Počnimo proučavati temu " Neodređeni integral", a također ćemo detaljno analizirati primjere rješenja najjednostavnijih (i ne tako jednostavnih) integrala. Kao i obično, ograničit ćemo se na minimum teorije, koja se nalazi u brojnim udžbenicima; naš zadatak je naučiti rješavati integrale.
Što je potrebno znati za uspješno svladavanje gradiva? Kako biste se nosili s integralnim računom, morate biti u mogućnosti pronaći derivacije na minimalnoj razini, na srednjoj razini. Neće biti gubitak iskustva ako iza sebe imate nekoliko desetaka, ili još bolje, stotina neovisno pronađenih derivata. U najmanju ruku, ne bi vas trebali zbuniti zadaci razlikovanja najjednostavnijih i najčešćih funkcija.
Čini se, kakve veze imaju izvodnice ako je članak o integralima?! Evo u čemu je stvar. Činjenica je da su nalaženje izvodnica i nalaženje neodređenih integrala (diferencijacija i integracija) dvije međusobno obrnute radnje, poput zbrajanja/oduzimanja ili množenja/dijeljenja. Dakle, bez vještine i bilo kakvog iskustva u pronalaženju derivata, nažalost, ne možete ići naprijed.
S tim u vezi trebat će nam sljedeće nastavni materijali: Tablica izvedenica I Tablica integrala.
Koja je poteškoća u učenju neodređenih integrala? Ako u derivatima postoji strogo 5 pravila diferencijacije, tablica derivata i prilično jasan algoritam radnji, onda je u integralima sve drugačije. Postoje deseci integracijskih metoda i tehnika. A, ako je metoda integracije u početku pogrešno odabrana (tj. ne znate kako riješiti), tada se integral može "bockati" doslovno danima, poput prave slagalice, pokušavajući uočiti razne tehnike i trikove. Nekima se to čak i sviđa.
Inače, često smo se čuli sa studentima (ne humanitarne specijalnosti) mišljenje poput: "Nikada me nije zanimalo rješavanje granice ili derivacije, ali integrali su sasvim druga stvar, to je fascinantno, uvijek postoji želja za "hakiranjem" složenog integrala." Stop. Dosta crnog humora, prijeđimo na ove same neodređene integrale.
Budući da postoji mnogo načina da se to riješi, gdje bi onda čajnik trebao početi proučavati neodređene integrale? U integralnom računu, po našem mišljenju, postoje tri stupa ili neka vrsta “osovine” oko koje se sve ostalo vrti. Prije svega, trebali biste dobro razumjeti najjednostavnije integrale (ovaj članak).
Zatim morate detaljno proraditi lekciju. OVO JE NAJVAŽNIJA TEHNIKA! Možda čak i najvažniji članak od svih članaka o integralima. I treće, svakako biste trebali pročitati metoda integracije po dijelovima, budući da integrira široku klasu funkcija. Ako svladaš barem ove tri lekcije, onda više nećeš imati dvije. Možda će vam biti oprošteno što niste znali integrali od trigonometrijske funkcije , integrali razlomaka, integrali razlomačko-racionalnih funkcija, integrali iracionalnih funkcija (korijeni), ali ako "upadnete u probleme" s metodom zamjene ili metodom integracije po dijelovima, onda će biti vrlo, vrlo loše.
Dakle, počnimo jednostavno. Pogledajmo tablicu integrala. Kao i kod izvodnica, uočavamo nekoliko pravila integracije i tablicu integrala nekih elementarnih funkcija. Svaki tablični integral (i zapravo svaki neodređeni integral) ima oblik:
Odmah shvatimo oznake i pojmove:
– integralna ikona.
– funkcija integranda (piše se slovom “s”).
– ikona diferencijala. Vrlo brzo ćemo vidjeti što je to. Glavna stvar je da prilikom pisanja integrala i tijekom rješenja važno ne izgubiti ovu ikonu. Bit će primjetan nedostatak.
– izraz integranda ili “popunjavanje” integrala.
– antiderivativan funkcija.
– . Nema potrebe da se previše opterećujemo terminima; najvažnije je da se u svakom neodređenom integralu odgovoru doda konstanta.
Rješavanje neodređenog integrala znači pronalaženjemnoge primitivne funkcije iz zadanog integranda
Pogledajmo ponovno unos:
Pogledajmo tablicu integrala.
Što se događa? Imamo lijeve dijelove pretvoriti u na druge funkcije: .
Pojednostavimo našu definiciju:
Riješite neodređeni integral - to znači PRETVORITI ga u nedefiniranu (do konstante) funkciju , koristeći neka pravila, tehnike i tablicu.
Uzmimo, na primjer, integral tablice 
. Što se dogodilo? Simbolička notacija razvila se u mnoge primitivne funkcije.
Kao i u slučaju derivacija, da bi se naučilo pronaći integrale, nije potrebno biti svjestan što je integral ili antiderivativna funkcija s teorijske točke gledišta. Dovoljno je jednostavno provesti transformacije prema nekim formalnim pravilima. Dakle, u slučaju Uopće nije potrebno razumjeti zašto se integral pretvara u . Ovu i druge formule možete uzeti zdravo za gotovo. Svi koriste električnu energiju, ali malo ljudi razmišlja o tome kako elektroni putuju kroz žice.
Budući da su diferencijacija i integracija suprotne operacije, za svaku antiderivaciju koja je točno pronađena vrijedi sljedeće:
Drugim riječima, ako diferencirate točan odgovor, tada morate dobiti izvornu funkciju integranda.
Vratimo se istom tabličnom integralu .
Provjerimo valjanost ove formule. Uzimamo izvod desne strane:
je izvorna funkcija integranda.
