Найти длину арки циклоиды. Параметрическое уравнение циклоиды и уравнение в декартовых координатах. по математическому анализу на тему

(в переводе с греч. кругообразный ) – плоская трансцендентная кривая, которую описывает точка окружности радиуса r , катящейся по прямой без скольжения (трансцендентной кривой называется кривая, которая в прямоугольных координатах не может быть описана алгебраическим уравнением). Ее параметрическое уравнение

x = rt – r sin t ,
y = r – r cos t

Точки пересечения циклоиды с прямой, по которой катится окружность (эта окружность называется производящей, а прямая, по которой она катится, – направляющей), называются точками возврата, а самые высокие точки на циклоиде, расположенные посредине между соседними точками возврата, называются вершинами циклоиды.

Первым изучать циклоиду начал Галилео Галилей . Длина одной арки циклоиды была определена в 1658 английским архитектором и математиком Кристофером Реном , автором проекта и строителем купола собора Святого Павла в Лондоне. Оказалось, что длина циклоиды равна 8-ми радиусам производящей окружности.
Одно из замечательных свойств циклоиды, давшее ей название – брахистохрона (от греческих слов «кратчайший» и «время) связано с решением задачи о наискорейшем спуске. Встал вопрос, какую форму надо придать хорошо отшлифованному (чтобы практически исключить трение) желобу, соединяющему две точки, чтобы шарик скатился вниз от одной точки к другой в кратчайшее время. Братья Бернулли доказали, что желоб должен иметь форму опрокинутой вниз циклоиды.

Родственные циклоиде кривые можно получить, рассматривая траектории точек, не находящихся на производящей окружности.

Пусть точка С 0 находится внутри окружности. Если провести через С 0 вспомогательную окружность с тем же центром, что и у производящей окружности, то при качении производящей окружности по прямой АВ маленькая окружность будет катиться по прямой A ´В ´, но ее качение будет сопровождаться скольжением, и точка С 0 описывает кривую, называемую укороченной циклоидой.

Аналогичным образом определяется удлиненная циклоида – это траектория точки, расположенной на продолжении радиуса производящей окружности, при этом качение сопровождается скольжением в противоположном направлении.

Циклоидальные кривые применяются при многих технических расчетах и свойства их используются, например, при построении профилей зубьев шестерен, в циклоидальных маятниках, в оптике и, таким образом, изучение этих кривых важно с прикладной точки зрения. Не менее важно и то, что, изучая эти кривые и их свойства, ученые 17 в. разрабатывали приемы, которые привели к созданию дифференциального и интегрального исчислений, а задача о брахистохроне явилась шагом к изобретению вариационного исчисления.

Елена Малишевская

Длина дуги циклоиды впервые была вычислена английским архитектором и математиком Реном в 1658 году. Рен исходил из механических соображений, напоминающих первые работы Торричелли и Роберваля. Он рассматривал поворот катящегося круга на весьма малый угол около «нижней» точки производящей окружности. Чтобы придать наводящим соображениям Рена доказательную силу, пришлось бы рассмотреть целый ряд вспомогательных теорем, соответственно пришлось бы затратить слишком много труда.

Гораздо удобнее воспользоваться более длинным, но пологим путем. Для этого нужно рассмотреть особую кривую, которая есть у каждой пологой кривой - ее развёрткой.

Рассмотрим выпуклую дугу АВ кривой линии (рис. 4.1). Представим себе, что к дуге АВ в точке А прикреплена гибкая нерастяжимая нить такой же длины, как сама дуга АВ, причем эта нить «навёрнута» на кривую и плотно к ней прилегает, так что её конец совпадает с точкой В. Будем «развертывать» -- распрямлять нить, держа ее натянутой, так что свободная часть СМ нити будет все время направлена по касательной к дуге АВ. При этих условиях конец нити опишет некоторую кривую. Вот эта-то кривая и называется разверткой или, по-латыни, эвольвентой исходной кривой.

Если дуга кривой не всюду выпукла в одну сторону, если она, подобно кривой АВ на рис. 4.2, имеет точку С, в которой касательная к кривой переходит с одной ее стороны на другую (такая точка называется точкой перегиба), то и в этом случае можно говорить о развертке кривой, но рассуждения придется немного усложнить.

Представим себе, что нить закреплена как раз в точке перегиба С (рис. 4.2). Нить, сматываясь с дуги ВС, опишет кривую ВМР -- развертку.

Теперь представим себе нить, намотанную на дугу АС исходной кривой, но эта нить уже удлиненная: в точке С к ней привязан кусочек нити СР. Сматывая удлиненную нить АСР с кривой СА, мы получим дугу РНК, образующую вместе с дугой ВМР единую непрерывную кривую -- непрерывную, но не везде плавную: точке прогиба С исходной кривой будет соответствовать острие (точка возврата) кривой ВМРНК: кривая ВМРНК и будет эвольвентой (разверткой) кривой ВСА.

Эти примеры помогли нам привыкнуть к новым понятиям эволюты и эвольвенты. Теперь займёмся исследованием разверток циклоидальных кривых.

Изучая ту или иную кривую, мы нередко строили вспомогательную кривую -- «спутницу» данной кривой. Так, мы стоили синусоиду -- спутницу циклоиды. Теперь, исходя из данной циклоиды, мы постоим неразрывно связанную с ней вспомогательную циклоиду же. Оказывается, совместное изучение такой пары циклоид в некоторых отношениях проще, чем изучение одной отдельно взятой циклоиды. Такую вспомогательную циклоиду мы будем называть сопровождающей циклоидой.

Рассмотрим половину арки циклоиды АМВ (рис. 4.3). Нас не должно смущать, что циклоида эта расположена непривычным образом («вверх ногами»). Проведем 4 прямые, параллельные направляющей прямой АК на расстояниях a , 2a , 3a и 4a . Построим производящий круг в положении, соответствующем точке М (на рис. 4.3 центр этого круга обозначен буквою О). Угол поворота МОН обозначим через ц. Тогда отрезок АН будет равен бц (угол ц выражен в радианах).

Диаметр НТ производящего круга продолжим за точку Т до пересечения (в точке Е) с прямой РР. На ТЕ как на диаметре построим окружность (с центром О 1). Построим касательную в точке М к циклоиде АМВ. Для этого точку М нужно, как мы знаем, соединить с точкой Т. Продолжим касательную МТ за точку Т до пересечения со вспомогательной окружностью, и точку пересечения назовем М 1 . Вот этой-то точкой М 1 мы и хотим теперь заняться.

Угол МОН мы обозначили через ц. Поэтому угол МТН будет равняться (вписанный угол, опирающийся на ту же дугу). Треугольник ТО 1 М 1 , очевидно, равнобедренный. Поэтому не только угол О 1 ТМ 1 , но и угол ТМ 1 О 1 будут каждый равняться. Таким образом, на долю угла ТО 1 М 1 в треугольнике ТО 1 М 1 остается ровно р - ц радианов (вспомним, что угол 180? равен р радианов). Заметим еще, что отрезок НК равен, очевидно, б (р - ц).

Рассмотрим теперь окружности с центром О 2 , изображенную на рис.4.3 штриховой линией. Из чертежа ясно, чтом это за окружность. Если катить ее без скольжения по прямой СВ, то её точка В опишет циклоиду ВВ. Когда штриховой круг повернется на угол р -- ц, центр О 2 придет в точку О 1 , а радиус О 2 В займет положение О 1 М 1 . Таким образом, построенная нами точка М 1 оказывается точкою циклоиды ВВ.

