Нехай існує площина 
. Проведемо нормаль 
через початок координат О. Нехай задані 
- Кути, утворені нормаллю 
з осями координат. 
. Нехай 
- Довжина відрізка нормалі 
до перетину з площиною. Вважаючи відомими напрямні косинуси нормалі 
, виведемо рівняння площини 
.
Нехай 
) – довільна точка площини. Вектор окремої нормалі має координати. Знайдемо проекцію вектора 
на нормаль.
Оскільки точка Мналежить площині, то
.
Це і є рівняння заданої площини, що називається нормальним .
Відстань від точки до площини
Нехай дана площина 
,М*
- Точка простору, d
- Відстань від площини.
Визначення.
Відхиленням
крапки М*від площини називається число ( +
d),
якщо M*
лежить по той бік від площини, куди вказує позитивний напрямок нормалі 
, і число (- d), якщо точка розташована з іншого боку площини:
.
Теорема.
Нехай площина 
з одиничною нормаллю 
задана нормальним рівнянням:
Нехай М*
- Точка простору Відхилення т.з. M* від площини задається виразом
Доказ.Проекцію т.п. 
* на нормаль позначимо Q.
Відхилення точки М*від площини одно
.
Правило.Щоб знайти відхилення
т. M* Від площини, потрібно в нормальне рівняння площини підставити координати т.п. M*
. Відстань від точки до площини дорівнює 
.
Приведення загального рівняння площини до нормального вигляду
Нехай та сама площина задана двома рівняннями:
Загальне рівняння,
Нормальне рівняння.
Оскільки обидва рівняння задають одну площину, їх коефіцієнти пропорційні:
Перші три рівності піднесемо у квадрат і складемо:
Звідси знайдемо 
– нормуючий множник:
. (10)
Помноживши загальне рівняння площини на множник, що нормує, отримаємо нормальне рівняння площини:
Приклади завдань на тему Площина.
приклад 1.Скласти рівняння площини 
, що проходить через задану точку 
(2,1,-1) та паралельної площині.
Рішення. Нормаль до площини 
:
. Оскільки площини паралельні, то нормаль 
є і нормаллю до шуканої площини 
. Використовуючи рівняння площини, що проходить через задану точку (3), отримаємо для площини 
рівняння:
Відповідь:
приклад 2.Підставою перпендикуляра, опущеного з початку координат на площину 
, є точка 
. Знайти рівняння площини 
.
Рішення. Вектор 
є нормаллю до площини 
. Крапка М 0
належить площині. Можна скористатися рівнянням площини, що проходить через задану точку (3):
Відповідь:
приклад 3.Побудувати площину 
, що проходить через точки 
та перпендикулярну площині 
:.
Отже, щоб деяка точка М
(x,
y,
z) належала площині 
, необхідно, щоб три вектори 
були компланарні:
=0.
Залишилося розкрити визначник та навести отриманий вираз до виду загального рівняння (1).
приклад 4.Площина 
задана загальним рівнянням:
Знайти відхилення точки 
від заданої поверхні.
Рішення. Наведемо рівняння поверхні до нормального вигляду.
,
.
Підставимо в отримане нормальне рівняння координати точки М*.
.
Відповідь: 
.
Приклад 5.Чи перетинає площину відрізок.
Рішення. Щоб відрізок АВперетинав площину, відхилення 
і 
від площини 
повинні мати різні знаки:
.
Приклад 6.Перетин трьох площин в одній точці.
.
Система має єдине рішення, отже три площини мають одну загальну точку.
Приклад 7.Знаходження бісектрис двогранного кута, утвореного двома заданими площинами.
Нехай 
і 
- відхилення певної точки 
від першої та другої площин.
На одній із біссектральних площин (що відповідає тому кутку, в якому лежить початок координат) ці відхилення рівні за модулем і знаком, а на іншій – рівні за модулем і протилежні за знаком.
Це рівняння першої біссектральної площини.
Це рівняння другої біссектральної площини.
Приклад 8.Визначення розташування двох даних точок 
і 
щодо двогранних кутів, утворених даними площинами.
Нехай 
. Визначити: в одному, у суміжних або вертикальних кутах знаходяться точки 
і 
.
а). Якщо 
і 
лежать по один бік від 
і від 
, то вони лежать в одному двогранному кутку.
