На данном уроке будут рассмотрены правила умножения и деления алгебраических дробей, а также примеры на применение данных правил. Умножение и вычитание алгебраических дробей не отличается от умножения и деления обыкновенных дробей. Вместе с тем, наличие переменных приводит к несколько более сложным способам упрощения полученных выражений. Несмотря на то, что умножение и деление дробей выполняется проще, чем их сложение и вычитание, к изучению данной темы необходимо подойти крайне ответственно, поскольку в ней существует много «подводных камней», на которые обычно не обращают внимания. В рамках урока мы не только изучим правила умножения и деления дробей, но и разберём нюансы, которые могут возникнуть при их применении.
Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями
Урок: Умножение и деление алгебраических дробей
1. Правила умножения и деления обыкновенных и алгебраических дробей
Правила умножения и деления алгебраических дробей абсолютно аналогичны правилам умножения и деления обыкновенных дробей. Напомним их:
То есть, для того, чтобы умножить дроби, необходимо умножить их числители (это будет числитель произведения), и умножить их знаменатели (это будет знаменатель произведения).
Деление на дробь - это умножение на перевёрнутую дробь, то есть, для того, чтобы разделить две дроби, необходимо первую из них (делимое) умножить на перевёрнутую вторую (делитель).
2. Частные случаи применения правил умножения и деления дробей
Несмотря на простоту данных правил, многие при решении примеров по данной теме допускают ошибки в ряде частных случаев. Рассмотрим подробнее эти частные случаи:
Во всех этих правилах мы пользовались следующим фактом: .
3. Примеры умножения и деления обыкновенных дробей
Решим несколько примеров на умножение и деление обыкновенных дробей, чтобы вспомнить, как пользоваться указанными правилами.
Пример 1
Примечание: при сокращении дробей мы пользовались разложением числа на простые множители. Напомним, что простыми числами
называются такие натуральные числа, которые делятся только на и на само себя. Остальные числа называются составными
. Число не относится ни к простым, ни к составным. Примеры простых чисел: 
.
Пример 2
Рассмотрим теперь один из частных случаев с обыкновенными дробями.
Пример 3
Как видим, умножение и деление обыкновенных дробей, в случае правильного применения правил, не является сложным.
4. Примеры умножения и деления алгебраических дробей (простые случаи)
Рассмотрим умножение и деление алгебраических дробей.
Пример 4
Пример 5
Отметим, что сокращать дроби после умножения можно и даже нужно по тем же правилам, которые мы до этого рассматривали на уроках, посвящённых сокращению алгебраических дробей. Рассмотрим несколько простых примеров на частные случаи.
Пример 6
Пример 7
Рассмотрим теперь несколько более сложных примеров на умножение и деление дробей.
Пример 8
Пример 9
Пример 10
Пример 11
Пример 12
Пример 13
5. Примеры умножения и деления алгебраических дробей (сложные случаи)
До этого мы рассматривали дроби, в которых и числитель, и знаменатель являлись одночленами. Однако в ряде случаев необходимо перемножить или поделить дроби, числители и знаменатели которых являются многочленами. В этом случае правила остаются такими же, а для сокращения необходимо использовать формулы сокращённого умножения и вынесение за скобки.
Пример 14
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Электронная рабочая тетрадь по алгебре для 8 класса
Мультимедийное учебное пособие для 8 класса "Алгебра за 10 минут"
Предварительное разложение алгебраической дроби на множители
Перед началом работы с дробями, а именно на умножении и делении, желательно произвести разложение числителя и знаменателя на множители. Это облегчит разложение на множители дроби, которая получится в результате математического действия.Например, дана дробь:
$\frac{8x+8y}{16}$.
Произведем тождественное преобразование, то есть разложим числитель на множители.
$\frac{8x+8y}{16}=\frac{8(x+y)}{16}$.
Или, например, дана такая дробь:
$\frac{x^2-y^2}{x+1}$.
Её лучше привести к такому виду:
$\frac{x^2-y^2}{x+1}=\frac{(x+y)(x-y)}{x+1}$.
Не забываем про свойство:
$(b-a)^2=(a-b)^2$.
Умножение алгебраических дробей с одинаковыми и разными знаменателями
Умножение алгебраических дробей производится так же, как и умножение обыкновенных дробей. Перемножаются между собой числители и знаменатели.В виде формулы это можно представить следующим образом:
$\frac{a}{b}*\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1.
Вычислите:
$\frac{5x+5y}{x-y}*\frac{x^2-y^2}{10x}$.
Разложим дробь на множители.
