Криволінійний рух - це рух, траєкторія якого є кривою лінією. (Наприклад, коло, еліпс, гіперболу, параболу). Прикладом криволінійного руху є рух планет, кінця стрілки годинника по циферблату і т.д. У випадку швидкість при криволінійному русі змінюється за величиною і за напрямом.
Криволінійний рух матеріальної точки вважається рівномірним рухом, якщо модуль швидкості постійний (наприклад, рівномірний рух по колу), і рівноприскореним, якщо модуль та напрямок швидкості змінюється (наприклад, рух тіла, кинутого під кутом до горизонту).
Мал. 1
При русі криволінійною траєкторією вектор переміщення направлений по хорді (рис. 1), а l- Довжина траєкторії. Миттєва швидкість руху тіла (тобто швидкість тіла в даній точці траєкторії) спрямована по дотичній в тій точці траєкторії, де в даний момент знаходиться тіло, що рухається (рис. 2).
Мал. 2
Криволінійний рух – це завжди прискорений рух. Тобто прискорення при криволінійному русі є завжди, навіть якщо модуль швидкості не змінюється, а змінюється тільки напрям швидкості. Зміна величини швидкості за одиницю часу – це тангенційне прискорення:
Де v ф , v 0 - величини швидкостей у момент часу t 0 + Дtі t 0 відповідно.
Тангенціальне прискорення у цій точці траєкторії за напрямом збігається з напрямом швидкості руху тіла або протилежно йому.
Нормальне прискорення - це зміна швидкості за одиницю часу:
Нормальне прискорення спрямоване радіусом кривизни траєкторії (до осі обертання). Нормальне прискорення перпендикулярно до напрямку швидкості.
Центрошвидке прискорення - це нормальне прискорення при рівномірному русі по колу.
Повне прискорення при рівнозмінному криволінійному русі тіла дорівнює:
Рух тіла по криволінійній траєкторії можна приблизно представити як рух по дугах деяких кіл (рис. 3).
Найпростішим видом руху матерії є механічне рух, що є переміщення у просторі тіл чи його частин щодо друг друга.
Розрізняють три види механічного руху тіл - поступальний, обертальний і коливальний. При поступальному русі твердого тіла всі точки описують абсолютно однакові (при накладенні збігаються) лінії і мають однакову швидкість і однакове прискорення (на даний час). Визначення обертального руху тіла дано у § 21, коливального у § 27.
Якщо форма і розміри тіла не істотно впливають на характер його руху, то таке тіло можна розглядати як матеріальну точку. Матеріальною точкою називається тіло, формою та розмірами якого можна знехтувати в даній задачі. Остання застереження дуже істотна: при розгляді одного руху тіла можна вважати його матеріальною точкою, тоді як при розгляді іншого руху того самого тіла це може виявитися неприпустимим. Наприклад, вивчаючи рух Землі навколо Сонця, можна Землю і Сонце вважати матеріальними точками. Вивчаючи рух Землі навколо своєї осі, не можна приймати Землю за матеріальну точку, оскільки характер обертального руху Землі істотно впливають її форма і розміри.
Переміщення тіла можна розглядати лише щодо будь-якого іншого тіла або групи тіл. Тому щодо руху матеріальної точки необхідно передусім вибрати систему відліку, т. е. систему координат, що з тілом, щодо якого розглядається рух матеріальної точки. Такою системою відліку може бути, наприклад, прямокутна система координат XYZ, пов'язана з якоюсь точкою Про земну поверхню (рис. 7). Тоді положення матеріальної точки А будь-якої миті часу визначиться координатами xyz. До питання систем відліку ми ще повернемося до § 14.
Лінія, що описується рухомою матеріальною точкою, називається траєкторією. Відрізок траєкторії пройдений точкою за деякий проміжок часу, представляє шлях, пройдений точкою
за цей час (рис. 7). Рух називається прямолінійним, якщо траєкторія – пряма лінія, і криволінійним, якщо траєкторія – крива лінія.
