Спочатку визначаємо знак виразу під знаком модуля, а потім розкриваємо модуль:
- якщо значення виразу більше за нуль, то просто виносимо його з-під знака модуля,
- якщо вираз менше нуля, то виносимо його з-під знака модуля, змінюючи при цьому знак, як робили це раніше в прикладах.
Ну що, спробуємо? Оцінимо:
(Забув, Повтори.)
Якщо, який знак має? Ну звичайно,!
Отже, знак модуля розкриваємо, змінюючи знак у виразу:
Розібрався? Тоді спробуй сам:
Відповіді:
Якими ще властивостями володіє модуль?
Якщо нам потрібно перемножити числа всередині знаку модуля, ми можемо спокійно перемножити модулі цих чисел!!!
Висловлюючись математичною мовою, модуль добутку чисел дорівнює добутку модулів цих чисел.
Наприклад:
А якщо нам потрібно розділити два числа (вирази) під знаком модуля?
Та те саме, що з множенням! Розіб'ємо на два окремих числа (вирази) під знаком модуля:
за умови, що (оскільки на нуль ділити не можна).
Варто запам'ятати ще одну властивість модуля:
Модуль суми чисел завжди менший або дорівнює сумі модулів цих чисел:
Чому так? Все дуже просто!
Як ми пам'ятаємо, модуль завжди позитивний. Але під знаком модуля може бути будь-яке число: як позитивне, і негативне. Припустимо, що числа та обидва позитивні. Тоді ліве вираз дорівнюватиме правому виразу.
Розглянемо з прикладу:
Якщо під знаком модуля одне число негативне, а інше позитивно, ліве вираз завжди виявиться менше правого:
Начебто з цією властивістю все ясно, розглянемо ще кілька корисних властивостей модуля.
Що якщо перед нами такий вираз:
Що ми можемо зробити з цим виразом? Значення x нам невідоме, але ми вже знаємо, що, а значить.
Число більше за нуль, а значить можна просто записати:
Ось ми й прийшли до іншої властивості, яку загалом можна уявити так:
А чому таке вираз:
Отже, необхідно визначити знак під модулем. А чи треба тут визначати знак?
Звичайно, ні, якщо пам'ятаєш, що будь-яке число у квадраті завжди більше нуля! Якщо не пам'ятаєш, дивися на тему . І що ж виходить? А ось що:
Здорово, так? Досить зручно. А тепер конкретний приклад для закріплення:
Ну і чому сумніви? Діємо сміливо!
У всьому розібрався? Тоді вперед тренуватись на прикладах!
1. Знайдіть значення виразу, якщо.
2. У яких чисел модуль дорівнює?
3. Знайдіть значення виразів:
Якщо не все поки що ясно і є труднощі в рішеннях, то давай розбиратися:
Рішення 1:
Отже, підставимо значення і вираз
Рішення 2:
Як ми пам'ятаємо, протилежні числа модуля рівні. Значить, значення модуля, що дорівнює два числа: і.
Рішення 3:
а)
б)
в)
г)
Все вловив? Тоді настав час перейти до більш складного!
Спробуємо спростити вираз
Рішення:
Отже, ми пам'ятаємо, що значення модуля не може бути меншим за нуль. Якщо під знаком модуля число позитивне, то ми просто можемо відкинути знак: модуль числа дорівнюватиме цьому числу.
Але якщо під знаком модуля від'ємне числото значення модуля дорівнює протилежному числу (тобто числу, взятому зі знаком «-»).
Для того, щоб знайти модуль будь-якого виразу, для початку потрібно з'ясувати, чи позитивне значення воно набуває, чи негативне.
Виходить, значення першого виразу під модулем.
Отже, вираз під знаком модуля є негативним. Другий вираз під знаком модуля завжди позитивний, оскільки ми складаємо два позитивні числа.
Отже, значення першого виразу під знаком модуля негативно, другого – позитивно:
Це означає, розкриваючи знак модуля першого виразу, ми маємо взяти цей вираз зі знаком «-». Ось так:
У другому випадку просто відкинемо знак модуля:
Спростимо цей вираз цілком:
Модуль числа та його властивості (суворі визначення та докази)
Визначення:
Модуль (абсолютна величина) числа - це саме число, якщо і число, якщо:
Наприклад:
Приклад:
Спростіть вираз.
