Калькулятор надає ДЕТАЛЬНЕ рішенняпевних інтегралів.
Цей калькулятор знаходить рішення певного інтеграла від функції f(x) з верхніми і нижніми межами.
ПрикладиІз застосуванням ступеня
(квадрат і куб) та дроби
(x^2 - 1)/(x^3 + 1)
Квадратний корінь
Sqrt(x)/(x + 1)
Кубічний корінь
Cbrt(x)/(3*x + 2)
Із застосуванням синуса та косинуса
2*sin(x)*cos(x)
Арксинус
X*arcsin(x)
Арккосінус
X*arccos(x)
Застосування логарифму
X * log (x, 10)
експонента
Tg(x)*sin(x)
Котангенс
Ctg(x)*cos(x)
Ірраціональне дроби
(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)
Арктангенс
X*arctg(x)
Арккотангенс
X*arcctg(x)
Гіберболічний синус та косинус
2*sh(x)*ch(x)
Гіберболічні тангенс та котангенс
Ctgh(x)/tgh(x)
Гіберболічні арксинус та арккосинус
X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)
Гіберболічні арктангенс та арккотангенс
X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)
Правила введення виразів та функційВирази можуть складатися з функцій (позначення наведено в алфавітному порядку): absolute(x) Абсолютне значення x
(модуль x або |x| ) arccos(x) Функція - арккосинус від x arccosh(x) Арккосинус гіперболічний від x arcsin(x) Арксінус від x arcsinh(x) Арксінус гіперболічний від x arctg(x) Функція - арктангенс від x arctgh (x) Арктангенс гіперболічний від x e e число, яке приблизно дорівнює 2.7 exp(x) Функція - експонента від x (що і e ^x )
(Щоб отримати log7(x) , треба ввести log(x)/log(7) (або, наприклад, для log10(x) =log(x)/log(10)) pi Число - "Пі", яке приблизно дорівнює 3.14 sin(x) Функція - Синус від x cos(x) Функція - Косинус від x sinh(x) Функція - Синус гіперболічний від x cosh(x) Функція - Косинус гіперболічний від x sqrt(x) Функція - квадратний коріньз x sqr(x) або x^2 Функція - Квадрат x tg(x) Функція - Тангенс від x tgh(x) Функція - Тангенс гіперболічний від x cbrt(x) Функція - кубічний корінь з x
У виразах можна застосовувати такі операції: Справжні числавводити у вигляді 7.5, не 7,5 2*x - множення 3/x - розподіл x^3 - зведення в ступінь x + 7 - додавання x - 6 - віднімання
Інші функції: floor(x) Функція - округлення x у меншу сторону (приклад floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функція - округлення x у більшу сторону (приклад ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функція - Знак x erf(x) Функція помилок (або інтеграл ймовірності) laplace(x) Функція Лапласа
У липні 2020 року NASA запускає експедицію на Марс. Космічний апаратдоставить на Марс електронний носій із іменами всіх зареєстрованих учасників експедиції.
Якщо цей пост вирішив вашу проблему або просто сподобався вам, поділіться посиланням на нього зі своїми друзями у соціальних мережах.
Один з цих варіантів коду потрібно скопіювати і вставити в код вашої веб-сторінки, бажано між тегами або відразу після тега . За першим варіантом MathJax підвантажується швидше і менше гальмує сторінку. Натомість другий варіант автоматично відстежує та підвантажує свіжі версії MathJax. Якщо вставити перший код, його потрібно буде періодично оновлювати. Якщо вставити другий код, то сторінки завантажуватимуться повільніше, зате вам не потрібно буде постійно стежити за оновленнями MathJax.
Підключити MathJax найпростіше в Blogger або WordPress: в панелі керування сайтом додайте віджет, призначений для вставки стороннього коду JavaScript, скопіюйте в нього перший або другий варіант завантаженого коду, представленого вище, і розмістіть віджет ближче до початку шаблону (до речі, це зовсім не обов'язково , оскільки скрипт MathJax завантажується асинхронно). От і все. Тепер вивчіть синтаксис розмітки MathML, LaTeX та ASCIIMathML, і ви готові вставляти математичні формули на веб-сторінки свого сайту.
