Способи переведення чисел з однієї системи числення до іншої.
Переклад чисел із однієї позиційної системи числення до іншої: переклад цілих чисел.
Щоб перевести ціле число з однієї системи числення з основою d1 в іншу з основою d2 необхідно послідовно ділити це число і приватні, що отримуються, на основу d2 нової системидо тих пір, поки не вийде приватна менша підстава d2. Останнє приватне - старша цифра числа в новій системі числення з основою d2, а наступні за нею цифри - це залишки від розподілу, що записуються в послідовності, що зворотна їх одержання. Арифметичні дії виконувати в тій системі числення, в якій записано число, що переводиться.
Приклад 1. Перевести число 11(10) у двійкову систему числення.
Відповідь: 11 (10) = 1011 (2).
Приклад 2. Перевести число 122(10) у вісімкову систему числення.
Відповідь: 122 (10) = 172 (8).
Приклад 3. Перевести число 500(10) у шістнадцяткову систему числення.
Відповідь: 500 (10) = 1F4 (16).
Переклад чисел з однієї позиційної системи числення до іншої: переклад правильних дробів.
Щоб перевести правильний дріб із системи числення з основою d1 в систему з основою d2, необхідно послідовно множити вихідний дріб і дробові частини творів, що виходять, на основу нової системи числення d2. Правильна дріб числа в новій системі числення з основою d2 формується у вигляді цілих частин творів, що виходять, починаючи з першого.
Якщо при перекладі виходить дріб у вигляді нескінченного або ряду, що розходиться, процес можна закінчити при досягненні необхідної точності.
При перекладі змішаних чисел, необхідно в нову систему перевести окремо цілу і дробову частини за правилами перекладу цілих чисел і правильних дробів, а потім об'єднати обидва результати в одне змішане число в новій системі числення.
Приклад 1. Перевести число 0,625(10) у двійкову систему числення.
Відповідь: 0,625 (10) = 0,101 (2).
Приклад 2. Перевести число 0,6(10) у вісімкову систему числення.
Відповідь: 0,6 (10) = 0,463 (8).
Приклад 2. Перевести число 0,7(10) у шістнадцяткову систему числення.
Відповідь: 0,7 (10) = 0, В333 (16).
Переклад двійкових, вісімкових та шістнадцяткових чисел у десяткову систему числення.
Для переведення числа P-їчної системи в десяткову необхідно використовувати таку формулу розкладання:
аnan-1 ... а1а0 = аnPn + аn-1Pn-1 + ... + а1P + a0 .
Приклад 1. Перевести число 101,11(2) до десяткової системи числення.
Відповідь: 101,11 (2) = 5,75 (10).
Приклад 2. Перевести число 57,24(8) до десяткової системи числення.
Відповідь: 57,24 (8) = 47,3125 (10).
Приклад 3. Перевести число 7A,84(16) до десяткової системи числення.
Відповідь: 7A,84 (16) = 122,515625 (10).
Переклад вісімкових та шістнадцяткових чисел у двійкову систему числення і назад.
Для переведення числа з вісімкової системи числення у двійкову необхідно кожну цифру цього числа записати трирозрядним двійковим числом (тріадою).
Приклад: записати число 16,24(8) у двійковій системі числення.
Відповідь: 16,24 (8) = 1110,0101 (2).
Для зворотного переведення двійкового числа у вісімкову систему числення необхідно вихідне число розбити на тріади ліворуч і праворуч від коми і подати кожну групу цифрою у вісімковій системі числення. Останні неповні тріади доповнюють нулями.
Приклад: записати число 1110,0101(2) у восьмеричній системі числення.
Відповідь: 1110,0101 (2) = 16,24 (8).
Для переведення числа з шістнадцяткової системи числення у двійкову необхідно кожну цифру цього числа записати чотирирозрядним двійковим числом (зошитою).
Приклад: записати число 7A,7E(16) у двійковій системі числення. 
Відповідь: 7A, 7E (16) = 1111010, 0111111 (2) .
Примітка: незначні нулі зліва для цілих чисел і справа для дробів не записуються.