Рішення:
Основні властивості модуля
Для всіх:
Приклад:
Доведіть властивість №5.
Доказ:
Припустимо, що існують такі, що
Зведемо ліву та праву частини нерівності в квадрат (це можна зробити, тому що обидві частини нерівності завжди невід'ємні):
а це суперечить визначенню модуля.
Отже, таких не існує, а отже, при всіх виконується нерівність
Приклади для самостійного вирішення:
1) Доведіть властивість №6.
2) Спростіть вираз.
Відповіді:
1) Скористаємося властивістю №3 : , а оскільки, тоді
Щоб спростити, необхідно розкрити модулі. А щоб розкрити модулі, потрібно дізнатися, чи позитивні чи негативні вирази під модулем?
a. Порівняємо числа та і:
b. Тепер порівняємо і:
Складаємо значення модулів:
Модуль числа. Коротко про головне.
Модуль (абсолютна величина) числа - це саме число, якщо і число, якщо:
Властивості модуля:
- Модуль числа є невід'ємним числом: ;
- Модулі протилежних чисел дорівнюють: ;
- Модуль твору двох (і більше) чисел дорівнює добутку їх модулів: ;
- Модуль частки двох чисел дорівнює частці їх модулів: ;
- Модуль суми чисел завжди менший або дорівнює сумі модулів цих чисел: ;
- Постійний позитивний множник можна виносити за знак модуля: при;
У школі під час уроку математики щороку учні розбирають нові теми. 6 клас зазвичай вивчає модуль числа - це важливе поняття в математиці, робота з яким зустрічається далі в алгебрі та вищій математиці. Дуже важливо спочатку правильно зрозуміти пояснення терміну і розібратися у цій темі, щоб успішно проходити інші теми.
Для початку слід розуміти, що абсолютна величина – це параметр у статистиці (вимірюється кількісно), який характеризує явище, що вивчається, за його обсягом. При цьому явище має здійснюватися у певних часових рамках та з певним місцезнаходженням. Розрізняють значення:
- сумарні - підходять для групи одиниць або повністю всієї сукупності;
- індивідуальні – підходять лише до роботи з одиницею певної сукупності.
Поняття широко використовуються у статистичних вимірах, результатом яких є показники, що характеризують абсолютні розміри кожної одиниці певного явища. Вимірюються вони двох показниках: натуральному, тобто. фізичні одиниці (шт., люди) та умовно-натуральному. Модуль математики є відображенням даних показників.
Що таке модуль числа?
Важливо!Дане визначення «module» з латини перекладатиметься як «захід» і означає абсолютну величину будь-якого натурального числа.
Але даного поняття є і геометричне пояснення, оскільки модулю в геометрії дорівнює відстань від початку системи координат до точки X, яке вимірюється в звичних одиницях виміру.
Для того, щоб визначити цей показник у числа, слід не зважати на його знак (мінус, плюс), але при цьому слід пам'ятати те, що він ніколи не може бути негативним. Це значення на папері виділяється графічно як квадратних дужок — |a|. При цьому математичне визначення таке:
|х| = х, якщо х більше або дорівнює нулю і -х якщо менше нуля.
Англійський учений Р. Котес був людиною, хто вперше застосував це поняття в математичних розрахунках. А ось К. Вейєрштрас, математик з Німеччини, придумав і ввів у використання графічний символ.
У геометрії module можна розглянути на прикладі координатної прямої, на яку нанесено 2 довільні точки. Припустимо, одна - А має значення 5, а друга - 6. При докладному вивченні креслення стане ясно, що відстань від А до В - 5 одиниць від нуля, тобто. початку координат, а точка розміщена від початку координат на 6 одиниць. Можна дійти невтішного висновку, що module точки, А = 5, а точки В = 6. Графічно це можна позначити так: | 5 | = 5. Т. е. відстань від точки до початку координат є модулем цієї точки.
Що таке модуль дійсного числа?