Нехай матеріальна точка, рухаючись криволінійною траєкторією, пройшла за малий проміжок часу малий шлях (рис. 8). Проведемо дотичну до траєкторії в точці А і хорду А В. Відношення шляху, пройденого матеріальною точкою, до проміжку часу, за який цей шлях пройдено, називається середньою швидкістю руху
У загальному випадку криволінійного (і прямолінійного) руху величина середньої швидкості може бути різною на різних ділянках траєкторії і залежати від величини шляху, що розглядається або, що те ж, від величини проміжку часу Будемо нескінченно зменшувати проміжок часу, тобто покладемо Тоді точка В буде Таким чином, криволінійний рух по малій дузі перейде в прямолінійний рух по нескінченно малому відрізку дотичної до траєкторії поблизу точки а середня швидкість на малому шляху перейде в миттєву, або істинну, швидкість в точці А. Тому величина миттєвої швидкості
Як видно із рис. 8 миттєва швидкість спрямована по дотичній до траєкторії.
Отже, миттєва швидкість руху в будь-якій точці траєкторії є вектор, спрямований по дотичній траєкторії, а за величиною рівний межі середньої швидкості при прагненні проміжку часу до нуля:
З формул (1) і (2) випливає, що швидкість вимірюється в Рух матеріальної точки називається рівномірним, якщо його швидкість не змінюється з часом; інакше рух називається нерівномірним. Нерівномірність руху характеризується фізичною величиною, яка називається прискоренням.
Нехай матеріальна точка перемістилася за малий проміжок часу, де вона мала швидкість у В, де вона має швидкість (рис. 9). На малюнку видно, що зміна (збільшення) швидкості точки є вектор рівний різниці векторів кінцевої та початкової швидкостей:
Відношення зміни швидкості до проміжку часу, за який ця зміна відбулася, називається середнім прискоренням
З правила поділу вектора на скаляр випливає, що середнє прискорення спрямоване так само, як збільшення швидкості, тобто під кутом до траєкторії у бік її увігнутості (див. рис. 9).
У загальному випадку величина середнього прискорення може бути різною на різних ділянках траєкторії та залежати від величини проміжку часу, за яким проводиться усереднення. Зменшуватимемо проміжок часу. У межі при точка В буде прагнути до точки і середнє прискорення на шляху А В перетвориться на миттєве, або істинне, прискорення а в точці Тому
Отже, миттєве прискорення руху у будь-якій точці траєкторії є вектор, спрямований під кутом до траєкторії у бік її увігнутості, а за величиною дорівнює межі середнього прискорення при прагненні проміжку часу до нуля.
З формул (3) і (4) випливає, що прискорення вимірюється в
Вектор прискорення прийнято розкладати на дві складові, одна з яких спрямована по дотичній до траєкторії і називається дотичним, або тангенціальним, прискоренням інша - по нормалі до траєкторії і називається нормальним, або доцентровим, прискоренням (рис. 10). Прискорення та його
складові пов'язані між собою очевидними співвідношеннями:
Дотичне прискорення змінює тільки величину швидкості, а доцентрове прискорення - тільки її напрямок. Очевидно, що криволінійний рух відбувається завжди з прискоренням, тому що в цьому випадку швидкість обов'язково буде змінюватися (принаймні за напрямом).
Користуючись поняттями вищої математики, можна замінити межі відносин, що стоять у формулах (2) та (4), похідними та написати:
Означають відповідно нескінченно малі зміни (диференціали) переміщення, швидкості та часу. Отже, швидкість є похідною переміщення за часом, а прискорення - похідною швидкості за часом.
Ми ознайомилися із загальним випадком нерівномірного руху матеріальної точки криволінійною траєкторією довільної форми. У наступних параграфах розглянемо окремі випадки: прямолінійний рух і рух по колу.
Пліс В. Про динаміку криволінійного руху // Квант. -2005. - №2. – С. 30-31, 34-35.
За спеціальною домовленістю з редколегією та редакцією журналу «Квант»
Зі шкільного курсу фізики відомо, що рівномірний рух по колу - так називають рух матеріальної точки по колу з постійною за величиною швидкістю - є рух з прискоренням.
Це прискорення обумовлено рівномірним зміною з часом напрямки швидкості точки. У будь-який момент часу вектор прискорення спрямований до центру кола, яке величина постійна і дорівнює
де υ - лінійна швидкість точки, R -радіус кола, ω - кутова швидкість радіуса-вектора точки, T - період звернення. У цьому випадку прискорення називають доцентровим, або нормальним, або радіальним.
