Межа функції - MT1205: Математичний аналіз для економістів - Бізнес-інформатика. Нескінченно малі функції та їх основні властивості Довести, що функція нескінченно велика

Обчислення нескінченно малих та великих

Обчислення нескінченно малих- обчислення, вироблені з нескінченно малими величинами, у яких похідний результат сприймається як нескінченна сума нескінченно малих. Обчислення нескінченно малих величин є загальним поняттямдля диференціальних та інтегральних обчислень, що становлять основу сучасної вищої математики. Поняття нескінченно малої величини тісно пов'язане з поняттям межі.

Нескінченно мала

Послідовність a nназивається нескінченно малоюякщо . Наприклад, послідовність чисел – нескінченно мала.

Функція називається нескінченно малої на околиці точки x 0 , якщо .

Функція називається нескінченно малої на нескінченності, якщо або .

Також нескінченно малою є функція, що є різницею функції та її межі, тобто якщо , то f(x) − a = α( x) , .

Нескінченно велика величина

Послідовність a nназивається нескінченно великий, якщо .

Функція називається нескінченно великий на околиці точки x 0 , якщо .

Функція називається нескінченно великий на нескінченності, якщо або .

У всіх випадках нескінченність праворуч від рівності мається на увазі певного знака (або "плюс", або "мінус"). Тобто, наприклад, функція x sin xне є нескінченно великою при .

Властивості нескінченно малих і нескінченно великих

Порівняння нескінченно малих величин

Як порівнювати нескінченно малі величини?
Ставлення нескінченно малих величин утворює так звану невизначеність.

Визначення

Припустимо, у нас є нескінченно малі при тому самому величині α( x) та β( x) (або, що не має значення для визначення, нескінченно малі послідовності).

Для обчислення таких меж зручно використовувати правило Лопіталя.

Приклади порівняння

З використанням Про-Символіки отримані результати можуть бути записані в наступному вигляді x 5 = o(x 3). В даному випадку справедливі записи 2x 2 + 6x = O(x) і x = O(2x 2 + 6x).

Еквівалентні величини

Визначення

Якщо , то нескінченно малі величини α та β називаються еквівалентними ().
Очевидно, що еквівалентні величини є окремим випадком нескінченно малих величин одного порядку малості.

При справедливі такі співвідношення еквівалентності: , , .

Теорема

Межа приватного (відносини) двох нескінченно малих величин не зміниться, якщо одну з них (або обидві) замінити еквівалентною величиною.

Ця теорема має прикладне значення при знаходженні меж (див. приклад).

Приклад використання

Замінюючи sin 2x еквівалентною величиною 2 x, отримуємо

Історичний нарис

Поняття «нескінченно мале» обговорювалося ще в античні часиу зв'язку з концепцією неподільних атомів, однак у класичну математику не увійшло. Знову воно відродилося з появою в XVI столітті «методу неподільних» - розбиття досліджуваної постаті на малі перерізи.

У XVII столітті відбулася алгебраїзація числення нескінченно малих. Вони стали визначатися як числові величини, які менше будь-якої кінцевої (ненульової) величини і все ж таки не рівні нулю. Мистецтво аналізу полягало у складанні співвідношення, що містить нескінченно малі (диференціали), та був - у його інтегруванні .

Математики старої школи піддали концепцію нескінченно малихрізкої критики. Мішель Ролль писав, що нове числення є « набір геніальних помилок»; Вольтер отруйно зауважив, що це обчислення є мистецтвом обчислювати і точно вимірювати речі, існування яких не може бути доведено. Навіть Гюйгенс зізнавався, що розуміє сенсу диференціалів вищих порядків.

Як іронію долі можна розглядати появу в середині століття нестандартного аналізу, який довів, що початкова точка зору – актуальні нескінченно малі – також несуперечлива і могла б бути покладена в основу аналізу.

також

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитися що таке "Нескінченно велика" в інших словниках:

Змінна величина Y, зворотна нескінченно малій величині X, тобто Y = 1/X … Великий Енциклопедичний словник

Змінна величина y, обернена до нескінченно малої величини x, тобто y = 1/x. * * * БЕЗКІЙНО ВЕЛИКА БЕЗКОНЕЧНО ВЕЛИКА, змінна величина Y, зворотна нескінченно малій величині X, тобто Y = 1/X … Енциклопедичний словник

У математиці змінна величина, яка в даному процесі зміни стає і залишається по абсолютної величинибільше будь-якого наперед заданого числа. Вивчення Би. б. величин може бути зведено до вивчення нескінченно малих. Велика радянська енциклопедія

Наводиться визначення нескінченно великої послідовності. Розглянуто поняття околиць нескінченно віддалених точок. Дано універсальне визначення межі послідовності, яке відноситься як до кінцевих, так і до нескінченних меж. Розглянуто приклади застосування визначення нескінченно великої послідовності.

