Паралелограм- Це чотирикутник, у якого сторони попарно паралельні.
У цій фігурі протилежні сторони та кути рівні між собою. Діагоналі паралелограма перетинаються в одній точці та діляться їй навпіл. Формули площі паралелограма дозволяють знайти значення через сторони, висоту та діагоналі. Паралелограм також може бути представлений у окремих випадках. Ними вважаються прямокутник, квадрат та ромб.
Для початку розглянемо приклад розрахунку площі паралелограма за висотою та стороною, до якої вона опущена.
Цей випадок вважається класичним і вимагає додаткового розгляду. Краще розглянемо формулу обчислення площі через дві сторони та кут між ними. Той самий спосіб застосовується у розрахунку . Якщо дано сторони та кут між ними, то площа розраховується так: 
Припустимо, дано паралелограм зі сторонами a = 4 см, b = 6 см. Кут між ними α = 30 °. Знайдемо площу: 
Площа паралелограма через діагоналі
Формула площі паралелограма через діагоналі дозволяє швидко знайти значення.
Для обчислень знадобиться величина кута, розташованого між діагоналями.
Розглянемо приклад розрахунку площі паралелограма через діагоналі. Нехай дано паралелограм із діагоналями D = 7 см, d = 5 см. Кут, що лежить між ними α =30°. Підставимо дані у формулу: 
Приклад розрахунку площі паралелограма через діагональ дав чудовий результат – 8,75.
Знаючи формулу площі паралелограма через діагональ можна вирішувати безліч цікавих завдань. Давайте розглянемо одну з них.
Завдання:Дано паралелограм із площею 92 кв. див. Точка F розташована на середині його боку ПС. Давайте знайдемо площу трапеції ADFB, яка лежатиме в нашому паралелограмі. Спочатку намалюємо все, що отримали за умовами.
Приступаємо до вирішення: 
За нашими умовами ah = 92, а відповідно, площа нашої трапеції дорівнюватиме 
Перш ніж дізнатися, як знайти площу паралелограма, нам необхідно згадати, що таке паралелограм і що називається його висотою. Паралелограм – чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні (лежать на паралельних прямих). Перпендикуляр, проведений з довільної точки протилежної сторони до прямої, що містить цю сторону, називається висотою паралелограма.
Квадрат, прямокутник і ромб – це окремі випадки паралелограма.
Площа паралелограма позначається як (S).
Формули знаходження площі паралелограма
S = a * h , де а - це основа, h - це висота, яка проведена до основи.
S=a*b*sinα , де a та b – це основи, а α - кут між основами а та b.
S = p * r, де р - це напівпериметр, r - це радіус кола, яке вписано в паралелограм.
Площа паралелограма, який утворений векторами a та b дорівнює модулю добутку заданих векторів, а саме:
Розглянемо приклад №1: Даний паралелограм, сторона якого дорівнює 7 см, а висота 3 см. Як знайти площу паралелограма, формула для вирішення нам необхідна.
Таким чином, S = 7x3. S=21. Відповідь: 21 см 2 .
Розглянемо приклад №2: Дано основи 6 і 7 см, а також дано кут між основами 60 градусів. Як знайти площу паралелограма? Формула, яка використовується для вирішення:
Отже, спочатку знайдемо синус кута. Синус 60 = 0,5, відповідно S = 6 * 7 * 0,5 = 21 Відповідь: 21 см 2 .
Сподіваюся, що ці приклади Вам допоможуть під час вирішення завдань. І пам'ятайте, головне – це знання формул та уважність
Паралелограм - геометрична фігура, що часто зустрічається в задачах курсу геометрії (розділ планіметрії). Ключовими ознаками даного чотирикутника є рівність кутів протилежних і наявність двох пар паралельних протилежних сторін. Окремі випадки паралелограма – ромб, прямокутник, квадрат.
Розрахунок площі даного виду багатокутника може бути здійснений декількома способами. Розглянемо кожен із них.
Знайти площу паралелограма, якщо відомі сторона та висота
Для обчислення площі паралелограма можна скористатися значеннями сторони, а також довжини висоти, опущеної на неї. При цьому отримані дані будуть достовірними як для випадку відомої сторони – підстави фігури, так і якщо у вашому розпорядженні бічна сторона фігури. У такому разі шукана величина буде отримана за формулою:
S = a * h (a) = b * h (b),
- S – площа, яку слід визначити,
- a, b – відома (або отримана шляхом обчислень) сторона,
- h – висота, опущена неї.
Приклад: значення основи паралелограма – 7 см, довжина перпендикуляра, опущеного на нього з протилежної вершини – 3 см.
Рішення: S = a * h (a) = 7 * 3 = 21.
Знайти площу паралелограма, якщо відомі 2 сторони та кут між ними
Розглянемо випадок, коли ви знаєте величини двох сторін фігури, а також градусний захід кута, який вони між собою утворюють. Наданими даними також можна скористатися для знаходження площі паралелограма. У цьому випадку вираз-формула матиме такий вигляд:
S = a * c * sinα = a * c * sinβ,
- a – бічна сторона,
- с – відома (або отримана шляхом обчислень) підстава,
- α, β – кути між сторонами a та c.
