Відлік кутів на тригонометричному колі.
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")
Він майже такий, як у попередньому уроці. Є осі, коло, кут, все чин-чинарем. Додані номери чвертей (у куточках великого квадрата) – від першої до четвертої. А то раптом хтось не знає? Як бачите, чверті (їх ще називають гарним словом "квадранти") нумеруються проти ходу годинникової стрілки. Додано значення кута на осях. Все відомо, ніяких проблем.
І додано зелену стрілку. Із плюсом. Що вона означає? Нагадаю, що нерухома сторона кута завжди прибита до позитивної півосі ОХ. Так от, якщо рухливий бік кута ми будемо крутити зі стрілкою з плюсом, тобто. за зростанням номерів чвертей, кут вважатиметься позитивним.Наприклад на малюнку показаний позитивний кут +60°.
Якщо відкладатимемо кути у зворотний бік, по ходу годинникової стрілки, кут вважатиметься негативним.Наведіть курсор на зображення (або торкніться зображення на планшеті), побачите синю стрілку з мінусом. Це - напрямок негативного відліку кутів. Наприклад показаний негативний кут (- 60°). А ще ви побачите, як змінилися циферки на осях... Я їх також перевів у негативні кути. Нумерація квадрантів не змінюється.
Ось тут, як правило, починаються перші непоняття. Як так! А якщо негативний кут на колі співпаде із позитивним!? Та й взагалі, виходить що, те саме положення рухомої сторони (або точки на числовому колі) можна обізвати як негативним кутом, так і позитивним!?
Так. Саме так. Скажімо, позитивний кут 90 градусів займає на колі таке саме положення, що і негативний кут мінус 270 градусів. Позитивний кут, наприклад, +110 градусів займає таке саме положення, як і негативний кут -250°.
Чи не питання. Вибір позитивного або негативного обчислення кута залежить від умови завдання. Якщо в умові нічого не сказано відкритим текстом про знак кута, (типу "визначити найменший позитивнийкут і т.д.), то працюємо зі зручними нам величинами.
Винятком (а як без них?!) є тригонометричні нерівності, але там ми цю фішку освоїмо.
А тепер вам питання. Як я дізнався, що положення кута 110 ° збігається з положенням кута -250?
Натякну, що це пов'язано з повним оборотом. У 360 ° ... Незрозуміло? Тоді малюємо коло. Самі малюємо на папері. Відзначаємо кут приблизно 110 °. І вважаємоскільки залишається до повного обороту. Залишиться якраз 250°...
Вловили? А тепер – увага! Якщо кути 110 ° і -250 ° займають на колі одне й те саме
становище, то що? Та те, що у кутів 110 ° і -250 ° абсолютно однакові
синус, косинус, тангенс та котангенс!
Тобто. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) тощо. Ось це вже справді важливо! І саме собою є маса завдань, де треба спростити висловлювання, і як база для подальшого освоєння формул приведення та інших премудростей тригонометрії.
Зрозуміло, 110° і -250° я взяв навмання, чисто для прикладу. Всі ці рівності працюють для будь-яких кутів, що займають одне становище на колі. 60 ° і -300 °, -75 ° і 285 °, ну і так далі. Відзначу відразу, що кути в цих парочках різні.А ось тригонометричні функції у них - однакові.
Думаю, що таке негативні кути ви зрозуміли. Це дуже просто. Проти ходу годинникової стрілки – позитивний відлік. По ходу – негативний. Вважати кут позитивним, або негативним залежить від нас. Від нашого бажання. Ну, і ще від завдання, звичайно... Сподіваюся, ви зрозуміли і як переходити в тригонометричних функціях від негативних кутів до позитивних та назад. Намалювати коло, приблизний кут, і побачити, скільки немає до повного обороту, тобто. до 360 °.
Кути більше 360 °.
