Якщо дві прямі у просторі мають загальну точку, то кажуть, що ці дві прямі перетинаються. На наступному малюнку прямі a іb перетинаються в точці A. Прямі а і с не перетинаються.

Будь-які, дві прямі або мають лише одну загальну точку, або не мають спільних точок.

Паралельні прямі

Дві прямі у просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і при цьому не перетинаються. Для позначення паралельних прямих використовують значок - ||.

Запис a||b означає, що пряма паралельна прямий b. На малюнку представленому вище, прямі а і паралельні.

Теорема про паралельні прямі

Через будь-яку точку простору, що не лежить на даній прямій, проходить пряма, паралельна даній і до того ж лише одна.

Схрещувальні прямі

Дві прямі, які лежать в одній площині, можуть перетинатися або бути паралельними. Але в просторі дві прямі не обов'язково повинні належати до цієї площини. Вони можуть бути розташовані у двох різних площинах.

Очевидно, що прямі розташовані в різних площинах не перетинаються і не є паралельними прямими. Дві прямі, які не лежать в одній площині, називаються схрещуючими прямими.

На наступному малюнку показані дві схрещувальні прямі a і b, які лежать у різних площинах.

Ознака і теорема про схрещувальні прямі

Якщо одна з двох прямих лежить в деякій площині, а інша пряма перетинає цю площину в точці, що не лежить на першій прямій, то ці схрещуються.

Теорема про схрещувальні прямі: через кожну з двох прямих, що схрещуються, проходить площина, паралельна іншій прямій, і притому тільки одна.

Таким чином, ми розглянули всі можливі випадки взаємного розташуванняпрямих у просторі. Їх лише три.

1. Прямі перетинаються. (Тобто вони мають лише одну загальну точку.)

2. Прямі паралельні. (Тобто вони не мають спільних точок і лежать в одній площині.)

3. Прямі схрещуються. (Тобто вони розташовані у різних площинах.)

У цій статті спочатку дамо визначення кута між прямими, що схрещуються, і наведемо графічну ілюстрацію. Далі відповімо на запитання: «Як знайти кут між прямими схрещуються, якщо відомі координати напрямних векторів цих прямих в прямокутної системикоординат»? У висновку попрактикуємося у знаходженні кута між прямими, що схрещуються, при вирішенні прикладів і завдань.

Навігація на сторінці.

Кут між прямими схрещуються - визначення.

До визначення кута між прямими, що схрещуються, будемо підходити поступово.

Спочатку нагадаємо визначення прямих, що схрещуються: дві прямі в тривимірному просторі називаються схрещуютьсяякщо вони не лежать в одній площині. З цього визначення випливає, що прямі, що схрещуються, не перетинаються, не паралельні, і, тим більше, не збігаються, інакше вони обидві лежали б в деякій площині.

Наведемо ще допоміжні міркування.

Нехай у тривимірному просторі задані дві прямі, що схрещуються, a і b . Побудуємо прямі a 1 і b 1 так, щоб вони були паралельні прямим a і b, що схрещуються, відповідно і проходили через деяку точку простору M 1 . Таким чином, ми отримаємо дві прямі, що перетинаються, a 1 і b 1 . Нехай кут між прямими, що перетинаються, a 1 і b 1 дорівнює куту . Тепер побудуємо прямі a 2 і b 2 паралельні схрещується прямим a і b відповідно, що проходять через точку М 2 відмінну від точки М 1 . Кут між прямими, що перетинаються, a 2 і b 2 також буде дорівнює куту . Це твердження справедливе, оскільки прямі a 1 і b 1 збігатимуться з прямими a 2 і b 2 відповідно, якщо виконати паралельне перенесення, при якому точка М 1 перейде в точку М 2 . Таким чином, міра кута між двома перетинаються в точці М прямими, відповідно паралельними заданим прямим, що схрещується, не залежить від вибору точки М .

Тепер ми готові до того, щоб дати визначення кута між прямими, що схрещуються.

Визначення.

Кут між схрещувальними прямими– це кут між двома перетинаючими прямими, які відповідно паралельні заданим прямим, що схрещується.

З визначення випливає, що кут між прямими схрещуються також не залежатиме від вибору точки M . Тому в якості точки М можна взяти будь-яку точку, що належить одній з прямих, що схрещуються.

