Якщо m = 1, n = 1 тоді отримаємо характеристику
яка називається відцентровим моментом інерції.
Відцентровий момент інерціїщодо осей координат – сума творів елементарних площ dAна їх відстані до цих осей, взята по всій площі перерізу А.
Якщо хоча б одна з осей yабо zє віссю симетрії перерізу, відцентровий момент інерції такого перерізу щодо цих осей дорівнює нулю (оскільки в цьому випадку кожній позитивній величині z·y·dAможемо поставити у відповідність таку саму, але негативну, з іншого боку від осі симетрії перерізу, див. рисунок).
Розглянемо додаткові геометричні характеристики, які можуть бути отримані з перерахованих основних і часто використовуються в розрахунках на міцність і жорсткість.
Полярний момент інерції
Полярним моментом інерції J pназивають характеристику
З іншого боку,
Полярний момент інерції(щодо цієї точки) – сума творів елементарних площ dAна квадрати їх відстаней 
до цієї точки, взята по всій площі перерізу А.
Розмірність моментів інерції – м4 у СІ.
Момент опору
Момент опорущодо деякої осі - величина рівна моменту інерції щодо тієї ж осі віднесеної до відстані ( y maxабо z max) до найбільш віддаленої від цієї осі точки
Розмірність моментів опору – м3 у СІ.
Радіус інерції
Радіусом інерціїперерізу щодо деякої осі, називається величина, що визначається із співвідношення:
Радіуси інерції виражаються в м у системі СІ.
Примітка:перерізи елементів сучасних конструкцій часто є деякою композицією з матеріалів з різним опором пружним деформаціям, що характеризуються, як відомо з курсу фізики, модулем Юнга E. У загальному випадку неоднорідного перерізу модуль Юнг є безперервною функцією координат точок перерізу, тобто. E = E(z, y). Тому жорсткість неоднорідного за пружними властивостями перерізу характеризується більш складними, ніж геометричні характеристики однорідного перерізу, характеристиками, а саме пружно-геометричними видами.
2.2. Обчислення геометричних характеристик простих фігур
Прямокутний перетин
Визначимо осьовий момент інерції прямокутника щодо осі z. Розіб'ємо площу прямокутника на елементарні майданчики з розмірами b(ширина) та dy(Висота). Тоді площа такого елементарного прямокутника (заштрихована) дорівнює dA = b · dy. Підставляючи значення dAу першу формулу, отримаємо
За аналогією запишемо осьовий момент щодо осі у:
Осьові моменти опору прямокутника:
; 
Подібним чином можна отримати геометричні характеристики для інших простих фігур.
Круглий переріз
Спочатку зручно знайти полярний момент інерції J p.
Потім, враховуючи, що для кола J z = J y, а J p = J z + J y, знайдемо J z =J y = J p / 2.
Розіб'ємо коло на нескінченно малі кільця завтовшки dρта радіусом ρ ; площа такого кільця dA = 2 ∙ π ∙ ρ ∙ dρ. Підставляючи вираз для dAу вираз для J pта інтегруючи, отримаємо
2.3. Обчислення моментів інерції щодо паралельних осей
zі y:
Потрібно визначити моменти інерції цього перерізу щодо «нових» осей z 1і y 1, паралельних центральним та віддаленим від них на відстань aі bвідповідно:
Координати будь-якої точки у «новій» системі координат z 1 0 1 y 1можна виразити через координати у «старих» осях zі yтак:
Оскільки осі zі y- центральні, то статичний момент S z = 0.
Остаточно можемо записати формули «переходу» при паралельному перенесенні осей:
Зазначимо, що координати aі bнеобхідно підставляти з урахуванням їхнього знака (у системі координат z 1 0 1 y 1).
2.4. Обчислення моментів інерції при повороті координатних осей
Нехай відомі моменти інерції довільного перерізу щодо центральних осей z, y:
; 
;
Повернемо осі z, yна кут α проти годинникової стрілки, вважаючи кут повороту осей у цьому напрямку позитивним.