Для зворотного переведення двійкового числа в шістнадцяткову систему числення необхідно вихідне число розбити на зошити вліво і вправо від коми і подати кожну групу цифрою в шістнадцятковій системі числення. Останні неповні тріади доповнюють нулями.
Приклад: записати число 1111010,0111111(2) у шістнадцятковій системі числення.
З 16 або 8 до 2
| Переклад вісімковихі шістнадцятковихчисел у двійкову системудуже простий: досить кожну цифру замінити еквівалентною їй двійковою тріадою(трійкою цифр) або зошитом(четвіркою цифр) (див. таблицю). | |||||||
| Двійкова (Підстава 2) | Вісімкова (Підстава 8) | Десятична (Підстава 10) | Шістнадцяткова (Підстава 16) | ||||
| тріади | зошити | ||||||
| 0 1 | 0 1 2 3 4 5 6 7 | 000 001 010 011 100 101 110 111 | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F | 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 |
Наприклад:
а) Перекласти 305.4 8 "2" с.с.
б) Перекласти 7B2.E 16 "2" с.с.
16А 16 =1 0110 1010 2345 8 =11 100 101 2
З 2 до 16 або 8
Наприклад:
а) Перекласти 1101111001.1101 2 "8" с.с.
б) Перекласти 111111111011.100111 2 "16" с.с.
1000101010010101 2 = 1000 1010 1001 0101 = 8A95 16 = 1 000 101 010 010 101 = 105 225 8
З 16 до 8 і назад
Переведення з вісімкової в шістнадцяткову систему і назад здійснюється через двійкову систему за допомогою тріад та зошит.
Наприклад:
Перекласти 175.24 8 "16" с.с.
Результат: 175.24 8 = 7D.5 16 .
З 10 до будь-якої с.с.
Наприклад:
а) Перекласти 181 10 "8" с.с.
Результат: 181 10 = 265 8
б) Перекласти 622 10 "16" с.с.
Результат: 622 10 = 26E 16
Переклад правильних дробів
Для перекладу правильною десяткового дробув іншу систему цей дріб треба послідовно множити на підставу тієї системи, в яку вона переводиться. При цьому множаться лише дробові частини. Дріб у новій системі записується у вигляді цілих частин творів, починаючи з першого.
Наприклад:
Перекласти 0.3125 10 "8" пн.с.
Результат: 0.3125 10 = 0.24 8
Зауваження.Кінцевого десяткового дробу в іншій системі числення може відповідати нескінченний (іноді періодичний) дріб. У цьому випадку кількість знаків у поданні дробу у новій системі береться залежно від необхідної точності.
Наприклад:
Перекласти 0.65 10 "2" пн.с. Точність 6 знаків.
Результат: 0.65 10 0.10(1001) 2
Для переведення неправильного десяткового дробу в систему числення з десятковою основоюнеобхідно окремо перевести цілу частину та окремо дробову.
Наприклад:
Перекласти 23.125 10 "2" с.с.
Таким чином: 2310 = 101112; 0.125 10 = 0.001 2 .
Результат: 23.125 10 = 10111.001 2 .
Слід зазначити, що цілі числа залишаються цілими, а правильні дроби - дробами у системі числення.
З 2, 8 або 16 до 10
Наприклад:
a)10101101.101 2 = 1 2 7 + 0 2 6 + 1 2 5 + 0 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 1 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 - 3 = 173.625 10
б) Перекласти 703.04 8 "10" с.с.
703.04 8 = 7 8 2 + 0 8 1 + 3 8 0 + 0 8 -1 + 4 8 -2 = 451.0625 10
в) Перекласти B2E.4 16 "10" с.с.
B2E.4 16 = 11 16 2 + 2 16 1 + 14 16 0 + 4 16 -1 = 2862.25 10
Схема переведення чисел з однієї системи числення до іншої
Aрифметичні операції у позиційних системах числення
Розглянемо основні арифметичні операції: додавання, віднімання, множення та поділ. Правила виконання цих операцій у десятковій системі добре відомі - це додавання, віднімання, множення стовпчиком та розподіл кутом. Ці правила застосовні і для всіх інших позиційних систем числення. Тільки таблицями складання та множення треба користуватися особливими кожної системи.