Зміст

також: Визначення межі послідовності

Визначення

Послідовність ( β n ) називається нескінченно великою послідовністю, якщо для будь-якого, скільки завгодно великого числа M існує таке натуральне число N M , що залежить від M , що для всіх натуральних n > N M виконується нерівність
| β n | > M.
У цьому випадку пишуть
.
Або при .
Кажуть, що прагне нескінченності, або сходиться до нескінченності.

Якщо , починаючи з номера N 0 , то
( сходиться до плюс нескінченності).
Якщо ж, то
( сходиться до мінус нескінченності).

Запишемо ці визначення за допомогою логічних символів існування та загальності:
(1) .
(2) .
(3) .

Послідовності з межами (2) і (3) є окремими випадками нескінченно великої послідовності (1). З цих визначень випливає, що якщо межа послідовності дорівнює плюс або мінус нескінченності, то вона також дорівнює і нескінченності:
.
Назад, звичайно, не вірно. Члени послідовності можуть мати знаки, що чергуються. При цьому межа може дорівнювати нескінченності, але без певного знака.

Зауважимо також, що якщо якась властивість виконується для довільної послідовності з межею, що дорівнює нескінченності, то ця ж властивість виконується і для послідовності, чия межа дорівнює плюс або мінус нескінченності.

У багатьох підручниках з математичного аналізу у визначенні нескінченно великої послідовності вказується, що число M є позитивним: M > 0 . Однак ця вимога є зайвою. Якщо його скасувати, то жодних протиріч не виникає. Просто малі чи негативні значення для нас не становлять жодного інтересу. Нас цікавить поведінка послідовності при будь-яких великих позитивних значеннях M . Тому, якщо виникне необхідність, то можна обмежити знизу будь-яким, наперед заданим числом a , тобто вважати, що M > a .

Коли ми визначали ε - околиця кінцевої точки, то вимога ε > 0 є важливим. При негативних значеннях нерівність взагалі не може виконуватися.

Околиці нескінченно віддалених точок

Коли ми розглядали кінцеві межі, то запровадили поняття околиці точки. Нагадаємо, що околицею кінцевої точки є відкритий інтервал, що містить цю точку. Також ми можемо запровадити поняття околиць нескінченно віддалених точок.

Нехай M – довільне число.
Околицею точки "нескінченність", , називається безліч.
Околицею точки "плюс нескінченність", , називається безліч.
Околицею точки "мінус нескінченність", , називається безліч.

Строго кажучи, околицею точки "нескінченність" є безліч
(4) ,
де M 1 та M 2 - Довільні позитивні числа. Ми будемо використовувати перше визначення, оскільки воно простіше. Хоча все сказане нижче, також справедливо і при використанні визначення (4).

Тепер ми можемо дати єдине визначення межі послідовності, яке стосується як кінцевих, так і нескінченних меж.

Універсальне визначення межі послідовності.
Точка a (кінцева чи нескінченно віддалена) є межею послідовності , якщо для будь-якої околиці цієї точки існує таке натуральне число N , що всі елементи послідовності з номерами належать цьому околиці.

Таким чином, якщо межа існує, то за межами околиці точки a може бути лише кінцеве число членів послідовності, або порожня множина. Ця умова є необхідною та достатньою. Доказ цієї властивості, такий самий, як для кінцевих меж.

Властивість околиці послідовності, що сходить
Для того, щоб точка a (кінцева або нескінченно віддалена) була межею послідовності, необхідно і достатньо, щоб за межами будь-якої околиці цієї точки знаходилося кінцеве число членів послідовності або порожня множина.
Доказ.

