Найбільш прийнятний варіант рішення, яке приймається на управлінському рівні щодо будь-якого питання, прийнято вважати оптимальним, а процес його пошуку - оптимізацією.
Взаємозалежність та складність організаційних, соціально-економічних, технічних та інших аспектів управління виробництвом в даний час зводиться до прийняття управлінського рішення, яке торкається велика кількістьрізного роду факторів, що тісно переплітаються один з одним, через що стає неможливим зробити аналіз кожного окремо з використанням традиційних аналітичних методів.
Більшість чинників виступають визначальними у процесі прийняття рішення, і вони (за своєю суттю) не піддаються будь-якій кількісній характеристиці. Також існують такі, які практично незмінні. У зв'язку з цим виникла потреба у розробці особливих методів, здатних забезпечити вибір важливих управлінських рішеньу межах складних організаційних, економічних, технічних завдань (експертні оцінки, дослідження операцій та методи оптимізації та ін.).
Методи, спрямовані на дослідження операцій, застосовуються з метою пошуку оптимальних рішень у таких галузях управління, як організація процесів виробництва та перевезень, планування великомасштабного виробництва, матеріальне та технічне постачання.
Методи оптимізації рішень полягають у дослідженні у вигляді порівняння числових оцінок низки чинників, аналіз яких традиційними методами здійснити не можна. Оптимальне рішення – найкраще серед можливих варіантів щодо економічної системи, а найбільш прийнятне щодо окремо взятих елементів системи – субоптимальне.
Сутність методів дослідження операцій
Як вже згадувалося раніше, вони формують методи оптимізації управлінських рішень. Їх основа – математичні (детерміновані), імовірнісні моделі, що представляють досліджуваний процес, вид діяльності чи систему. Даного роду моделі представляють кількісну характеристикувідповідної проблеми. Вони є основою прийняття важливого управлінського рішення процесі пошуку оптимально прийнятного варианта.
Перелік питань, які грають істотну рольдля безпосередніх керівників виробництва та які дозволяються в ході використання аналізованих методів:
- ступінь обґрунтованості вибраних варіантів рішень;
- наскільки вони кращі за альтернативні;
- ступінь обліку визначальних факторів;
- який критерій оптимальності обраних рішень.
Дані методи оптимізації рішень (управлінських) націлені на пошук оптимальних рішень для якомога більшої кількостіфірм, підприємств чи його підрозділів. Вони ґрунтуються на існуючих досягненнях статистичних, математичних та економічних дисциплін (теорії ігор, масового обслуговування, графіків, оптимального програмування, математичної статистики).
Методи експертних оцінок
Дані методи оптимізації управлінських рішень застосовуються, коли завдання частково або повністю не схильна до формалізації, а також її рішення не може бути знайдено за допомогою математичних методів.
Експертиза - це дослідження складних особливих питань на етапі вироблення певного управлінського рішення відповідними особами, які мають спеціальний багаж знань і значний досвід, для отримання висновків, рекомендацій, думок, оцінок. У процесі експертного дослідження застосовуються новітні досягнення та науки та техніки в рамках спеціалізації експерта.
Розглянуті методи оптимізації ряду управлінських рішень (експертних оцінок) ефективні у вирішенні перерахованих нижче управлінських завдань у сфері виробництва:
- Вивчення складних процесів, явищ, ситуацій, систем, що характеризуються неформалізованими, якісними характеристиками.
- Ранжування та визначення згідно з заданим критерієм суттєвих факторів, що виступають визначальними щодо функціонування та розвитку виробничої системи.
- Розглянуті методи оптимізації особливо ефективні у сфері прогнозування тенденцій розвитку системи виробництва, і навіть її взаємодії із зовнішнім середовищем.
- Підвищення надійності експертної оцінкипереважно цільових функцій, які мають кількісний та якісний характер, за допомогою усереднення думок кваліфікованих фахівців.
І це лише деякі методи оптимізації низки управлінських рішень (експертної оцінки).
Класифікація аналізованих методів
Методи розв'язання задач оптимізації, виходячи з числа параметрів, можна поділити на:
- Методи оптимізації одновимірної.
- Методи оптимізації багатовимірної.
Їх ще називають "чисельні методи оптимізації". Якщо точним, це алгоритми її пошуку.
У рамках застосування похідних методи бувають:
- прямі методи оптимізації (нульового порядку);
- градієнтні способи (1-го порядку);
- методи 2-го порядку та ін.
Більшість методів багатовимірної оптимізації наближена до завдання другої групи методів (одномірної оптимізації).
Методи одновимірної оптимізації
Будь-які чисельні методи оптимізації засновані на наближеному чи точному обчисленні таких її характеристик, як значення цільової функції та функцій, які задають допустиму множину, їх похідні. Так, для кожного окремого завдання питання щодо вибору характеристик для обчислення може бути вирішене в залежності від існуючих властивостей аналізованої функції, наявних можливостей та обмежень у зберіганні та обробці інформації.
Існують такі методи розв'язання задач оптимізації (одномірної):
- метод Фібоначчі;
- дихотомії;
- золотого перерізу;
- подвоєння кроку.
Метод Фібоначчі
Для початку необхідно встановити координати т. x на проміжку як число, що дорівнює відношенню різниці (x - a) до різниці (b - a). Отже, a має щодо проміжку координату 0, а b - 1, середня точка -?
Якщо припустити, що F0 і F1 між собою рівні і набувають значення 1, F2 дорівнюватиме 2, F3 - 3, …, то Fn = Fn-1 + Fn-2. Отже, Fn – числа Фібоначчі, а пошук Фібоначчі – це оптимальна стратегія так званого послідовного пошуку максимуму через те, що вона досить тісно пов'язана з ними.
У рамках оптимальної стратегії прийнято вибирати xn – 1 = Fn-2: Fn, xn = Fn-1: Fn. При будь-якому з двох інтервалів (або ), кожен з яких може виступати як звужений інтервал невизначеності, точка (успадкована) щодо нового інтервалу матиме або координати, або . Далі, як xn - 2 приймається точка, яка має щодо нового проміжку одну з представлених координат. Якщо використовувати F(xn - 2), значення функції, успадковане від попереднього проміжку, стає можливим скорочення інтервалу невизначеності та передача у спадок одного значення функції.
На фінішному етапі вдасться перейти до такого інтервалу невизначеності, як , причому середня точка успадкована від попереднього кроку. Як x1 встановлюється точка, яка має відносну координату ½+ε, а остаточний інтервал невизначеності буде або [½, 1] по відношенню до .
