Як визначити центр мас півкола. Координати центру важкості деяких однорідних тіл. Осьові моменти інерції прямокутного трикутника

Математична техніка обчислення центру мас відноситься до галузі курсів математики; там подібні завдання служать добрими прикладамипо інтегрального обчислення. Але навіть вміючи інтегрувати, корисно знати деякі трюки для обчислення положення центру мас. Один із таких трюків заснований на використанні так званої теореми Паппа, яка працює наступним чином. Якщо ми візьмемо якусь замкнуту фігуру і утворимо тверде тіло, обертаючи цю фігуру в просторі так, щоб кожна точка рухалася перпендикулярно до площини фігури, то об'єм тіла, що при цьому утворюється. дорівнює творуплощі фігури на відстань, пройдену її центром ваги! Зрозуміло, ця теорема вірна й у тому випадку, коли плоска фігура рухається по прямій лінії, перпендикулярній до її площі, проте якщо ми рухаємо її по колу чи якійсь іншій

кривою, то при цьому виходить набагато більше цікаве тіло. При русі кривим шляхом внутрішня частина фігури просувається менше, ніж зовнішня і ці ефекти компенсують один одного. Тож якщо ми хочемо визначити; центр мас плоскої фігури з однорідною щільністю, потрібно пам'ятати, що об'єм, утворений обертанням її щодо осі, дорівнює відстані, яка проходить центр мас, помноженому на площу фігури.
Наприклад, якщо нам потрібно знайти центр мас прямокутного трикутниказ основою D і висотою H (фіг. 19.2), це робиться наступним чином. Уявіть собі вісь, що проходить вздовж H і поверніть трикутник на 360° навколо цієї осі. Це дає нам конус. Відстань, що проходить х-координата центру мас, дорівнює 2πx, а площа області, яка рухалася, тобто площа трикутника дорівнює l/2 HD. Добуток відстані, пройденого центром мас, на площу трикутника дорівнює об'єму конуса, тобто 1/3 πD 2 H. Таким чином, (2πх) (1/2HD) = 1/3D 2 H, або x= D/З. Абсолютно аналогічно обертанням навколо другого катета або просто з міркувань симетрії знаходимо, що у = H/3. Взагалі центр мас будь-якого однорідного трикутника знаходиться в точці перетину трьох його медіан (ліній, що з'єднують вершину трикутника з серединою протилежної сторони), яка від основи на відстані, що дорівнює 1/3 довжини кожної медіани.
Як це побачити? Розсічіть трикутник лініями, паралельними основі, на безліч смужок. Зауважте тепер, що медіана ділить кожну по лоску навпіл, отже, центр ваги повинен лежати на медіані.
Візьмемо тепер складнішу фігуру. Припустимо, що потрібно знайти положення центру мас однорідного півкола, тобто кола, що розрізає навпіл. Де буде центр мас у цьому випадку? Для повного кола центр мас розташований у геометричному центрі, але для півкола знайти його становище важче. Нехай r – радіус кола, а х – відстань центру мас від прямолінійної межі півкола. Обертаючи його навколо цього краю як навколо осі, ми отримуємо кулю. При цьому центр мас проходить відстань 2πх, а площа півкола дорівнює 1/2πr 2 (половині площі кола). Оскільки обсяг кулі дорівнює, звичайно, 4πг 3 /3, то звідси знаходимо

або

Існує ще інша теорема Паппа, яка фактично є окремим випадком сформульованої вище теореми, а тому теж справедлива. Припустимо, що замість твердого півкола ми взяли півколо, наприклад шматок дроту у вигляді півкола з однорідною щільністю, і хочемо знайти її центр мас. Виявляється, що площа, яка «замітається» плоскою кривою при її русі, аналогічному вищеописаному, дорівнює відстані, пройденому центром мас, помноженому на довжину цієї кривої. (Криву можна розглядати як дуже вузьку смужку та застосовувати до неї попередню теорему.)

Центр тяжкості - точка, якою проходить лінія дії рівнодіючої елементарних сил тяжкості. Він має властивість центру паралельних сил (Е. М. Нікітін, § 42). Тому формули визначення положення центру тяжкості різних тілмають вигляд:
x c = (∑ G i x i) / ∑ G i ;
(1) y c = (∑ G i y i) / ∑ G i ;
z c = (∑ G i z i) / ∑ G i .