Описанное построение ставит в соответствие каждой точке М циклоиды АМВ точку М 1 циклоиды ВМ 1 В. На рис. 4.4 это соответствие показано более наглядно. Полученная таким путем циклоида называется сопровождающей. На рис. 4.3 и 4.4 циклоиды, изображенные жирными штриховыми линиями, являются сопровождающими по отношению к циклоидам, изображенными жирными сплошными линиями.

Из рис. 4.3 видно, что прямая ММ 1 является нормалью в точке М 1 к сопровождающей циклоиде. Действительно, эта прямая проходит через точку М 1 циклоиды и через точку Т касания производящего круга и направляющей прямой («наинизшую» точку производящего круга, как мы говорили когда-то; теперь она оказалась «наивысшей», потому что чертеж повернут). Но эта же прямая, по построению, является касательной к «основанию» циклоиде АМВ. Таким образом, исходная циклоида касается каждой нормали сопровождающей циклоиды. Она является огибающей для нормалей сопровождающей циклоиды, т.е. ее эволютой. А «сопровождающая» циклоида оказывается просто-напросто эвольвентой исходной циклоиды!

Занимаясь этим громоздким, но в сущности простым построением, мы доказали замечательную теорему, открытую голландским ученым Гюйгенсом. Вот эта теорема: эволютой циклоиды служит точно такая же циклоида, только сдвинутая .

Построив эволюту не к одной арке, а ко всей циклоиде (что можно, разумеется, сделать только мысленно), затем эволюту к этой эволюте и т.д., получим рис. 4.5, напоминающий черепицу.

Обратим внимание на то, что при доказательстве теоремы Гюйгенса мы не пользовались ни бесконечно малыми, ни неделимыми, ни приблизительными оценками. Даже механикой мы не пользовались, хотя употребляли иногда заимствованные из механики выражения. Доказательство это совершенно в духе тех рассуждений, которыми пользовались ученые XVII века, когда хотели строго обосновать результаты, полученные с помощью различных наводящих соображений.

Из теоремы Гюйгенса получается сразу важное следствие. Рассмотрим отрезок АВ на рис. 4.4. Длина этого отрезка равна, очевидно, 4a . Представим себе теперь, что на дугу АМВ циклоиды намотана нить, закрепленная в точке А и снабженная карандашом в точке В. Если мы будем «сматывать» нить, то карандаш будет двигаться по развертке циклоиды АМВ, т.е. по циклоиде ВМ 1 В. Длина нити, равная длине полуарки циклоиды, будет, очевидно, равна отрезку АВ, т.е., как мы видели, 4a . Следовательно, длина L всей арки циклоиды будет равна 8a , и формулу L=8a можно считать теперь достаточно строго доказанной.

Вычислим длину дуги при помощи дифференциальной геометрии. Решение, полученное таким способом получится куда короче и легче:

где t?

| r(t)| ===2sin

Разобранные примеры помогли нам привыкнуть к новым понятиям эволюты и эвольвенты. Теперь мы достаточно подготовлены, чтобы заняться исследованием разверток циклоидальных кривых.

Изучая ту или иную кривую, мы нередко строили вспомогательную кривую - «спутницу» данной кривой.

Рис. 89. Циклоида и ее сопровождающая.

Так, мы строили конхоиды прямой и окружности, развертку окружности, синусоиду - спутницу циклоиды. Теперь, исходя из данной циклоиды, мы построим неразрывно связанную с ней вспомогательную циклоиду же. Оказывается, совместное изучение такой пары циклоид в некоторых отношениях проще, чем изучение одной отдельно взятой циклоиды. Такую вспомогательную циклоиду мы будем называть сопровождающей циклоидой.

Рассмотрим половину арки циклоиды АМВ (рис. 89). Нас не должно смущать, что циклоида эта расположена непривычным образом («вверх ногами»).

Проведем 4 прямые, параллельные направляющей прямой АК на расстояниях а, 2а, 3а и 4а. Построим производящий крут в положении, соответствующем точке М (на рис. 89 центр этого круга обозначен буквою О). Угол поворота МОН обозначим через . Тогда отрезок АН будет равен (угол выражен в радианах).

Диаметр НТ производящего круга продолжим за точку Т до пересечения (в точке Е) с прямой РР. На ТЕ как на диаметре построим окружность (с центром ). Построим касательную в точке М к циклоиде АМВ. Для этого точку М нужно, как мы знаем, соединить с точкой Т (стр. 23). Продолжим касательную МТ за точку Т до пересечения со вспомогательной окружностью, и точку пересечения назовем . Вот этой-то точкою мы и хотим теперь заняться.

Угол МОН мы обозначили через Поэтому угол МТН будет равняться (вписанный угол, опирающийся на ту же дугу). Треугольник очевидно, равнобедренный. Поэтому не только угол но и угол будут каждый равняться Таким образом, на долю угла в треугольнике остается ровно радианов (вспомним, что угол 180° равен радианов). Заметим еще, что отрезок НК равен, очевидно, а ().

Рассмотрим теперь окружность с центром , изображенную на рис. 89 штриховой линией. Из чертежа ясно, что это за окружность. Если катить ее без сколь-" жения по прямой СВ, то её точка В опишет циклоиду ВВ. Когда штриховой круг повернется на угол , центр придет в точку , а радиус займет положение Таким образом, построенная нами точка оказывается точкою циклоиды ВВ,

Описанное построение ставит в соответствие каждой точке М циклоиды АМВ точку циклоиды На рис. 90 это соответствие показано более наглядно. Полученная таким путем циклоида и называется сопровождающей. На рис. 89 и 90 циклоиды, изображенные жирными штриховыми линиями, являются сопровождающими по отношению к циклоидам, изображенным жирными сплошными линиями.

Из рис. 89 видно, что прямая является нормалью в точке к сопровождающей циклоиде. Действительно, эта прямая проходит через точку циклоиды и через точку Т касания производящего круга и направляющей прямой («наинизшую» точку производящего круга, как мы говорили когда-то; теперь она оказалась «наивысшей», потому что чертеж повернут).

Но эта же прямая, по построению, является касательной к «основной» циклоиде АМВ. Таким образом, исходная циклоида касается каждой нормали сопровождающей циклоиды. Она является огибающей для нормалей сопровождающей циклоиды, т. е. ее эволютой. А «сопровождающая» циклоида оказывается просто напросто эвольвентой (разверткой) исходной циклоиды!

Рис. 91 Соответствие между точками циклоиды и ее сопровождающей.

Занимаясь этим громоздким, но в сущности простым построением, мы доказали замечательную теорему, открытую голландским ученым Гюйгенсом. Вот эта теорема: эволютой циклоиды служит точно такая же циклоида, только сдвинутая.

Построив эволюту не к одной арке, а ко всей циклоиде (что можно, разумеется, сделать только мысленно), зятем эволюту к этой эволюте и т. д., получим рис. 91, напоминающий черепицу.

Обратим внимание на то, что при доказательстве теоремы Гюйгенса мы не пользовались ни бесконечно малыми, ни неделимыми, ни приблизительными оценками. Даже механикой мы не пользовались, хогя употребляли иногда заимствованные из механики выражения. Доказательство это совершенно в духе тех рассуждений, которыми пользовались ученые XVII века, когда хотели строго обосновать результаты, полученные с помощью различных наводящих соображений.