Очевидно, що можливий криволінійний рух не тільки по колу і не обов'язково рівномірний. Поговоримо трохи про кінематику довільного криволінійного руху. Тим більше, що торік до програми вступних іспитів з фізики, наприклад, у МДУ ім. М.В.Ломоносова, включили питання про прискорення матеріальної точки при довільному русі криволінійною траєкторією.
Розглянемо спочатку нерівномірний рух матеріальної точки по колу. За такого руху змінюється згодом як напрям вектора швидкості , а й його величина. У цьому випадку збільшення вектора швидкості за короткий час від tдо t +Δ tзручно подати у вигляді суми: 
(Рис. 1). Тут - дотична тангенціальна складова збільшення швидкості, співспрямована з вектором швидкості і обумовлена збільшенням величини вектора швидкості на 
а - нормальна складова, обумовлена (як і у разі рівномірного руху по колу) обертанням вектора швидкості. Тоді природно і прискорення подати у вигляді суми дотичної (тангенційної) та нормальної складових:
Для проекцій вектора прискорення на дотичний та нормальний напрями справедливі співвідношення
Зазначимо, що дотична складова aτ прискорення характеризує швидкість зміни величини швидкості, а нормальна складова а nхарактеризує швидкість зміни напряму швидкості. За теоремою Піфагора,
У разі руху довільною криволінійною траєкторією всі зазначені співвідношення також справедливі, при цьому у формулі для нормального прискорення аnпід величиною Rтреба розуміти радіус такого кола, з елементарною дужкою якої збігається ділянка криволінійної траєкторії в малій околиці того місця, де знаходиться матеріальна точка, що рухається. Величину Rназивають радіусом кривизни траєкторії у цій точці.
Тепер розглянемо кілька конкретних завдань на криволінійний рух, що пропонувалися останніми роками на вступних іспитах та олімпіадах з фізики у провідних вишах країни.
Завдання 1. Камінь кинутий зі швидкістю 0 під кутом α до горизонту. Знайдіть радіус Rкривизни траєкторії на околиці точки старту. Прискорення вільного падіння gвідомо.
Для відповіді на запитання задачі скористаємося співвідношенням для нормального прискорення:
У малій околиці точки старту = 0 (рис. 2). Нормальне прискорення аnє проекція прискорення вільного падіння gна нормаль до траєкторії: аn= g· cos α. Це дає
Завдання 2. Визначте вагу Pтіла масою mна географічній широті? Прискорення, що повідомляється силою тяжкості, дорівнює g. Землю вважайте однорідною кулею радіусом R.
Нагадаємо, що вага тіла - це сила, обумовлена тяжінням, з якою тіло діє на опору чи підвіс. Припустимо, що тіло лежить на поверхні Землі, що обертається. На нього діють сила тяжіння, спрямована до центру Землі, та сила реакції опори (рис.3). За третім законом Ньютона, . Тому визначення ваги тіла знайдемо силу реакції .
В інерційній системі відліку, центр якої знаходиться в центрі Землі, тіло рівномірно рухається по колу радіусом r= R · cos φ із періодом одну добу, тобто. T= 86400 с, та циклічною частотою
7,3 · 10 -5 з -1.
Прискорення тіла за величиною дорівнює
аn= ω 2 · r= ω 2 · R · cos φ
і спрямовано осі обертання Землі. З цього випливає, що рівнодіюча сил тяжкості та реакції опори теж має бути спрямована до осі обертання Землі. Тоді при 0< φ< π/2 сила реакции образует с перпендикуляром к оси вращения некоторый угол α ≠ φ. По второму закону Ньютона,
Перейдемо до проекцій сил та прискорення на радіальний напрямок:
і на напрям, перпендикулярне площині, в якій відбувається рух:
Виключаючи α з двох останніх співвідношень, знаходимо вагу тіла, що лежить на Землі, що обертається:
Завдання 3. Відстань від Землі до подвійної зірки в сузір'ї Центавра дорівнює L= 2,62 · 10 5 а. Кутова відстань між зірками, що спостерігається, періодично змінюється з періодом T= 80 років і досягає найбільшого значення? = 0,85 · 10 -5 рад. Визначте сумарну масу Мзірок. Постійне всесвітнє тяжіння G= 6,67 · 10 -11 (Н · м 2 / кг 2), 1 а.е = 1,5 · 10 11 м. Орбіти зірок вважайте круговими.