Займемося кутами, які більше 360°. А такі трапляються? Бувають, звісно. Як їх намалювати на колі? Та не проблема! Припустимо, нам треба зрозуміти, яку чверть потрапить кут в 1000°? Легко! Робимо один повний оборот проти ходу годинникової стрілки (кут нам дали позитивний!). Відмотали 360 °. Ну і крутимо далі! Ще оборот – уже вийшло 720 °. Скільки лишилося? 280 °. На повний оборот не вистачає... Але кут більше 270° - а це межа між третьою та четвертою чвертю. Отже наш кут в 1000 ° потрапляє в четверту чверть. Все.
Як бачите, це дуже просто. Ще раз нагадаю, що кут 1000 і кут 280, який ми отримали шляхом відкидання "зайвих" повних оборотів - це, строго кажучи, різнікути. Але тригонометричні функції у цих кутів абсолютно однакові! Тобто. sin1000 ° = sin280 °, cos1000 ° = cos280 ° і т.д. Якби я був синусом, я не помітив би різниці між цими двома кутами...
Навіщо це все потрібно? Навіщо нам переводити кути з одного до іншого? Та все за тим самим.) З метою спрощення виразів. Спрощення виразів, власне, головне завдання шкільної математики. Ну і, принагідно, голова тренується.)
Ну що, потренуємось?)
Відповідаємо на запитання. Спершу прості.
1. У яку чверть потрапляє кут -325?
2. У яку чверть потрапляє кут 3000?
3. У яку чверть попадає кут -3000 °?
Чи є проблеми? Чи невпевненість? Ідемо в Розділ 555, Практична робота з тригонометричним колом. Там, у першому уроці цієї "Практичної роботи..." все докладненько... У такихпитаннях невпевненості бути не повинно!
4. Який знак має sin555°?
5. Який знак має tg555?
Визначили? Чудово! Сумніваєтесь? До речі, там навчитеся малювати тангенс і котангенс на тригонометричному колі. Дуже корисна штучка.
А тепер питання мудріші.
6. Привести вираз sin777° до синуса найменшого позитивного кута.
7. Привести вираз cos777° до косінусу найбільшого негативного кута.
8. Привести вираз cos(-777°) до косінусу найменшого позитивного кута.
9. Привести вираз sin777° до синуса найбільшого негативного кута.
Що, питання 6-9 спантеличили? Звикайте, на ЄДІ і не такі формулювання зустрічаються... Так і бути, переведу. Тільки для вас!
Слова "привести вираз до..." означають перетворення виразу так, щоб його значення не змінилося,а зовнішній вигляд змінився відповідно до завдання. Так, у завданні 6 та 9 ми повинні отримати синус, усередині якого стоїть найменший позитивний кут.Все інше – не має значення.
Відповіді видам по порядку (порушуючи наші правила). А що робити, знаки всього два, а чверті всього чотири... Не розбіжишся у випадках.
6. sin57 °.
7. cos (-57 °).
8. cos57 °.
9. -sin (-57 °)
Припускаю, що відповіді на запитання 6-9 декого збентежили. Особливо -sin (-57 °), Правда?) Справді, в елементарних правилах відліку кутів є місце для помилок ... Саме тому довелося зробити урок: "Як визначати знаки функцій і наводити кути на тригонометричному колі?" У Розділі 555. Там завдання 4 – 9 розібрані. Добре розібрані, з усіма підводними каменями. А вони тут є.
У наступному уроці ми розберемося із загадковими радіанами та числом "Пі". Навчимося легко і правильно переводити градуси в радіани та назад. І з подивом виявимо, що цієї елементарної інформації на сайті вже вистачає щоб вирішувати деякі нестандартні завдання з тригонометрії!
