Який чотирикутник називається прямокутником. Чотирикутники всі правила Чотирикутник є прямокутником якщо

І знову питання: ромб – це паралелограм чи ні?

З повним правом - паралелограм, тому що у нього і (згадуємо нашу ознаку 2).

І знову, якщо ромб - паралелограм, то він повинен мати всі властивості паралелограма. Це означає, що у ромба протилежні кути рівні, протилежні сторони паралельні, а діагоналі діляться точкою перетину навпіл.

Властивості ромба

Подивись на картинку:

Як і у випадку з прямокутником, ці властивості - відмінні , тобто по кожному з цих властивостей можна укласти, що перед нами не просто паралелограм , а саме ромб.

Ознаки ромба

І знову зверни увагу: має бути не просто чотирикутник, у якого перпендикулярні діагоналі, а саме паралелограм. Переконайтеся:

Ні, звичайно, хоча його діагоналі і перпендикулярні, а діагональ - бісектриса кутів і. Але … діагоналі не діляться, точкою перетину навпіл, тому – не паралелограм, а значить, і не ромб.

Тобто квадрат – це прямокутник та ромб одночасно. Давай подивимося, що з цього вийде.

Зрозуміло, чому? - ромб - бісектриса кута A, який дорівнює. Значить ділить (та й теж) на два кути.

Ну, це зрозуміло: прямокутник діагоналі рівні; ромб діагоналі перпендикулярні, і взагалі – паралелограм діагоналі діляться точкою перетину навпіл.

СЕРЕДНИЙ РІВЕНЬ

Властивості чотирикутників. Паралелограм

Властивості паралелограма

Увага! Слова « властивості паралелограма» означають, що якщо у тебе в завданні єпаралелограм, то всім нижченаведеним можна користуватися.

Теорема про властивості паралелограма.

У будь-якому паралелограмі:

Давай зрозуміємо, чому це все правильно, інакше кажучи ДОКАЖЕМОтеорему.

Отже, чому правильно 1)?

Раз - паралелограм, то:

як навхрест лежачі
як навхрест лежать.

Значить (за II ознакою: і - загальна.)

Ну от, а раз, то й – все! – довели.

Але, до речі! Ми ще довели при цьому 2)!

Чому? Але ж (дивися на картинку), тобто саме тому, що.

Залишилося лише 3).

Для цього все-таки доведеться провести другу діагональ.

І тепер бачимо, що – за II ознакою (кута та сторона «між» ними).

Властивості довели! Перейдемо до ознак.

Ознаки паралелограма

Нагадаємо, що ознака паралелограма відповідає на питання "як дізнатися?", що фігура є паралелограмом.

У значках це так:

Чому? Добре б зрозуміти, чому цього вистачить. Але дивись:

Ну ось і розібралися, чому ознака одна вірна.

Ну, це ще легше! Знову проведемо діагональ.

А значить:

Ітеж нескладно. Але... інакше!

Отже, . Ух! Але і - внутрішні односторонні при січній!

Тому той факт, що означає, що.

А якщо подивишся з іншого боку, то і – внутрішні односторонні при січній! І тому.

Бачиш, як здорово?

І знову просто:

Так само, в.

Зверни увагу:якщо ти знайшов хоча бодна ознака паралелограма у своєму завданні, то в тебе точнопаралелограм, і ти можеш користуватися усімавластивостями паралелограма.

Для повної ясності подивися на схему:

Властивості чотирикутників. Прямокутник.

Властивості прямокутника:

Пункт 1) Очевидний - адже просто виконано ознаку 3 ()

А пункт 2) - дуже важливий. Отже, доведемо, що

Отже, по двох катетах (і - загальний).

Ну ось, якщо трикутники і рівні, то в них і гіпотенузи теж рівні.

Довели, що!

І уяви собі, рівність діагоналей – відмінна властивість саме прямокутника серед усіх паралелограмів. Тобто правильне таке твердження ^

Давай зрозуміємо, чому?

Значить, (маються на увазі кути паралелограма). Але ще раз згадаємо, що – паралелограм, і тому.

Отже, . Ну і, звичайно, з цього випливає, що кожен з них! Адже в сумі вони повинні давати!

Ось і довели, що якщо у паралелограмараптом (!) виявляться рівні діагоналі, то це точно прямокутник.

Але! Зверни увагу!Йдеться про паралелограмах! Не будь-якийчотирикутник з рівними діагоналями - прямокутник, а тількипаралелограм!