Під дією гравітаційних сил
зірки рухаються рівномірно з періодом Tпо колам радіусів r 1 та r 2 навколо центру мас системи зі швидкостями 1 і 2 відповідно (рис. 4).
За другим законом Ньютона,
Склавши ці рівності (після скорочення на m 1 та m 2 відповідно), отримаємо
Звідси з урахуванням співвідношень
приходимо до відповіді
= 3,5 1027 кг.
Завдання 4. На горизонтальній платформі стоїть посудина з водою (рис. 5). У посудині закріплений тонкий стрижень АВнахилений до горизонту під кутом α. Однорідна кулька радіусом Rможе ковзати без тертя вздовж стрижня, що проходить через центр. Щільність матеріалу кульки ρ 0 щільність води ρ ρ 0< ρ. При вращении системы с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через нижний конец Астрижня, центр кульки встановлюється з відривом Lвід цього кінця. З якою за величиною силою Fкулька діє на стрижень? Яка кутова швидкість обертання платформи? За якої мінімальної кутової швидкості ω min кулька «потоне», тобто. опиниться біля дна судини?
Позначимо об'єм кульки V. На кульку діятимуть три сили: сила тяжіння ρ 0 · V· g, сила нормальної реакції Nз боку стрижня (кулька діє на стрижень з такою самою за величиною та протилежною за напрямом силою) та сила Архімеда F A. Знайдемо архімедову силу.
Розглянемо рух рідини без кульки. Будь-який елементарний об'єм води рівномірно рухається по колу радіусом. rу горизонтальній площині. Отже, вертикальна складова суми сил тиску (сили Архімеда) врівноважує силу тяжкості, що діє на рідину в обсязі, що розглядається, а горизонтальна складова повідомляє цієї рідини доцентрове прискорення аn= ω 2 · r.При заміщенні рідини кулькою ці складові не змінюються, а сила, що діє на водяну кульку з боку тонкого стрижня, дорівнює нулю. Тоді вертикальна складова сили Архімеда за величиною дорівнює силі тяжіння водяної кулі:
F Az = ρ· V· g,
а спрямована до осі обертання складова сили Архімеда повідомляє водяній кулі доцентрове прискорення аn= ω 2 · L· cos α і за величиною дорівнює
F An = ρ· V·ω 2 · LВ· cos α.
Під дією прикладених сил кулька рухається рівномірно по колу радіусом. L· cos α у горизонтальній площині (рис. 6).
За другим законом Ньютона,
Переходячи до проекцій сил та прискорень на вертикальну вісь, знаходимо
ρ· V· g – ρ 0 · V· g – NВ· cos α = 0.
Проектуючи сили та прискорення в горизонтальній площині на радіальний напрямок, отримуємо
ρ 0 · V·ω 2 · L· cos α = ρ · V·ω 2 · L· cos α – N· Sin α.
З двох останніх співвідношень визначаємо величину сили нормальної реакції стрижня, а значить, і силу тиску кульки на стрижень:
та кутову швидкість:
Як бачимо, зі зростанням кутової швидкості ω відстань Lзменшується. У момент, коли куля наблизиться до дна, при цьому
Завдання 5. Однорідний ланцюжок завдовжки L Rтак що один її кінець закріплений на вершині сфери. Верхній кінець ланцюжка звільняють. З яким за величиною прискоренням a t буде рухатися відразу після звільнення кожен елемент ланцюжка? Маса одиниці довжини ланцюжка ρ. Прискорення вільного падіння g.