б). Якщо 
і 
лежать по один бік від 
і по різні від 
, то вони лежать у суміжних кутах.
в). Якщо 
і 
лежать по різні боки від 
і 
, то вони лежать у вертикальних кутах.
Системи координат 3
Лінії на площині 8
Лінії першого ладу. Прямі на поверхні. 10
Кут між прямими 12
Загальне рівняння прямої 13
Неповне рівняння першого ступеня 14
Рівняння прямої "у відрізках" 14
Спільне дослідження рівнянь двох прямих 15
Нормаль до прямої 15
Кут між двома прямими 16
Канонічне рівняння прямої 16
Параметричні рівняння прямої 17
Нормальне (нормоване) рівняння прямої 18
Відстань від точки до прямої 19
Рівняння пучка прямих 20
Приклади завдань на тему «пряма на площині» 22
Векторний твір векторів 24
Властивості векторного твору 24
Геометричні властивості 24
Алгебраїчні властивості 25
Вираз векторного твору через координати співмножників 26
Змішаний твір трьох векторів 28
Геометричний зміст змішаного твору 28
Вираз змішаного твору через координати векторів 29
Приклади розв'язання задач
, Конкурс «Презентація до уроку»
Клас: 11
Презентація до уроку
Назад Вперед
Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.
Цілі:
- узагальнення та систематизація знань та умінь учнів;
- розвиток умінь аналізувати, порівнювати, робити висновки.
Обладнання:
- мультимедійний проектор;
- комп'ютер;
- листи з текстами завдань
ХІД ЗАНЯТТЯ
I. Організаційний момент
ІІ. Етап актуалізації знань(слайд 2)
Повторюємо як визначається відстань від точки до площини
ІІІ. Лекція(Слайди 3-15)
На занятті ми розглянемо різні способизнаходження відстані від точки до площини.
Перший метод: поетапно-обчислювальний
Відстань від точки М до площини:
– дорівнює відстані до площини від довільної точки Р, що лежить на прямій a, яка проходить через точку М і паралельна площині;
– дорівнює відстані до площини від довільної точки Р, що лежить на площині, яка проходить через точку М і паралельна площині.
Вирішимо такі завдання:
№1. У кубі А…D 1 знайти відстань від точки 1 до площині АВ 1 З.
Залишилося обчислити значення довжини відрізка 1 Н.
№2. У правильній шестикутній призмі А…F 1 , усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від точки А до площини DEA 1 .
Наступний метод: метод обсягів.
Якщо обсяг піраміди АВСМ дорівнює V, то відстань від точки М до площини α, що містить ΔАВС, обчислюється за формулою ρ(М; α) = ρ(М; АВС) =
При розв'язанні задач ми використовуємо рівність обсягів однієї фігури, виражені двома різними способами.
Розв'яжемо наступне завдання:
№3. Ребро AD піраміди DABC перпендикулярно площині основи АВС. Знайдіть відстань від А до площини, що проходить через середини ребер АВ, АС та АD, якщо.
При вирішенні завдань координатним методомвідстань від точки М до площини можна обчислити за формулою ρ(М; α) = 
, де М(х 0 ; у 0 ; z 0), а площина задана рівнянням ax + by + cz + d = 0
Розв'яжемо наступне завдання:
№4. У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань від точки А 1 до площини ВDC 1 .
Введемо систему координат з початком у точці А, вісь у пройде по ребру АВ, вісь х – по ребру АD, вісь z – по ребру АА 1 . Тоді координати точок В (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Складемо рівняння площини, що проходить через точки, D, C 1 .
Тоді – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Отже, ρ = 
Наступний метод, який можна використовувати під час вирішення завдань даного типу – метод опорних завдань.
Застосування даного методуполягає у застосуванні відомих опорних завдань, що формулюються як теореми.
Розв'яжемо наступне завдання:
№5. У одиничному кубі А…D1 знайдіть відстань від точки D1 до площині АВ1С.
Розглянемо застосування векторний метод.
№6. У одиничному кубі А…D 1 знайдіть відстань від точки А 1 до площини ВDС 1 .
Отже, ми розглянули різні способи, які можна використовувати під час вирішення цього завдання. Вибір того чи іншого методу залежить від конкретної задачі та ваших уподобань.