Якщо тіло, центр тяжкості якого потрібно визначити, можна ототожнити з фігурою, складеною з ліній (наприклад, замкнутий або незамкнений контур, виготовлений з дроту, як на рис. 173), то вага G i кожного відрізка l i можна подати у вигляді твору
G i = l i d,
де d - постійна для всієї фігури вага одиниці довжини матеріалу.

Після підстановки формули (1) замість G i їх значень l i d постійний множник d у кожному доданку чисельника і знаменника можна винести за дужки (за знак суми) і скоротити. Таким чином, формули визначення координат центру тяжкості фігури, складеної з відрізків ліній, Приймуть вигляд:
x c = (∑ l i x i) / ∑ l i;
(2) y c = (∑ l i y i) / ∑ l i ;
z c = (∑ l i z i) / ∑ l i .

Якщо тіло має вигляд фігури, складеної з різних площин або кривих поверхонь (рис. 174), то вага кожної площини (поверхні) можна представити так:
G i = F i p,
де F i – площі кожної поверхні, а p – вага одиниці площі фігури.

Після підстановки цього значення G i формули (1) отримуємо формули координат центру ваги фігури, складеної з площ:
x c = (∑ F i x i) / ∑ F i ;
(3) y c = (∑ F i y i) / ∑ F i ;
z c = (∑ F i z i) / ∑ F i .

Якщо однорідне тіло можна розділити на прості частини певної геометричної форми (рис. 175), то вага кожної частини
G i = V i γ,
де V i – обсяг кожної частини, а γ – вага одиниці об'єму тіла.

Після підстановки значень G i формули (1) отримуємо формули визначення координат центру тяжкості тіла, складеного з однорідних обсягів:
x c = (∑V i x i) / ∑ V i;
(4) y c = (∑V i y i) / ∑ V i ;
z c = (∑V i z i) / ∑ V i .

При вирішенні деяких завдань визначення положення центру тяжкості тіл іноді необхідно знати, де розташований центр тяжкості дуги кола, кругового сектора чи трикутника.

Якщо відомий радіус дуги r і центральний кут 2α, що стягується дугою і виражений у радіанах, положення центру тяжкості C (рис. 176, а) щодо центру дуги O визначиться формулою:
(5) x c = (r sin α)/α.

Якщо ж задана хорда AB=b дуги, то формулі (5) можна зробити заміну
sin α = b/(2r)
і тоді
(5а) x c = b/(2α).

В окремому випадку для півкола обидві формули набудуть вигляду (рис. 176, б):
(5б) x c = OC = 2r/π = d/π.

Положення центру тяжкості кругового сектора, якщо заданий його радіус r (рис. 176, в) визначається за допомогою формули:
(6) x c = (2r sin α)/(3α).

Якщо ж задана хорда сектора, то:
(6а) x c = b/(3α).

В окремому випадку для півкола обидві останні формули набудуть вигляду (рис. 176, г)
(6б) x c = OC = 4r/(3π) = 2d/(3π).

Центр тяжкості площі будь-якого трикутника розташований від будь-якої сторони на відстані, що дорівнює одній третині відповідної висоти.

У прямокутного трикутника центр ваги знаходиться на перетині перпендикулярів, відновлених до катет з точок, розташованих на відстані однієї третини довжини катетів, рахуючи від вершини прямого кута(Рис. 177).

При вирішенні завдань визначення положення центру тяжкості будь-якого однорідного тіла, складеного або з тонких стрижнів (ліній), або з пластинок (площ), або з обсягів, доцільно дотримуватися наступного порядку:

1) виконати малюнок тіла, положення центру тяжкості якого слід визначити. Так як всі розміри тіла зазвичай відомі, при цьому слід дотримуватися масштабу;

2) розбити тіло на складові частини (відрізки ліній чи площі, чи обсяги), становище центрів тяжкості яких визначається з розмірів тіла;

3) визначити чи довжини, чи площі, чи обсяги складових частин;

4) вибрати розташування осей координат;

5) визначити координати центрів важкості складових частин;

6) знайдені значення довжин чи площ, чи обсягів окремих частин, і навіть координат їх центрів тяжкості підставити у відповідні формули і обчислити координати центру тяжкості всього тіла;

7) за знайденими координатами вказати малюнку положення центру тяжкості тіла.