Черговий переддень Нового Року... морозна погода та сніжинки на шибці... Все це спонукало мене знову написати про... фрактали, і про те, що знає про це Вольфрам Альфа. Із цього приводу є цікава стаття, в якій є приклади двовимірних фрактальних структур. Тут же ми розглянемо більше складні прикладитривимірних фракталів.
Фрактал можна наочно уявити (описати), як геометричну фігуру або тіло (маючи на увазі, що й те й інше є безліч, в даному випадку, безліч точок), деталі якої мають таку форму, як і сама вихідна фігура. Тобто це самоподібна структура, розглядаючи деталі якої при збільшенні, ми бачитимемо ту саму форму, що і без збільшення. Тоді як у випадку звичайної геометричної фігури(не фрактал), при збільшенні ми побачимо деталі, які мають більше просту формуніж сама вихідна фігура. Наприклад, при досить великому збільшенні частина еліпса виглядає як відрізок прямий. З фракталами такого не відбувається: при будь-якому їх збільшенні ми знову побачимо ту саму складну форму, Що з кожним збільшенням буде повторюватися знову і знову.
Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot), основоположник науки про фрактал, у своїй статті Фрактали та мистецтво в ім'я науки написав: "Фрактали - це геометричні форми, які в рівній мірі складні у своїх деталях, як і у своїй загальної форми. Тобто, якщо частина фракталу буде збільшена до розміру цілого, вона виглядатиме як ціле, або точно, або, можливо, з невеликою деформацією".
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями .
Рішення.
Знаходимо точки перетину заданих ліній. Для цього розв'язуємо систему рівнянь:
Для знаходження абсцис точок перетину заданих ліній розв'язуємо рівняння:
Знаходимо: x 1 = -2, x 2 = 4.
Отже, дані лінії, що являють собою параболу та пряму, перетинаються в точках A(-2; 0), B(4; 6).
Ці лінії утворюють замкнуту фігуру, площу якої обчислюємо за зазначеною вище формулою:
За формулою Ньютона-Лейбніца знаходимо:
Знайти площу області, обмеженої еліпсом.
Рішення.
З рівняння еліпса для I квадранта маємо. Звідси за формулою отримуємо
Застосуємо підстановку x = a sin t, dx = a cos t dt. Нові межі інтегрування t = α і t = β визначаються із рівнянь 0 = a sin t, a = a sin t. Можна покласти α = 0 і β = π /2.
Знаходимо одну четверту шуканої площі
Звідси S = πab.
Знайти площу фігури, обмеженою лініями y= - x 2 + x+ 4 та y= - x+ 1.
Рішення.
Знайдемо точки перетину ліній y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, прирівнюючи ординати ліній: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 або x 2 - 2x- 3 = 0. Знаходимо коріння x 1 = -1, x 2 = 3 та відповідні їм ординати y 1 = 2, y 2 = -2.
За формулою площі фігури отримуємо
Визначити площу, обмежену параболою y= x 2 + 1 та прямий x+ y= 3.
Рішення.
Вирішуючи систему рівнянь
знаходимо абсциси точок перетину x 1 = -2 та x 2 = 1.
Вважаючи y 2 = 3 - xі y 1 = x 2 + 1, на підставі формули отримуємо
Обчислити площу, укладену всередині лемніскати Бернуллі r 2 = a 2 cos 2 φ .
Рішення.
У полярній системі координат площа фігури, обмежена дугою кривою r = f(φ ) та двома полярними радіусами φ 1 = ʅ і φ 2 = ʆ , висловиться інтегралом
З огляду на симетрію криву визначаємо спочатку одну четверту шуканої площі
Отже, вся площа дорівнює S = a 2 .
Обчислити довжину дуги астроіди x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 .
Рішення.
Запишемо рівняння астроїди у вигляді
(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .
Покладемо x 1/3 = a 1/3 cos t, y 1/3 = a 1/3 sin t.
Звідси отримуємо параметричні рівняння астроіди
x = a cos 3 t, y = a sin 3 t, (*)
де 0 ≤ t ≤ 2π .