Из теоремы Гюйгенса получается сразу важное следствие. Рассмотрим отрезок АВ на рис. 89. Длина этого отрезка равна, очевидно, 4а. Представим себе теперь, что на дугу АМВ циклоиды намотана нить, закрепленная в точке А и снабженная карандашом в точке В. Если мы будем «сматывать» нить, то карандаш будет двигаться по развертке циклоиды АМВ, т. е. по циклоиде ВМВ.

Рис. 91 Последовательные эволюты циклоиды.

Длина нити, равная длине полуарки циклоиды, будет, очевидно, равна отрезку АВ, т. е., как мы видели, 4а. Следовательно, длина всей арки циклоиды будет равна 8а, и формулу можно считать теперь достаточно строго доказанной.

Из рис. 89 можно увидеть больше: формулу не только для длины всей арки циклоиды, но и для длины любой ее дуги. Действительно, очевидно, что длина дуги MB равна длине отрезка , т. е. удвоенному отрезку касательной в соответствующей точке циклоиды, заключенному внутри производящего крута.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Учреждение образования

«Белорусский государственный педагогический

университет имени Максима Танка»

Физико-математический факультет

Кафедра математики и методики преподавания математики

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ

«ЦИКЛОИДА»

Минск, 2016

циклоида арка таутохронный маятник

Введение
1. Основные свойства циклоиды
2. Геометрическое определение циклоиды
3. Площадь арки циклоиды
4. Длина дуги арки циклоиды
5. Объём тела, полученного вращением арки циклоиды
6. Наилучший маятник
Заключение
Список используемой литературы

ВВЕДЕНИЕ

Тема моей курсовой работы - циклоида. Эта кривая замечательная во многих отношениях. Она - и след точки обода катящегося колеса, она же кривая колебаний постоянного периода, она же кривая быстрейшего спуска. В наше время циклоидальные кривые применяются при многих технических расчетах, и знание этих кривых облегчает изучение деталей машин. Не вдаваясь в подробности, упомянем, что свойствами циклоидальных кривых пользуются при построении профилей зубьев шестерен и во многих других технических вопросах. Даже с чисто прикладной точки зрения кривые эти заслуживают самого серьезного внимания. Поэтому я посчитала данную тему актуальной и интересной для изучения.

Какие же задачи возникают при изучении циклоиды? Прежде всего, нужно дать ей чисто геометрическое определение, независимое от механики. Далее нужно изучить ее свойства, рассмотреть касательную, вычислить площадь, ограниченную аркой циклоиды и ее основанием, длину дуги, объем тела, образованного вращением арки циклоиды вокруг направляющей прямой.

В курсовой работе подробно будет рассмотрено таутохронное свойство циклоиды и применение его для создания наилучшего маятника. Значение маятниковых часов нельзя преуменьшить, так как они вплоть до недавнего времени выполняли роль точнейших часов, обеспечивающих службу времени в астрономических обсерваториях.

Еще одной заслугой циклоиды, которую нельзя не отметить, является то, что ей пользовались учёные при разработке приёмов исследования кривых линий, которые привели к изобретению дифференциального и интегрального исчислений. В своей работе я предлагаю сравнить вычисление длины дуги арки циклоиды, площади поверхности под аркой и объёмы тел, образованных вращением арки циклоиды до появления интегрального исчисления, длинных и не всегда абсолютно строгих, и с использованием интегрирования.

Цель работы: изучение материала по теме «Циклоида»; изучение особенностей наилучшего маятника; сравнение исследования кривых линий до и после появления интегрального исчисления, вычисление длины дуги арки циклоиды, площади поверхности под аркой и объёмы тел, образованных вращением арки циклоиды.

1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЦИКЛОИДЫ

Для начала необходимо выяснить, какая же кривая называется циклоидой.

Рассмотрим круг радиуса a с центром в точке А. Пусть рассматриваемый круг катится без скольжения вдоль оси ОХ. Кривая, описываемая при этом любой точкой окружности, называется циклоидой .

Это определение циклоиды никогда не удовлетворяло ученых: ведь оно опирается на механические понятия -- скорости, сложения движений и т. д. Поэтому геометры всегда стремились дать циклоиде «чисто геометрическое определение» Но для того, чтобы дать такое определение, нужно прежде всего изучить основные свойства циклоиды, пользуясь ее механическим определением. Выбрав наиболее простое и характерное из этих свойств, можно положить его в основу геометрического определения.

Начнем с изучения касательной и нормали к циклоиде. Что такое касательная к кривой линии, каждый представляет себе достаточно ясно; поэтому его приводить здесь не будем. Нормалью называется перпендикуляр к касательной, восставленный в точке касания. На рис. 1.1 изображена касательная и нормаль к кривой АВ в ее точке М.

Рассмотрим циклоиду (рис.1.2). Круг катится по прямой АВ. Допустим, что вертикальный радиус круга, проходивший в начальный момент через нижнюю точку циклоиды, успел повернуться на угол ц и занял положение ОМ. Иными словами, мы считаем, что отрезок М о Т составляет такую долю отрезка М о М 1 , какую угол ц составляет от полного оборота. При этом точка М 0 пришла в точку М.

Точка М и есть интересующая нас точка циклоиды.

Стрелочка OH изображает скорость движения центра катящегося круга. Такой же горизонтальной скоростью обладают все точки круга, в том числе и точка М. Но, кроме того, точка М принимает участие во вращении круга. Скорость МС, которую точка М на окружности получает при этом вращении, направлена по касательной МС 1 к окружности, т. е. перпендикулярно к радиусу ОМ. А т.к. в этом случае скорость МС по величине равна скорости MP (т. е. скорости ОН). Поэтому параллелограмм скоростей в случае нашего движения будет ромбом (ромб МСКР на рис. 1.2). Диагональ МК этого ромба как раз и даст нам касательную к циклоиде.

Все сказанное дает возможность решить следующую задачу на построение: дана направляющая прямая АВ циклоиды, радиус r производящего круга и точка М, принадлежащая циклоиде (рис. 1.2). Требуется построить касательную МК к циклоиде.

Имея точку М, мы без труда строим производящий круг, в том его положении, когда точка на окружности попадает в М. Для этого предварительно найдем центр О при помощи радиуса МО = r (точка О должка лежать на прямой, параллельной АВ, на расстоянии r от нее). Затем строим отрезок MP произвольной длины, параллельный направляющей прямой. Далее строим прямую МС 1 , перпендикулярную к ОМ . На этой прямой откладываем от точки М отрезок МС, равный MP. На МС и MP, как на сторонах, строим ромб. Диагональ этого ромба и будет касательной к циклоиде в точке М.

Это построение -- чисто геометрическое, хотя получили мы его, используя понятия механики. Теперь мы можем проститься с механикой и дальнейшие следствия получать без ее помощи. Начнем с простой теоремы.

Теорема 1 . Угол между касательной к циклоиде (в произвольной точке) и направляющей прямой равен дополнению до 90° половины угла поворота радиуса производящего круга.

Иными словами, на рис. 1.2

? KLT равен или

Это равенство мы теперь докажем. Для сокращения речи условимся угол ц поворота радиуса производящего круга называть «основным углом». Значит, угол МОТ на рис. 1.2 -- основной угол. Будем считать основной угол острым. Для случая, когда катящийся круг сделает больше четверти полного оборота, доказательство будет аналогично.

Рассмотрим угол СМР. Сторона СМ перпендикулярна ОМ (касательная к окружности перпендикулярна радиусу). Сторона MP (горизонталь) перпендикулярна к ОТ (к вертикали). Но угол МОP, по условию, острый, а угол СМР -- тупой. Значит, углы МОТ и СМР составляют в сумме 180° (углы со взаимно перпендикулярными сторонами, из которых один острый, а другой -- тупой).