Розглянемо елементарну ділянку ланцюжка довжиною Δ L = R·Δφ (рис. 7). Його маса дорівнює Δ m = ρ·Δ L. Сили, які діють виділену ділянку, показані малюнку. За другим законом Ньютона,
Переходячи до проекцій сил та прискорень на дотичний напрямок, отримуємо
Перепишемо отримане співвідношення у вигляді
Підсумуємо збільшення сили натягу по всій довжині ланцюжка:
Тепер врахуємо, що у вільних кінцях ланцюжка сили натягу перетворюються на нуль, тобто. , що прискорення aτ однаково у всіх елементарних фрагментів, , і отримаємо
Завдання 6. Провідні колеса паровоза з'єднані рейковою передачею, одна ланка якої є плоскою горизонтальною штангою, шарнірно прикріпленою до спиць сусідніх коліс на відстані R/2 від осі, де R- Радіус колеса. Під час огляду паровоза механік поставив на цю штангу ящик і занепокоївся забув його там. Паровоз рушає з місця і дуже повільно набирає швидкість. Оцініть швидкість υ 1 паровоза, при якій ящик почне прослизати щодо штанги. Коефіцієнт тертя ковзання ящика по штанзі μ = 0,4, радіус колеса R= 0,8 м, прискорення вільного падіння g= 10 м/с2.
Перейдемо до системи відліку, пов'язану з паровозом (рис. 8). Оскільки розгін відбувається дуже повільно, цю систему можна вважати інерційною.
До початку прослизання ящик рухається по колу радіусом r =R/2. За другим законом Ньютона,
Вектор прискорення ящика спрямований до центру кола та за величиною дорівнює а =ω 2 · r,Де ω - кутова швидкість обертання коліс паровоза. Позначимо кут, який вектор прискорення утворює зараз з горизонтом, буквою β. Переходячи до проекцій сил та прискорення на горизонтальну та вертикальну осі, з урахуванням того, що Fтр ≤ μ· N, отримуємо
Виключивши звідси силу реакції опори, приходимо до нерівності
Найбільше значення виразу
де кут α такий, що й досягається при β = α і дорівнює . Рух вантажу відбуватиметься без прослизання доти, доки кутова швидкість обертання коліс паровоза задовольнятиме нерівності
Звідси для швидкості паровоза υ 1 отримуємо
= 2,4 м/с.
Завдання 7. Гладкий жолоб складається з горизонтальної частини АВі дуги кола BDрадіусом R= 5 м (рис. 9). Шайба ковзає горизонтальною частиною зі швидкістю υ 0 = 10 м/с. Визначте величину прискорення шайби у точці Зта кут β, який вектор прискорення шайби в цей момент складає з ниткою. Радіус ОСутворює з вертикаллю кут = 60°. Прискорення вільного падіння g=10 м/с 2 .
Для знаходження прискорення шайби у точці Ззнайдемо тангенціальну aτ та нормальну a nвеличини складових прискорення у цій точці.
На тіло, що рухається у вертикальній площині по дузі BDв будь-якій точці діють сили тяжіння m·gта реакції опори N. За другим законом Ньютона,
Перейдемо до проекцій сил та прискорення на тангенційний напрямок:
m·a τ = – m·g· Sin α, звідки a τ = – g· Sin α - -8,7 м / с 2 .
Для визначення нормальної складової прискорення знайдемо величину швидкості шайби в точці З(оскільки). Звернемося до енергетичних міркувань. Потенційну енергію шайби на горизонтальній частині жолоба вважатимемо рівною нулю. Тоді, згідно із законом збереження повної механічної енергії,
= 10 м/с2.
Величину прискорення шайби у точці Ззнайдемо за теоремою Піфагора:
≈ 13,2 м/с 2 .
У точці Звектор прискорення утворює з ниткою кут β такий, що
≈ 0,87, звідки β ≈ 41°.
Завдання 8. По гладкій дротяній гвинтовій лінії радіусом Rз кроком h, вісь якої вертикальна, ковзає з нульовою початковою швидкістю бусинка масою m. За який час Tнамистинка опуститься по вертикалі на Н? З якою за величиною Fсилою намистинка діє на дріт у цей момент? Прискорення вільного падіння g.
На намистинку діють сили тяжіння і нормальної реакції , де спрямована горизонтально (перпендикулярно до площини малюнка 10), а лежить в одній площині з векторами і .