Також іноді вводять поняття ε - околиць нескінченно віддалених точок.
Нагадаємо, що ε - околицею кінцевої точки a називається безліч .
Введемо таке позначення. Нехай означає ε - околиця точки a . Тоді для кінцевої точки,
.
Для нескінченно віддалених точок:
;
;
.
Використовуючи поняття ε - околиць, можна дати ще одне універсальне визначення межі послідовності:

Точка a (кінцева чи нескінченно віддалена) є межею послідовності , якщо для будь-якого позитивного числа ε > 0 існує таке натуральне число N ε , що залежить від ε , що для всіх номерів n > N ε члени x n належать ε - околиці точки a :
.

За допомогою логічних символів існування та загальності, це визначення запишеться так:
.

Приклади нескінченно великих послідовностей

Приклад 1

.
Випишемо визначення нескінченно великої послідовності:
(1) .
У нашому випадку
.

Вводимо числа та , зв'язавши їх нерівностями:
.
За властивостями нерівностей, якщо і, то
.
Зауважимо, що при цю нерівність виконується для будь-яких n. Тому можна вибрати і так:
при;
при .

Отже, для будь-якого можна знайти натуральне число, що задовольняє нерівність. Тоді для всіх,
.
Це означає, що . Тобто послідовність є нескінченно великою.

Приклад 2

Користуючись визначенням нескінченно великої послідовності показати, що
.

(2) .
Загальний член заданої послідовності має вигляд:
.

Вводимо числа та:
.
.

Тоді для будь-кого можна знайти натуральне число, що задовольняє нерівності , так що для всіх ,
.
Це означає, що .

Приклад 3

Користуючись визначенням нескінченно великої послідовності показати, що
.

Випишемо визначення межі послідовності, що дорівнює мінус нескінченності:
(3) .
Загальний член заданої послідовності має вигляд:
.

Вводимо числа та:
.
Звідси видно, що якщо і , то
.

Оскільки для будь-якого можна знайти натуральне число, що задовольняє нерівність, то
.

При заданому , як N можна взяти будь-яке натуральне число, що задовольняє наступну нерівність:
.

Приклад 4

Користуючись визначенням нескінченно великої послідовності показати, що
.

Випишемо загальний член послідовності:
.
Випишемо визначення межі послідовності, що дорівнює плюс нескінченності:
(2) .

Оскільки n є натуральним числом, n = 1, 2, 3, ... , то
;
;
.

Вводимо числа і M, зв'язавши їх нерівностями:
.
Звідси видно, що якщо і , то
.

Отже, для будь-якого числа M можна знайти натуральне число, що задовольняє нерівність . Тоді для всіх,
.
Це означає, що .

Використана література:
Л.Д. Кудрявці. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Микільський. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 1983.

також:

Опр.:Функція називається нескінченно малоюпри , якщо .

У записі « » будемо припускати, що x 0може приймати як кінцеве значення: x 0= Сonst, так і нескінченне: x 0= ∞.

Властивості нескінченно малих функцій:

1) Алгебраїчна сума кінцевого числа нескінченно малих за функцій є нескінченно малою за функцією.

2) Добуток кінцевого числа нескінченно малих за функцій є нескінченно малою за функцією.

3) Добуток обмеженої функції на нескінченно малу функцію є нескінченно малою функцією.

4) Приватне від розподілу нескінченно малої при функції на функцію, межа якої відмінна від нуля, є нескінченно малою при функцією.

приклад: Функція y = 2 + xє нескінченно малою при , т.к. .

Опр.:Функція називається нескінченно великийпри , якщо .

Властивості нескінченно великих функцій:

1) Сума нескінченно великих за функцій є нескінченно великою за функцією.

2) Твір нескінченно великий при функції на функцію, межа якої відмінна від нуля, є нескінченно великою при функцією.

3) Сума нескінченно великий за функції та обмеженої функції є нескінченно великою функцією.

4) Приватне від розподілу нескінченно великий при функції на функцію, що має кінцеву межу, є нескінченно великою за функції.

приклад: Функція y= є нескінченно великий при , т.к. .

Теорема.Зв'язок між нескінченно малими та нескінченно великими величинами. Якщо функція є нескінченно малою при , то функція є нескінченно великою при . І навпаки, якщо функція є нескінченно великою при , то функція є нескінченно малою при .

Відношення двох нескінченно малих прийнято позначати символом, двох нескінченно великих - символом. Обидва відносини є невизначеними тому сенсі, що й межа може як існувати, і існувати, дорівнювати певному числу чи бути нескінченним залежно від виду конкретних функцій, які входять у невизначені висловлювання.