Потрібно визначити моменти інерції щодо «нових» (повернутих) осей z 1і y 1:
Координати елементарного майданчика dAу «новій» системі координат z 1 0y 1можна виразити через координати в «старих» осях так:
Підставляємо ці значення формули для моментів інерції в «нових» осях і інтегруємо почленно:
Проробивши аналогічні перетворення з іншими виразами, остаточно запишемо формули «переходу» при повороті координатних осей:
Зазначимо, що якщо скласти два перші рівняння, то отримаємо
тобто полярний момент інерції є величина інваріантна(Іншими словами, постійна при повороті координатних осей).
2.5. Головні осі та головні моменти інерції
До цього часу розглядалися геометричні характеристики перерізів у довільній системі координат, проте найбільший практичний інтерес представляє система координат, у якій перетин описується найменшою кількістю геометричних характеристик. Така «особлива» система координат задається положенням основних осей перерізу. Введемо поняття: головні осіі головні моменти інерції.
Головні осі– дві взаємно перпендикулярні осі, щодо яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, при цьому осьові моменти інерції набувають екстремальних значень (максимум і мінімум).
Головні осі, що проходять через центр тяжкості перерізу, називаються головними центральними осями.
Моменти інерції щодо головних осей називаються Основними моментами інерції.
Головні центральні осі прийнято позначати літерами uі v; основні моменти інерції - J uі J v(за визначенням J uv = 0).
Виведемо висловлювання, що дозволяють знаходити становище основних осей і величину основних моментів інерції. Знаючи, що J uv= 0, скористаємось рівнянням (2.3):
Кут α 0 визначає положення головних осей щодо будь-яких центральних осей zі y. Кут α 0 відкладається між віссю zі віссю uі вважається позитивним у напрямку проти годинникової стрілки.
Зауважимо, що якщо перетин має вісь симетрії, то, відповідно до властивості відцентрового моменту інерції (див. разд.2.1, п.4), така вісь завжди буде головною віссюперерізу.
Виключаючи кут α у виразах (2.1) та (2.2) за допомогою (2.4), отримаємо формули для визначення головних осьових моментів інерції:
Запишемо правило: вісь максимум завжди становить менший кут з тієї осі (z або y), щодо якої момент інерції має більше значення.
2.6. Раціональні форми поперечних перерізів
Нормальні напруги в довільній точці поперечного перерізу балки при прямому вигинівизначаються за формулою:
, (2.5)
де М- згинальний момент у аналізованому поперечному перерізі; у- Відстань від розглянутої точки до головної центральної осі, перпендикулярної площині дії згинального моменту; J x- Головний центральний момент інерції перерізу.
Найбільші розтягуючі та стискаючі нормальні напруженняу цьому поперечному перерізі виникають у точках, найбільш віддалених від нейтральної осі. Їх визначають за формулами:
; 
,
де у 1і у 2- Відстань від головної центральної осі Хдо найбільш віддалених розтягнутого та стисненого волокон.
Для балок із пластичних матеріалів, коли [σ p ] = [σ c ] ([σ p ], [σ c ] – напруга для матеріалу балки, що допускається, відповідно на розтяг і стиснення), застосовують перерізи, симетричні щодо центральної осі. У цьому випадку умова міцності має вигляд:
≤
[σ], (2.6)
де W x = J x / y max– момент опору площі поперечного перерізу балки щодо головної центральної осі; y max = h/2(h- Висота перерізу); М max- Найбільший за абсолютним значенням згинальний момент; [σ] – напруга матеріалу, що допускається на вигин.
Крім умови міцності балка має задовольняти й умову економічності. Найбільш економічними є такі форми поперечних перерізів, для яких із найменшою витратою матеріалу (або при найменшій площі поперечного перерізу) виходить найбільша величина моменту опору. Щоб форма перерізу була раціональною, необхідно, наскільки можна, розподіляти перетин подалі від головної центральної осі.
