Перетворення графіків.
Словесний опис функції.
Графічний метод.
Графічний спосіб завдання функції є найнаочнішим і найчастіше застосовується у техніці. У математичний аналізграфічний спосіб завдання функцій використовується як ілюстрація.
Графіком функції f називають безліч всіх точок (x; y) координатної площини, де y = f (x), а x «пробігає» всю область визначення цієї функції.
Підмножина координатної площини є графіком будь-якої функції, якщо вона має не більше однієї загальної точкиз будь-якої прямої, паралельної осі Оу.
приклад. Чи є графіками функцій фігури, зображені нижче?
Перевагою графічного завданняє його наочність. Відразу видно, як поводиться функція, де зростає, де зменшується. За графіком одразу можна дізнатися деякі важливі характеристики функції.
Взагалі, аналітичний і графічний способи завдання функції йдуть пліч-о-пліч. Робота із формулою допомагає побудувати графік. А графік часто нагадує рішення, які у формулі і помітиш.
Майже будь-який учень знає три способи завдання функції, які ми щойно розглянули.
Спробуємо відповісти на запитання: "Чи існують інші способи завдання функції?"
Такий спосіб є.
Функцію можна цілком однозначно поставити словами.
Наприклад, функцію у = 2х можна задати наступним словесним описом: кожному дійсному значенню аргументу х ставиться у відповідність його подвоєне значення. Правило встановлено, функцію встановлено.
Більше того, словесно можна задати функцію, яку формулою задати вкрай скрутно, а то й неможливо.
Наприклад: кожному значенню натурального аргументу х ставиться у відповідність сума цифр, у тому числі складається значення х. Наприклад, якщо х=3, то у=3. Якщо х=257, то у=2+5+7=14. І так далі. Формулою це записати проблематично. А ось табличку легко скласти.
Спосіб словесного опису- Досить рідко використовуваний спосіб. Але іноді трапляється.
Якщо є закон однозначної відповідності між х і у – значить, є функція. Який закон, у якій формі він виражений – формулою, табличкою, графіком, словами – суті справи не змінює.
Розглянемо функції, області визначення яких симетричні щодо початку координат, тобто. для будь-кого хз області визначення число (- х) також належить області визначення. Серед таких функцій виділяють парні та непарні.
Визначення.Функція f називається парної, якщо для будь-кого хз її галузі визначення
приклад.Розглянемо функцію 
Вона є парною. Перевіримо це.
Для будь-кого хвиконані рівності
Таким чином, у нас виконуються обидві умови, отже, функція парна. Нижче наведено графік цієї функції.
Визначення.Функція f називається непарною, якщо для будь-кого хз її галузі визначення 
приклад. Розглянемо функцію 
Вона є непарною. Перевіримо це.
Область визначення вся числова вісь, отже, вона симетрична щодо точки (0;0).
Для будь-кого хвиконані рівності
Таким чином, у нас виконуються обидві умови, отже, функція непарна. Нижче наведено графік цієї функції.
Графіки, зображені першому і третьому малюнках симетричні щодо осі ординат, а графіки, зображені другою і четвертому малюнкам симетричні щодо початку координат.
Які функції, графіки яких зображені на малюнках є парними, а які непарними?
Назад Вперед
Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.
Цілі:
- сформувати поняття парності та непарності функції, вчити вмінню визначати та використовувати ці властивості при дослідженні функцій, Побудова графіків;
- розвивати творчу активністьучнів, логічне мислення, вміння порівнювати, узагальнювати;
- виховувати працьовитість, математичну культуру; розвивати комунікативні якості .
Обладнання:мультимедійне встановлення, інтерактивна дошка, роздатковий матеріал.
Форми роботи:фронтальна та групова з елементами пошуково-дослідницької діяльності.
Інформаційні джерела:
1. Алгебра9клас А.Г Мордкович. Підручник
2. Алгебра 9клас А.Г Мордкович. Задачник.