Наведемо ілюстрацію визначення кута між прямими, що схрещуються.

Знаходження кута між прямими, що схрещуються.

Так як кут між схрещуються прямими визначається через кут між прямими, що перетинаються, то перебування кута між схрещуються прямими зводиться до знаходження кута між відповідними перетинаються прямими в тривимірному просторі.

Безперечно, для знаходження кута між прямими схрещуються підходять методи, що вивчаються на уроках геометрії в середній школі. Тобто, виконавши необхідні побудови, можна пов'язати шуканий кут з будь-яким відомим з умови кутом, ґрунтуючись на рівності чи подобі фігур, у деяких випадках допоможе теорема косінусів, а іноді до результату призводить визначення синуса, косинуса та тангенсу кута прямокутного трикутника.

Однак дуже зручно вирішувати задачу знаходження кута між прямими методом координат, що схрещуються. Саме його й розглянемо.

Нехай у тривимірному просторі запроваджено Oxyz (щоправда, у багатьох завданнях її доводиться вводити самостійно).

Поставимо собі завдання: знайти кут між схрещуються прямими a і b , яким відповідають у прямокутної системі координат Oxyz деякі рівняння прямий у просторі .

Вирішимо її.

Візьмемо довільну точку тривимірного простору М і вважатимемо, що через неї проходять прямі a 1 і b 1 паралельні схрещується прямим a і b відповідно. Тоді шуканий кут між схрещуючими прямими a і b дорівнює куту між прямими, що перетинаються, a 1 і b 1 за визначенням.

Таким чином, нам залишилося знайти кут між прямими, що перетинаються, a 1 і b 1 . Щоб застосувати формулу для знаходження кута між двома прямими, що перетинаються, в просторі нам потрібно знати координати напрямних векторів прямих a 1 і b 1 .

Як ми їх можемо отримати? А дуже просто. Визначення напрямного вектора прямої дозволяє стверджувати, що безлічі напрямних векторів паралельних прямих збігаються. Отже, як напрямні вектори прямих a 1 і b 1 можна прийняти напрямні вектори і прямих a та b відповідно.

Отже, кут між двома схрещуючими прямими a і b обчислюється за формулою
, де і - Спрямовують вектори прямих a і b відповідно.

Формула для знаходження косинуса кута між прямими, що схрещуються. a і b має вигляд .

Дозволяє знайти синус кута між прямими схрещуються, якщо відомий косинус: .

Залишилося розібрати приклади.

приклад.

Знайдіть кут між схрещувальними прямими a і b , які визначені у прямокутній системі координат Oxyz рівняннями і .

Рішення.

Канонічні рівняння прямої у просторі дозволяють відразу визначити координати напрямного вектор цієї прямої – їх дають числа у знаменниках дробів, тобто, . Параметричні рівняння прямої у просторі також дають можливість відразу записати координати напрямного вектора – вони рівні коефіцієнтам перед параметром, тобто, - напрямний вектор прямий . Таким чином, ми маємо всі необхідні дані для застосування формули, за якою обчислюється кут між схрещуються прямими:

Відповідь:

Кут між заданими схрещуються прямими дорівнює.

приклад.

Знайдіть синус і косинус кута між прямими, що схрещуються, на яких лежать ребра AD і BC піраміди АВСD , якщо відомі координати її вершин: .

Рішення.

Напрямними векторами прямих AD і BC, що схрещуються, є вектори і . Обчислимо їх координати як різницю відповідних координатточок кінця та початку вектора:

За формулою ми можемо обчислити косинус кута між зазначеними прямими, що схрещуються:

Тепер обчислимо синус кута між прямими, що схрещуються:

Відповідь:

У висновку розглянемо розв'язання задачі, в якій потрібно відшукати кут між прямими, що схрещуються, а прямокутну систему координат доводиться вводити самостійно.

приклад.

Дано прямокутний паралелепіпед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , у якого АВ=3 , АD=2 та AA 1 =7 одиниць. Точка E лежить на ребрі АА 1 і ділить його щодо 5 до 2 рахуючи від точки А . Знайдіть кут між прямими ВЕ і А1С, що схрещуються.

Рішення.

Так як ребра прямокутного паралелепіпедапри одній вершині взаємно перпендикулярні, то зручно ввести прямокутну систему координат, і визначити кут між зазначеними прямими схрещуються методом координат через кут між напрямними векторами цих прямих.