Наприклад, двотаврова стандартна балка приблизно в сім разів міцніша і в тридцять разів жорсткіша, ніж балка квадратного поперечного перерізу тієї ж площі зробленого з того ж матеріалу.
Необхідно мати на увазі, що при зміні положення перерізу по відношенню до діючого навантаження міцність балки суттєво змінюється, хоча площа перерізу залишається незмінною. Отже, перетин треба розташовувати так, щоб силова лінія збігалася з тією з головних осей, щодо яких момент інерції мінімальний. Слід прагнути, щоб вигин бруса проходив у площині його найбільшої жорсткості.
добуток інерції, одна з величин, що характеризують розподіл мас у тілі ( механічної системи). Ц. м. в. обчислюються як суми творів мас m доточок тіла (системи) на дві з координат x k , у до, z kцих точок:
Значення Ц. м. в. залежить від напрямів координатних осей. При цьому для кожної точки тіла існують принаймні три такі взаємно перпендикулярні осі, які називають головними осями інерції, для яких Ц. м. і. рівні нулю.
Поняття Ц. м. в. грає важливу рольпри вивченні обертального рухутел. Від значень Ц. м. в. залежать величини сил тиску на підшипники, в які закріплена вісь тіла, що обертається. Ці тиски будуть найменшими (рівними статичним), якщо вісь обертання є головною віссю інерції, що проходить через центр мас тіла.
- - ...
Фізична енциклопедія
- - ...
Фізична енциклопедія
- - Див. Еферентний...
Велика психологічна енциклопедія
- - геометрична характеристика поперечного перерізу відкритого тонкостінного стрижня, що дорівнює сумі творів елементарних майданчиків перерізів на квадрати секторіальних площ - секторен інерційний момент -...
Будівельний словник
- - геометрична характеристика поперечного перерізу стрижня, що дорівнює сумі творів елементарних майданчиків перерізу на квадрати їх відстаней до осі, що розглядається, - інерційний момент - moment setrvačnosti - Trägheitsmoment -...
Будівельний словник
- - величина, що характеризує розподіл мас у тілі і є поряд з масою мірою інертності тіла при не надходять. рух. Розрізняють осьові та відцентрові М. і. Осьовий М. в. дорівнює сумітворів...
- - Головні, три взаємно перпендикулярні осі, які можна провести через будь-яку точку тв. тіла, що відрізняються тим, що якщо тіло, закріплене в цій точці, привести в обертання навколо однієї з них, то за відсутності...
Природознавство. Енциклопедичний словник
- - вісь у площині поперечного перерізу твердого тіла, щодо якої визначається момент інерції перерізу - інерційна ос - osa setrvačnosti - Trägheitsachse - inerciatengely - інерційний тенхлег - oś bezwładności - axă de inerţie - osa inercije - eje...
Будівельний словник
- - момент часу, коли продукція, відвантажена покупцю, вважається реалізованою.
Енциклопедичний словник економіки та права
- - поняття це введено в науку Ейлером, хоча вже Гюйгенс раніше користувався виразом того ж таки роду, не даючи йому особливої назви: один із шляхів, що приводить до його визначення, наступний...
Енциклопедичний словник Брокгауза та Євфрона
- - Величина, що характеризує розподіл мас у тілі і є поряд з масою мірою інертності тіла при непоступальному русі. У механіці розрізняють М. і. осьові та відцентрові...
- - головні, три взаємно перпендикулярні осі, проведені через якусь точку тіла, що володіють тією властивістю, що якщо їх прийняти за координатні осі, то відцентрові моменти інерції тіла щодо...
Велика Радянська енциклопедія
- - добуток інерції, одна з величин, що характеризують розподіл мас у тілі.
Велика Радянська енциклопедія
- - величина, що характеризує розподіл мас у тілі і є поряд з масою мірою інертності тіла при не надходять. рух. Розрізняють осьові та відцентрові моменти інерції.
- - головні - три взаємно перпендикулярні осі, які можна провести через будь-яку точку твердого тіла, що відрізняються тим, що якщо тіло, закріплене в цій точці, привести в обертання навколо однієї з них, то при...