Крім невизначеностей виду та невизначеними є такі вирази:

Різниця нескінченно більших за один знак;

Твір нескінченно малої на нескінченно велику;

Показово-ступенева функція, основа якої прагне 1, а показник – до ;

Показово-ступінчаста функція, основа якої є нескінченно малою, а показник – нескінченно великий;

Показово-статечна функція, основа та показник якої є нескінченно малими;

Показово-статечна функція, основа якої є нескінченно великою, а показник – нескінченно малою.

Говорять, що має місце невизначеність відповідного виду. Обчислення межі називають у цих випадках розкриттям невизначеності. Для розкриття невизначеності вираз, що стоїть під знаком межі, перетворюють на вигляд, що не містить невизначеності.

При обчисленні меж використовують властивості меж, і навіть властивості нескінченно малих і нескінченно великих функцій.

Розглянемо приклади обчислень різних меж.

1) . 2) .

4) , т.к. твір нескінченно малої функції при обмеженій функції є нескінченно малою.

5) . 6) .

7) = =

. В даному випадку мала місце невизначеність типу, яку вдалося розкрити за допомогою розкладання багаточленів на множники та скорочення на загальний множник.

= .

В даному випадку мала місце невизначеність типу , яку вдалося розкрити за допомогою множення чисельника і знаменника на вираз , використання формули і подальшого скорочення дробу на ( +1).

9)
. В даному прикладі невизначеність типу була розкрита почленним розподілом чисельника та знаменника дробу на старший ступінь.

Чудові межі

Перша чудова межа : .

Доказ.Розглянемо одиничне коло (рис.3).

Рис.3. Одиничне коло

Нехай х– радіальний захід центрального кута МОА(), тоді ОА = R= 1, МК= sin x, AT= tg x. Порівнюючи площі трикутників ОМА, ОТАта сектора ОМА, Отримаємо:

Розділимо останню нерівність на sin x, Отримаємо:

Так як при , то за якістю 5) меж

Звідки і обернена величина при тому, що й потрібно було довести.

Примітка:Якщо функція є дуже малою при , тобто. , то перша чудова межа має вигляд:

Розглянемо приклади обчислень меж з використанням першої чудової межі.

При обчисленні цієї межі використовували тригонометричну формулу: .

Розглянемо приклади обчислень меж з використанням другої чудової межі.

2) .

3) . Має місце невизначеність типу. Зробимо заміну, тоді; при .

Нескінченно малі функції

Функцію %%f(x)%% називають нескінченно малою(б.м.) при %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, якщо при цьому прагненні аргументу межа функції дорівнює нулю.

Поняття б. функції нерозривно пов'язане із зазначенням про зміну її аргументу. Можна говорити про б. функції при %%a \to a + 0%% і при %%a \to a - 0%%. Зазвичай б.м. функції позначають першими літерами грецького алфавіту %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%

Приклади

Функція %%f(x) = x%% є б. при %%x \to 0%%, оскільки її межа в точці %%a = 0%% дорівнює нулю. Відповідно до теореми про зв'язок двосторонньої межі з односторонніми ця функція - б.м. як при %%x \to +0%%, так і при %%x \to -0%%.
Функція %%f(x) = 1/(x^2)%% - б.м. при %%x \to \infty%% (а також при %%x \to +\infty%% і при %%x \to -\infty%%).

Відмінне від нуля постійне число, хоч би як воно мало за абсолютним значенням, не є б.м. функцією. Для постійних чисел виняток становить лише нуль, оскільки функція %%f(x) \equiv 0%% має нульову межу.

Теорема

Функція %%f(x)%% має в точці %%a \in \overline(\mathbb(R))%% розширеної числової прямої кінцеву межу, що дорівнює числу %%b%%, тоді і тільки тоді, коли ця функція дорівнює сумі цього числа %%b%% та б.м. функції %%\alpha(x)%% при %%x \to a%%, або $$ \exists~\lim\limits_(x \to a)(f(x)) = b \in \mathbb(R ) \Leftrightarrow \left(f(x) = b + \alpha(x)\right) \land \left(\lim\limits_(x \to a)(\alpha(x) = 0)\right). $$

Властивості нескінченно малих функцій

За правилами граничного переходу при %c_k = 1~ \forall k = \overline(1, m), m \in \mathbb(N)%%, слідують твердження:

Сума кінцевого числа б. функцій при %%x \to a%% є б.м. при %%x \to a%%.
Добуток будь-якого числа б.м. функцій при %%x \to a%% є б.м. при %%x \to a%%.