Через симетрію криву (*) достатньо знайти одну четверту частину довжини дуги L, що відповідає зміні параметра tвід 0 до π /2.
Отримуємо
dx = -3a cos 2 t sin t dt, dy = 3a sin 2 t cos t dt.
Звідси знаходимо
Інтегруючи отриманий вираз у межах від 0 до π /2, отримуємо
Звідси L = 6a.
Знайти площу, обмежену спіраллю Архімеда r= aφта двома радіусами-векторами, які відповідають полярним кутам φ 1 і φ 2 (φ 1 < φ 2 ).
Рішення.
Площа, обмежена кривою r = f(φ ) обчислюється за формулою , де α і β - межі зміни полярного кута.
Таким чином, отримуємо
(*)
З (*) випливає, що площа, обмежена полярною віссю та першим витком спіралі Архімеда ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):
Аналогічним чином знаходимо площу, обмежену полярною віссю та другим витком спіралі Архімеда ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):
Шукана площа дорівнює різниці цих площ
Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням навколо осі Oxфігури, обмеженої параболами y= x 2 та x= y 2 .
Рішення.
Розв'яжемо систему рівнянь
і отримаємо x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, звідки точки перетину кривих O(0; 0), B(1; 1). Як видно на малюнку, об'єм тіла обертання, що шукається, дорівнює різниці двох об'ємів, утворених обертанням навколо осі Oxкриволінійних трапецій OCBAі ODBA:
Обчислити площу, обмежену віссю Oxта синусоїдою y= sin xна відрізках: а); б).
Рішення.
а) На відрізку функція sin xзберігає знак, і тому за формулою , вважаючи y= sin x, знаходимо
б) На відрізку , функція sin xзмінює знак. Для коректного розв'язання задачі необхідно відрізок розділити на два і [ π , 2π ], у кожному з яких функція зберігає знак.
За правилом знаків, на відрізку [ π , 2π ] площа береться зі знаком мінус.
У результаті, потрібна площа дорівнює
Визначити об'єм тіла, обмеженого поверхнею, отриманою від обертання еліпса навколо великої осі a.
Рішення.
Враховуючи, що еліпс симетричний щодо осей координат, достатньо знайти об'єм, утворений обертанням навколо осі Oxплощі OAB, що дорівнює одній чверті площі еліпса, і отриманий результат подвоїти.
Позначимо об'єм тіла обертання через V x; тоді на підставі формули маємо , де 0 і a- абсциси точок Bі A. З рівняння еліпса знаходимо. Звідси
Таким чином, об'єм, що шукається, дорівнює . (При обертанні еліпса навколо малої осі b, об'єм тіла дорівнює )
Знайти площу, обмежену параболами y 2 = 2 pxі x 2 = 2 py.
Рішення.
Спочатку знайдемо координати точок перетину параболу, щоб визначити відрізок інтегрування. Перетворюючи вихідні рівняння, отримуємо і . Прирівнюючи ці значення, отримаємо або x 4 - 8p 3 x = 0.
x 4 - 8p 3 x = x(x 3 - 8p 3) = x(x - 2p)(x 2 + 2px + 4p 2) = 0.
Знаходимо коріння рівнянь:
Враховуючи той факт, що точка Aперетину парабол знаходиться в першій чверті, то межі інтегрування x= 0 і x = 2p.
Шукану площу знаходимо за формулою
Назад вперед
Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.
Ключові слова: інтеграл, криволінійна трапеція, площа фігур, обмежених ліліями
Устаткування : маркерна дошка, комп'ютер, мультимедіа-проектор
Тип уроку: урок-лекція
Цілі уроку:
- виховні: формувати культуру розумової праці, створювати кожному за учня ситуацію успіху, формувати позитивну мотивацію до навчання; розвивати вміння говорити та слухати інших.
- розвиваючі: формування самостійності мислення учня щодо застосування знань у різних ситуаціях, вміння аналізувати та робити висновки, розвиток логіки, розвиток вміння правильно ставити питання та знаходити на них відповіді. Удосконалення формування обчислювальних, розрахункових навичок, розвиток мислення учнів під час виконання запропонованих завдань, розвиток алгоритмічної культури.