Додавання
При додаванні цифри сумуються за розрядами, і якщо при цьому виникає надлишок, то він переноситься вліво
При додаванні двійкових чисел у кожному розряді проводиться додавання цифр доданків і перенесення із сусіднього молодшого розряду, якщо він є. При цьому необхідно враховувати, що 1+1 дають нуль у даному розряді та одиницю перенесення до наступного.
Наприклад:
Виконати складання двійкових чисел:
а) X = 1101, Y = 101;
Результат 1101+101=10010.
б) X = 1101, Y = 101, Z = 111;
Результат 1101+101+111=11001.
Таблиця додавання в 8-ій системі числення
| 2+2=4 | 3+2=5 | 4+2=6 | 5+2=7 | 6+2=10 | 7+2=11 |
| 2+3=5 | 3+3=6 | 4+3=7 | 5+3=10 | 6+3=11 | 7+3=12 |
| 2+4=6 | 3+4=7 | 4+4=10 | 5+4=11 | 6+4=12 | 7+4=13 |
| 2+5=7 | 3+5=10 | 4+5=11 | 5+5=12 | 6+5=13 | 7+5=14 |
| 2+6=10 | 3+6=11 | 4+6=12 | 5+6=13 | 6+6=14 | 7+6=15 |
| 2+7=11 | 3+7=12 | 4+7=13 | 5+7=14 | 6+7=15 | 7+7=16 |
Таблиця додавання в 16-ій системі числення
| + | A | B | C | D | E | F | ||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | A | B | C | D | E | F | ||||||||||
| B | B | C | D | E | F | 1A | ||||||||||
| C | C | D | E | F | 1A | 1B | ||||||||||
| D | D | E | F | 1A | 1B | 1C | ||||||||||
| E | E | F | 1A | 1B | 1C | 1D | ||||||||||
| F | F | 1A | 1B | 1C | 1D | 1E |
Для перекладу чисел з однієї системи числення в іншу необхідно володіти основними відомостями про системи числення та форму представлення чисел у них.
Кількість sрізних цифр, які у системі числення, називається основою, чи базою системи числення. У випадку позитивне число Xу позиційній системі з основою sможе бути представлено у вигляді полінома:
де s- база системи числення; - цифри, допустимі в даній системі числення. Послідовність утворює цілу частину X, а послідовність - дробову частину X.
У обчислювальній техніці найбільше застосування знайшли двійкова (BIN - binary), та двійково кодовані системи числення: вісімкова (OCT - octal), шістнадцяткова (HEX - hexadecimal) та двійково-кодована десяткова (BCD - binary coded decimal).
Надалі для позначення використовуваної системи числення число полягатиме в дужки, а в індексі зазначено основу системи. Число Xна підставі sбуде позначено.
Двійкова система числення
Підставою системи числення служить число 2 ( s= 2) і для запису чисел використовуються лише дві цифри: 0 і 1. Щоб уявити будь-який розряд двійкового числа, достатньо мати фізичний елемент із двома чітко різними стійкими станами, одне з яких зображує 1, а інше 0.
Перш ніж зайнятися переведенням із будь-якої системи числення в двійкову, потрібно уважно вивчити приклад запису числа в двійковій системі числення:
Якщо Вам не потрібно заглиблюватись у теорію, а потрібно лише отримати результат, то скористайтесь Калькулятор онлайн Переклад цілих чисел з десяткової системи числення до інших систем .
Вісімкова та шістнадцяткова системи числення
Ці системи числення відносяться до двійково-кодованих, в яких основа системи числення є цілим ступенем двійки: - для вісімкової і - для шістнадцяткової.
У восьмеричній системі числення ( s= 8) використовуються 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Перш ніж зайнятися переведенням з будь-якої системи числення у вісімкову, потрібно уважно вивчити приклад запису числа у вісімковій системі:
У шістнадцятковій системі числення ( s= 16) використовуються 16 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Приклад запису числа у шістнадцятковій системі:
Широке застосування вісімкової та шістнадцяткової систем числення обумовлено двома факторами.