Для відповіді на питання задачі знайдемо дотичну та нормальну складові прискорення. За другим законом Ньютона,
Переходячи до проекцій сил та прискорення на дотичний напрямок, знаходимо a τ = gВ· sin α. Тут α - кут нахилу вектора швидкості до горизонту такий, що
За законом збереження енергії,
Дотична складова прискорення стала, початкова швидкість дорівнює нулю, отже, модуль вектора швидкості зростає з часом за лінійним законом. Звідси для шуканого часу отримуємо
Для визначення нормальної складової прискорення перейдемо в рухому систему відліку, яка поступово рухається щодо лабораторії по вертикалі вниз зі швидкістю υ ·
sin α. У цій системі намистинка прискорено рухається по колу радіусом. Rзі швидкістю υ ·
cos α, при цьому нормальна складова прискорення бусинки за величиною дорівнює 
. Оскільки прискорення рухомої системи сонаправлено з , нормальна складова прискорення бусинки під час переходу в лабораторну систему відліку не зміниться (це з правила складання прискорень).
З другого закону Ньютона знаходимо складові сили, з якою дріт діє на бусинку:
де 
.
За третім законом Ньютона бусинка діє на дріт силою 
, величина (модуль) якої дорівнює
Вправи
1. Сферичний повітряний шар радіусом R= 5 м утримується вертикальною мотузкою, його центр знаходиться на висоті H= 6 м-код над горизонтальною поверхнею. З цієї поверхні кидають камінь так, що він перелітає кулю, майже торкаючись її у верхній точці. З якою мінімальною швидкістю 0 слід кидати камінь і на якій відстані sвід центру кулі буде у цьому випадку точка кидання?
Вказівка:прискорення вільного падіння біля поверхні Землі у цій та наступних задачах одно g = 10 м/с 2 .
2. Відомо, що супутник, що знаходиться на орбіті, висота якої h = 3,610 4 км, обертається навколо Землі за добу і може «висіти» над однією і тією ж точкою екватора. Припустимо, що обговорюється питання про запуск на таку саму висоту супутника, який «висітиме» над Санкт-Петербургом. Яку за величиною та напрямком силу тяги FЧи повинен розвивати двигун супутника, щоб утримувати його на заданій орбіті? Маса супутника m= 10 3 кг, Санкт-Петербург знаходиться на широті = 60 °, радіус Землі R = 6,4 10 3 км.
3. По гладкому столу рухаються два тіла з масами m 1 та m 2 сполучені легкою нерозтяжною ниткою довжиною L.У деякий момент перше тіло зупиняється, а швидкість другого дорівнює υі перпендикулярна до нитки. Знайдіть силу Tнатяг нитки.
4. Однорідний ланцюжок масою mта довжиною Lпомістили на гладку сферичну поверхню радіусом R = 4Lтак що один її кінець закріплений на вершині сфери. Верхній кінець ланцюжка звільняють. Знайдіть найбільшу величину T mах сили натягу ланцюжка відразу після її звільнення. Вказівка: для розглянутих у задачі кутів рахуйте sin α ≈ α, cos α ≈ 1 – α 2 /2.
5. У задачі 6 з тексту статті знайдіть швидкість υ 2 , коли ящик почне підстрибувати.
Розглядаючи криволінійний рух тіла, ми побачимо, що його швидкість у різні моменти є різною. Навіть у тому випадку, коли модуль швидкості не змінюється, все ж таки має місце зміна напрямку швидкості. Загалом змінюються і модуль і напрямок швидкості.
Таким чином, при криволінійному русі швидкість безперервно змінюється, тому цей рух відбувається з прискоренням. Для визначення цього прискорення (за модулем та напрямом) потрібно знайти зміну швидкості як вектора, тобто знайти збільшення модуля швидкості та зміну її напрямку.
Мал. 49. Зміна швидкості при криволінійному русі
Нехай, наприклад, точка, рухаючись криволінійно (рис. 49), мала в певний момент швидкість, а через малий проміжок часу - швидкість. Приріст швидкості є різниця між векторами і . Так як ці вектори мають різний напрямок, потрібно взяти їх векторну різницю. Збільшення швидкості виразиться вектором, що зображується стороною паралелограма з діагоналлю та іншою стороною. Прискоренням називається відношення збільшення швидкості до проміжку часу, за який це збільшення сталося. Значить, прискорення
У напрямку збігається з вектором.
Вибираючи досить малим, дійдемо поняття миттєвого прискорення (пор. § 16); при довільному векторі представлятиме середнє прискорення за проміжок часу.