Итак, угол CMP равен 180° -ц. Но, как известно, диагональ ромба делит угол при вершине пополам. Следовательно, уго

КМР = 90° -,

что и требовалось доказать.

Обратим теперь внимание на нормаль к циклоиде. Изобразим левую часть рис. 1.2 крупнее, причем проведем нормаль ME (ME ? МК; рис. 1.3).

Из рис. 1.3 следует, что угол ЕМР равен разности углов КМЕ и КМР , т.е. равен 90° - ? KMP .

Но мы только что доказали, что сам угол КМР равен 90° -

Таким образом, получаем:

? РМЕ = 90° - ? КМР = 90° - (90° -) =

Мы доказали простую, но полезную теорему. Дадим ее формулировку:

Теорема 2. Угол между нормалью к циклоиде (в любой ее точке) и направляющей прямой равен половине «основного угла».

Соединим» точкой (Т) производящего круга теперь точку М («текущую» точку циклоиды) с «нижней (с точкой касания производящего круга и направляющей прямой -- рис. 1.3). Треугольник МОТ, очевидно, равнобедренный (ОМ и ОТ -- радиусы производящего круга). Сумма углов при основании этого треугольника равна 180° - ц, а каждый из углов при основании -- половике этой суммы. Итак, ? OMT = 90° - .

Обратим внимание на угол РМТ. Он равен разности углов ОМТ и ОМР . Мы видели сейчас, что ? OMT равен 90° - ; что касается угла ОМР, то нетрудно выяснить, чему он равен. Ведь угол ОМР равен углу DOM (внутренние накрестлежащие углы при параллельных).

Непосредственно очевидно, что ? DOM равен 90°- ц. Значит, ? OMP= = 90° - ц. Таким образом, получаем:

РМТ = ? ОМТ - ? ОМР = 90° - - (90° - ц) = .

Получается замечательный результат: угол РМТ оказывается равным углу РМЕ (по теореме 2). Следовательно, прямые ME и МТ сольются! Наш рис. 1.3 сделан не совсем правильно! Правильное расположение линий дано на рис. 1.4.

Сформулируем полученный результат в виде теоремы 3.

Теорема 3 (первое основное свойство циклоиды). Нормаль к циклоиде проходит через «нижнюю» точку производящего круга.

Из этой теоремы получается простое следствие. Угол между касательной и нормалью, по определению, -- прямой. Это угол, вписанный в окружность производящего круга. Поэтому он должен опираться на диаметр круга. Итак, ТТ 1 -- диаметр, и T 1 -- «верхняя» точка производящего круга. Сформулируем полученный результат.

Следствие (второе основное свойство циклоиды). Касательная к циклоиде проходит через «верхнюю» точку производящего круга.

Чтобы объяснить это свойство нам необходимо построить циклоиду.

Построение циклоиды производится в следующей последовательности:

1. На направляющей горизонтальной прямой откладывают отрезок АА 12 , равный длине производящей окружности радиуса r, (2рr);

2. Строят производящую окружность радиуса r, так чтобы направляющая прямая была касательной к неё в точке А;

3. Окружность и отрезок АА 12 делят на несколько равных частей, например на 12;

4. Из точек делений 1 1 , 2 1 , ...12 1 восстанавливают перпендикуляры до пересечения с продолжением горизонтальной оси окружности в точках 0 1 , 0 2 , ...0 12 ;

5. Из точек деления окружности 1, 2, ...12 проводят горизонтальные прямые, на которых делают засечки дугами окружности радиуса r;

6. Полученные точки А 1 , А 2 , ...А 12 принадлежат циклоиде.

На рис. 1.6 основание циклоиды разделено на 6 равных частей;

Чем число делений будет больше, тем, чертеж получится точнее. В каждой точке циклоиды, построенной нами, проведем касательную, соединяя точку кривой с «верхней» точкой производящего круга. На нашем чертеже получилось семь касательных (из них две -- вертикальные). Проводя теперь циклоиду от руки, будем заботиться, чтобы она действительно касалась каждой из этих касательных: это значительно увеличит точность чертежа. При этом сама циклоида будет огибать все эти касательные).

Проведем на том же рис. 1.6 нормали во всех найденных точках циклоиды. Всего будет, не считая направляющей, пять нормалей. Можно построить от руки огибающую этих нормалей. Если бы мы вместо шести взяли 12 или 16 точек деления, то нормалей на чертеже было бы больше, и огибающая наметилась бы ясней. Такая огибающая всех нормалей играет важную роль при изучении свойств любой кривой линии. В случае циклоиды обнаруживается любопытный факт: огибающей нормалей циклоиды служит точно такая же циклоида, только сдвинутая на 2a вниз и на ра вправо. Этот факт характерен именно для циклоиды.

2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦИКЛОИДЫ

Теперь мы дадим определение циклоиды как геометрического места точек, не пользуясь механикой. Проще всего поступить так. Рассмотрим произвольную прямую АВ (будем условно считать ее направление горизонтальным) и на ней точку М 0 . Далее рассмотрим всевозможные круги определенного радиуса, касающиеся этой прямой и расположенные по одну сторону от нее. На каждом круге от точки Т касания его с прямой АВ отложим (в направлении к точке М 0 ) дугу ТМ, по длине равную отрезку М 0 Т. Геометрическое место точек М (взятых на всех упомянутых нами кругах) и будет циклоидой.

Установим еще одно важное свойство циклоиды и попробуем именно его положить в основу изучения этой кривой.

Рассмотрим треугольник МТТ 1 (рис. 2.1), образованный вертикальным диаметром производящего круга, касательной к циклоиде и нормалью к ней.

Угол МТ 1 Т , как вписанный в окружность, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, т. е. равен. Проведем МК||АВ и ME ?АВ. Отрезок МЕ будет играть в дальнейшем значительную роль, поэтому дадим ему имя и обозначение: будем называть его «высотою» точки М циклоиды и обозначать буквою h. Итак, высота точки М циклоиды -- это расстояние ее от направляющей прямой.

Обратим внимание на угол КМТ. Он равен углу МТ 1 Т . Из треугольника ТМТ 1 получаем:

МТ = 2а sin а из треугольника ТКМ:

КТ = МТ sin.

Сопоставляя эти результаты и замечая, что КТ = h, получим окончательно:

h = 2 a sin 2 .

Мы выразили высоту точки М через угол между касательной в точке М и вертикалью (горизонталью мы по-прежнему считаем направление прямой АВ). Теперь выразим синус этого угла через «высоту». Получим, очевидно:

где через k обозначена постоянная для данной циклоиды величина. Полученный результат изложим в теореме.

Теорема 4. Синус угла между касательной к циклоиде в точке М и вертикалью пропорционален квадратному корню из «высоты» точки М.

Этим свойством обладает, очевидно, любая циклоида. Возникает вопрос: в какой мере это свойство характеризует именно циклоиду: будет ли всякая кривая, обладающая этим свойством, непременно циклоидой? Можно доказать, что это будет именно так, -- что верна и следующая (обратная) теорема:

Теорема 5. Если даны прямая АВ и точка М, то единственной кривой, удовлетворяющей условиям теоремы 4 и проходящей через точку М, будет циклоида.

При этом радиус производящего круга этой циклоиды связан с коэффициентом k , о котором говорится в теореме 4, следующим соотношением:.

Стоит также обратить внимание на еще одну замечательную кривую, которую называют спутницей циклоиды.