§ 23. Визначення положення центру ваги тіла, що складається з тонких однорідних стрижнів

§ 24. Визначення положення центру ваги фігур, складених із платівок

В останній задачі, а також у завданнях, наведених у попередньому параграфі, розчленування фігур на складові не викликає особливих труднощів. Але іноді фігура має такий вигляд, що дозволяє розділити її на складові декількома способами, наприклад тонку пластинку прямокутної форми з трикутним вирізом (рис. 183). При визначенні положення центру тяжкості такої пластинки її площу можна розділити на чотири прямокутники (1, 2, 3 і 4) та один прямокутний трикутник 5 - декількома способами. Два варіанти показано на рис. 183, а і б.

Найбільш раціональним є той спосіб розподілу фігури на складові, при якому утворюється найменше їх число. Якщо фігурі є вирізи, їх можна також включати до складу складових частин фігури, але площу вирізаної частини вважати негативною. Тому такий розподіл отримав назву способу негативних площ.

Платівка на рис. 183, ділиться за допомогою цього способу всього на дві частини: прямокутник 1 з площею всієї пластинки, як вона ціла, і трикутник 2 з площею, яку вважаємо негативною.

§ 26. Визначення положення центру ваги тіла, складеного з частин, що мають просту геометричну форму

Щоб вирішувати завдання визначення положення центру тяжкості тіла, складеного з частин, що мають просту геометричну формунеобхідно мати навички визначення координат центру ваги фігур, складених з ліній або площ.

Результат розрахунків залежить не тільки від площі перерізу, тому при вирішенні завдань щодо сопромату не обійтися без визначення геометричних характеристик фігур: статичних, осьових, полярного та відцентрових моментівінерції. Обов'язково необхідно вміти визначати положення центру тяжкості перерізу (від положення центру тяжкості залежать перераховані геометричні характеристики). До додатку до геометричним характеристикам простих фігур: прямокутника, квадрата, рівнобедреного та прямокутного трикутників, кола, півкола. Вказано центр тяжкості та положення головних центральних осей, та визначено щодо них геометричні характеристики за умови, що матеріал балки однорідний.

Геометричні характеристики прямокутника та квадрата

Осьові моменти інерції прямокутника (квадрату)

Геометричні характеристики прямокутного трикутника

Осьові моменти інерції прямокутного трикутника

Геометричні характеристики рівнобедреного трикутника

Осьові моменти інерції рівнобедреного трикутника

6.1. Загальні відомості

Центр паралельних сил
Розглянемо дві паралельні, спрямовані в один бік сили , і прикладені до тіла в точках А 1 і А 2 (рис.6.1). Ця система сил має рівнодіючу , лінія дії якої проходить через деяку точку З. Положення точки Зможна знайти за допомогою теореми Варіньйона:

Якщо повернути сили та біля точок А 1 і А 2 в один бік і на один і той же кут, то отримаємо нову системупаралельних сал, що мають ті ж модулі. При цьому їх рівнодіюча також проходитиме через точку З. Така точка називається центром паралельних сил.
Розглянемо систему паралельних і однаково спрямованих сил, прикладених до твердого тіла у точках. Ця система має рівнодіючу.
Якщо кожну силу системи повернути близько точок їх застосування в одну й ту саму сторону і на той самий кут, то вийдуть нові системи однаково спрямованих паралельних сил з тими ж модулями і точками програми. Рівнодійна таких систем матиме той самий модуль Rале кожного разу інший напрямок. Склавши сили F 1 і F 2 знайдемо що їх рівнодіюча R 1 , яка завжди проходитиме через точку З 1, положення якої визначається рівністю. Склавши далі R 1 і F 3 , знайдемо їх рівнодіючу, яка завжди проходитиме через точку З 2 , що лежить на прямій А 3 З 2 . Довівши процес складання сил до кінця прийдемо до висновку, що рівнодіюча всіх сил дійсно завжди проходитиме через ту саму точку. З, Положення якої стосовно точок буде незмінним.
Крапка З, через яку проходить лінія дії рівнодіючої системи паралельних сил при будь-яких поворотах цих сил біля точок їх застосування в один і той же бік на той самий кут називається центром паралельних сил (рис. 6.2).