3. Алгебра 9 клас. Завдання для навчання та розвитку учнів. Бєлєнкова Є.Ю. Лебединцева Є.А
ХІД УРОКУ
1. Організаційний момент
Постановка цілей та завдань уроку.
2. Перевірка домашнього завдання
№10.17 (Задачник 9кл. А.Г. Мордкович).
а) у = f(х), f(х) = 
б) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;
в) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. Е( f) = [– 3; + ∞)
3. f(х) = 0 при х ~ 0,4
4. f(х) >0 при х > 0,4 ; f(х)
< 0 при – 2 <
х <
0,4.
5. Функція зростає при х € [– 2; + ∞)
6. Функція обмежена знизу.
7. унай = – 3, унаиб не існує
8. Функція безперервна.
(Ви використали алгоритм дослідження функції?) Слайд.
2. Таблицю, яку вам задавалася, перевіримо на слайд.
| Заповніть таблицю | |||||
Область визначення |
Нулі функції |
Проміжки знакостійності |
Координати точок перетину графіка з Оу | ||
 |
х = -5, |
x € (–5;3) U |
х € (–∞;–5) U |
||
 |
х ∞ -5, |
x € (–5;3) U |
х € (–∞;–5) U |
||
х ≠ -5, |
х € (–∞; –5) U |
x € (–5; 2) |
|||
3. Актуалізація знань
– Дано функції.
– Вказати область визначення кожної функції.
– Порівняти значення кожної функції для кожної пари значення аргументу: 1 та – 1; 2 та – 2.
– Для яких із даних функцій у галузі визначення виконуються рівність f(– х)
= f(х), f(– х) = – f(х)? (отримані дані занести до таблиці) Слайд
| f(1) та f(– 1) | f(2) та f(– 2) | графіки | f(– х) = –f(х) | f(– х) = f(х) | ||
| 1. f(х) = | ||||||
| 2. f(х) = х 3 | ||||||
| 3. f(х) = | х | | ||||||
| 4.f(х) = 2х – 3 | ||||||
| 5. f(х) = | х ≠ 0 |
|||||
| 6. f(х)= | х > –1 | і не визна. |
- Виконуючи цю роботу, хлопці ми виявили ще одне властивість функції, незнайоме вам, але з менш важливе, ніж інші – це парність і непарність функції. Запишіть тему уроку: «Парні та не парні функції», Наше завдання - навчитися визначати парність і непарність функції, з'ясувати значущість цієї властивості у дослідженні функцій та побудові графіків.
Отже, знайдемо визначення у підручнику та прочитаємо (стор. 110) . Слайд
Опр. 1Функція у = f (х), задана на множині Х називається парноїякщо для будь-якого значення хЄ Х виконується рівність f(-х) = f(х). Наведіть приклади.
Опр. 2Функція у = f(х), задана на множині Х називається непарнийякщо для будь-якого значення хЄ Х виконується рівність f(-х) = -f(х). Наведіть приклади.
Де ми зустрічалися з термінами «парні» та «непарні»?
Які з цих функцій будуть парними, на вашу думку? Чому? Які непарні? Чому?
Для будь-якої функції виду у= х n, де n- ціле число можна стверджувати, що функція непарна при n– непарному та функція парна при n- парному.
– Функції виду у= і у = 2х– 3 є ні парним, ні непарними, т.к. не виконуються рівності f(– х) = – f(х), f(–
х) = f(х)
Вивчення питання у тому, чи є функція парної чи непарної називають дослідженням функції на парність.Слайд
У визначеннях 1 і 2 йшлося про значення функції при х і - х, тим самим передбачається, що функція визначена і при значенні х, і при – х.
Опр 3.Якщо числове безлічразом з кожним своїм елементом х містить і протилежний елемент -х, то безліч Хназивають симетричним безліччю.
Приклади:
(-2; 2), [-5; 5]; (∞;∞) – симетричні множини, а , [–5;4] – несиметричні.