Введемо прямокутну систему координат Oxyz наступним чином: нехай початок координат збігається з вершиною А, вісь Ox збігається з прямою АD, вісь Oy - з прямою АВ, а вісь Oz - з прямою АА1.

Тоді точка має координати , точка Е - (при необхідності дивіться статтю ), точка А 1 - , а точка С - . За координатами цих точок ми можемо обчислити координати векторів та . Маємо , .

Залишилося застосувати формулу для знаходження кута між прямими, що схрещуються, по координатах напрямних векторів:

Відповідь:

Список літератури.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Кисельова Л.С., Позняк Е.Г. Геометрія. Підручник для 10–11 класів середньої школи.
Погорєлов А.В., Геометрія. Підручник для 7-11 класів загальноосвітніх закладів.
Бугров Я.С., Микільський С.М. Вища математика. Том перший: елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії.
Ільїн В.А., Позняк Е.Г. Аналітична геометрія.

Прямі, що схрещуються. Великий Енциклопедичний словник

схрещувальні прямі- Прямі в просторі, що не лежать в одній площині. * * * Прямі, що схрещуються Прямі схрещуються Прямі, прямі в просторі, що не лежать в одній площині … Енциклопедичний словник

Схрещувальні прямі- Прямі в просторі, що не лежать в одній площині. Через С. п. можна провести паралельні площини, відстань між якими називається відстанню між С. п. Вона дорівнює найкоротшій відстані між точками С. п. Велика Радянська Енциклопедія

Прямі, що схрещуються.- Прямі в просторі, що не лежать в одній площині. Кутом між С. п. зв. будь-який з кутів між двома паралельними їм прямими, що проходять через довільну точку простору. Якщо а і b напрямні вектори С. п., то косинус кута між С. п. Математична енциклопедія

Прямі, що схрещуються.- Прямі в просторі, що не лежать в одній площині ... Природознавство. Енциклопедичний словник

Паралельні прямі- Зміст 1 В Євклідовій геометрії 1.1 Властивості 2 В геометрії Лобачевського … Вікіпедія

Ультрапаралельні прямі- Зміст 1 В евклідовій геометрії 1.1 Властивості 2 В геометрії Лобачевського 3 Див.

РИМАНА ГЕОМЕТРІЯ- е л і п т і ч е с к а я г е про метр і, одна з неевклідових геометрій, тобто геометрич, теорія, заснована на аксіомах, вимоги до рих відмінні від вимог аксіом евклідової геометрії . На відміну від евклідової геометрії в Р. р. Математична енциклопедія

Взаємне розташування двох прямих у просторі.

Взаємне розташування двох прямих та просторі характеризується такими трьома можливостями.

Прямі лежать у одній площині і мають спільних точок — паралельні прямі.

Прямі лежать і в одній площині і мають одну загальну точку — прямі перетинаються.

У просторі дві прямі можуть бути розташовані ще так, що не лежать у жодній площині. Такі прямі називаються такими, що схрещуються (не перетинаються і не паралельні).

ПРИКЛАД:

ЗАВДАННЯ 434 У площині лежить трикутник ABC, a

У площині лежить трикутник ABC, точка D не знаходиться в цій площині. Точки М, N та K відповідно серединні точки відрізків DA, DB та DC

Теорема.Якщо одна з двох прямих лежить у деякій площині, а інша перетинає цю площину та точку, яка не лежить на першій прямій, то ці прямі схрещуються.

На рис. 26 пряма a лежить у площині, а пряма з перетинає в точці N. Прямі a і с — схрещуються.

Теорема.Через кожну з двох прямих, що схрещуються, проходить тільки одна площина, паралельна іншій прямій.

На рис. 26 прямі a та b схрещуються. Черен пряму а проведено площину a (альфа) || b (у площині B (бета) вказано пряму a1 || b).

Теорема 3.2.

Дві прямі, паралельні третій, паралельні.

Ця властивість називається транзитивністюпаралельності прямих.

Доведення

Нехай прямі a і b одночасно паралельні до прямої c . Припустимо, що a не паралельна b тоді пряма a перетинається з прямою b в деякій точці A , не лежачої на прямій c за умовою. Отже, ми маємо дві прямі a і b , що проходять через точку A , що не лежить на даній прямій c і одночасно паралельні їй. Це суперечить аксіомі 3.1. Теорему доведено.

