Вращение - частный случай движения, при котором по крайней мере одна точка плоскости (пространства) остаётся неподвижной. При вращении плоскости неподвижная точка называется центром вращения, при вращении пространства неподвижная прямая называется осью вращения. Вращение плоскости (пространства) называется собственным (вращение первого рода) или несобственным (вращение второго рода) в зависимости от того, сохраняет оно или нет ориентацию плоскости (пространства).
На плоскости в прямоугольных декартовых координатах собственное вращение выражается формулами
x" = x cos? - y sin?, y" = x sin? + y cos?,
где?- угол поворота, а центр вращения выбран в начале координат. При тех же условиях несобственное вращение плоскости выражается формулой
x" = xcos? + y sin?, y" = x sin?- y cos?.
Поворотом плоскости вокруг точки S на направленный угол ѓї называется такое отображение плоскости на себя, которое каждую точку М плоскости переводит в такую точку M`, что SM = SM` и направленный угол ЃЪMSM` равен ѓї.
Точка S называется центром поворота, а направленный угол ѓї - углом поворота. Напомним, что угол называется направленным, если указано, какая из его сторон считается первой, а какая - второй.
Для обозначения поворота будем использовать символ.
Прежде всего докажем, что поворот плоскости сохраняет расстояние между точками. Для этого на плоскости возьмем две различные точки M и N. Обозначим через M` и N` их образы при повороте вокруг точки S на направленный угол ѓї. Рассмотрим треугольники SMN и SM`N`. В этих треугольниках стороны SM и SM`, SN и SN`, соответственно, равны.
Нетрудно убедиться и в том, что углы MSN и M`SN` этих треугольников тоже равны. А это значит, что равны и сами треугольники MSN и M`SN`. Из равенства этих треугольников следует равенство отрезков MN и M`N`. Таким образом, поворот плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол является движением.
На плоскости рассмотрим поворот с центром в точке S и углом ѓї. Зададим ПДСК так, чтобы ее началом служила точка S, а координатные векторы i, j были единичны и взаимно перпендикулярны. Произвольно на плоскости возьмем точку М (х, у) с координатами х и у относительно ПДСК Sху. Под действием поворота эта точка перейдет в некоторую точку M`(x`, y`). Выразим координаты точки M` через координаты ее прообраза, угол ѓї и координаты центра поворота. В треугольнике SM`Mx` длина катета SMx` равна |х`|, а длина катета М`Мх` равна |у`|, а в треугольнике SMMx - SMx = |x|, MMx = |y|. Обозначим через ѓА направленный угол, который образует луч SM с положительным направлением оси абсцисс (рис. 2.2). Тогда в ориентированном прямоугольном треугольнике Mx`SM` направленный угол ЃЪ Mx`SM` равен сумме направленных углов ѓї и ѓА, а длина гипотенузы SM` равна. С учетом этих соотношений получаем, что
Эти формулы являются формулами поворота плоскости вокруг начала координат на направленный угол ѓї. Используя эти формулы, можно показать, что поворот плоскости вокруг точки на заданный направленный угол обладает следующими свойствами.
Свойства поворота плоскости вокруг точки
1. При повороте плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол прямая переходит в прямую, образующую с данной прямой направленный угол, равный углу поворота.
Доказательство. Пусть относительно системы координат Oxy прямая d определяется уравнением ax + by + c = 0, где. Зададим поворот плоскости вокруг точки О на направленный угол ѓї формулами (2.1.). Найдем уравнение образа прямой d при этом повороте. Для этого из формул (2.1.) выразим x и y через xЃЊ и yЃЊ получим формулы вида,
Чтобы получить уравнение образа прямой d в уравнении ax + by + c = 0 заменим х и у выражениями (xЃЊ cosѓї + yЃЊ sinѓї) и (? xЃЊ sinѓї + yЃЊcosѓї) . В результате получим уравнение вида. В левой части этого уравнения раскроем скобки и приведем его к виду
Поскольку
то уравнение (acosѓї ? bsinѓї)xЃЊ + (asinѓї + bcosѓї) yЃЊ + c = 0 определяет на плоскости прямую.
- 2. При повороте вокруг данной точки на заданный направленный угол параллельные прямые переходят в параллельные прямые.