Властивості чотирикутників. Ромб

І знову питання: ромб – це паралелограм чи ні?

З повним правом - паралелограм, тому що в нього і (згадуємо нашу ознаку 2).

Але є й особливі якості. Формулюємо.

Властивості ромба

Чому? Ну, якщо ромб - це паралелограм, то його діагоналі діляться навпіл.

Чому? Так, тому ж!

Іншими словами, діагоналі і виявилися бісектрисами кутів ромба.

Як у випадку з прямокутником, властивості ці - відміннікожні з них є ще й ознакою ромба.

Ознаки ромба.

А це чому? А подивися,

Значить, і обидвацих трикутників - рівнобедрених.

Щоб бути ромбом, чотирикутник спочатку повинен стати паралелограмом, а потім вже демонструвати ознаку 1 або ознаку 2.

Властивості чотирикутників. Квадрат

Тобто квадрат – це прямокутник та ромб одночасно. Давай подивимося, що з цього вийде.

Зрозуміло чому? Квадрат - ромб - бісектриса кута, який дорівнює. Значить ділить (та й теж) на два кути.

Чому? Ну, просто застосуємо теорему Піфагора до.

КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Властивості паралелограма:

Протилежні сторони рівні: , .
Протилежні кути дорівнюють: , .
Кути з одного боку становлять у сумі: , .
Діагоналі діляться точкою перетину навпіл: .

Властивості прямокутника:

Діагоналі прямокутника дорівнюють: .
Прямокутник – паралелограм (для прямокутника виконуються всі властивості паралелограма).

Властивості ромба:

Діагоналі ромба перпендикулярні: .
Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів: ; ; ; .
Ромб – паралелограм (для ромба виконуються всі властивості паралелограма).

Властивості квадрата:

Квадрат - ромб і прямокутник одночасно, отже для квадрата виконуються всі властивості прямокутника та ромба. А також.

У шкільній програмі на уроках геометрії доводиться мати справу з різноманітними видамиЧотирикутники: ромби, паралелограми, прямокутники, трапеції, квадрати. Найпершими фігурами для вивчення стають прямокутник та квадрат.

Отже, що таке прямокутник? Визначення для 2 класу загальноосвітньої школивиглядатиме так: це чотирикутник, у якого всі чотири кути прямі. Нескладно уявити собі, як виглядає прямокутник: це постать з 4 прямими кутами та сторонами, попарно паралельними один одному.

Як зрозуміти, вирішуючи чергову геометричне завдання, з яким саме чотирикутником ми маємо справу? Існують три основні ознаки, За якими можна безпомилково визначити, що йдеться саме про прямокутник. Назвемо їх:

фігура є чотирикутником, три кути якого дорівнюють 90°;
представлений чотирикутник - це паралелограм із рівними діагоналями;
паралелограм, який має принаймні один прямий кут.

Цікаво знати: що таке опуклий, його особливості та ознаки.

Оскільки прямокутник - це паралелограм (тобто чотирикутник з попарно паралельними протилежними сторонами), то для нього виконуватимуться всі його властивості та ознаки.

Формули для обчислення довжини сторін

У прямокутникупротилежні сторони рівні та взаємно паралельні. Довшу сторону прийнято називати довжиною (позначається a), більш коротку - шириною (позначається b). У прямокутнику на зображенні довжинами є сторони AB і CD, а завширшки - AC і B. D. Також вони перпендикулярні до основ (тобто є висотами).

Для знаходження сторін можна скористатися формулами, наведеними нижче. У них прийнято умовні позначення: a - довжина прямокутника, b - його ширина, d - діагональ (відрізок, що з'єднує вершини двох кутів, що лежать навпроти одного), S - площа фігури, P - периметр, α - кут між діагоналлю і довжиною, β - гострий кут, що утворений обома діагоналями. Способи знаходження довжин сторін:

З використанням діагоналі та відомої сторони: a = √(d ² - b ²), b = √(d ² - a ²).
За площею фігури та однією з її сторін: a = S/b, b = S/a.
За допомогою периметра та відомої сторони: a = (P – 2 b) / 2, b = (P – 2 a) / 2.
Через діагональ і кут між нею та довжиною: a = d sinα, b = d cosα.
Через діагональ та кут β: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Периметр та площа

Периметром чотирикутника називаютьсуму довжин усіх його сторін. Щоб обчислити периметр, можуть використовуватись такі формули:

Через обидві сторони: P = 2 (a + b).
Через площу і одну зі сторін: P = (2S + 2a ²) / a, P = (2S + 2b ²) / b.