Рассмотрим циклоиду (рис. 2.2). Из её точки М опустим перпендикуляр на вертикальный диаметр производящего круга. Получим точку Р. Проделаем такое построение для всех без исключения точек циклоиды.

Тогда точка P опишет некоторую кривую. Эта кривая и называется спутницей циклоиды

Рассмотрим циклоиду, точку М на ней и соответствующую точку Р на спутнице (рис. 2.3) Центр производящего круга обозначим буквой Q . Тогда будем иметь:

QP =QM cos?MQP=a cos(180 0 -ц)=-a cosц=-a sin(90 0 -ц)= a sin(ц -90 0).

Начертим геометрическое место центров производящего круга (прямая ХХ 1 ). От точки М 0 отложим по АВ отрезок М 0 K , равный. Проведем KY ? ХХ 1 . Точку пересечения этих прямых обозначим буквой О . Отрезок M 0 R на направляющей прямой от острия циклоиды до точки прикосновения производящего круга равен a ц, где ц -- основной угол MQ R , выраженный в радианах. Отрезок OQ на горизонтальной оси ХХ 1 равен M 0 R - M 0 K =a (ц -), а отрезок QP равен a sin? PMQ, т.е. равен синусу угла (ц -), умноженному на радиус a .

Итак, от точки О по горизонтали откладываются отрезки, равные по длине дугам окружности, а по вертикали линии синусов соответствующих этим дугам углов. Это есть известное нам построение обыкновенной синусоиды.

Значит, спутницей циклоиды называют синусоиду.

Не будем углубляться в изучение свойств этой поистине замечательной кривой, отметим как факт только, что площадь, ограниченная спутницей одной арки циклоиды и её основанием, равна удвоенной площади производящего круга.

3. ПЛОЩАДЬ АРКИ ЦИКЛОИДЫ

Первое упоминание о вычислении площади, заключённой между аркой циклоиды и её основанием, имеется в трудах Вивиани и Торричелли. Они при этом пользовались особым приёмом, который назывался «способом неделимых». Этот способ состоит в том, что криволинейную фигуру разбивают на бесконечно тонкие полоски, площадь которых находится сравнительно легко, а затем эти площади складываются. Этот приём привел к появлению через полвека интегрального исчисления.

Рассмотрим фигуру, ограниченную аркой циклоиды и синусоидой. На рисунке 3.1 эта фигура, состоящая из двух лепестков, обведена жирной линией. Займёмся вычислением её площади.

Прежде всего, построим зеркальное отражение правого лепестка фигуры относительно направляющей прямой АВ (это отражение дано на рисунке 4.1 штриховой линией). Перенесём затем эту штриховую кривую налево вверх и приложим ее к левому лепестку так, чтобы дуги синусоид, входящие в контур каждого из лепестков, совпали. Получим выпуклую фигуру, заштрихованную на рисунке 3.1 и изображённую отдельно на рис. 3.2. Такую фигуру называют фигурой Роберваля . Установим важнейшие свойства этой фигуры.

1.Выпуклая фигура М 0 РLM равновелика двухлепестковой фигуре, изображенной жирной линией на рис.3.1. Это видно из того, что она «составлена» из тех же лепестков.

2. Любая горизонтальная хорда выпуклой фигуры равна удвоенной хорде лепестка, находящейся на том же расстоянии от АВ. Действительно, хорды СЕ и РН (рис. 3.1) правого лепестка, равноудалённые от производящего круга одинаково удалены от центра. Значит КТ = СЕ = РН = Р 1 Н 1 = TL.

Это дает важный результат: хорда МР выпуклой фигуры (рис. 3.2) равна хорде производящего круга СК, расположенный на том же расстоянии от направляющей прямой.

Рассмотрим теперь выпуклую фигуру Роберваля и круг, касающихся тех же прямых АВ и А 1 В 1 , и точки их пересечения с окружностью и с контуром выпуклой фигуры соединим последовательно прямолинейными отрезками, как показано на рисунке. Полученные таким образом вписанные многоугольники (HLMNPQRSTKи H 1 L 1 M 1 N 1 P 1 Q 1 R 1 S 1 T 1 K 1) мы будем называть «соответственными» многоугольники на ряд трапеций (и треугольников). Площади «соответственных» трапеций в круге и в фигуре Робервеля, например NPRS и N 1 P 1 R 1 S 1 , равны, потому что у трапеций этих соответственно равны нижние основания, верхние основания (соответственные хорды) и высоты. На рис. 3.2 равновеликие соответственные трапеции покрыты одинаковой штриховкой.

Будем теперь неограниченно увеличивать число «промежуточных» прямы, параллельных АВ, так чтобы расстояние между любой соседней парой стремилось к нулю. Тогда в круге мы получим серию вписанных многоугольников, число сторон которых неограниченно возрастает, а каждая из сторон стремится к нулю. Мы знаем, что площади S n этих многоугольников имеют пределом площадь круга:

limS n =рa 2 .

Как будет себя вести при этом последовательность многоугольников, вписанных в выпуклую фигуру Роберваля? Площадь? n последовательных вписанных многоугольников будет стремиться к площади? фигуры Роберваля. Известно, что если две переменные величины сохраняют при всех своих изменениях соответственно равные значения и одна из них стремится к определённому пределу, то к тому же пределу стремится и другая. Но каждый многоугольник, вписанный в фигуру Роберваля, равновелик соответственному многоугольнику, вписанному в круг. Поэтому мы заключаем, что предел площадей многоугольников, вписанных в фигуру Роберваля, равен пределу площадей соответственных многоугольников, вписанных в круг; а это значит, что площадь выпуклой фигуры Роберваля равна площади производящего круга:

Отсюда получаем немедленное следствие: площадь двухлепестковой фигуры равна площади производящего круга.

Взглянем теперь на рисунок 3.1. Площадь фигуры AOTPBKA, как мы видели, равна удвоенной площади производящего круга. Площадь двухлепестковой фигуры мы только что определили: она равна площади производящего круга. Следовательно, площадь, ограниченная аркой циклоиды и ее основанием, равна утроенной площади производящего круга .

Теперь найдём площадь, заключённую между аркой циклоиды и её основанием при помощи дифференциальной геометрии.

Где t ? .

Найдем производную

4. ДЛИНА ДУГИ АРКИ ЦИКЛОИДЫ

где t ?

r (t)=

| r (t)| ===2sin

5. ОБЪЁМ ТЕЛА, ПОЛУЧЕННОГО ВРАЩЕНИЕМ АРКИ ЦИКЛОИДЫ

Найдём объём тела, порождённого вращением арки циклоиды вокруг её основания. Роберваль находил его, разбив полученное яйцеобразное тело (рис. 5.1) на бесконечно тонкие слои, вписав в эти слои цилиндрики и сложив их объёмы. Доказательство получилось длинное, утомительное и не вполне строгое. Поэтому для его вычисления обратимся к высшей математике. Зададим уравнение циклоиды параметрически.

В интегральном исчислении при изучении объемов пользуется следующим замечанием:

Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию задана параметрическими уравнениями и функции в этих уравнениях удовлетворяют условиям теоремы о замене переменной в определенном интеграле, то объем тела вращения трапеции вокруг оси Ох, будет вычисляться по формуле:

Воспользуемся этой формулой для нахождения нужного нам объема.

Таким же образом вычислим и поверхность этого тела.

