أنواع الزوايا في متوازي الأضلاع. المسافة بين الخطوط المتوازية. خصائص الأشكال الرباعية. متوازي الاضلاع

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي الأضلاع المتقابلة متوازية ، أي أنها تقع على خطوط متوازية (الشكل 1).

نظرية 1. على خصائص جوانب وزوايا متوازي الأضلاع.في متوازي الأضلاع ، الأضلاع المتقابلة متساوية ، والزوايا المتقابلة متساوية ، ومجموع الزوايا المجاورة لأحد أضلاع متوازي الأضلاع يساوي 180 درجة.

دليل - إثبات. في متوازي الأضلاع ABCD هذا ، ارسم قطريًا AC واحصل على مثلثين ABC و ADC (الشكل 2).

هذه المثلثات متساوية ، لأن ∠ 1 = ∠ 4 ، ∠ 2 = ∠ 3 (زوايا متقاطعة عند خطوط متوازية) ، والجانب AC شائع. من المساواة Δ ABC = Δ ADC يتبع ذلك AB = CD ، BC = AD ، ∠ B = ∠ D. مجموع الزوايا المجاورة لجانب واحد ، على سبيل المثال ، الزاويتان A و D ، يساوي 180 درجة كواحد - بجانب خطوط متوازية. لقد تم إثبات النظرية.

تعليق. تعني المساواة بين الجانبين المتقابلين في متوازي الأضلاع أن أجزاء الأجزاء المتوازية المقطوعة بواسطة الأجزاء المتوازية متساوية.

النتيجة الطبيعية 1. إذا كان خطان متوازيان ، فإن كل نقاط خط واحد تكون على نفس المسافة من الخط الآخر.

دليل - إثبات. في الواقع ، دعنا || ب (الشكل 3).

لنرسم من بعض النقطتين B و C للخط b العمودين BA و CD على الخط a. منذ AB || CD ، إذن الشكل ABCD هو متوازي أضلاع ، وبالتالي AB = CD.

المسافة بين خطين متوازيين هي المسافة من نقطة عشوائية على أحد الخطوط إلى الخط الآخر.

بما تم إثباته ، فهو يساوي طول الخط العمودي المرسوم من نقطة ما لأحد الخطين المتوازيين إلى الخط الآخر.

مثال 1محيط متوازي الأضلاع يساوي 122 سم ، طول أحد ضلعه 25 سم عن الآخر ، أوجد ضلعي متوازي الأضلاع.

المحلول. حسب النظرية 1 ، الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية. لنرمز إلى أحد جانبي متوازي الأضلاع بالرمز x ، والآخر بالرمز y. ثم حسب الشرط $$ \ left \ (\ start (matrix) 2x + 2y = 122 \\ x - y = 25 \ end (matrix) \ right. $$ لحل هذا النظام ، نحصل على x = 43 ، y = 18. إذن ، أضلاع متوازي الأضلاع هي 18 و 43 و 18 و 43 سم.

مثال 2

المحلول. دع الشكل 4 يتوافق مع حالة المشكلة.

دلالة AB على x و BC بواسطة y. حسب الشرط ، محيط متوازي الأضلاع هو 10 سم ، أي 2 (س + ص) = 10 ، أو س + ص = 5. محيط المثلث ABD يساوي 8 سم ، وبما أن AB + AD = x + y = 5 ثم BD = 8-5 = 3. إذن BD = 3 سم.

مثال 3أوجد زوايا متوازي الأضلاع ، مع العلم أن إحداهما أكبر بمقدار 50 درجة من الأخرى.

المحلول. دع الشكل 5 يتوافق مع حالة المشكلة.

دعونا نشير إلى درجة قياس الزاوية A على أنها x. إذن ، قياس درجة الزاوية D هو x + 50 °.

الزاويتان BAD و ADC داخليتان من جانب واحد مع خطوط متوازية AB و DC و secant AD. ثم سيكون مجموع هذه الزوايا المسماة 180 درجة ، أي
س + س + 50 درجة = 180 درجة ، أو س = 65 درجة. وهكذا ، ∠ A = ∠ C = 65 ° ، a ∠ B = ∠ D = 115 °.