Великий енциклопедичний словник
- - ...
Форми слова
"Центробіжний момент інерції" у книгах
Всупереч інерції
З книги Сфінкси XX ст. автора Петров Рем ВікторовичВсупереч інерції
З книги Сфінкси XX ст. автора Петров Рем ВікторовичВсупереч інерції «В останні два десятиліття імунологічна природа відторгнення тканинних трансплантатів стала загальновизнаною і всі аспекти відторгнення перебувають під жорстким експериментальним контролем». Леслі Брент Відбитки пальців Отже, на запитання «Що
За інерцією
Скільки коштує людина. Повість про пережите у 12 зошитах та 6 томах. автораЗа інерцією
Скільки коштує людина. Зошит десятий: Під «крильцем» шахти автора Керсновська Єфросинія АнтонівнаЩоб оцінити пейзаж, треба подивитися на картину з деякої відстані. Щоб правильно оцінити ту чи іншу подію, також потрібна відома дистанція. Діяв закон інерції. Поки дух змін дійшов до Норильська, ще довгий часздавалося, що все ковзає по
24. Сила Інерції
З книги Ефірна механіка автора Данина Тетяна24. Сила Інерції Ефір, що випускається задньою півкулею частинки, що інерційно рухається, це і є Сила Інерції. Ця Сила Інерції – це відштовхування Ефіру, що заповнює частинку, Ефіром, що випускається нею самої. Величина Інерційної Сили пропорційна швидкості випромінювання
3.3.1. Занурювальний відцентровий насос
З книги Сам собі сантехнік. Сантехнічні дачні комунікації автора Кашкаров Андрій Петрович3.3.1. Занурювальний відцентровий насос У цьому розділі розглянемо варіант із занурювальним відцентровим насосом НПЦ-750. Водою з ключа я користуюся з квітня по жовтень. Закачую її занурювальним відцентровим насосом НВЦ-750/5нк (перша цифра вказує на споживану потужність у ВАТ,
Якщо через точку Про провести координатні осі , то стосовно цих осей відцентровими моментами інерції (або творами інерції) називають величини, що визначаються рівностями:
де – маси точок; - їх координати; при цьому очевидно, що і т.д.
Для суцільних тіл формули (10) за аналогією з (5) набувають вигляду
На відміну від осьових відцентрові моменти інерції можуть бути як позитивними, так і негативними величинами і, зокрема, певним чином обраних осях можуть звертатися в нулі.
Основні осі інерції. Розглянемо однорідне тіло, Що має вісь симетрії. Проведемо координатні осі Охуz так, щоб вісь була спрямована вздовж осі симетрії (рис. 279). Тоді з симетрії кожній точці тіла з масою тк і координатами відповідатиме точка з іншим індексом, але з такою самою масою і з координатами, рівними . В результаті отримаємо, що в цих сумах всі складові попарно однакові за модулем і протилежні за знаком; звідси, враховуючи рівність (10), знаходимо:
Таким чином, симетрія в розподілі мас щодо осі z характеризується зверненням в нуль двох відцентрових моментів інерції. Вісь Oz, для якої відцентрові моменти інерції, що містять у своїх індексах найменування цієї осі, дорівнюють нулю, називається головною віссю інерції тіла для точки О.
З викладеного випливає, що якщо тіло має вісь симетрії, ця вісь є головною віссю інерції тіла для будь-якої своєї точки.
Головна вісь інерції не обов'язково є віссю симетрії. Розглянемо однорідне тіло, що має площину симетрії (на рис. 279 площиною симетрії тіла є площина). Проведемо в цій площині якісь осі та перпендикулярну їм вісь. Тоді в силу симетрії кожній точці з масою та координатами буде відповідати точка з такою самою масою та координатами, рівними . В результаті, як і в попередньому випадку, знайдемо, що або звідки випливає, що вісь є головною віссю інерції для точки О. Таким чином, якщо тіло має площину симетрії, то будь-яка вісь, перпендикулярна до цієї площини, буде головною віссю інерції тіла для точки О, у якій вісь перетинає площину.