IV. Робота у групах
Спробуйте розв'язати завдання різними способами.
№1. Ребро куба А ... D 1 дорівнює. Знайдіть відстань від вершини С до площини BDC 1 .
№2. У правильному тетраедрі АВСD з ребром знайдіть відстань від точки А до площини BDC
№3. У правильній трикутній призмі АВСА 1 В 1 С 1 всі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від А до площини ВСА 1 .
№4. У правильній чотирикутній піраміді SABCD, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від А до площини SCD.
V. Підсумок уроку, домашнє завдання, рефлексія
Умови паралельності та перпендикулярності
1°. Умова компланарності двох площин
Нехай дані дві площини:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, n 1 = {A 1 ; B 1 ; C 1 } ≠ 0 ;(1)
A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, n 2 = {A 2 ; B 2 ; C 2 } ≠ 0 .(2)
Коли вони компланарні (тобто паралельні чи збігаються)? Очевидно, це буде тоді і тільки тоді, коли їхні нормальні вектори є колінеарними. Застосовуючи критерій компланарності, отримуємо
Пропозиція 1.Дві площини компланарні тоді і лише тоді, коли векторний добуток їх нормальних векторів дорівнює нульовому вектору:
[n 1 , n 2 ] = 0 .
2 °. Умова збігу двох площин
Пропозиція 2.Площини (1) і (2) збігаються тоді і тільки тоді, коли всі чотири їх коефіцієнти пропорційні, тобто існує таке число λ, що
A 2 = λ A 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 , D 2 = λ D 1 . (3)
Доказ.Нехай умови (3) виконані. Тоді рівняння другої площини може бути записано так:
λ A 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.
λ ≠ 0, інакше було б A 2 = B 2 = C 2 = D 2 = 0, що суперечить умові n 2 ≠ 0 . Отже, останнє рівняння еквівалентне рівнянню (1), а це означає, що дві площини збігаються.
Нехай тепер, навпаки, відомо, що ці площини збігаються. Тоді їх нормальні вектори колінеарні, тобто існує таке число таке, що
A 2 = λ A 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 .
Рівняння (2) тепер можна переписати у вигляді:
λ A 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + D 2 = 0.
Помножимо рівняння (1) на λ, отримаємо рівносильне рівняння першої площини (бо λ ≠ 0):
λ A 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.
Візьмемо якусь точку ( x 0 , y 0 , z 0) з першої (а отже, і другої) площини та підставимо її координати в останні два рівняння; отримаємо вірні рівності:
λ A 1 x 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + D 2 = 0 ;
λ A 1 x 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + λ D 1 = 0.
Віднімаючи з верхнього нижнє, отримаємо D 2 − λ D 1 = 0, тобто. D 2 = λ D 1, QED.
3 °. Умови перпендикулярності двох площин
Очевидно, для цього необхідно достатньо, щоб нормальні вектори були перпендикулярні.
Пропозиція 3.Дві площини перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли скалярний добуток нормальних векторів дорівнює нулю:
(n 1 , n 2) = 0 .
Нехай дано рівняння площини
Ax + By + Cz + D = 0, n = {A; B; C} ≠ 0 ,
і крапка M 0 = (x 0 , y 0 , z 0). Виведемо формулу відстані від точки до площини:
Візьмемо довільну точку Q = (x 1 , y 1 , z 1), що лежить у цій площині. Її координати задовольняють рівняння площини:
Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0.
Зауважимо тепер, що відстань, яку шукає dдорівнює абсолютній величині проекції вектора на напрямок вектора n (тут ми беремо проекцію як числову величину, а чи не як вектор). Далі застосовуємо формулу для обчислення проекції:
Аналогічна формула справедлива на відстані dвід крапки M 0 = (x 0 , y 0) площині до прямої, заданої загальним рівнянням Ax + By + C = 0.
, Конкурс «Презентація до уроку»
Клас: 11
Презентація до уроку
Назад Вперед
Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.
Цілі:
- узагальнення та систематизація знань та умінь учнів;
- розвиток умінь аналізувати, порівнювати, робити висновки.