مثال 4أضلاع متوازي الأضلاع 4.5 dm و 1.2 dm. يتم رسم المنصف من رأس الزاوية الحادة. ما الأجزاء التي يقسم إليها الجانب الطويل من متوازي الأضلاع؟

المحلول. دع الشكل 6 يتوافق مع حالة المشكلة.

AE هو منصف الزاوية الحادة لمتوازي الأضلاع. لذلك ، ∠ 1 = ∠ 2.

موضوع الدرس

• خصائص أقطار متوازي الأضلاع.

أهداف الدرس

• تعرف على التعريفات الجديدة وتذكر بعض التعريفات التي تمت دراستها بالفعل.
• قم بصياغة وإثبات خاصية أقطار متوازي الأضلاع.
• تعلم كيفية تطبيق خصائص الأشكال في حل المشكلات.
• تطوير - لتنمية انتباه الطلاب ، والمثابرة ، والمثابرة ، والتفكير المنطقي ، والكلام الرياضي.
• تعليمي - من خلال الدرس لتنمية موقف يقظ تجاه بعضنا البعض ، لغرس القدرة على الاستماع إلى الرفاق ، والمساعدة المتبادلة ، والاستقلال.

أهداف الدرس

• تحقق من قدرة الطلاب على حل المشكلات.

خطة الدرس

1. كلمة الافتتاح.
2. تكرار المواد التي تم تعلمها مسبقًا.
3. متوازي الأضلاع ، خصائصه وعلاماته.
4. أمثلة المهام.
5. الاختيار الذاتي.

مقدمة

"يوفر اكتشاف علمي كبير حلاً لمشكلة كبيرة ، ولكن في حل أي مشكلة هناك ذرة من الاكتشاف."

خصائص الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع

متوازي الأضلاع له أضلاع متقابلة متساوية.

دليل - إثبات.

دع ABCD يكون متوازي أضلاع معطى. ودع أقطارها تتقاطع عند النقطة O.
بما أن Δ AOB = Δ COD من خلال العلامة الأولى للمساواة بين المثلثات (∠ AOB = ∠ COD ، مثل المثلثات الرأسية ، AO = OC ، DO = OB ، بخاصية أقطار متوازي الأضلاع) ، ثم AB = CD. وبالمثل ، من المساواة بين المثلثات BOC و DOA ، يتبع ذلك BC = DA. لقد تم إثبات النظرية.

خاصية الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع

متوازي الأضلاع له زوايا متقابلة.

دليل - إثبات.

دع ABCD يكون متوازي أضلاع معطى. ودع أقطارها تتقاطع عند النقطة O.
من خصائص الأضلاع المتقابلة لمتوازي الأضلاع المثبتة في النظرية على ABC = Δ CDA من ثلاثة جوانب (AB = CD ، BC = DA من المثبت ، AC عام). ويترتب على المساواة بين المثلثات أن ∠ABC = ∠CDA.
ثبت أيضًا أن ∠ DAB = ∠ BCD يتبع من ∠ ABD = ∠ CDB. لقد تم إثبات النظرية.

خاصية أقطار متوازي الأضلاع

تتقاطع أقطار متوازي الأضلاع وتنقسم نقطة التقاطع.

دليل - إثبات.

دع ABCD يكون متوازي أضلاع معطى. لنرسم القطر AC. نضع علامة على الوسط O. في استمرار المقطع DO ، نضع جانباً الجزء OB 1 الذي يساوي DO.
حسب النظرية السابقة ، AB 1 CD هو متوازي أضلاع. لذلك ، الخط AB 1 يوازي DC. ولكن من خلال النقطة A ، يمكن رسم خط واحد فقط بالتوازي مع DC. ومن ثم ، يتطابق الخط AB 1 مع الخط AB.
ثبت أيضًا أن BC 1 يتزامن مع BC. لذا فإن النقطة C تتطابق مع C 1. متوازي الأضلاع ABCD يتطابق مع متوازي الأضلاع AB 1 CD. لذلك ، تتقاطع أقطار متوازي الأضلاع ونقطة التقاطع. لقد تم إثبات النظرية.