L={(x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - cost), 0 ? t ? 2р}

В интегральном исчислении существует следующая формула для нахождения площади поверхности тела вращения вокруг оси х кривой, заданной на отрезке параметрически (t 0 ?t ?t 1):

Применяя эту формулу для нашего уравнения циклоиды получаем:

Рассмотрим также другую поверхность, порождённую вращением арки циклоиды. Для этого построим зеркальное отражение арки циклоиды относительно её основания, и овальную фигуру, образованную циклоидой и её отражением будем вращать вокруг оси KT (рис. 5.2)

Сначала найдём объём тела, образованного вращением арки циклоиды вокруг оси KT. Его объём будем вычислять по формуле(*):

Таким образом, мы посчитали объём половины данного репообразного тела. Тогда весь объём будет равен

Для нахождения площади поверхности этого тела вращения при помощи интеграла также необходимо разбить его напополам по горизонтали и рассмотреть верхнюю его часть.

Значит площадь поверхности полученного тела равна

6. НАИЛУЧШИЙ МАЯТНИК

Наблюдая в храме за качающейся люстрой, Галилей обнаружил, что время полного качания люстры, т.е. время, по истечению которого она вернется в исходное положение (так называемый период колебания ), было одинаково и при больших размахах и при малых. Это наблюдение привело Галилея к мысли, что качающееся тело (маятник) можно использовать для регулирования хода часов.

Самому Галилею осуществить часы с маятником не удалось, а вскоре выяснилось, что его наблюдения были неточны. Более точные наблюдения показали, что период колебания маятника тем больше, чем больше размах; но благодаря неизбежному трению оси и сопротивлению воздуха размах колебаний обыкновенного маятника все время уменьшается, а значит, будет уменьшаться и период его колебаний. Часы с обыкновенным маятником -- иначе называемым круговым маятником (потому что каждая точка его описывает дугу окружности), не могут идти верно.

Гюйгенс придумал, какое приспособление нужно сделать круговому маятнику, чтобы у него был постоянный размах. Но он решил и другую интересную задачу -- ответил на вопрос, по какой кривой должна двигаться точка, чтобы период ее колебаний не зависел от амплитуды. Он придумал конструкцию, которая осуществила движение центра тяжести маятника по этой кривой.

Начнем с приспособления, обеспечивающего верный ход часам с круговым маятником. Зубчатое колесо А (рис. 6.1) приводиться во вращение цепью с гирькою В на конце. На ось этого колеса насажена шестерня, наглухо с ним связанная. Эта шестерня и приводит в движение стрелки часов, а потому нужно, чтобы колесо А двигалось равномерно.

Но гирька В , как и всякое тело, под действием тяжести будет двигаться ускоренно, сообщая ускоренное же вращение колесу А . Устранить затруднение должен маятник ММ .

Якорь С , лежащий в плоскости колеса А , наглухо соединен с маятником ММ, сам маятник ММ лежит за плоскостью чертежа и потому он начерчен пунктиром. Якорь снабжен зубцами Н и К .

В момент, изображенный на рис. 6.1, колесо А удерживается левым зубцом Н якоря С. Когда маятник качнет влево, зубец Н якоря отпустит захваченный зубец колеса, и колесо повернется, но только на ползубца, потому что зубец К якоря попадет в промежуток между зубцами колеса и задержит его. Когда после этого маятник снова качнет вправо, зубец на этой стороне будет задержан якорем. Итак, при каждом полном качании маятника (туда и обратно) колесо повернется ровно на один зубец, т.е. на определенную долю окружности. Движение колеса будет строго равномерным. Зубцы якоря, как видно из рис. 6.1, срезаны наискось, так что зубец колеса, который был задержан якорем и снова отпущен, должен скользить по косой поверхности зубца якоря. Вследствие этого якорь сообщит маятнику небольшой толчок. Эти ритмические толчки восполнят потерю энергии, которую маятник расходует на преодоление трения и сопротивления воздуха. Поэтому размах маятника не будет уменьшаться. Таким образом, гиря сообщает энергию и колесам часов, и самому маятнику,-- маятник же регулирует ход часов.

А если часы остановятся? Пустить в ход их не трудно: достаточно поднять гирю и качнуть маятник. Но при этом размах качания может оказаться другим, и часы пойдут хотя равномерно, но неверно (уйдут вперед или начнут отставать). Гюйгенс придумал приспособление, которое позволяет легко регулировать ход часов. Но Гюйгенса, как истинного ученого, заинтересовал вопрос: каков должен быть «совершенный» маятник, маятник, время качания которого не зависит от величины размаха? Рассмотрим подробно, как же Гюйгенс решил этот вопрос.

Слово «таутохрона» значит «равномерная». Так назвал Гюйгенс кривую, которую он начал разыскивать, т.е. такую кривую, по которой должен двигаться центр тяжести маятника, для того чтобы период его качания не зависел от величины размаха. Поиски увенчались успехом: таинственная таутохрона оказалась незадолго перед тем изученной циклоидой. При этом Гюйгенс проявил исключительное остроумие. Достаточно сказать, что учение об эволютах было создано в процессе решения именно этой задачи.

Гюйгенс рассуждал следующим образом. Представим себе желобок в форме циклоиды, как это изображено на рис. 6.2.

По этому желобку катится тяжелый шарик М . Мы рассмотрим идеальный случай,-- тот случай, когда трение и сопротивление воздуха отсутствует.

Обозначим точки возврата циклоиды через М 0 и М ? 0 , а радиус производящего круга через а . Начертим круг радиуса а , касающийся циклоиды в вершине (круг с центром О ) и производящий круг в положении, соответствующем точке М циклоиды (дан штриховой линией). Допустим, что мы положили шарик в точку М 1 желобка и отпустили его без толчка. Под действием тяжести он покатиться вниз. Изучим его движение.

Какова будет скорость шарика, когда он опустится до точки М циклоиды? Это нетрудно посчитать. Опустившись из точки М 1 в точку М , шарик израсходует некоторое количество потенциальной энергии. Эта потеря энергии равна произведению веса шарика mg (m -- масса шарика, g -- ускорение силы тяжести) на «потерю высоты», т.е. на разность высоты шарика в положениях М 1 и М, причем высомты отсчитываются от какого-то определенного уровня, например, от уровня земли. От какого уровня ни отсчитывать высомты, разность их в нашем случае будет равна отрезку НМ . Итак, потеря потенциальной энергии шарика будет равна mg · HM .

Но в силу закона сохранения энергии потерянная потенциальная энергия шарика превратиться в кинетическую энергию его движения, равную, как известно, если через обозначить пока неизвестную скорость шарика. Приравнивая эту кинетическую энергию потерянной потенциальной, получим уравнение

из которого сразу находим значение искомой скорости

Направление этой скорости тоже определить нетрудно. Она будет направлена по касательно к циклоиде, т.е. по хорде ML (рис. 6.2), где L - «наинизшая» точка производящего круга.

Нас будет интересовать не столько сама скорость, сколько ее вертикальная проекция, т.е. «скорость опускания шарика», скорость изменения его высоты. Эту вертикальную проекцию легко вычислить: она равна, где -- угол между хордой ML и вертикалью. Хорда АТ круга с центром О , очевидно, равна и параллельна хорде ML , а потому угол LMP равен углу KAT , что и отмечено на рис. 6.2. Итак:

Неравномерное движение по циклоиде будем сравнивать с равномерным движением по окружности. С этой целью построим вспомогательную окружность так: через вершину А циклоиды проводится перпендикуляр AD (диаметр круга с центром О ), а через начальную точку М 1 движения шарика проводится параллель М 1 В к ее основанию. Пусть точка пересечения этих параллели и перпендикуляра будет обозначена буквою В . Окружность, построенная на АВ , как на диаметре, и будет искомой вспомогательной окружностью. Пока неясно, чем именно она лучше других окружностей.