Площа - це простір, обмежений периметром. Три основні способи для розрахунку площі:

Через довжини обох сторін: S = a * b.
За допомогою периметра та якоїсь однієї відомої сторони: S = (Pa - 2 a ²) / 2; S = (Pb - 2 b?) / 2.
По діагоналі та куту β: S = 0,5 d ² sinβ.

У завданнях шкільного курсуматематики часто потрібно добре володіти властивостями діагоналей прямокутника. Перерахуємо основні з них:

Діагоналі рівні один одному і діляться на два рівні відрізки в точці їх перетину.
Діагональ визначається як корінь суми обох сторін, зведених у квадрат (випливає з теореми Піфагора).
Діагональ розділяє прямокутник на два трикутники із прямим кутом.
Точка перетину збігається з центром описаного кола, а самі діагоналі - з її діаметром.

Застосовуються такі формули для розрахунку довжини діагоналі:

З використанням довжини та ширини фігури: d = √(a ² + b ²).
З використанням радіуса кола, описаного навколо чотирикутника: d = 2 R.

Визначення та властивості квадрата

Квадрат – це окремий випадокромба, паралелограма чи прямокутника. Його відмінність від цих фігур полягає в тому, що всі його кути прямі і всі чотири сторони рівні. Квадрат – це правильний чотирикутник.

Чотирикутник називають квадратом у таких випадках:

Якщо це прямокутник, у якого довжина і ширина b рівні.
Якщо це ромб з рівними довжинамидіагоналей та з чотирма прямими кутами.

До властивостей квадрата відносяться всі раніше розглянуті властивості, що належать до прямокутника, а також:

Діагоналі перпендикулярні один до одного (властивість ромба).
Точка перетину збігається з центром вписаного кола.
Обидві діагоналі ділять чотирикутник на чотири однакові прямокутні і рівнобедрені трикутники.

Наведемо часто використовувані формули для обчислення периметра, площі та елементів квадрата:

Діагональ d = a √2.
Периметр P = 4 a.
Площа S = a?.
Радіус описаного кола вдвічі менший від діагоналі: R = 0,5 a √2.
Радіус вписаного кола визначається як половинна довжина сторони: r = a/2.

Приклади питань та завдань

Розберемо деякі питання, з якими можна зіткнутися щодо курсу математики у шкільництві, і вирішимо кілька простих завдань.

Завдання 1. Як зміниться площа прямокутника, якщо збільшити довжину його сторін утричі?

Рішення : Позначимо площу вихідної фігури S0, а площу чотирикутника з потрійною довжиною сторін - S1. За формулою, розглянутою раніше, одержуємо: S0 = ab. Тепер збільшимо довжину та ширину в 3 рази і запишемо: S1= 3 a 3 b = 9 ab. Порівнюючи S0 і S1, стає очевидно, що друга площа більша за першу в 9 разів.

Питання 1. Чотирикутник із прямими кутами - це квадрат?

Рішення : З визначення випливає, що фігура з прямими кутами є квадратом лише тоді, коли довжини всіх сторін рівні. За інших випадках фігура є прямокутником.

Завдання 2. Діагоналі прямокутника утворюють кут 60 градусів. Ширина прямокутника - 8. Розрахувати, чому дорівнює діагональ.

Рішення:Згадаймо, що діагоналі точкою перетину поділяються навпіл. Таким чином, маємо справу з рівнобедреним трикутникомз кутом при вершині, що дорівнює 60°. Так як трикутник рівнобедрений, то кути, що знаходяться при підставі, теж будуть однакові. Шляхом нескладних обчислень отримуємо, кожен із них дорівнює 60°. Звідси випливає, що трикутник є рівностороннім. Ширина, відома нам, є основою трикутника, отже, половина діагоналі теж дорівнює 8, а довжина цілої діагоналі вдвічі більша і дорівнює 16.

Запитання 2. У прямокутника всі сторони рівні чи ні?

Рішення : Достатньо згадати, що всі сторони повинні дорівнювати квадрату, який є окремим випадком прямокутника. У всіх інших випадках достатня умова- Це наявність мінімум 3 прямих кутів. Рівність сторін не є обов'язковою ознакою.

Завдання 3. Площа квадрата відома і дорівнює 289. Знайти радіуси вписаного та описаного кола.