في الكتب المدرسية للمدارس العادية (على سبيل المثال ، في Pogorelov) ، ثبت على النحو التالي: الأقطار تقسم متوازي الأضلاع إلى 4 مثلثات. ضع في اعتبارك زوجًا واحدًا واكتشف - أنهما متساويان: إن قاعدتهما أضلاع متقابلة ، والزوايا المقابلة لهما متساوية مثل الرأسي مع خطوط متوازية. أي أن مقاطع الأقطار متساوية في الاتجاهين. كل شىء.

هل هذا كل شيء؟
ثبت أعلاه أن نقطة التقاطع تقسم الأقطار - إن وجدت. المنطق أعلاه لا يثبت وجودها بأي شكل من الأشكال. أي أن جزء نظرية "تقاطع الأقطار متوازي الأضلاع" لا يزال غير مثبت.

من المضحك صعوبة إثبات هذا الجزء. بالمناسبة ، هذا ناتج عن نتيجة أكثر عمومية: بالنسبة لأي رباعي محدب ، ستتقاطع الأقطار ، ولن تتقاطع مع أي شكل غير محدب.

حول مساواة المثلثات على طول الجانب وزاويتين متجاورتين معه (العلامة الثانية لتساوي المثلثات) وغيرها.

نظرية المساواة بين مثلثين على طول ضلع وزاويتين متجاورتين ، وجد طاليس تطبيقًا عمليًا مهمًا. تم بناء أداة تحديد المدى في ميناء ميليتس ، والتي تحدد المسافة إلى السفينة في البحر. وهي تتألف من ثلاثة أوتاد مدفوعة A و B و C (AB = BC) وخط مستقيم محدد SK ، عمودي على CA. عندما ظهرت السفينة على الخط المستقيم SC ، تم العثور على النقطة D بحيث كانت النقاط D و. B و E على نفس الخط المستقيم. كما هو واضح من الرسم ، فإن المسافة CD على الأرض هي المسافة المطلوبة للسفينة.

أسئلة

1. هل قطري المربع ينقسمان بنقطة التقاطع؟
   
2. هل قطري متوازي الأضلاع متساويان؟
3. هل الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية؟
4. ما هو تعريف متوازي الأضلاع؟
5. كم عدد ملامح متوازي الأضلاع؟
   
6. هل يمكن أن يكون المعين متوازي أضلاع؟
   

قائمة المصادر المستخدمة

1. Kuznetsov A. V. مدرس الرياضيات (الصفوف 5-9) كييف
2. “امتحان الدولة الموحد 2006. الرياضيات. المواد التعليمية والتدريبية لإعداد الطلاب / Rosobrnadzor، ISOP - M.: Intellect-Center، 2006 "
3. Mazur K. I "حل المشكلات التنافسية الرئيسية في الرياضيات للمجموعة من تحرير M.I.Scanavi"
4. L. S. Atanasyan، V. F. Butuzov، S. B. Kadomtsev، E.G Poznyak، I. I. Yudina "Geometry، 7 - 9: a schoolbook for Education Institutions"

العمل على الدرس

كوزنتسوف أ.

Poturnak S.A.

يفجيني بيتروف

يمكنك طرح سؤال حول التعليم الحديث أو التعبير عن فكرة أو حل مشكلة ملحة في منتدى التعليمحيث يلتقي دوليًا مجلس تعليمي للفكر والعمل الجديد. بعد أن خلقت مقالات،لن تقوم فقط بتحسين وضعك كمعلم كفء ، ولكنك ستقدم أيضًا مساهمة كبيرة في تطوير مدرسة المستقبل. نقابة قادة التعليميفتح الأبواب أمام كبار المتخصصين ويدعوكم للتعاون في اتجاه إنشاء أفضل المدارس في العالم.

المواد> الرياضيات> الرياضيات للصف الثامن

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي الأضلاع المتقابلة متوازية في أزواج. هذا التعريف كافٍ بالفعل ، لأن الخصائص المتبقية لمتوازي الأضلاع تتبعه وتثبت في شكل نظريات.

الخصائص الرئيسية لمتوازي الأضلاع هي:

• متوازي الأضلاع هو شكل رباعي محدب.
• متوازي الأضلاع له جوانب متقابلة متساوية في أزواج ؛
• متوازي الأضلاع له زوايا متقابلة متساوية في أزواج ؛
• يتم تقسيم أقطار متوازي الأضلاع بنقطة التقاطع.