Теорема 3.3.

Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести одну і лише одну пряму, паралельну даній.

Доведення

Нехай (AB ) дана пряма, C - точка, що не лежить на ній. Пряма AC розбиває площину на дві напівплощини. Точка B лежить в одній із них. Відповідно до аксіоми 3.2 можна від променя A відкласти кут (ACD ), рівний куту(CAB), в іншу напівплощину. ACD і CAB – рівні внутрішні навхрест що лежать при прямих AB і CD і січній (AC ) Тоді з теореми 3.1 (AB ) || (CD). З урахуванням аксіоми 3.1. Теорему доведено.

Властивість паралельних прямих визначається наступною теоремою, зворотною до теореми 3.1.

Теорема 3.4.

Якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою прямою, то внутрішні навхрест лежачі кути рівні.

Доведення

Нехай (AB) || (CD). Припустимо, що ACD ≠ BAC . Через точку A проведемо пряму AE отже EAC = ACD . Але тоді з теореми 3.1 (AE) || (CD), а за умовою – (AB) || (CD). Відповідно до теореми 3.2 (AE) || (AB). Це суперечить теоремі 3.3, за якою через точку A, що не лежить на прямій CD, можна провести єдину пряму, паралельну їй. Теорему доведено.

Малюнок 3.3.1.

З цієї теореми легко обгрунтовуються такі характеристики.

Якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою прямою, то відповідні кути рівні.

Якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою прямою, то сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°.

Наслідок 3.2.

Якщо пряма перпендикулярна до однієї з паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої.

Поняття паралельності дозволяє запровадити наступне нове поняття, яке надалі знадобиться у 11-му розділі.

Два промені називаються однаково спрямованимиякщо існує така пряма, що, по-перше, вони перпендикулярні цій прямій, по-друге, промені лежать в одній напівплощині щодо цієї прямої.

Два промені називаються протилежно спрямованимиякщо кожен з них однаково спрямований з променем, додатковим до іншого.

Однаково спрямовані промені AB і CD позначатимемо: а протилежно спрямовані промені AB і CD –

Малюнок 3.3.2.

Ознака прямих, що схрещуються.

Випадки взаємного розташування прямих у просторі.

Можливі чотири різні випадки розташування двох прямих у просторі:

- Прямі схрещуються, тобто. не лежать у одній площині;

- Прямі перетинаються, тобто. лежать в одній площині та мають одну загальну точку;

- Прямі паралельні, тобто. лежать в одній площині та не перетинаються;

- Прямі збігаються.

Отримаємо ознаки цих випадків взаємного розташування прямих, заданих канонічними рівняннями

де - точки, що належать прямимі відповідно, a- Напрямні вектори (рис.4.34). Позначимо черезвектор, що з'єднує задані точки.

Перерахованим вище випадкам взаємного розташування прямих і відповідають такі ознаки:

- Прямі і схрещуються вектори не компланарні;

- Прямі і перетинаються вектори компланарні, а вектори не колінеарні;

- Прямі і паралельні вектори колінеарні, а вектори не колінеарні;

- Прямі і збігаються вектори колінеарні.

Ці умови можна записати, використовуючи властивості змішаного та векторних творів. Нагадаємо, що змішаний добуток векторів у правій прямокутній системі координат знаходиться за формулою:

і перетинаються визначник дорівнює нулю, а другий і третій рядки не пропорційні, тобто.
– прямі та паралельні другий і третій рядки визначника пропорційні, тобто. а перші два рядки не пропорційні, тобто.

- Прямі і збігаються всі рядки визначника пропорційні, тобто.

Доказ ознаки прямих, що схрещуються.

Якщо одна з двох прямих лежить у площині, а інша перетинає цю площину в точці, що не належить першій прямій, ці дві прямі схрещуються.

Доведення

Нехай a належить α, b перетинається α = A, A не належить a (креслення 2.1.2). Припустимо, що прямі a і b не схрещуються, тобто перетинаються. Тоді існує площина β, якій належать прямі a та b. У цій площині лежать пряма a і точка A. Оскільки пряма a і точка A поза нею визначають єдину площину, то β = α. Але b водить β і b не належить α, отже, рівність β = α неможлива.