Добуток б.м. функцій при %%x \to a%% і функції, обмеженої в деякому проколоті околиці %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% точки а, є б.м. при %%x \to a%% функція.

Зрозуміло, що твір постійної функціїта б.м. при %%x \to a%% є б.м. функція при %%x \to a%%.

Еквівалентні нескінченно малі функції

Нескінченно малі функції %%\alpha(x), \beta(x)%% при %%x \to a%% називаються еквівалентнимиі пишуться %%\alpha(x) \sim \beta(x)%%, якщо

$$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\limits_(x \to a)(\frac(\beta(x)) )(\alpha(x))) = 1. $$

Теормема про заміну б.м. функцій еквівалентними

Нехай %%\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% - б.м. функції при %%x \to a%%, причому %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, тоді $$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\ limits_(x \to a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

Еквівалентні б.м. функції.

Нехай %%\alpha(x)%% - б.м. функція при %%x \to a%%, тоді

%%\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
%%\displaystyle 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
%%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
%%\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
%%\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
%%\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
%%\displaystyle\sqrt[n](1 + \alpha(x)) - 1 \sim \frac(\alpha(x))(n)%%
%%\displaystyle a^(\alpha(x)) - 1 \sim \alpha(x) \ln(a)%%

приклад

$$ \begin(array)(ll) \lim\limits_(x \to 0)( \frac(\ln\cos x)(\sqrt(1 + x^2) - 1)) & = \lim\limits_ (x \to 0)(\frac(\ln(1 + (\cos x - 1)))(\frac(x^2)(4))) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(\frac(4(\cos x - 1))(x^2)) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(-\frac(4 x^2)(2 x^ 2)) = -2 \end(array) $$

Нескінченно великі функції

Функцію %%f(x)%% називають нескінченно великий(б.б.) при %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, якщо при цьому прагненні аргументу функція має нескінченну межу.

Подібно до б.м. функцій поняття б.б. функції нерозривно пов'язане із зазначенням про зміну її аргументу. Можна говорити про б.б. функції при %%x \to a + 0%% і %%x \to a - 0%%. Термін "нескінченно велика" говорить не про абсолютне значення функції, а про характер його зміни в околиці цієї точки. Ніяке постійне число, хоч би велике воно не було за абсолютним значенням, не є нескінченно великим.

Приклади

Функція %%f(x) = 1/x%% - б.б. при %%x до 0%%.
Функція %%f(x) = x%% - б.б. при %%x \to \infty%%.

Якщо виконані умови визначень $$ \begin(array)(l) \lim\limits_(x \to a)(f(x)) = +\infty, \\ \lim\limits_(x \to a)(f( x)) = -\infty, \end(array) $$

то говорять про позитивноюабо негативноюб.б. при %%a%% функції.

приклад

Функція %%1/(x^2)%% - позитивна б.б. при %%x \0%%.

Зв'язок між б.б. та б.м. функціями

Якщо %%f(x)%% - б.б. при %%x \to a%% функція, то %%/f(x)%% - б.м.

при %%x \to a%%. Якщо %% \ alpha (x) %% - б.м. при %%x \to a%% функція, відмінна від нуля в деякому проколоті околиці точки %%a%%, то %%1/\alpha(x)%% - б.б. при %%x \to a%%.

Властивості нескінченно великих функцій

Наведемо кілька властивостей б.б. функцій. Ці властивості безпосередньо випливають із визначення б.б. функції та властивостей функцій, що мають кінцеві межі, а також з теореми про зв'язок між б.б. та б.м. функціями.

Добуток кінцевого числа б.б. функцій при %%x \to a%% є б.б. функція при %%x \to a%%. Справді, якщо %%f_k(x), k = overline(1, n)%% — б.б. функції при %%x \to a%%, то в деякому проколоті околиці точки %%a%% %%f_k(x) \ne 0%%, і з теореми про зв'язок б.б. та б.м.функцій %%1/f_k(x)%% - б.м. функція при %%x \to a%%. Виходить %%\displaystyle\prod^(n)_(k = 1) 1/f_k(x)%% - б.м функція при %%x \to a%%, а %%\displaystyle\prod^(n )_(k = 1) f_k(x)%% - б.б. функція при %%x \to a%%.
Добуток б.б. функції при %%x \to a%% та функції, яка в деякому проколотом околиці точки %%a%% за абсолютним значенням більша за позитивну постійну, є б.б. функція при %%x \to a%%. Зокрема, твір б.б. функції при %%x \to a%% та функції, що має в точці %%a%% кінцеву ненульову межу, буде б.б. функцією при %%x \to a%%.