- 3. Поворот плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол сохраняет простое отношение трех точек.
Доказательство. На плоскости зададим ПДСК Оху. Произвольно возьмем две точки и. Пусть точка M(x, y) делит отрезок М 1 М 2 в отношении ѓЙ Ѓ‚ ?1. Рассмотрим поворот плоскости вокруг точки О на направленный угол ѓї формулами (2.1.). Обозначим через, и MЃЊ (xЃЊ, yЃЊ) образы точек, и M (x, y) при этом повороте. Покажем, что поворот сохраняет простое отношение трех точек, и M (x, y) . Поскольку для координат точек, и M (x, y) справедливы соотношения
то для доказательства того факта, что точка MЃЊ(xЃЊ, yЃЊ) делит отрезок в том же самом отношении ѓЙ Ѓ‚ ?1 достаточно показать, что
Для этого в формулах
заменим на, на, на, на, на, на. В результате получим соотношения
Умножим первое - на cos? , а второе - на? sin? и сложим. В результате получим равенство. Теперь умножим обе части первого соотношения на sin? , а второго - на cos? и сложим. Получим равенство.
Итак, мы показали, что точка M? (x?, y?) делит отрезок в том же самом отношении? ? ?1, что и точка делит отрезок M 1 M 2 . А это значит, что поворот плоскости вокруг точки на заданный угол сохраняет простое отношение трех точек.
- 4. При повороте плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол отрезок переходит в равный ему отрезок, луч - в луч, полуплоскость - в полуплоскость.
- 5. При повороте плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол ортонормированный репер R переходит в ортонормированный R`.
При этом точка М с координатами х и у относительно репера R переходит в точку М` с теми же самыми координатами х и у, но относительно репера R`.
6. Композиция двух поворотов вокруг точки О есть поворот с центром в точке О.
7. Композиция двух поворотов плоскости есть поворот на направленный угол с центром в точке С такой, что, .
- 8. Композиция двух осевых симметрий плоскости с непараллельными осями m1 и m2, пересекающимися в точке О и образующими направленный угол, есть поворот плоскости вокруг точки О.
- 9. Всякий поворот плоскости вокруг точки О можно представить в виде композиции двух осевых симметрий, осью одной из них будет служить прямая p, проходящая через центр О, а осью другой - прямая q, содержащая биссектрису угла, образованного образом m` луча m при повороте вокруг точки О на заданный угол и образом m`` луча m` при осевой симметрии с осью р.
При решении задач, связанных с нахождением образов и прообразов геометрических фигур, заданных своими аналитическими условиями относительно прямоугольной декартовой системы координат Oxy, при повороте плоскости вокруг точки на заданный направленный угол, целесообразно использовать формулы, задающие поворот с центром в произвольной точке S(х0, у0), отличной от начала координат. Для того, чтобы вывести эти формулы, воспользуемся тем, что поворот плоскости переводит ортонормированный репер R в ортонормированный репер R`, а всякую точку M с координатами (х, у) относительно репера R в точку M` с теми же самыми координатами, но относительно репера R`.
С другой стороны, точка M` относительно репера R` тоже имеет какие-то координаты. Обозначим их через x` и y`. Таким образом, на плоскости имеем две системы координат: одна из них определяется репером R, а другая - репером R`.
Первую из них назовем "старой", а вторую - "новой". В соответствии с этим "старыми" координатами точки M` будет являться упорядоченная пара чисел (x`, y`), а "новыми" координатами - упорядоченная пара чисел (х, у). Используя формулы, выражающие "старые" координаты точки через ее "новые" при переходе от одной системы координат к другой, получим формулы:
Поскольку точка является инвариантной точкой поворота, то ее координаты удовлетворяют следующим условиям:
Вычитая из обеих частей равенств (2.2.) соответствующие части соответствующих равенств (2.3.), получим формулы, которые выражают координаты образа M` точки M через координаты самой точки M:
Формулы (2.4) являются формулами поворота плоскости вокруг точки на заданный направленный угол.
«Поворот в геометрии» - Изобразите треугольник, полученный из треугольника OAB поворотом вокруг точки O на угол 60о против часовой стрелки. Изобразите треугольник A’B’C’, полученный из треугольника ABС поворотом вокруг точки O на угол 90о против часовой стрелки. Треугольник A’B’C’ получен поворотом треугольника ABC по часовой стрелке вокруг точки O. Найдите угол поворота.
