Ця стаття розкриває отримання рівняння прямої, що проходить через дві задані точкив прямокутної системикоординат, що розташована на площині. Виведемо рівняння прямої, що проходить через дві задані точки у прямокутній системі координат. Наочно покажемо і вирішимо кілька прикладів щодо пройденого матеріалу.
Перед отриманням рівняння прямої, що проходить через дві задані точки, необхідно звернути увагу на деякі факти. Існує аксіома, яка говорить про те, що через дві точки, що не збігаються, на площині можливо провести пряму і тільки одну. Інакше висловлюючись, дві задані точки площини визначаються прямою лінією, що проходить через ці точки.
Якщо площина задана прямокутною системою координат Оху, то будь-яка зображена в ньому пряма буде відповідати рівнянню прямої на площині. Також є зв'язок з напрямним вектором прямої. Цих даних достатньо для того, щоб зробити складання рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.
Розглянемо на прикладі розв'язання такого завдання. Необхідно скласти рівняння прямої a , що проходить через дві точки M 1 (x 1 , y 1) і M 2 (x 2 , y 2) , що знаходяться в декартовій системі координат.
У канонічному рівнянні прямої на площині, що має вигляд x - x 1 a x = y - y 1 a y , визначається прямокутна система координат О х у з прямою, яка перетинається з нею в точці з координатами M 1 (x 1 , y 1) з напрямним вектором a → = (a x , a y).
Необхідно скласти канонічне рівняння прямої a, яка пройде через дві точки з координатами M 1 (x 1, y 1) і M 2 (x 2, y 2).
Пряма а має напрямний вектор M 1 M 2 → з координатами (x 2 - x 1 , y 2 - y 1), оскільки перетинає точки М 1 і М 2 . Ми отримали необхідні дані для того, щоб перетворити канонічне рівняння з координатами напрямного вектора M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1) і координатами точках, що лежать на них, M 1 (x 1 , y 1) і M 2 (x 2, y 2). Отримаємо рівняння виду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 або x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .
Розглянемо малюнок, наведений нижче.
Наслідуючи обчислення, запишемо параметричні рівняння прямої на площині, яке проходить через дві точки з координатами M 1 (x 1 , y 1) і M 2 (x 2 , y 2) . Отримаємо рівняння виду x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ або x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ.
Розглянемо докладніше на вирішенні кількох прикладів.
Приклад 1
Записати рівняння прямої, що проходить через 2 задані точки з координатами M 1 - 5 2 3 M 2 1 - 1 6 .
Рішення
Канонічним рівнянням для прямої, що перетинається у двох точках з координатами x 1 , y 1 і x 2 , y 2 набуває вигляду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . За умовою завдання маємо, що x 1 = - 5 , y 1 = 2 3 x 2 = 1 , y 2 = - 1 6 . Необхідно підставити числові значення рівняння x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Звідси отримаємо, що канонічне рівняння набуде вигляду x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .
Відповідь: x + 5 6 = y – 2 3 – 5 6 .
При необхідності розв'язання задачі з іншим видом рівняння, то для початку можна перейти до канонічного, тому що з нього простіше дійти будь-якого іншого.
Приклад 2
Скласти загальне рівнянняпрямий, що проходить через точки з координатами M 1 (1 , 1) та M 2 (4 , 2) у системі координат О х у.
Рішення
Для початку необхідно записати канонічний рівняння заданої прямої, яка проходить через задані дві точки. Отримаємо рівняння виду x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .
Наведемо канонічне рівняння до виду, тоді отримаємо:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 · x - 1 = 3 · y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
Відповідь: x - 3 y + 2 = 0.
Приклади таких завдань було розглянуто у шкільних підручниках під час уроків алгебри. Шкільні завдання відрізнялися тим, що відомим було рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, що має вигляд y = k x + b. Якщо необхідно знайти значення кутового коефіцієнта k та числа b, при яких рівняння y = k x + b визначає лінію в системі О х у, яка проходить через точки M 1 (x 1 , y 1) та M 2 (x 2 , y 2) де x 1 ≠ x 2 . Коли x1 = x2 , Тоді кутовий коефіцієнт набуває значення нескінченності, а пряма М 1 М 2 визначена загальним неповним рівняннямвиду x - x 1 = 0 .