Рішення : За формулами для квадрата проведемо такі розрахунки:

Визначимо, до чого рівні основні елементи квадрата: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
Підрахуємо, чому дорівнює радіус описаного навколо чотирикутника кола: R = 0,5 d = 8,5√2.
Знайдемо радіус вписаного кола: r = a/2 = 17/2 = 8,5.

Випуклий чотирикутник - це фігура, що складається з чотирьох сторін, з'єднаних між собою у вершинах, що утворюють разом із сторонами чотири кути, при цьому сам чотирикутник завжди знаходиться в одній площині щодо прямої, на якій лежить одна з його сторін. Іншими словами, вся фігура знаходиться по одну сторону від будь-якої її сторони.

Як видно, визначення досить легко запам'ятовується.

Основні властивості та види

До опуклих чотирикутників можна віднести практично всі відомі нам фігури, що складаються з чотирьох кутів та сторін. Можна виділити такі:

паралелограм;
квадрат;
прямокутник;
трапеція;
ромб.

Всі ці постаті поєднує не лише те, що вони чотирикутні, а й те, що вони ще й опуклі. Достатньо просто розглянути схему:

На малюнку зображена опукла трапеція. Тут видно, що трапеція знаходиться на одній площині або з одного боку від відрізка . Якщо провести аналогічні дії, можна з'ясувати, що і у випадку з усіма іншими сторонами трапеція опукла.

Чи є паралелограм опуклим чотирикутником?

Вище показано зображення паралелограма. Як видно з малюнка, паралелограм також є опуклим. Якщо подивитися на фігуру щодо прямих, на яких лежать відрізки AB, BC, CD і AD, стає зрозуміло, що вона завжди знаходиться на одній площині від цих прямих. Основними ознаками паралелограма і те, що його сторони попарно паралельні і рівні як і, як і протилежні кути рівні між собою.

Тепер, уявіть квадрат або прямокутник. За своїми основними властивостями є ще й паралелограмами, тобто всі їхні сторони розташовані попарно паралельно. Тільки у разі прямокутника довжина сторін може бути різною, а кути прямі (рівні 90 градусам), квадрат — це прямокутник, у якого всі сторони рівні і кути також прямі, а у паралелограма довжини сторін і кути можуть бути різними.

У підсумку сума всіх чотирьох кутів чотирикутника повинна дорівнювати 360 градусам. Найлегше це визначити по прямокутнику: всі чотири кути прямокутника прямі, тобто дорівнюють 90 градусам. Сума цих 90-градусних кутів дає 360 градусів, тобто, якщо скласти 90 градусів 4 рази, вийде необхідний результат.

Властивість діагоналей опуклого чотирикутника

Діагоналі опуклого чотирикутника перетинаються. Справді, це явище можна спостерігати візуально, досить поглянути на малюнок:

На малюнку зліва зображено неопуклий чотирикутник або чотиристоронник. Як завгодно. Як видно, діагоналі не перетинаються, принаймні не всі. Праворуч зображено опуклий чотирикутник. Тут вже спостерігається якість діагоналей перетинатися. Це властивість вважатимуться ознакою опуклості чотирикутника.

Інші властивості та ознаки опуклості чотирикутника

Саме з цього терміну дуже складно назвати певні властивості і ознаки. Легше відокремити за різним видамчотирикутників такого типу. Почати можна з паралелограма. Ми вже знаємо, що це чотирикутна постать, сторони якої попарно паралельні та рівні. При цьому, сюди включається властивість діагоналей паралелограма перетинатися між собою, а також сама по собі ознака опуклості фігури: паралелограм знаходиться завжди в одній площині і по один бік щодо будь-якої зі своїх сторін.

Отже, відомі основні ознаки та властивості:

сума кутів чотирикутника дорівнює 360 градусів;
діагоналі фігур перетинаються в одній точці.

Прямокутник. Ця фігура має ті самі властивості й ознаки, як і паралелограм, та заодно всі кути його дорівнюють 90 градусам. Звідси й назва прямокутник.

Квадрат, той же паралелограмале кути його прямі як у прямокутника. Через це квадрат у поодиноких випадках називають прямокутником. Але головним відмітною ознакоюквадрата крім перерахованих вище, і те, що це чотири його боку рівні.