- освітні: сформувати поняття про криволінійну трапецію, про інтеграл, опанувати навички обчислення площ плоских фігур
Метод навчання: пояснювально-ілюстративний.
Хід уроку
У попередніх класах ми навчилися обчислювати площі постатей, межами яких є ламані. У математиці існують методи, що дозволяють обчислювати площі фігур, обмежених кривими. Такі фігури називаються криволінійними трапеціями, і обчислюють їх площу за допомогою первісних.
Криволінійна трапеція ( слайд 1)
Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком функції ( щ.м.), прямими x = aі x = bі віссю абсцис
Різні види криволінійних трапецій ( слайд 2)
Розглядаємо різні видикриволінійних трапецій і помічаємо: одна з прямих вироджена в точку, роль функції, що обмежує, грає пряма
Площа криволінійної трапеції (слайд 3)
Зафіксуємо лівий кінець проміжку а,а правий хбудемо міняти, тобто ми рухаємо праву стінку криволінійної трапеції і отримуємо мінливу фігуру. Площа змінної криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції, є первісною Fдля функції f
І на відрізку [ a; b] площа криволінійної трапеції, утвореної функцією f,дорівнює прирощенню первісної цієї функції:
Завдання 1:
Знайти площу криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції: f(x) = х 2та прямими у = 0, х = 1, х = 2.
Рішення: ( за алгоритмом слайд 3)
Накреслимо графік функції та прямі
Знайдемо одну з первісних функцій f(x) = х 2 :
Самоперевірка по слайду
Інтеграл
Розглянемо криволінійну трапецію, задану функцією fна відрізку [ a; b]. Розіб'ємо цей відрізок на кілька частин. Площа всієї трапеції розіб'ється на суму площ дрібніших криволінійних трапецій. ( слайд 5). Кожну таку трапецію можна вважати прямокутником. Сума площ цих прямокутників дає наближене уявлення про всю площу криволінійної трапеції. Чим дрібніше ми розіб'ємо відрізок [ a; b], тим точніше обчислимо площу.
Запишемо ці міркування як формул.
Розділимо відрізок [ a; b] на n частин крапками х 0 = а, х1, ..., хn = b.Довжину k-го позначимо через хk = xk - xk-1. Складемо суму
Геометрично ця сума є площа фігури, заштрихованої на малюнку ( щ.м.)
Суми виду називаються інтегральними сумами для функції f. (Щ.м.)
Інтегральні суми дають наближене значення площі. Точне значення виходить з допомогою граничного переходу. Припустимо, що ми подрібнюємо розбиття відрізка [ a; b] отже довжини всіх маленьких відрізків прагнуть нулю. Тоді площа складеної фігури наближатиметься до площі криволінійної трапеції. Можна сказати, що площа криволінійної трапеції дорівнює межі інтегральних сум, Sк.т. (Щ.м.)або інтегралу, тобто,
Визначення:
Інтегралом функції f(х)від aдо bназивається межа інтегральних сум
= (Щ.м.)
Формула Ньютона-Лейбніца.
Пам'ятаємо, що межа інтегральних сум дорівнює площі криволінійної трапеції, отже можна записати:
Sк.т. = (Щ.м.)
З іншого боку, площа криволінійної трапеції обчислюється за формулою
S к. т. (Щ.м.)
Порівнюючи ці формули, отримаємо:
= (Щ.м.)Ця рівність називається формулою Ньютона-Лейбніца.
Для зручності обчислень формулу записують у вигляді:
= = (Щ.м.)Завдання: (щ.м.)
1. Обчислити інтеграл за формулою Ньютона-Лейбніца: ( перевіряємо за слайдом 5)
2. Скласти інтеграли за кресленням ( перевіряємо за слайдом 6)
3. Знайти площу фігури, обмеженої лініями: у = х 3, у = 0, х = 1, х = 2. Слайд 7)
Знаходження площ плоских фігур ( слайд 8)
Як знайти площу фігур, які не є криволінійними трапеціями?
Нехай дані дві функції, графіки яких ви бачите на слайді . (Щ.м.)Необхідно знайти площу зафарбованої фігури . (Щ.м.). Фігура, про яку йдеться, є криволінійною трапецією? А як можна знайти її площу, користуючись властивістю адитивності площі? Розглянути дві криволінійні трапеції і від площі однієї з них відняти площу іншої ( щ.м.)
Складемо алгоритм знаходження площі з анімації на слайді:
Як отримати площу заштрихованої фігури (розповісти за допомогою анімації, слайд 8 та 9)
Домашнє завдання: Опрацювати конспект, №353(а), №364(а).
Список літератури
Додаток інтеграла до вирішення прикладних завдань
Обчислення площі
Певний інтеграл безперервної невід'ємної функції f(x) чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої кривої y = f(x), віссю Ох і прямими х = а та х = b. Відповідно до цього формула площі записується так:
Розглянемо деякі приклади на обчислення площ плоских фігур.
Завдання № 1. Обчислити площу, обмежену лініями y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.
Рішення.Побудуємо фігуру, площу якої ми маємо обчислити.
y = x 2 + 1 – це парабола гілки якої спрямовані вгору, і парабола зміщена щодо осі O y вгору одну одиницю (рисунок 1).
Малюнок 1. Графік функції y = x 2 + 1
Завдання № 2. Обчислити площу, обмежену лініями y = x 2 – 1, y = 0 у межах від 0 до 1.
 |
Рішення.Графіком даної функції є парабола гілки, якої спрямовані вгору, і парабола зміщена щодо осі O y вниз одну одиницю (рисунок 2).
Малюнок 2. Графік функції y = x 2 – 1
Завдання № 3. Зробіть креслення та обчисліть площу фігури, обмеженою лініями
y = 8 + 2x - x 2 і y = 2x - 4.
Рішення.Перша з цих двох ліній – парабола, спрямована гілками вниз, оскільки коефіцієнт при x 2 негативний, а друга лінія – пряма, що перетинає обидві осі координат.
Для побудови параболи знайдемо координати її вершини: y=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – абсцис вершини; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 – її ордината, N(1;9) – вершина.
Тепер знайдемо точки перетину параболи та прямий, розв'язавши систему рівнянь:
Прирівнюючи праві частини рівняння, ліві частини яких рівні.
Отримаємо 8 + 2x - x 2 = 2x - 4 або x 2 - 12 = 0, звідки 
.
Отже, точки – точки перетину параболи та прямий (рисунок 1).
Малюнок 3 Графіки функцій y = 8 + 2x – x 2 та y = 2x – 4
Побудуємо пряму y = 2x - 4. Вона проходить через точки (0; -4), (2; 0) на осях координат.
Для побудови параболи можна ще її точки перетину з віссю 0x, тобто коріння рівняння 8 + 2x – x 2 = 0 або x 2 – 2x – 8 = 0. За теоремою Вієта легко знайти його коріння: x 1 = 2, x 2 = 4.
На малюнку 3 зображено фігуру (параболічний сегмент M 1 N M 2), обмежений даними лініями.
Друга частина завдання полягає у знаходженні площі цієї фігури. Її площу можна знайти за допомогою певного інтегралу за формулою 
.
Стосовно цієї умови отримаємо інтеграл: 
2 Обчислення об'єму тіла обертання
Обсяг тіла, отриманого від обертання кривої y = f(x) навколо осі Ох, обчислюється за формулою:
При обертанні навколо осі О y формула має вигляд:
Завдання №4. Визначити об'єм тіла, отриманого від обертання криволінійної трапеції, обмеженої прямими х = 0 х = 3 та кривою y = навколо осі О х.
Рішення.Побудуємо рисунок (рисунок 4).
Малюнок 4. Графік функції y =
Обсяг, що шукається, дорівнює 
Завдання №5. Обчислити обсяг тіла, отриманого від обертання криволінійної трапеції, обмеженою кривою y = x 2 і прямими y = 0 і y = 4 навколо осі O y .
Рішення.Маємо:
Запитання для повторення