Обладнання:
- мультимедійний проектор;
- комп'ютер;
- листи з текстами завдань
ХІД ЗАНЯТТЯ
I. Організаційний момент
ІІ. Етап актуалізації знань(слайд 2)
Повторюємо як визначається відстань від точки до площини
ІІІ. Лекція(Слайди 3-15)
На занятті ми розглянемо різні способи знаходження відстані від точки до площині.
Перший метод: поетапно-обчислювальний
Відстань від точки М до площини:
– дорівнює відстані до площини від довільної точки Р, що лежить на прямій a, яка проходить через точку М і паралельна площині;
– дорівнює відстані до площини від довільної точки Р, що лежить на площині, яка проходить через точку М і паралельна площині.
Вирішимо такі завдання:
№1. У кубі А…D 1 знайти відстань від точки 1 до площині АВ 1 З.
Залишилося обчислити значення довжини відрізка 1 Н.
№2. У правильній шестикутній призмі А…F 1 , усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від точки А до площини DEA 1 .
Наступний метод: метод обсягів.
Якщо обсяг піраміди АВСМ дорівнює V, то відстань від точки М до площини α, що містить ΔАВС, обчислюється за формулою ρ(М; α) = ρ(М; АВС) =
При розв'язанні задач ми використовуємо рівність обсягів однієї фігури, виражені двома різними способами.
Розв'яжемо наступне завдання:
№3. Ребро AD піраміди DABC перпендикулярно площині основи АВС. Знайдіть відстань від А до площини, що проходить через середини ребер АВ, АС та АD, якщо.
При вирішенні завдань координатним методомвідстань від точки М до площини можна обчислити за формулою ρ(М; α) = 
, де М(х 0 ; у 0 ; z 0), а площина задана рівнянням ax + by + cz + d = 0
Розв'яжемо наступне завдання:
№4. У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань від точки А 1 до площини ВDC 1 .
Введемо систему координат з початком у точці А, вісь у пройде по ребру АВ, вісь х – по ребру АD, вісь z – по ребру АА 1 . Тоді координати точок В (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Складемо рівняння площини, що проходить через точки, D, C 1 .
Тоді – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Отже, ρ = 
Наступний метод, який можна використовувати під час вирішення завдань даного типу – метод опорних завдань.
Застосування цього методу полягає у застосуванні відомих опорних завдань, які формулюються як теореми.
Розв'яжемо наступне завдання:
№5. У одиничному кубі А…D1 знайдіть відстань від точки D1 до площині АВ1С.
Розглянемо застосування векторний метод.
№6. У одиничному кубі А…D 1 знайдіть відстань від точки А 1 до площини ВDС 1 .
Отже, ми розглянули різні способи, які можна використовувати під час вирішення цього завдання. Вибір того чи іншого методу залежить від конкретної задачі та ваших уподобань.
IV. Робота у групах
Спробуйте розв'язати завдання різними способами.
№1. Ребро куба А ... D 1 дорівнює. Знайдіть відстань від вершини С до площини BDC 1 .
№2. У правильному тетраедрі АВСD з ребром знайдіть відстань від точки А до площини BDC
№3. У правильній трикутній призмі АВСА 1 В 1 С 1 всі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від А до площини ВСА 1 .
№4. У правильній чотирикутній піраміді SABCD, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від А до площини SCD.
V. Підсумок уроку, домашнє завдання, рефлексія
Ця стаття розповідає про визначення відстані від точки до площини. зробимо розбір методом координат, який дозволить знаходити відстань від заданої точкитривимірного простору. Для закріплення розглянемо приклади кількох завдань.
Відстань від точки до площини знаходиться за допомогою відомої відстані від точки до точки, де одна з них задана, а інша проекція на задану площину.
Коли в просторі задається точка М 1 з площиною , то через точку можна провести перпендикулярну пряму площині. Н 1 є загальною точкою їхнього перетину. Звідси отримуємо, що відрізок М 1 Н 1 – це перпендикуляр, який провели з точки М 1 до площини, де точка Н 1 – основа перпендикуляра.
Визначення 1
Називають відстань від заданої точки до основи перпендикуляра, який провели із заданої точки до заданої площини.
Визначення може бути записане різними формулюваннями.
Визначення 2
Відстань від точки до площининазивають довжину перпендикуляра, який провели із заданої точки до заданої площини.