Рівності (11) виражають умови того, що вісь є головною віссю інерції тіла для точки (початку координат).
Аналогіно, якщо вісь Оу буде для точки Про головною віссю інерції. Отже, якщо всі відцентрові моменти інерції дорівнюють нулю, тобто.
то кожна з координатних осей є головною віссю інерції тіла для точки (початку координат).
Наприклад, на рис. 279 всі три осі для точки Про головними осями інерції (вісь як вісь симетрії, а осі Ох і Оу як перпендикулярні площинам симетрії).
Моменти інерції тіла щодо основних осей інерції називаються головними моментами інерції тіла.
Головні осі інерції, побудовані центру мас тіла, називають головними центральними осями інерції тіла. З доведеного вище випливає, що коли тіло має вісь симетрії, то ця вісь є однією з головних центральних осей інерції тіла, оскільки центр мас лежить на цій осі. Якщо тіло має площину симетрії, то вісь, перпендикулярна цій площині і проходить через центр мас тіла, буде також однією з головних центральних осей інерції тіла.
У наведених прикладах розглядалися симетричні тіла, чого для вирішення завдань, з якими ми стикатимемося, достатньо. Однак можна довести, що через будь-яку точку будь-якого тіла можна провести, принаймні, три такі взаємно перпендикулярні осі, для яких будуть виконуватись рівність (11), тобто які будуть головними осями інерції тіла для цієї точки.
Поняття головних осях інерції грає значної ролі у поступовій динаміці твердого тіла. Якщо по ним спрямувати координатні осі Охуz, то всі відцентрові моменти інерції перетворюються на нулі та відповідні рівняння чи формули суттєво спрощуються (див. § 105, 132). З цим поняттям пов'язане також розв'язання задач про динамічне рівняння тіл, що обертаються (див. § 136), про центр удару (див. § 157) та ін.
Осьовий момент інерції дорівнює сумі творів елементарних майданчиків квадрат відстані до відповідної осі.
(8)
Знак завжди "+".
Не буває рівним 0.
Властивість:Приймає мінімальне значення, коли точка перетину координатних осей збігається із центром тяжкості перерізу.
Осьовий момент інерції перерізу застосовують при розрахунках на міцність, жорсткість та стійкість.
1.3. Полярний момент інерції перерізу Jρ
(9)
Взаємозв'язок полярного та осьового моментів інерції:
(10)
(11)
Полярний момент інерції перерізу дорівнює сумі осьових моментів.
Властивість:
при повороті осей у будь-який бік, один з осьових моментів інерції зростає, а інший зменшується (і навпаки). Сума осьових моментів інерції залишається постійною величиною.
1.4. Відцентровий момент інерції перерізу Jxy
Відцентровий момент інерції перерізу дорівнює сумі творів елементарних майданчиків на відстані до обох осей
(12)
Одиниця виміру [см 4], [мм 4].
Знак "+" або "-".
, якщо координатні осі є осями симетрії (приклад – двотавр, прямокутник, коло), чи одна з координатних осей збігається з віссю симетрії (приклад – швелер).
Таким чином, для симетричних фігур відцентровий момент інерції дорівнює 0.
Координатні осі u і v , що проходять через центр тяжкості перерізу, щодо яких відцентровий момент дорівнює нулю, називаються головними центральними осями інерції перерізу.Головними вони називаються тому, що відцентровий момент щодо них дорівнює нулю, а центральними тому, що проходять через центр тяжкості перерізу.
У перерізів, які не мають симетрії щодо осей x
або y
, Наприклад, у куточка, 
не дорівнюватиме нулю. Для цих перерізів визначають положення осей u
і v
за допомогою обчислення кута повороту осей x
і y
(13)
Відцентровий момент щодо осей u
і v
-
Формула для визначення осьових моментів інерції щодо головних центральних осей u і v :
(14)
де 
- осьові моменти інерції щодо центральних осей,
- Відцентровий момент інерції щодо центральних осей.