Тому що точки М 1і М 2знаходяться на прямій, тоді їх координати задовольняють рівняння y 1 = k x 1 + b і y 2 = k x 2 + b. Слід вирішити систему рівнянь y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b щодо k і b.
Для цього знайдемо k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 1 або k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 2 .
З такими значеннями k і b рівняння прямої, що проходить через задані дві точки, набуває наступного вигляду y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 1 або y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 2 .
Запам'ятати відразу таку величезну кількість формул не вдасться. Для цього необхідно частішати кількість повторень у розв'язках задач.
Приклад 3
Записати рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, що проходить через точки з координатами M 2 (2 1) і y = k x + b .
Рішення
Для вирішення задачі застосовуємо формулу з кутовим коефіцієнтом, що має вигляд y = k x + b. Коефіцієнти k і b повинні набувати такого значення, щоб дане рівняння відповідало прямий, що проходить через дві точки з координатами M 1 (- 7 , - 5) і M 2 (2 , 1) .
Крапки М 1і М 2розташовуються на прямій, тоді їх координати повинні звертати рівняння y = k x + b правильну рівність. Звідси отримуємо, що - 5 = k · (- 7) + b та 1 = k · 2 + b . Об'єднаємо рівняння в систему - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b і розв'яжемо.
При підстановці отримуємо, що
5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 · 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Тепер значення k = 2 3 і b = - 1 3 піддаються підстановці рівняння y = k x + b. Отримуємо, що шуканим рівнянням, що проходить через задані точки, буде рівняння, що має вигляд y = 23x - 13.
Такий спосіб вирішення визначає витрати великої кількостічасу. Існує спосіб, при якому завдання вирішується буквально на дві дії.
Запишемо канонічне рівняння прямої, що проходить через M 2 (2 , 1) і M 1 (- 7 , - 5) , що має вигляд x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
Тепер переходимо до рівняння у кутовому коефіцієнті. Отримуємо, що: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .
Відповідь: y = 2 3 x - 1 3 .
Якщо в тривимірному просторі є прямокутна система координат О х у z з двома заданими незбігаючими точками з координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , що проходить через них пряма M 1 M 2 необхідно отримати рівняння цієї прямої.
Маємо, що канонічні рівняння виду x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z та параметричні види x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ здатні задати лінію в системі координат О х у z , що проходить через точки, що мають координати (x 1 , y 1 , z 1) з напрямним вектором a → = (a x , a y , a z) .
Пряма M 1 M 2 має напрямний вектор виду M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , де пряма проходить через точку M 1 (x 1 , y 1 , z 1) та M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , звідси канонічне рівняння може бути виду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 або x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1 , у свою чергу параметричні x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ z = z 1 + (z 2 - z 1) · λ або x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .
Розглянемо малюнок, на якому зображені 2 задані точки у просторі та рівняння прямої.
Приклад 4
Написати рівняння прямої, визначеної у прямокутній системі координат О х у z тривимірного простору, що проходить через задані дві точки з координатами M 1 (2 , - 3 , 0) та M 2 (1 , - 3 , - 5) .
Рішення
Потрібно знайти канонічне рівняння. Так як мова йдепро тривимірному просторі, значить при проходженні прямої через задані точки, шукане канонічне рівняння набуде вигляду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .
За умовою маємо, що x1 = 2, y1 = -3, z1 = 0, x2 = 1, y2 = -3, z2 = -5. Звідси випливає, що необхідні рівняння запишуться таким чином:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Відповідь: x – 2 – 1 = y + 3 0 = z – 5 .
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Розглянемо, як скласти рівняння прямої, що проходить через дві точки на прикладах.
приклад 1.
Скласти рівняння прямої, що проходить через точки A(-3; 9) та B(2;-1).