Сума обмеженої в деякому проколоті околиці точки %%a%% функції і б.б. функції при %%x \to a%% є б.б. функція при %%x \to a%%.

Наприклад, функції %%x - \sin x%% та %%x + \cos x%% - б.б. при %%x \to \infty%%.

Сума двох б.б. функцій при %%x \to a%% є невизначеність. Залежно від знака доданків характер зміни такої суми може бути різним.

приклад
Нехай дані функції %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%% - б.б. функції при %%x \to \infty%%. Тоді:
- %f(x) + g(x) = 3x%% - б.б. функція при %%x \to \infty%%;
- %%f(x) + h(x) = 0%% - б.м. функція при %%x \to \infty%%;
- %%h(x) + v(x) = \sin x%% не має межі при %%x \to \infty%%.

БЕЗКІЙНО МАЛІ ФУНКЦІЇ ТА ЇХ ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ

Функція y=f(x)називається нескінченно малоюпри x→aабо при x→∞, якщо або , тобто. нескінченно мала функція– це функція, межа якої у цій точці дорівнює нулю.

приклади.

Встановимо наступне важливе співвідношення:

Теорема.Якщо функція y=f(x)представима при x→aу вигляді суми постійного числа bта нескінченно малої величини α(x): f(x)=b+ α(x)те.

Назад, якщо , то f(x)=b+α(x), де a(x)- нескінченно мала при x→a.

Доказ.

Розглянемо основні властивості нескінченно малих функцій.

Теорема 1.Алгебраїчна сума двох, трьох і взагалі будь-якого кінцевого числа нескінченно малих є функція нескінченно мала.

Доказ. Наведемо доказ для двох доданків. Нехай f(x)=α(x)+β(x), де та . Нам потрібно довести, що при довільному як завгодно малому? > 0 знайдеться δ> 0, таке, що для x, що задовольняють нерівності | x – a |<δ , виконується |f(x)|< ε.

Отже, зафіксуємо довільне число ε > 0. Оскільки за умовою теореми α(x)- нескінченно мала функція, то знайдеться таке? > 0, що за | x – a |< δ 1 маємо |α(x)|< ε / 2. Аналогічно, оскільки β(x)- нескінченно мала, то знайдеться таке δ 2 > 0, що за | x – a |< δ 2 маємо | β(x)|< ε / 2.

Візьмемо δ=min(δ 1 , δ 2 } . Тоді на околиці точки aрадіусу δ виконуватиметься кожна з нерівностей |α(x)|< ε / 2 та | β(x)|< ε / 2. Отже, в цій околиці буде

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

тобто. |f(x)|< ε, що потрібно було довести.

Теорема 2.Добуток нескінченно малої функції a(x)на обмежену функцію f(x)при x→a(або при x→∞) є нескінченно мала функція.

Доказ. Оскільки функція f(x)обмежена, то існує кількість Мтаке, що за всіх значень xз деякої околиці точки a|f(x)|≤M.Крім того, оскільки a(x)- нескінченно мала функція при x→a, то для довільного ε > 0 знайдеться околиця точки a, в якій виконуватиметься нерівність |α(x)|< ε /M. Тоді в меншому з цих околиць маємо | αf|< ε /M= ε. А це означає, що af– нескінченно мала. Для випадку x→∞Доказ проводиться аналогічно.

З доведеної теореми випливають:

Наслідок 1.Якщо і, то.

Наслідок 2.Якщо і c= const, то .

Теорема 3.Відношення нескінченно малої функції α(x)на функцію f(x), межа якої відмінна від нуля, є нескінченно мала функція.

Доказ. Нехай . Тоді 1 /f(x)є обмежена функція. Тому дріб є твір нескінченно мінімальної функції на функцію обмежену, тобто. функція нескінченно мала.

Співвідношення між нескінченно малими і нескінченно великими функціями

Теорема 1.Якщо функція f(x)є нескінченно великий при x→a, то функція 1 /f(x)є нескінченно малою при x→a.