Начнем с того, что вертикальную слагающую скорости движения шарика свяжем с элементами вспомогательной окружности. Имеем:

потому что НМ = ВК. Из треугольника АКТ получим:

Но АТ=2а cos , а потому

Подставим найденное значение косинуса в выражение для МР , отмеченное звездочкой (*). Получим:

Последний корень равен средней пропорциональной между отрезками ВК и АК , т.е. между отрезками гипотенузы АВ треугольника АВС , на которые последняя разделяется высотою СК . Но эта средняя пропорциональная, по известной теореме о пропорциональных линиях в прямоугольном треугольнике, равна как раз высоте СК:

ВК·АК=СК 2 .

Поэтому для вертикальной составляющей МР скорости движения шарика по циклоиде получим окончательно:

МР= · КС.

Величины a и g даны нам с самого начала и не связаны ни с точкою М, ни с ее начальным положением М 1 . Таким образом, движение шарика по циклоиде вполне определяется хордою КС вспомогательной окружности, т.е. в конечном итоге положением точки С на этой окружности.

Рассмотрим равномерное движение точки С по вспомогательной окружности с угловой скоростью радианов в секунду, т.е. градусов в секунду. При этом скорость точки С по окружности будет равна произведению радиуса окружности на угловую скорость, выраженную в радианах (в секунду), т.е. равна

С какой скоростью опускается точка С , с какою скоростью меняется ее расстояние от прямой М 0 М? 0 при равномерном движении точки С по окружности? Это нетрудно подсчитать.

Скорость движение точки окружности направлена по касательной к окружности, т.е. перпендикулярно радиусу. Ее проекция на вертикаль равна самой скорости умноженной на косинус угла рис 6.3. Но угол равен, очевидно, углу КСО 1: оба получаются путем вычитания угла О 1 СЕ из прямого угла. Косинус угла КСО 1 равен . Для вертикальной проекции скорости равномерного движения по окружности находим:

Получается замечательный результат: когда точка движется равномерно по окружности, ее проекция на вертикаль движется точно так же, как проекция на вертикаль шарика, катящегося по циклоиде. Проекции обеих скоростей в любой момент времени равны друг другу. Но отсюда следует, что точка окружности из В в А и шарик на циклоиде из М 1 в А придут в одно время. Это время легко определить. Мы говорили уже, что точка на вспомогательной окружности делает радианов секунду, иными словами, на один радиан она повернется за секунд, а на радианов -- за. Точно такое же время нужно и нашему шарику, чтобы скатиться по циклоиде из точки М 1 в точку А . Такое же время понадобиться ему, чтобы по инерции подняться до точки М? 1 , такое же -- чтобы снова спуститься, и такое же -- чтобы подняться и вернуться в исходное положение (в точку М 1). Значит, время полного колебания шарика (период колебания) будет равняться:

Это -- весьма замечательная формула. Мы видим, что период движения шарика по циклоидальному желобку вполне определяется размерами желобка (радиусом производящего круга циклоиды) и ускорением силы тяжести. Положение точки М 1 на циклоиде, ее расстояние от прямой М 0 М? 0 не имеет никакого значения. С какой бы точки циклоиды ни начинал движения шарик, период его колебания будет один и тот же.

Гюйгенс задумался над тем, как использовать таутохронное свойство циклоиды для устройства «совершенного» маятника. Как заставить шарик маятника двигаться таутохронно, не прибегая к желобкам и тому подобным приспособлениям с большим трением? Размышляя об этом, Гюйгенс пришел к понятиям об эволюте и эвольвенте.

Изготовим шаблон, состоящий из двух одинаковых полуарок циклоиды, имеющих общую точку возврата О (рис. 6.4). Радиус производящего круга обозначим, как всегда, через a . Шаблон укрепим вертикально, и в точке возврата О привяжем нить, по длине равную 4a -- т.е. удвоенному диаметру производящего круга циклоиды. Свободный конецнити Т снабдим тяжелым шариком.

Шарик будет описывать при своем движении развертку циклоиды АСОЕВ , потому что нить будет наматываться на шаблон. Но разверткой циклоиды служит точно такая же циклоида. Значит, кривая ВМТРА , по которой движется шарик, будет циклоидой, порожденной крум гом радиуса a .

Если мы поместим шарик в произвольную точку М и предоставим самому себе, он начнет совершать колебания, причем период этих колебаний не будет зависеть от выбора точки М . Если даже, под влиянием трения и сопротивления воздуха, размах колебаний будет уменьшаться, время колебания маятника остается неизменным. Поистине этот маятник будет таутохронным!

Рассмотрим теперь малые колебания маятника по дуге АВ циклоиды (рис. 6.5). Если эти колебания очень малы, то влияние направляющего шаблона практический не будет ощущаться и маятник будет двигаться почти как обыкновенный маятник длинною l =4a , подвешенный в точке О . Путь АВ циклоидального маятника практически не будет отличаться от пути СЕ кругового маятника длины 4a . Значит, и период малых колебаний обыкновенного кругового маятника длиною l =4a не будет практически отличаться от периода циклоидального маятника. Вводя в формулу

с которой мы познакомились выше, вместо a равную ему величину, получим выражение периода малых колебаний кругового маятника через его длину:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе выполнения курсовой работы я изучила материалы по теме циклоида, изучила особенности наилучшего маятника, сравнила довольно изящное, но не очень простое исследование циклоиды до появления интегрального исчисления, с наиболее простым и привычным, изученным в дифференциальной геометрии и математическом анализе; в очередной раз убедившись в необходимости изучения этих дисциплин. Как оказалось, циклоида имеет огромное практическое применение не только в математике, но и в технологических расчетах, в физике.

Работа по изучению данной темы оказалась довольно увлекательной и интересной.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Берман Г.Н. Циклоида. -М., 2007. -113с.

2. Савелов А.А. Плоские кривые. - М., 1960. - 293 с.

3. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. -М., 2005, т.2. -464 с.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Краткая история изучения циклоиды. Геометрическое определение, свойства и особенности построения циклоиды. Параметрическое уравнение циклоиды и уравнение в декартовых координатах. Задачи на нахождение частей циклоиды и фигур, образованных циклоидой.

курсовая работа , добавлен 16.01.2011

Моменты и центры масс плоских кривых. Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности.

лекция , добавлен 04.09.2003

Определение определенного интеграла, его свойства. Длина дуги кривой. Площадь криволинейной трапеции. Площадь поверхности вращения. Площади фигур, ограниченных графиками функций, ограниченных линиями, заданными уравнениями. Вычисление объемов тел.

контрольная работа , добавлен 10.02.2017

Определённый интеграл - аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, его компоненты, свойства. Вычисление определённого интеграла; формула Ньютона-Лейбница. Геометрические приложения: площадь, длина дуги, объем тела вращения.

презентация , добавлен 30.05.2013

Поиск площади фигуры, ограниченной графиками функций с помощью двойного интеграла. Получение вращением объема тела вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной указанными линиями. Пределы интегрирования в двойном интеграле по области, ограниченной линиями.

контрольная работа , добавлен 28.03.2014

Замечательные линии 3-го порядка: Декартов лист, циссоида Диоклеса, строфрида, верзьера Аньези. Линии четвертого и высших порядков и некоторые трансцендентные линии: спираль Архимеда, кривая кратчайшего спуска. Площадь области, ограниченной лемнискатой.