1 спосіб - складемо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом має вигляд. Підставивши координати точок A і B у рівняння прямої (x= -3 та y=9 — у першому випадку, x=2 та y= -1 — у другому), отримуємо систему рівнянь, з якої знаходимо значення k і b:
Склавши почленно 1-е та 2-е рівняння, отримаємо: -10 = 5k, звідки k = -2. Підставивши до другого рівняння k= -2, знайдемо b: -1=2·(-2)+b, b=3.
Таким чином, y=-2x+3 - шукане рівняння.
2 спосіб - складемо загальне рівняння прямої.
Загальне рівняння прямої має вигляд. Підставивши координати точок A та B у рівняння, отримуємо систему:
Оскільки кількість невідомих більше кількостірівнянь, система не можна розв'язати. Але можна всі змінні висловити через одну. Наприклад, через b.
Помноживши перше рівняння системи на -1 і склавши почленно з другим:
отримаємо: 5a-10b = 0. Звідси a = 2b.
Підставимо отриманий вираз у друге рівняння: 2 · 2b -b + c = 0; 3b+c=0; c=-3b.
Підставляємо a = 2b, c = -3b рівняння ax + by + c = 0:
2bx+by-3b=0. Залишилося розділити обидві частини на b:
Загальне рівняння прямої легко приводиться до рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
3 спосіб - складемо рівняння прямої, що проходить через 2 точки.
Рівняння прямої, що проходить через дві точки, має:
Підставимо в це рівняння координати точок A(-3; 9) та B(2;-1)
(тобто x 1 = -3, y 1 = 9, x 2 = 2, y 2 = -1):
і спростимо:
звідки 2x+y-3=0.
У шкільному курсінайчастіше використовується рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Але найпростіший спосіб - вивести і використовувати формулу рівняння прямої, що проходить через дві точки.
Зауваження.
Якщо під час встановлення координат заданих точок один із знаменників рівняння
виявиться рівним нулю, то шукане рівняння виходить прирівнюємо до нуля відповідного чисельника.
приклад 2.
Скласти рівняння прямої, що проходить через дві точки C(5;-2) та D(7;-2).
Підставляємо в рівняння прямої, що проходить через 2 точки координати точок C і D.
Нехай дані дві точки М 1 (х 1, у 1)і М 2 (х 2, у 2). Запишемо рівняння прямої у вигляді (5), де kпоки невідомий коефіцієнт:
Так як точка М 2належить заданої прямої, її координати задовольняють рівнянню (5): . Висловлюючи звідси і підставивши їх у рівняння (5) отримаємо шукане рівняння:
Якщо 
це рівняння можна переписати у вигляді, зручнішому для запам'ятовування:
(6)
приклад.Записати рівняння прямої, що проходить через точки М 1 (1,2) та М 2 (-2,3)
Рішення. 
. Використовуючи властивість пропорції і виконавши необхідні перетворення, отримаємо загальне рівняння прямої:
Кут між двома прямими
Розглянемо дві прямі l 1і l 2:
l 1: , , і
l 2: , ,
φ-кут між ними (). З рис.4 видно: .
 |
Звідси 
, або
За допомогою формули (7) можна визначити один із кутів між прямими. Другий кут дорівнює.
приклад. Дві прямі задані рівняннями у=2х+3 та у=-3х+2. знайти кут між цими прямими.
Рішення. З рівнянь видно, що k1 = 2, а k2 = -3. підставляючи дані значення формулу (7), знаходимо
. Таким чином, кут між даними прямими дорівнює .
Умови паралельності та перпендикулярності двох прямих
Якщо прямі l 1і l 2паралельні, то φ=0 і tgφ=0. з формули (7) випливає, що , звідки k 2 =k 1. Таким чином, умовою паралельності двох прямих є рівність їх кутових коефіцієнтів.
Якщо прямі l 1і l 2перпендикулярні, то φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . 
. Таким чином, умова перпендикулярності двох прямих полягає в тому, що їх кутові коефіцієнти обернені за величиною та протилежні за знаком.
Відстань від точки до прямої
Теорема. Якщо задана точка М (х 0, у 0), то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0 визначається як
Доведення. Нехай точка М 1 (х 1, у 1) - основа перпендикуляра, опущеного з точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М та М 1:
Координати x 1 і 1 можуть бути знайдені як рішення системи рівнянь:
Друге рівняння системи – це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно заданій прямій.
