = 93 celler. - 5 hundra. + 5 X 7 = (93-5) celler. + 5 x 7 = 8800 + 35= = 8835.

97 X 94 = (97 - 6) X 100 + 3 X 6 = 9100 + 18 = 9118, 91 X 95 = (91 - 5) x 100 + 9 x 5 = 8600 + 45 = 8645.

Multiplikation c. domino

Med hjälp av dominobrickor är det lätt att avbilda vissa fall där flersiffriga tal multipliceras med ett ensiffrigt tal. Till exempel:

402 X 3 och 2663 X 4

Vinnaren blir den som inom en viss tid kommer att kunna använda det största antalet dominobrickor, vilket utgör exempel på att multiplicera tre- och fyrsiffriga tal med ett ensiffrigt tal.

Exempel på att multiplicera fyrsiffriga tal med ensiffriga tal.

2234 X 6; 2425 X 6; 2336 X 1; 526 X 6.

Som du kan se användes endast 20 dominobrickor. Exempel har sammanställts för att multiplicera inte bara fyrsiffriga tal med ett ensiffrigt tal, utan även tre-, femsiffriga och sexsiffriga tal med ett ensiffrigt tal. 25 tärningar användes och följande exempel sammanställdes:

Men alla 28 tärningarna kan fortfarande användas.

Berättelser om hur väl gamla Hottabych kunde aritmetik.

Berättelsen "Jag får en "5" i aritmetik."

Så snart jag gick till Misha nästa dag frågade han omedelbart: "Vad var nytt eller intressant i cirkelklassen?" Jag visade Misha och hans vänner hur smarta det ryska folket var förr i tiden. Sedan bad jag dem att mentalt räkna ut hur mycket 97 X 95, 42 X 42 och 98 X 93 skulle vara. De kunde naturligtvis inte göra detta utan en penna och papper och blev mycket förvånade när jag nästan omedelbart gav rätt svar på. dessa exempel. Till slut löste vi alla problemet som gavs för hemmet tillsammans. Det visar sig att det är väldigt viktigt hur prickarna är placerade på ett pappersark. Beroende på detta kan du rita en, fyra eller sex raka linjer genom fyra punkter, men inte fler.

Sedan bjöd jag in barnen att skapa exempel på multiplikation med domino, precis som de gjorde på muggen. Vi lyckades använda 20, 24 och till och med 27 tärningar, men av alla 28 lyckades vi aldrig skapa exempel, även om vi satt med den här uppgiften länge.

Misha kom ihåg att i dag visades filmen "Old Man Hottabych" på bio. Vi räknade snabbt klart och sprang på bio.

Vilken bild! Även om det är en saga är den fortfarande intressant: den berättar om oss pojkar, om skol liv, och även om den excentriske vismannen - Genie Hottabych. Och Hottabych gjorde ett stort misstag när han gav Volka lite geografitips! Tydligen, i svunna tider, kunde till och med de indiska vise - andarna - geografi väldigt, väldigt dåligt. Jag undrar hur gammal Hottabych skulle ha gett råd om Volka hade klarat räkneprovet? Hottabych kunde förmodligen inte ens aritmetiken ordentligt.

Indiskt sätt att multiplicera.

Låt oss säga att vi måste multiplicera 468 med 7. Vi skriver multiplikatorn till vänster och multiplikatorn till höger:

Indianerna hade inget multiplikationstecken.

Nu multiplicerar jag 4 med 7, vi får 28. Vi skriver detta tal ovanför siffran 4.

Nu multiplicerar vi 8 med 7, vi får 56. Vi adderar 5 till 28, vi får 33; Låt oss radera 28, skriva ner 33, skriva 6 ovanför siffran 8:

Det visade sig vara ganska intressant.

Nu multiplicerar vi 6 med 7, vi får 42, vi adderar 4 till 36, vi får 40; Vi raderar 36 och skriver ner 40; Låt oss skriva 2 ovanför talet 6. Så multiplicera 486 med 7, du får 3402:

Lösningen var korrekt, men inte särskilt snabbt och bekvämt. Det är precis så den tidens mest kända miniräknare multiplicerades.

Som ni ser kunde gamla Hottabych aritmetik ganska bra. Men han registrerade sina handlingar annorlunda än vi gör.

För länge sedan, för mer än ett tusen trehundra år sedan, var indianerna de bästa räknarna. Ännu hade de dock inte papper, och alla beräkningar gjordes på en liten svart tavla, skrev på den med en vass penna och använde mycket flytande vit färg, vilket lämnade märken som lätt raderades.