– У парних функцій область визначення – симетрична множина? У непарних?
– Якщо ж D( f) – несиметрична множина, то функція яка?
– Таким чином, якщо функція у = f(х) – парна чи непарна, її область визначення D( f) – симетрична множина. А чи правильно зворотне твердження, якщо область визначення функції симетричне безліч, вона парна, чи непарна?
– Значить наявність симетричної множини області визначення – це необхідна умова, але недостатня.
– То як же дослідити функцію на парність? Спробуємо скласти алгоритм.
Слайд
Алгоритм дослідження функції на парність
1. Встановити, чи симетрична область визначення функції. Якщо ні, то функція не є ні парною, ні непарною. Якщо так, то перейти до кроку 2 алгоритму.
2. Скласти вираз для f(–х).
3. Порівняти f(–х).і f(х):
- якщо f(–х).= f(х), то функція парна;
- якщо f(–х).= – f(х), то функція непарна;
- якщо f(–х) ≠ f(х) та f(–х) ≠ –f(х), то функція не є ні парною, ні непарною.
Приклади:
Дослідити на парність функцію а) у= х 5 +; б) у=; в) у= .
Рішення.
а) h(х) = х 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симетрична множина.
2) h (-х) = (-х) 5 + - х5 - = - (х 5 +),
3) h(-х) = - h(х) => функція h(х)= х 5 + непарна.
б) у =,
у = f(х), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), несиметрична множина, отже функція ні парна, ні непарна.
в) f(х) = , у = f (х),
1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; б) (∞; –2), (–4; 4]?
Варіант 2
1. Чи є симетричною задана множина: а) [–2;2]; б) (∞; 0], (0; 7)?
а); б) у = х · (5 - х 2).
а) у = х 2 · (2х - х 3), б) у =
Побудуйте графік функції у = f(х), якщо у = f(х) - парна функція.
Побудуйте графік функції у = f(х), якщо у = f(х) – непарна функція.
Взаємоперевірка з слайд.
6. Завдання додому: №11.11, 11.21,11.22;
Доказ геометричного змісту якості парності.
***(Завдання варіанта ЄДІ).
1. Непарна функція у = f(х) визначена на всій числовій прямій. Для будь-якого невід'ємного значення змінної x значення цієї функції збігається зі значенням функції g( х) = х(х + 1)(х + 3)(х- 7). Знайдіть значення функції h ( х) = при х = 3.
7. Підбиття підсумків
- ; парною функція називається тоді, коли для будь-яких двох різних значеньїї аргументу f (x) = f (x), наприклад, y = | x |; непарною — така функція, коли f(x) = f(x), наприклад, y= x2n+1, де n… … Економіко-математичний словник
парність та непарність функції- Парна функція називається тоді, коли для будь-яких двох різних значень її аргументу f (x) = f (x), наприклад, y = | x |; непарною є така функція, коли f(x) = f(x), наприклад, y= x2n+1, де n будь-яке натуральне число. Функції які не є … Довідник технічного перекладача
ПАРНІСТЬ- квантове число, що характеризує симетрію хвильової функції фізичної системиабо елементарної частинки при деяких дискретних перетвореннях: якщо такому перетворенні? не змінює знака, то парність позитивна, якщо змінює, то парність. Великий Енциклопедичний словник
ПАРНІСТЬ РІВНЯ- парність стану фіз. системи (парність хвиль. ф ції), що відповідає даному рівню енергії. Така харка рівнів можлива для системи ч ц, між якими діють ел. магн. або отрута. сили, що зберігають парність. При врахуванні слабкої взаємодії. Фізична енциклопедія
Парність
Парність (математика)- парність в теорії чисел здатність цілого числа ділитися без залишку на 2. парність функції в математичному аналізі визначає, чи функція змінює знак при зміні знака аргументу: для парної/непарної функції. парність в квантової механіки… … Вікіпедія