Якщо перетворити перше рівняння системи на вигляд:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
то, вирішуючи, отримаємо:
Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:
Теорему доведено.
приклад.Визначити кут між прямими: y = -3x + 7; y = 2x+1.
k 1 = -3; k 2 = 2 tgj =; j = p/4.
приклад.Показати, що прямі 3х - 5у + 7 = 0 і 10х + 6у - 3 = 0 перпендикулярні.
Знаходимо: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, отже, прямі перпендикулярні.
приклад.Дано вершини трикутника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини З.
Знаходимо рівняння сторони АВ: ; 4x = 6y - 6;
2x - 3y + 3 = 0;
Шукане рівняння висоти має вигляд: Ax + By + C = 0 або y = kx + b.
k=. Тоді y =. Т.к. висота проходить через точку С, її координати задовольняють даному рівнянню: звідки b = 17. Разом: .
Відповідь: 3x + 2y - 34 = 0.
Відстань від точки до прямої визначається довжиною перпендикуляра, опущеного з точки на пряму.
Якщо пряма паралельна площині проекції (h | | П 1), то для того щоб визначити відстань від точки Адо прямої hнеобхідно опустити перпендикуляр з точки Ана горизонталь h.
Розглянемо більше складний приклад, коли пряма займає загальне становище. Нехай необхідно визначити відстань від точки Мдо прямої азагального становища.
Завдання визначення відстані між паралельними прямимивирішується аналогічно до попередньої. На одній прямій береться точка, з неї опускається перпендикуляр в іншу пряму. Довжина перпендикуляра дорівнює відстані між паралельними прямими.
Кривий другого порядкуназивається лінія, яка визначається рівнянням другого ступеня щодо поточних декартових координат. У випадку Ах 2 + 2Вху +Су 2 + 2Дх + 2Еу +F = 0,
де А, В, С, Д, Е, F – дійсні числаі, принаймні, одне з чисел А 2 +В 2 +С 2 ≠0.
Окружність
Центр кола– це геометричне місце точок у площині, що рівно від точки площини С(а,b).
Окружність задається наступним рівнянням:
Де х,у - координати довільної точки кола, R - радіус кола.
Ознака рівняння кола
1. Відсутня доданок з х,у
2. Рівні Коефіцієнти при х 2 та у 2
Еліпс
Еліпсомназивається геометричне місце точок у площині, сума відстаней кожної з яких від двох даних точок цієї площини називається фокусами (постійна величина).
Канонічне рівнянняеліпса:
Х і у належать еліпсу.
а – велика піввісь еліпса
b – мала піввісь еліпса
У еліпса 2 осі симетрії ОХ та ОУ. Осі симетрії еліпса – його осі, точка їхнього перетину – центр еліпса. Та вісь на якій розташовані фокуси, називається фокальною віссю. Крапка перетину еліпса з осями – вершина еліпса.
Коефіцієнт стиснення (розтягування): ε = с/а– ексцентриситет (характеризує форму еліпса), що він менше, тим менше витягнутий еліпс вздовж фокальної осі.
Якщо центри еліпса перебувають над центрі З(α, β)
Гіперболу
Гіперболоюназивається геометричне місце точок у площині, абсолютна величинарізниці відстаней, кожна з яких від двох даних точок цієї площини, званих фокусами є постійна величина, відмінна від нуля.
Канонічне рівняння гіперболи
Гіпербола має 2 осі симетрії:
а – дійсна піввісь симетрії
b – уявна піввісь симетрії
Асимптоти гіперболи:
Парабола
Параболоюназивається геометричне місце точок у площині, рівновіддалених від даної точки F, яка називається фокусом і даною прямою, званою директрисою.
Канонічне рівняння параболи:
У 2 = 2рх, де р - Відстань від фокусу до директриси (параметр параболи)
Якщо вершина параболи (α, β), то рівняння параболи (у-β) 2 =2р(х-α)
Якщо фокальну вісь прийняти за вісь ординат, то рівняння параболи набуде вигляду: х 2 =2qу