$\frac{5x+5y}{x-y}*\frac{x^2-y^2}{10x}=\frac{5(x+y)}{x-y}*\frac{(x-y)(x+y)}{10x}$.
Приведем обе дроби к общему знаменателю (вспомним урок: "Сложение и вычитание дробей ", где были подсказки, как лучше и проще подбирать общий знаменатель). В итоге получим дробь.
$\frac{5(x+y)(x-y)(x+y)}{(x-y)*10x}=\frac{(x+y)^2}{2x}$
Пример 2.
Вычислите:
$\frac{7a^3b^5}{3a-3b}*\frac{6b^2-12ab+6a^2}{49a^4b^5}$.
Разложим на составные множители и сократим дробь.
$\frac{7a^3b^5}{3a-3b}*\frac{6(b^2-2ab+a^2)}{49a^4b^5}=\frac{7a^3b^5*6(b-a)^2}{3(a-b)*49a^4b^5}=\frac{2(b-a)^2}{7a(a-b)}$.
Деление алгебраических дробей с одинаковыми и разными знаменателями
Деление дробей производится так же, как и деление обыкновенных дробей, то есть нужно дробь "делителя" перевернуть и произвести умножение.$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}$
Рассмотрим примеры.
Пример 3.
Выполните действия:
$\frac{x^3-1}{8y}:\frac{x^2+x+1}{16y^2}$.
Разложим дроби на множители.
$\frac{x^3-1}{8y}:\frac{x^2+x+1}{16y^2}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{8y}:\frac{x^2+x+1}{16y^2}$.
Теперь переворачиваем дробь и умножаем.
$\frac{(x-1)(x^2+x+1)*16y^2}{8y*(x^2+x+1)}=2y*(x-1)$.
Пример 4.
Вычислите:
$\frac{a^4-b^4}{ab+2b-3a-6}:\frac{b-a}{a+2}$.
Разложим на множители и сгруппируем многочлены.
$\frac{a^4-b^4}{ab+2b-3a-6}:\frac{b-a}{a+2}=\frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{(ab+2b)-(3a+6)}:\frac{b-a}{a+2}=$
$\frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}{b(a+2)-3(a+2)}:\frac{b-a}{a+2}$.
Переворачиваем и умножаем дроби.
$\frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a+2)}{(a+2)(b-3)(b-a)}=\frac{-(a+b)(a^2+b^2)}{(b-3)}$.
На данном уроке будут рассмотрены правила умножения и деления алгебраических дробей, а также примеры на применение данных правил. Умножение и деление алгебраических дробей не отличается от умножения и деления обыкновенных дробей. Вместе с тем, наличие переменных приводит к несколько более сложным способам упрощения полученных выражений. Несмотря на то, что умножение и деление дробей выполняется проще, чем их сложение и вычитание, к изучению данной темы необходимо подойти крайне ответственно, поскольку в ней существует много «подводных камней», на которые обычно не обращают внимания. В рамках урока мы не только изучим правила умножения и деления дробей, но и разберём нюансы, которые могут возникнуть при их применении.
Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями
Урок: Умножение и деление алгебраических дробей
Правила умножения и деления алгебраических абсолютно аналогичны правилам умножения и деления обыкновенных дробей. Напомним их:
То есть, для того, чтобы умножить дроби, необходимо умножить их числители (это будет числитель произведения), и умножить их знаменатели (это будет знаменатель произведения).
Деление на дробь - это умножение на перевёрнутую дробь, то есть, для того, чтобы разделить две дроби, необходимо первую из них (делимое) умножить на перевёрнутую вторую (делитель).
Несмотря на простоту данных правил, многие при решении примеров по данной теме допускают ошибки в ряде частных случаев. Рассмотрим подробнее эти частные случаи:
Во всех этих правилах мы пользовались следующим фактом: .
Решим несколько примеров на умножение и деление обыкновенных дробей, чтобы вспомнить, как пользоваться указанными правилами.
Пример 1
Примечание:
при сокращении дробей мы пользовались разложением числа на простые множители. Напомним, что простыми числами
называются такие натуральные числа, которые делятся только на и на само себя. Остальные числа называются составными
. Число не относится ни к простым, ни к составным. Примеры простых чисел: 
.
Пример 2
Рассмотрим теперь один из частных случаев с обыкновенными дробями.
Пример 3
Как видим, умножение и деление обыкновенных дробей, в случае правильного применения правил, не является сложным.
Рассмотрим умножение и деление алгебраических дробей.
Пример 4
Пример 5
Отметим, что сокращать дроби после умножения можно и даже нужно по тем же правилам, которые мы до этого рассматривали на уроках, посвящённых сокращению алгебраических дробей. Рассмотрим несколько простых примеров на частные случаи.
Пример 6
Пример 7
Рассмотрим теперь несколько более сложных примеров на умножение и деление дробей.
Пример 8
Пример 9
Пример 10
Пример 11
Пример 12
Пример 13
До этого мы рассматривали дроби, в которых и числитель, и знаменатель являлись одночленами. Однако в ряде случаев необходимо перемножить или поделить дроби, числители и знаменатели которых являются многочленами. В этом случае правила остаются такими же, а для сокращения необходимо использовать формулы сокращённого умножения и вынесение за скобки.
Пример 14
Пример 15
Пример 16
Пример 17
Пример 18
Чтобы выполнить умножение алгебраических (рациональных) дробей, надо:
1) В числитель записать произведение числителей, в знаменатель — произведение знаменателей этих дробей.
При этом многочлены нужно .
2) Если можно, сократить дробь.
Замечание.
При умножении сумму и разность необходимо заключить в скобки.
Примеры умножения алгебраических дробей.
При умножении алгебраических дробей отдельно умножаем числители, отдельно — знаменатели этих дробей:
Сокращаем 36 и 45 на 9, 22 и 55 на 11, a² и на a a, b и b на b, c⁵ и c² на c²:
Чтобы умножить алгебраические дроби, нужно числитель умножить на числитель, а знаменатель — на знаменатель. Так как в числителях и знаменателях данных дробей стоят многочлены, их нужно .
В числителе первой дроби выносим за скобки общий множитель 3. Числитель второй дроби раскладываем на множители как разность квадратов. В знаменателе первой дроби — квадрат разности. В знаменателе второй дроби выносим за скобки общий множитель 5:
Дробь можно сократить на (x+3) и (2x-1):
Умножаем числитель на числитель, знаменатель — на знаменатель. Знаменатель второй дроби раскладываем на множители по формуле разности квадратов:
(a-b) и (b-a) отличаются только знаком. Вынесем «минус» за скобки, например, в числителе. После этого сократим дробь на (a-b) и на a:
При умножении алгебраических дробей числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель. Входящие в них многочлены пытаемся разложить на множители.
В первой дроби в числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — сумма кубов. Во второй дроби в числителе — (часть формулы суммы кубов), в знаменателе есть общий множитель 3, который выносим за скобки:
Сокращаем дробь на (x+3)² и (x²-3x+9):
В алгебре действия с алгебраическими (рациональными) дробями могут встречаться как в виде отдельного задания, так и в ходе решении других примеров, например, решения уравнений и неравенств. Вот почему важно вовремя научиться умножать, делить, складывать и вычитать такие дроби.
Рубрика: |Мы умеем выполнять умножение и деление арифметических дробей, например:
если буквы a, b, c и d обозначают арифметические целые числа.
Возникает вопрос, не остаются ли в силе эти равенства, если a, b, c и d будут обозначать: 1) какие-нибудь арифметические числа и 2) любые относительные числа.
Прежде всего придется рассмотреть сложные дроби, например:
Этих примеров уже достаточно, чтобы убедиться в справедливости равенств, относящихся к умножению и делению дробей, когда числа a, b, c и d какие угодно (целые или дробные) арифметические. Заметим, что основных равенств лишь 2, а именно:
Остается теперь рассмотреть, останутся ли справедливыми эти равенства, если некоторые из чисел a, b, c и d предположить отрицательными: если, например, a отрицательное число, b, c и d – положительные, то дробь отрицательна, а дробь положительна; поэтому, например, от деления на должно получиться отрицательное число, но мы видим, что, согласно нашему предположению, и выражение должно выразить отрицательное число, т. е. равенство оправдывается и в этом случае. Легко также рассмотреть и другие предположения для знаков числе a, b, c и d . Результатом этого рассмотрения является убеждение в справедливости равенств
и для случая, когда a, b, c и d выражают любые относительные числа, т. е. для умножения и деления алгебраических дробей остаются в силе те же правила, как и для арифметических.
Теперь мы можем выполнять умножение и деление алгебраических дробей. Наибольшие затруднения представляет здесь вопрос о сокращении дробей, получаемых после умножения или деления. Если алгебраические дроби одночленные, то сокращение полученного результата не представит затруднений, а если дроби алгебраические, то является необходимым предварительно числителя и знаменателя каждой из данных дробей разлагать на множители.