По-перше, ці системи дозволяють замінити запис двійкового числа компактнішим уявленням (запис числа у вісімковій і шістнадцятковій системах буде відповідно в 3 і 4 рази коротше двійкового запису цього числа). По-друге, взаємне перетворення чисел між двійковою системою з одного боку та восьмеричною та шістнадцятирічною – з іншого здійснюється порівняно просто. Дійсно, оскільки для вісімкового числа кожен розряд представляється групою з трьох двійкових розрядів (тріад), а для шістнадцяткового - групою з чотирьох двійкових розрядів (зошит), то для перетворення двійкового числа достатньо об'єднати його цифри в групи по 3 або 4 розряди відповідно, просуваючись від розділової коми вправо та вліво. При цьому, у разі потреби, додають нулі ліворуч від цілої частини та/або праворуч від дробової частини та кожну таку групу - тріаду або зошит - замінюють евівалентною восьмеричною або шістнадцятковою цифрою (див. таблицю).
Якщо Вам не потрібно заглиблюватись у теорію, а потрібно лише отримати результат, то скористайтесь Калькулятор онлайн Переклад цілих чисел з десяткової системи числення до інших систем .
Відповідність між цифрами у різних системах числення| DEC | BIN | OCT | HEX | BCD |
| 0 | 0000 | 0 | 0 | 0000 |
| 1 | 0001 | 1 | 1 | 0001 |
| 2 | 0010 | 2 | 2 | 0010 |
| 3 | 0011 | 3 | 3 | 0011 |
| 4 | 0100 | 4 | 4 | 0100 |
| 5 | 0101 | 5 | 5 | 0101 |
| 6 | 0110 | 6 | 6 | 0110 |
| 7 | 0111 | 7 | 7 | 0111 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 | 1000 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 | 1001 |
| 10 | 1010 | 12 | A | 0001 0000 |
| 11 | 1011 | 13 | B | 0001 0001 |
| 12 | 1100 | 14 | C | 0001 0010 |
| 13 | 1101 | 15 | D | 0001 0011 |
| 14 | 1110 | 16 | E | 0001 0100 |
| 15 | 1111 | 17 | F | 0001 0101 |
Для зворотного перекладу кожна OCT або HEX цифра замінюється відповідно тріадою або зошитом двійкових цифр, причому нулі, що незначні, зліва і праворуч відкидаються.
Для розглянутих раніше прикладів це виглядає так:
Якщо Вам не потрібно заглиблюватись у теорію, а потрібно лише отримати результат, то скористайтесь Калькулятор онлайн Переклад цілих чисел з десяткової системи числення до інших систем .
Двійково-десяткова система числення
У двійково-десятковій системі вага кожного розряду дорівнює ступеню 10, як у десятковій системі, а кожна десяткова цифра кодується чотирма двійковими цифрами. Для запису десяткового числа у BCD-системі достатньо замінити кожну десяткову цифруеквівалентною чотирирозрядною двійковою комбінацією:
Будь-яке десяткове числоможна уявити в двійково-десятковій записи, але пам'ятати, що це двійковий еквівалент числа. Це видно з наступного прикладу:
Переведення чисел з однієї системи числення до іншої
Нехай X- Число в системі числення з основою s, яке потрібно представити в системі з основою h. Зручно розрізняти два випадки.
У першому випадку і, отже, при переході до основи hможна використовувати арифметику цієї системи. Метод перетворення полягає у поданні числа у вигляді багаточлена за ступенями s, а також у обчисленні цього багаточлена за правилами арифметики системи числення з основою h. Так, наприклад, зручно переходити від двійкової або вісімкової системи числення до десяткової. Описаний прийом ілюструють такі приклади:
.
.
В обох випадках арифметичні дії виконуються за правилами обчислення з підставою 10.
У другому випадку () зручніше користуватися арифметикою на основі s. Тут слід враховувати, що переклад цілих чисел і правильних дробів провадиться за різними правилами. При перекладі змішаних дробівціла і дробова частини перекладаються кожна за своїми правилами, після чого отримані числа записуються через кому.
Переклад цілих чисел
Правила перекладу цілих чисел стає зрозумілим з загальної формулизаписи числа у довільній позиційній системі. Нехай число у вихідній системі числення sмає вигляд. Потрібно отримати запис числа в системі числення з основою h:
.
Для знаходження значень розділимо цей багаточлен на h:
.
Як видно, молодший розряд, тобто дорівнює першому залишку. Наступний значний розряд визначається поділом приватного на h:
.
Інші також обчислюються шляхом поділу приватних до того часу, поки стане рівним нулю.
Для перекладу цілого числа з s-їчної системи числення в h-ічну необхідно послідовно ділити це число та одержувані приватні на h (за правилами системи числення з основою h) до тих пір, поки приватне не стане рівним нулю. Старшою цифрою в записі числа з основою h служить останній залишок, а наступні за нею цифри утворюють залишки від попередніх поділів, що виписуються в послідовності, зворотній їхньому отриманню.
1. Порядковий рахунок у різних системах числення.
У сучасного життями використовуємо позиційні системи числення, тобто системи, у яких число, що позначається цифрою, залежить від положення цифри запису числа. Тому надалі ми говоритимемо лише про них, опускаючи термін «позиційні».
Щоб навчитися переводити числа з однієї системи до іншої, зрозуміємо, як відбувається послідовна запис чисел з прикладу десяткової системи.
Оскільки ми маємо десяткову систему числення, ми маємо 10 символів (цифр) для побудови чисел. Починаємо порядковий рахунок: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифри закінчились. Ми збільшуємо розрядність числа і обнулюємо молодший розряд: 10. Потім знову збільшуємо молодший розряд, доки не закінчаться всі цифри: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Збільшуємо старший розряд на 1 і обнулюємо молодший: 20. Коли ми використовуємо всі цифри для обох розрядів (отримаємо число 99), знову збільшуємо розрядність числа і обнулюємо розряди: 100. І так далі.
Спробуємо зробити те саме в 2-й, 3-й і 5-й системах (введемо позначення для 2-ї системи, для 3-ї і т.д.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Якщо система числення має основу більше 10, нам доведеться вводити додаткові символи, прийнято вводити літери латинського алфавіту. Наприклад, для 12-річної системи крім десяти цифр нам знадобляться дві літери ( і ):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2.Перевод з десяткової системи числення до будь-якої іншої.
Щоб перевести ціле позитивне десяткове число в систему числення з іншою основою, потрібно це число поділити на основу. Отримане приватне знову розділити на основу, і далі до тих пір, поки приватна не виявиться меншою за основу. В результаті записати в один рядок останнє приватне та всі залишки, починаючи з останнього.
приклад 1.Перекладемо десяткове число 46 двійкову систему числення.
приклад 2.Переведемо десяткове число 672 у вісімкову систему числення.
приклад 3.Перекладемо десяткове число 934 в шістнадцяткову систему числення.
3. Переклад із будь-якої системи числення до десяткової.
Щоб навчитися переводити числа з будь-якої іншої системи в десяткову, проаналізуємо звичний нам запис десяткового числа.
Наприклад, десяткове число 325 – це 5 одиниць, 2 десятки і 3 сотні, тобто.
Так само і в інших системах числення, тільки множити будемо не на 10, 100 і ін., а на ступеня заснування системи числення. Наприклад візьмемо число 1201 у трійковій системі числення. Пронумеруємо розряди праворуч наліво починаючи з нуля і представимо наше число як суму творів цифри на трійку в міру розряду числа:
Це десятковий запис нашого числа, тобто.
приклад 4.Переведемо до десяткової системи числення восьмеричне число 511.
Приклад 5.Переведемо до десяткової системи числення шістнадцяткове число 1151.
4. Переведення з двійкової системи до системи з основою «ступінь двійки» (4, 8, 16 тощо).
Для перетворення двійкового числа на число з підставою «ступінь двійки» необхідно двійкову послідовність розбити на групи за кількістю цифр рівною мірою праворуч наліво і кожну групу замінити відповідною цифрою нової системи числення.
Наприклад, Переведемо двійкове число у вісімкову систему. Для цього розіб'ємо його на групи по 3 символи починаючи праворуч (т.к. ), а потім скористаємось таблицею відповідності та замінимо кожну групу на нову цифру:
Таблицю відповідності ми навчилися будувати у п.1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Тобто.
Приклад 6.Перекладемо двійкове число в шістнадцяткову систему.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5.Переклад із системи з основою «ступінь двійки» (4, 8, 16 і т.д.) у двійкову.
Цей переклад аналогічний попередньому, виконаному в зворотний бік: кожну цифру замінюємо групою цифр у двійковій системі з таблиці відповідності.
Приклад 7.Перекладемо шістнадцяткове число С3A6 двійкову систему числення.
І тому кожну цифру числа замінимо групою з 4 цифр (т.к. ) з таблиці відповідності, доповнивши за необхідності групу нулями спочатку:
Здає ЄДІ і не тільки ...
Дивно, що у школах під час уроків інформатики зазвичай показують учням найскладніший і незручний спосіб переведення чисел із однієї системи до іншої. Це спосіб полягає в послідовному розподілі вихідного числа на основу та збирання залишків від розподілу у зворотному порядку.
Наприклад, потрібно перевести число 810 10 у двійкову систему:
Результат записуємо у зворотному порядку знизу нагору. Виходить 81010 = 11001010102
Якщо потрібно переводити в двійкову систему досить великі числа, то сходи поділів набувають розміру багатоповерхового будинку. І як тут зібрати всі одиночки з нулями і жодної не пропустити?
У програму ЄДІ з інформатики входять кілька завдань, пов'язаних із переведенням чисел з однієї системи до іншої. Як правило, це перетворення між 8- та 16-річними системами та двійковою. Це розділи А1, В11. Але є завдання з іншими системами числення, як, наприклад, у розділі B7.
Для початку нагадаємо дві таблиці, які добре знати напам'ять тим, хто обирає інформатику своєю подальшою професією.
Таблиця ступенів числа 2:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 | 2 7 | 2 8 | 2 9 | 2 10 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
Вона легко виходить множенням попереднього числа на 2. Так що якщо пам'ятаєте не всі ці числа, інші неважко отримати в розумі з тих, які пам'ятаєте.
Таблиця двійкових чисел від 0 до 15 з 16-річним поданням:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
Відсутні значення теж легко обчислити, додаючи по 1 до відомих значень.
Переклад цілих чисел
Отже, почнемо з переведення одразу в двійкову систему. Візьмемо те саме число 810 10 . Нам потрібно розкласти це число на доданки, рівні ступеням двійки.
- Шукаємо найближчий до 810 ступінь двійки, що не перевищує його. Це 29 = 512.
- Віднімаємо 512 з 810, отримуємо 298.
- Повторимо кроки 1 і 2, доки залишиться 1 чи 0.
- У нас вийшло так: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1 .
Спосіб 1: Розставити 1 за тими розрядами, які вийшли показники у доданків. У нашому прикладі це 9, 8, 5, 3 та 1. В інших місцях стоятимуть нулі. Отже, ми отримали двійкове уявлення числа 81010 = 11001010102. Одиниці стоять на 9-му, 8-му, 5-му, 3-му і 1-му місцях, вважаючи праворуч наліво з нуля.
Спосіб 2: Розпишемо доданки як ступені двійки один під одним, починаючи з більшого.
810 =
А тепер складемо ці сходи разом, як складають віяло: 1100101010 .
Ось і все. Принагідно також легко вирішується завдання «скільки одиниць у двійковому записі числа 810?».
Відповідь - стільки, скільки доданків (ступеня двійки) у такому його поданні. У 810 їх 5.
Тепер приклад простіший.