Відстань від точки М 1 до площини χ визначається так: відстань від точки М 1 до площини буде найменшою від заданої точки до будь-якої точки площини. Якщо точка Н 2 розташовується в площині χ і не дорівнює точці Н 2 тоді одержуємо прямокутний трикутниквиду М 2 H 1 H 2 , Що є прямокутним, де є катет М 2 H 1 , М 2 H 2 - Гіпотенуза. Отже, звідси випливає, що M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 вважається похилою, яка проводиться з точки М 1 до площини . Ми маємо, що перпендикуляр, проведений із заданої точки до площини, менше похилої, яку проводять із точки до заданої площини. Розглянемо цей випадок малюнку, наведеному нижче.
Відстань від точки до площини – теорія, приклади, рішення
Існує ряд геометричних завданьрішення яких повинні містити відстань від точки до площини. Способи виявлення цього можуть бути різними. Для вирішення застосовують теорему Піфагора чи подібності трикутників. Коли за умовою необхідно розрахувати відстань від точки до площини, задані в прямокутної системикоординат тривимірного простору вирішують методом координат. Цей пункт розглядає цей метод.
За умовою завдання маємо, що задана точка тривимірного простору з координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) з площиною χ необхідно визначити відстань від М 1 до площини χ . Для вирішення застосовується кілька способів розв'язання.
Перший спосіб
Цей спосіб ґрунтується на знаходженні відстані від точки до площини за допомогою координат точки Н 1 , які є основою перпендикуляра з точки М 1 до площини. Далі необхідно обчислити відстань між М1 та Н1.
Для вирішення завдання другим способом застосовують нормальне рівняння заданої площини.
Другий спосіб
За умовою маємо, що Н 1 є основою перпендикуляра, який опустили з точки М 1 на площину . Тоді визначаємо координати (x2, y2, z2) точки Н1. Відстань від М 1 до площини χ знаходиться за формулою M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 , де M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і H 1 (x 2 , y 2 , z 2) . Для вирішення необхідно дізнатись координати точки Н 1 .
Маємо, що Н 1 є точкою перетину площини з прямою a , яка проходить через точку М 1 , розташовану перпендикулярно площині . Звідси випливає, що необхідно складання рівняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно заданій площині. Саме тоді зможемо визначити координати точки Н1. Необхідно провести обчислення координат точки перетину прямої та площини.
Алгоритм знаходження відстані від точки з координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) до площини χ :
Визначення 3
- скласти рівняння прямої а, що проходить через точку М1 і одночасно
- перпендикулярної до площини;
- знайти і обчислити координати (x 2 , y 2 , z 2) точки Н 1 є точками
- перетину прямий a з площиною ;
- обчислити відстань від М 1 до χ використовуючи формулу M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 .
Третій спосіб
У заданій прямокутній системі координат О х у z є площина , тоді отримуємо нормальне рівняння площини виду cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . Звідси отримуємо, що відстань M 1 H 1 з точкою M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , проведеною на площину χ , що обчислюється за формулою M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z-p. Ця формула справедлива, оскільки це встановлено завдяки теоремі.
Теорема
Якщо задана точка M 1 (x 1 , y 1 , z 1) у тривимірному просторі, що має нормальне рівняння площини χ виду cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 тоді обчислення відстані від точки до площині M 1 H 1 виробляється з формули M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, так як x = x 1, y = y 1, z = z 1 .
Доказ
Доказ теореми зводиться до знаходження відстані від точки до прямої. Звідси отримуємо, що відстань від M 1 до площини - це і є модуль різниці числової проекції радіус-вектора M 1 з відстанню від початку координат до площини . Тоді отримуємо вираз M 1 H 1 = n p n → O M → - p. Нормальний вектор площини має вигляд n → = cos α , cos β , cos γ , а його довжина дорівнює одиниці, n p n → O M → - числова проекція вектора O M → = (x 1 , y 1 , z 1) у напрямку, що визначається вектором n → .
Застосуємо формулу обчислення векторів скалярних. Тоді одержуємо вираз для знаходження вектора виду n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , оскільки n → = cos α , cos β , cos γ · z та O M → = (x 1, y 1, z 1). Координатна форма запису набуде вигляду n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , тоді M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p. Теорему доведено.