متوازي الأضلاع - رباعي محدب

دعونا أولا نثبت نظرية ذلك متوازي الأضلاع هو شكل رباعي محدب. يكون المضلع محدبًا عندما يتم تمديد أي جانب منه إلى خط مستقيم ، ستكون جميع الجوانب الأخرى للمضلع على نفس الجانب من هذا الخط المستقيم.

لنفترض أن متوازي الأضلاع ABCD هو الضلع المقابل لـ CD ، و BC هو الضلع المقابل لـ AD. ثم يتبع من تعريف متوازي الأضلاع أن AB || قرص مضغوط ، BC || ميلادي.

الأجزاء المتوازية ليس لها نقاط مشتركة ، فهي لا تتقاطع. هذا يعني أن القرص المضغوط يقع على جانب واحد من AB. نظرًا لأن الجزء BC يربط النقطة B من المقطع AB بالنقطة C من القطعة CD ، والجزء AD يربط النقاط الأخرى AB و CD ، فإن المقطعين BC و AD يقعان أيضًا على نفس الجانب من الخط AB ، حيث يقع القرص المضغوط. وهكذا ، فإن الأضلاع الثلاثة - CD ، BC ، AD - تقع على نفس الجانب من AB.

وبالمثل ، فقد ثبت أنه فيما يتعلق بالجوانب الأخرى لمتوازي الأضلاع ، تقع الأضلاع الثلاثة الأخرى على نفس الجانب.

الأضلاع والزوايا المتقابلة متساوية

إحدى خصائص متوازي الأضلاع هي أن في متوازي الأضلاع الأضلاع المتقابلة والزوايا المتقابلة متساوية. على سبيل المثال ، إذا تم إعطاء متوازي أضلاع ABCD ، فسيكون له AB = CD ، AD = BC ، ∠A = ∠C ، ∠B = ∠D. تم إثبات هذه النظرية على النحو التالي.

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي. إذن لها قطرين. بما أن متوازي الأضلاع هو شكل رباعي محدب ، فإن أيًا منهم يقسمه إلى مثلثين. ضع في اعتبارك المثلثين ABC و ADC في متوازي الأضلاع ABCD الذي تم الحصول عليه عن طريق رسم القطر AC.

هذه المثلثات لها جانب واحد مشترك - AC. الزاوية BCA تساوي الزاوية CAD ، وكذلك الرأسيات بالتوازي BC و AD. الزاويتان BAC و ACD متساويتان أيضًا ، وكذلك الزوايا الرأسية عندما يكون AB و CD متوازيين. لذلك ، ∆ABC = ∆ADC على زاويتين والجانب بينهما.

في هذه المثلثات ، يقابل الضلع AB الضلع CD ، والجانب BC يقابله AD. لذلك ، AB = CD و BC = AD.

الزاوية B تقابل الزاوية D ، أي ∠B = ∠D. الزاوية أ في متوازي الأضلاع هي مجموع زاويتين - ∠BAC و CAD. تتكون الزاوية C يساوي ∠BCA و ∠ACD. بما أن زوجي الزوايا متساويان ، إذن ∠A = ∠C.

وهكذا ، ثبت أن الأضلاع والزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية.

قطع الأقطار إلى النصف

بما أن متوازي الأضلاع شكل رباعي محدب ، فإن له قطرين ، ويتقاطعان. لنفترض أن متوازي الأضلاع ABCD يتقاطع مع قطريه AC و BD عند النقطة E. انظر إلى المثلثين ABE و CDE اللذين شكلاهما.

هذه المثلثات لها ضلعان AB و CD متساويان في الأضلاع المتقابلة في متوازي أضلاع. الزاوية ABE تساوي الزاوية CDE حيث تقعان عبر الخطين المتوازيين AB و CD. للسبب نفسه ، ∠BAE = ∠DCE. ومن ثم ، فإن ∆ABE = ∆CDE على زاويتين والجانب بينهما.