Рис.6.2

Визначимо координати центру паралельних сил. Оскільки положення точки Зпо відношенню до тіла є незмінним, її координати від вибору системи координат не залежать. Повернемо всі сили біля їх застосування так, щоб вони стали паралельні осі Оуі застосуємо до повернутих сил теорему Варіньйона. Оскільки R"є рівнодіючою цих сил, то, згідно з теоремою Варіньйона, маємо , т.к. , , отримаємо

Звідси знаходимо координату центру паралельних сил zc:

Для визначення координати xcскладемо вираз моменту сил щодо осі Oz.

Для визначення координати ycповернемо всі сили, щоб вони стали паралельні осі Oz.

Положення центру паралельних сил щодо початку координат (рис. 6.2) можна визначити його радіусом-вектором:

6.2. Центр тяжкості твердого тіла

Центром тяжкостітвердого тіла називається незмінно пов'язана з цим тілом точка З, якою проходить лінія дії рівнодіючої сил тяжкості даного тіла, за будь-якому положенні тіла у просторі.
Центр тяжкості застосовується при дослідженні стійкості положень рівноваги тіл суцільних середовищ, що знаходяться під дією сил тяжіння та в деяких інших випадках, а саме: в опорі матеріалів та в будівельній механіці - при використанні правила Верещагіна.
Існують два способи визначення центру тяжкості тіла: аналітичний та експериментальний. Аналітичний метод визначення центру тяжкості безпосередньо випливає з поняття центру паралельних сил.
Координати центру тяжкості як центру паралельних сил визначаються формулами:

де Р- вага всього тіла; pk- вага частинок тіла; xk, yk, zk- Координати частинок тіла.
Для однорідного тіла вага всього тіла та будь-якої її частини пропорційна обсягу P=Vγ, pk = vk γ, де γ - вага одиниці об'єму, V- Об'єм тіла. Підставляючи вирази P, pkформули визначення координат центру тяжіння і скорочуючи на загальний множник γ , Отримаємо:

Крапка Зкоординати якої визначаються отриманими формулами, називається центром тяжкості обсягу.
Якщо тіло є тонкою однорідною пластиною, то центр ваги визначається формулами:

де S- площа всієї пластини; sk- Площа її частини; xk, yk- Координати центру ваги частин пластини.
Крапка Зу разі носить назву центру ваги площі.
Чисельники виразів, що визначають координати центру тяжіння плоских фігур, називаються з татичними моментами площіщодо осей уі х:

Тоді центр ваги площі можна визначити за формулами:

Для тіл, довжина яких багато разів перевищує розміри поперечного перерізу, визначають центр тяжкості лінії. Координати центру ваги лінії визначають формулами:

де L- Довжина лінії; lk- Довжина її частин; xk, yk, zk- Координата центру ваги частин лінії.

6.3. Способи визначення координат центрів тяжіння тіл

Ґрунтуючись на отриманих формулах, можна запропонувати практичні способи визначення центрів тяжкості тіл.
1. Симетрія. Якщо тіло має центр симетрії, то центр ваги перебуває у центрі симетрії.
Якщо тіло має площину симетрії. Наприклад, площина ХОУ, то центр ваги лежить у цій площині.
2. Розбиття. Для тіл, що складаються з простих формою тіл, використовується спосіб розбиття. Тіло розбивається на частини, центр тяжкості яких перебуває методом симетрії. Центр тяжкості всього тіла визначається за формулами центру тяжкості об'єму (площі).

приклад. Визначити центр ваги пластини, зображеної на малюнку (рис. 6.3). Пластину можна розбити на прямокутники у різний спосібта визначити координати центру ваги кожного прямокутника та їх площі.

Рис.6.3

Відповідь: xc= 17.0см; yc= 18.0див.

3. Доповнення. Цей спосіб є окремим випадком способу розбиття. Він використовується, коли тіло має вирізи, зрізи та ін, якщо координати центру ваги тіла без вирізу відомі.

приклад. Визначити центр ваги круглої пластини, що має виріз радіусом. r = 0,6 R(Рис. 6.4).