Доказ.Візьмемо довільне число ε >0 і покажемо, що за деякого δ>0 (залежним від ε) при всіх x, для яких | x – a |<δ , виконується нерівність , і це означатиме, що 1/f(x)- Безмежно мала функція. Справді, оскільки f(x)- нескінченно велика функція при x→a, то знайдеться δ>0 таке, що як тільки | x – a |<δ , так | f(x)|> 1/ ε. Але тоді для тих самих x.

приклади.

Можна довести і зворотну теорему.

Теорема 2.Якщо функція f(x)- нескінченно мала при x→a(або x→∞)і не звертається в нуль, то y= 1/f(x)є нескінченно великою функцією.

Доказ теореми проведіть самостійно.

приклади.

Таким чином, найпростіші властивості нескінченно малих і нескінченно великих функцій можна записати за допомогою наступних умовних співвідношень: A≠ 0

ТЕОРЕМИ ПРО МЕЖІ

Теорема 1.Межа алгебраїчної суми двох, трьох і взагалі певної кількості функцій дорівнює сумі алгебри меж цих функцій, тобто.

Доказ. Проведемо доказ для двох доданків, тому що для будь-якої кількості доданків воно проводиться так само. Нехай . Тоді f(x)=b+α(x)і g(x)=c+β(x), де α і β – нескінченно малі функції. Отже,

f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)).

Бо b + cє постійна величина, а α(x) + β(x)- функція нескінченно мала, то

приклад. .

Теорема 2.Межа твору двох, трьох і взагалі кінцевого числа функцій дорівнює творумеж цих функцій:

Доказ. Нехай . Отже, f(x)=b+α(x)і g(x)=c+β(x)і

fg = (b + α) (c + β) = BC + (bβ + cα + αβ).

Твір bcє постійна величина. Функція bβ + c α + αβна підставі властивостей нескінченно малих функцій є величина нескінченно мала. Тому.

Наслідок 1.Постійний множник можна виносити за знак межі:

Наслідок 2.Межа ступеня дорівнює ступеню межі:

приклад..

Теорема 3.Межа приватного двох функцій дорівнює приватному меж цих функцій, якщо межа знаменника відмінний від нуля, тобто.

Доказ. Нехай. Отже, f(x)=b+α(x)і g(x)=c+β(x), де α, β – нескінченно малі. Розглянемо приватне

Дроб є нескінченно малою функцією, тому що чисельник є нескінченно мала функція, а знаменник має межу c 2 ≠0.

приклади.

Теорема 4.Нехай дані три функції f(x), u(x)і v(x), що задовольняють нерівностям u (x)≤f(x)≤ v(x). Якщо функції u(x)і v(x)мають одну і ту ж межу при x→a(або x→∞), то й функція f(x)прагне ще межі, тобто. якщо

, то.

Сенс цієї теореми зрозумілий із малюнка.

Доказ теореми 4 можна знайти, наприклад, у підручнику: Піскунов Н. С. Диференційне та інтегральне обчислення, Т. 1 - М.: Наука, 1985.

Теорема 5.Якщо при x→a(або x→∞) функція y=f(x)набуває невід'ємних значень y≥0і при цьому прагне до межі b, то ця межа не може бути негативною: b≥0.

Доказ. Доказ проведемо шляхом протилежного. Припустимо, що b<0 тоді |y - b|≥|b|і, отже, модуль різниці не прагне до нуля при x→a. Але тоді yне прагне до межі bпри x→aщо суперечить умові теореми.

Теорема 6.Якщо дві функції f(x)і g(x)при всіх значеннях аргументу xзадовольняють нерівності f(x)≥ g(x)і мають межі, то має місце нерівність b≥c.

Доказ.За умовою теореми f(x)-g(x) ≥0, отже, з теореми 5 , або .

ОДНОСТОРІННІ МЕЖІ

Досі ми розглядали визначення межі функції, коли x→aдовільним чином, тобто. межа функції не залежала від того, як розташовувалося xпо відношенню до a, ліворуч або праворуч a. Однак, досить часто можна зустріти функції, які не мають межі за цієї умови, але вони мають межу, якщо x→a, залишаючись з одного боку від а, ліворуч або праворуч (див. рис.). Тому запроваджують поняття односторонніх меж.

Якщо f(x)прагне до межі bпри xщо прагне до деякого числа aтак, що xприймає лише значення, менші a, то пишуть і називають bмежою функції f(x) у точці a зліва.