När vi skriver med krita på en svart tavla påminner det lite om det indiska sättet att skriva: vita märken dyker upp på en svart bakgrund, som är lätta att radera och korrigera.

Indianerna gjorde också beräkningar på en vit tablett beströdd med rött pulver, på vilken de skrev tecken med en liten pinne, så att vita tecken dök upp på ett rött fält. Ungefär samma bild får vi när vi skriver med krita på en röd eller brun tavla - linoleum.

Multiplikationstecknet fanns ännu inte vid den tiden, och endast ett visst gap fanns kvar mellan multiplikanten och multiplikatorn. Det indiska sättet skulle vara att multiplicera med att börja med enheter. Emellertid utförde indianerna själva multiplikation med början från den högsta siffran och skrev ner ofullständiga produkter precis ovanför multiplikaden, bit för bit. I det här fallet var den mest signifikanta siffran i hela produkten omedelbart synlig och dessutom eliminerades utelämnandet av någon siffra.

Ett exempel på multiplikation på indiskt vis.

Arabisk multiplikationsmetod.

Tja, hur, i själva datumet, kan du utföra multiplikation på indiskt sätt, om du skriver ner det på papper?

Denna multiplikationsmetod för att skriva på papper anpassades av araberna av den berömda forntida uzbekiska vetenskapsmannen Muhammad ibn Musa Alkhwariz-mi (Muhammed son till Musa från Khorezm, en stad som ligger på den moderna uzbekiska SSRs territorium) mer än tusen år. sedan utförde multiplikation på pergament så här:

Tydligen raderade han inte onödiga nummer (det är redan obekvämt att göra detta på papper), utan strök över dem; Han skrev ner de nya siffrorna ovanför de överstrukna, naturligtvis, bit för bit.

Ett exempel på multiplikation på samma sätt, att göra anteckningar i en anteckningsbok.

Det betyder 7264 X 8 = 58112. Men hur multiplicerar man med ett tvåsiffrigt tal, med ett flersiffrigt tal?

Metoden för multiplikation förblir densamma, men inspelningen blir mycket mer komplicerad. Till exempel måste du multiplicera 746 med 64. Först, multiplicera med 3 tiotal, visar det sig

Alltså 746 X 34 = 25364.

Som du kan se leder strykning av onödiga siffror och att ersätta dem med nya siffror när du multiplicerar även med ett tvåsiffrigt tal till en alltför krånglig inspelning. Vad händer om du multiplicerar med ett tre- eller fyrsiffrigt tal?!

Ja, den arabiska multiplikationsmetoden är inte särskilt bekväm.

Denna multiplikationsmetod höll i sig i Europa fram till 1700-talet, i hela tusen år. Det kallades korsmetoden, eller chiasmus, eftersom den grekiska bokstaven X (chi) placerades mellan siffrorna som multiplicerades, som gradvis ersattes av ett snett kors. Nu ser vi tydligt att vår moderna multiplikationsmetod är den enklaste och mest bekväma, förmodligen den bästa av alla möjliga multiplikationsmetoder.

Ja, vår skolmetod att multiplicera flersiffriga tal i sig är väldigt bra. Multiplikation kan dock skrivas på annat sätt. Det bästa sättet skulle kanske vara att göra det, till exempel så här:

Denna metod är riktigt bra: multiplikation börjar från den högsta siffran i multiplikatorn, den lägsta siffran av ofullständiga produkter skrivs under motsvarande siffra i multiplikatorn, vilket eliminerar risken för fel i fallet när en nolla förekommer i någon siffra i multiplikator. Ungefär så här skriver tjeckoslovakiska skolbarn multiplikationen av flersiffriga tal. Det är intressant. Och vi tänkte att aritmetiska operationer bara kan skrivas på det sätt som är brukligt i vårt land.

Några fler pussel.

Här är din första enkla uppgift: En turist kan gå 5 km på en timme. Hur många kilometer kommer han att gå på 100 timmar?

Svar: 500 kilometer.

Och detta är också stor fråga! Vi behöver veta mer exakt hur turisten gick under dessa 100 timmar: utan vila eller med pauser. Med andra ord, du behöver veta: 100 timmar är tiden en turist reser eller helt enkelt tiden han tillbringar på vägen. En person kan förmodligen inte vara i rörelse under 100 timmar i rad: det är mer än fyra dagar; och rörelsehastigheten skulle minska hela tiden. Det är en annan sak om turisten gick med pauser för lunch, sömn etc. Sedan kan han på 100 timmars rörelse klara hela 500 km; bara han ska vara på vägen inte i fyra dagar, utan i cirka tolv dagar (om han i genomsnitt tillryggalägger 40 km per dag). Om han var på vägen i 100 timmar kunde han bara tillryggalägga cirka 160-180 km.