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
Малий кут атаки - [А.С.Гольдберг. Англо-російський енергетичний словник. 2006 р.] Тематики енергетика загалом Синоніми малий кут атаки EN negative incidencelow incidence …
негативний кут різання- — Тематики нафтогазова промисловість EN negative cutting anglenegative cutting anglenegative rake … Довідник технічного перекладача
негативний кут скосу верхньої поверхні щітки- [ГОСТ 21888 82 (МЕК 276 68, МЕК 560 77)] Тематики машини електричні, що обертаються в цілому … Довідник технічного перекладача
кут установки крила Енциклопедія «Авіація»
кут установки крила- Кут установки крила. кут установки крила кут φ0 між центральною хордою крила та базовою віссю літака (див. рис.). Залежно від аеродинамічного компонування літака цей кут може бути як позитивним, і негативним. Зазвичай … Енциклопедія «Авіація»
Кут установки крила- кут (φ)0 між центральною хордою крила та базовою віссю літака. Залежно від аеродинамічного компонування літака цей кут може бути як позитивним, і негативним. Зазвичай він знаходиться в межах від -2 (°) до +3 (°). Кут (φ)0… … Енциклопедія техніки
КУТ ЗНИЖЕННЯ- (Depressed angle) кут, утворений лінією піднесення (див.) з горизонтом, коли перша проходить нижче за горизонт, тобто негативний кут піднесення. Самойлов К. І. Морський словник. М. Л.: Державне Військово-морське Видавництво НКВМФ Союзу… … Морський словник
КУТ ОПТИЧНИХ ОСЕЙ- Гострий кут між опт. осями в двовісних до лах. У. о. о. називають позитивним, коли гострою бісектрисою є Ng і негативним, коли гострою бісектрисою є Np (див. Кристал оптично двовісний). Істинний У. о. о. позначається ... Геологічна енциклопедія
Кастор (кут)- Цей термін має й інші значення, див. Кастор. θ кастор, червона лінія вісь повороту колеса. На малюнку кастор позитивний (кут відраховується за годинниковою стрілкою, перед автомобілем знаходиться ліворуч).
Кастор (Кут нахилу осі повороту)- θ кастор, червона лінія вісь повороту колеса. На малюнку кастор позитивний (кут відраховується за годинниковою стрілкою, перед автомобілем знаходиться зліва) Кастор (англ. caster) кут поздовжнього нахилу осі повороту колеса автомобіля. Кастор… … Вікіпедія
передній кут- 3.2.9 передній кут: Кут між передньою поверхнею та основною площиною (див. рис. 5). 1 негативний передній кут; 2 позитивний передній кут Рисунок 5 Передні кути
Пара різних променів Оа і Оb, що виходять з однієї точки, називається кутом і позначається символом (а, b). Точка О називається вершиною кута, а промені Оа u Оb - сторонами кута. Якщо А і В – дві точки променів Оа та Оb, то (а, b) позначається також символом АОВ (рис. 1.1).
Кут (а, Ь) називають розгорнутим, якщо промені Оа і Ob, що виходять з однієї точки, лежать на одній прямій і не збігаються (тобто протилежно спрямовані).
Рис.1.1
Два кути вважаються рівними, якщо один кут можна накласти на інший так, щоб сторони кутів збігалися. Бісектрисою кута називається промінь з початком у вершині кута, що ділить кут на два рівні кути.
Говорять, що промінь ОС, що виходить із вершини кута АОВ, лежить між його сторонами, якщо він перетинає відрізок АВ (рис. 1.2). Говорять, що точка С лежить між сторонами кута, якщо через цю точку можна провести промінь з початком у вершині кута, що лежить між сторонами кута. Безліч точок площини, що лежать між сторонами кута, утворює внутрішню область кута (рис. 1.3). Безліч точок площини, що не належать внутрішній області та сторонам кута, утворює зовнішню область кута.
Кут (а, b) вважають більше кута (c, d), якщо кут (с, d) можна накласти на кут (а, b) так, що після поєднання однієї пари сторін друга сторона кута (с, d) лежатиме між сторонами кута (а, b). На рис. 1.4 АОВ більше за АОС.
Нехай промінь лежить між сторонами кута (а, b) (рис. 1.5). Пари променів а, с і с, b утворюють два кути. Про вугілля (а, b) говорять, що він є сумою двох кутів (а, с) та (с, b), і пишуть: (а, b) = (а, с) + (с, b).