«Виды движения» - Центральная симметрия в системе координат. Отображение плоскости на себя. При движении плоскости точка А переходит в точку М. Построение. Параллельный перенос. Параллельный перенос на плоскости в системе координат. Задача. Построить образ данной трапеции. Построение симметричных точек и отрезков. Преобразование фигуры F.
«Движение и его виды» - Виды Лондона. Точки. Определение. Самостоятельная работа. Функция. Живая симметрия. Ось симметрии. Поворот. Начало движения. Ледяное царство. Лондонские часы «Биг Бен». Фигура. Отображение плоскости на себя. Движение. Московские школьники. Параллельный перенос. Общие сведения. Процесс движения. Треугольник.
«Виды движения тел» - Октаэдр. Правильный тетраэдр. Зеркальная симметрия. Грань. Центр закрашенной грани. Центральная симметрия. Осевая симметрия. Сколько существует различных движений. Вершины. Назовите движение. Движение. В кубе закрасили одну грань.
«Основные виды движений» - Фигуры, содержащие ось симметрии. Фигуры с двумя осями симметрии. Осевая симметрия. Фигуры с центральной симметрией. Параллельный перенос. Зеркальная симметрия. Отображение пространства на себя. Движения в пространстве. Фигуры более чем с двумя осями симметрии. Фигуры, обладающие центральной симметрией.
«Понятие движения в геометрии» - Тема исследования. Симметрия относительно прямой. Движение в курсе алгебры. Симметрия в архитектуре. Выделяют следующие свойства движения. Красота и гармония тесно связаны с симметрией. Поворот и параллельный перенос. Симметрия. Движение в геометрии, алгебре и окружающем нас мире. Большинство растений и животных симметричны.
Всего в теме 19 презентаций
Поворот (вращение) - движение, при котором по крайней мере одна точка
плоскости (пространства) остаётся неподвижной.
В физике нередко поворотом называется неполное вращение, или, наоборот,
вращение рассматривается как частный вид поворота. Последнее определение
более строго, поскольку понятие поворот охватывает значительно более широкую
категорию движений, в том числе и такое, при котором траектория движущегося
тела в избранной системе отсчёта представляет собой незамкнутую кривую.
называется
отображается в такую точку М1, что ОМ = ОМ1 и угол МОМ1 равен
М1
М
O110
100
120
60
70
100
80
40
30
140
30
150
160
20
170
170
10
180
50
110
130
40
160
М160
120
50
150
70
90
130
140
80
180
0
О
М
20
10
0А1
В1
А
О
ВOПоворот отрезка.
O
OЦентр поворота фигуры
может быть во внутренней
области фигуры и во
внешней…
OПри повороте
многоугольника надо
повернуть каждую
вершину.
O
10.
Параллельный перенос ― частный случай движения, при котором всеточки пространства перемещаются в одном и том же направлении на
одно и то же расстояние. Иначе, если M ― первоначальное, а M" ―
смещенное положение точки, то вектор MM" ― один и тот же для всех
пар точек, соответствующих друг другу в данном преобразовании.
Параллельный перенос перемещает каждую точку фигуры или
пространства на одно и то же расстояние в одном и том же
направлении.
11.
aПараллельным переносом на вектор
называется
отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М
отображается в такую точку М1, что вектор ММ1 равен вектору
М
«Параллельный перенос
и поворот»
9 класс (геометрия)
подготовила и провела:
Мегеря Лариса Ивановна – учитель математики
Силантьевская средняя школа
УРОК, 9 кл. «Движения».
.
Блез ПАСКАЛЬ
Тема урока: «Параллельный перенос и поворот»
Цели урока: учебная – познакомить учащихся с понятием переносной и поворотной симметрии;
развивающая – познакомить учащихся с приёмами дизайнеров при построении тесселляций;
воспитательная – на примере творчества Эшера подвести ребят к мысли о необходимости гармоничного и пропорционального развития в себе как образного, так и логического мышления.
Прививать любовь к геометрии через картины художника Морица Эшера.
Оборудование: мультимедийный проектор, интерактивная доска, ПК, опорные конспекты.
План.
Орг. момент.
Н.т.