Рис.6.4

Кругла пластина має центр симетрії. Помістимо початок координат у центрі пластини. Площа пластини без вирізу, площа вирізу. Площа пластини з вирізом; .
Пластина з вирізом має вісь симетрії О1 x, отже, yc=0.

4. Інтегрування. Якщо тіло не можна розбити на кінцеве число частин, положення центрів тяжкості яких відомі, тіло розбивають на довільні малі обсяги, для яких формула з використанням методу розбиття набуває вигляду: .
Далі переходять межі, спрямовуючи елементарні обсяги нанівець, тобто. стягуючи обсяги у крапки. Суми замінюють інтегралами, поширеними на весь об'єм тіла, тоді формули визначення координат центру тяжкості об'єму набувають вигляду:

Формули для визначення координат центру ваги площі:

Координати центру ваги площі необхідно визначати щодо рівноваги платівок, при обчисленні інтеграла Мора у будівельній механіці.

приклад. Визначити центр тяжкості дуги кола радіусу Rз центральним кутом АОВ= 2? (рис. 6.5).

Мал. 6.5

Дуга кола симетрична осі Ох, отже, центр тяжіння дуги лежить на осі Ох, yс = 0.
Згідно з формулою для центру тяжкості лінії:

6.Експериментальний спосіб. Центри тяжкості неоднорідних тіл складної конфігурації можна визначати експериментально: шляхом підвішування і зважування. Перший спосіб у тому, що тіло підвішується на тросі різні точки. Напрямок троса на якому підвішено тіло, даватиме напрям сили тяжіння. Точка перетину цих напрямів визначає центр ваги тіла.
Метод зважування полягає в тому, що спочатку визначається вага тіла, наприклад автомобіля. Потім на терезах визначається тиск заднього моста автомобіля на опору. Склавши рівняння рівноваги щодо будь-якої точки, наприклад осі передніх коліс, можна обчислити відстань від цієї осі до центру ваги автомобіля (рис. 6.6).

Рис.6.6

Іноді під час вирішення завдань слід застосовувати одночасно різні методи визначення координат центру тяжкості.

6.4. Центри тяжкості деяких найпростіших геометричних фігур

Для визначення центрів тяжкості тіл часто зустрічається форми (трикутника, дуги кола, сектора, сегмента) зручно використовувати довідкові дані (табл. 6.1).

Таблиця 6.1

Координати центру тяжкості деяких однорідних тіл

№	Найменування фігури	Малюнок
	Дуга кола: центр тяжіння дуги однорідного кола знаходиться на осі симетрії (координата уc=0). R- Радіус кола.
	Однорідний круговий сектор уc=0). де - половина центрального кута; R- Радіус кола.
	Сегмент: центр ваги розташований на осі симетрії (координата уc=0). де - половина центрального кута; R- Радіус кола.
	Півколо:
	Трикутник: центр ваги однорідного трикутника знаходиться у точці перетину його медіан. де x1, y1, x2, y2, x3, y3- координати вершин трикутника
	Конус: центр тяжкості однорідного кругового конусалежить на його висоті і відстає на відстань 1/4 висоти від основи конуса.

Центр тяжкості дуги кола

Дуга має вісь симетрії. Центр тяжкості лежить цієї осі, тобто. y C = 0 .

dl- Елемент дуги, dl = Rdφ, R- Радіус кола, x = Rcosφ, L = 2αR,

Отже:

x C = R(sinα/α).

Центр тяжкості кругового сектора

Сектор радіусу Rз центральним кутом 2 α має вісь симетрії Ox, де знаходиться центр тяжіння.

Розбиваємо сектор на елементарні сектори, які можна вважати трикутниками. Центри тяжкості елементарних секторів розташовуються на дузі кола радіусу (2/3) R.

Центр тяжкості сектора збігається із центром тяжіння дуги AB:

Півколо:

37. Кінематика. Кінематика точки. Способи завдання руху точки.

Кінематика- Розділ механіки, в якому вивчаються рух матеріальних тіл з геометричної точки зору, без урахування маси і діючих на них сил. Способи завдання руху точки: 1) природний; 2) координатний; 3) векторний.

Кінематика точки- Розділ кінематики, що вивчає математичний опис руху материпних точок. Основне завдання кінематики є опис руху з допомогою математичного апарату без з'ясування причин, викликають цей рух.