Olika svar. Det betyder att något måste läggas till problemformuleringen, annars är det omöjligt att ge ett svar.

Låt oss nu lösa följande problem: 10 kycklingar äter 1 kg spannmål på 10 dagar. Hur många kilo spannmål kommer 100 kycklingar att äta på 100 dagar?

Lösning: 10 kycklingar äter 1 kg spannmål på 10 dagar, vilket betyder att 1 kyckling äter 10 gånger mindre på samma 10 dagar, det vill säga 1000 g: 10 = 100 g.

På en dag äter kycklingen ytterligare 10 gånger mindre, det vill säga 100 g: 10 = 10 g Nu vet vi att 1 kyckling äter 10 g spannmål på 1 dag. Det betyder att 100 kycklingar om dagen äter 100 gånger mer, alltså

10 g X 100 = 1000 g = 1 kg. Om 100 dagar kommer de att äta ytterligare 100 gånger mer, det vill säga 1 kg X 100 = 100 kg = 1 kg. Det betyder att 100 kycklingar äter en hel centner spannmål på 100 dagar.

Det finns en snabbare lösning: det finns 10 gånger fler kycklingar och de behöver matas 10 gånger längre, vilket innebär att den totala spannmålsbehovet är 100 gånger mer, det vill säga 100 kg. Det finns dock en försummelse i alla dessa argument. Låt oss fundera och hitta ett fel i resonemang.

: -Låt oss uppmärksamma det sista resonemanget: "100 kycklingar äter 1 kg spannmål på en dag, och om 100 dagar kommer de att äta 100 gånger mer. »

När allt kommer omkring, om 100 dagar (det är mer än tre månader!) kommer kycklingarna att växa upp märkbart och kommer inte längre att äta 10 gram spannmål per dag, utan 40-50 gram, eftersom en vanlig kyckling äter cirka 100 gram spannmål per dag . Det betyder att på 100 dagar kommer 100 kycklingar att äta inte 1 kvintal spannmål, utan mycket mer: två eller tre kvintals.

Och här är den sista pusseluppgiften för dig om att knyta en knut: "Det ligger en bit rep utsträckt i en rak linje på bordet. Du måste ta ena änden av den med ena handen, den andra änden med den andra handen och, utan att släppa ändarna av repet från dina händer, knyta en knut. "Det är ett välkänt faktum att vissa problem är lätta att analysera, från data till problemfråga, medan andra tvärtom går från problemfrågan till data.

Tja, så vi försökte analysera detta problem, från frågan till data. Låt det redan finnas en knut på repet, och dess ändar är i dina händer och släpps inte. Låt oss försöka återvända från det lösta problemet till dess data, till den ursprungliga positionen: repet ligger utsträckt på bordet och dess ändar släpps inte från händerna.

Det visar sig att om du rätar ut repet utan att släppa ändarna från dina händer, så håller vänster hand, som går under det utsträckta repet och ovanför höger hand, den högra änden av repet; och höger hand, som går ovanför repet och under vänster hand, håller den vänstra änden av repet

Jag tror att efter denna analys av problemet blev det klart för alla hur man knyter en knut på ett rep måste du göra allt i omvänd ordning.

Ytterligare två snabba multiplikationstekniker.

Jag ska visa dig hur du snabbt multiplicerar tal som 24 och 26, 63 och 67, 84 och 86, etc. s., det vill säga när det är lika många tiotal i faktorerna, och ettor tillsammans blir exakt 10. Ge exempel.

* 34 och 36, 53 och 57, 72 och 78,

* Du får 1224, 3021, 5616.

Till exempel måste du multiplicera 53 med 57. Jag multiplicerar 5 med 6 (1 mer än 5), det blir 30 - så många hundra i produkten; Jag multiplicerar 3 med 7, det visar sig 21 - det är hur många enheter det finns i produkten. Alltså 53 X 57 = 3021.

* Hur förklarar man detta?

(50 + 3) X 57 = 50 X 57 + 3 X 57 = 50 X (50 + 7) +3 X (50 + 7) = 50 X 50 + 7 X 50 + 3 x 50 + 3 X 7 = 2500 + + 50 X (7 + 3) + 3 X 7 = 2500 + 50 X 10 + 3 X 7 = =: 25 hundra. + 5 hundra. +3 X 7 = 30 celler. + 3 X 7 = 5 X 6 celler. + 21.