п/р
Н.т.
п/р
Физкультминутка
п/р
д/з
итог.
Ход урока:
1. (ПРЕЗЕНТАЦИЯ 1)
СЛАЙД 1.
Однажды великого греческого философа Сократа спросили о том, что, по его мнению, легче всего в жизни. Он ответил, что легче всего поучать других, а труднее – познать самого себя. На уроках и вне школы мы познаем окружающий нас мир. Но сейчас давайте заглянем в себя. Как мы воспринимаем окружающий мир? Как художники или как мыслители?
Тест.
1) Переплетите пальцы рук. Большой палец правой или левой руки оказался у Вас сверху? Запишите результат буквами «Л» или «П».
2) Скрестите руки на груди (поза «Наполеона»). Кисть, какой руки оказалась сверху? Запишите результат.
3) Изобразите «бурные аплодисменты». Ладонь, какой руки у Вас сверху? Запишите.
СЛАЙД 2.
Подведем итоги, учитывая, что результат «ЛЛЛ» соответствует художественному типу личности, а «ППП» - типу мыслителя.
(Эти различия связаны с функциональной асимметрией мозга человека: у «художников» более развитое правое полушарие и преобладает образное мышление, у «мыслителей» – соответственно – левое полушарие и логическое мышление).
Какой же тип мышления преобладает у Вас? Поднимите руки, у кого по результатам теста «ППП»… , «ЛЛЛ».
Несколько «мыслителей», несколько «художников», большинство – личности, которым свойственно и логическое и образное мышление. Вот и познакомились ближе: вы – с собой, я – с вами. А теперь перейдём к познанию темы урока.
2. СЛАЙД 3 .
Итак, тема урока: « Параллельный перенос и поворот ».
СЛАЙД 4.
Мы с вами убедились, что большинству людей свойственно как образное, так и логическое мышление. Одним из ярких примеров является личность известного голландского художника-графика Морица Корнелиуса Эшера. Математические идеи играют центральную роль в большинстве его картин. Любопытно, что сам Эшер не мог похвастаться законченным математическим образованием.
Вот что писал об этом сам художник: «Я так ни разу и не смог получить хорошей оценки по математике. Забавно, что я неожиданно оказался связанным с этой наукой. Поверьте, в школе я был очень плохим учеником. И вот теперь математики используют мои рисунки для иллюстрации своих книг…Они, кажется, не подозревают, что математически я абсолютно безграмотен». В этих словах, наверное, есть доля преувеличения, тем более, что в процессе своей работы он черпал идеи из различных математических статьей. Позже он признается: « Хотя я абсолютно несведущ в точных науках, мне иногда кажется, что я ближе к математикам, чем к моим коллегам-художникам». И математики по достоинству оценили его картины, и вот уже с 50-х годов прошлого столетия Эшер выступает с лекциями на Международных конгрессах математиков и кристаллографов.
СЛАЙД 5 .
За всю свою жизнь Эшер создал множество разнообразных по тематике гравюр и литографий. Я отобрала для демонстрации часть эскизов к гравюрам, объединённых общей идеей. Посмотрите внимательно на них и ответьте на вопрос: «Какая идея присутствует в этих эскизах? Как одним словом можно назвать эти рисунки?» (мозаика, повторяющиеся элементы, симметричные).
Симметрия – это не только математическое понятие. Его заимствовали из природы. А так как человек – это часть природы, то человеческое творчество во всех его проявлениях тяготеет к симметрии.
СЛАЙД 6 .
В Кратком Оксфордском словаре «симметрия» определяется как «красота, обусловленная пропорциональностью частей тела или любого целого, равновесием, подобием, гармонией, согласованностью»
Какие виды симметрии вы знаете? (центральная, осевая).
3. СЛАЙД 7.
Что такое осевая симметрия? (отображение плоскости на себя, при котором любой точке М этой плоскости ставится в соответствие точка М 1 , симметричная ей относительно прямой a. Прямая а является серединным перпендикуляром отрезка ММ 1 )
СЛАЙД 8.
На доске изображены реальные физические объекты, обладающие осевой симметрией. Вы согласны? (№2 – отсутствует осевая симметрия).
СЛАЙД 9.
Что такое центральная симметрия? (отображение плоскости на себя, при котором любой точке М сопоставляется такая точка М 1 , что точка O является серединой отрезка ММ 1 )
СЛАЙД10.
Например, объекты, обладающие центральной симметрией. (№3 – отсутствует центральная симметрия).
СЛАЙД 11.
Вы знаете, что осевая и центральная симметрии являются движениями плоскости, т. е. сохраняют все расстояния между точками, а значит, переводят фигуры в равные. А как в жизни происходит движение объектов? По какой траектории? (по прямой, по окружности).
4. СЛАЙД 12.
Обратите внимание на эскиз к гравюре «Встреча». Как происходит движение человечков? (по прямой).
СЛАЙД 13.
А на рисунке «Путь жизни 2»? (по кругу). Если материальная точка движется по прямой, говорят о параллельном переносе или сдвиге плоскости. Если материальная точка движется по окружности, говорят о повороте плоскости вокруг некоторой точки.
СЛАЙД 14 .
Движение по прямой характеризуется направлением движения и пройденным расстоянием, следовательно, достаточно ввести вектор переноса, который и будет учитывать эти две характеристики.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС - отображение плоскости на себя, при котором все точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние (вектор переноса).
СЛАЙД 15.
1 В 1 С 1 , который получается из треугольника АВС параллельным переносом на вектор .
СЛАЙД 16.
При движении по окружности необходимо знать, где находится центр окружности, направление движения (по часовой стрелке или против) и угол поворота.
ПОВОРОТ – отображение плоскости на себя, при котором все точки смещаются вокруг заданной точки (центр поворота) на заданный угол (угол поворота) в одном направлении (по часовой или против часовой стрелки).
СЛАЙД 17.
Например, построить треугольник А 1 В 1 С 1 , который получается из треугольника АВС поворотом вокруг точки О по часовой стрелке на 90 о .
СЛАЙД 18.
Так как симметрия в широком смысле означает неизменность свойств и формы материального объекта относительно его преобразований, то параллельный перенос и поворот также относят к видам симметрии – переносная и поворотная симметрия.
5. (ИНТЕРАКТИВНАЯ ДОСКА)
А теперь вернёмся к картинам Эшера (по вариантам на печатных листах).
1) Найдите в картинах различные виды симметрий: (показать образец)
Проверить с помощью интерактивной доски.(флипчарт, стр. 11, 12 инструмент шторки на половину страницы, закрыв правильный ответ)
Итак, мы с вами выяснили, что во многих картинах Эшера присутствует симметрия.
6. Физкультминутка
7. (ПРЕЗЕНТАЦИЯ 2)
СЛАЙД 1. Сейчас картины Эшера необычайно популярны и модны. Его творчество оказалось востребовано массовой культурой. Огромное количество графических работ, особенно мозаик, можно встретить на телефонных картах, почтовых марках, упаковках различных товаров, обоях, одежде и так далее.
СЛАЙД 2. В своё время Мик Джаггер, солист популярной рок-группы "Роллинг стоунз" и в то же время горячий почитатель таланта Эшера, попросил его разрешения поместить гравюру «Вербум» на обложку своей пластинки. Но Эшер в самой решительной и даже резкой форме отказал Мику Джаггеру.
(ИНТЕРАКТИВНАЯ ДОСКА)
Мы, чтобы не нарушать ничьих авторских прав, научимся самостоятельно создавать тесселляции - мозаики из абсолютно одинаковых форм, которые прилегают друг к другу без промежутков, не перекрывая одна другую, и вы сможете порадовать окружающих своими дизайнерскими находками.
Алгоритм построения:
Выбор сетки для построения плоского орнамента (квадратная, треугольная, шестиугольная, прямоугольная, из параллелограммов).
Прорисовка мотива на основе одной ячейки сети с использованием симметрических преобразований.
Построение орнамента с полученным мотивом на основе выбранной сетки.
Раскраска орнамента.
(флипчарт, стр. 18, 19 инструмент шторки на половину страницы, закрыв правильный ответ)
8. Д/з,
н.у п 4.4, п 4.5, карточка
с.у стр 79-80, карточка
диффер задания
В заключение я хочу вспомнить результаты теста, проведённого в начале урока. Блез Паскаль говорил: « Величие не в том, чтобы впадать в крайность, но в том, чтобы касаться одновременно двух крайностей и заполнять промежуток между ними ». Художники и мыслители, образное и логическое мышление. Равновесия и гармонии между этими крайностями, можно достичь, лишь равномерно развивая в себе и те и другие качества. И не стоит огорчаться тем, у кого по результатам теста было «ППП» или «ЛЛЛ». Вспомните, Морис Эшер тоже сначала был односторонней личностью. Просто вы сейчас находитесь в начале пути. Удачи вам!
В тригонометрии важным понятием является угол поворота . Ниже мы последовательно будем давать представление о повороте, и вводить все сопутствующие понятия. Начнем с общего представления о повороте, скажем о полном обороте. Далее перейдем к понятию угла поворота и рассмотрим его основные характеристики, такие как направление и величина поворота. Наконец, дадим определение поворота фигуры вокруг точки. Всю теорию по тексту будем снабжать поясняющими примерами и графическими иллюстрациями.
Навигация по странице.
Что называют поворотом точки вокруг точки?
Сразу отметим, что наряду с фразой «поворот вокруг точки» будем также использовать словосочетания «поворот около точки» и «поворот относительно точки», что обозначает одно и то же.
Введем понятие поворота точки вокруг точки .
Сначала дадим определение центра поворота.
Определение.
Точку, относительно которой осуществляется поворот, называют центром поворота .
Теперь скажем, что получается в результате поворота точки.
В результате поворота некоторой точки A относительно центра поворота O получается точка A 1 (которая в случае некоторого количества может совпадать с A ), причем точка A 1 лежит на окружности с центром в точке O радиуса OA . Иными словами, при повороте относительно точки O точка A переходит в точку A 1 , лежащую на окружности с центром в точке O радиуса OA .
Считают, что точка O при повороте вокруг самой себя переходит в саму себя. То есть, в результате поворота вокруг центра поворота O точка O переходит в саму себя.
Также стоит отметить, что поворот точки А вокруг точки O стоит рассматривать как перемещение в результате движения точки А по окружности с центром в точке O радиуса OA .
Для наглядности приведем иллюстрации поворота точки А вокруг точки O , на рисунках, расположенных ниже, перемещение точки А в точку А 1 покажем при помощи стрелки.
Полный оборот
Можно выполнить такой поворот точки A относительно центра поворота O , что точка А , пройдя все точки окружности, окажется на прежнем месте. При этом говорят, что точка А совершила вокруг точки O .
Дадим графическую иллюстрацию полного оборота.
Если же не останавливаться на одном обороте, а продолжать движение точки по окружности, то можно выполнить два, три и так далее полных оборотов. На чертеже ниже справа показано, как могут быть произведены два полных оборота, а слева - три оборота.
Понятие угла поворота
Из введенного в первом пункте понятия поворота точки понятно, что существует бесконечное множество вариантов поворота точки А вокруг точки O . Действительно, любую точку окружности с центром в точке O радиуса OA можно рассматривать как точку A 1 , полученную в результате поворота точки А . Поэтому, чтобы отличать один поворот от другого, вводится понятие угла поворота .
Одной из характеристик угла поворота является направление поворота . По направлению поворота судят о том, как осуществляется поворот точки – по часовой стрелке или против часовой стрелки.
Другой характеристикой угла поворота является его величина . Углы поворота измеряются в тех же единицах, что и : наиболее распространены градусы и радианы. Здесь стоит заметить, что угол поворота может выражаться в градусах любым действительным числом из промежутка от минус бесконечности до плюс бесконечности, в отличие от угла в геометрии, величина которого в градусах положительна и не превосходит 180 .
Для обозначения углов поворота обычно используются строчные буквы греческого алфавита: и т.д. Для обозначения большого количества углов поворота часто применяют одну букву с нижними индексами, к примеру, 
.
Теперь поговорим о характеристиках угла поворота подробнее и по порядку.
Направление поворота
Пусть на окружности с центром в точке O отмечены точки A и A 1 . В точку А 1 можно попасть из точки A , выполнив поворот вокруг центра O либо по часовой стрелке, либо - против часовой стрелки. Эти повороты логично считать различными.
Проиллюстрируем повороты в положительном и отрицательном направлении. На чертеже ниже слева показан поворот в положительном направлении, а справа – в отрицательном.
Величина угла поворота, угол произвольной величины
Угол поворота точки, отличной от центра поворота, полностью определяется указанием его величины, с другой стороны, по величине угла поворота можно судить о том, как этот поворот был осуществлен.
Как мы уже упоминали выше, величина угла поворота в градусах выражается числом от −∞ до +∞ . При этом знак плюс соответствует повороту по часовой стрелке, а знак минус – повороту против часовой стрелки.
Теперь осталось установить соответствие между величиной угла поворота и тем, какому повороту она соответствует.
Начнем с угла поворота, равного нулю градусам. Этому углу поворота отвечает перемещение точки А в себя. Другими словами, при повороте на 0 градусов вокруг точки O точка А остается на месте.
Переходим к повороту точки А вокруг точки O , при котором поворот происходит в пределах половины оборота. Будем считать, что точка А переходит в точку А 1 . В этом случае абсолютная величина угла AOA 1 в градусах не превосходит 180 . Если поворот происходил в положительном направлении, то величина угла поворота считается равной величине угла AOA 1 , а если поворот происходил в отрицательном направлении, то его величина считается равной величине угла АОА 1 со знаком минус. Для примера приведем рисунок, показывающий углы поворота в 30 , 180 и −150 градусов.
Углы поворота большие 180 градусов и меньшие −180 градусов определяются на основе следующего достаточно очевидного свойства последовательных поворотов : несколько последовательных поворотов точки A вокруг центра O равносильны одному повороту, величина которого равна сумме величин этих поворотов.
Приведем пример, иллюстрирующий данное свойство. Выполним поворот точки А относительно точки O на 45 градусов, а затем еще повернем эту точку на 60 градусов, после чего повернем эту точку на −35 градусов. Обозначим промежуточные точки при этих поворотах как A 1 , A 2 и A 3 . В эту же точку А 3 мы могли попасть, выполнив один поворот точки A на угол 45+60+(−35)=70 градусов.
Итак, углы поворота, большие 180 градусов, мы будем представлять как несколько последовательных поворотов на углы, сумма величин которых дает величину исходного угла поворота. Например, угол поворота 279 градусов соответствует последовательным поворотам на 180 и 99 градусов, или на 90 , 90 , 90 и 9 градусов, или на 180 , 180 и −81 градус, или на 279 последовательных поворотов по 1 градусу.
Аналогично определяются и углы поворота, меньшие −180 градусов. К примеру, угол поворота −520 градусов можно интерпретировать как последовательные повороты точки на −180 , −180 и −160 градусов.
Подведем итог . Мы определили угол поворота, величина которого в градусах выражается некоторым действительным числом из промежутка от −∞ до +∞ . В тригонометрии мы будем работать именно с углами поворота, хотя слово «поворот» часто опускают, и говорят просто «угол». Таким образом, в тригонометрии мы будем работать с углами произвольной величины, под которыми будем понимать углы поворота.
В заключение этого пункта отметим, что полный оборот в положительном направлении соответствует углу поворота в 360 градусов (или 2·π радианов), а в отрицательном – углу поворота в −360 градусов (или −2·π рад). При этом удобно большие углы поворота представлять как некоторое количество полных оборотов и еще один поворот на угол величиной от −180 до 180 градусов. Для примера возьмем угол поворота 1 340 градусов. Несложно 1 340 представить как 360·4+(−100) . То есть, исходному углу поворота отвечают 4 полных оборота в положительном направлении и последующий поворот на −100 градусов. Другой пример: угол поворота −745 градусов можно интерпретировать как два оборота против часовой стрелки и последующий поворот на −25 градусов, так как −745=(−360)·2+(−25) .
Поворот фигуры вокруг точки на угол
Понятие поворота точки легко расширяется на поворот любой фигуры вокруг точки на угол (речь идет о таком повороте, что и точка, относительно которой осуществляется поворот, и фигура, которую поворачивают, лежат в одной плоскости).
Под поворотом фигуры будем понимать поворот всех точек фигуры вокруг заданной точки на данный угол.
В качестве примера приведем иллюстрацию следующему действию: выполним поворот отрезка AB на угол относительно точки O , это отрезок при повороте перейдет в отрезок A 1 B 1 .
Список литературы.
- Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- isbn 5-09-002727-7
- Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
- Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