Приклад: основа паралелограма – 10 см, його бічна сторона на 4 см менша. Тупий кут фігури становить 135 °.
Рішення: визначаємо значення другої сторони: 10 - 4 = 6 см.
S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135 ° = 60 * sin (90 ° + 45 °) = 60 * cos45 ° = 60 * √2 /2 = 30√2.
Знайти площу паралелограма, якщо відомі діагоналі та кут між ними
Наявність відомих значень діагоналей даного багатокутника, а також кута, який вони утворюють в результаті перетину, дозволяє визначити величину площі фігури.
S = (d1 * d2) / 2 * sinγ,
S = (d1 * d2) / 2 * sinφ,
S – площа, яку слід визначити,
d1, d2 – відомі (або отримані шляхом обчислень) діагоналі,
γ, φ – кути між діагоналями d1 та d2.
Висновок формули площі паралелограма зводиться до побудови прямокутника, що дорівнює даному паралелограму за площею. Приймемо одну сторону паралелограма за основу, а перпендикуляр, проведений з будь-якої точки протилежної сторони на пряму, що містить основу називатимемо висотою паралелограма. Тоді площа паралелограма дорівнюватиме добутку його підстави на висоту.
Теорема.Площа паралелограма дорівнює добутку його основи на висоту.
Доказ. Розглянемо паралелограм із площею. Приймемо сторону за основу і проведемо висоти (рисунок 2.3.1). Потрібно довести, що.
Малюнок 2.3.1
Доведемо спочатку, що площа прямокутника також дорівнює. Трапеція складена з паралелограма і трикутника. З іншого боку, вона складена із прямокутника НВСК та трикутника. Але прямокутні трикутники рівні з гіпотенузи і гострому кутку(їх гіпотенузиі рівні як протилежні сторони паралелограма, а кути 1 і 2 рівні як відповідні кути при перетині паралельних прямих сікучих), тому їх площі рівні. Отже, площі паралелограма і прямокутника також рівні, тобто площа прямокутника дорівнює. По теоремі про площу прямокутника, але оскільки, то.
Теорему доведено.
Приклад 2.3.1.
У ромб зі стороною та гострим кутом вписано коло. Визначити площу чотирикутника, вершинами якого є точки торкання кола зі сторонами ромба.
Рішення:
Радіус вписаної в ромб кола (рисунок 2.3.2), оскільки чотирикутник є прямокутником, оскільки його кути спираються на діаметр кола. Його площа, де(катет, що лежить проти кута). 
Малюнок 2.3.2
Отже, 
Відповідь:
Приклад 2.3.2.
Даний ромб, діагоналі якого дорівнюють 3 см і 4 см. З вершини тупого кута проведені висоти.
Рішення:
Площа ромба (рисунок 2.3.3).
Отже, 
Відповідь:
Приклад 2.3.3.
Площа чотирикутника дорівнює Знайти площу паралелограма, сторони якого рівні і паралельні діагоналям чотирикутника.
Рішення:
Так як і (рисунок 2.3.4), то паралелограм і, значить,.
Малюнок 2.3.4
Аналогічно отримуємо, звідки слідує, що.
Відповідь:.
2.4 Площа трикутника
Існує кілька формул обчислення площі трикутника. Розглянемо ті, що вивчаються у школі.
Перша формула випливає з формули площі паралелограма і пропонується учням як теореми.
Теорема.Площа трикутника дорівнює половині твору його основи на висоту.
Доказ.Нехай – площа трикутника. Приймемо сторону за основу трикутника і проведемо висоту. Доведемо, що:
Малюнок 2.4.1
Добудуємо трикутник до паралелограматак, як показано на малюнку. Трикутникиі рівні по трьох сторонах (- їх загальна сторона,як протилежні сторони паралелограма), тому їх площі рівні. Отже, площа S трикутника АВСдорівнює половині площі паралелограма, тобто. 
Теорему доведено.
Важливо звернути увагу учнів на два слідства, які з цієї теореми. А саме:
площа прямокутного трикутникадорівнює половині твору його катетів.
якщо висоти двох трикутників рівні, їх площі відносяться як основи.
Ці два слідства грають важливу рольу вирішенні різноманітних завдань. З опорою на цю доводиться ще одна теорема, що має широке застосування під час вирішення завдань.
Теорема. Якщо кут одного трикутника дорівнює куту іншого трикутника, їх площі відносяться як твори сторін, що укладають рівні кути.
Доказ. Нехай і – площі трикутники, у яких кути рівні.
Малюнок 2.4.2
Доведемо, що: 
.
Накладемо трикутник. на трикутник так, щоб вершина поєдналася з вершиною, а сторони наклалися відповідно на промені.
Малюнок 2.4.3
Трикутники мають загальну висоту, тому,. Трикутники також мають загальну висоту –, тому,. Перемножуючи отримані рівності, отримаємо 
.
Теорему доведено.
Друга формула.Площа трикутника дорівнює половині добутку двох сторін на синус кута між ними.Існує кілька способів доказу цієї формули, і я скористаюся одним із них.