Рис.1.3
Зазвичай у геометрії мають справу з кутами, меншими від розгорнутого. Однак в результаті складання двох кутів може вийти кут, більший за розгорнутий. В цьому випадку ту частину площини, яка вважається внутрішньою областю кута, відзначають дугою. На рис. 1.6 внутрішня частина кута АОВ, отриманого в результаті складання кутів АОС та СОВ та більшого розгорнутого, відзначена дугою.
Рис.1.5
Існують також кути великі 360 °. Такі кути утворюються, наприклад, обертанням пропелера літака, обертанням барабана, на який намотується канат, і т.д.
Надалі при розгляді кожного кута умовимося вважати одну із сторін цього кута його початковою стороною, а іншу - кінцевою стороною.
Будь-який кут, наприклад, кут АОВ (рис. 1.7), можна отримати в результаті обертання рухомого променя навколо вершини О від початкової сторони кута (ОА) до його кінцевої сторони (ОВ). Ми вимірюватимемо цей кут, враховуючи повну кількість оборотів, зроблених при цьому навколо точки О, а також напрямок, в якому відбувалося обертання.
Позитивні та негативні кути.
Нехай ми маємо кут, утворений променями ОА та ВВ (рис.1.8). Рухомий промінь, обертаючись навколо точки Від свого початкового положення (ОА), може зайняти кінцеве положення (ОВ) при двох різних напрямках обертання. Ці напрями показані малюнку 1.8 відповідними стрілками.
Рис.1.7
Подібно до того, як на числовій осі один з двох напрямків вважається позитивним, а інший негативним, розрізняють і два різні напрямки обертання рухомого променя. Умовилися вважати позитивним напрямом обертання той напрямок, який протилежний напряму обертання годинникової стрілки. Напрямок обертання, що збігається із напрямком обертання годинникової стрілки, вважається негативним.
Відповідно до цих визначень кути також поділяються на позитивні та негативні.
Позитивним кутом називається кут, утворений обертанням рухомого променя навколо початкової точки у позитивному напрямку.
На малюнку 1.9 дано деякі позитивні кути. (Напрямок обертання рухомого променя показано на кресленнях стрілками.)
Негативним кутом називається кут, утворений обертанням рухомого променя навколо початкової точки негативному напрямку.
На малюнку 1.10 зображено деякі негативні кути. (Напрямок обертання рухомого променя показано на кресленнях стрілками.)
Але два збігаються променя можуть утворити і кути +360°п і -360°п (п = 0,1,2,3,...). Позначимо через байт найменший можливий невід'ємний кут повороту, що переводить промінь ОА в положення ВВ. Якщо тепер промінь ВВ зробить додатково повний оборот навколо точки, то отримаємо іншу величину кута, а саме: АВО = б + 360 °.
Вимірювання кутів дугами кола. Одиниці виміру дуг та кутів
У ряді випадків виявляється зручним вимірювати кути за допомогою дуг кола. Можливість такого виміру основа на відомому реченні планиметрії у тому, що у одному колі (чи рівних колах) центральні кути і відповідні їм дуги перебувають у прямої пропорційної залежності.
Нехай деяка дуга цього кола прийнята за одиницю виміру дуг. Відповідний цій дузі центральний кут приймемо за одиницю виміру кутів. За такої умови будь-яка дуга кола та відповідний цій дузі центральний кут будуть містити те саме число одиниць вимірювання. Тому, вимірюючи дуги кола, можна визначати і величину відповідних цих дуг центральних кутів.
Розглянемо дві найпоширеніші системи вимірювання дуг та кутів.
Градусний замір вимірювання кутів
При градусному вимірі кутів як основна одиниця виміру кутів (еталонного кута, з яким порівнюються різні кути) береться кут в один градус (позначається 1?). Кут в один градус - це кут, що дорівнює 1/180 частини розгорнутого кута. Кут, що дорівнює 1/60 частини кута в 1°, - це кут в одну хвилину (позначається 1"). Кут, що дорівнює 1/60 частини кута в одну хвилину, - це кут в одну секунду (позначається 1").