Переведемо число 63 у 5-річну систему числення. Найближчий до 63 ступінь числа 5 - це 25 (квадрат 5). Куб (125) буде вже багато. Тобто 63 лежить між квадратом 5 та кубом. Тоді підберемо коефіцієнт для 5 2 . Це два.
Отримуємо 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5 .
Ну і, нарешті, дуже легкі переклади між 8- і 16-річними системами. Оскільки їх основою є ступінь двійки, то переклад робиться автоматично, просто заміною цифр з їхньої двійкове уявлення. Для 8-річної системи кожна цифра замінюється трьома двійковими розрядами, а для 16-річної чотирма. При цьому всі провідні нулі обов'язкові, крім найстаршого розряду.
Переведемо до двійкової системи число 547 8 .
| 547 8 = | 101 | 100 | 111 |
| 5 | 4 | 7 |
Ще одне, наприклад, 7D6A 16 .
| 7D6A 16 = | (0)111 | 1101 | 0110 | 1010 |
| 7 | D | 6 | A |
Переведемо до 16-річної системи число 7368. Спочатку цифри запишемо трійками, а потім поділимо їх на четвірки з кінця: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16 . Переведемо до 8-річної системи число C25 16 . Спочатку цифри запишемо четвірками, а потім поділимо їх на трійки з кінця: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8 . Тепер розглянемо переведення назад у десяткову. Він не уявляє, головне не помилитися в розрахунках. Розкладаємо число на многочлен зі ступенями основи та коефіцієнтами при них. Потім все множимо та складаємо. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688. 732 8 = 7 * 8 2 + 3 * 8 + 2 = 474 .
Переклад негативних чисел
Тут потрібно врахувати, що число буде представлено додатковому коді. Для переведення числа в додатковий код потрібно знати кінцевий розмір числа, тобто у що ми хочемо його вписати - в байт, два байти, в чотири. Старший ряд цифр означає знак. Якщо там 0, число позитивне, якщо 1, то негативне. Ліворуч число доповнюється знаковим розрядом. Беззнакові (unsigned) числа ми розглядаємо, вони завжди позитивні, а старший розряд у яких використовується як інформаційний.
Для переведення негативного числа до двійковий додатковий код необхідно перевести позитивне число в двійкову систему, потім поміняти нулі на одиниці і одиниці на нулі. Потім додати результату 1.
Отже, переведемо число -79 у двійкову систему. Число займе у нас один байт.
Перекладаємо 79 в двійкову систему, 79 = 1001111. Доповнимо ліворуч нулями до розміру байта, 8 розрядів, отримуємо 01001111. Змінюємо 1 на 0 і 0 на 1. Отримуємо 10110000. До результату додаємо0 1, отримуємо0. Попутно відповідаємо на питання ЄДІ«скільки одиниць у двійковому поданні числа -79?». Відповідь – 4.
Додаток 1 до інверсії числа дозволяє усунути різницю між уявленнями +0 = 00000000 та -0 = 11111111. У додатковому коді вони будуть записані однаково 00000000.
Переклад дробових чисел
Дробові числа переводяться способом, оберненим поділу цілих чисел на основу, яку ми розглянули на самому початку. Тобто за допомогою послідовного множення на нову основу зі збиранням цілих частин. Отримані при множенні цілі частини збираються, але не беруть участь у наступних операціях. Примножуються лише дробові. Якщо вихідне число більше 1, то ціла та дробова частини перекладаються окремо, потім склеюються.
Перекладемо число 0,6752 у двійкову систему.
| 0 | ,6752 |
| *2 | |
| 1 | ,3504 |
| *2 | |
| 0 | ,7008 |
| *2 | |
| 1 | ,4016 |
| *2 | |
| 0 | ,8032 |
| *2 | |
| 1 | ,6064 |
| *2 | |
| 1 | ,2128 |
Процес можна продовжувати довго, поки не отримаємо всі нулі в дробовій частині або буде досягнуто необхідної точності. Зупинимося поки що на 6-му знаку.
Виходить 0,6752 = 0,101011.
Якщо число було 5,6752, то у двійковому вигляді воно буде 101,101011.