Доказ.З геометрії відома теорема про те, що площа трикутника дорівнює половині добутку основи на висоту, опущену на цю основу:
У разі гострокутного трикутника. У разі тупого кута. Ho, а тому 
. Отже, в обох випадках. Підставивши замість в геометричній формуліплощі трикутника, отримаємо тригонометричну формулу площі трикутника:
Теорему доведено.
Третя формуладля площі трикутника - формула Герона, названа так на честь давньогрецького вченого Герона Олександрійського, який жив у першому столітті нашої ери. Ця формула дозволяє знаходити площу трикутника, знаючи його сторони. Вона зручна тим, що дозволяє не робити жодних додаткових побудов та не вимірювати кутів. Її висновок ґрунтується на другій із розглянутих нами формул площі трикутника та теоремі косінусів: і .
Перш ніж перейти до реалізації цього плану, зауважимо, що
Так само маємо:
Тепер висловимо косинус через і:
Оскільки будь-який кут у трикутнику більше і менше, то. Значить, 
.
Тепер окремо перетворимо кожен із співмножників у підкореному вираженні. Маємо:
Підставляючи цей вираз у формулу для площі, отримуємо:
Тема «Площа трикутника» має велике значення в шкільному курсіматематики. Трикутник - найпростіша з геометричних фігур. Він є структурним елементом шкільної геометрії. Переважна більшість геометричних завдань зводяться до розв'язання трикутників. Не виняток і завдання про знаходження площі правильного та довільного n-кутника.
Приклад 2.4.1.
Чому дорівнює площа рівнобедреного трикутника, якщо його основа, а бічна сторона?
Рішення:
-рівностегновий,
Малюнок 2.4.4
Проведемо за якістю рівнобедреного трикутника – медіана та висота. Тоді 
У теоремі Піфагора:
Знаходимо площу трикутника:
Відповідь:
Приклад 2.4.2.
У прямокутному трикутнику бісектриса гострого кута ділить протилежний катет на відрізки завдовжки 4 і 5 см. Визначити площу трикутника.
Рішення:
Нехай (рисунок 2.4.5). Тодіі (оскільки BD - бісектриса). Звідси маємо 
тобто. Значить,
Малюнок 2.4.5
Відповідь: 
Приклад 2.4.3.
Знайти площу рівнобедреного трикутника, якщо його основа дорівнює , а довжина висоти, проведеної до основи, дорівнює довжині відрізка, що з'єднує середини основи та збоку.
Рішення:
За умовою – середня лінія (рисунок 2.4.6). Бо Віємо:
або 
, звідкиОтже, 
Площа геометричної фігури - чисельна характеристика геометричної фігури, що показує розмір цієї фігури (частини поверхні, обмеженої замкнутим контуром цієї фігури). Розмір площі виражається числом які у неї квадратних одиниць.
Формули площі трикутника
- Формула площі трикутника по стороні та висоті
Площа трикутникадорівнює половині добутку довжини сторони трикутника на довжину проведеної до цієї сторони висоти - Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу описаного кола
- Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола
Площа трикутникадорівнює добутку напівпериметра трикутника на радіус вписаного кола. де S - площа трикутника,
- Довжини сторін трикутника,
- Висота трикутника,
- кут між сторонами та,
- радіус вписаного кола,
R - радіус описаного кола,
Формули площі квадрата
- Формула площі квадрата по довжині сторони
Площа квадратадорівнює квадрату довжини його сторони. - Формула площі квадрата за довжиною діагоналі
Площа квадратадорівнює половині квадрата довжини його діагоналі.S = 1 2 2 де S - Площа квадрата,
- Довжина сторони квадрата,
- Довжина діагоналі квадрата.
Формула площі прямокутника
- Площа прямокутникадорівнює добутку довжин двох його суміжних сторін
де S - Площа прямокутника,
- Довжини сторін прямокутника.
Формули площі паралелограма
- Формула площі паралелограма по довжині сторони та висоті
Площа паралелограма - Формула площі паралелограма по обидва боки та кут між ними
Площа паралелограмадорівнює добутку довжин його сторін, помноженому на синус кута між ними.a · b · sin α
де S - Площа паралелограма,
- Довжини сторін паралелограма,
- Довжина висоти паралелограма,
- Кут між сторонами паралелограма.
Формули площі ромба
- Формула площі ромба по довжині сторони та висоті
Площа ромбудорівнює добутку довжини його сторони та довжини опущеної на цей бік висоти. - Формула площі ромба по довжині сторони та куту
Площа ромбудорівнює добутку квадрата довжини його сторони та синуса кута між сторонами ромба. - Формула площі ромба за довжинами його діагоналей
Площа ромбудорівнює половині добутку довжин його діагоналей. де S - Площа ромба,
- Довжина сторони ромба,
- Довжина висоти ромба,
- Кут між сторонами ромба,
1 2 - довжини діагоналей.
Формули площі трапеції
- Формула Герону для трапеції
Де S - Площа трапеції,
- Довжини основ трапеції,
- Довжини бічних сторін трапеції,