курсовая работа , добавлен 07.08.2015

Понятие определённого интеграла, расчет площади, объёма тела и длины дуги, статического момента и центра тяжести кривой. Вычисление площади в случае прямоугольной криволинейной области. Применение криволинейного, поверхностного и тройного интегралов.

курсовая работа , добавлен 19.05.2011

Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы по формуле Ньютона–Лейбница, замена переменной и интегрирование по частям. Длина дуги в полярной системе координат.

контрольная работа , добавлен 22.08.2009

История интегрального и дифференциального исчисления. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики. Моменты и центры масс плоских кривых, теорема Гульдена. Дифференциальные уравнения. Примеры решения задач в MatLab.

реферат , добавлен 07.09.2009

Криволинейный интеграл первого и второго рода. Площадь области, ограниченной замкнутой кривой. Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой. Центр масс и моменты инерции кривой. Магнитное поле вокруг проводника с током. Сущность закона Фарадея.

5. Параметрическое уравнение циклоиды и уравнение в декартовых координатах

Допустим, что у нас дана циклоида, образованная окружностью радиуса а с центром в точке А.

Если выбрать в качестве параметра, определяющего положение точки, угол t=∟NDM на который успел повернуться радиус, имевший в начале качения вертикально е положение АО, то координаты х и у точки М выразятся следующим образом:

х= OF = ON - NF = NM - MG = at-a sin t,

y= FM = NG = ND – GD = a – a cos t

Итак параметрические уравнения циклоиды имеют вид:

При изменении t от -∞ до +∞ получится кривая, состоящая из бесчисленного множества таких ветвей, какая изображена на данном рисунке.

Так же, помимо параметрического уравнения циклоиды, существует и ее уравнение в декартовых координатах:

Где r – радиус окружности, образующей циклоиду.

6. Задачи на нахождение частей циклоиды и фигур, образованных циклоидой

Задача №1. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды, уравнение которой задано параметрически

и осью Ох.

Решение. Для решения данной задачи, воспользуемся известными нам фактами из теории интегралов, а именно:

Площадь криволинейного сектора.

Рассмотрим некоторую функцию r = r(ϕ), определенную на [α, β].

ϕ 0 ∈ [α, β] соответствует r 0 = r(ϕ 0) и, значит, точка M 0 (ϕ 0 , r 0), где ϕ 0 ,

r 0 - полярные координаты точки. Если ϕ будет меняться, «пробегая» весь[α, β], то переменная точка M опишет некоторую кривую AB, заданную

уравнением r = r(ϕ).

Определение 7.4. Криволинейным сектором называется фигура, ограниченная двумя лучами ϕ = α, ϕ = β и кривой AB, заданной в полярных

координатах уравнением r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.

Справедлива следующая

Теорема. Если функция r(ϕ) > 0 и непрерывна на [α, β], то площадь

криволинейного сектора вычисляется по формуле:

Эта теорема была доказана ранее в теме определенного интеграла.

Исходя из приведенной выше теоремы, наша задача о нахождении площади фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды, уравнение которой задано параметрические x= a (t – sin t) , y= a (1 – cos t) , и осью Ох, сводится к следующему решению.

Решение. Из уравнения кривой dx = a(1−cos t) dt. Первая арка циклоиды соответствует изменению параметра t от 0 до 2π. Следовательно,

Задача №2. Найти длину одной арки циклоиды

Так же в интегральном исчислении изучалась следующая теорема и следствие из нее.

Теорема. Если кривая AB задана уравнением y = f(x), где f(x) и f ’ (x) непрерывны на , то AB является спрямляемой и

Следствие. Пусть AB задана параметрически

L AB = (1)

Пусть функции x(t), y(t) непрерывно-дифференцируемые на [α, β]. Тогда

формулу (1) можно записать так

Сделаем замену переменных в этом интеграле x = x(t), тогда y’(x)= ;

dx= x’(t)dt и, следовательно:

А теперь вернемся к решении нашей задачи.

Решение. Имеем , а поэтому

Задача №3. Надо найти площадь поверхности S, образованной от вращения одной арки циклоиды

L={(x,y): x=a(t – sin t), y=a(1 – cost), 0≤ t ≤ 2π}

В интегральном исчислении существует следующая формула для нахождения площади поверхности тела вращения вокруг оси х кривой, заданной на отрезке параметрически: x=φ(t), y=ψ(t) (t 0 ≤t ≤t 1)

Применяя эту формулу для нашего уравнения циклоиды получаем:

Задача №4. Найти объем тела, полученного при вращении арки циклоиды

Вдоль оси Ох.

В интегральном исчислении при изучении объемов есть следующее замечание:

Воспользуемся этой формулой для нахождения нужного нам объема.

Задача решена.

Заключение

Итак, в ходе выполнения данной работы были выяснены основные свойства циклоиды. Так же научились строить циклоиду, выяснила геометрический смысл циклоиды. Как оказалось циклоида имеет огромное практическое применение не только в математике, но и в технологических расчетах, в физике. Но у циклоиды есть и другие заслуги. Ею пользовались ученые XVII века при разработке приемов исследования кривых линий, - тех приемов, которые привели в конце концов к изобретению дифференциального и интегрального исчислений. Она же была одним из «пробных камней», на которых Ньютон, Лейбниц и их первые исследователи испытывали силу новых мощных математических методов. Наконец, задача о брахистохроне привела к изобретению вариационного исчисления, столь нужного физикам сегодняшнего дня. Таким образом, циклоида оказалась неразрывно связанной с одним из самых интересных периодов в истории математики.

Литература

1. Берман Г.Н. Циклоида. – М., 1980

2. Веров С.Г. Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды // Квант. – 1975. - №5

3. Веров С.Г. Тайны циклоиды// Квант. – 1975. - №8.

4. Гаврилова Р.М., Говорухина А.А., Карташева Л.В., Костецкая Г.С.,Радченко Т.Н. Приложения определенного интеграла. Методические указания и индивидуальные задания для студентов 1 курса физического факультета. - Ростов н/Д: УПЛ РГУ, 1994.

5. Гиндикин С.Г. Звездный век циклоиды // Квант. – 1985. - №6.

6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. – М.,1969

Такая линия и называется «огибающей». Всякая кривая линия есть огибающая своих касательных.

Материя и движение, и тот метод, который они составляют, дают возможность каждому реализовать свои потенциальные возможности в познании истины. Разработка методики развития диалектико-материалистической формы мышления и овладение аналогичным ему методом познания является вторым шагом на пути решения проблемы развития и реализации возможностей Человека. Фрагмент XX Возможности...

Обстановке могут заболеть неврастенией – неврозом, основу клинической картины которого составляет астеническое состояние. И в случае неврастении, и в случае декомпенсации неврастенической психопатии существо душевной (психологической) защиты сказывается уходом от трудностей в раздражительную слабость с вегетативными дисфункциями: либо от нападения человек бессознательно «отбивается»больше...

Различных видах деятельности; развитии пространственного воображения и пространственных представлений, образного, пространственного, логического, абстрактного мышления школьников; формировании умений применять геометро-графические знания и умения для решения различных прикладных задач; ознакомлении с содержанием и последовательностью этапов проектной деятельности в области технического и...

Дуги. Спиралями являются также эвольвенты замкнутых кривых, например эвольвента окружности. Названия некоторым спиралям даны по сходству их полярных уравнений с уравнениями кривых в декартовых координатах, например: · параболическая спираль (а - r)2 = bj, · гиперболическая спираль: r = а/j. · Жезл: r2 = a/j · si-ci-cпираль, параметрические уравнения которой имеют вид: , }