Властивості
Як у будь-якого математичного поняття, module має свої математичні властивості:
- Він завжди позитивний, тому модулем позитивного значення воно буде саме, наприклад, модуль числа 6 і -6 дорівнює 6. Математично цю властивість можна записати як |a| = a, при a>0;
- Показники протилежних чисел рівні між собою. Ця властивість зрозуміліша в геометричному викладі, оскільки на прямий дані числа розташовуються в різних місцях, але при цьому від початку відліку їх відокремлює однакову кількість одиниць. Математично записується так: |а| = |-а |;
- Модуль нуля дорівнює нулю за умови, що дійсне число – це нуль. Ця властивість підтверджується тим, що нуль є початком координат. Графічно це записують так: |0| = 0;
- Якщо потрібно знайти модуль двох цифр, що множаться, варто розуміти, що він дорівнюватиме отриманому твору. Іншими словами, добуток величин А і В = АВ, за умови, що вони позитивні або негативні, і тоді добуток дорівнює -АВ. Графічно можна записати як |А*В| = | А | * |В|.
Успішне вирішення рівнянь з модулем залежить від знання даних властивостей, яке допоможе будь-кому правильно обчислювати та працювати з цим показником.
Властивості модуля
Важливо! Показник не може бути негативним, оскільки він визначає відстань, яка завжди позитивна.
У рівняннях
Що стосується роботи і розв'язання математичних нерівностей, у яких присутня module, необхідно пам'ятати, що з отримання підсумкового правильного результату слід розкрити дужки, тобто. відкрити знак module. Найчастіше в цьому є сенс рівняння.
При цьому варто пам'ятати, що:
- якщо у квадратних дужках записано вираз, його потрібно вирішити: |А + 5| = А + 5, при А більше або дорівнює нулю і 5-А, у разі А менше від нуля;
- Квадратні дужки найчастіше повинні розкриватися незалежно від значень змінної, наприклад, якщо в дужках укладено вираз у квадраті, оскільки при розкритті в будь-якому випадку буде позитивне число.
Дуже легко вирішуються рівняння з module шляхом внесення значень у систему координат, оскільки тоді легко побачити візуально значення та їх показники.
Корисне відео: модуль дійсного числа та його властивості
Висновок
Принцип розуміння такого математичного поняття, як module, є вкрай важливим, оскільки воно використовується у вищій математиці та інших науках, тому необхідно вміти працювати з ним.
Ваша мета:
чітко знати визначення модуля дійсного числа;
розуміти геометричну інтерпретацію модуля дійсного числа та вміти застосовувати її при вирішенні завдань;
знати властивості модуля та вміти застосовувати при вирішенні задач;
вміти уявлення про відстань між двома точками координатної прямої та вміти використовувати його при вирішенні завдань.
Вхідна інформація
Поняття модуля дійсного числа. Модулем дійсного числа називають саме це число, якщо, і протилежне йому число, якщо< 0.
Модуль числа позначають та записують:
Геометрична інтерпретація модуля . Геометричномодуль дійсного числа є відстань від точки, що зображує дане число координатної прямої, до початку відліку.
Розв'язання рівнянь та нерівностей з модулями на основі геометричного сенсу модуля. Користуючись поняттям «відстань між двома точками координатної прямої» можна вирішувати рівняння виду або нерівності виду, де замість знака може стояти будь-який із знаків.
приклад.Розв'яжемо рівняння.
Рішення.Переформулюємо завдання геометрично. Оскільки -це відстань на координатній прямій між точками з координатами і, отже, потрібно знайти координати таких точок, відстань від яких до точок з координатою 1 дорівнює 2.
Коротше, на координатній прямій знайти безліч координат точок, відстань від яких до точки координатної 1 дорівнює 2.
Вирішимо це завдання. Зазначимо на координатній прямій точку, координата якої дорівнює 1 (рис. 6). На дві одиниці від цієї точки видалені точки, координати яких дорівнюють -1 і 3. Отже, шукана множина координат точок є множина, що складається з чисел -1 і 3.
Відповідь: -1; 3.
Як знайти відстань між двома точками координатної прямої. Число, що виражає відстань між точками і , називають відстанню між числами та .
Для будь-яких двох точок та координатної прямої відстань
.
Основні властивості модуля дійсного числа:
3. 
;
7. 
;
8. 
;
9. 
;
При маємо:
11. тоді тільки тоді, коли або;
12. тоді тільки тоді, коли;
13. тоді тільки тоді, коли або;
14. тоді тільки тоді, коли;
11. тоді тільки тоді, коли .
Практична частина
Завдання 1. Візьміть чистий аркуш паперу і на ньому запишіть відповіді до цих усних вправ, наведених нижче.
Свої відповіді звірте з відповідями або короткими вказівками, наведеними в кінці навчального елемента в рубриці «Ваш помічник».
1. Розкрийте знак модуля:
а) |-5|; б) |5|; в) | 0 |; р) |p|.
2. Порівняйте між собою числа:
а) || та –; в) | 0 | та 0; буд) – |–3| та –3; ж) -4 | а| та 0;
б) |-p| та p; г) |-7,3 | та –7,3; е) | а| та 0; з) 2| а| та |2 а|.
3. Як за допомогою знака модуля записати, що принаймні одне з чисел а, bабо звідмінно від нуля?
4. Як за допомогою знака рівності записати, що кожне з чисел а, bі зодно нулю?
5. Знайдіть значення виразу:
а) | а| – а; б) а + |а|.
6. Розв'яжіть рівняння:
а) | х| = 3; в) | х| = -2; буд) |2 х– 5| = 0;
б) | х| = 0; г) | х- 3 | = 4; е) |3 х– 7| = – 9.
7. Що можна сказати про числа хі у, якщо:
а) | х| = х; б) | х| = –х; в) | х| = |у|?
8. Розв'яжіть рівняння:
а) | х– 2| = х- 2; в) | х– 3| =|7 – х|;
б) | х– 2| = 2 – х; г) | х– 5| =|х– 6|.
9. Що можна сказати про число у, якщо має місце рівність:
а) ï хï = у; б) ï хï = – у ?
10. Розв'яжіть нерівність:
а) | х| > х; в) | х| > –х; д) | х| £ х;
б) | х| ³ х; г) | х| ³ – х; е) | х| £ – х.
11. Вкажіть усі значення а, для яких має місце рівність:
а) | а| = а; б) | а| = –а; в) а – |–а| =0; г) | а|а= -1; д) = 1.
12. Знайдіть усі значення b, для яких має місце нерівність:
а) | b| ³ 1; б) | b| < 1; в) |b| £0; г) | b| ³ 0; д) 1< |b| < 2.
З деякими видами наступних завдань ви могли зустрічатися під час уроків математики. Визначте, які з наступних завдань вам необхідно виконати. У разі труднощів звертайтесь до рубрики «Ваш помічник», за консультацією до вчителя або за допомогою до товариша.
Завдання 2.Виходячи з визначення модуля дійсного числа, розв'яжіть рівняння:
Завдання 4.Відстань між точками, що зображають дійсні числа α і β на координатній прямій, так само | α – β |. Користуючись цим, розв'яжіть рівняння.
У цій статті ми детально розберемо модуль числа. Ми дамо різні визначення модуля числа, введемо позначення та наведемо графічні ілюстрації. При цьому розглянемо різні приклади знаходження модуля числа визначення. Після цього ми перерахуємо та обґрунтуємо основні властивості модуля. Наприкінці статті поговоримо про те, як і знаходиться модуль комплексного числа.
Навігація на сторінці.
Модуль числа – визначення, позначення та приклади
Спочатку введемо позначення модуля числа. Модуль числа a будемо записувати як , тобто, ліворуч і праворуч від числа ставитимемо вертикальні рисочки, що утворюють знак модуля. Наведемо кілька прикладів. Наприклад, модуль −7 можна записати як ; модуль 4,125 записується як, а модуль має запис виду.
Наступне визначення модуля відноситься до , а отже, і до , і до цілих, і до раціональних, і до ірраціональних чисел, як до частин множини дійсних чисел. Про модуль комплексного числа ми поговоримо в.
Визначення.
Модуль числа a– це або саме число a , якщо a – позитивне число, чи число −a , протилежне числу a , якщо a – негативне число, чи 0 , якщо a=0 .
Озвучене визначення модуля числа часто записують у такому вигляді 
, цей запис означає, що , якщо a>0 , якщо a=0 , і , якщо a<0
.
Запис можна представити у більш компактній формі 
. Цей запис означає, що , якщо (a більше або дорівнює 0 ), і якщо a<0
.
Також має місце та запис 
. Тут окремо слід пояснити випадок, коли a = 0. І тут маємо , але −0=0 , оскільки нуль вважають числом, яке протилежне себе.
Наведемо приклади знаходження модуля числаза допомогою озвученого визначення. Наприклад знайдемо модулі чисел 15 і . Почнемо з перебування. Оскільки число 15 – позитивне, його модуль за визначенням дорівнює самому цьому числу, тобто, . А чому дорівнює модуль числа? Оскільки - негативне число, його модуль дорівнює числу, протилежному числу , тобто, числу 
. Отже, .
На закінчення цього пункту наведемо один висновок, який дуже зручно застосовувати практично при знаходженні модуля числа. З визначення модуля числа випливає, що модуль числа дорівнює числу під знаком модуля без урахування його знака, та якщо з розглянутих вище прикладів це дуже чітко видно. Озвучене твердження пояснює, чому модуль числа ще називають абсолютною величиною числа. Так модуль числа та абсолютна величина числа – це те саме.
Модуль числа як відстань
Геометрично модуль числа можна інтерпретувати як відстань. Наведемо визначення модуля числа через відстань.
Визначення.
Модуль числа a– це відстань від початку відліку на координатній прямій до точки, що відповідає числу a.
Дане визначення узгоджується з визначенням модуля числа, даного у першому пункті. Пояснимо цей момент. Відстань від початку відліку до точки, якій відповідає позитивне число, дорівнює цьому числу. Нулю відповідає початок відліку, тому відстань від початку відліку до точки з координатою 0 дорівнює нулю (не потрібно відкладати жодного одиничного відрізка і жодного відрізка, що становить якусь частку одиничного відрізка, щоб від точки O потрапити до точки з координатою 0). Відстань від початку відліку до точки з негативною координатою дорівнює числу, протилежному координаті даної точки, оскільки дорівнює відстані від початку координат до точки, координатою якої є протилежне число.
Наприклад, модуль числа 9 дорівнює 9 так як відстань від початку відліку до точки з координатою 9 дорівнює дев'яти. Наведемо приклад. Точка з координатою −3,25 знаходиться від точки O на відстані 3,25 , тому 
.
Озвучене визначення модуля числа є окремим випадком визначення модуля різниці двох чисел.
Визначення.
Модуль різниці двох чисел a і b дорівнює відстані між точками координатної прямої з координатами a і b.
Тобто, якщо дані точки на координатній прямій A(a) і B(b) , то відстань від точки A до точки B дорівнює модулю різниці чисел a і b. Якщо в якості точки взяти точку O (початок відліку), то ми отримаємо визначення модуля числа, наведене на початку цього пункту.
Визначення модуля числа через арифметичний квадратний корінь
Іноді зустрічається визначення модуля через арифметичний квадратний корінь.
Наприклад обчислимо модулі чисел −30 і підставі даного визначення. Маємо. Аналогічно обчислюємо модуль двох третіх: 
.
Визначення модуля числа через арифметичний квадратний корінь також узгоджується з визначенням у першому пункті цієї статті. Покажемо це. Нехай a – позитивне число, у своїй число −a – негативне. Тоді 
і 
якщо ж a = 0, то 
.
Властивості модуля
Модулю притаманний ряд характерних результатів - властивості модуля. Зараз ми наведемо основні і найчастіше використовувані їх. При обґрунтуванні цих властивостей ми спиратимемося на визначення модуля числа через відстань.
Почнемо з самої очевидної якості модуля – модуль числа не може бути негативним числом. У літерному вигляді ця властивість має запис виду для будь-якого числа a. Цю властивість дуже легко довести: модуль числа є відстань, а відстань не може виражатися негативним числом.
Переходимо до наступного властивості модуля. Модуль числа дорівнює нулю і тоді, коли це число є нуль. Модуль нуля є нуль за визначенням. Нулю відповідає початок відліку, ніяка інша точка на координатній прямій нулю не відповідає, тому що кожному дійсному числу поставлена у відповідність єдина точка на координатній прямій. З цієї причини будь-якому числу, відмінному від нуля, відповідає точка, відмінна від початку отсчета. А відстань від початку відліку до будь-якої точки, відмінної від точки O, не дорівнює нулю, так як відстань між двома точками дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли ці точки збігаються. Наведені міркування доводять, що нулю дорівнює лише модуль нуля.
Ідемо далі. Протилежні числа мають рівні модулі, тобто для будь-якого числа a . Дійсно, дві точки на координатній прямій, координатами яких є протилежні числа, знаходяться на однаковій відстані від початку відліку, отже, модулі протилежних чисел рівні.
Наступна властивість модуля така: модуль добутку двох чисел дорівнює добутку модулів цих чисел, Тобто, . За визначенням модуль добутку чисел a і b дорівнює або a b, якщо , або −(a b) , якщо . З правил множення дійсних чисел випливає, що добуток модулів чисел a і b дорівнює або a·b , або -(a·b) , якщо , що доводить розглянуту властивість.
Модуль приватного від розподілу a на b дорівнює частці від розподілу модуля числа a на модуль числа b, Тобто, . Обгрунтуємо цю властивість модуля. Так як приватне дорівнює добутку, то. У силу попередньої властивості маємо 
. Залишилося лише скористатися рівністю , яка справедлива через визначення модуля числа.
Наступна властивість модуля записується у вигляді нерівності: 
, a, b і c – довільні дійсні числа. Записана нерівність є ні що інше як нерівність трикутника. Щоб це стало зрозуміло, візьмемо точки A(a), B(b), C(c) на координатній прямій і розглянемо вироджений трикутник АВС, у якого вершини лежать на одній прямій. За визначенням модуля різниці дорівнює довжині відрізка АВ, - Довжині відрізка АС, а - Довжині відрізка СВ. Так як довжина будь-якої сторони трикутника не перевищує суму довжин двох інших сторін, то справедлива нерівність 
Отже, справедливо і нерівність.
Щойно доведена нерівність набагато частіше зустрічається у вигляді 
. Записану нерівність зазвичай розглядають як окрему властивість модуля з формулюванням: « Модуль суми двох чисел вбирається у суму модулів цих чисел». Але нерівність безпосередньо випливає з нерівності , якщо в ньому замість b покласти −b і прийняти c = 0 .
Модуль комплексного числа
Дамо визначення модуля комплексного числа. Нехай нам дано комплексне число, Записане в алгебраїчній формі , де x і y - деякі дійсні числа, що є відповідно дійсну і уявну частини даного комплексного числа z, а - уявна одиниця.
3 ЧИСЛА позитивні негативні негативні негативні Модуль дійсного числа
4 Х, якщо Х 0 -Х, якщо Х 
5 1) |а|=5 а = 5 чи а = - 5 2) |х - 2|=5 x – 2 = 5 чи x – 2 = - 5 x=7 3) |2 x+3|=4 2 х+3= або 2 х+3= 2 х= х= 4) |х - 4|= - 2 х= ,5- 3,5 Модуль дійсного числа
6 Х, якщо Х 0 -Х, якщо Х 
7 Робота з підручником з стор Сформулювати властивості модуля 2. У чому полягає геометричний зміст модуля? 3. Описати властивості функції y = | x | за планом 1) D (y) 2) Нулі функції 3) Обмеженість 4) y н/б, y н/м 5) Монотонність 6) E (y) 4. Як отримати з графіка функції y = | x | графік функції y = | x +2 | y = | x-3 | ?
8 Х, якщо Х 0, -Х, якщо Х 
13 Самостійна робота «2 - 3» 1. Побудувати графік функції y = | x + 1 | 2. Розв'язати рівняння: а) |x|=2 б) |x|=0 «3 - 4» 1. Побудувати графік функції: 2. Розв'язати рівняння: 1 варіант 2 варіант y = |x-2| | x-2 | = 3 y = | x +3 | |x+3|=2 «4 - 5» 1. Побудувати графік функції: 2. Розв'язати рівняння: y = |2x+1| |2x+1|=5 y = |4x+1| |4x+1|=3
15 Поради великих 1) | -3 | 2) Число, протилежне числу (-6) 3) Вираз, протилежне виразу) | - 4: 2 | 5) Вираз, протилежне виразу) | 3 - 2 | 7) | - 3 2 | 8) | 7 - 5 | Варіанти відповідей: __ _ АЕГЖИКНТШЕЯ