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ- клас елементарних функцій: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс. Позначаються відповідно: sin x, cos x, tg x, ctg x, sec x, cosec x. Тригонометричні функціїсправжнього аргументу. Нехай А точка кола з центром у ... Математична енциклопедія
ВНУТРІШНЯ ПАРНІСТЬ- (Р), одна з хар к (квант. чисел) елем. ч ци, що визначає поведінку її хвильової функції y при просторовій інверсії (дзеркальному відображенні), тобто при заміні координат х® х, y® у, z® z. Якщо за такого відображення y не змінює знака, В. ч. ч ци… … Фізична енциклопедія
Зарядова парність- Зарядове сполучення операція заміни частки античастинкою (напр., електрон на позитрон). Зарядова парність Зарядова парність квантове число, що визначає поведінку хвильової функції частки під час операції заміни частинки на античастинку ... Вікіпедія
Циклічна перевірка на парність- Алгоритм обчислення контрольної суми (англ. Cyclic redundancy code, CRC циклічний надлишковий код) - спосіб цифрової ідентифікації деякої послідовності даних, який полягає у обчисленні контрольного значення її циклічного ... Вікіпедія
Які тією чи іншою мірою були вам знайомі. Там було помічено, що запас властивостей функцій поступово поповнюватиметься. Про дві нові властивості і йтиметься у цьому параграфі.
Визначення 1.
Функцію у = f(x), х є Х, називають парною, якщо для будь-якого значення х із множини X виконується рівність f(-х) = f(х).
Визначення 2.
Функцію у = f(x), х є X, називають непарною, якщо для будь-якого значення х із множини X виконується рівність f(-х) = -f(х).
Довести, що у = х 4 – парна функція.
Рішення. Маємо: f(х) = х4, f(-х) = (-х)4. Але (-х) 4 = х4. Отже, будь-якого х виконується рівність f(-х) = f(х), тобто. функція є парною.
Аналогічно можна довести, що функції у - х 2, у = х 6, у - х 8 є парними.
Довести, що у = х 3 ~ непарна функція.
Рішення. Маємо: f(х) = х3, f(-х) = (-х)3. Але (-х) 3 = -х 3 . Отже, будь-якого х виконується рівність f (-х) = -f (х), тобто. функція є непарною.
Аналогічно можна довести, що функції у = х, у = х 5, у = х 7 є непарними.
Ми з вами неодноразово переконувалися у цьому, нові терміни в математиці найчастіше мають «земне» походження, тобто. їх можна якимось чином пояснити. Така справа і з парними, і з непарними функціями. Дивіться: у - х 3, у = х 5, у = х 7 - непарні функції, тоді як у = х 2, у = х 4, у = х 6 - парні функції. І взагалі для будь-якої функції виду у = х "(нижче ми спеціально займемося вивченням цих функцій), де n - натуральне число, можна зробити висновок: якщо n - не парне число, то функція у = х "- непарна; якщо ж n - парне число, то функція у = хn - парна.
Існують і функції, які не є ні парними, ні непарними. Така, наприклад, функція у = 2х + 3. Насправді, f(1) = 5, а f(-1) = 1. Як бачите, тут Значить, не може виконуватися ні тотожність f(-х) = f ( х), ні тотожність f(-х) = -f(х).
Отже, функція може бути парною, непарною, а також жодною.
Вивчення питання, чи є задана функція парної чи непарної, зазвичай називають дослідженням функції на парність.
У визначеннях 1 та 2 йдетьсяпро значення функції у точках х і -х. Тим самим передбачається, що функція визначена і в точці х, і в точці -х. Це означає, що точка -х належить області визначення функції одночасно з точкою х. Якщо числове безліч X разом із кожним своїм елементом х містить і протилежний елемент -х, X називають симетричним безліччю. Скажімо, (-2, 2), [-5, 5], (-оо, +оо) - симетричні множини, в той час як )