Напрямок прискорення при криволінійному русі не збігається з напрямом швидкості, тоді як прямолінійного руху ці напрями збігаються (чи протилежні). Щоб знайти напрям прискорення при криволінійному русі, достатньо зіставити напрями швидкостей у двох близьких точках траєкторії. Так як швидкості спрямовані по дотичних до траєкторії, то на вигляд самої траєкторії можна зробити висновок, в яку сторону від траєкторії спрямоване прискорення. Справді, оскільки різницю швидкостей у двох близьких точках траєкторії завжди спрямовано той бік, куди викривляється траєкторія, то, отже, і прискорення завжди спрямовано бік увігнутості траєкторії. Наприклад, коли кулька котиться по вигнутому жолобі (рис. 50), його прискорення на ділянках і спрямоване так, як показують стрілки, причому це не залежить від того, котиться кулька від або в зворотному напрямку.
Мал. 50. Прискорення при криволінійному русі завжди спрямовані у бік увігнутості траєкторії
Мал. 51. До висновку формули для відцентрового прискорення
Розглянемо рівномірний рух точки криволінійної траєкторії. Ми вже знаємо, що це прискорений рух. Знайдемо прискорення. Для цього достатньо розглянути прискорення для окремого випадку рівномірного руху по колу. Візьмемо два близькі положення і точки, що рухаються, розділених малим проміжком часу (рис. 51, а). Швидкості точки, що рухається в і рівні по модулю, але різні за напрямом. Знайдемо різницю цих швидкостей, користуючись правилом трикутника (рис. 51, б). Трикутники і подібні як рівнобедрені трикутники з рівними кутами при вершині. Довжину сторони , що зображує збільшення швидкості за проміжок часу , можна покласти рівною , де модуль шуканого прискорення. Подібна їй сторона є хорда дуги; внаслідок трохи дуги довжина її хорди може бути приблизно прийнята рівною довжиною дуги, тобто. . Далі, 
; де - радіус траєкторії. З подоби трикутників випливає, що відносини подібних сторін у них рівні:
звідки знаходимо модуль шуканого прискорення:
Напрямок прискорення перпендикулярно до хорди. Для досить малих проміжків часу вважатимуться, що до дузі практично збігається з її хордою. Отже, прискорення вважатимуться спрямованим перпендикулярно (нормально) до дотичної до траєкторії, т. е. по радіусу до центру окружності. Тому таке прискорення називають нормальним або доцентровим прискоренням.
Якщо траєкторія - не коло, а довільна крива лінія, то у формулі (27.1) слід взяти радіус кола, що найближче підходить до кривої в даній точці. Напрямок нормального прискорення і в цьому випадку буде перпендикулярно до траєкторії в даній точці. Якщо при криволінійному русі прискорення постійно за модулем і напрямом, його можна знайти як відношення збільшення швидкості до проміжку часу, за який це збільшення сталося, яким би не був цей проміжок часу. Значить, у цьому випадку прискорення можна знайти за формулою
аналогічною формулою (17.1) для прямолінійного руху з постійним прискоренням. Тут - швидкість тіла початковий момент, a - швидкість момент часу .
Уявімо собі матеріальну точку, що рухається деякою криволінійною траєкторією. Запишемо швидкість у вигляді
і зауважимо, що вектор
Це одиничний вектор, що стосується траєкторії і збігається у напрямку з вектором швидкості. Продиференціюємо вектор швидкості, записаний у даному поданні, та отримаємо
Ми представили прискорення у вигляді двох доданків. Зауважимо насамперед, що доданки ортогональні один одному. Справді, оскільки вектор - одиничний, то
Диференціюючи цей скалярний твір, отримуємо
за якістю скалярного твору.
Отже, ми розклали прискорення у сумі двох взаємно ортогональних складових, позначимо їх і :
Обговоримо фізичний зміст кожного доданка. доданок
Це тангенціальне прискореннящо характеризує швидкість зміни модуля швидкості. Ця частина повного прискорення спрямована або за швидкістю, коли похідна dv/dt > 0, тобто рух прискорений, або у бік протилежний швидкості, коли ця похідна dv/dt< 0 , тобто рух сповільнений. Якщо рух рівномірний dv/dt = 0, тобто швидкість, якщо і змінюється, то лише за напрямом, то тангенціальна частина прискорення дорівнює нулю:
доданок
спрямовано нормалі до траєкторії - перпендикулярно дотичної до траєкторії і називається нормальним прискоренням. Якщо тангенціальне прискорення визначає швидкість, з якою змінюється модульвектора швидкості, то нормальне прискорення визначає швидкість, з якою змінюється напрямокшвидкість вектор.