1.5. Момент інерції щодо осі, паралельної центральній (теорема Штейнера)
Теорема Штейнера:
Момент інерції щодо осі, паралельної центральної, дорівнює центральному осьовому моменту інерції плюс добуток площі всієї фігури на квадрат відстані між осями.
(15)
Доказ теореми Штейнера.
Відповідно до рис. 5 відстань у до елементарного майданчика dF
Підставляючи значення уу формулу, отримаємо:
доданок 
, оскільки точка є центром тяжкості перерізу (див. властивість статичних моментів площі перерізу щодо центральних осей).
Для прямокутника заввишкиh та шириноюb :
Осьовий момент інерції:
Момент опору вигину:
момент опору вигину дорівнює відношенню моменту інерції до відстані найбільш віддаленого волокна від нейтральної лінії:
т.к. 
, то 
Для кола:
Полярний момент інерції: 
Осьовий момент інерції: 
Момент опору кручення: 
Т.к. 
, то 
Момент опору вигину: 
Приклад 2. Визначити момент інерції прямокутного перерізу щодо центральної осі З x .
Рішення. Розіб'ємо площу прямокутника на елементарні прямокутники з розмірами b (ширина) та dy (Висота). Тоді площа такого прямокутника (на рис. 6 заштрихована) дорівнює dF=bdy. Обчислимо значення осьового моменту інерції J x
За аналогією запишемо
- осьовий момент інерції перерізу щодо центральної
Відцентровий момент інерції
, так як осі З
x
і З y
є осями симетрії.
Приклад 3. Визначити момент інерції круглого перерізу.
Рішення. Розіб'ємо коло на нескінченно тонкі кільця завтовшки
радіусом 
, площа такого кільця 
. Підставляючи значення 
у вираз для полярного моменту інерції інтегруючи, отримаємо
Враховуючи рівність осьових моментів круглого перерізу 
і
, отримуємо
Осьові моменти інерції для кільця рівні
з- Відношення діаметра вирізу до зовнішнього діаметра валу.
Лекція №2 «Головні осі таголовні моментиінерції
Розглянемо, як змінюються моменти інерції під час повороту координатних осей. Припустимо, дані моменти інерції деякого перерізу щодо осей 0 х, 0у(не обов'язково центральних) -
,
- осьові моменти інерції перерізу. Потрібно визначити 
,
- осьові моменти щодо осей u,v, повернутих щодо першої системи на кут 
(Рис. 8)
Оскільки проекція ламаної лінії ОАВС дорівнює проекції, що замикає, знаходимо:
(15)
Виключимо uіv у виразах моментів інерції:
(18)
Розглянемо два перші рівняння. Складаючи їх почленно, отримаємо
Таким чином, сума осьових моментів інерції щодо двох взаємно перпендикулярних осей не залежить від кута. 
і при повороті осей залишається незмінною. Зауважимо при цьому, що
Де 
- Відстань від початку координат до елементарного майданчика (див. рис.5). Таким чином
Де 
- Вже знайомий нам полярний момент інерції:
Визначимо осьовий момент інерції кола щодо діаметра.
Бо через симетрію 
але, як відомо, 
Отже, для кола
Зі зміною кута повороту осей 
значення моментів
і 
змінюються, але сума залишається незмінною. Отже існує таке значення 
, при якому один з моментів інерції досягає свого максимального значення, тоді як інший момент набуває мінімального значення. Диференціюючи вираз 
по кутку 
і прирівнюючи похідну до нуля, знаходимо
(19)
При цьому значенні кута 
один із осьових моментів буде найбільшим, а інший – найменшим. Одночасно відцентровий момент інерції
звертається в нуль, що можна легко перевірити, прирівнюючи до нуля формулу для відцентрового моменту інерції
.
