Складається з nматеріальних точок. Виділимо із цієї системи деяку точку M jз масою m j. На цю точку, як відомо, діють зовнішні та внутрішні сили.
Прикладемо до точки M jрівнодіючу всіх внутрішніх сил F j iта рівнодіючу всіх зовнішніх сил F j e(Рисунок 2.2). Для виділеної матеріальної точки M j(як для вільної точки) запишемо теорему про зміну кількості руху в диференційної форми (2.3):
Запишемо аналогічні рівняння для всіх точок механічної системи (j=1,2,3,…,n).
Малюнок 2.2
Складемо почленно все nрівнянь:
∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)
d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)
Тут ∑m j ×V j =Q– кількість руху механічної системи;
∑F j e = R e- Головний вектор всіх зовнішніх сил, що діють на механічну систему;
∑F j i = R i =0- Головний вектор внутрішніх сил системи (за якістю внутрішніх сил він дорівнює нулю).
Остаточно для механічної системи отримуємо
dQ/dt = R e. (2.11)
Вираз (2.11) є теоремою про зміну кількості руху механічної системи в диференціальній формі (у векторному вираженні): похідна часу від вектора кількості руху механічної системи дорівнює головному вектору всіх зовнішніх сил, що діють на систему.
Проеціюючи векторну рівність (2.11) на декартові осі координат, отримуємо вирази для теореми про зміну кількості руху механічної системи в координатному (скалярному) виразі:
dQ x /dt = R x e;
dQ y /dt = R y e;
dQ z / dt = R z e, (2.12)
тобто. похідна за часом від проекції кількості руху механічної системи на будь-яку вісь дорівнює проекції на цю вісь головного вектора всіх зовнішніх сил, що діють на цю механічну систему.
Помножуючи обидві частини рівності (2.12) на dt, Отримаємо теорему в іншій диференціальній формі:
dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)
тобто. диференціал кількості руху механічної системи дорівнює елементарному імпульсу головного вектора (сумі елементарних імпульсів) всіх зовнішніх сил, що діють на систему.
Інтегруючи рівність (2.13) у межах зміни часу від 0 до tотримуємо теорему про зміну кількості руху механічної системи в кінцевій (інтегральній) формі (у векторному вираженні):
Q - Q 0 = S e,
тобто. зміна кількості руху механічної системи за кінцевий проміжок часу дорівнює повному імпульсу головного вектора (сумі повних імпульсів) всіх зовнішніх сил, що діють на систему за той самий проміжок часу.
Проеціюючи векторну рівність (2.14) на декартові осі координат, отримаємо вирази для теореми в проекціях (у скалярному виразі):
тобто. зміна проекції кількості руху механічної системи на якусь вісь за кінцевий проміжок часу і проекції на цю ж вісь повного імпульсу головного вектора (сумі повних імпульсів) всіх зовнішніх сил, що діють на механічну систему, за той же проміжок часу.
З розглянутої теореми (2.11) - (2.15) випливають наслідки:
- Якщо R e = ∑F j e = 0, то Q = const– маємо закон збереження вектора кількості руху механічної системи: якщо головний вектор R eвсіх зовнішніх сил, що діють на механічну систему, дорівнює нулю, то вектор кількості руху цієї системи залишається постійним за величиною і напрямом і дорівнює своєму початковому значенню Q 0, тобто. Q = Q 0.
- Якщо R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), то Q x = const– маємо закон збереження проекції на вісь кількості руху механічної системи: якщо проекція головного вектора всіх діючих на механічну систему сил на якусь вісь дорівнює нулю, то проекція на цю вісь вектора кількості руху цієї системи буде величиною постійної та рівної проекції на цю вісь початкового вектора кількості руху, тобто. Q x = Q 0x.
Диференціальна форма теореми про зміну кількості руху матеріальної системимає важливі та цікаві програми в механіці суцільного середовища. З (2.11) можна одержати теорему Ейлера.
Перегляд:ця стаття прочитана 14066 разів
Pdf Оберіть мову... Українська Українська Англійська
Повністю матеріал завантажується вище, попередньо вибравши мову
Кількість руху
Кількість руху матеріальної точки - Векторна величина, рівна добуткумаси точки на вектор швидкості.
Одиницею виміру кількості руху є (кг м/с).
Кількість руху механічної системи - Векторна величина, що дорівнює геометричній сумі (головному вектору) кількості руху механічної системи дорівнює добутку маси всієї системи на швидкість її центру мас.
Коли тіло (або система) рухається так, що її центр мас нерухомий, то кількість руху тіла дорівнює нулю (наприклад, обертання тіла навколо нерухомої осі, що проходить через центр ваги тіла).
У випадку складного руху, кількість руху системи не характеризуватиме обертальну частину руху при обертанні навколо центру мас. Тобто, кількість руху характеризує лише поступальний рух системи (разом із центром мас).
Імпульс сили
Імпульс сили характеризує дію сили протягом певного проміжку часу.
Імпульс сили за кінцевий проміжок часу визначається як інтегральна сума відповідних елементарних імпульсів.
Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки
(у диференціальних форм е ):
Похідна за часом кількості руху матеріальної точки дорівнює геометричній сумі діючих на точки сил.
(в інтегральної форми ):
Зміна кількості руху матеріальної точки за деякий проміжок часу дорівнює геометричній сумі імпульсів сил, прикладених до точки за цей проміжок часу.
Теорема про зміну кількості руху механічної системи
(у диференційній формі ):
Похідна за часом кількості руху системи дорівнює геометричній сумі всіх зовнішніх сил, що діють на систему.
(в інтегральній формі ):
Зміна кількості руху системи за деякий проміжок часу дорівнює геометричній сумі імпульсів зовнішніх сил, що діють систему за цей проміжок часу.
Теорема дозволяє виключити із розгляду свідомо невідомі внутрішні сили.
Теорема про зміну кількості руху механічної системи та теорема про рух центру мас є двома різними формами однієї теореми.
Закон збереження кількості руху системи
- Якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, вектор кількості руху системи буде постійним за напрямом і по модулю.
- Якщо сума проекцій всіх діючих зовнішніх сил будь-яку довільну вісь дорівнює нулю, то проекція кількості руху цієї вісь є величиною постійної.
Висновки:
- Закони збереження свідчать, що внутрішні сили що неспроможні змінити сумарну кількість руху системи.
- Теорема про зміну кількості руху механічної системи не характеризує обертальний рух механічної системи, лише поступальний.
Наведено приклад: Визначити кількість руху диска певної маси, якщо відома його кутова швидкість та розмір.
Приклад розрахунку прямозубої циліндричної передачі
Приклад розрахунку прямозубої циліндричної передачі. Виконаний вибір матеріалу, розрахунок напруг, що допускаються, розрахунок на контактну і згинальну міцність.
Приклад розв'язання задачі на вигин балки
У прикладі побудовано епюри поперечних сил і згинальних моментів, знайдено небезпечний переріз і підібрано двотавр. У задачі проаналізовано побудову епюр за допомогою диференціальних залежностей, порівняльний аналізрізних поперечних перерізів балки.
Приклад розв'язання задачі на кручення валу
Завдання полягає в перевірці міцності сталевого валу при заданому діаметрі, матеріалі і напругах, що допускаються. У ході рішення будуються епюри моментів, що крутять, дотичних напруг і кутів закручування. Власна вага валу не враховується
Приклад розв'язання задачі на розтягування-стиснення стрижня
Завдання полягає в перевірці міцності сталевого стрижня при заданих напругах, що допускаються. У ході рішення будуються епюри поздовжніх сил, нормальних напругта переміщень. Власна вага стрижня не враховується
Застосування теореми про збереження кінетичної енергії
Приклад вирішення завдання застосування теореми про збереження кінетичної енергії механічної системи
Визначення швидкості та прискорення точки за заданими рівняннями руху
Приклад розв'язання задачі на визначення швидкості та прискорення точки за заданими рівняннями руху
Визначення швидкостей та прискорень точок твердого тіла при плоскопаралельному русі
Приклад розв'язання задачі на визначення швидкостей та прискорень точок твердого тіла при плоскопаралельному русі
Визначення зусиль у стрижнях плоскої ферми
Приклад розв'язання задачі на визначення зусиль у стрижнях плоскої ферми методом Риттера та методом вирізування вузлів
Застосування теореми про зміну кінетичного моменту
Приклад вирішення завдання застосування теореми про зміну кінетичного моменту визначення кутовий швидкостітіла, що здійснює обертання навколо нерухомої осі.
Розглянемо систему, що складається з матеріальних точок. Складемо для цієї системи диференціальні рівнянняруху (13) і складемо їх почленно. Тоді отримаємо
Остання сума за якістю внутрішніх сил дорівнює нулю. Крім того,
Остаточно знаходимо
Рівняння (20) виражає теорему про зміну кількості руху системи в диференційній формі: похідна за часом від кількості руху системи дорівнює геометричній сумі всіх діючих на систему зовнішніх сил. У проекціях на координатні осі буде:
Знайдемо інший вираз теореми. Нехай в момент часу кількість руху системи дорівнює а в момент стає рівним. Тоді, помножуючи обидві частини рівності (20) на і інтегруючи, отримаємо
оскільки інтеграли, які стоять праворуч, дають імпульси зовнішніх сил.
Рівняння (21) виражає теорему про зміну кількості руху системи в інтегральній формі: зміна кількості руху системи за деякий проміжок часу дорівнює сумі імпульсів, що діють систему зовнішніх сил за той же проміжок часу.
У проекціях на координатні осі буде:
Вкажемо на зв'язок між доведеною теоремою та теоремою про рух центру мас. Оскільки , то, підставляючи це значення у рівність (20) і враховуючи, що отримаємо , тобто рівняння (16).