Мал. 2.10. До визначення кривизни траєкторії
Розглянемо «досить гладку», в іншому довільну плоску криволінійну траєкторію. Плоскую, тобто всі точки траєкторії лежать у деякій площині, - виключно для спрощення викладок, який отримується в рамках цього припущення, результат годиться і для будь-якої «досить гладкої» просторової кривої, чиї точки укласти в одну площину неможливо. Остання обставина ми тут розглядати не будемо, вона суворо доводиться методами аналітичної геометрії. Слова «досить гладка» означають, що крива описується безперервною функцією, що має безперервні першу та другу похідні. З погляду фізичних додатків, вимога існування безперервних перших двох похідних мало є обмеженням форму траєкторії, оскільки практично завжди виконано. Простіше кажучи, на траєкторії має бути " кутів " типу показаного малюнку 2.11.
Мал. 2.11.
Таку «гладку» криву на будь-якому її нескінченно малій ділянціможна замінити (рис. 2.12) ділянкою кола деякого радіусу. Радіус цього кола, що апроксимує траєкторію на її нескінченно малій ділянці на околиці деякої точки, прийнято називати радіусом кривизни траєкторіїу цій точці. Центр цього кола прийнято називати центром кривизнитраєкторії у цій точці. Кривизною траєкторіїназивається величина C = 1/R. Підкреслимо, що радіус кривизни, як і центр кривизни траєкторії - її локальні характеристики: кожній точці траєкторії відповідає свій радіус кривизни і центр кривизни. Винятками є: 1) коло, її радіус кривизни у всіх її точках один і той же і дорівнює радіусу кола, центр кривизни «один на всіх» і збігається з центром кола, і 2) пряма, для будь-якої точки прямий радіус кривизни нескінченний, а центр кривизни знаходиться в нескінченно віддаленій від прямої точки. Це легко зрозуміти: давайте збільшувати радіус кола, чим більше радіус кола, тим ближче будь-який її кінцевий ділянку до ділянки прямий. На рівнині, найкраще на пляжі, з висоти людського зросту до горизонту трохи більше п'яти кілометрів, - у межах Земля плоска.
Мал. 2.12. До визначення радіусу кривизни траєкторії
Обчислимо модуль похідної , що входить у вираз для нормального прискорення. Направлений вектор нормалі до траєкторії до центру до центру кривизни, що пояснює рис. 2.13.
Мал. 2.13. Графічне визначення радіусу кривизни траєкторії
Для цього перш за все перейдемо від диференціювання за часом до диференціювання «шляхом»: , маємо:
За визначенням похідна 
кривизні кривої C, А величина їй зворотна дорівнює радіусу кривизни кривої R. Збираючи все разом, для нормального прискорення остаточно отримуємо:
де нормаль перпендикулярна до дотичної і спрямована до центру кривизни, див. рис. 11.
Наведемо деяке додаткове пояснення до рисунка 11. Візьмемо неподалік точки 1 точку 2 . Побудуємо у цих точках дотичні одиничні вектори 1 і 2 . Перпендикуляри до цих дотичних перетнуться в деякій точці O 2. Зауважимо, що для кривої відстані, що не є колом, R 1і R 2трохи відрізнятимуться один від одного. Якщо тепер точку 2 наближати до точки 1 , перетин перпендикулярів O 2буде переміщатися вздовж прямої O 2 1і в межі опиниться в деякій точці O 1. відстані R 1і R 2прагнутимуть спільної межі R, рівному радіусу кривизни, а точка O 1і буде центром кривизни для точки 1 . Дійсно, коло радіусом Rз центром у 0 проходить через точку 1 і стосується траєкторії (оскільки радіус ортогональний орту 1). Крім того, за побудовою нескінченно близька точка 2 також лежить на цьому колі. Таким чином, побудоване коло дійсно «зливається» з траєкторією в точці 1 .