Usput, postalo je jasnije zašto se konstanta uvijek dodjeljuje funkciji. Kada se diferencira, konstanta se uvijek okreće na nulu.
Riješite neodređeni integral- znači pronaći gomila svatko antiderivati, a ne samo jedna funkcija. U primjeru tablice koji razmatramo, , , itd. – sve ove funkcije su rješenja integrala. Rješenja je beskonačno mnogo, pa ćemo to ukratko zapisati:
Stoga je bilo koji neodređeni integral prilično lako provjeriti. Ovo je neka kompenzacija za veliki broj integrali različitih vrsta.
Prijeđimo na razmatranje konkretni primjeri. Počnimo, kao u proučavanju derivata, s dva pravila integracije:
- konstantno C mogu (i trebaju) izbaciti iz integralnog predznaka.
– integral zbroja (razlike) dviju funkcija jednak zbroju(razlike) dvaju integrala. Ovo pravilo vrijedi za bilo koji broj pojmova.
Kao što vidite, pravila su u osnovi ista kao i za izvedenice. Ponekad se zovu svojstva linearnosti sastavni.
Primjer 1
Nađi neodređeni integral.
.
Izvršite provjeru.
Riješenje: Pogodnije je pretvoriti ga kao.
(1) Primijenite pravilo . Zaboravljamo zapisati ikonu diferencijala dx ispod svakog integrala. Zašto ispod svake? dx– ovo je punopravni multiplikator. Ako ga detaljno opišemo, prvi korak bi trebao biti napisan ovako:
.
(2) Prema pravilu sve konstante premjestimo preko predznaka integrala. Napominjemo da je u prošlom terminu tg 5 je konstanta, također je izbacujemo.
Osim toga, u ovom koraku pripremamo korijene i moći za integraciju. Na isti način kao kod diferencijacije, korijeni moraju biti predstavljeni u obliku . Pomaknite korijene i potencije koji se nalaze u nazivniku prema gore.
Bilješka: Za razliku od izvoda, korijene u integralima ne treba uvijek svesti na oblik , i pomaknite stupnjeve prema gore.
Na primjer, - ovo je gotovi tablični integral, koji je već izračunat prije vas, i sve vrste kineskih trikova poput 
potpuno nepotrebno. Također: – ovo je također tablični integral; nema smisla predstavljati razlomak u obliku . Pažljivo proučite tablicu!
(3) Svi naši integrali su tablični. Transformaciju provodimo pomoću tablice pomoću formula: 
, I
Za funkcija snage - 
.
Treba napomenuti da je tablični integral poseban slučaj formule za funkciju snage: 
.
Konstantno C dovoljno je jednom dodati na kraju izraza
(a ne stavljati ih iza svakog integrala).
(4) Dobiveni rezultat zapisujemo u kompaktnijem obliku, kada su sve potencije oblika
opet ih predstavljamo u obliku korijena, a potencije s negativnim eksponentom vraćamo u nazivnik.
Ispitivanje. Da biste izvršili provjeru potrebno je razlikovati primljeni odgovor:
Dobio original integrand, tj. integral je točno nađen. Ono iz čega su plesali to su se vratili. Dobro je kad priča s integralom ovako završi.
S vremena na vrijeme postoji nešto drugačiji pristup provjeri neodređenog integrala, kada se iz odgovora ne uzima derivacija, već diferencijal:
.
Kao rezultat, ne dobivamo funkciju integranda, već izraz integranda.
Nemojte se bojati koncepta diferencijala.
Diferencijal je izvod pomnožen s dx.
Međutim, ono što nam je važno nisu teorijske suptilnosti, već što dalje učiniti s ovim diferencijalom. Razlika se otkriva na sljedeći način: ikona d uklonimo ga, stavimo osnovnu oznaku desno iznad zagrade, dodamo faktor na kraj izraza dx :
Dobiven original integrand, odnosno integral je točno nađen.
Kao što vidite, diferencijal se svodi na pronalaženje derivacije. Druga metoda provjere mi se manje sviđa, jer moram dodatno nacrtati velike zagrade i povući ikonu diferencijala dx do kraja provjere. Iako je ispravnije, ili “uglednije” ili tako nešto.
Zapravo, o drugom načinu provjere moglo se šutjeti. Nije stvar u metodi, nego u tome što smo naučili otvoriti diferencijal. Opet.
Razlika se otkriva na sljedeći način:
1) ikona d ukloniti;
2) desno iznad zagrade stavljamo crtu (oznaka izvedenice);
3) na kraju izraza pridružujemo faktor dx .
Na primjer:
Zapamtite ovo. Ova tehnika će nam trebati vrlo brzo.
Primjer 2
.
Kada nađemo neodređeni integral, UVIJEK pokušavamo provjeritiŠtoviše, postoji velika prilika za to. Nisu sve vrste problema u višoj matematici dar s ove točke gledišta. Nije važno tako često testni zadaci nije potrebna nikakva provjera, nitko to ne provjerava i ništa ne sprječava da se to provede na nacrtu. Iznimka se može napraviti samo kada nema dovoljno vremena (npr. tijekom kolokvija ili ispita). Ja osobno uvijek provjeravam integrale, a izostanak provjere smatram hakerskim poslom i loše odrađenim zadatkom.
Primjer 3
Nađi neodređeni integral:
. Izvršite provjeru.
Rješenje: Analizirajući integral vidimo da pod integralom imamo umnožak dviju funkcija, pa čak i stepenovanje cijelog izraza. Nažalost, na polju integralnog bitka Ne dobro i udobno formule za integraciju umnoška i kvocijenta kao: 
ili 
.
Stoga, kada je dan umnožak ili kvocijent, uvijek ima smisla vidjeti je li moguće transformirati integrand u zbroj? Primjer koji razmatramo je slučaj kada je to moguće.
Prvo ćemo predstaviti cjelovito rješenje, komentari će biti ispod.
Dobio original integrand, što znači da je integral točno pronađen.
Tijekom testiranja uvijek je preporučljivo "spakirati" funkciju u njezin izvorni oblik, u ovom slučaju, izvaditi je iz zagrada i primijeniti skraćenu formulu množenja u obrnuti smjer: .
Primjer 4
Nađi neodređeni integral
Izvršite provjeru.
Ovo je primjer za vas da sami riješite. Odgovor i potpuno rješenje nalaze se na kraju lekcije.
Primjer 5
Nađi neodređeni integral
. Izvršite provjeru.
U ovom primjeru, integrand je razlomak. Kada vidimo razlomak u integrandu, prva pomisao bi trebala biti pitanje: "Je li moguće nekako se riješiti ovog razlomka ili ga barem pojednostaviti?"
Primjećujemo da nazivnik sadrži jedan korijen od "X". Onaj koji je na terenu nije ratnik, što znači da možemo podijeliti brojnik s nazivnikom po član:
Ne komentiramo radnje s frakcijskim potencijama, jer su o njima mnogo puta raspravljano u člancima o izvodu funkcije.
Ako ste još uvijek zbunjeni takvim primjerom kao što je
i ni u kom slučaju ne izlazi točan odgovor,
Također imajte na umu da rješenju nedostaje jedan korak, naime primjena pravila , . Obično se, s određenim iskustvom u rješavanju integrala, ova pravila smatraju očitom činjenicom i ne opisuju se detaljno.
Primjer 6
Nađi neodređeni integral. Izvršite provjeru.
Ovo je primjer za vas da sami riješite. Odgovor i potpuno rješenje nalaze se na kraju lekcije.
Općenito, s razlomcima u integralima stvari nisu tako jednostavne, dodatni materijal o integraciji razlomaka nekih vrsta možete pronaći u članku: Integriranje nekih razlomaka. No, prije nego prijeđete na gornji članak, morate se upoznati s lekcijom: Metoda supstitucije u neodređenom integralu. Poanta je da je podvođenje funkcije pod diferencijalnu ili varijabilnu metodu zamjene ključna stvar u proučavanju teme, jer se nalazi ne samo "u čistim zadacima na metodi zamjene", već iu mnogim drugim vrstama integrala.
Rješenja i odgovori:
Primjer 2: Rješenje:
Primjer 4: Rješenje:
U ovom smo primjeru koristili formulu skraćenog množenja
Primjer 6: Rješenje:
Integrali online na web stranici za studente i školarce za učvršćivanje pređenog gradiva. Svaki put kada počnete rješavati integral, morate identificirati njegovu vrstu, bez toga ne možete koristiti nijednu metodu, osim ako je ne smatrate tabelarnom. Nije svaki tablični integral jasno vidljiv iz danog primjera; ponekad morate transformirati izvornu funkciju da biste pronašli antiderivaciju. U praksi se rješavanje integrala svodi na tumačenje problema pronalaska originala, odnosno antiderivacije iz beskonačne obitelji funkcija, no ako su zadane granice integracije, tada prema Newton-Leibnizovoj formuli ostaje samo jedna jedina funkcija na koje će se morati primijeniti izračuni. Neslužbeno, online integral je područje između grafa funkcije i x-osi unutar granica integracije. Procijenimo kompleksni integral po jednoj varijabli i njegov odgovor povežimo s daljnjim rješenjem problema. Možete ga, kako kažu, pronaći izravno iz integranda. Prema glavnom teoremu analize, integracija je inverzna operacija diferencijacije, koja pomaže u rješavanju diferencijalnih jednadžbi. Ima ih nekoliko različite definicije operacije integracije koje se razlikuju u tehničkim detaljima. Međutim, sve su one kompatibilne, to jest bilo koje dvije metode integracije, ako se mogu primijeniti na danu funkciju, dat će isti rezultat. Najjednostavniji je Riemannov integral – to je određeni integral ili neodređeni integral. Neslužbeno, integral jedne varijable može se predstaviti kao površina ispod grafa (slika zatvorena između grafa funkcije i x-osi). Pokušavajući pronaći ovo područje, možemo razmotriti figure koje se sastoje od određenog broja okomitih pravokutnika, čije baze zajedno čine segment integracije i dobivene su dijeljenjem segmenta na odgovarajući broj malih segmenata. Kalkulator rješava integrale s detaljnim opisom radnji i to besplatno! Online neodređeni integral za funkciju je skup svih antiderivacija dane funkcije. Ako je funkcija definirana i kontinuirana na intervalu, tada za nju postoji antiderivativna funkcija (ili obitelj antiderivacija). Bolje je pažljivo pristupiti ovom pitanju i doživjeti unutarnje zadovoljstvo od obavljenog posla. Ali izračunavanje integrala metodom različitom od klasične ponekad dovodi do neočekivanih rezultata i tome se ne treba čuditi. Drago mi je da će ova činjenica imati pozitivan odjek na ovo što se događa. Popis određenih integrala i neodređenih integrala s potpunim detaljnim rješenjem korak po korak. Pronalaženje neodređenog integrala online vrlo je čest problem u višoj matematici i drugim tehničkim područjima znanosti. Osnovne metode integracije. Razmislite o dovršenim zgradama prije nego što se otkriju greške. Rješavanje integrala online - dobit ćete detaljno rješenje Za različiti tipovi integrali: neodređeni, određeni, nepravi. Integral funkcije je analog zbroja niza. Neformalno govoreći, određeni integral je površina dijela grafa funkcije. Često takav integral određuje koliko je neko tijelo teže od usporedivog objekta iste gustoće, a nije važno kakvog je oblika, jer površina ne upija vodu. Svaki učenik zna pronaći integral na internetu učenici mlađih razreda. Na bazi školski plan i program ovaj dio matematike također se proučava, ali ne detaljno, već samo osnove tako složene i važne teme. U većini slučajeva, studenti počinju proučavati integrale s opsežnom teorijom, kojoj također prethode važne teme, kao što su derivacije i prijelaz na granice - oni su također granice. Rješavanje integrala postupno počinje s najelementarnijim primjerima jednostavnih funkcija, a završava korištenjem mnogih pristupa i pravila predloženih u prošlom stoljeću, pa i mnogo ranije. Integralni račun služi za obrazovne svrhe u licejima i školama, odnosno u srednjim školama obrazovne ustanove. Naša web stranica uvijek će vam pomoći, a online rješavanje integrala postat će vam uobičajena pojava i, što je najvažnije, razumljiv zadatak. Na temelju ovog izvora, možete lako postići savršenstvo u ovom matematičkom dijelu. Razumijevajući pravila koja proučavate korak po korak, na primjer, integraciju po dijelovima ili primjenu Chebyshevljeve metode, možete lako riješiti bilo koji test za maksimalan broj bodova. Pa kako ipak izračunati integral, koristeći dobro poznatu tablicu integrala, ali tako da rješenje bude točno, točno i sa što točnijim odgovorom? Kako to naučiti i je li to moguće za običnog prvašića? čim prije? Odgovorimo na ovo pitanje potvrdno - možete! U isto vrijeme, ne samo da ćete moći riješiti bilo koji primjer, već i doći do razine visokokvalificiranog inženjera. Tajna je jednostavnija nego ikad - morate se maksimalno potruditi i posvetiti potrebno vrijeme samopripremi. Nažalost, nitko još nije smislio drugi način! Ali nije sve tako mutno kao što se na prvi pogled čini. Ako kontaktirate našu web stranicu s ovim pitanjem, mi ćemo vam olakšati život jer naša web stranica može detaljno izračunati integrale online, s vrlo velika brzina i besprijekorno točan odgovor. U svojoj srži, integral ne određuje kako omjer argumenata utječe na stabilnost sustava kao cjeline. Mehaničko značenje integrala nalazi se u mnogim primijenjenim problemima, kao što su određivanje volumena tijela i izračunavanje mase tijela. Trostruki i dvostruki integrali uključeni su u ove izračune. Inzistiramo da se rješavanje integrala odvija samo uz nadzor iskusnih nastavnika i kroz brojne provjere. Često nas pitaju o uspješnosti studenata koji ne idu na predavanja, izostaju ih bez razloga i kako se snalaze. sami integrali. Odgovaramo da su studenti slobodni ljudi i sasvim su sposobni učiti eksterno, pripremati se za test ili ispit u udobnosti vlastitog doma. U roku od nekoliko sekundi, naša usluga pomoći će svakome izračunati integral bilo koje dane funkcije preko varijable. Dobiveni rezultat treba provjeriti uzimanjem derivacije antiderivacijske funkcije. U tom slučaju konstanta iz rješenja integrala postaje nula. Ovo pravilo očito vrijedi za sve. Nema mnogo stranica koje pružaju odgovor korak po korak u roku od nekoliko sekundi, i što je najvažnije s visokom točnošću iu prikladnom obliku. Ali ne smijemo zaboraviti kako je moguće pronaći integral koristeći gotov servis, provjeren vremenom i na tisućama riješenih primjera na internetu.
Kompleksni integrali
Ovaj članak zaključuje temu neodređenih integrala i uključuje integrale koje smatram prilično složenima. Lekcija je nastala na višestruke zahtjeve posjetitelja koji su izrazili želju da se teži primjeri analiziraju na stranici.
Pretpostavlja se da je čitatelj ovog teksta dobro pripremljen i da zna primijeniti osnovne tehnike integracije. Lutke i ljudi koji nisu baš sigurni u integrale neka pogledaju već prvu lekciju - Neodređeni integral. Primjeri rješenja, gdje možete svladati temu gotovo od nule. Iskusniji studenti mogu se upoznati s tehnikama i metodama integracije koje do sada nisu susrele u mojim člancima.
Koji će se integrali razmatrati?
Prvo ćemo razmotriti integrale s korijenima, za čije rješavanje sukcesivno koristimo zamjena varijable I integracija po dijelovima. To jest, u jednom primjeru dvije tehnike se kombiniraju odjednom. I još više.
Zatim ćemo se upoznati sa zanimljivim i originalnim metoda svođenja integrala na sebe. Dosta integrala se rješava na ovaj način.
Treće izdanje programa bit će integrali složenih razlomaka, koji su prošli pored blagajne u prethodnim člancima.
Četvrto, analizirat će se dodatni integrali iz trigonometrijskih funkcija. Konkretno, postoje metode koje izbjegavaju dugotrajnu univerzalnu trigonometrijsku zamjenu.
(2) U funkciji integranda dijelimo brojnik s nazivnikom član po član.
(3) Koristimo svojstvo linearnosti neodređenog integrala. U posljednjem integralu odmah staviti funkciju pod predznak diferencijala.
(4) Uzimamo preostale integrale. Imajte na umu da u logaritmu možete koristiti zagrade umjesto modula, jer .
(5) Vršimo obrnutu zamjenu, izražavajući "te" iz izravne zamjene:
Mazohistički studenti mogu diferencirati odgovor i dobiti izvorni integrand, kao što sam ja upravo učinio. Ne, ne, provjerio sam u pravom smislu =)
Kao što možete vidjeti, tijekom rješavanja smo morali koristiti čak i više od dvije metode rješavanja, tako da su vam za rad s takvim integralima potrebne pouzdane vještine integracije i prilično malo iskustva.
U praksi je, naravno, kvadratni korijen češći, evo tri primjera za neovisna odluka:
Primjer 2
Nađi neodređeni integral
Primjer 3
Nađi neodređeni integral
Primjer 4
Nađi neodređeni integral
Ovi primjeri su iste vrste, tako da će kompletno rješenje na kraju članka biti samo za primjer 2; primjeri 3-4 imaju iste odgovore. Koju zamjenu koristiti na početku odluka, mislim da je očito. Zašto sam odabrao primjere iste vrste? Često se nalaze u njihovoj ulozi. Češće, možda, samo nešto slično 
.
Ali ne uvijek, kada se ispod arktangensa, sinusa, kosinusa, eksponencijala i drugih funkcija nalazi korijen linearna funkcija, morate koristiti nekoliko metoda odjednom. U nizu slučajeva moguće je "lako se riješiti", odnosno odmah nakon zamjene dobije se jednostavan integral koji se može uzeti na elementaran način. Najlakši od gore predloženih zadataka je primjer 4, u kojem se nakon zamjene dobiva relativno jednostavan integral.
Svođenjem integrala na sebe
Duhovita i lijepa metoda. Pogledajmo klasike žanra:
Primjer 5
Nađi neodređeni integral
Pod korijenom je kvadratni binom, a pokušaj integracije ovog primjera može čajniku zadati glavobolju satima. Takav se integral uzima u dijelovima i svodi na sebe. U principu, nije teško. Ako znate kako.
Označimo integral koji razmatramo latiničnim slovom i započnemo rješenje: 
Integrirajmo po dijelovima: 
(1) Pripremite funkciju integranda za dijeljenje član po član.
(2) Funkciju integranda dijelimo član po član. Možda neće svima biti jasno, ali opisat ću to detaljnije:
(3) Koristimo svojstvo linearnosti neodređenog integrala.
(4) Uzmite posljednji integral (“dugi” logaritam).
Sada pogledajmo sam početak rješenja: 
I za kraj: 
Što se dogodilo? Kao rezultat naših manipulacija, integral je reduciran na sebe!
Izjednačimo početak i kraj: 
Pomaknite se ulijevo s promjenom predznaka: 
I pomaknemo dva na desnu stranu. Kao rezultat: 
Konstantu je, strogo govoreći, trebalo dodati ranije, ali ja sam je dodao na kraju. Toplo preporučujem da pročitate o čemu se radi ovdje:
Bilješka:
Strože, završna faza rješenja izgleda ovako:
Tako:
Konstanta se može ponovno označiti s . Zašto se može prenamijeniti? Jer on to još uvijek prihvaća bilo koji vrijednosti, te u tom smislu nema razlike između konstanti i.
Kao rezultat:
Sličan trik sa stalnim renotacijama naširoko se koristi u diferencijalne jednadžbe. I tu ću biti strog. I ovdje dopuštam takvu slobodu samo kako vas ne bi zbunio nepotrebnim stvarima i kako bih pozornost usmjerio upravo na sam način integracije.
Primjer 6
Nađi neodređeni integral
Još jedan tipičan integral za neovisno rješenje. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Bit će razlika s odgovorom u prethodnom primjeru!
Ako pod korijen nalazi se kvadratni trinom, onda se rješenje u svakom slučaju svodi na dva analizirana primjera.
Na primjer, razmotrite integral 
. Sve što trebate učiniti je prvo odaberite cijeli kvadrat:
.
Zatim se provodi linearna zamjena, koja radi "bez ikakvih posljedica":
, što rezultira integralom . Nešto poznato, zar ne?
Ili ovaj primjer, s kvadratnim binomom:
Odaberite cijeli kvadrat:
I, nakon linearne zamjene, dobivamo integral, koji se također rješava pomoću algoritma o kojem smo već govorili.
Pogledajmo još dva tipična primjera redukcije integrala na sebe:
– integral eksponencijala pomnoženog sa sinusom;
– integral eksponencijala pomnoženog s kosinusom.
U navedene integrale po dijelovima morat ćete integrirati dva puta:
Primjer 7
Nađi neodređeni integral
Integrand je eksponencijal pomnožen sa sinusom.
Dvaput integriramo po dijelovima i reduciramo integral na sebe: 
Kao rezultat dvostruke integracije po dijelovima, integral se reducirao na sebe. Izjednačavamo početak i kraj rješenja:
Pomaknemo ga na lijevu stranu s promjenom predznaka i izrazimo svoj integral: 
Spreman. Istodobno, preporučljivo je češljati desnu stranu, tj. izvadite eksponent iz zagrada, au zagradama postavite sinus i kosinus u “lijepom” redoslijedu.
Vratimo se sada na početak primjera, točnije na integraciju po dijelovima: 
Eksponent smo označili kao. Postavlja se pitanje: treba li eksponent uvijek označavati s ? Nije potrebno. Zapravo, u razmatranom integralu temeljno nema veze, što mislimo pod , mogli smo ići drugim putem: 
Zašto je to moguće? Budući da se eksponencijal pretvara u sebe (i tijekom diferenciranja i integracije), sinus i kosinus se međusobno pretvaraju (opet, i tijekom diferenciranja i integracije).
Odnosno, možemo također označiti trigonometrijsku funkciju. Ali u razmatranom primjeru to je manje racionalno, jer će se pojaviti razlomci. Ako želite, možete pokušati riješiti ovaj primjer pomoću druge metode; odgovori se moraju podudarati.
Primjer 8
Nađi neodređeni integral
Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Prije nego se odlučite, razmislite što je u ovom slučaju korisnije označiti kao , eksponencijalnu ili trigonometrijsku funkciju? Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.
I, naravno, ne zaboravite da je većinu odgovora u ovoj lekciji prilično lako provjeriti diferencijacijom!
Razmotreni primjeri nisu bili najsloženiji. U praksi su češći integrali gdje je konstanta i u eksponentu iu argumentu trigonometrijske funkcije, na primjer: . Mnogi će se ljudi zbuniti u takvom integralu; i sam se često zbunim. Činjenica je da postoji velika vjerojatnost da će se razlomci pojaviti u otopini, a vrlo je lako izgubiti nešto nepažnjom. Osim toga, postoji velika vjerojatnost pogreške u predznacima; imajte na umu da eksponent ima predznak minus, a to predstavlja dodatnu poteškoću.
U završnoj fazi rezultat je često ovako:
Čak i na kraju rješenja, trebali biste biti izuzetno oprezni i ispravno razumjeti razlomke: 
Integriranje složenih razlomaka
Polako se približavamo ekvatoru lekcije i počinjemo razmatrati integrale razlomaka. Opet, nisu svi supersloženi, samo su iz ovog ili onog razloga primjeri malo "izvan teme" u drugim člancima.
Nastavljajući temu korijena
Primjer 9
Nađi neodređeni integral
U nazivniku ispod korijena nalazi se kvadratni trinom plus "pridatak" u obliku "X" izvan korijena. Integral ovog tipa može se riješiti standardnom zamjenom.
Mi odlučujemo: 
Zamjena je ovdje jednostavna: 
Pogledajmo život nakon zamjene: 
(1) Nakon supstitucije reduciramo na zajednički nazivnik pojmovi pod korijenom.
(2) Vadimo ga ispod korijena.
(3) Brojnik i nazivnik smanjeni su za . U isto vrijeme, pod korijenom, preuredio sam uvjete u prikladnom redoslijedu. Uz određeno iskustvo, korake (1), (2) možete preskočiti izvođenjem komentiranih radnji usmeno.
(4) Rezultirajući integral, kao što se sjećate iz lekcije Integriranje nekih razlomaka, odlučuje se metoda potpune kvadratne ekstrakcije. Odaberite cijeli kvadrat.
(5) Integracijom dobivamo obični “dugi” logaritam.
(6) Vršimo obrnutu zamjenu. Ako u početku , zatim natrag: .
(7) Završna radnja je usmjerena na izravnavanje rezultata: ispod korijena ponovo dovodimo pojmove na zajednički nazivnik i vadimo ih ispod korijena.
Primjer 10
Nađi neodređeni integral 
Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Ovdje se samom "X" dodaje konstanta, a zamjena je gotovo ista: 
Jedino što dodatno trebate učiniti je izraziti “x” iz zamjene koja se provodi: 
Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.
Ponekad u takvom integralu ispod korijena može biti kvadratni binom, to ne mijenja metodu rješenja, bit će još jednostavnija. Osjeti razliku:
Primjer 11
Nađi neodređeni integral
Primjer 12
Nađi neodređeni integral
Kratka rješenja i odgovori na kraju lekcije. Treba napomenuti da je primjer 11 upravo binomni integral, o čijoj se metodi rješavanja raspravljalo u razredu Integrali iracionalnih funkcija.
Integral nerastavljivog polinoma 2. stupnja na potenciju
(polinom u nazivniku)
Rjeđi tip integrala, ali se ipak susreće u praktičnim primjerima.
Primjer 13
Nađi neodređeni integral
Ali vratimo se primjeru sa sretnim brojem 13 (iskreno, nisam dobro pogodio). Ovaj integral je također jedan od onih koji mogu biti prilično frustrirajući ako ne znate kako riješiti.
Rješenje počinje umjetnom transformacijom: 
Mislim da je svima već jasno kako dijeliti brojnik nazivnikom pojam po pojam.
Rezultirajući integral uzima se u dijelovima: 
Za integral oblika ( – prirodni broj) povučeno ponavljajući formula redukcije:
, Gdje 
– integral stupnja niže.
Provjerimo valjanost ove formule za riješeni integral.
U ovom slučaju: , , koristimo formulu: 
Kao što vidite, odgovori su isti.
Primjer 14
Nađi neodređeni integral
Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Otopina uzorka koristi gornju formulu dva puta uzastopce.
Ako je ispod stupnja nedjeljiv kvadratni trinom, tada se rješenje reducira na binom izdvajanjem savršenog kvadrata, na primjer:
Što ako postoji dodatni polinom u brojniku? U ovom slučaju koristi se metoda neodređenih koeficijenata, a funkcija integranda se proširuje u zbroj razlomaka. Ali u mojoj praksi postoji takav primjer nikad upoznao, pa sam propustio ovaj slučaj u članku Integrali razlomačko-racionalnih funkcija, sad ću to preskočiti. Ako još uvijek naiđete na takav integral, pogledajte udžbenik - tamo je sve jednostavno. Mislim da nije preporučljivo uključiti materijal (čak ni jednostavan), čija je vjerojatnost susreta ravna nuli.
Integriranje složenih trigonometrijskih funkcija
Pridjev “kompliciran” za većinu je primjera opet uglavnom uvjetan. Počnimo s tangensima i kotangensima visoki stupnjevi. Sa stajališta korištenih metoda rješavanja, tangens i kotangens su gotovo iste stvari, pa ću više govoriti o tangensu, implicirajući da demonstrirana metoda za rješavanje integrala vrijedi i za kotangens.
U gornjoj lekciji koju smo pogledali univerzalna trigonometrijska supstitucija za rješavanje određene vrste integrala trigonometrijskih funkcija. Nedostatak univerzalne trigonometrijske supstitucije je ta što njezina uporaba često rezultira glomaznim integralima s teškim izračunima. A u nekim slučajevima, univerzalna trigonometrijska zamjena se može izbjeći!
Razmotrimo još jedan kanonski primjer, integral jednog podijeljenog sa sinusom:
Primjer 17
Nađi neodređeni integral
Ovdje možete koristiti univerzalnu trigonometrijsku zamjenu i dobiti odgovor, ali postoji racionalniji način. Dat ću cjelovito rješenje s komentarima za svaki korak:
(1) Koristimo trigonometrijsku formulu za sinus dvostrukog kuta.
(2) Izvodimo umjetnu transformaciju: Podijelimo nazivnik i pomnožimo s .
(3) Koristeći poznatu formulu u nazivniku, transformiramo razlomak u tangentu.
(4) Funkciju dovodimo pod predznak diferencijala.
(5) Uzmite integral.
Par jednostavni primjeri za samostalno rješenje:
Primjer 18
Nađi neodređeni integral
Napomena: Prvi korak trebao bi biti korištenje formule redukcije 
i pažljivo izvršite radnje slične prethodnom primjeru.
Primjer 19
Nađi neodređeni integral
Pa, ovo je vrlo jednostavan primjer.
Potpuna rješenja i odgovori na kraju lekcije.
Mislim da sada nitko neće imati problema s integralima: 
i tako dalje.
Koja je ideja metode? Ideja je da, koristeći transformacije, trigonometrijske formule organizirati samo tangente i derivaciju tangensa u integrandu. To je, govorimo o o zamjeni: 
. U primjerima 17-19 zapravo smo koristili ovu zamjenu, ali integrali su bili toliko jednostavni da smo prošli s ekvivalentnom radnjom - podvođenjem funkcije pod diferencijalni predznak.
Slično razmišljanje, kao što sam već spomenuo, može se izvesti za kotangens.
Postoji i formalni preduvjet za primjenu gore navedene zamjene:
Zbroj potencija kosinusa i sinusa je negativan cijeli broj Parni broj , Na primjer:
za integral – negativan cijeli PARNI broj.
! Bilješka : ako integrand sadrži SAMO sinus ili SAMO kosinus, onda se i integral uzima za negativan neparni stupanj (najjednostavniji slučajevi su u primjerima br. 17, 18).
Pogledajmo nekoliko smislenijih zadataka temeljenih na ovom pravilu:
Primjer 20
Nađi neodređeni integral
Zbroj potencija sinusa i kosinusa: 2 – 6 = –4 je negativan cijeli PARNI broj, što znači da se integral može svesti na tangente i njegovu derivaciju: 
(1) Transformirajmo nazivnik.
(2) Korištenjem poznate formule dobivamo .
(3) Transformirajmo nazivnik.
(4) Koristimo formulu 
.
(5) Funkciju dovodimo pod predznak diferencijala.
(6) Vršimo zamjenu. Iskusniji učenici možda neće izvršiti zamjenu, ali ipak je bolje zamijeniti tangentu jednim slovom - manji je rizik od zabune.
Primjer 21
Nađi neodređeni integral
Ovo je primjer koji trebate sami riješiti.
Držite se, prvenstvene runde uskoro počinju =)
Često integrand sadrži "mešanicu":
Primjer 22
Nađi neodređeni integral 
Ovaj integral u početku sadrži tangentu, što odmah dovodi do već poznate misli:
Umjetnu transformaciju ostavit ću na samom početku i preostale korake bez komentara, jer je sve već raspravljeno gore.
Par kreativni primjeri za samostalno rješenje:
Primjer 23
Nađi neodređeni integral 
Primjer 24
Nađi neodređeni integral 
Da, u njima, naravno, možete smanjiti ovlasti sinusa i kosinusa i koristiti univerzalnu trigonometrijsku zamjenu, ali rješenje će biti puno učinkovitije i kraće ako se provodi kroz tangente. Potpuno rješenje i odgovori na kraju lekcije
Određenim integralom iz kontinuirana funkcija f(x) na posljednjem segmentu [ a, b] (gdje je ) prirast nekih njegovih antiderivata na ovom segmentu. (Općenito, razumijevanje će biti znatno lakše ako ponovite temu o neodređenom integralu) U ovom slučaju koristi se oznaka
Kao što se može vidjeti na grafikonima ispod (inkrement antiderivacijske funkcije označen je sa ), određeni integral može biti ili pozitivan ili negativan broj(Izračunava se kao razlika između vrijednosti antiderivacije u gornjoj granici i njegove vrijednosti u donjoj granici, tj. F(b) - F(a)).
Brojke a I b nazivaju se donja i gornja granica integracije, a segment [ a, b] – segment integracije.
Dakle, ako F(x) – neka antiderivativna funkcija za f(x), tada je prema definiciji
(38)
Jednakost (38) se zove Newton-Leibnizova formula . Razlika F(b) – F(a) ukratko se piše ovako:
Stoga ćemo Newton-Leibnizovu formulu napisati ovako:
(39)
Dokažimo da određeni integral ne ovisi o tome koja se antiderivacija integranda uzima pri njegovom izračunavanju. Neka F(x) i F( x) su proizvoljne antiderivacije integranda. Budući da se radi o antiderivacijama iste funkcije, razlikuju se konstantnim članom: F( x) = F(x) + C. Zato
Time se utvrđuje da na segmentu [ a, b] inkrementi svih antiderivacija funkcije f(x) podudarati se.
Dakle, da bi se izračunao određeni integral, potrebno je pronaći bilo koju antiderivaciju integranda, tj. prvo morate pronaći neodređeni integral. Konstantno S isključeni iz naknadnih izračuna. Tada se primjenjuje Newton-Leibnizova formula: in antiderivativna funkcija vrijednost gornje granice je zamijenjena b , dalje - vrijednost donje granice a a razlika se izračunava F(b) - F(a) . Rezultirajući broj bit će određeni integral..
Na a = b po definiciji prihvaćeno
Primjer 1.
Riješenje. Prvo, pronađimo neodređeni integral:
Primjena Newton-Leibnizove formule na antiderivaciju
(na S= 0), dobivamo
Međutim, pri računanju određenog integrala bolje je ne pronaći antiderivaciju zasebno, već integral odmah napisati u obliku (39).
Primjer 2. Izračunajte određeni integral
Riješenje. Pomoću formule
Svojstva određenog integrala
Teorem 2.Vrijednost određenog integrala ne ovisi o oznaci integracijske varijable, tj.
(40)
Neka F(x) – antiderivat za f(x). Za f(t) antiderivat je ista funkcija F(t), u kojem je nezavisna varijabla samo drugačije označena. Stoga,
Na temelju formule (39) posljednja jednakost znači jednakost integrala
Teorem 3.Konstantni faktor može se uzeti iz predznaka određenog integrala, tj.
(41)
Teorem 4.Određeni integral algebarskog zbroja konačnog broja funkcija jednak je algebarskom zbroju određenih integrala tih funkcija, tj.
(42)
Teorem 5.Ako se segment integracije podijeli na dijelove, tada je određeni integral po cijelom segmentu jednak zbroju određenih integrala po njegovim dijelovima., tj. Ako
(43)
Teorem 6.Prilikom preuređivanja granica integracije apsolutna vrijednost određeni integral se ne mijenja, već samo njegov predznak, tj.
(44)
Teorem 7(teorem srednje vrijednosti). Određeni integral jednak umnošku duljina segmenta integracije prema vrijednosti integranda u nekoj točki unutar njega, tj.
(45)
Teorem 8.Ako je gornja granica integracije veća od donje, a integrand je nenegativan (pozitivan), tada je i definitivni integral nenegativan (pozitivan), tj. Ako
Teorem 9.Ako je gornja granica integracije veća od donje, a funkcije i su neprekidne, tada je nejednakost
može se integrirati pojam po pojam, tj.
(46)
Svojstva određenog integrala omogućuju pojednostavljenje izravnog izračunavanja integrala.
Primjer 5. Izračunajte određeni integral
Koristeći teoreme 4 i 3, te pri pronalaženju antiderivacija - tabličnih integrala (7) i (6), dobivamo
Određeni integral s promjenjivom gornjom granicom
Neka f(x) – kontinuirano na segmentu [ a, b] funkcija, i F(x) je njegov antiderivat. Promotrimo određeni integral
(47)
i kroz t naznačeno integracijska varijabla, kako ga ne bi zamijenili s gornjom granicom. Kad se promijeni x mijenja se i određeni integral (47), tj. to je funkcija gornje granice integracije x, što označavamo sa F(x), tj.
(48)
Dokažimo da funkcija F(x) je antiderivat za f(x) = f(t). Doista, razlikovanje F(x), dobivamo
jer F(x) – antiderivat za f(x), A F(a) je konstantna vrijednost.
Funkcija F(x) – jedan od beskonačnog broja antiderivata za f(x), naime onaj koji x = a ide na nulu. Ovu tvrdnju dobivamo ako u jednakost (48) stavimo x = a i upotrijebite teorem 1 prethodnog paragrafa.
Izračunavanje određenih integrala metodom integracije po dijelovima i metodom promjene varijable
gdje je, po definiciji, F(x) – antiderivat za f(x). Ako promijenimo varijablu u integrandu
tada u skladu s formulom (16) možemo pisati
U ovom izrazu
antiderivativna funkcija za
Zapravo, njegova izvedenica, prema pravilo diferencijacije složenih funkcija, je jednako
Neka su α i β vrijednosti varijable t, za koju je funkcija
prema tome uzima vrijednosti a I b, tj.
Ali, prema Newton-Leibnizovoj formuli, razlika F(b) – F(a) Tamo je
Ako su definicije iz udžbenika presložene i nejasne, pročitajte naš članak. Pokušat ćemo objasniti što je moguće jednostavnije, "na prstima", glavne točke takve grane matematike kao što je određeni integrali. Kako izračunati integral pročitajte u ovom priručniku.
S geometrijskog gledišta, integral funkcije je područje figure koju čine graf dane funkcije i osi unutar granica integracije. Zapišite integral, analizirajte funkciju pod integralom: ako se integrand može pojednostaviti (reducirati, pomnožiti predznakom integrala, podijeliti na dva prosta integrala), učinite to. Otvorite tablicu integrala da odredite koja je derivacija funkcije ispod integrala. Jeste li pronašli odgovor? Zapišite faktor dodan integralu (ako se to dogodilo), zapišite pronađenu funkciju iz tablice i zamijenite granice integrala.
Naravno, ovdje se razmatraju samo najjednostavnije verzije integrala - neke, zapravo, postoji mnogo varijanti integrala, oni se proučavaju u tijeku više matematike, matematička analiza I diferencijalne jednadžbe na sveučilištima za studente tehničkih specijalnosti.