Отже, теорема про рух центру мас і теорема про зміну кількості руху системи є, по суті, дві різні форми однієї і тієї ж теореми. У тих випадках, коли вивчається рух твердого тіла (або системи тіл), можна однаково користуватися будь-якою з цих форм, причому рівнянням (16) зазвичай користуватися зручніше. Для безперервного середовища (рідина, газ) при вирішенні завдань зазвичай користуються теоремою про зміну кількості руху системи. Важливі додатки ця теорема має також у теорії удару (див. гл. XXXI) та при вивченні реактивного руху(Див. § 114).
Загальні теореми динаміки системи тел. Теореми про рух центру мас, про зміну кількості руху, про зміну головного моменту кількості руху, про зміну кінетичної енергії. Принципи Даламбера та можливих переміщень. Загальне рівняння динаміки. Рівняння Лагранжа.
ЗмістРобота, яку здійснює сила, дорівнює скалярному творувекторів сили і нескінченно малому переміщенню точки її застосування:
,
тобто добутку модулів векторів F і ds на косинус кута між ними.
Робота, яку здійснює момент сил, що дорівнює скалярному добутку векторів моменту і нескінченно малого кута повороту :
.
Принцип Даламбера
Суть принципу Даламбер полягає в тому, щоб завдання динаміки звести до завдань статики. Для цього припускають (або це наперед відомо), що тіла системи мають певні (кутові) прискорення. Далі вводять сили інерції та (або) моменти сил інерції, які рівні за величиною і обернені за напрямом сил та моментів сил, які за законами механіки створювали б задані прискорення або кутові прискорення
Розглянемо приклад. Шлях тіло здійснює поступальний рух і на нього діють зовнішні сили. Далі ми припускаємо, що це сили створюють прискорення центру мас системи . По теоремі про рух центру мас, центр мас тіла мав би таке ж прискорення, якби тіло діяла сила . Далі ми запроваджуємо силу інерції:
.
Після цього завдання динаміки:
.
;
.
Для обертального руху надходять аналогічним чином. Нехай тіло обертається навколо осі z і на нього діють зовнішні моменти сил M e zk. Ми припускаємо, що ці моменти створюють кутове прискоренняε z. Далі ми вводимо момент сил інерції M І = - J z z . Після цього завдання динаміки:
.
Перетворюється на завдання статики:
;
.
Принцип можливих переміщень
Принцип можливих переміщень застосовується на вирішення завдань статики. У деяких завданнях він дає більше коротке рішення, Чим складання рівнянь рівноваги Особливо це стосується систем зі зв'язками (наприклад, системи тіл, з'єднані нитками та блоками), що складаються з безлічі тіл
Принцип можливих переміщень.
Для рівноваги механічної системи з ідеальними зв'язками необхідно і достатньо, щоб сума елементарних робіт усіх активних сил, що діють на неї, при будь-якому можливому переміщенні системи дорівнювала нулю.
Можливе переміщення системи- це мале переміщення, у якому не порушуються зв'язку, накладені систему.
Ідеальні зв'язки- це зв'язки, які виконують роботи під час переміщення системи. Точніше, сума робіт, що здійснюється самими зв'язками при переміщенні системи, дорівнює нулю.
Загальне рівняння динаміки (принцип Даламбера – Лагранжа)
Принцип Даламбера - Лагранжа - це об'єднання принципу Даламбера з принципом можливих переміщень. Тобто, при розв'язанні задачі динаміки, ми вводимо сили інерції та зводимо завдання до завдання статики, яке вирішуємо за допомогою принципу можливих переміщень.
Принцип Даламбера – Лагранжа.
При русі механічної системи з ідеальними зв'язками в кожний момент часу сума елементарних робіт усіх активних сил і всіх сил інерції на будь-якому можливому переміщенні системи дорівнює нулю:
.
Це рівняння називають загальним рівняннямдинаміки.
Рівняння Лагранжа
Узагальнені координати q 1 , q 2 , ..., q n - це сукупність n величин, що однозначно визначають положення системи.
Число узагальнених координат n збігається з числом ступенів свободи системи.
Узагальнені швидкості- це похідні від узагальнених координат за часом t.
Узагальнені сили Q 1 , Q 2 , ..., Q n
.
Розглянемо можливе переміщення системи, у якому координата q k отримає переміщення δq k . Інші координати залишаються незмінними. Нехай δA k - це робота, що здійснюється зовнішніми силами при такому переміщенні. Тоді
δA k = Q k δq k , або
.
Якщо при можливому переміщенні системи змінюються всі координати, то робота, що здійснюється зовнішніми силами при такому переміщенні, має вигляд:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Тоді узагальнені сили є приватними похідними від переміщень:
.
Для потенційних силз потенціалом Π ,
.
Рівняння Лагранжа- це рівняння руху механічної системи в узагальнених координатах:
Тут T - кінетична енергія. Вона є функцією від узагальнених координат, швидкостей та, можливо, часу. Тому її приватна похідна також є функцією від узагальнених координат, швидкостей та часу. Далі слід враховувати, що координати та швидкості є функціями від часу. Тому для знаходження повної похідної за часом слід застосувати правило диференціювання складної функції:
.
Використана література:
С. М. Тарг, Короткий курстеоретичної механіки, « Вища школа», 2010.