يمكنك أيضًا ملاحظة أن الزوايا AEB و CED عموديتان ، وبالتالي متساويتان أيضًا.

بما أن المثلثين ABE و CDE متساويان ، كذلك كل العناصر المقابلة لهما. يقابل الضلع AE للمثلث الأول الضلع CE للثاني ، لذا AE = CE. وبالمثل ، BE = DE. يشكل كل زوج من الأجزاء المتساوية قطري متوازي الأضلاع. وهكذا ثبت أن يتم تقسيم أقطار متوازي الأضلاع بنقطة التقاطع.

تعريف

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية.

نظرية (أول علامة على متوازي الأضلاع)

إذا كان ضلعان في الشكل الرباعي متساويين ومتوازيين ، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

دليل - إثبات

اجعل الجانبين \ (AB \) و \ (CD \) للشكل الرباعي \ (ABCD \) متوازيين و \ (AB = CD \).

ارسم قطريًا \ (AC \) قسّم الشكل الرباعي المحدد إلى مثلثين متساويين: \ (ABC \) و \ (CDA \). هذه المثلثات متساوية في جانبين والزاوية بينهما (\ (AC \) هي الضلع المشترك ، \ (AB = CD \) حسب الحالة ، \ (\ الزاوية 1 = \ الزاوية 2 \) كزاوية الكذب بالعرض عند تقاطع الخطوط المتوازية \ (AB \) و \ (CD \) القاطع \ (AC \)) ، لذلك \ (\ الزاوية 3 = \ الزاوية 4 \). لكن الزوايا \ (3 \) و \ (4 \) تقعان بالعرض عند تقاطع الخطين \ (AD \) و \ (قبل الميلاد \) للقاطع \ (AC \) ، وبالتالي ، \ (AD \ موازية BC \). وهكذا ، في الشكل الرباعي \ (ABCD \) ، يكون الضلعان المتقابلان متوازيين ، وبالتالي فإن الشكل الرباعي \ (ABCD \) هو متوازي أضلاع.

النظرية (الميزة الثانية لمتوازي الأضلاع)

إذا كانت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية في أزواج ، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

دليل - إثبات

ارسم قطريًا \ (AC \) للرباع المعطى \ (ABCD \) قسّمه إلى مثلثات \ (ABC \) و \ (CDA \).

هذه المثلثات متساوية في ثلاثة جوانب (\ (AC \) شائع ، \ (AB = CD \) و \ (BC = DA \) بالافتراض) ، لذلك \ (\ الزاوية 1 = \ الزاوية 2 \) كاذبة بالعرض في \ (AB \) و \ (CD \) والقاطع \ (AC \). ويترتب على ذلك \ (AB \ القرص المتوازي \). بما أن \ (AB = CD \) و \ (AB \ CD متوازي \) ، إذن وفقًا للمعيار الأول لمتوازي الأضلاع ، يكون الشكل الرباعي \ (ABCD \) متوازي أضلاع.

نظرية (العلامة الثالثة لمتوازي الأضلاع)

إذا تقاطعت الأقطار في الشكل الرباعي وكانت نقطة التقاطع منقسمة ، فإن هذا الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

دليل - إثبات

ضع في اعتبارك شكل رباعي \ (ABCD \) يتقاطع فيه الأقطار \ (AC \) و \ (BD \) عند النقطة \ (O \) ويقسمان هذه النقطة.

المثلثات \ (AOB \) و \ (COD \) متساوية بالمعيار الأول للمساواة بين المثلثات (\ (AO = OC \) ، \ (BO = OD \) حسب الحالة ، \ (\ زاوية AOB = \ زاوية COD \) كأركان عمودية) ، لذلك \ (AB = CD \) و \ (\ زاوية 1 = \ زاوية 2 \). من مساواة الزوايا \ (1 \) و \ (2 \) (الكذب المتقاطع عند \ (AB \) و \ (CD \) والقاطع \ (AC \)) يتبع ذلك \ (AB \ متوازي قرص مضغوط \).

لذلك ، في الشكل الرباعي \ (ABCD \) ، تكون الأضلاع \ (AB \) و \ (CD \) متساوية ومتوازية ، مما يعني أنه وفقًا للمعيار الأول لمتوازي الأضلاع ، فإن الشكل الرباعي \ (ABCD \) هو متوازي الاضلاع.