Трапеція – дуже цікава фігура. Це також чотирикутник і теж опуклий. У цій статті трапеція розглядалася на прикладі малюнка. Зрозуміло, що вона теж опукла. Головною відмінністю, а відповідно ознакою трапеції є те, що її сторони можуть бути абсолютно не рівними один одному за довжиною, а також її кути за значенням. При цьому фігура завжди залишається на одній площині відносно будь-якої з прямих, яка з'єднує будь-які дві її вершини по відрізкам, що утворюють фігуру.

Ромб - не менш цікава фігура. Частково ромбом можна вважати квадрат. Ознакою ромба є те що, що його діагоналі як перетинаються, а й ділять кути ромба навпіл, самі діагоналі перетинаються під прямим кутом, тобто, вони перпендикулярні. Якщо довжини сторін ромба рівні, то діагоналі теж діляться навпіл при перетині.

Дельтоїди або опуклі ромбоїди (ромби)можуть мати різну довжину сторін. Але при цьому все одно зберігаються як основні властивості та ознаки самого ромба, так і ознаки та властивості опуклості. Тобто ми можемо спостерігати, що діагоналі ділять кути навпіл і перетинаються під прямим кутом.

Сьогоднішнім завданням було розглянути і зрозуміти, що таке опуклі чотирикутники, які вони бувають та їх основні ознаки та властивості. Увага! Ще раз нагадає, що сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360 градусам. Периметр фігур, наприклад, дорівнює сумідовжин всіх утворюють фігуру відрізків. Формули розрахунку периметра та площі чотирикутників будуть розглянуті у наступних статтях.

Види опуклих чотирикутників

Сьогодні розглянемо геометричну фігуру- Чотирикутник. З назви цієї фігури вже стає зрозуміло, що ця фігура має чотири кути. А ось інші властивості та характеристики цієї фігури ми розглянемо нижче.

Що таке чотирикутник

Чотирьохкутник - багатокутник, що складається з чотирьох точок (вершин) і чотирьох відрізків (сторон), що попарно з'єднують ці точки. Площа чотирикутника дорівнює напівтвору його діагоналей та кута між ними.

Чотирьохкутник - це багатокутник із чотирма вершинами, три з яких не лежать на одній прямій.

Види чотирикутників

Чотирьохкутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні, називається паралелограмом.
Чотирьохкутник, у якого дві протилежні сторони паралельні, а дві інші – ні, називається трапецією.
Чотирьохкутник, у якого всі кути прямі, є прямокутником.
Чотирьохкутник, у якого всі сторони рівні, є ромбом.
Чотирьохкутник, у якого всі сторони рівні та всі кути прямі, називається квадратом.

Чотирьохкутник може бути:

Самоперетинається

Невипуклим

Випуклим

Чотирикутник, що самоперетинається- це чотирикутник, у якого будь-які його сторони мають точку перетину (на малюнку синім кольором).

Неопуклий чотирикутник- це чотирикутник, у якому один із внутрішніх кутів більше 180 градусів (на малюнку позначений оранжевим кольором).

Сума кутівбудь-якого чотирикутника, який не є самопересічний завжди дорівнює 360 градусів.

Особливі види чотирикутників

Чотирикутники можуть мати додаткові властивості, утворюючи особливі види геометричних фігур:

Паралелограм
Прямокутник
Квадрат
Трапеція
Дельтоїд
Контрпаралелограм

Чотирикутник та коло

Чотирьохкутник, описаний навколо кола (коло, вписане в чотирикутник).

Головна властивість описаного чотирикутника:

Чотирьохкутник можна описати навколо кола тоді і лише тоді, коли суми довжин протилежних сторін дорівнюють.

Чотирикутник, вписаний у коло (коло, описане навколо чотирикутника)

Головна властивість вписаного чотирикутника:

Чотирьохкутник можна вписати в коло тоді і лише тоді, коли суми протилежних кутів дорівнюють 180 градусів.

Властивості довжин сторін чотирикутника

Модуль різниці двох сторін чотирикутникане перевищує суми двох інших сторін.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

| b - c | ≤ a + d

| b - d | ≤ a + b

| c - d | ≤ a + b

Важливо. Нерівність правильна для будь-якої комбінації сторін чотирикутника. Малюнок наведено виключно полегшення сприйняття.

У будь-якому чотирикутнику сума довжин трьох його сторін не менша за довжину четвертої сторони.

Важливо. При вирішенні завдань у межах шкільної програмиможна використовувати сувора нерівність (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

У вашому браузері вимкнено Javascript.
Щоб розрахувати, необхідно дозволити елементи ActiveX!