Осі, щодо яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, а осьові моменти набувають екстремальних значень, називаються головнимиосями.Якщо вони є центральними (точка початку координат збігається з центром тяжкості перерізу), тоді вони називаються головними центральними осями (u;
v).
Осьові моменти інерції щодо головних осей називаються головними моментами інерції -
і
І їх значення визначається за такою формулою:
(20)
Знак плюс відповідає максимальному моменту інерції, знак мінус – мінімальному.
Існує ще одна геометрична характеристика – радіус інерції перерізу. Ця величина часто використовується в теоретичних висновках та практичних розрахунках.
Радіусом інерції перерізу щодо деякої осі, наприклад 0
x
,
називається величина
,
визначається з рівності
(21)
F - Площа поперечного перерізу,
- осьовий момент інерції перерізу,
З визначення випливає, що радіус інерції дорівнює відстані від осі 0 хдо тієї точки, в якій слід зосередити (умовно) площу перерізу F, щоб момент інерції однієї цієї точки дорівнював моменту інерції всього перерізу. Знаючи момент інерції перерізу та його площу, можна знайти радіус інерції щодо осі 0 х:
(22)
Радіуси інерції, що відповідають головним осям, називаються головними радіусами інерціїта визначаються за формулами
(23)
Лекція 3. Кручення стрижнів круглого поперечного перерізу.
ВИЗНАЧЕННЯ
Осьовим (або екваторіальним) моментом інерціїперерізу щодо осі називається величина, яку визначають як:
Вираз (1) позначає для обчислення осьового моменту інерції береться по всій площі S сума творів нескінченно малих майданчиків () помножених на квадрати відстаней від них до осі обертання:
Сума осьових моментів інерції перерізу щодо взаємно перпендикулярних осей (наприклад, щодо осей X і Y декартовій системікоординат) дають полярний момент інерції () щодо точки перетину цих осей:
ВИЗНАЧЕННЯ
Полярним моментомінерції називають момент інерції перетином по відношенню до деякої точки.
Осьові моменти інерції завжди більше нуля, тому що в їх визначеннях (1) під знаком інтеграла стоять величина площі елементарного майданчика (), завжди позитивна і відстань від цієї площадки до осі.
Якщо ми маємо справу з перетином складної форми, то часто при розрахунках використовують те, що осьовий момент інерції складного перерізу по відношенню до осі дорівнює сумі осьових моментів інерції частин цього перерізу щодо тієї ж осі. Однак слід пам'ятати, що не можна підсумовувати моменти інерції, які знайдені щодо різних осей та точок.
Осьовий момент інерції щодо осі проходить через центр тяжкості перерізу найменше значенняз усіх моментів щодо паралельних із нею осей. Момент інерції щодо будь-якої осі () за умови її паралельності з віссю, що проходить через центр тяжіння дорівнює:
де - момент інерції перерізу щодо осі, що проходить через центр тяжкості перерізу; - Площа перерізу; - Відстань між осями.
Приклади розв'язання задач
ПРИКЛАД 1
| Завдання | Чому дорівнює осьовий момент інерції рівнобедреного трикутного перерізу щодо осі Z, що проходить через центр тяжіння () трикутника, паралельно до його основи? Висота трикутника дорівнює. |
| Рішення | Виділимо на трикутному перерізі прямокутний елементарний майданчик (див. рис.1). Вона знаходиться на відстані від осі обертання, довжина однієї її сторони, інша сторона. З рис.1 випливає, що:
Площа виділеного прямокутника з урахуванням (1.1) дорівнює: Для знаходження осьового моменту інерції використовуємо його визначення як: |
| Відповідь |
ПРИКЛАД 2
| Завдання | Знайдіть осьові моменти інерції щодо перпендикулярних осей X та Y (рис.2) перерізу у вигляді кола діаметр якого дорівнює d. |
| Рішення | Для вирішення завдання зручніше розпочати з знаходження полярного моменту щодо центру перерізу (). Весь перетин розіб'ємо на нескінченно тонкі кільця завтовшки, радіус яких позначимо. Тоді елементарну площу знайдемо як: |