Звідси отримуємо, що відстань від точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) до площини χ обчислюється за допомогою підстановки в ліву частину нормального рівняння площини cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 замість х, у, z координати x 1 , y 1 z 1, Що відносяться до точки М 1 , взявши абсолютну величинуотриманого значення.
Розглянемо приклади знаходження відстані від точки із координатами до заданої площини.
Приклад 1
Обчислити відстань від крапки з координатами M 1 (5 , - 3 , 10) до площини 2 x - y + 5 z - 3 = 0 .
Рішення
Розв'яжемо задачу двома способами.
Перший спосіб почнеться з обчислення напрямного вектора прямий a. За умовою маємо, що задане рівняння 2 x - y + 5 z - 3 = 0 є рівнянням площини загального вигляду, а n → = (2, - 1, 5) є нормальним вектором заданої площини. Його застосовують як напрямний вектор прямої a , яка перпендикулярна щодо заданої площини. Слід записати канонічне рівнянняпрямий у просторі, що проходить через M 1 (5 , - 3 , 10) з напрямним вектором з координатами 2 - 1 5 .
Рівняння набуде вигляду x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 .
Слід визначити точки перетину. Для цього ніжно об'єднати рівняння в систему для переходу від канонічного до рівнянь двох прямих, що перетинаються. Дану точкуприймемо за Н1. Отримаємо, що
x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
Після цього необхідно дозволити систему
x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3
Звернемося до правила вирішення системи щодо Гаусса:
1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 · 10 + 2 · z = - 1, x = - 1 - 2 · y = 1
Отримуємо, що H 1 (1, - 1, 0).
Здійснюємо обчислення відстані від заданої точки до площини. Беремо точки M 1 (5, - 3, 10) і H 1 (1, - 1, 0) і отримуємо
M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30
Другий спосіб рішення полягає в тому, щоб спочатку привести задане рівняння 2 x - y + 5 z - 3 = 0 до нормального вигляду. Визначаємо нормуючий множник та отримуємо 1 2 2 + (-1) 2 + 5 2 = 1 30 . Звідси виводимо рівняння площини 230 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 . Обчислення лівої частини рівняння проводиться за допомогою підстановки x = 5, y = - 3, z = 10, причому потрібно взяти відстань від M 1 (5, - 3, 10) до 2 x - y + 5 z - 3 = 0 по модулю. Отримуємо вираз:
M 1 H 1 = 2 30 · 5 - 1 30 · - 3 + 5 30 · 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30
Відповідь: 2 30 .
Коли площина задається одним із способів розділу способи завдання площини, тоді потрібно для початку отримати рівняння площини і обчислювати відстань, що шукається за допомогою будь-якого методу.
Приклад 2
У тривимірному просторі задаються точки з координатами M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1). Обчислити розтягнення від М 1 до площини АВС.
Рішення
Для початку необхідно записати рівняння площини, що проходить через задані три точки з координатами M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1).
x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
Звідси випливає, що завдання має аналогічне до попереднього рішення. Отже, відстань від точки М 1 до площини АВС має значення 2 30 .
Відповідь: 2 30 .
Знаходження відстані від заданої точки на площині або площині, яким вони паралельні, зручніше, застосувавши формулу M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Звідси отримаємо, що нормальні рівняння площин одержують кілька дій.
Приклад 3
Знайти відстань від заданої точки з координатами M 1 (- 3 , 2 , - 7) до координатної площини О х у z та площині, заданої рівнянням 2 y - 5 = 0 .
Рішення
Координатна площина О у z відповідає рівнянню виду х = 0. Для площини О у z воно нормальне. Тому необхідно підставити в ліву частину виразу значення х = - 3 і взяти модуль значення відстані від точки з координатами M 1 (- 3, 2, - 7) до площини. Отримуємо значення, що дорівнює - 3 = 3 .
Після перетворення нормальне рівняння площини 2 y - 5 = 0 набуде вигляду y - 5 2 = 0 . Тоді можна знайти відстань від точки з координатами M 1 (- 3 , 2 , - 7) до площини 2 y - 5 = 0 . Підставивши та обчисливши, отримуємо 2 - 5 2 = 5 2 - 2 .
Відповідь:Відстань від M 1 (- 3 , 2 , - 7) до О у z має значення 3 , а до 2 y - 5 = 0 має значення 5 2 - 2 .
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