Låt oss se hur du snabbt kan multiplicera tvåsiffriga tal inom 20. Till exempel, för att multiplicera 14 med 17, måste du lägga till enheterna 4 och 7, du får 11 - det är hur många tior det kommer att finnas i produkten (det vill säga är 10 enheter). Sedan måste du multiplicera 4 med 7, du får 28 - det är hur många enheter det kommer att finnas i produkten. Dessutom måste exakt 100 läggas till de resulterande talen 110 och 28. Detta betyder att 14 X 17 = 100 + 110 + 28 = 238. Faktum är att:

14 X 17 = 14 X (10 + 7) = 14 X 10 + 14 X 7 = (10 + + 4) X 10 + (10 + 4) X 7 = 10 X 10 + 4 X 10 + 10 X 7 + 4 X 7 = 100 +(4 + 7) X 10 + 4 X 7 = 100+ 110 + + 28.

Efter det löste vi följande exempel: 13 x 16 = 100 + (3 + 6) X 10 + 3 x 6 = 100 + 90 + + 18 = 208; 14 X 18 = 100 + 120 + 32 = 252.

Multiplikation på kulram

Här är några tekniker som, med hjälp av dem, alla som vet hur man snabbt lägger till en kulram snabbt kommer att kunna utföra exempel på multiplikation som man stöter på i praktiken.

Multiplikation med 2 och 3 ersätts med dubbel- och trippeladdition.

När du multiplicerar med 4, multiplicera först med 2 och addera detta resultat till sig självt.

Att multiplicera ett tal med 5 görs på en kulram så här: flytta hela tråden etta högre, det vill säga multiplicera det med 10, och dividera sedan detta 10-faldiga tal på mitten (som att dividera med 2 med en kulram.

Istället för att multiplicera med 6, multiplicera med 5 och addera det som multipliceras.

Istället för att multiplicera med 7, multiplicera med 10 och subtrahera det multiplicerade tre gånger.

Multiplicering med 8 ersätts med multiplicering med 10 minus två multiplicerat.

De multiplicerar med 9 på samma sätt: de ersätter det genom att multiplicera med 10 minus en som multipliceras.

När du multiplicerar med 10 överför du, som vi redan har sagt, alla siffror en tråd högre.

Läsaren kommer förmodligen själv att ta reda på vad man ska göra när man multiplicerar med siffror som är större än 10, och vilken typ av substitutioner som är lämpligast här. Faktorn 11 måste naturligtvis ersättas med 10 + 1. Faktorn 12 måste ersättas med 10 + 2 eller praktiskt taget 2 + 10, det vill säga först lägger de åt sidan det dubbla talet och lägger sedan till det tiofaldiga. Multiplikatorn 13 ersätts med 10 + 3 osv.

Låt oss titta på några specialfall för de första hundra multiplikatorerna:

Det är förresten lätt att se att det med hjälp av kulram är väldigt bekvämt att multiplicera med siffror som 22, 33, 44, 55, etc.; När vi dividerar faktorer måste vi därför sträva efter att använda liknande tal med samma siffror.

Liknande tekniker används också när man multiplicerar med siffror större än 100. Om sådana konstgjorda tekniker är tråkiga, så kan vi naturligtvis alltid multiplicera med hjälp av kulram. allmän regel, multiplicera varje siffra i multiplikatorn och skriva ned delprodukterna - detta ger fortfarande en viss minskning av tiden.

"Rysk" metod för multiplikation

Du kan inte multiplicera flersiffriga tal, inte ens tvåsiffriga, om du inte memorerar alla resultat av att multiplicera ensiffriga tal, det vill säga det som kallas multiplikationstabellen. I den forntida "Aritmetiken" av Magnitsky, som vi redan har nämnt, förhärligas behovet av en solid kunskap om multiplikationstabellerna i följande verser (främmande för moderna öron):

Om inte någon upprepar tabeller och är stolt, kan han inte veta med siffror vad han ska multiplicera

Och enligt alla vetenskaper är jag inte fri från plåga, Koliko lär inte ut tonfisk och deprimerar mig

Och det kommer inte att vara fördelaktigt om han glömmer.

Författaren till dessa verser visste uppenbarligen inte eller förbise att det finns ett sätt att multiplicera tal utan att känna till multiplikationstabellen. Denna metod, liknande våra skolmetoder, användes i ryska bönders vardag och ärvdes av dem från antiken.

Dess kärna är att multiplikationen av två valfria tal reduceras till en serie av successiva divisioner av ett tal på mitten samtidigt som det andra talet fördubblas. Här är ett exempel:

Att dela på mitten fortsätter tills) tonhöjden i kvoten visar sig vara 1, samtidigt som det andra talet fördubblas. Det sista dubblerade talet ger önskat resultat. Det är inte svårt att förstå vad denna metod bygger på: produkten förändras inte om en faktor halveras och den andra fördubblas. Det är därför klart att som ett resultat av att upprepa denna operation många gånger erhålls den önskade produkten.

Men vad ska man göra om samtidigt... Är det möjligt att dela ett udda tal på mitten?

Folkmetoden övervinner lätt denna svårighet. Det är nödvändigt, säger regeln, i fallet med ett udda tal, kasta ett och dela resten på mitten; men sedan till den ena siffran i den högra kolumnen måste du lägga till alla de siffrorna i den här kolumnen som står mitt emot de udda talen i den vänstra kolumnen - summan blir vad du letar efter? Jag jobbar. I praktiken sker detta på ett sådant sätt att alla rader med jämna vänsternummer är överstrukna; Endast de som innehåller ett udda tal till vänster finns kvar.

Här är ett exempel (stjärnor anger att den här linjen ska vara överstruken):

Genom att lägga ihop de siffror som inte är överstrukna får vi ett helt korrekt resultat: 17 + 34 + 272 = 32 Vad bygger denna teknik på?

Teknikens riktighet kommer att bli tydlig om vi tar hänsyn till det

19X 17 = (18+ 1)X 17= 18X17+17, 9X34 = (8 + 1)X34=; 8X34 + 34 osv.

Det är tydligt att siffrorna 17, 34, etc., som förloras när man delar ett udda tal på hälften, måste adderas till resultatet av den senaste multiplikationen för att få produkten.

Exempel på accelererad multiplikation

Vi nämnde tidigare att det också finns bekväma sätt att utföra de individuella multiplikationsoperationer som var och en av ovanstående tekniker bryts ner i. Vissa av dem är mycket enkla och bekvämt tillämpbara de gör beräkningar så lätta att det inte skadar att komma ihåg dem alls för att använda dem i vanliga beräkningar.

Detta är till exempel tekniken för korsmultiplikation, vilket är väldigt bekvämt när man arbetar med tvåsiffriga tal. Metoden är inte ny; den går tillbaka till grekerna och hinduerna och kallades i gamla tider "blixtmetoden", eller "förökning med ett kors". Nu är det glömt, och det skadar inte att påminna om det1.

Anta att du vill multiplicera 24X32. Ordna siffrorna mentalt enligt följande schema, det ena under det andra:

Nu utför vi följande steg sekventiellt:

1)4X2 = 8 är den sista siffran i resultatet.

2)2X2 = 4; 4X3=12; 4+12=16; 6 - näst sista siffran i resultatet; 1 minns.

3)2X3 = 6, och även den enhet som vi har i åtanke

7 är den första siffran i resultatet.

Vi får alla siffror för produkten: 7, 6, 8 -- 768.

Efter en kort övning lär sig denna teknik mycket lätt.

En annan metod, som består i att använda så kallade "tillägg", används lämpligen i de fall där talen som multipliceras är nära 100.

Låt oss säga att du vill multiplicera 92X96. "tillägget" för 92 till 100 kommer att vara 8, för 96 - 4. Åtgärden utförs enligt följande schema: multiplikatorer: 92 och 96 "tillägg": 8 och 4.

De två första siffrorna i resultatet erhålls genom att helt enkelt subtrahera "komplementet" av multiplikatorn från multiplikatorn eller vice versa, dvs 4 subtraheras från 92 eller 8 subtraheras från 96.

I båda fallen har vi 88; produkten av "tillägg" läggs till detta nummer: 8X4 = 32. Vi får resultatet 8832.

Att det erhållna resultatet måste vara korrekt framgår tydligt av följande transformationer:

92x9b = 88X96 = 88(100-4) = 88 X 100-88X4

1 4X96= 4 (88 + 8)= 4X 8 + 88X4 92x96 8832+0

Ett annat exempel. Du måste multiplicera 78 med 77: faktorer: 78 och 77 "tillägg": 22 och 23.

78 - 23 = 55, 22 X 23 = 506, 5500 + 506 = 6006.

Tredje exemplet. Multiplicera 99 X 9.

multiplikatorer: 99 och 98 "extras": 1 och 2.

99-2 = 97, 1X2= 2.

I det här fallet måste vi komma ihåg att 97 här betyder antalet hundra. Så vi lägger ihop det.