Радіанний замір вимірювання кутів
Поряд із градусною мірою вимірювання кутів у геометрії та тригонометрії використовується й інша міра вимірювання кутів, яка називається радіанною. Розглянемо коло радіусу R з центром О. Проведемо два радіуси О А і ОВ так, щоб довжина дуги АВ дорівнювала радіусу кола (рис. 1.12). Центральний кут АОВ, що вийшов при цьому, буде кутом в один радіан. Кут 1 радіан приймається за одиницю вимірювання радіанної міри вимірювання кутів. При радіанному вимірі кутів розгорнутий кут дорівнює р радіан.
Градусна та радіанна одиниці виміру кутів пов'язані рівностями:
1 радіан = 180?/р57 ° 17 "45"; 1?=р/180 радіана0,017453радіана;
1"=р/180 * 60 радіана0,000291 радіана;
1""=р/180*60*60 радіана0,000005 радіана.
Градусну (або радіанну) міру кута також називають величиною кута. Величину кута АОВ іноді позначають /
Класифікація кутів
Кут, рівний 90°, або радіанною мірою р/2, називається прямим кутом; його часто позначають літерою d. Кут, менший за 90°, називається гострим; кут, більший за 90°, але менший за 180°, називається тупим.
Два кути, що мають одну загальну сторону і в сумі 180°, називаються суміжними кутами. Два кути, що мають одну загальну сторону і в сумі 90°, називаються додатковими кутами.
Назвемо обертання рухомого радіуса-вектора у напрямку проти руху годинникової стрілки позитивним, а в протилежному напрямку (у напрямку руху годинникової стрілки) негативним. Кут, описаний при негативному обертанні рухомого радіусу-вектора, назвемо негативним кутом.
Правило. Кут вимірюється позитивним числом, якщо він позитивний, та негативним числом, якщо він негативний.
Приклад 1. На рис. 80 зображено два кути із загальною початковою стороною ОА і загальною кінцевою стороною OD: один дорівнює +270°, інший -90°.
Сума двох кутів. На координатній площині Оху розглянемо коло одиничного радіусу з центром на початку координат (рис. 81).
Нехай довільний кут (на кресленні позитивний) отриманий в результаті обертання деяка рухомого радіуса-вектора від його початкового положення ОА, що збігається з позитивним напрямом осі Ох, до його кінцевого положення .
Приймемо тепер положення радіуса-вектора ОЕ за початкове і відкладемо від нього довільний кут (на кресленні позитивний), який отримаємо в результаті обертання деякого рухомого радіуса-вектора від його початкового положення ОЕ до кінцевого положення ОС. В результаті цих дій ми отримаємо кут, який називатимемо сумою кутів а і . (Початкове положення рухомого радіуса-вектора ОА, кінцеве положення радіуса-вектора ОС.)
Різниця двох кутів.
Під різницею двох кутів а і , яку позначимо ми будемо розуміти такий третій кут, який у сумі з кутом дає кута, тобто якщо різниця двох кутів можна трактувати як суму кутів а і . Власне, для будь-яких кутів їх сума вимірюється алгебраїчною сумою дійсних чисел, що вимірюють ці кути.
Приклад 2. тоді.
Приклад 3. Кут, а кут. Сума їх.
У формулі (95.1) передбачалося, що будь-яке ціле невід'ємне число. Якщо ж припустити, що будь-яке ціле число (позитивне, негативне або нуль), то за допомогою формули
де можна буде записати будь-який кут, як позитивний, і негативний.
Приклад 4. Кут, що дорівнює -1370°, можна записати так:
Зауважимо, що це кути записані з допомогою формули (96.1), за різних значеннях , але одному й тому ж, мають загальні початкову (ОА) і кінцеву (ОЕ) боку (рис. 79). Тому побудова будь-якого кута зводиться до побудови відповідного невід'ємного кута меншого 360 °. На рис. 79 кути між собою не відрізняються, вони відрізняються лише процесом обертання радіуса-вектора, що призвів до їх утворення.