На 1-му етапі довжина цього інтервалу скоротилася до Fn-1: Fn (з одиниці). На фінішних етапах скорочення довжин відповідних інтервалів представляється числами Fn-2: Fn-1, Fn-3: Fn-2, …, F2: F3, F1: F2 (1 + 2ε). Отже, довжина такого інтервалу, як остаточний варіант, прийме значення (1 + 2ε) : Fn.
Якщо знехтувати ε, то асимптотично 1: Fn дорівнюватиме rn, при цьому n→∞, а r = (√5 - 1) : 2, що приблизно дорівнює 0,6180.
Варто зазначити, що асимптотично для значних n кожен наступний крок пошуку Фібоначчі істотно звужує інтервал, що розглядається, з вищевказаним коефіцієнтом. Цей результат потрібно порівняти з 0,5 (коефіцієнт звуження інтервалу невизначеності в рамках методу бісекції для пошуку нуля функції).
Метод дихотомії
Якщо уявити певну цільову функцію, то спочатку потрібно знайти її екстремум на проміжку (a; b). Для цього вісь абсцис ділиться на чотири еквівалентні частини, потім необхідно визначити значення функції, що розглядається в 5 точках. Далі вибирається мінімум серед них. Екстремум функції повинен лежати в межах проміжку (a"; b"), який прилягає до точки мінімуму. Кордони пошуку звужуються вдвічі. А якщо мінімум розташований у т. a або b, то він звужується у всі чотири рази. Новий інтервал також поділяється на чотири рівні відрізки. У зв'язку з тим, що значення цієї функції у трьох точках були визначені на попередньому етапі, далі потрібно обчислити цільову функцію у двох точках.
Метод золотого перерізу
Для суттєвих значень n координати таких точок, як xn та xn-1 наближені до 1 - r, що дорівнює 0,3820, а r ≈ 0,6180. Поштовх з цих значень дуже близький до оптимальної стратегії, що шукається.
Якщо припустити, що F(0,3820) > F(0,6180), тоді окреслюється інтервал . Однак через те, що 0,6180 * 0,6180 ≈ 0,3820 ≈ xn-1, то в цій точці F вже відома. Отже, кожному етапі, починаючи з 2-го, необхідно лише одне обчислення цільової функції, у своїй кожен крок скорочує довжину аналізованого інтервалу з коефіцієнтом 0,6180.
На відміну від пошуку Фібоначчі, даному методіне потрібно фіксувати число n ще до початку пошуку.
«Золотий переріз» ділянки (a; b) - переріз, при якому відношення його r довжини до більшої частини (a; c) ідентичне відношенню більшої частини r до меншої, тобто (a; с) до (c; b). Неважко здогадатися, що r визначається за розглянутою вище формулою. Отже, при суттєвих n метод Фібоначчі перетворюється на даний.
Метод подвоєння кроку
Суть - пошук напрямку зменшення цільової функції, рух у цьому напрямі у разі успішного пошуку з поступово зростаючим кроком.
Спочатку визначаємо початкову координату M0 функції F(M), мінімальне значення кроку h0, напрямок пошуку. Потім визначаємо функцію т. M0. Далі робимо крок і знаходимо значення цієї функції у цій точці.
Якщо функція менше значення, Яке було на попередньому кроці, слід зробити наступний крок у тому ж напрямку, попередньо збільшивши його в 2 рази. При її значенні, яке більше попереднього, потрібно змінити напрямок пошуку, а потім почати рухатися у вибраному напрямку з кроком h0. Поданий алгоритм можна модифікувати.
Методи багатовимірної оптимізації
Вищезгаданий метод нульового порядку не бере до уваги похідні мінімізованої функції, через що їх використання може бути ефективним у разі виникнення будь-яких труднощів з обчисленням похідних.
Групу методів 1-го порядку ще називають градієнтними, тому що для встановлення напряму пошуку застосовують градієнт цієї функції - вектор, складовими якого виступають приватні похідні мінімізованої функції за відповідними оптимізованими параметрами.
У групі методів 2-го порядку застосовуються 2 похідні (їх використання досить обмежене через наявність труднощів у їх обчисленні).
Перелік методів безумовної оптимізації
При використанні багатовимірного пошуку без застосування похідних методи безумовної оптимізації:
- Хука та Джівса (здійснення 2 видів пошуку - за зразком та досліджуючий);
- мінімізації за правильним симплексом (пошук точки мінімуму відповідної функції за допомогою порівняння на кожній окремій ітерації її значень у вершинах симплексу);
- циклічного координатного спуску (використання як орієнтири пошуку координатних векторів);
- Розенброка (заснований на застосуванні одновимірної мінімізації);
- мінімізації за деформованим симплексом (модифікація методу мінімізації за правильним симплексом: додавання процедури стиснення, розтягування).
У ситуації використання похідних у процесі багатовимірного пошуку виділяють метод якнайшвидшого спуску (найбільш фундаментальна процедура мінімізації функції, що диференціюється, з декількома змінними).
Також виділяють ще такі методи, які використовують пов'язані напрямки (Метод Девідона-Флетчера-Пауелла). Його суть - подання напрямів пошуку як Dj * grad (f (y)).
Класифікація математичних методів оптимізації
Умовно, виходячи з розмірності функцій (цільових), вони бувають:
- з 1 змінною;
- багатовимірні.
Залежно від функції (лінійна чи нелінійна) існує велика кількість математичних методів, спрямованих на пошук екстремуму для вирішення поставленого завдання.
За критерієм застосування похідних математичні методиоптимізації поділяються на:
- методи обчислення 1 похідної цільової функції;
- багатовимірні (1-а похідна-векторна величина-градієнт).
Виходячи з ефективності обчислення, існують:
- методи швидкого обчислення екстремуму;
- спрощеного обчислення.
Це умовна класифікація аналізованих методів.
Оптимізація бізнес-процесів
Методи можуть використовуватися різні, залежно від вирішуваних проблем. Прийнято виділяти такі методи оптимізації бізнес-процесів:
- виключення (зменшення рівнів існуючого процесу, ліквідація причин перешкод та вхідного контролю, скорочення транспортних шляхів);
- спрощення (полегшене проходження замовлення, зниження комплексності продуктової структури, розподіл робіт);
- стандартизації (використання спеціальних програм, методів, технологій тощо);
- прискорення (паралельний інжиніринг, стимуляція, оперативне проектування дослідних зразків, автоматизація);
- зміна (зміни у сфері сировини, технологій, методів робіт, кадрового розташування, робочих систем, обсягу замовлення, порядку обробки);
- забезпечення взаємодії (щодо організаційних одиниць, персоналу, робочої системи);
- виділення та включення (щодо необхідних процесів, комплектуючих).