Природний сп. вказується траєкторія точки, закон її руху по цій траєкторії, початок та напрямок відліку дугової координати: s=f(t) – закон руху точки. При прямолінійному русі: x = f (t).

Координатний сп. положення точки у просторі визначається трьома координатами, зміни яких визначають закон руху точки: x = f 1 (t), y = f 2 (t), z = f 3 (t).

Якщо рух у площині, то два рівняння руху. Рівняння руху описують рівняння траєкторії у параметричній формі. Виключивши з рівнянь параметр t, отримуємо рівняння траєкторії у звичному вигляді:f(x,y)=0 (для плоск-ти).

Векторний сп. положення точки визначається її радіус-вектором, проведеним із будь-якого центру. Крива, яка викреслюється кінцем якогось вектора, звані. годографомцього вектора. Тобто. траєкторія – годограф радіус-вектора.

38. Зв'язок між координатним та векторним, координатним та природним способами завдання руху точки.

ЗВ'ЯЗОК ВЕКТОРНОГО СПОСОБУ З КООРДИНАТНИМ І ПРИРОДНИМвиражається співвідношеннями:

де - орт дотичної до траєкторії у цій точці, спрямований у бік відліку відстаней, - орт нормалі до траєкторії у цій точці, спрямований у бік центру кривизни (див. рис. 3).

ЗВ'ЯЗОК КООРДИНАТНОГО СПОСОБУ З ПРИРОДНИМ. Рівняння траєкторії f(x, y)=z; f 1 (x, z)=y виходить із рівнянь руху в координатній формі за допомогою виключення часу t. Додатковим аналізом значень, які можуть приймати координати точки, визначається та ділянка кривої, яка є траєкторією. Наприклад, якщо рух точки встановлено рівняннями: x=sin t; y=sin 2 t=x 2 то траєкторією точки є та ділянка параболи у=х 2 , для якого -1≤x≤+1, 0≤x≤1. Початок та напрямок відліку відстаней вибираються довільно, цим надалі визначається знак швидкості та величина та знак початкової відстані s 0 .

Закон руху визначається залежністю:

знак + або – визначається залежно від прийнятого напрямку відліку відстаней.

Швидкість точки– це кінематична міра її руху, рівна похідної за часом від радіус-вектора цієї точки в системі відліку, що розглядається. Вектор швидкості спрямований по дотичній до траєкторії точки у бік руху.

Вектор швидкості (v)- це відстань, що тіло проходить у певному напрямі за одиницю часу. Зверніть увагу, що визначення вектор швидкостідуже схоже визначення швидкості, крім однієї важливої ​​відмінності: швидкість тіла не вказує напрям руху, а вектор швидкості тіла вказує і швидкість, і напрям руху. Отже, необхідні дві змінні, які описують вектор швидкості тіла: швидкість та напрямок. Фізичні величини, які мають значення і напрямок, називають векторними величинами.

Вектор швидкостітіла може іноді змінюватися. Якщо його швидкість, або напрямок змінюються, швидкість тіла також змінюється. Постійний вектор швидкості передбачає постійну швидкість і постійне напрям, тоді як термін «постійна швидкість» має на увазі лише постійне значення, не беручи до уваги напрям. Термін "вектор швидкості" часто використовується поперемінно з терміном "швидкість". Вони обидва виражають відстань, яка тіло проходить в одиницю часу

Прискорення точки– це міра зміни її швидкості, що дорівнює похідній за часом від швидкості цієї точки або другої похідної від радіус-вектора точки за часом. Прискорення характеризує зміну вектора швидкості за величиною та напрямом і спрямоване у бік увігнутості траєкторії.

Вектор прискорення

це відношення зміни швидкості до проміжку часу, за який ця зміна відбулася. Визначити середнє прискорення можна за формулою:

де – вектор прискорення.

Напрямок вектора прискорення збігається із напрямом зміни швидкості Δ = - 0 (тут 0 – це початкова швидкість, тобто швидкість, з якою тіло почало прискорюватися).

На момент часу t1 (див. рис 1.8) тіло має швидкість 0 . У момент часу t2 тіло має швидкість. Відповідно до правила віднімання векторів знайдемо вектор зміни швидкості Δ = - 0 . Тоді визначити прискорення можна так: