Üzenet a trigonometrikus függvények témájában az életben. Trigonometria a körülöttünk lévő világban és az emberi életben. A trigonometria és kialakulásának szakaszai

Maga a kifejezés, amely a matematika ezen ágának a nevét adta, először egy Pitiscus német matematikus által 1505-ben írt könyv címében fedezték fel. szó" trigonometria"görög eredetű és azt jelenti" háromszög mérése».

Az ókori emberek úgy számították ki a fa magasságát, hogy összehasonlították árnyékának hosszát egy ismert magasságú rúd árnyékának hosszával. A csillagok segítségével számították ki egy hajó tengeri helyzetét.

2. Trigonometria a fizikában

A technológiában és a minket körülvevő világban gyakran kell megküzdenünk periodikus (vagy majdnem periodikus) folyamatokkal, amelyek rendszeres időközönként ismétlődnek. Az ilyen folyamatokat oszcillációsnak nevezzük. A különféle fizikai természetű oszcillációs jelenségekre általános törvények vonatkoznak.

Például egy elektromos áramkörben az áramingadozások és a matematikai inga rezgései ugyanazokkal az egyenletekkel írhatók le. Az oszcillációs minták közössége lehetővé teszi, hogy a különböző természetű oszcillációs folyamatokat egyetlen szemszögből vizsgáljuk. A mechanikában a testek transzlációs és forgó mozgásai mellett az oszcillációs mozgások is jelentős érdeklődésre tartanak számot.

Mechanikai rezgések testek mozgásai, amelyek pontosan (vagy megközelítőleg) ismétlődnek egyenlő időközönként. Az oszcilláló test mozgástörvényét az x = f(t) idő bizonyos periodikus függvényével adjuk meg. Ennek a függvénynek a grafikus ábrázolása vizuálisan ábrázolja az oszcillációs folyamat időbeli lefutását. Ilyen hullám például a kifeszített gumiszalagon vagy egy húron haladó hullámok.

Az egyszerű oszcillációs rendszerek példái a rugóra vagy a matematikai inga terhelése (1. ábra).

1. ábra. Mechanikus oszcillációs rendszerek.

A mechanikai rezgések, mint bármely más fizikai természetű oszcillációs folyamat, lehetnek szabadok és kényszerítettek. A szabad rezgések a rendszer belső erőinek hatására jönnek létre, miután a rendszert kihoztuk az egyensúlyi helyzetből. A rugón lévő súly rezgései vagy az inga lengései szabad rezgések. A külső, periodikusan változó erők hatására fellépő rezgéseket kényszerítettnek nevezzük.

3. Trigonometria a csillagászatban

A Hipparkhosz által összeállított Nap és Hold helyzetének táblázatai lehetővé tették a fogyatkozások kezdetének pillanatainak előre kiszámítását (1-2 órás hibával). Hipparkhosz volt az első, aki a csillagászatban alkalmazott gömbi trigonometriai módszereket. Növelte a megfigyelések pontosságát azáltal, hogy goniometrikus műszerekben – szextánsokban és kvadránsokban – szálkeresztet használt, hogy a világítótestre mutasson.

4. Trigonometria az orvostudományban

Az élő természet egyik alapvető tulajdonsága a legtöbb benne lezajló folyamat ciklikussága. Összefüggés van az égitestek mozgása és a Földön élő szervezetek között. Az élő szervezetek nemcsak a Nap és a Hold fényét és hőjét rögzítik, hanem különféle mechanizmusokkal is rendelkeznek, amelyek pontosan meghatározzák a Nap helyzetét, reagálnak az árapály ritmusára, a Hold fázisaira és bolygónk mozgására.

A biológiai ritmusok, bioritmusok többé-kevésbé szabályos változások a biológiai folyamatok természetében és intenzitásával kapcsolatban. Az élettevékenységben való ilyen változtatások képessége öröklött, és szinte minden élő szervezetben megtalálható. Megfigyelhetők egyes sejtekben, szövetekben és szervekben, egész organizmusokban és populációkban.

A bioritmusok fel vannak osztva fiziológiai, másodperc törtrészétől néhány percig terjedő időszakokkal és környezeti, időtartama egybeesik a környezet bármely ritmusával. Ide tartoznak a napi, szezonális, éves, árapály- és holdritmusok. A fő földi ritmus napi, amelyet a Föld tengelye körüli forgása határoz meg, ezért az élő szervezetben szinte minden folyamat napi periodikus.

Bolygónkon számos környezeti tényező, elsősorban a fényviszonyok, a hőmérséklet, a légnyomás és páratartalom, a légköri és elektromágneses mezők, a tengeri árapály, természetesen megváltozik ennek a forgásnak a hatására.

Hetvenöt százalékban víz vagyunk, és ha telihold pillanatában a világóceán vize 19 méterrel a tengerszint fölé emelkedik, és megindul a dagály, akkor a testünkben lévő víz is a testünk felső részeire zúdul. A magas vérnyomásban szenvedők pedig gyakran tapasztalják a betegség súlyosbodását ezekben az időszakokban, és a gyógynövényeket gyűjtő természettudósok pontosan tudják, hogy a hold melyik fázisát kell gyűjteni. felsők – (gyümölcsök)", és melyik - " gyökerei».

Észrevetted, hogy bizonyos időszakokban az életed megmagyarázhatatlan ugrásokat tesz? Hirtelen a semmiből elárasztják az érzelmek. Az érzékenység fokozódik, ami hirtelen teljes apátiának adhat teret. Kreatív és eredménytelen napok, boldog és boldogtalan pillanatok, hirtelen hangulatváltozások. Megállapították, hogy az emberi test képességei időszakonként változnak. Ez a tudás az alapja" három bioritmus elmélete».

Fizikai bioritmus– szabályozza a fizikai aktivitást. A fizikai ciklus első felében az ember energikus és jobb eredményeket ér el tevékenységében (a második felében az energia átadja a helyét a lustaságnak).

Érzelmi ritmus– tevékenységének időszakaiban növekszik az érzékenység és javul a hangulat. Az ember különféle külső katasztrófákra ingerlékeny lesz. Ha jó kedve van, légvárakat épít, szerelmeskedésről álmodik és szerelmes lesz. Ha az érzelmi bioritmus csökken, a szellemi erő csökken, a vágy és az örömteli hangulat eltűnik.

Intellektuális bioritmus - irányítja a memóriát, a tanulási képességet és a logikus gondolkodást. Az aktivitási fázisban emelkedés, a második szakaszban pedig hanyatlás következik be a kreatív tevékenységben, nincs szerencse és siker.

Három ritmus elmélet

Fizikai ciklus - 23 nap. Meghatározza az energiát, erőt, állóképességet, mozgáskoordinációt

Az érzelmi ciklus 28 napos. Az idegrendszer állapota és a hangulat

Intellektuális ciklus - 33 nap. Meghatározza az egyén kreatív képességét.

A trigonometria a természetben is előfordul. A halak mozgása a vízben a szinusz vagy koszinusz törvénye szerint történik, ha rögzítünk egy pontot a farkon, majd figyelembe vesszük a mozgás pályáját. Úszáskor a hal teste egy görbe alakját veszi fel, amely hasonlít az y=tgx függvény grafikonjára.

Amikor egy madár repül, a csapkodó szárnyak röppályája szinuszoidot képez.

Amerikai tudósok azt állítják, hogy az agy a föld síkja és a látássík közötti szög mérésével becsüli meg a tárgyak távolságát. Az iráni Shiraz Egyetem hallgatója, Vahid-Reza Abbasi által végzett tanulmány eredményeként az orvosok először tudtak rendszerezni a szív elektromos tevékenységével kapcsolatos információkat, más szóval az elektrokardiográfiát.

A képlet egy összetett algebrai-trigonometrikus egyenlet, amely 8 kifejezésből, 32 együtthatóból és 33 fő paraméterből áll, köztük számos további paramétert az aritmia esetén történő számításokhoz. Az orvosok szerint ez a képlet nagyban megkönnyíti a szívműködés fő paramétereinek leírását, ezáltal felgyorsítja a diagnózist és magának a kezelésnek a megkezdését.

ÖNKORMÁNYZATI OKTATÁSI INTÉZMÉNY

"1. számú GIMNÁZIUM"

"TRIGONOMETRIA A VALÓS ÉLETBEN"

információs projekt

Elkészült:

Krasznov Egor

9A osztály tanulója

Felügyelő:

Borodkina Tatyana Ivanovna

Zheleznogorszk

Bevezetés……………………………………………………..………3

Relevancia……………………………………………………………….3

Cél………………………………………………………… 4

Feladatok………………………………………………………….4

1.4 Módszerek……………………………………………………………4

2. A trigonometria és fejlődéstörténete………………………………..5

2.1 Trigonometria és kialakulási szakaszok…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.2. A trigonometria mint kifejezés. Jellemzők……………….7

2.3. A szinusz előfordulása………………………….……………….7

2.4. A koszinusz megjelenése………………………………………….8

2.5 Tangens és kotangens megjelenése………………………….9

2.6 A trigonometria továbbfejlesztése…………………………..9

3. Trigonometria és a való élet…………………………………………………

3.1. Navigáció……………………………………………………………

3.2 Algebra………………………………………………………………………

3.3. Fizika………………………………………………………………………

3.4. Orvostudomány, biológia és bioritmusok………………………………………………………….

3.5. Zene………………………………..……………………….19

3.6. Informatika..…………………….………………………………………………………

3.7 Építőipar és geodézia………………………………22

3.8 Trigonometria a művészetben és az építészetben…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Következtetés. ………………………………………………………………..…..25

Hivatkozások………………………………………….……………27

1. függelék……………………………………………….

Bevezetés

A modern világban jelentős figyelmet fordítanak a matematikára, mint a tudományos tevékenység és tanulmányozás egyik területére. Mint tudjuk, a matematika egyik összetevője a trigonometria. A trigonometria a matematikának a trigonometrikus függvényeket vizsgáló ága. Úgy gondolom, hogy ez a téma elsősorban gyakorlati szempontból releváns. Tanulmányainkat az iskolában fejezzük be, és megértjük, hogy sok szakmához egyszerűen szükséges a trigonometria ismerete, mert... lehetővé teszi a közeli csillagok távolságának mérését a csillagászatban, a tereptárgyak közötti távolság mérését a földrajzban, valamint a műholdas navigációs rendszerek vezérlését. A trigonometria alapelveit olyan területeken is alkalmazzák, mint a zeneelmélet, akusztika, optika, pénzpiaci elemzés, elektronika, valószínűségszámítás, statisztika, biológia, orvostudomány (beleértve az ultrahangot és a számítógépes tomográfiát), gyógyszerészet, kémia, számelmélet (és pl. következmény, kriptográfia), szeizmológia, meteorológia, oceanológia, térképészet, a fizika számos ága, topográfia és geodézia, építészet, fonetika, közgazdaságtan, elektronika, gépészet, számítógépes grafika, krisztallográfia.

Másodszor, relevanciáját A "Trigonometria a való életben" témája az, hogy a trigonometria ismerete számos tudományterületen új utakat nyit meg különféle problémák megoldásában, és leegyszerűsíti a különböző tudományok bizonyos aspektusainak megértését.

Régóta bevett gyakorlat, hogy az iskolások háromszor találkoznak a trigonometriával. Tehát elmondhatjuk, hogy a trigonometriának három része van. Ezek a részek össze vannak kötve és az időtől függenek. Ugyanakkor teljesen különböznek egymástól, nem rendelkeznek hasonló tulajdonságokkal sem az alapfogalmak magyarázata során lefektetett jelentés, sem a funkciók tekintetében.

Az első ismerkedés a 8. osztályban történik. Ez az az időszak, amikor az iskolások megtanulják: „A derékszögű háromszög oldalai és szögei közötti kapcsolatok”. A trigonometria tanulmányozása során a koszinusz, a szinusz és az érintő fogalma szerepel.

A következő lépés a trigonometria tanulásának folytatása a 9. osztályban. Növekszik a komplexitás szintje, változnak a példák megoldásának módjai, módszerei. Most a koszinuszok és érintők helyett a kör és annak lehetőségei jönnek.

Az utolsó szakasz a 10. évfolyam, amelyben a trigonometria bonyolultabbá válik, és megváltoznak a problémák megoldásának módjai. Bemutatjuk a radiánszögmérés fogalmát. Bemutatjuk a trigonometrikus függvények grafikonjait. Ebben a szakaszban a diákok elkezdenek trigonometrikus egyenleteket megoldani és megtanulni. De nem geometria. A trigonometria teljes megértéséhez meg kell ismerkedni keletkezésének és fejlődésének történetével. A történelmi háttér megismerése, nagy alakok, matematikusok és tudósok munkásságának tanulmányozása után megérthetjük, hogy a trigonometria hogyan befolyásolja életünket, hogyan segít új tárgyak létrehozásában, felfedezésekben.

Célja A projektem a trigonometria emberi életre gyakorolt ​​hatásának vizsgálata és az iránta való érdeklődés felkeltése. Ennek a célnak a megoldása után képesek leszünk megérteni, hogy a trigonometria milyen helyet foglal el világunkban, milyen gyakorlati problémákat old meg.

E cél elérése érdekében a következőket határoztuk meg feladatok:

1. Ismerkedjen meg a trigonometria kialakulásának és fejlődésének történetével;

2. Tekintsen példákat a trigonometria gyakorlati hatására különböző tevékenységi területeken;

3. Mutassa be példákkal a trigonometria lehetőségeit és alkalmazását az emberi életben!

Mód: Információk keresése és gyűjtése.

1. A trigonometria és fejlődéstörténete

Mi az a trigonometria? Ez a kifejezés a matematika egy olyan ágára vonatkozik, amely a különböző szögméretek közötti összefüggéseket, a háromszög oldalainak hosszát és a trigonometrikus függvények algebrai azonosságát vizsgálja. Nehéz elképzelni, hogy a matematikának ez a területe előfordul velünk a mindennapi életben.

1.1 Trigonometria és kialakulásának szakaszai

Térjünk rá fejlődéstörténetére, kialakulásának szakaszaira. A trigonometria ősidők óta megszerezte kezdeteit, fejlődött és megmutatta első eredményeit. Az ókori Egyiptomban, Babilonban és az ókori Kínában található kéziratokban láthatjuk a legelső információkat e terület kialakulásáról és fejlődéséről. A Rhinda papirusz (Kr. e. 2. évezred) 56. problémáját tanulmányozva látható, hogy egy 250 könyök magas piramis dőlését javasolja. A gúla alaplapjának oldalhossza 360 könyök (1. ábra). Érdekes, hogy ennek a problémának a megoldása során az egyiptomiak egyidejűleg két mérési rendszert használtak - „könyök” és „tenyér”. Ma ennek a feladatnak a megoldása során megtalálnánk a szög érintőjét: az alap és az apotém fele ismeretében (1. ábra).

A következő lépés a tudomány fejlődési szakasza volt, amelyet a Kr.e. III. században élt szamoszi Arisztarchosz csillagászhoz kötnek. e. Az értekezés, tekintettel a Nap és a Hold nagyságára és távolságára, konkrét feladatot tűzött ki maga elé. Ez abban fejeződött ki, hogy meg kell határozni az egyes égitestek távolságát. Az ilyen számítások elvégzéséhez ki kellett számítani egy derékszögű háromszög oldalainak arányát az egyik szög ismert értékével. Arisztarkhosz a Nap, a Hold és a Föld által alkotott derékszögű háromszöget tekintette egy kvadratúra során. A Föld és a Nap távolságának alapjául szolgáló hipotenusz értékének kiszámítása a Föld és a Hold távolságának alapjául szolgáló láb segítségével a szomszédos szög ismert értékével (87°), ami egyenértékű az érték kiszámításával 3. szög bűne. Arisztarchosz szerint ez az érték 1/20 és 1/18 közötti tartományban van. Ez arra utal, hogy a Nap és a Föld közötti távolság hússzor nagyobb, mint a Hold és a Föld között. Tudjuk azonban, hogy a Nap 400-szor távolabb van, mint a Hold. A döntési hiba a szögmérés pontatlansága miatt keletkezett.

Néhány évtizeddel később Claudius Ptolemaiosz Ethnogeography, Analemma és Planispherium című munkájában részletesen beszámol a térképészet, csillagászat és mechanika trigonometrikus kiegészítéseiről. Többek között sztereográfiai vetületet ábrázolnak, számos ténykérdést tanulmányoznak, például: az égitest magasságának és szögének meghatározása a deklináció és az óraszög alapján. A trigonometria szempontjából ez azt jelenti, hogy meg kell találni a gömbháromszög másik 2 lapja szerinti oldalát és az ellentétes szöget (2. ábra)

Összességében megjegyezhető, hogy a trigonometriát a következő célokra használták:

A napszak egyértelmű meghatározása;

Az égitestek közelgő elhelyezkedésének kiszámítása, felkelésük és lenyugvásuk epizódjai, Nap- és Holdfogyatkozások;

Az aktuális hely földrajzi koordinátáinak megkeresése;

A nagyvárosok közötti távolság kiszámítása ismert földrajzi koordinátákkal.

A gnomon egy ősi csillagászati ​​mechanizmus, egy függőleges objektum (sztéla, oszlop, pólus), amely lehetővé teszi a nap szögmagasságának meghatározását az árnyékának legrövidebb hosszával délben (3. ábra).

Így a kotangens számunkra egy 12 (néha 7) egység magasságú függőleges gnomon árnyékának hossza. Vegye figyelembe, hogy az eredeti változatban ezeket a meghatározásokat használták a napórák kiszámításához. Az érintőt egy vízszintes gnomonról lehulló árnyék jelentette. A koszekáns és a szekáns hipotenuszok alatt értendő, amelyek derékszögű háromszögeknek felelnek meg.

1.2. A trigonometria mint kifejezés. Jellegzetes

A „trigonometria” kifejezés először 1505-ben jelenik meg. Bartholomeus Pitiscus német teológus és matematikus egy könyvében adta ki és használta. A tudományt akkoriban már használták csillagászati ​​és építészeti problémák megoldására.

A trigonometria kifejezést a görög gyökerek jellemzik. És két részből áll: „háromszögből” és „mérésből”. A fordítást tanulmányozva elmondhatjuk, hogy egy olyan tudomány áll előttünk, amely a háromszögek változásait vizsgálja. A trigonometria megjelenése a földméréshez, a csillagászathoz és az építési folyamathoz kapcsolódik. Bár a név viszonylag nemrég jelent meg, számos, jelenleg trigonometriának minősített definíció és adat ismert volt 2000 előtt.

1.3. A sinus előfordulása

A szinuszábrázolásnak hosszú története van. Valójában a háromszög és a kör szakaszai (és lényegében a trigonometrikus függvények) között különféle kapcsolatokat találtak a 3. század elején. IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT. az ókori Görögország híres matematikusainak - Eukleidész, Arkhimédész, Pergai Apollóniosz - munkáiban. A római korban ezeket a kapcsolatokat Menelaus (Kr. u. I. század) már meglehetősen rendszeresen tanulmányozta, bár külön nevet nem kaptak. Az α szög modern szinuszát például félhúrként, amelyen az α nagyságú középső szög nyugszik, vagy egy kettős ív húrjaként tanulmányozzuk.

A következő időszakban a matematikát hosszú ideig az indiai és arab tudósok formálták a leggyorsabban. Különösen a 4-5. században jelent meg egy korábban speciális kifejezés a híres indiai tudós, Aryabhata (476-kb. 550) csillagászati ​​munkáiban, akiről a Föld első hindu műholdját nevezték el. A szegmenst ardhajiva-nak nevezte (ardha-fél, dzsíva-húr, egy tengelyre emlékeztető törés). Később átvették a rövidített dzsíva nevet. Az arab matematikusok a 9. században. a dzsíva (vagy dzsiba) kifejezést az arab jaib (konkávitás) szó váltotta fel. Az arab matematikai szövegek átmenete során a XII. ezt a szót a latin sinus (sinus-hajlat) váltotta fel (4. kép).

1.4. A koszinusz megjelenése

A „kosinusz” kifejezés meghatározása és eredete inkább rövid távú és rövid távú. A koszinusz alatt „további szinusz”-t értünk (vagy másként „a járulékos ív szinuszát”; ne feledjük, cosα= sin(90° - a)). Érdekes tény, hogy a háromszögek megoldásának első módszereit, amelyek a háromszög oldalai és szögei közötti kapcsolaton alapulnak, Hipparkhosz ókori görög csillagász találta meg a Krisztus előtti második században. Ezt a tanulmányt szintén Claudius Ptolemaiosz végezte. Fokozatosan új tények jelentek meg a háromszög oldalai és szögei közötti kapcsolatról, és új definíciót kezdtek alkalmazni - a trigonometrikus függvényt.

A trigonometria kialakulásához jelentős mértékben hozzájárultak Al-Batani (850-929) és Abu-l-Wafa, Muhamed bin Muhamed (940-998) arab szakértők, akik szinuszokat és érintőtáblákat gyűjtöttek össze 10' pontossággal. 1/604-ig. A szinusztételt korábban Bhaskara indiai professzor (szül. 1114, halálának éve ismeretlen) és Nasireddin Tusi Muhamed azerbajdzsáni asztrológus és tudós (1201-1274) ismerte. Ezenkívül Nasireddin Tusi a „Munka a teljes négyszögön” című munkájában a közvetlen és gömbi trigonometriát önálló tudományágként írta le (4. ábra).

1.5. Az érintő és a kotangens megjelenése

Érintők merültek fel az árnyék hosszának megállapításával kapcsolatos probléma lezárása kapcsán. Az érintőt (és a kotangenst is) Abu-l-Wafa arab aritmetikus állapította meg a 10. században, aki összeállította a kezdő táblázatokat az érintők és kotangensek megtalálásához. De ezek a felfedezések sokáig ismeretlenek maradtak az európai tudósok előtt, és az érintőket csak a 14. században fedezte fel újra Regimontanus német aritmetikus és csillagász (1467). Érvelte a tangens tételt. Regiomontanus részletes trigonometrikus táblázatokat is összeállított; Munkáinak köszönhetően a sík- és gömbtrigonometria önálló tudományággá vált Európában.

Az „érintő” elnevezés, amely a latin tanger (érinteni) szóból származik, 1583-ban keletkezett. A Tangenst „érintésnek” fordítják (az érintők sora az egységkör érintője).
A trigonometriát tovább fejlesztették Nicolaus Kopernikusz (1473-1543), Tycho Brahe (1546-1601) és Johannes Kepler (1571-1630) munkáiban, valamint Francois Vieta (1540-1603) matematikus munkáiban. aki teljesen megoldotta a lapos vagy gömb alakú háromszög abszolút összes összetevőjének meghatározását három adat felhasználásával (4. ábra).

1.6 A trigonometria továbbfejlesztése

A trigonometriának hosszú ideig kizárólag geometriai formája volt, vagyis azok az adatok, amelyeket jelenleg a trigonometrikus függvények definícióiban megfogalmazunk, geometriai fogalmak és állítások támogatásával fogalmazódtak meg és érveltek. Így már a középkorban is létezett, bár időnként elemző módszereket is alkalmaztak benne, különösen a logaritmusok megjelenése után. Talán a trigonometria kialakításának maximális ösztönzése a csillagászati ​​feladatok megoldása kapcsán jelent meg, ami óriási pozitív érdeklődést váltott ki (például egy hajó helymeghatározási problémáinak megoldása, az áramszünet előrejelzése stb.). Az asztrológusokat a gömbháromszögek oldalai és szögei közötti kapcsolatok érdekelték. Az ókor aritmetikusai pedig sikeresen megbirkóztak a feltett kérdésekkel.

A 17. századtól kezdődően trigonometrikus függvényeket használnak egyenletek megoldására, mechanika, optika, elektromosság, rádiótechnika kérdéseire, az oszcillációs hatások, a hullámterjedés, a különböző elemek mozgásának megjelenítésére, a váltakozó galvánáram vizsgálatára stb. Emiatt a trigonometrikus függvényeket átfogóan és mélyrehatóan tanulmányozták, és jelentős jelentőséget kaptak a matematika egésze szempontjából.

A trigonometrikus függvények analitikus elméletét főként a kiváló 18. századi matematikus, Leonhard Euler (1707-1783), a Szentpétervári Tudományos Akadémia tagja alkotta meg. Euler hatalmas tudományos öröksége a matematikai elemzéssel, geometriával, számelmélettel, mechanikával és a matematika egyéb alkalmazásaival kapcsolatos briliáns eredményeket foglalja magában. Euler volt az, aki először vezette be a trigonometrikus függvények jól ismert definícióit, kezdett tetszőleges szögű függvényeket figyelembe venni, és kapott redukciós képleteket. Euler után a trigonometria számítási formát öltött: a trigonometriai képletek formális alkalmazásával elkezdték bizonyítani a különféle tényeket, a bizonyítások sokkal tömörebbek és egyszerűbbek lettek,

Így a trigonometria, amely a háromszögek megoldásának tudományaként indult ki, végül a trigonometrikus függvények tudományává fejlődött.

Később a trigonometria azon részét, amely a trigonometrikus függvények tulajdonságait és a köztük lévő függőségeket vizsgálja, goniometriának (a szögmérés tudományának fordítva, a görög gwnia - szög, metrew - mérem) néven kezdték el nevezni. A goniometria kifejezést az utóbbi időben alig használták.

2. Trigonometria és a való élet

A modern társadalmat folyamatos változások, felfedezések, életünket javító high-tech találmányok létrehozása jellemzi. A trigonometria találkozik és kölcsönhatásba lép a fizikával, biológiával, matematikával, orvostudománysal, geofizikával, navigációval és számítástechnikával.

Nézzük meg sorrendben az egyes iparágak kölcsönhatásait.

2.1.Navigáció

Az első pont, amely elmagyarázza nekünk a trigonometria használatát és előnyeit, a navigációval való kapcsolata. Navigáció alatt olyan tudományt értünk, amelynek célja a legkényelmesebb és leghasznosabb navigációs módok tanulmányozása és létrehozása. Így a tudósok olyan egyszerű navigációt fejlesztenek ki, amely magában foglalja az útvonal megépítését egyik ponttól a másikig, annak értékelését és a javasoltak közül a legjobb megoldás kiválasztását. Ezek az útvonalak olyan tengerészek számára szükségesek, akik utazásuk során számos nehézséggel, akadállyal és kérdéssel szembesülnek az utazás menetével kapcsolatban. Navigációra is szükség van: olyan pilóták, akik összetett, csúcstechnológiás repülőgépeket repülnek, néha nagyon extrém helyzetekben navigálnak; űrhajósok, akiknek munkája életveszélyes, összetett útvonalépítéssel és annak fejlesztésével jár. Tanulmányozzuk részletesebben a következő fogalmakat és feladatokat. Problémaként a következő feltételt képzelhetjük el: ismerjük a földrajzi koordinátákat: szélesség és hosszúság a földfelszín A és B pontja között. Meg kell találni a legrövidebb utat az A és B pont között a földfelszín mentén (a föld sugarát ismertnek tekintjük: R = 6371 km).

Elképzelhetünk egy megoldást is erre a problémára, nevezetesen: először tisztázzuk, hogy a földfelszínen egy M pont szélessége az OM sugár által az egyenlítőivel bezárt szög értéke, ahol O a Föld középpontja. sík: ≤ , és az Egyenlítőtől északra a szélesség pozitívnak, délen pedig negatívnak tekinthető. Az M pont hosszúsági fokára a COM és SON síkon áthaladó diéderszög értékét vesszük. C alatt a Föld északi sarkát értjük. H-ként a Greenwich Obszervatóriumnak megfelelő pontot értjük: ≤ (a greenwichi meridiántól keletre a hosszúság pozitív, nyugatra negatív). Mint már tudjuk, a földfelszín A és B pontja közötti legrövidebb távolságot az A-t és B-t összekötő nagykör legkisebb ívének hossza jelenti. Ezt az ívtípust ortodrómnak nevezhetjük. Görögről lefordítva ezt a kifejezést derékszögnek kell érteni. Emiatt az a feladatunk, hogy meghatározzuk az ABC gömbháromszög AB oldalának hosszát, ahol C az északi poliszra utal.

Érdekes példa a következő. A hajósok útvonaltervezésekor precíz és gondos munkára van szükség. Tehát ahhoz, hogy a Gerhard Mercator 1569-es vetületében készült térképen megrajzoljuk a hajó irányát, sürgősen meg kellett határozni a szélességi fokot. A tengerre induláskor azonban egészen a 17. századig a navigátorok nem jelezték a szélességi fokot. Edmond Gunther (1623) volt az első, aki trigonometrikus számításokat alkalmazott a navigációban.

Segítségével a trigonometria segítségével a pilóták a szélhibákat számolhatták ki a repülőgép legpontosabb és legbiztonságosabb irányításához. E számítások elvégzéséhez a sebességháromszögre hivatkozunk. Ez a háromszög fejezi ki a kapott légsebesség (V), szélvektor (W) és útsebesség vektora (Vp). A PU az irányszög, az UV a szélszög, a KUV a szél irányszöge (5. ábra).

Ahhoz, hogy megismerkedjen a sebesség navigációs háromszög elemei közötti kapcsolat típusával, nézze meg az alábbiakat:

Vp =V cos US + W cos UV; sin CV = * sin CV, tg CV

A sebességek navigációs háromszögének megoldásához számítási eszközöket használnak navigációs vonalzóval és mentális számításokkal.

2.2.Algebra

A trigonometria következő kölcsönhatási területe az algebra. A trigonometrikus függvényeknek köszönhetően nagyon bonyolult egyenletek és nagy számításokat igénylő problémák is megoldhatók.

Mint tudjuk, minden olyan esetben, amikor periódusos folyamatokkal, oszcillációkkal kell kölcsönhatásba lépni, a trigonometrikus függvények használatához érkezünk. Nem számít, mi az: akusztika, optika vagy az inga lengése.

2.3.Fizika

A navigáció és az algebra mellett a trigonometria közvetlen befolyással és hatással van a fizikára. Amikor a tárgyakat vízbe merítjük, semmilyen módon nem változtatják meg alakjukat vagy térfogatukat. A teljes titok egy vizuális hatás, amely arra kényszeríti látásunkat, hogy egy tárgyat másképp érzékeljen. Az egyszerű trigonometrikus képletek és a félegyenes beesési szögének és törési szögének szinuszának értékei lehetővé teszik az állandó törésmutató kiszámítását, amikor a fénysugár gömbről gömbre halad. Például a szivárvány azért jelenik meg, mert a napfény megtörik a levegőben lebegő vízcseppekben a fénytörés törvénye szerint:

sin α / sin β = n1 / n2

ahol: n1 az első közeg törésmutatója; n2 a második közeg törésmutatója; α-beesési szög, β-fénytörési szög.

A töltött napszél elemek bejutását a bolygók légkörének felső rétegeibe a Föld mágneses terének és a napszél kölcsönhatása okozza.

A mágneses tartományban mozgó töltött részecskékre ható erőt Lorentz-erőnek nevezzük. Arányos a részecske töltésével és a mező vektorszorzatával és a részecske sebességével.

A trigonometria fizikában való használatának gyakorlati vonatkozásait feltárva egy példát adunk. Ezt a problémát trigonometrikus képletekkel és megoldási módszerekkel kell megoldani. Problémakörülmények: egy 90 kg súlyú test 24,5°-os ferde síkon helyezkedik el. Meg kell találni, hogy a test milyen erőt fejt ki a ferde síkra (azaz milyen nyomást fejt ki a test ezen a síkon) (6. ábra).

Az X és Y tengelyek kijelölése után elkezdjük felépíteni az erők vetületeit a tengelyre, először a következő képlet segítségével:

ma = N + mg, majd nézze meg az ábrát,

X: ma = 0 + mg sin24.50

I: 0 = N – mg cos24,50

Behelyettesítjük a tömeget, és megállapítjuk, hogy az erő 819 N.

Válasz: 819 N

2.4. Orvostudomány, biológia és bioritmusok

A negyedik terület, ahol a trigonometriának jelentős hatása és segítsége van, két terület: az orvostudomány és a biológia.

Az élő természet egyik alapvető tulajdonsága a legtöbb benne lezajló folyamat ciklikussága. Összefüggés van az égitestek mozgása és a Földön élő szervezetek között. Az élő szervezetek nemcsak a Nap és a Hold fényét és hőjét rögzítik, hanem különféle mechanizmusokkal is rendelkeznek, amelyek pontosan meghatározzák a Nap helyzetét, reagálnak az árapály ritmusára, a Hold fázisaira és bolygónk mozgására.

A biológiai ritmusok, bioritmusok többé-kevésbé szabályos változások a biológiai folyamatok természetében és intenzitásával kapcsolatban. Az élettevékenységben való ilyen változtatások képessége öröklött, és szinte minden élő szervezetben megtalálható. Megfigyelhetők egyes sejtekben, szövetekben és szervekben, egész organizmusokban és populációkban. A bioritmusok fel vannak osztva fiziológiai, másodperc törtrészétől néhány percig terjedő időszakokkal és környezeti, időtartama egybeesik a környezet bármely ritmusával. Ide tartoznak a napi, szezonális, éves, árapály- és holdritmusok. A fő földi ritmus napi, amelyet a Föld tengelye körüli forgása határoz meg, ezért az élő szervezetben szinte minden folyamat napi periodikus.

Bolygónkon számos környezeti tényező, elsősorban a fényviszonyok, a hőmérséklet, a légnyomás és páratartalom, a légköri és elektromágneses mezők, a tengeri árapály, természetesen megváltozik ennek a forgásnak a hatására.

Hetvenöt százalékban víz vagyunk, és ha telihold pillanatában a világóceán vize 19 méterrel a tengerszint fölé emelkedik, és megindul a dagály, akkor a testünkben lévő víz is a testünk felső részeire zúdul. És a magas vérnyomásban szenvedők gyakran tapasztalják a betegség súlyosbodását ezekben az időszakokban, és a gyógynövényeket gyűjtő természettudósok pontosan tudják, hogy a hold melyik szakaszában kell gyűjteni a „csúcsokat - (gyümölcsöket)”, és melyikben kell gyűjteni a „gyökereket”.

Észrevetted, hogy bizonyos időszakokban az életed megmagyarázhatatlan ugrásokat tesz? Hirtelen a semmiből elárasztják az érzelmek. Az érzékenység fokozódik, ami hirtelen teljes apátiának adhat teret. Kreatív és eredménytelen napok, boldog és boldogtalan pillanatok, hirtelen hangulatváltozások. Megállapították, hogy az emberi test képességei időszakonként változnak. Ez a tudás alapozza meg a „három bioritmus elméletét”.

Fizikai bioritmus – szabályozza a fizikai aktivitást. A fizikai ciklus első felében az ember energikus és jobb eredményeket ér el tevékenységében (a második felében az energia átadja a helyét a lustaságnak).

Érzelmi ritmus - tevékenységének időszakaiban növekszik az érzékenység és javul a hangulat. Az ember különféle külső katasztrófákra ingerlékeny lesz. Ha jó kedve van, légvárakat épít, szerelmeskedésről álmodik és szerelmes lesz. Ha az érzelmi bioritmus csökken, a szellemi erő csökken, a vágy és az örömteli hangulat eltűnik.

Intellektuális bioritmus - irányítja a memóriát, a tanulási képességet és a logikus gondolkodást. Az aktivitási fázisban emelkedés, a második szakaszban pedig hanyatlás következik be a kreatív tevékenységben, nincs szerencse és siker.

Három ritmus elmélet:

· Fizikai ciklus - 23 nap. Meghatározza az energiát, erőt, állóképességet, mozgáskoordinációt

· Érzelmi ciklus - 28 nap. Az idegrendszer állapota és a hangulat

· Intellektuális ciklus - 33 nap. Meghatározza az egyén kreatív képességét

A trigonometria a természetben is előfordul. A halak mozgása a vízben a szinusz vagy koszinusz törvénye szerint történik, ha rögzítünk egy pontot a farkán, majd figyelembe vesszük a mozgás pályáját. Úszáskor a hal teste egy görbe alakját veszi fel, amely hasonlít az y=tgx függvény grafikonjára.

Amikor egy madár repül, a csapkodó szárnyak röppályája szinuszoidot képez.

Trigonometria az orvostudományban. Az iráni Shiraz Egyetem hallgatója, Vahid-Reza Abbasi által végzett vizsgálat eredményeként az orvosok először tudtak rendszerezni a szív elektromos tevékenységével kapcsolatos információkat, más szóval az elektrokardiográfiát.

A Teherán névre keresztelt képletet a 14. földrajzi orvostudományi konferencián, majd a 28., a számítástechnika kardiológiában való felhasználásáról szóló konferencián mutatták be az általános tudományos közösségnek Hollandiában.

Ez a képlet egy összetett algebrai-trigonometrikus egyenlet, amely 8 kifejezésből, 32 együtthatóból és 33 fő paraméterből áll, köztük számos további paramétert az aritmia esetén történő számításokhoz. Az orvosok szerint ez a képlet nagyban megkönnyíti a szívműködés fő paramétereinek leírását, ezáltal felgyorsítja a diagnózist és magának a kezelésnek a megkezdését.

Sok embernek el kell készítenie a szív kardiogramját, de kevesen tudják, hogy az emberi szív kardiogramja szinuszos vagy koszinuszos gráf.

A trigonometria segít agyunknak meghatározni a tárgyak távolságát. Amerikai tudósok azt állítják, hogy az agy a föld síkja és a látássík közötti szög mérésével becsüli meg a tárgyak távolságát. Erre a következtetésre egy sor kísérlet után jutottak, amelyek során a résztvevőket arra kérték, hogy ezt a szöget növelő prizmákon keresztül nézzék meg az őket körülvevő világot.

Ez a torzulás oda vezetett, hogy a kísérleti prizmahordozók a távoli objektumokat közelebbről érzékelték, és nem tudtak megbirkózni a legegyszerűbb tesztekkel. A kísérletek résztvevői közül néhányan még előre is hajoltak, és megpróbálták a testüket merőlegesen a helytelenül elképzelt földfelszínre igazítani. 20 perc múlva azonban megszokták a torz érzékelést, és minden probléma megszűnt. Ez a körülmény jelzi annak a mechanizmusnak a rugalmasságát, amellyel az agy a látórendszert a változó külső feltételekhez igazítja. Érdekes megjegyezni, hogy a prizmák eltávolítása után egy ideig az ellenkező hatást figyelték meg - a távolság túlbecslését.

Az új tanulmány eredményei, amint azt feltételezhetjük, érdekesek lesznek a robotok számára navigációs rendszereket tervező mérnökök számára, valamint a legvalósághűbb virtuális modellek létrehozásán dolgozó szakemberek számára. Alkalmazások az orvostudomány területén is lehetségesek, bizonyos agyterületek sérült betegek rehabilitációjában.

2.5. Zene

A zenei mező a trigonometriával is kölcsönhatásba lép.

Érdekes információkat mutatok be egy bizonyos módszerről, amely pontosan kapcsolatot teremt a trigonometria és a zene között.

A zeneművek elemzésének ezt a módszerét „geometrikus zeneelméletnek” nevezik. Segítségével alapvető zenei struktúrákat és transzformációkat fordítanak le a modern geometria nyelvére.

Az új elmélet keretein belül minden hangot a megfelelő hang frekvenciájának logaritmusaként ábrázolnak (az első oktáv „C” hangja például a 60-as számnak, az oktáv a 12-es számnak felel meg). A húr tehát adott koordinátákkal rendelkező pontként jelenik meg a geometriai térben. Az akkordok különböző "családokba" vannak csoportosítva, amelyek különböző típusú geometriai tereknek felelnek meg.

Egy új módszer kidolgozásakor a szerzők 5 ismert típusú zenei transzformációt alkalmaztak, amelyeket a zeneelmélet korábban nem vett figyelembe a hangsorok osztályozása során - oktáv permutáció (O), permutáció (P), transzpozíció (T), inverzió (I) és a kardinalitás változása (C) . Mindezek a transzformációk, ahogy a szerzők írják, úgynevezett OPTIC szimmetriákat hoznak létre az n-dimenziós térben, és zenei információkat tárolnak az akkordról - melyik oktávban találhatók a hangjai, milyen sorrendben játsszák, hányszor ismétlődnek, stb. Az OPTIC szimmetriák segítségével a hasonló, de nem azonos akkordokat és azok sorozatait osztályozzuk.

A cikk szerzői bemutatják, hogy ennek az 5 szimmetriának a különböző kombinációi sokféle zenei struktúrát alkotnak, amelyek egy része már a zeneelméletben is ismert (egy akkordsort például új kifejezésekkel OPC-ként fogjuk kifejezni), míg mások alapvetően új koncepciók, amelyeket talán a jövő zeneszerzői is átvesznek.

Példaként a szerzők négy hang különböző típusú akkordjainak geometriai ábrázolását adják meg - egy tetraédert. A grafikonon lévő gömbök az akkordtípusokat jelölik, a gömbök színei az akkord hangjai közötti intervallumok méretének felelnek meg: kék - kis intervallumok, melegebb hangok - az akkord „ritkább” hangjai. A vörös gömb a legharmonikusabb akkord, a hangok közötti egyenlő intervallumokkal, amelyet a 19. századi zeneszerzők kedveltek.

A zeneelemzés „geometrikus” módszere a tanulmány készítői szerint alapvetően új hangszerek megalkotásához és a zene vizualizálásának új módjaihoz vezethet, valamint megváltoztathatja a modern zenetanítási módszereket és a különféle tanulási módokat. zenei stílusok (klasszikus, pop, rock), zene stb.). Az új terminológia a különböző korok zeneszerzőinek zenei műveinek mélyebb összehasonlítását és a kutatási eredmények kényelmesebb matematikai formában történő bemutatását is segíti majd. Más szóval, azt javasolják, hogy a matematikai lényegüket elkülönítsék a zeneművektől.

Ugyanazon hangnak megfelelő frekvenciák az elsőben, a másodikban stb. oktáv, 1:2:4:8-ra vonatkozik... Az ősi időkből származó legendák szerint az elsők, akik ezt próbálták megtenni, Pitagorasz és tanítványai voltak.

Diaton méretarány 2:3:5 (8. ábra).

2.6.Informatika

A trigonometria a maga befolyásával nem kerülte meg a számítástechnikát. Így funkciói pontos számításokhoz alkalmazhatók. Ennek köszönhetően bármely (bizonyos értelemben „jó”) függvényt közelíthetünk, ha Fourier-sorrá bővítjük:

a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos 2x + b2 sin 2x + a3 cos 3x + b3 sin 3x + ...

A számok legmegfelelőbb módon történő kiválasztásának folyamata, az a0, a1, b1, a2, b2, ... számok egy ilyen (végtelen) összeg formájában ábrázolhatók szinte bármilyen függvénnyel egy számítógépen szükséges pontosság.

A trigonometria komoly szerepet és segítséget játszik a grafikus információkkal való munka kialakításában és folyamatában. Ha szimulálnia kell egy folyamatot, elektronikus formátumú leírással, egy bizonyos tárgy egy bizonyos tengely körüli elforgatásával. Az elfordulás egy bizonyos szögben történik. A pontok koordinátáinak meghatározásához szinuszokkal és koszinuszokkal kell szoroznia.

Említhetjük tehát Justin Windellt, a Google Grafika Labnál dolgozó programozót és tervezőt. Kiadott egy bemutatót, amely példát mutat trigonometrikus függvények dinamikus animáció létrehozására.

2.7 Építés és geodézia területe

A trigonometriával kölcsönhatásban álló érdekes ág az építőipar és a geodézia. A síkon egy tetszőleges háromszög oldalainak hossza és szögeinek értékei bizonyos összefüggésekkel kapcsolódnak egymáshoz, amelyek közül a legfontosabbakat koszinusz- és szinusztételeknek nevezik. Az a, b, c képletek azt jelentik, hogy a betűket a háromszög oldalai képviselik, amelyek rendre az A, B, C szögekkel szemben helyezkednek el. Ezek a képletek lehetővé teszik a háromszög három elemét - az oldalak hosszát és a szögeket. - a maradék három elem visszaállítása. Gyakorlati problémák megoldására használják, például a geodéziában.

Minden „klasszikus” geodézia a trigonometrián alapul. Valójában ősidők óta a földmérőket érdekli a háromszögek „megoldása”.

Az épületek, pályák, hidak és egyéb épületek felállításának folyamata felmérési és tervezési munkákkal kezdődik. Egy építkezésen kivétel nélkül minden mérést geodéziai műszerek, például mérőállomás és trigonometrikus szint segítségével végeznek. A trigonometrikus szintezésnél a földfelszín több pontja közötti magasságkülönbség megállapításra kerül.

2.8 Trigonometria a művészetben és az építészetben

Mióta az ember elkezdett létezni a földön, a tudomány a mindennapi élet és az élet egyéb területeinek javításának alapjává vált. Mindennek, amit az ember alkotott, az alapjait a természettudományok és a matematikai tudományok különböző területei képezik. Az egyik a geometria. Az építészet nem az egyetlen tudományterület, ahol trigonometrikus képleteket használnak. A kompozíciós döntések és a rajzok felépítése zömében pontosan a geometria segítségével történt. De az elméleti adatok keveset jelentenek. Nézzünk egy példát egy szobor felépítésére, amelyet a művészet aranykorának francia mestere készített.

A szobor felépítésében az arányos viszony ideális volt. Amikor azonban a szobrot magas talapzatra emelték, csúnyán nézett ki. A szobrász nem vette figyelembe, hogy perspektívában, a horizont felé sok részlet lecsökken, és alulról felfelé nézve már nem kelt eszmeiségének benyomása. Számos számítást végeztek annak biztosítására, hogy a nagy magasságból származó alak arányosnak tűnjön. Főleg a látásmódon, vagyis a szemmel történő közelítő mérésen alapultak. Az egyes arányok különbségi együtthatója azonban lehetővé tette, hogy az ábra közelebb kerüljön az ideálishoz. Így a szobor és a nézőpont, azaz a szobor tetejétől az ember szemei ​​közötti hozzávetőleges távolság és a szobor magasságának ismeretében táblázat segítségével kiszámíthatjuk a nézet beesési szögének szinuszát, ezáltal megtaláljuk a nézőpontot (9. ábra).

A 10. ábrán a helyzet megváltozik, mivel a szobor AC magasságba emelkedik és NS növekszik, kiszámolhatjuk a C szög koszinuszának értékeit, és a táblázatból megtaláljuk a tekintet beesési szögét. A folyamat során kiszámíthatja az AN-t, valamint a C szög szinuszát, amely lehetővé teszi az eredmények ellenőrzését az alapvető trigonometrikus azonosság segítségével kötözősaláta 2 a+ sin 2 a = 1.

Az első és a második esetben végzett AN mérések összehasonlításával meghatározható az arányossági együttható. Ezt követően kapunk egy rajzot, majd egy szobrot, felemelve a figura vizuálisan közelebb kerül az ideálishoz

Világszerte ikonikus épületeket terveztek a matematikának köszönhetően, amely az építészet zsenialitásának tekinthető. Néhány híres példa az ilyen épületekre: Gaudi Gyermekiskola Barcelonában, Mary Axe felhőkarcoló Londonban, Bodegas Isios Pincészet Spanyolországban, étterem Los Manantialesben Argentínában. Ezeknek az épületeknek a tervezésénél a trigonometriát vették figyelembe.

Következtetés

A trigonometria elméleti és alkalmazott vonatkozásait tanulmányozva rájöttem, hogy ez az ág számos tudományhoz szorosan kapcsolódik. Kezdetben trigonometriára volt szükség a szögek közötti mérésekhez és mérésekhez. Később azonban az egyszerű szögmérés a trigonometrikus függvényeket tanulmányozó teljes értékű tudománygá nőtte ki magát. Az alábbi területeket azonosíthatjuk, amelyekben szoros kapcsolat van a trigonometria és az építészet, a természet, az orvostudomány és a biológia fizikája között.

Így az orvostudományban a trigonometrikus függvényeknek köszönhetően felfedezték a szívképletet, amely egy összetett algebrai-trigonometrikus egyenlőség, amely 8 kifejezésből, 32 együtthatóból és 33 alapvető paraméterből áll, beleértve a további számítások lehetőségét aritmia előfordulásakor. Ez a felfedezés segít az orvosoknak képzettebb és minőségibb orvosi ellátásban.

Jegyezzük meg azt is. hogy minden klasszikus geodézia a trigonometrián alapul. Valójában ősidők óta a földmérők háromszögek „megoldásával” foglalkoznak. Az épületek, utak, hidak és egyéb építmények építésének folyamata felmérési és tervezési munkákkal kezdődik. Az építkezésen minden mérést olyan földmérő műszerekkel végeznek, mint a teodolit és a trigonometrikus szint. A trigonometrikus szintezéssel meghatározzák a földfelszín több pontja közötti magasságkülönbséget.

Más területekre gyakorolt ​​hatását megismerve megállapíthatjuk, hogy a trigonometria aktívan befolyásolja az emberi életet. A matematika és a külvilág kapcsolata lehetővé teszi az iskolások tudásának „anyagiasítását”. Ennek köszönhetően az iskolában tanított ismereteket, információkat megfelelőbben tudjuk felfogni és befogadni.

Projektem célja sikeresen megvalósult. Tanulmányoztam a trigonometria életre gyakorolt ​​hatását és az iránta való érdeklődés kialakulását.

A cél elérése érdekében a következő feladatokat végeztük el:

1. Megismerkedtünk a trigonometria kialakulásának és fejlődésének történetével;

2. Példák a trigonometria gyakorlati hatására a különböző tevékenységi területeken;

3. Példákkal mutatta be a trigonometria lehetőségeit és alkalmazását az emberi életben.

Az iparág történetének tanulmányozása elősegíti az iskolások érdeklődésének felkeltését, a helyes világkép kialakítását és a középiskolások általános kultúrájának javítását.

Ez a munka azoknak a középiskolásoknak lesz hasznos, akik még nem látták a trigonometria szépségét, és nem ismerik az őket körülvevő életben való alkalmazási területeit.

Bibliográfia

Glazer G.I.

Glazer G.I.

Rybnikov K.A.

Bibliográfia

A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsin et al. „Algebra és az elemzés kezdetei” Tankönyv az általános oktatási intézmények 10-11. osztályai számára, M., Prosveshchenie, 2013.

Glazer G.I. Matematika története az iskolában: VII-VIII évfolyam. - M.: Oktatás, 2012.

Glazer G.I. Matematika története az iskolában: IX-X évfolyam. - M.: Oktatás, 2013.

Rybnikov K.A. Matematika története: Tankönyv. - M.: Moszkvai Állami Egyetem Kiadó, 1994. Olehnik Az algebra, a trigonometria és az elemi függvények problémái / Olehnik, S.N. És. - M.: Felsőiskola, 2016. - 134 p.

Olehnik, S.N. Az algebra, a trigonometria és az elemi függvények problémái / S.N. Olehnik. - M.: Felsőiskola, 2013. - 645 p.

Potapov, M.K. Algebra, trigonometria és elemi függvények / M.K. Potapov. - M.: Felsőiskola, 2014. - 586 p.

Potapov, M.K. Algebra. Trigonometria és elemi függvények / M.K. Potapov, V.V. Alekszandrov, P.I. Pasichenko. - M.: [nincs megadva], 2015. - 762 p.

1. számú melléklet

1. ábraPiramis kép. Meredekség számítás b / h.

Goniométer Seked Általában úgy néz ki, mint az egyiptomi képlet a piramis sekeda kiszámítására Így:.

ókori egyiptomi kifejezés " második" jelezte a dőlésszöget. A magasság túloldalán helyezkedett el, az alap felével osztva. "A piramis hossza a keleti oldalon 360 (könyök), a magassága 250 (könyök). Ki kell számolni a keleti oldal meredekségét. Ehhez vegyük fel a 360 felét, azaz 180-at. 180-at osztunk 250. Kapsz: 1 / 2 , 1 / 5 , 1 / 50 könyök. Ne feledje, hogy egy könyök 7 tenyérszélességnek felel meg. Most szorozza meg a kapott számokat 7-tel a következőképpen: " 2. ábraGnomon 3. ábra A nap szögmagasságának meghatározása 4. ábra A trigonometria alapképletei 5. ábra Navigáció trigonometriában 6. ábra Fizika a trigonometriában 7. ábra Három ritmus elmélete ( Fizikai ciklus - 23 nap. Meghatározza az energiát, erőt, állóképességet, mozgáskoordinációt; Az érzelmi ciklus 28 napos. Az idegrendszer állapota és a hangulat; Intellektuális ciklus - 33 nap. Meghatározza az egyén kreatív képességét) Rizs. 8 Trigonometria a zenében 9., 10. ábra Trigonometria az építészetben

Rodikova Valeria, Tipsin Eldar

Az első matematikai tudás az ókorban (i.e. IV-III. században) az ókori Görögországban jelent meg. A 17-18. században zajlott le a tudomány alapvető tartalma. A különböző országok tudósai a civilizáció fejlődésének különböző időszakaiban hozzájárultak a modern matematika fejlődéséhez. A matematikának a trigonometrikus függvényeket vizsgáló ágát trigonometriának nevezik. Az élet minden területéről származó emberek a trigonometria elemeit használják munkájuk során. Különböző tudományos és alkalmazott területek kutatói, fizikusok, tervezők, számítástechnikai szakemberek, tervezők, multimédiás prezentációk szerzői, orvosok, különböző területek szakemberei. Ez a projekt a trigonometria építészetben való alkalmazását vizsgálta.

Letöltés:

Előnézet:

https://accounts.google.com

Diafeliratok:

A munkát végezte: Rodikova Valeria, Tipsin Eldar, az MBOU „Beloyarsk Secondary School No. 1” 10 „A” osztályának tanulói Konzulens: Zhelnirovich N.V., matematika tanár Trigonometria az építészetben 2013 Diákok regionális kutatási konferenciája „A jövő elitje” Verkhneketye”

TRIGONOMETRIA - (a görög trigwnon - háromszög és metrew - mérték) - tudomány, amely a háromszögek szögei és oldalai közötti kapcsolatokat, valamint a trigonometrikus függvényeket vizsgálja.

Feltételeztük, hogy a trigonometriát nemcsak az elemzés és az algebra alapelveiben használják, hanem sok más tudományban is, például az építészetben.

Bevezetés a trigonometria építészeti alkalmazási területeibe. A munka céljai

Ismerje meg, hogyan használják a trigonometriát az építészetben Fedezze fel a trigonometria alkalmazását ezen a problématerületen

Zaha Hadid Zaha Hadid (1950. október 31., Bagdad, Irak) arab származású brit építész. A dekonstruktivizmus képviselője. 2004-ben ő lett az első női építész a történelemben, akit Pritzker-díjjal tüntettek ki. A dekonstruktivizmus a modern építészet egyik irányzata. A dekonstruktivista projekteket a vizuális komplexitás, a váratlan törött és szándékosan destruktív formák, valamint a városi környezet kimondottan agresszív inváziója jellemzi.

Sheikh Zayed híd Abu Dhabiban, Egyesült Arab Emírségekben

Antoni Placid Guillem Gaudí i Curnet spanyol építész, akinek a legtöbb szeszélyes és fantasztikus alkotása Barcelonában készült. A stílus, amelyben Gaudi dolgozott, szecessziós besorolású. Munkásságában azonban a legkülönfélébb stíluselemeket használta fel, vetette alá feldolgozásnak. A modern a művészet művészi irányzata, jellegzetessége az egyenes vonalak és szögek elutasítása a természetesebb, „természetesebb” vonalak javára.

Gaudi Gyermekiskola Barcelonában, Spanyolországban

Gaudí felületek k =1, a =1

Előnézet:

A prezentáció előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot, és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diafeliratok:

Santiago Calatrava Valls spanyol építész és szobrász, számos futurisztikus épület szerzője a világ különböző országaiban.

Bodegas Isios Pincészet Spanyolország

CANDELA Felix (1910-1997), mexikói építész és mérnök. Különféle vasbeton héjboltozatok készítője; vékony falú bevonatokat fejlesztettek ki hiperbolikus paraboloidok formájában.

Étterem itt: Los Manantiales, Argentína [ a d cos (t) + d d t , b d sin (t), c d t + e d t 2 ]

Swiss Re Insurance Corporation, London, Egyesült Királyság x = λ y = f (λ) cos θ z = f (λ) sin θ

Gótikus építészet, Notre Dame katedrális 1163 – 14. század közepe.

Berlini szinuszhullámok, Németország

EREDMÉNYEK „A jövő iskolái” projekt

: Megtudtuk, hogy a trigonometriát nem csak az algebrában és az elemzési elvekben alkalmazzák, hanem sok más tudományban is.A trigonometria számos művészeti és építészeti remekmű létrehozásának alapja Megtanultuk látni a trigonometriát az épületek felépítésében modellek. Következtetés

Köszönöm a figyelmet!

Trigonometria a csillagászatban:

A háromszögek megoldásának szükségességét először a csillagászatban fedezték fel; ezért hosszú ideig a trigonometriát a csillagászat egyik ágaként fejlesztették és tanulmányozták.

A Hipparkhosz által összeállított Nap és Hold helyzetének táblázatai lehetővé tették a fogyatkozások kezdetének pillanatainak előre kiszámítását (1-2 órás hibával). Hipparkhosz volt az első, aki a csillagászatban alkalmazott gömbi trigonometriai módszereket. Megfigyelései pontosságát úgy növelte, hogy goniometrikus műszerekben – szektánsokban és kvadránsokban – szálkeresztet használt, hogy a világítótestre mutasson. A tudós hatalmas katalógust állított össze 850 csillag helyzetéről akkoriban, fényességük alapján 6 fokra (csillagmagasságra) osztotta. Hipparkhosz bevezette a földrajzi koordinátákat - szélességi és hosszúsági fokokat, és ő tekinthető a matematikai földrajz megalapítójának. (Kr. e. 190 körül – ie 120 körül)


Teljes megoldás egy sík vagy gömbháromszög összes elemének meghatározására három adott elemből, a sinпх és cosпх fontos kiterjesztései cos x és sinx hatványaiban. A több ív szinuszai és koszinuszai képletének ismerete lehetővé tette Viet számára, hogy megoldja az A. Roomen matematikus által javasolt 45. fokú egyenletet; Viète megmutatta, hogy ennek az egyenletnek a megoldása a szög 45 egyenlő részre való felosztására redukálódik, és ennek az egyenletnek 23 pozitív gyöke van. Vieth egy vonalzó és egy körző segítségével oldotta meg Apollonius problémáját.
A gömbháromszögek megoldása a csillagászat egyik problémája.Az alábbi tételek lehetővé teszik bármely gömbháromszög oldalainak és szögeinek kiszámítását három megfelelően meghatározott oldalról vagy szögből: (szinusztétel) (szögek koszinusztétele) (oldalak koszinusztétele) .

Trigonometria a fizikában:

oszcillációs jelenségek típusai.

A harmonikus oszcilláció bármely mennyiség periodikus változásának jelensége, amelyben az argumentumtól való függés szinusz- vagy koszinuszfüggvény jellegű. Például egy mennyiség harmonikusan oszcillál és idővel a következőképpen változik:

Ahol x a változó mennyiség értéke, t az idő, A a rezgések amplitúdója, ω a rezgések ciklikus frekvenciája, a rezgések teljes fázisa, r az oszcillációk kezdeti fázisa.

Mechanikai rezgések . Mechanikai rezgések

Trigonometria a természetben.

Gyakran feltesszük a kérdést

• Az egyik alapvető tulajdonságait
• - ezek többé-kevésbé rendszeres változások a biológiai folyamatok jellegében és intenzitásában.
• Földi alapritmus- napidíj.

Trigonometria a biológiában

• A trigonometria fontos szerepet játszik az orvostudományban. Segítségével az iráni tudósok felfedezték a szív képletét - egy összetett algebrai-trigonometrikus egyenletet, amely 8 kifejezésből, 32 együtthatóból és 33 alapvető paraméterből áll, köztük számos további számítási paramétert az aritmia esetén.

• diatonikus lépték 2:3:5

Trigonometria az építészetben

• Swiss Re Insurance Corporation Londonban

1. Értelmezés

Csak egy kis részét adtuk meg annak, hogy hol találhatók trigonometrikus függvények

Bebizonyítottuk, hogy a trigonometria szorosan kapcsolódik a fizikához, megtalálható a természetben és az orvostudományban. Végtelenül sok példát lehet hozni az élő és élettelen természet időszakos folyamataira. Minden periodikus folyamat leírható trigonometrikus függvényekkel és grafikonon ábrázolható

Azt gondoljuk, hogy a trigonometria tükröződik életünkben és a szférákban

amelyben fontos szerepet játszik, bővülni fog.

• Kiderült hogy a trigonometriát a szögek mérésének igénye hívta életre, de idővel a trigonometrikus függvények tudományává fejlődött.
• Bizonyított
• Azt gondoljuk

A dokumentum tartalmának megtekintése
"Danilova T.V.-forgatókönyv"

MKOU "nyenyec középiskola - internátus, amelyet elnevezett. A.P. Pyrerki"

Oktatási projekt

" "

Danilova Tatyana Vladimirovna

Matematika tanár

A projekt relevanciájának indoklása.

A trigonometria a matematikának a trigonometrikus függvényeket vizsgáló ága. Nehéz elképzelni, de nem csak a matematika órán találkozunk ezzel a tudománnyal, hanem a mindennapjainkban is. Talán nem is sejti, de a trigonometria megtalálható olyan tudományokban, mint a fizika, a biológia, fontos szerepet játszik az orvostudományban, és ami a legérdekesebb, még a zene és az építészet sem nélkülözheti.
A trigonometria szó először 1505-ben jelenik meg Pitiscus német matematikus könyvének címében.
A trigonometria görög szó, szó szerinti fordításban háromszögek mérését jelenti (trigonan - háromszög, metreo - mérem).
A trigonometria megjelenése szorosan összefüggött a földméréssel, a csillagászattal és az építőiparral.…

Egy 14-15 éves iskolás nem mindig tudja, hova fog tanulni és hol fog dolgozni.
Egyes szakmákhoz szükséges a tudása, mert... lehetővé teszi a közeli csillagok távolságának mérését a csillagászatban, a tereptárgyak közötti távolság mérését a földrajzban, valamint a műholdas navigációs rendszerek vezérlését. A trigonometria alapelveit olyan területeken is alkalmazzák, mint a zeneelmélet, akusztika, optika, pénzpiaci elemzés, elektronika, valószínűségszámítás, statisztika, biológia, orvostudomány (beleértve az ultrahangot és a számítógépes tomográfiát), gyógyszerészet, kémia, számelmélet (és pl. következmény, kriptográfia), szeizmológia, meteorológia, oceanológia, térképészet, a fizika számos ága, topográfia és geodézia, építészet, fonetika, közgazdaságtan, elektronika, gépészet, számítógépes grafika, krisztallográfia.

A kutatás tárgyának meghatározása

3. A projekt céljai.

Problémás kérdés
1. Mely trigonometriai fogalmakat használják leggyakrabban a való életben?
2. Milyen szerepet játszik a trigonometria a csillagászatban, a fizikában, a biológiában és az orvostudományban?
3. Hogyan függ össze az építészet, a zene és a trigonometria?

Hipotézis

Hipotézisvizsgálat

Trigonometria (görögbőltrigonon - háromszög,metró – metrikus) –

A trigonometria története:

Az ókori emberek úgy számították ki a fa magasságát, hogy összehasonlították árnyékának hosszát egy ismert magasságú rúd árnyékának hosszával. A csillagok segítségével számították ki egy hajó tengeri helyzetét.

A trigonometria fejlődésének következő lépését az indiánok tették meg az 5. és a 12. század közötti időszakban.

Maga a koszinusz kifejezés jóval később, a 16. század végén jelent meg először az európai tudósok munkáiban az úgynevezett „komplementer szinuszból”, azaz a 16. század végén. az adott szöget 90°-ra kiegészítõ szög szinusza. A „komplement szinusza” vagy (latinul) sinus komplementi rövidítése sinus co vagy co-sinus néven jelent meg.

A XVII – XIX. A trigonometria a matematikai elemzés egyik fejezetévé válik.

Széles körben alkalmazzák a mechanikában, a fizikában és a technológiában, különösen az oszcillációs mozgások és más periodikus folyamatok tanulmányozásában.

Jean Fourier bebizonyította, hogy bármely periodikus mozgás (bármilyen pontossággal) ábrázolható egyszerű harmonikus rezgések összegeként.

a matematikai elemzés rendszerébe.

Hol használják a trigonometriát?

A trigonometrikus számításokat az emberi élet szinte minden területén alkalmazzák. Meg kell jegyezni, hogy olyan területeken használják, mint a csillagászat, a fizika, a természet, a biológia, a zene, az orvostudomány és még sok más.

Trigonometria a csillagászatban:

A háromszögek megoldásának szükségességét először a csillagászatban fedezték fel; ezért hosszú ideig a trigonometriát a csillagászat egyik ágaként fejlesztették és tanulmányozták.

A háromszögek megoldásának szükségességét először a csillagászatban fedezték fel; ezért hosszú ideig a trigonometriát a csillagászat egyik ágaként fejlesztették és tanulmányozták.

Vieta eredményei a trigonometriában
Teljes megoldás egy sík vagy gömbháromszög összes elemének meghatározására három adott elemből, a sinпх és cosпх fontos kiterjesztései cos x és sinx hatványaiban. A több ív szinuszai és koszinuszai képletének ismerete lehetővé tette Viet számára, hogy megoldja az A. Roomen matematikus által javasolt 45. fokú egyenletet; Viète megmutatta, hogy ennek az egyenletnek a megoldása a szög 45 egyenlő részre való felosztására redukálódik, és ennek az egyenletnek 23 pozitív gyöke van. Vieth egy vonalzó és egy körző segítségével oldotta meg Apollonius problémáját.
A gömbháromszögek megoldása a csillagászat egyik problémája.Az alábbi tételek lehetővé teszik bármely gömbháromszög oldalainak és szögeinek kiszámítását három megfelelően meghatározott oldalról vagy szögből: (szinusztétel) (szögek koszinusztétele) (oldalak koszinusztétele) .

Trigonometria a fizikában:

A minket körülvevő világban időszakos folyamatokkal kell megküzdenünk, amelyek rendszeres időközönként ismétlődnek. Ezeket a folyamatokat oszcillációsnak nevezzük. A különféle fizikai természetű oszcillációs jelenségek általános törvényeknek engedelmeskednek, és ugyanazokkal az egyenletekkel írják le őket. Vannak különböző oszcillációs jelenségek típusai.

Harmonikus rezgés- bármely mennyiség periodikus változásának jelensége, amelyben az argumentumtól való függés szinusz- vagy koszinuszfüggvény jellegű. Például egy mennyiség harmonikusan oszcillál és idővel a következőképpen változik:

Ahol x a változó mennyiség értéke, t az idő, A a rezgések amplitúdója, ω a rezgések ciklikus frekvenciája, a rezgések teljes fázisa, r az oszcillációk kezdeti fázisa.

Általánosított harmonikus rezgés x’’ + ω²x = 0 differenciálformában.

Mechanikai rezgések . Mechanikai rezgések testmozgások, amelyek pontosan egyenlő időközönként ismétlődnek. Ennek a függvénynek a grafikus ábrázolása vizuálisan ábrázolja az oszcillációs folyamat időbeli lefutását. Az egyszerű mechanikus oszcillációs rendszerek példái a rugón lévő súly vagy a matematikai inga.

Trigonometria a természetben.

Gyakran feltesszük a kérdést "Miért látunk néha olyan dolgokat, amelyek valójában nincsenek?". A következő kérdéseket javasoljuk kutatásra: „Hogyan jelenik meg a szivárvány? Északi fény?”, „Mi az optikai csalódás?” – Hogyan segíthet a trigonometria megválaszolni ezeket a kérdéseket?

A szivárványelméletet először 1637-ben Rene Descartes javasolta. A szivárványt a fény esőcseppekben való visszaverődésével és törésével kapcsolatos jelenségként magyarázta.

Északi fény A töltött napszél-részecskék behatolását a bolygók légkörének felső rétegeibe a bolygó mágneses mezőjének és a napszéllel való kölcsönhatása határozza meg.

A mágneses térben mozgó töltött részecskékre ható erőt Lorentz-erőnek nevezzük. Arányos a részecske töltésével és a mező vektorszorzatával és a részecske sebességével.

Amerikai tudósok azt állítják, hogy az agy a föld síkja és a látássík közötti szög mérésével becsüli meg a tárgyak távolságát.

Ezenkívül a biológiában olyan fogalmakat használnak, mint a carotis sinus, a carotis sinus és a vénás vagy barlangi sinus.

A trigonometria fontos szerepet játszik az orvostudományban. Segítségével az iráni tudósok felfedezték a szív képletét - egy összetett algebrai-trigonometrikus egyenletet, amely 8 kifejezésből, 32 együtthatóból és 33 alapvető paraméterből áll, köztük számos további számítási paramétert az aritmia esetén.

Az egyik alapvető tulajdonságait az élő természet a benne lezajló folyamatok többségének ciklikus jellege.

Biológiai ritmusok, bioritmusok

Földi alapritmus– napidíj.

A bioritmusok modellje trigonometrikus függvényekkel építhető fel.

Trigonometria a biológiában

Milyen biológiai folyamatok kapcsolódnak a trigonometriához?

A trigonometria fontos szerepet játszik az orvostudományban. Segítségével az iráni tudósok felfedezték a szív képletét - egy összetett algebrai-trigonometrikus egyenletet, amely 8 kifejezésből, 32 együtthatóból és 33 alapvető paraméterből áll, köztük számos további számítási paramétert az aritmia esetén.

Biológiai ritmusok, bioritmusok kapcsolódnak a trigonometriához

A bioritmusok modellje felállítható trigonometrikus függvények grafikonjainak felhasználásával. Ehhez meg kell adnia a személy születési dátumát (nap, hónap, év) és az előre jelzett időtartamot

A halak mozgása a vízben a szinusz vagy koszinusz törvénye szerint történik, ha rögzítünk egy pontot a farkán, majd figyelembe vesszük a mozgás pályáját.

A zenei harmónia kialakulása

Az ősi időkből származó legendák szerint először Pythagoras és tanítványai próbálkoztak ezzel.

Ugyanazon hangnak megfelelő frekvenciák az elsőben, a másodikban stb. az oktávok 1:2:4:8-hoz kapcsolódnak...

diatonikus lépték 2:3:5

Trigonometria az építészetben

Gaudi Gyermekiskola Barcelonában

Swiss Re Insurance Corporation Londonban

Felix Candela étterem Los Manantialesben

Értelmezés

Csak egy kis részét adtuk meg annak, hogy hol találhatók a trigonometrikus függvények, kiderült, hogy a trigonometriát a szögmérési igény hívta életre, de idővel a trigonometrikus függvények tudományává fejlődött.

Bebizonyítottuk, hogy a trigonometria szorosan kapcsolódik a fizikához, megtalálható a természetben és az orvostudományban. Végtelenül sok példát lehet hozni az élő és élettelen természet időszakos folyamataira. Minden periodikus folyamat leírható trigonometrikus függvényekkel és grafikonon ábrázolható

Azt gondoljuk, hogy a trigonometria tükröződik életünkben és a szférákban

amelyben fontos szerepet játszik, bővülni fog.

Kiderült hogy a trigonometriát a szögek mérésének igénye hívta életre, de idővel a trigonometrikus függvények tudományává fejlődött.

Bizonyított hogy a trigonometria szorosan kapcsolódik a fizikához, megtalálható a természetben, a zenében, a csillagászatban és az orvostudományban.

Azt gondoljuk hogy a trigonometria visszatükröződik életünkben, és bővülni fognak azok a területek, ahol fontos szerepet játszik.

7. Irodalom.

Maple6 program, amely a grafikonok képét valósítja meg

"Wikipédia"

Ucheba.ru

Math.ru "könyvtár"

A prezentáció tartalmának megtekintése
"Danilova T.V."

" Trigonometria a körülöttünk lévő világban és az emberi életben "

Kutatási célok:

A trigonometria és a való élet kapcsolata.

Problémás kérdés 1. Mely trigonometriai fogalmakat használják leggyakrabban a való életben? 2. Milyen szerepet játszik a trigonometria a csillagászatban, a fizikában, a biológiában és az orvostudományban? 3. Hogyan függ össze az építészet, a zene és a trigonometria?

Hipotézis

A legtöbb fizikai természeti jelenség, élettani folyamatok, minták a zenében és a művészetben leírhatók trigonometriával és trigonometrikus függvényekkel.

Mi az a trigonometria???

Trigonometria (a görög trigononból - háromszög, metró - metrikus) - A matematika mikrometszete, amely a szögértékek és a háromszögek oldalhossza közötti összefüggéseket, valamint a trigonometrikus függvények algebrai azonosságát vizsgálja.

A trigonometria története

A trigonometria eredete az ókori Egyiptomba, Babilóniába és az Indus-völgybe nyúlik vissza, több mint 3000 évvel ezelőtt.

A trigonometria szó először 1505-ben jelenik meg Pitiscus német matematikus könyvének címében.

Először találtak olyan módszereket a háromszögek megoldására, amelyek a háromszög oldalai és szögei közötti függőségeken alapulnak, az ókori görög csillagászok, Hipparkhosz és Ptolemaiosz.

Az ókori emberek úgy számították ki a fa magasságát, hogy összehasonlították árnyékának hosszát egy ismert magasságú rúd árnyékának hosszával.

A csillagok segítségével számították ki egy hajó tengeri helyzetét.

A trigonometria fejlődésének következő lépését az indiánok tették meg az 5. és a 12. század közötti időszakban.

BAN BEN különbség a görögöktől yians kezdte figyelembe venni és használni a számításokban már nem az MM egész akkordját  a megfelelő középponti szög, de csak a fele MR, azaz szinusz  - a középső szög fele.

Maga a koszinusz kifejezés jóval később jelent meg az európai tudósok munkáiban először a 16. század végén az ún. « szinusz komplementere » , azaz annak a szögnek a szinusza, amely az adott szöget 90-re egészíti ki  . « Szinusz komplementer » vagy (latinul) sinus komplementit kezdték rövidíteni sinus co vagy co-sinus néven.

A szinusz mellett az indiánok bevezették a trigonometriát koszinusz , pontosabban a koszinusz egyenest kezdték használni számításaikban. Ismerték a kapcsolatokat is  =sin(90  -  ) és a bűn 2  +cos 2  =r 2 , valamint két szög összegének és különbségének szinuszának képleteit.

A XVII – XIX. trigonometria válik

a matematikai elemzés egyik fejezete.

Széleskörű alkalmazást talál a mechanikában,

fizika és technológia, különösen a tanulás során

oszcilláló mozgások és mások

periodikus folyamatok.

Viète, akinek első matematikai tanulmányai a trigonometriával foglalkoztak, ismerte a trigonometrikus függvények periodicitásának tulajdonságait.

Bebizonyította, hogy minden időszakos

mozgás lehet

bemutatva (bármilyen végzettséggel

pontosság) prímek összege formájában

harmonikus rezgések.

Alapító elemző

elméletek

trigonometrikus funkciókat .

Leonard Euler

"Bevezetés a végtelenek elemzésébe" (1748)

szinusz, koszinusz stb. nem mint

trigonometrikus vonalak, kötelező

a körhöz kapcsolódóan, és hogyan

trigonometrikus függvények, hogy ő

a felek közötti kapcsolatnak tekintjük

derékszögű háromszög, mint a számok

mennyiségeket.

Kizárva a képleteimből

R – teljes szinusz, vétel

R = 1, és így egyszerűsítettük

rögzítés és számítás módja.

Fejleszti a tant

trigonometrikus függvényekről

bármilyen érv.

Folytatás a 19. században

elméletfejlesztés

trigonometrikus

funkciókat.

N.I.Lobacsevszkij

„A geometriai megfontolások – írja Lobacsevszkij – a trigonometria kezdetéig szükségesek, egészen addig, amíg a trigonometrikus függvények megkülönböztető tulajdonságainak felfedezését szolgálják... Innentől kezdve a trigonometria teljesen függetlenné válik a geometriától, és az elemzés minden előnyével rendelkezik.”

A trigonometria fejlődési szakaszai:

• A trigonometriát a szögek mérésének igénye keltette életre.

• A trigonometria első lépései a szög nagysága és a speciálisan megszerkesztett egyenes szakaszok aránya közötti összefüggések feltárása volt. Az eredmény a sík háromszögek megoldásának képessége.

• A bevitt trigonometrikus függvények értékeinek táblázatba foglalásának szükségessége.

• A trigonometrikus függvények önálló kutatási objektumokká váltak.

• A 18. században trigonometrikus függvények kerültek bele

a matematikai elemzés rendszerébe.

Hol használják a trigonometriát?

A trigonometrikus számításokat az emberi élet szinte minden területén alkalmazzák. Meg kell jegyezni, hogy olyan területeken használják, mint a csillagászat, a fizika, a természet, a biológia, a zene, az orvostudomány és még sok más.

Trigonometria a csillagászatban

A háromszögek megoldásának szükségességét először a csillagászatban fedezték fel; ezért hosszú ideig a trigonometriát a csillagászat egyik ágaként fejlesztették és tanulmányozták.

A trigonometria az indiai középkori csillagászok körében is jelentős magasságokat ért el.

Az indiai csillagászok fő eredménye az akkordok cseréje volt

szinuszokat, amelyek lehetővé tették különféle kapcsolódó funkciók bevezetését

derékszögű háromszög oldalaival és szögeivel.

Így a trigonometria kezdetét Indiában fektették le

mint a trigonometrikus mennyiségek tanulmányozása.

A Hipparkhosz által összeállított Nap és Hold helyzetének táblázatai lehetővé tették a fogyatkozások kezdetének pillanatainak előre kiszámítását (1-2 órás hibával). Hipparkhosz volt az első, aki a csillagászatban alkalmazott gömbi trigonometriai módszereket. Növelte a megfigyelések pontosságát azáltal, hogy goniometrikus műszerekben – szextánsokban és kvadránsokban – szálkeresztet használt, hogy a világítótestre mutasson. A tudós hatalmas katalógust állított össze 850 csillag helyzetéről akkoriban, fényességük alapján 6 fokra (csillagmagasságra) osztotta. Hipparkhosz bevezette a földrajzi koordinátákat - szélességi és hosszúsági fokokat, és ő tekinthető a matematikai földrajz megalapítójának. (Kr. e. 190 körül – ie 120 körül)

Hipparkhosz

Trigonometria a fizikában

A minket körülvevő világban időszakos folyamatokkal kell megküzdenünk, amelyek rendszeres időközönként ismétlődnek. Ezeket a folyamatokat oszcillációsnak nevezzük. A különféle fizikai természetű oszcillációs jelenségek általános törvényeknek engedelmeskednek, és ugyanazokkal az egyenletekkel írják le őket. Vannak különböző az oszcillációs jelenségek típusai, pl.

Mechanikai rezgések

Harmonikus rezgések

Harmonikus rezgések

Harmonikus rezgés - bármely mennyiség periodikus változásának jelensége, amelyben az argumentumtól való függés szinusz- vagy koszinuszfüggvény jellegű. Például egy mennyiség harmonikusan oszcillál és idővel a következőképpen változik:

vagy

Ahol x a változó mennyiség értéke, t az idő, A a rezgések amplitúdója, ω a rezgések ciklikus frekvenciája, a rezgések teljes fázisa, r az oszcillációk kezdeti fázisa.

Általánosított harmonikus rezgés x’’ + ω²x = 0 differenciálformában.

Mechanikai rezgések

Mechanikai rezgések testmozgások, amelyek pontosan egyenlő időközönként ismétlődnek. Ennek a függvénynek a grafikus ábrázolása vizuálisan ábrázolja az oszcillációs folyamat időbeli lefutását.

Az egyszerű mechanikus oszcillációs rendszerek példái a rugón lévő súly vagy a matematikai inga.

Matek inga

Az ábra egy inga rezgéseit mutatja, egy koszinusznak nevezett görbe mentén mozog.

Lövedékpálya és vektorvetítések az X és Y tengelyen

Az ábrán látható, hogy a vektorok vetületei az X és az Y tengelyen egyenlők

υ x = υ o cos α

υ y = υ o sin α

Trigonometria a természetben

Gyakran feltesszük a kérdést "Miért látunk néha olyan dolgokat, amelyek valójában nincsenek?". A következő kérdéseket javasoljuk kutatásra: „Hogyan jelenik meg a szivárvány? Északi fény?”, „Mi az optikai csalódás?” – Hogyan segíthet a trigonometria megválaszolni ezeket a kérdéseket?

Optikai csalódások

természetes

mesterséges

vegyes

Szivárvány elmélet

A szivárvány akkor fordul elő, amikor a napfényt a levegőben lebegő vízcseppek megtörik. fénytörés törvénye:

A szivárványelméletet először 1637-ben Rene Descartes javasolta. A szivárványt a fény esőcseppekben való visszaverődésével és törésével kapcsolatos jelenségként magyarázta.

bűn α /bűn β = n 1 /n 2

ahol n 1 =1, n 2 ≈1,33 a levegő és a víz törésmutatója, α a beesési szög, β pedig a fény törési szöge.

Északi fény

A töltött napszél-részecskék behatolását a bolygók felső légkörébe a bolygó mágneses tere és a napszél kölcsönhatása határozza meg.

A mágneses térben mozgó töltött részecskékre ható erőt Lorentz-erőnek nevezzük. Arányos a részecske töltésével és a mező vektorszorzatával és a részecske sebességével.

• Amerikai tudósok azt állítják, hogy az agy a föld síkja és a látássík közötti szög mérésével becsüli meg a tárgyak távolságát.

• Ezenkívül a biológiában olyan fogalmakat használnak, mint a carotis sinus, a carotis sinus és a vénás vagy barlangi sinus.

• A trigonometria fontos szerepet játszik az orvostudományban. Segítségével az iráni tudósok felfedezték a szív képletét - egy összetett algebrai-trigonometrikus egyenletet, amely 8 kifejezésből, 32 együtthatóból és 33 alapvető paraméterből áll, köztük számos további számítási paramétert az aritmia esetén.

• Az egyik alapvető tulajdonságait az élő természet a benne lezajló folyamatok többségének ciklikus jellege.

• Biológiai ritmusok, bioritmusok– ezek többé-kevésbé rendszeres változások a biológiai folyamatok jellegében és intenzitásában.

• Földi alapritmus– napidíj.

• A bioritmusok modellje trigonometrikus függvényekkel építhető fel.

Trigonometria a biológiában

Milyen biológiai folyamatok kapcsolódnak a trigonometriához?

• A trigonometria fontos szerepet játszik az orvostudományban. Segítségével az iráni tudósok felfedezték a szív képletét - egy összetett algebrai-trigonometrikus egyenletet, amely 8 kifejezésből, 32 együtthatóból és 33 alapvető paraméterből áll, köztük számos további számítási paramétert az aritmia esetén.
• Biológiai ritmusok, bioritmusok kapcsolódnak a trigonometriához.

• A bioritmusok modellje felállítható trigonometrikus függvények grafikonjainak felhasználásával.

• Ehhez meg kell adnia a személy születési dátumát (nap, hónap, év) és az előrejelzés időtartamát.

Trigonometria a biológiában

A halak mozgása a vízben a szinusz vagy koszinusz törvénye szerint történik, ha rögzítünk egy pontot a farkán, majd figyelembe vesszük a mozgás pályáját.

Úszáskor a hal teste egy görbe alakját veszi fel, amely hasonlít az y=tgx függvény grafikonjára.

A zenei harmónia kialakulása

• Az ősi időkből származó legendák szerint először Pythagoras és tanítványai próbálkoztak ezzel.

• Megfelelő frekvenciák

ugyanaz a hang az elsőben, a másodikban stb. az oktávok 1:2:4:8-hoz kapcsolódnak...

• diatonikus lépték 2:3:5

A zenének megvan a maga geometriája

Négy hang különböző típusú akkordjainak tetraéderei:

kék – kis időközönként;

melegebb hangok - több „kisütött” akkordhang; A vörös gömb a legharmonikusabb akkord, a hangok közötti egyenlő intervallumokkal.

kötözősaláta 2 C + sin 2 C = 1

AC- a szobor teteje és az ember szeme közötti távolság,

AN- a szobor magassága,

bűn C- a tekintet beesési szögének szinusza.

Trigonometria az építészetben

Gaudi Gyermekiskola Barcelonában

Swiss Re Insurance Corporation Londonban

y = f (λ)cos θ

z = f (λ)sin θ

Felix Candela Étterem Los Manantialesben

• Kiderült hogy a trigonometriát a szögek mérésének igénye hívta életre, de idővel a trigonometrikus függvények tudományává fejlődött.

• Bizonyított hogy a trigonometria szorosan kapcsolódik a fizikához, megtalálható a természetben, a zenében, a csillagászatban és az orvostudományban.

• Azt gondoljuk hogy a trigonometria visszatükröződik életünkben, és bővülni fognak azok a területek, ahol fontos szerepet játszik.

A trigonometria hosszú utat tett meg fejlődésében. És most bátran kijelenthetjük, hogy a trigonometria nem függ más tudományoktól, és más tudományok a trigonometriától.

• Maslova T.N. „Matematika diákkalauz”
• Maple6 program, amely a grafikonok képét valósítja meg
• "Wikipédia"
• Ucheba.ru
• Math.ru "könyvtár"
• A matematika története az ókortól a 19. század elejéig 3 kötetben // szerk. A. P. Juskevics. Moszkva, 1970 – 1-3. kötet E. T. Bell A matematika alkotói.
• A modern matematika elődjei // szerk. S. N. Niro. Moszkva, 1983 A. N. Tikhonov, D. P. Kosztomarov.
• Történetek az alkalmazott matematikáról//Moszkva, 1979. A. V. Volosinov. Matematika és művészet // Moszkva, 1992. Újság matematika. Az újság 1998. szeptember 1-i melléklete.

Szinusz, koszinusz, érintő - ha középiskolás diákok jelenlétében ejti ki ezeket a szavakat, biztos lehet benne, hogy kétharmaduk elveszti érdeklődését a további beszélgetés iránt. Az ok abban rejlik, hogy az iskolában a trigonometria alapjait a valóságtól teljesen elszigetelten tanítják, ezért a diákok nem látják értelmét a képletek és tételek tanulmányozásának.

Valójában, közelebbről megvizsgálva, ez a tudásterület nagyon érdekesnek bizonyul, valamint alkalmazottnak is - a trigonometriát a csillagászatban, az építőiparban, a fizikában, a zenében és sok más területen használják.

Ismerkedjünk meg az alapfogalmakkal, és nevezzünk meg több okot a matematikai tudomány ezen ágának tanulmányozására.

Sztori

Nem ismert, hogy az emberiség mikor kezdte el a semmiből létrehozni a jövőbeli trigonometriát. Dokumentált azonban, hogy az egyiptomiak már a Kr. e. második évezredben ismerték e tudomány alapjait: a régészek találtak egy papiruszt, amelynek feladata a piramis dőlésszögének megállapítása volt két ismert oldalon.

Az ókori Babilon tudósai komolyabb sikereket értek el. Az évszázadok során a csillagászat tanulmányozása során számos tételt elsajátítottak, speciális szögmérési módszereket vezettek be, amelyeket egyébként ma is használunk: a fokokat, perceket és másodperceket az európai tudomány kölcsönözte a görög-római kultúrában, amelybe ezek az egységek a babilóniaiaktól származtak.

Feltételezik, hogy a híres Pitagorasz-tételt, amely a trigonometria alapjaira vonatkozik, a babilóniaiak csaknem négyezer évvel ezelőtt ismerték.

Név

Szó szerint a „trigonometria” kifejezés „háromszögek mérése”-ként fordítható. A tudomány ezen szakaszán belül a fő kutatási tárgy évszázadokon át a derékszögű háromszög volt, pontosabban a szögek nagysága és oldalai hossza közötti kapcsolat (ma a trigonometria tanulmányozása a nulláról ezzel a résszel kezdődik) . Az életben gyakran adódnak olyan helyzetek, amikor gyakorlatilag lehetetlen egy objektum összes szükséges paraméterét (illetve az objektum távolságát) megmérni, és ekkor szükségessé válik a hiányzó adatok számítással történő beszerzése.

Például a múltban az emberek nem tudták megmérni az űrobjektumok távolságát, de kísérletek e távolságok kiszámítására már jóval korunk eljövetele előtt történtek. A trigonometriának is döntő szerepe volt a navigációban: némi tudás birtokában a kapitány éjszaka mindig a csillagok mentén tudott navigálni és beállítani az irányt.

Alapfogalmak

A trigonometria elsajátítása a semmiből megköveteli néhány alapvető kifejezés megértését és emlékezését.

Egy bizonyos szög szinusza a szemközti oldal és a hipotenusz aránya. Tisztázzuk, hogy a szemközti láb az általunk vizsgált szöggel szemben fekvő oldal. Így, ha egy szög 30 fok, akkor ennek a szögnek a szinusza a háromszög bármely méreténél mindig egyenlő lesz ½-vel. A szög koszinusza a szomszédos láb és a hipotenusz aránya.

Az érintő az ellenkező oldal és a szomszédos oldal aránya (vagy ami megegyezik, a szinusz és a koszinusz aránya). A kotangens az egység az érintővel osztva.

Érdemes megemlíteni a híres Pi (3,14...) számot, amely egy egység sugarú kör hosszának fele.

Népszerű hibák

A trigonometriát a semmiből tanuló emberek számos hibát követnek el – többnyire figyelmetlenségből.

Először is, amikor geometriai feladatokat old meg, emlékeznie kell arra, hogy a szinuszok és koszinuszok használata csak derékszögű háromszögben lehetséges. Előfordul, hogy a tanuló „automatikusan” egy háromszög leghosszabb oldalát veszi befogónak, és hibás számítási eredményeket kap.

Másodszor, először könnyű összetéveszteni a szinusz és a koszinusz értékeit a kiválasztott szögben: ne feledje, hogy a 30 fokos szinusz számszerűen egyenlő a 60 koszinuszával, és fordítva. Ha helytelen számot ír be, minden további számítás hibás lesz.

Harmadszor, amíg a probléma teljesen meg nem oldódik, ne kerekítsen értéket, ne vonjon ki gyököket, és ne írjon köztörtet tizedesként. A tanulók gyakran arra törekednek, hogy egy trigonometriai feladatban „szép” számot kapjanak, és azonnal kivonják a három gyökét, bár pontosan egy művelet után ez a gyökér csökkenthető.

A "sine" szó etimológiája

A „sine” szó története valóban szokatlan. A tény az, hogy ennek a szónak a latin nyelvű fordítása „üreges”-et jelent. Ennek az az oka, hogy a szó helyes értelmezése elveszett az egyik nyelvről a másikra történő fordítás során.

Az alapvető trigonometrikus függvények neve Indiából származik, ahol a szinusz fogalmát a szanszkrit „húr” szóval jelölték - tény, hogy a szakasz a kör ívével együtt, amelyen nyugodott, íjnak tűnt. . Az arab civilizáció virágkorában a trigonometria terén elért indiai vívmányokat kölcsönözték, és a kifejezés átírásként ment át arab nyelvre. Történt ugyanis, hogy ebben a nyelvben már volt hasonló depressziót jelző szó, és ha az arabok megértették az anyanyelvi és a kölcsönszó közötti hangzásbeli különbséget, akkor az európaiak a tudományos értekezéseket latinra fordítva tévedésből szó szerint fordították az arab szót, amelynek semmije sem volt. hogy köze van a szinusz fogalmához . A mai napig használjuk.

Értéktáblázatok

Vannak olyan táblázatok, amelyek az összes lehetséges szög szinuszainak, koszinuszainak és érintőinek számértékeit tartalmazzák. Az alábbiakban a 0, 30, 45, 60 és 90 fokos szögek adatait mutatjuk be, amelyeket a trigonometria kötelező részeként kell megtanulni a „bábukhoz”, szerencsére meglehetősen könnyen megjegyezhetőek.

Ha megtörténik, hogy egy szög szinuszának vagy koszinuszának számértéke „kiszállt a fejedből”, van mód arra, hogy magad származtassa azt.

Geometriai ábrázolás

Rajzoljunk egy kört, és a középpontján keresztül húzzuk át az abszcisszát és az ordinátatengelyeket. Az abszcissza tengelye vízszintes, az ordináta tengelye függőleges. Általában "X" és "Y" betűkkel vannak aláírva. Most húzunk egy egyenest a kör közepétől úgy, hogy a szükséges szöget megkapjuk közte és az X tengely között. Végül abból a pontból, ahol az egyenes metszi a kört, az X tengelyre merőlegest ejtünk, a kapott szakasz hossza megegyezik a szögünk szinuszának számértékével.

Ez a módszer nagyon releváns, ha például vizsga közben elfelejtette a szükséges értéket, és nincs kéznél trigonometriai tankönyv. Így nem kapsz pontos számot, de biztosan látni fogod a különbséget ½ és 1,73/2 (30 fokos szög szinusza és koszinusza) között.

Alkalmazás

A trigonometriát elsőként használó szakértők némelyike ​​olyan tengerész volt, akiknek nem volt más referenciapontjuk a nyílt tengeren, csak az ég a fejük felett. Ma a hajók (repülőgépek és egyéb közlekedési módok) kapitányai nem a csillagok segítségével keresik a legrövidebb utat, hanem aktívan folyamodnak a GPS-navigációhoz, ami trigonometria nélkül lehetetlen lenne.

A fizika szinte minden részében találsz szinuszokat és koszinuszokat használó számításokat: legyen az erő alkalmazása a mechanikában, a tárgyak útvonalának kiszámítása a kinematikában, rezgések, hullámterjedés, fénytörés - egyszerűen nem nélkülözheti az alapvető trigonometriát a képletekben.

Egy másik szakma, amely elképzelhetetlen trigonometria nélkül, a földmérő. Ezek az emberek egy teodolit és egy szintező vagy egy bonyolultabb eszköz - fordulatszámmérő - segítségével mérik a magasságkülönbséget a földfelszín különböző pontjai között.

Ismételhetőség

A trigonometria nem csak a háromszög szögeivel és oldalaival foglalkozik, bár itt kezdődött a létezése. Minden olyan területen, ahol jelen van a ciklikusság (biológia, orvostudomány, fizika, zene stb.), találkozni fog egy grafikonnal, amelynek neve valószínűleg ismerős – ez egy szinuszhullám.

Egy ilyen grafikon az időtengely mentén kibontott kör, és hullámnak tűnik. Ha dolgozott valaha oszcilloszkóppal a fizikaórán, tudja, miről beszélünk. A zenei hangszínszabályzó és a pulzusmérő is trigonometrikus képleteket használ munkájuk során.

Végül

Amikor a trigonometria elsajátításán gondolkodik, a legtöbb közép- és középiskolás diák kezdi nehéz és nem praktikus tudománynak tekinteni, mivel csak egy tankönyvből ismerkedik meg az unalmas információkkal.

Ami a gyakorlatiatlanságot illeti, már láttuk, hogy ilyen vagy olyan mértékben szinte minden tevékenységi területen szükséges a szinuszok és érintők kezelésének képessége. Ami a komplexitást illeti... Gondoljon bele: ha az emberek több mint kétezer évvel ezelőtt használták ezt a tudást, amikor egy felnőttnek kevesebb tudása volt, mint a mai gimnazistáknak, reális-e, hogy Ön személyesen alapszinten tanulja ezt a tudományterületet? Néhány óra átgondolt gyakorlat a feladatok megoldásában – és az alaptanfolyam, az úgynevezett trigonometria próbabábu tanulmányozásával eléri célját.