Податкова оптимізація: методи
Російське законодавство надає платнику податків дуже багаті можливості скорочення розмірів податків, через що прийнято виділяти такі способи, спрямовані на їхню мінімізацію, як загальні (класичні) і спеціальні.
Загальні методи податкової оптимізації такі:
- опрацювання облікової політики підприємства з максимально можливим застосуванням наданих російським законодавством повноважень (порядок списання МБП, вибір способу розрахунку виручки від товару і др.);
- оптимізація за допомогою договору (укладання пільгованих угод, чітке та грамотне використання формулювань тощо);
- застосування різноманітних пільг, податкових звільнень.
Другу групу методів також можуть використовувати всі фірми, проте вони все ж таки мають досить вузьку область застосування. Спеціальні методи оптимізації податків такі:
- заміни відносин (операція, що передбачає обтяжливе оподаткування, заміщується іншою, що дозволяє досягти аналогічну мету, але при цьому використовувати пільговий порядок податкового оподаткування).
- поділу відносин (заміна лише частини господарської операції);
- відстрочення податкового платежу (перенесення моменту появи об'єкта оподаткування на інший календарний період);
- прямого скорочення об'єкта податкового оподаткування (позбавлення багатьох оподатковуваних операцій чи майна без надання негативного впливуна основну господарську діяльністькомпанії).
5. Багатовимірна оптимізація
Лінійне програмування
Оптимізація - Це цілеспрямована діяльність, що полягає в отриманні найкращих результатів за відповідних умов.
Кількісна оцінка якості, що оптимізується, називається критерієм оптимальності або цільовою функцією . Її можна записати у вигляді:
|
(5.1) |
де x 1, x 2, …, x n- Деякі параметри об'єкта оптимізації.
Існують два типи завдань оптимізації – безумовні та умовні.
Безумовне завдання оптимізації полягає у відшуканні максимуму або мінімуму дійсної функції (5.1) відnдійсних змінних та визначення відповідних значень аргументів.
Умовні завдання оптимізації , або завдання з обмеженнями, - це такі, при формулюванні яких значення аргументів накладаються обмеження як рівностей чи нерівностей.
Вирішення задач оптимізації, в яких критерій оптимальності є лінійною функцієюнезалежних змінних (тобто містить ці змінні у першому ступені) з лінійними обмеженнями на них, становить предмет лінійного програмування.
Слово «програмування» відображає тут кінцеву мету дослідження – визначення оптимального плану або оптимальної програми, за якою з безлічі можливих варіантів досліджуваного процесу вибирають за якоюсь ознакою найкращий, оптимальний варіант.
прикладом таке завдання є завдання оптимального розподілу сировини між різними виробництвами за максимальної вартості продукції.
Нехай із двох видів сировини виготовляється продукція двох видів.
Позначимо: x 1 , x 2 – число одиниць продукції першого та другого виду, відповідно;з 1 , з 2 -ціноодиниці продукції першого і другого виду, відповідно. Тоді загальна вартість усієї продукції буде:
|
|
(5.2) |
Внаслідок виробництва бажано, щоб загальна вартість продукції була максимальною.R (x 1 , x 2 ) – цільова функція у цій задачі.
b 1 , b 2 -кількість сировини першого і другого видів, що є в наявності;a ij- Число одиниць i -го виду сировини, необхідне виробництва одиниціj-го виду продукції.
Враховуючи, що витрата даного ресурсу не може перевищувати загальної його кількості, запишемо обмежувальні умови щодо ресурсів:
|
|
(5.3) |
Щодо змінних x 1 , x 2 можна ще сказати, що вони неотрицательныине нескінченні.
|
(5.4) |
Серед безлічі розв'язків системи нерівностей (5.3) і (5.4) потрібно знайти таке рішення ( x 1 , x 2 ), для якого функціяRсягає найбільшого значення.
В аналогічному вигляді формулюються так звані транспортні завдання (завдання оптимальної організації доставки товарів, сировини або продукції з різних складів до кількох пунктів призначення при мінімумі витрат на перевезення) та інших.
Графічний методрозв'язання задачі лінійного програмування.
Нехай потрібно знайти x 1 та x 2 , задовольняютьсистемі нерівностей:
|
|
(5.5) |
та умовам невід'ємності:
|
(5.6) |
для яких функція
|
|
(5. 7 ) |
досягає максимуму.
Рішення.
Побудуємо у системі прямокутних координат x 1 Ox 2 область допустимих розв'язків задачі (рис.11). Для цього, замінюючи кожну з нерівностей (5.5) рівністю, будуємо відповіднуйому граничну пряму:
(i = 1, 2, … , r)
Мал. 11
Ця пряма поділяє всю площину на дві напівплощини. Для координат x 1 , x 2 будь-якої точки Аоднієї напівплощини виконується нерівність:
а для координат будь-якої точки Уіншої напівплощини - протилежна нерівність:
Координати будь-якої точки граничної прямої задовольняють рівняння:
Для визначення того, по який бік від граничної прямої розташовується напівплощина, що відповідає заданій нерівності, достатньо «випробувати» одну якусь точку (найпростіше точку Про(0; 0)). Якщо при підстановці її координат у ліву частину нерівності вона задовольняється, то напівплощина звернена убік до випробуваної точки, а якщо нерівність не задовольняється, то відповідна напівплощина звернена у протилежний бік. Напрямок напівплощини показується на кресленні штрихуванням. Нерівностям:
відповідають напівплощини, розташовані праворуч від осі ординат та над віссю абсцис.
На малюнку будуємо граничні прямі та напівплощини, що відповідають усім нерівностям.
Загальна, частина (перетин) всіх цих напівплощин буде являти собою область допустимих рішень даної задачі.
При побудові області допустимих рішень в залежності від конкретного виду системи обмежень (нерівностей) на змінні може зустрітися один із наступних чотирьох випадків:
Мал. 12. Область допустимих рішень порожня, що відповідає несумісності системи нерівностей; рішення немає
Мал. 13. Область допустимих рішень зображується однією точкою А, що відповідає єдиному рішенню системи
Мал. 14. Область допустимих рішень обмежена, зображується як опуклого багатокутника. Допустимих рішень безліч
Мал. 15. Область допустимих рішень необмежена у вигляді опуклої багатокутної області. Допустимих рішень безліч
Графічне зображення цільової функції
при фіксованому значенніRвизначає пряму, а при змініR- сімейство паралельних прямих із параметромR. Для всіх точок, що лежать на одній із прямих, функція Rприймає одне певне значення, тому вказані прямі називаються лініями рівня для функції R.
Вектор градієнта:
перпендикулярнийдо ліній рівня, показує напрямок зростанняR.
Завдання знайти оптимальне рішення системи нерівностей (5.5), котрій цільова функціяR(5.7) досягає максимуму, геометрично зводиться до визначення в області допустимих рішень точки, через яку пройде лінія рівня, що відповідає найбільшому значенню параметраR
Мал. 16
Якщо область допустимих рішень є опуклим багатокутником, то екстремум функціїR досягається принаймні в одній з вершин цього багатокутника.
Якщо екстремальне значенняRдосягається у двох вершинах, таке ж екстремальне значення досягається в будь-якій точці на відрізку, що з'єднує ці дві вершини. У цьому випадку кажуть, що завдання має альтернативний оптимум .
У разі необмеженої області екстремум функціїRабо не існує, або досягається в одній із вершин області, або має альтернативний оптимум.
приклад.
Нехай потрібно знайти значення x 1 та x 2 , що задовольняють системі нерівностей:
та умовам невід'ємності:
для яких функція:
досягає максимуму.
Рішення.
Замінимо кожну з нерівностей рівністю і побудуємо граничні прямі:
Мал. 17
Визначимо напівплощини, що відповідають даним нерівностям, шляхом «випробування» точки (0; 0). З урахуванням невід'ємності x 1 та x 2 отримаємо область допустимих розв'язків цієї задачі у вигляді опуклого багатокутника ОАВДЕ.
В області допустимих рішень знаходимо оптимальне рішення, будуючи вектор градієнта
показуєнапрямок зростанняR.
Оптимальне рішення відповідає точці Укоординати якої можна визначити або графічно, або шляхом вирішення системи двох рівнянь, що відповідають граничним прямим АВ та ВД:
Відповідь: x 1 = 2; x 2 = 6; R max = 22.
Завдання. Знайти положення точки екстремуму та екстремальне значення цільової функції
за заданих обмежень.
|
Таблиця 9 |
|||||
|
Екстремум |
Обмеження |
||||
|
M ax |
|
||||
|
Max |
|
||||
|
|
|||||
|
; ; |
|||||
|
;
;
|
|||||
|
| |||||
; 
;
; ;
;
;
;
;
;
Класичні методи безумовної оптимізації
Вступ
Як відомо, класичне завдання безумовної оптимізації має вигляд:
Існують аналітичні та чисельні методи вирішення цих завдань.
Насамперед згадаємо аналітичні методирозв'язання задачі безумовної оптимізації.
Методи безумовної оптимізації займають значне місце у курсі МО. Це зумовлено безпосереднім застосуванням їх під час вирішення низки оптимізаційних завдань, і навіть під час реалізації методів розв'язання значної частини завдань умовної оптимізації (завдань МП).
1. Необхідні умови для точки локального мінімуму (максимуму)
Нехай доставляє мінімальні значення функції. Відомо, що у цій точці збільшення функції неотрицательно, тобто.
Знайдемо, використовуючи розкладання функції на околиці т. в ряд Тейлора.
де, - сума членів низки порядку яких щодо прирощень (двох) і від.
З (4) очевидно випливає, що
Припустимо, що тоді
З урахуванням (6) маємо: . (7)
Припустимо, що позитивно, тобто. . Виберемо у своїй, тоді твір, що суперечить (1).
Тому справді очевидний.
Розмірковуючи аналогічно щодо інших змінних отримуємо необхідна умовадля точок локального мінімуму функції багатьох змінних
Легко довести, що з точки локального максимуму необхідні умови будуть такі ж, як й у точки локального мінімуму, тобто. умовами (8).
Відомо, що результатом підтвердження буде нерівність образу: - умова непозитивного збільшення функції навколо локального максимуму.
Отримані необхідні умови не дають відповіді на запитання: чи стаціонарна точка є точкою мінімуму або точкою максимуму.
Відповідь це питання можна отримати, вивчивши достатні умови. Ці умови передбачають дослідження матриці других похідних цільової функції.
2. Достатні умови для точки локального мінімуму (максимуму)
Представимо розкладання функції в околиці точки в ряд Тейлора з точністю до квадратичних складових.
Розкладання (1) можна подати коротше, використовуючи поняття: "скалярне твір векторів" і "векторно-матричне твір".
Матриця двох похідних від цільової функції за відповідними змінними.
Приріст функції на підставі (1") можна записати у вигляді:
Враховуючи необхідні умови:
Підставимо (3) у вигляді:
Квадратична форма називається диференціальною квадратичною формою (ДКФ).
Якщо ДКФ позитивно визначено, то стаціонарна точка є точкою локального мінімуму.
Якщо ж ДКФ і матриця, що її представляє, негативно визначені, то стаціонарна точка є точкою локального максимуму.
Отже, необхідна та достатня умова для точки локального мінімуму мають вигляд
(ці ж необхідні умови можна записати так:
Достатня умова.
Відповідно, необхідна та достатня умова локального максимуму має вигляд:
Згадаймо критерій, що дозволяє визначити: чи є квадратична форма і матриця, що її представляє, позитивно визначеною, чи негативно визначеною.
3. Критерій Сільвестра
Дозволяє відповісти на запитання: чи є квадратична форма та матриця, що її представляє, позитивно визначеною, чи негативно визначеною.
Називається матрицею Гессе.
Головний визначник матриці Гессе
та ДКФ, яку воно представляє, будуть позитивно визначеними, якщо всі головні визначники матриці Гессе () позитивні (тобто має місце наступна схема знаків:
Якщо має місце інша схема знаків для головних визначників матриці Гессе, наприклад, то матриця і ДКФ негативно визначені.
4. Метод Ейлера – класичний метод вирішення завдань безумовної оптимізації
Цей метод заснований на необхідних та достатніх умовах, вивчених у 1.1 – 1.3; застосуємо знаходження локальних екстремумів тільки безперервних функцій, що диференціюються.
Алгоритм цього досить простий:
1) використовуючи необхідні умови формуємо систему у випадку нелінійних рівнянь. Зазначимо, що аналітично вирішити цю систему в загальному випадку неможливо; слід застосувати чисельні методи розв'язання систем нелінійних рівнянь (НУ) (див. "ЧМ"). З цієї причини метод Ейлера буде аналітично-чисельним методом. Вирішуючи вказану систему рівнянь знаходимо координати стаціонарної точки.;
2) досліджуємо ДКФ та матрицю Гессе, яка її представляє. За допомогою критерію Сильвестра визначаємо, чи стаціонарна точка точкою мінімуму або точкою максимуму;
3) обчислюємо значення цільової функції в екстремальній точці
Методом Ейлера вирішити таке завдання безумовної оптимізації: знайти 4 стаціонарні точки функції виду:
З'ясувати характер цих точок, чи є вони точками мінімуму, чи сідловими (див. ). Побудувати графічне відображення цієї функції у просторі та на площині (за допомогою ліній рівня).
5. Класичне завдання умовної оптимізації та методи її вирішення: Метод виключення та Метод множників Лагранжа (ММЛ)
Як відомо, класичне завдання умовної оптимізації має вигляд:
Графік, що пояснює постановку задачі (1), (2) у просторі.
Рівняння ліній рівня
Отже, ОДР у розглянутій задачі є деякою кривою, представленою рівнянням (2").
Як очевидно з малюнка, точка є точкою безумовного глобального максимуму; точка – точкою умовного (відносного) локального мінімуму; точка – точка умовного (відносного) локального максимуму.
Завдання (1"), (2") можна вирішити методом виключення (підстановки), вирішивши рівняння (2") щодо змінної, та підставляючи знайдене рішення (1").
Вихідна задача (1"), (2") таким чином перетворена на задачу безумовної оптимізації функції, яку легко вирішити методом Ейлера.
Метод виключення (підстановки).
Нехай цільова функція залежить від змінних:
називаються залежними змінними (або змінними станами); відповідно, можна ввести вектор
Решта змінних називаються незалежними змінними рішення.
Відповідно можна говорити про вектор-стовпчик:
та вектор.
У класичному завданні умовної оптимізації:
Система (2) відповідно до методу виключення (підстановки) має бути дозволена щодо залежних змінних (змінних станів), тобто. повинні бути отримані такі вирази для залежних змінних:
Чи завжди система рівнянь (2) можна розв'язати щодо залежних змінних - не завжди, це можливо лише у випадку, коли визначник, званий якобіаном, елементи якого мають вигляд:
не дорівнює нулю (див. відповідну теорему в курсі МА)
Як видно, функції, повинні бути безперервними функціями, що диференціюються, по-друге, елементи визначника повинні бути обчислені в стаціонарній точці цільової функції.
Підставляємо з (3) в цільову функцію (1), маємо:
Досліджувана функція на екстремум можна зробити методом Ейлера – методом безумовної оптимізації безперервно диференційованої функції.
Отже, метод виключення (підстановки) дозволяє використовувати завдання класичної умовної оптимізації перетворити завдання безумовної оптимізації функції - функції змінних за умови (4), що дозволяє отримати систему виразів (3).
Недолік методу виключення: труднощі, котрий іноді неможливість отримання системи выражений (3). Вільний від цього недоліку, але вимагає виконання умови (4) ММЛ.
5.2. Метод множників Лагранжа. Необхідні умови у класичному завданні умовної оптимізації. Функція Лагранжа
ММЛ дозволяє вихідне завдання класичної умовної оптимізації:
Перетворити на завдання безумовної оптимізації спеціально сконструйованої функції - функції Лагранжа:
де - множники Лагранжа;
Як видно, є сумою, що складається з вихідної цільової функції і "зваженої" суми функцій, - функції, що представляють їх обмеження (2) вихідної задачі.
Нехай точка - точка безумовного екстремуму функції, тоді як відомо, або (повний диференціал функції в точці).
Використовуючи концепція залежних та незалежних змінних - залежні змінні; - незалежні змінні, тоді представимо (5) у розгорнутому вигляді:
З (2) з очевидністю випливає система рівнянь виду:
Результат обчислення повного диференціалудля кожної з функцій
Представимо (6) у "розгорнутому" вигляді, використовуючи концепцію залежних та незалежних змінних:
Зауважимо, що (6") на відміну від (5") є системою, що складається з рівнянь.
Помножимо кожне рівняння системи (6") на відповідний множник Лагранжа. Складемо їх між собою і з рівнянням (5") і отримаємо вираз:
Розпорядимося множниками Лагранжа таким чином, щоб вираз у квадратних дужках під знаком першої суми (іншими словами, коефіцієнти при диференціалах незалежних змінних) дорівнював нулю.
Термін "розпорядимося" множниками Лагранжа зазначеним чином означає, що необхідно вирішити деяку систему з рівнянь щодо.
Структуру такої системи рівнянь легко отримати, прирівнявши вираз у квадратній дужці під знаком першої суми нулю:
Перепишемо (8) у вигляді
Система (8") являє собою систему з лінійних рівнянь щодо відомих: . Система можна розв'язати, якщо (ось чому, як і в методі виключення в даному випадку має виконуватися умова). (9)
Оскільки у ключовому вираженні (7) перша сума дорівнює нулю, то легко зрозуміти, що й друга сума дорівнюватиме нулю, тобто. має місце наступна системарівнянь:
Система рівнянь (8) складається із рівнянь, а система рівнянь (10) складається з рівнянь; всього рівнянь у двох системах, а невідомих
Відсутні рівняння дає система рівнянь обмежень (2):
Отже, є система із рівнянь для знаходження невідомих:
Отриманий результат - система рівнянь (11) становить основний зміст ММЛ.
Легко зрозуміти, що систему рівнянь (11) можна здобути дуже просто, вводячи на розгляд спеціально сконструйовану функцію Лагранжа (3).
Дійсно
Отже, система рівнянь (11) представлена у вигляді (використовуючи (12), (13)):
Система рівнянь (14) представляє необхідну умову класичної задачі умовної оптимізації.
Знайдене в результаті розв'язання цієї системи значення вектора називається умовно-стаціонарною точкою.
Для того, щоб з'ясувати характер умовно-стаціонарної точки, необхідно скористатися достатніми умовами.
5.3 Достатні умови у класичному завданні умовної оптимізації. Алгоритм ММЛ
Ці умови дозволяють з'ясувати, чи є умовно-стаціонарна точка точкою локального умовного мінімуму, чи точкою локального умовного максимуму.
Відносно просто, подібно до того, як були отримані достатні умови в задачі на безумовний екстремум. Можна отримати достатні умови і завдання класичної умовної оптимізації.
Результат цього дослідження:
де – точка локального умовного мінімуму.
де - точка локального умовного максимуму, - матриця Гессе з елементами
Матриця Гессе має розмірність.
Розмірність матриці Гессе можна зменшити, використовуючи умову нерівності нулю якобіана: . У цьому умови можна залежні змінні висловити через незалежні змінні, тоді матриця Гессе матиме розмірність, тобто. необхідно говорити про матрицю з елементами
тоді достатні умови матимуть вигляд:
Крапка локального умовного мінімуму.
Крапка локального умовного максимуму.
Доказ: Алгоритм ММЛ:
1) складаємо функцію Лагранжа: ;
2) використовуючи необхідні умови, формуємо систему рівнянь:
3) із розв'язання цієї системи знаходимо точку;
4) використовуючи достатні умови, визначаємо, чи точка є точкою локального умовного мінімуму або максимуму, потім знаходимо
1.5.4. Графо-аналітичний метод вирішення класичної задачі умовної оптимізації у просторі та його модифікації при вирішенні найпростіших завдань ІП та АП
Цей метод використовує геометричну інтерпретацію класичної задачі умовної оптимізації і заснований на низці важливих фактів, властивих цьому завданню.
В - загальна дотична для функції та функції, що представляє ГДР.
Як видно з малюнка точка - точка безумовного мінімуму, точка - точка умовного локального мінімуму, точка - точка умовного локального максимуму.
Доведемо, що в точках умовних локальних екстремумів крива та відповідні лінії рівня
З курсу МА відомо, що у точці дотику виконується умова
де - кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної відповідною лінією рівня; - кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до функції
Відомий вираз (МА) для цих коефіцієнтів:
Доведемо, що це коефіцієнти рівні.
тому що про це "говорять" необхідні умови
Наведене вище дозволяє сформулювати алгоритм ДФА методу вирішення класичної задачі умовної оптимізації:
1) будуємо сімейство ліній рівня цільової функції:
2) будуємо ОДР, використовуючи рівняння обмеження
3) з метою внесення виправлення зростання функції, знаходимо та з'ясовуємо характер екстремальних точок;
4) досліджуємо взаємодію ліній рівня та функції, знаходячи при цьому із системи рівнянь координати умовно стаціонарних точок - локальних умовних мінімумів та локальних умовних максимумів.
5) обчислюємо
Слід особливо відзначити, що основні етапи ДФА методу розв'язання класичної задачі умовної оптимізації збігаються з основними етапами ДФА методу розв'язання задач НП та ЛП, відмінність лише в ОДР, а також у знаходженні розташування екстремальних точок в ОДР (наприклад, у завданнях ЛП ці точки обов'язково знаходяться у вершинах опуклого багатокутника, що представляє ГДР).
5.5. Про практичний зміст ММЛ
Уявимо класичне завданняумовної оптимізації у вигляді:
де - Змінні величини, що представляють у прикладних технічних та економічних завданнях змінні ресурси.
У просторі завдання (1), (2) набуває вигляду:
де – змінна величина. (2")
Нехай - точка умовного екстремуму:
При зміні змінюється
Відповідно зміниться і значення цільової функції:
Обчислимо похідну:
З (3), (4), (5). (6)
Підставимо (5") в (3) і отримуємо:
З (6), що множник Лагранжа характеризує "реакцію" значення (ортогональна значення цільової функції) на зміни параметра.
У загальному випадку (6) набуває вигляду:
З (6), (7), що множник, характеризує зміну при зміні відповідного ресурсу на 1.
Якщо - максимальний прибуток або мінімальна вартість, то характеризує зміни цієї величини при зміні на 1.
5.6. Класична задача умовної оптимізації як завдання про знаходження сідлової точки функції Лагранжа:
Пара називається сідловою точкою, якщо виконується нерівність.
Очевидно, що з (1). (2)
З (2), що. (3)
Як видно система (3) містить рівнянь, подібних до тих рівнянь, які представляють необхідну умову в класичному завданні умовної оптимізації:
де – функція Лагранжа.
У зв'язку з аналогією систем рівнянь (3) і (4), класичне завдання умовної оптимізації можна як завдання знаходження сідлової точки функції Лагранжа.
Подібні документи
Завдання багатовимірної оптимізації у дослідженні технологічних процесів виробництв текстильної промисловості, аналіз труднощів, що виникають. Знаходження екстремуму типу екстремуму значення цільової функції безумовної багатовимірної оптимізації.
контрольна робота , доданий 26.11.2011
Характеристика класичних методів, безумовної оптимізації. Визначення необхідної та достатньої умови існування екстремуму функцій однієї та кількох змінних. Правило множників Лагранжа. Необхідні та достатні умови оптимальності.
курсова робота , доданий 13.10.2013
Методика та особливості вирішення завдань оптимізації, зокрема про розподіл інвестицій та вибір шляху у транспортній мережі. Специфіка моделювання за допомогою методів Хеммінгу та Брауна. Ідентифікація, стимулювання та мотивація як функції управління.
контрольна робота , доданий 12.12.2009
Постановка, аналіз, графічне рішеннязадач лінійної оптимізації, симплекс-метод, двоїстість у лінійній оптимізації. Постановка транспортного завдання, властивості та знаходження опорного рішення. Умовна оптимізація при обмеженнях-рівностях.
методичка, доданий 11.07.2010
Критичний шлях у графі. Оптимальний розподіл потоку транспортної мережі. Завдання лінійного програмування, яке вирішується графічним методом. Незбалансоване транспортне завдання. Численні методи вирішення одновимірних завдань статичної оптимізації.
курсова робота , доданий 21.06.2014
Графічний метод розв'язання задачі оптимізації виробничих процесів. Застосування симплекс-алгоритму на вирішення економічної оптимізованої завдання управління виробництвом. Метод динамічного програмування для вибору оптимального профілю шляху.
контрольна робота , доданий 15.10.2010
Оптимізаційні методи розв'язання економічних завдань. Класична постановка задач оптимізації. Оптимізація функцій. Оптимізація функціоналів. Багатокритеріальна оптимізація. Методи зведення багатокритеріальної задачі до однокритеріальної. Метод поступок.
реферат, доданий 20.06.2005
Застосування методів нелінійного програмування на вирішення завдань із нелінійними функціями змінних. Умови оптимальності (теорема Куна-Таккер). методи умовної оптимізації (метод Вульфа); проектування градієнта; штрафних та бар'єрних функцій.
реферат, доданий 25.10.2009
Поняття, визначення, виділення особливостей, можливостей та характеристика існуючих проблем багатокритеріальної оптимізації та шляхи їх вирішення. Розрахунок методу рівних та найменших відхилень багатокритеріальної оптимізації та застосування його на практиці.
курсова робота , доданий 21.01.2012
Основні поняття моделювання. Загальні поняттята визначення моделі. Постановка задач оптимізації. Методи лінійного програмування. Загальна та типове завданняу лінійному програмуванні. Симплекс-метод розв'язання задач лінійного програмування.
Серед методів оптимізації нульового порядку в САПР знаходять застосування методи Розенброка, конфігурацій, багатогранника, що деформується, випадкового пошуку. До методів з використанням похідних належать методи якнайшвидшого спуску, сполучених градієнтів, змінної метрики.
Метод Розенброка є покращеним варіантом покоординатного спуску.
Метод покоординатного спускухарактеризується вибором напрямів пошуку по черзі вздовж усіх координатних осей, крок розраховується з урахуванням одномірної оптимізації, критерій закінчення пошуку , де - задана точність визначення локального екстремуму, - розмірність простору керованих параметрів. Траєкторія покоординатного спуску для прикладу двовимірного простору керованих параметрів показано на рис. 1, де – точки на траєкторії пошуку, – керовані параметри. Цільова функція представлена своїми лініями рівного рівня, біля кожної лінії записано відповідне значення . Очевидно, що є точка мінімуму.
Мал. 1. Траєкторія покоординатного спуску
При використанні методу покоординатного спуску велика ймовірність "застрягання" пошуку на дні яру далеко від точки екстремуму. На рис. 2 видно, що після попадання в точку , розташовану на дні яру, подальші кроки можливі лише у напрямках або , але вони призводять до погіршення цільової функції. Отже, пошук припиняється у точці .
Примітка 1
Яром називають частину простору керованих параметрів, у якій спостерігаються слабкі зміни похідних цільової функції за одними напрямами та значні зміни зі зміною знака — за іншими напрямками. Знак похідної змінюється у точках, що належать дну яру.
Мал. 3. Траєкторія покоординатного спуску при сприятливій орієнтації координатних осей
Метод Розенброкуполягає в такому повороті координатних осей, щоб одна з них виявилася квазіпаралельною дном яру. Такий поворот здійснюють на основі даних, отриманих після серії кроків покоординатного спуску. Положення нових осей може бути отримане лінійним перетвореннямколишніх осей: вісь збігається у напрямку з вектором; інші осі вибирають з умови ортогональності і один до одного.
Іншою вдалою модифікацією покоординатного спуску є Метод конфігурацій(Хука-Джівса). Відповідно до цього методу спочатку виконують звичайну серію з кроків покоординатного спуску, потім роблять додатковий крок у напрямку вектора, як показано на рис. 4, де додатковий крок виконують у напрямку вектора , що і приводить до точки .
Мал. 4. Ілюстрація способу змін
Пошук екстремуму методом деформованого багатогранника(Нелдера-Міда) заснований на побудові багатогранника з вершинами на кожному кроці пошуку, де розмірність простору керованих параметрів. На початку пошуку ці вершини вибирають довільно, наступних кроках вибір підпорядкований правилам методу.
Ці правила пояснюються на рис. 5 на прикладі двовимірної задачі оптимізації. Вибрано вершини вихідного трикутника: , , . Нова вершина знаходиться на промені, проведеному з найгіршої вершини (з вершини з найбільшим значенням цільової функції) через центр тяжкості багатогранника, причому рекомендується вибирати на відстані від , що дорівнює . Нова вершина замінює найгіршу вершину. Якщо виявляється, що має найкраще значення цільової функції серед вершин багатогранника, відстань збільшують. На малюнку саме ця ситуація має місце і збільшення дає крапку. У новому багатограннику з вершинами, гіршою є вершина, аналогічно отримують вершину, потім вершину і т.д. Якщо нова вершина виявиться найгіршою, то в багатограннику потрібно зберегти кращу вершину, а довжини всіх ребер зменшити, наприклад, удвічі (стягування багатогранника до кращої вершини). Пошук припиняється при виконанні умови зменшення розмірів багатогранника до певної межі.
крок вибирається оптимальним за допомогою одновимірної оптимізації.
При використанні методу якнайшвидшого спуску, як і більшості інших методів, ефективність пошуку суттєво знижується в яружних ситуаціях. Траєкторія пошуку набуває зигзагоподібного вигляду з повільним просуванням вздовж дна яру у бік екстремуму. Щоб підвищити ефективність градієнтних методів використовують кілька прийомів.
Один з прийомів, використаний у методі сполучених градієнтів(Називається також методом Флетчера-Рівса), заснований на понятті сполученості векторів. Вектори і називають сполученими, якщо , де - позитивно визначена квадратна матриця того ж порядку, що і розмір векторів і ( окремий випадоксполученості - ортогональність векторів, коли є одиничною матрицею порядку ), - Вектор-рядок, - Вектор-стовпець.
Особливість сполучених напрямків для , де - матриця Гессе, в задачах з квадратичною цільовою функцією полягає в наступному: одновимірна мінімізація послідовно по сполучених напрямках дозволяє знайти екстремальну точку не більше, ніж за кроків.
Примітка 2
Матрицею Гессе називають матрицю других приватних похідних цільової функції за керованими параметрами.
Підставою для використання пошуку по сполученим напрямкам є те, що для функцій () загального виглядуможе бути застосована квадратична апроксимація, що на практиці виливається у виконання пошуку більш ніж за кроків.
Пошук екстремуму виконують відповідно до формули
де - Коефіцієнт. Крім того, враховують умову сполученості
Оскільки крок розраховується виходячи з умови одномірної оптимізації, то, по-перше, справедливе співвідношення
Алгоритм пошуку зводиться до застосування формули (3), доки не буде виконано умову закінчення обчислень
Щоб визначити коефіцієнт , вирішують систему рівнянь (2)-(7) шляхом підстановки (4) величин з (3) і з (2):
або
звідки
та з урахуванням (6) та (7)
Вираз (10) - це система лінійних алгебраїчних рівнянь. Її корінь є черговим наближенням до рішення
Якщо процес сходиться, то рішення досягається за малу кількість ітерацій, закінченням яких слугує виконання умови
де
Тому
Можна показати, що прагне до , - При, де - Розмірність простору керованих параметрів. Через кроків потрібно знову починати з .