خصائص متوازي الأضلاع:

1. في متوازي الأضلاع ، الأضلاع المتقابلة متساوية والزوايا المتقابلة متساوية.

2. يتم تقسيم أقطار متوازي الأضلاع بواسطة نقطة التقاطع.

خصائص منصف متوازي الأضلاع:

1. منصف متوازي الأضلاع يقطع منه مثلث متساوي الساقين.

2. تتقاطع منصفات الزوايا المتجاورة لمتوازي أضلاع بزاوية قائمة.

3. مقاطع المنصف ذات الزوايا المتقابلة متساوية ومتوازية.

دليل - إثبات

1) لنكن \ (ABCD \) متوازي أضلاع ، \ (AE \) يكون منصف الزاوية \ (BAD \).

الزوايا \ (1 \) و \ (2 \) متساوية لأنها تقع عبر الخطوط المتوازية \ (AD \) و \ (BC \) والقاطع \ (AE \). الزاويتان \ (1 \) و \ (3 \) متساويتان لأن \ (AE \) منصف. في النهاية \ (\ الزاوية 3 = \ الزاوية 1 = \ الزاوية 2 \)ومن هنا يتبين أن المثلث \ (ABE \) متساوي الساقين.

2) لنفترض أن \ (ABCD \) متوازي أضلاع ، \ (AN \) و \ (BM \) ليكونا نصفي الزوايا \ (BAD \) و \ (ABC \) ، على التوالي.

بما أن مجموع الزوايا أحادية الجانب عند الخطوط المتوازية والقاطع هو \ (180 ^ (\ circ) \) ، إذن \ (\ زاوية داب + \ زاوية أبج = 180 ^ (\ دائرة) \).

بما أن \ (AN \) و \ (BM \) منصفان ، إذن \ (\ الزاوية BAN + \ الزاوية ABM = 0.5 (\ الزاوية DAB + \ الزاوية ABC) = 0.5 \ cdot 180 ^ \ circ = 90 ^ (\ circ) \)، أين \ (\ زاوية AOB = 180 ^ \ دائرة - (\ زاوية BAN + \ زاوية ABM) = 90 ^ \ دائرة \).

3. لنفترض أن \ (AN \) و \ (CM \) هما منصف زوايا متوازي الأضلاع \ (ABCD \).

بما أن الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية \ (\ الزاوية 2 = 0.5 \ cdot \ الزاوية BAD = 0.5 \ cdot \ الزاوية BCD = \ الزاوية 1 \). بالإضافة إلى ذلك ، فإن الزوايا \ (1 \) و \ (3 \) متساوية كما لو كانت عبر خطوط متوازية \ (AD \) و \ (BC \) والقاطع \ (سم \) ، ثم \ (\ زاوية 2 = \ زاوية 3 \) مما يدل على ذلك \ (AN \ متوازي CM \). أيضًا ، \ (AM \ متوازي CN \) ، ثم \ (ANCM \) هو متوازي أضلاع ، وبالتالي \ (AN = CM \).

تعريف

متوازي الاضلاعيسمى شكل رباعي الأضلاع المتقابلة متوازية.

تسمى نقطة تقاطع أقطار متوازي الأضلاع المركز.

خصائص متوازي الأضلاع:

1. مجموع أي زاويتين متجاورتين في متوازي أضلاع هو $ 180 ^ (\ circ) $ والزوايا المقابلة متساوية.
2. أضلاع متوازي أضلاع متساوية.
3. تتقاطع أقطار متوازي الأضلاع وتشطر نقطة التقاطع.

دليل - إثبات

دعونا نعطي متوازي الأضلاع $ ABCD $.

1. لاحظ أن الزاويتين المتجاورتين $ A $ و $ B $ لمتوازي الأضلاع هما جزء داخلي من جانب واحد للخطوط المتوازية $ AD $ و $ BC $ والزاوية $ AB $ ، أي أن مجموعهما يساوي $ 180 ^ \ circ $. وبالمثل بالنسبة لأزواج الزوايا الأخرى.

إذا كان $ \ زاوية أ + \ زاوية ب = 180 ^ \ دائرة $ و $ \ زاوية ج + \ زاوية ب = 180 ^ \ دائرة $ ، إذن $ \ زاوية أ = \ زاوية C $. وبالمثل ، $ \ angle B = \ angle D $.

2. ضع في اعتبارك المثلثات $ ABC $ و $ CDA $. ويترتب على التوازي بين الضلعين المتقابلين لمتوازي الأضلاع أن $ \ زاوية BAC = \ زاوية DCA $ و $ \ زاوية BCA = \ زاوية DAC $. نظرًا لأن $ AC $ شائع ، فإن المثلثات $ ABC $ و $ CDA $ متساوية في المعيار الثاني. ويترتب على المساواة بين المثلثات أن $ AB = CD $ و $ BC = AD $.

3. بما أن متوازي الأضلاع هو شكل رباعي محدب ، فإن قطريه يتقاطعان. لنفترض أن $ O $ هو نقطة التقاطع. بما أن الضلع $ BC $ و $ AD $ متوازي الأضلاع ، فإن هذا يعني أن $ \ angle OAD = \ angle OCB $ و $ \ angle ODA = \ angle OBC $. بالنظر إلى المساواة $ BC = AD $ ، نحصل على أن المثلثين $ AOD $ و $ COB $ متساويان في المعيار الثاني. لذلك ، $ AO = CO $ و $ DO = BO $ ، كما هو مطلوب.

ملامح متوازي الأضلاع:

1. إذا كان مجموع أي زاويتين متجاورتين في الشكل الرباعي يساوي $ 180 ^ (\ circ) $ ، فإن هذا الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.
2. إذا كانت الزوايا المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية في أزواج ، فإن هذا الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.
3. إذا كانت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية في أزواج ، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.
4. إذا كان ضلعان في الشكل الرباعي متساويين ومتوازيين ، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.
5. إذا تم تقسيم أقطار الشكل الرباعي من خلال نقطة تقاطعها ، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

دليل - إثبات

دعونا نعطي الشكل الرباعي $ ABCD $.

1. لاحظ أن الزاويتين المتجاورتين $ A $ و $ B $ هما جانب واحد داخليان للخطوط $ AD $ و $ BC $ والزاوية $ AB $. بما أن مجموعهما 180 $ ^ \ circ $ ، فإن السطر $ AD $ و $ BC $ متوازيان. وبالمثل بالنسبة لزوج آخر من الخطوط ، فإن $ ABCD $ متوازي أضلاع بحكم التعريف.

2. لاحظ أن $ \ زاوية أ + \ زاوية ب + \ زاوية ج + \ زاوية د = 360 ^ \ دائرة $. إذا كان $ \ angle A = \ angle C $ و $ \ angle B = \ angle D $ ، فإن $ \ angle A + \ angle B = 180 ^ \ circ $ وبالمثل للأزواج الأخرى من الزوايا المجاورة. بعد ذلك ، نستخدم الميزة السابقة.

3. ضع في اعتبارك المثلثات $ ABC $ و $ CDA $. نظرًا لأن $ AC $ هو أمر شائع ، فإنه ينتج عن تساوي الأضلاع المتقابلة من متوازي الأضلاع أن المثلثين $ ABC $ و $ CDA $ متساويان في المعيار الثالث. لذلك ، $ \ زاوية BAC = \ زاوية DCA $ و $ \ زاوية BCA = \ زاوية DAC $ ، مما يعني أن الأضلاع المتقابلة متوازيتان.

4. لنفترض أن $ BC $ و $ AD $ متساويين ومتوازيين. ضع في اعتبارك المثلثات $ ABC $ و $ CDA $. ويترتب على التوازي بين الخطوط أن $ \ زاوية BCA = \ زاوية DAC $. بما أن $ AC $ عام و $ BC = AD $ ، فإن المثلثين $ ABC $ و $ CDA $ متساويان في المعيار الأول. ومن ثم فإن $ AB = CD $. بعد ذلك ، نستخدم الميزة السابقة.

5. لنفترض أن $ O $ هو نقطة تقاطع الأقطار و $ AO = CO $ ، و $ DO = BO $. مع الأخذ في الاعتبار تساوي الزوايا الرأسية ، نحصل على أن المثلثين $ AOD $ و $ COB $ متساويان في المعيار الأول. لذلك ، فإن $ \ angle OAD = \ angle OCB $ ، مما يعني أن $ BC $ و $ AD $ متوازيان. وبالمثل بالنسبة للزوجين الآخرين.

تعريف

يسمى الشكل الرباعي بثلاث زوايا قائمة مستطيل.

خصائص المستطيل:

1. قطري المستطيل متساويان.

دليل - إثبات

دع المستطيل يعطى $ ABCD $. بما أن المستطيل متوازي أضلاع ، فإن أضلاعه المقابلة متساوية. ثم المثلثان القائمان الزاوية $ ABD $ و $ DCA $ متساويان في قدمين ، ومن هنا يتبع ذلك أن $ BD = AC $.

ميزات المستطيل:

1. إذا كان متوازي الأضلاع له زاوية قائمة ، فإن متوازي الأضلاع هو مستطيل.
2. إذا تساوت أقطار متوازي الأضلاع ، فإن متوازي الأضلاع هو مستطيل.

دليل - إثبات

1. إذا كان أحد أركان متوازي الأضلاع زاوية قائمة ، إذن ، مع الأخذ في الاعتبار أن مجموع الزوايا المجاورة يساوي $ 180 ^ (\ circ) $ ، فسنجد أن الزوايا الأخرى صحيحة أيضًا.

2. اجعل القطرين $ AC $ و $ BD $ متساويين في متوازي الأضلاع $ ABCD $. مع الأخذ في الاعتبار المساواة بين الضلعين المتقابلين $ AB $ و $ DC $ ، نحصل على أن المثلثين $ ABD $ و $ DCA $ متساويان في المعيار الثالث. لذلك ، $ \ angle BAD = \ angle CDA $ ، أي أنها مستقيمة. يبقى لاستخدام العلامة السابقة.

تعريف

يسمى الشكل الرباعي الذي تتساوى فيه جميع الأطراف معين.

خصائص المعين:

1. أقطار المعين متعامدة بشكل متبادل وتكون منصفات زواياها.

دليل - إثبات

دع الأقطار $ AC $ و $ BD $ في المعين $ ABCD $ يتقاطعان عند النقطة $ O $. بما أن المعين متوازي أضلاع ، فإن $ AO = OC $. خذ بعين الاعتبار مثلث متساوي الساقين $ ABC $. نظرًا لأن $ AO $ هو الوسيط المرسوم على القاعدة ، فهو إذن المنصف والارتفاع ، كما هو مطلوب.

علامات المعين:

1. إذا كان قطرا متوازي الأضلاع متعامدين بشكل متبادل ، فإن هذا متوازي الأضلاع هو معين.
2. إذا كان قطري متوازي الأضلاع هو منصف زاويته ، فإن متوازي الأضلاع هو معين.

دليل - إثبات

دع القطرين $ AC $ و $ BD $ في متوازي الأضلاع $ ABCD $ يتقاطعان عند النقطة $ O $. خذ بعين الاعتبار المثلث $ ABC $.

1. إذا كانت الأقطار متعامدة ، فإن $ BO $ هو متوسط ​​ارتفاع المثلث.

2. إذا كان القطر $ BD $ يحتوي على منصف الزاوية $ ABC $ ، فإن $ BO $ هو وسيط ومنصف المثلث.

في كلتا الحالتين ، نجد أن المثلث $ ABC $ متساوي الساقين ، وفي متوازي الأضلاع الأضلاع المتجاورة متساوية. لذلك ، فهو معين ، كما هو مطلوب.

تعريف

يسمى المستطيل مع ضلعين متجاورين متساويين ميدان.

ميزات المربع:

1. إذا كان المعين له زاوية قائمة ، فإن هذا المعين يكون مربعًا.
2. إذا كان المعين له أقطار متساوية ، فإن المعين يكون مربعًا.

دليل - إثبات

إذا كان متوازي الأضلاع له زاوية قائمة أو أقطار متساوية ، فهو مستطيل. إذا كان الشكل الرباعي مستطيلًا ومعينًا ، فهو مربع.