Оптимізація - процес знаходження екстремуму (глобального максимуму чи мінімуму) певної функції чи вибору найкращого (оптимального) варіанта з безлічі можливих. Найбільш надійним способом знаходження найкращого варіанта є порівняльна оцінка всіх можливих варіантів (альтернатив). Якщо число альтернатив велике, під час пошуку найкращої зазвичай використовують методи математичного програмування. Застосувати ці методи можна, якщо є строга постановка задачі: заданий набір змінних, встановлена область їх можливої зміни (задані обмеження) та визначено вид цільової функції (функції, екстремум якої потрібно знайти) від цих змінних. Остання є кількісною мірою (критеріями) оцінки ступеня досягнення поставленої мети.
Завдання безумовної оптимізації полягає у знаходженні мінімуму або максимуму функції без будь-яких обмежень. Попри те що більшість практичних завдань оптимізації містить обмеження, вивчення методів безумовної оптимізації важливо з кількох точок зору. Багато алгоритмів розв'язання задачі з обмеженнями припускають зведення її до послідовності задач безумовної оптимізації. Інший клас методів заснований на пошуку відповідного напрямку та подальшої мінімізації вздовж цього напрямку. Обґрунтування методів безумовної оптимізації може бути природно поширене на обґрунтування процедур вирішення завдань з обмеженнями.
Завдання умовної оптимізації полягає у пошуку мінімального чи максимального значення скалярної функції f(x) n-вимірного векторного аргументи. Розв'язання задачі ґрунтується на лінійній або квадратичній апроксимації цільової функції для визначення прирощень x1, …, xn на кожній ітерації. Існують також наближені методи розв'язання нелінійних завдань. Це методи, засновані на методі шматково-лінійної апроксимації. Точність знаходження рішень залежить від кількості інтервалів, на яких ми знаходимо рішення лінійного завдання, максимально наближеного до нелінійного. Такий метод дозволяє проводити розрахунки за допомогою симплекс-метода. Зазвичай у лінійних моделях коефіцієнти цільової функції постійні і залежить від значення змінних. Проте є низка завдань, де витрати залежить від обсягу нелінійно.
Алгоритм рішення:
- 1. Робота починається з побудови регулярного симплексу у просторі незалежних змінних і оцінюючи значення цільової функції у кожному з вершин симплекса.
- 2. Визначається вершина - найбільше значенняфункції.
- 3. Вершина проектується через центр ваги інших вершин у нову точку, яка використовується як вершина нового симплекса.
- 4. Якщо функція зменшується досить плавно, ітерації продовжуються до тих пір, поки або не буде накрита точка min, або не почнеться циклічний рух по 2 або більше симплексів.
- 5. Пошук завершується, коли або розміри симплекса, чи різниці між значеннями функції у вершинах залишаться достатньо малими.
Завдання: оптимізація ємностей. Досягти мінімальних витрат на виготовлення ємності об'ємом 2750 літрів для зберігання піску.
Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + C4X4 + C5X5 min;
де: X1 – кількість необхідного металу, кг;
C1 - вартість металу, руб/кг;
X2 - маса потрібних електродів, кг;
C2 - вартість електродів, руб/кг;
X3 – кількість витраченої електроенергії, кВт год;
C3 - вартість електроенергії, руб/кВт год;
X4 - час роботи зварювальника, год;
C4 - тарифна ставка зварювальника, руб/год;
X5 - час роботи витягу, год;
C5 - оплата витягу, руб/год.
1. Знайдемо оптимальну поверхневу площу ємності:
F = 2ab+2bh+2ah min (1)
де V = 2750 літрів.
x1 = 16,331; x2 = 10,99
Мінімум функції отримано в процесі оптимізації за методом Бокса-1196,065 дм2
Відповідно до ГОСТ 19903 - 74, приймемо:
h=16,50 дм, b=10,00 дм.
Виразимо a з (1) і отримаємо:
Розрахуємо оптимальну товщину листа металу
Виберемо вуглецеву звичайну сталь Ст2сп
Для цієї сталі 320 МПа, ;
Маса піску.
Навантаження на стінку ємності найбільшої площі:
Вирахуємо навантаження на 1 погонний сантиметр листа шириною 100 см:
Визначимо товщину стінки, виходячи з умови:
де: l - Довжина листа (бажано найбільша, щоб залишити додатковий запас міцності);
q – навантаження на 1 погонний сантиметр, кг/см;
Товщина листа металу, м
Максимально допустима напруга металу Н/мм2.
Виразимо з (2) товщину стінки:
Враховуючи, що 320 МПа = 3263 кг/см2
Маса металу
де: F - площа поверхні ємності, м2;
Товщина стінки металу, м;
Щільність металу, кг/м3.
Ціна на сталь Ст2сп становить близько 38 руб/кг.
2. Довжина зварного шва:
Скористаємося електродами для нержавіючої сталі «УОНІ-13/45»
Ціна 88,66 руб/кг;
де: Sшва – поперечна площа перерізу зварного шва, м2;
l – довжина зварного шва, м;
Щільність металу наплавленого, кг/м3.
3. Час зварювання:
де l - Довжина зварного шва, м;
v - швидкість зварювання, м/год.
Сумарна споживана потужність:
Рсум = 517 = 85 кВт год;
Вартість електроенергії 5,7 руб/кВт год.
4. Для ручного дугового зварювання витрати допоміжного, підготовчо-заключного часу та часу на обслуговування робочого місця становлять у середньому 40 – 60%. Скористаємося середнім значенням 50%.
Загальний час:
Оплата зварювальника VI розряду – 270 руб/год.
Плюс тарифний коефіцієнт 17% за роботу в замкнутому просторі, що погано провітрюється:
Оплата помічника становитиме 60% від оплати зварювальника:
8055 0,6 = 4833 руб.
Разом: 8055 +4833 = 12888 рублів.
5. Кран знадобиться для того, щоб тримати листи металу під час зварювання, навантаження та вивантаження листів металу та безпосередньо готової ємності.
Щоб «прихопити» всю конструкцію, зварювальнику необхідно накласти близько 30% швів.
Оплата крана – 1000 руб/год.
Загальна ціна ємності.
