Ci sono diversi tipi irrazionalità frazioni al denominatore. È associato alla presenza in esso di una radice algebrica di uno o diversi gradi. Per sbarazzarsi di irrazionalità, è necessario eseguire determinate operazioni matematiche a seconda della situazione.
Istruzione
1. Prima di sbarazzarsi di irrazionalità frazioni nel denominatore, dovresti determinarne il tipo e, a seconda di ciò, continuare la soluzione. Infatti, ogni irrazionalità deriva dalla semplice presenza di radici, le loro diverse combinazioni e gradi suggeriscono algoritmi diversi.
2. Radice quadrata del denominatore, espressione della forma a/?bInserire un fattore aggiuntivo uguale a?b. Affinché la frazione non cambi, è necessario moltiplicare sia il numeratore che il denominatore: a /? b? (a ?b)/b. Esempio 1: 10/?3 ? (10?3)/3.
3. Presenza sotto la linea frazioni radice frazionaria della forma m / n e n> m Questa espressione ha il seguente aspetto: a /? (b ^ m / n).
4. Sbarazzati di simili irrazionalità inserendo anche un moltiplicatore, questa volta più difficile: b^(n-m)/n, cioè dall'esponente della radice stessa occorre sottrarre il grado di espressione sotto il suo segno. Quindi al denominatore rimarrà solo il primo grado: a / (b ^ m / n) ? a ?(b^(n-m)/n)/b.Esempio 2: 5/(4^3/5) ? 5?(4^2/5)/4 = 5?(16^1/5)/4.
5. Somma delle radici quadrate Moltiplica entrambe le componenti frazioni per una simile differenza. Quindi dall'addizione irrazionale delle radici, il denominatore viene convertito nella differenza di espressioni/numeri sotto il segno della radice: a/(?b + ?c) ? a (?b - ?c)/(b - c) Esempio 3: 9/(?13 + ?23) ? 9 (?13 – ?23)/(13 – 23) = 9 (?23 – ?13)/10.
6. Somma/differenza delle radici cubiche Scegliere come fattore aggiuntivo il quadrato incompleto della differenza, se il denominatore è la somma, e, di conseguenza, il quadrato incompleto della somma per la differenza delle radici: a/(?b ± ?c ) ? a (?b? ? ?(b c) + ?c?)/ ((?b ± ?c) ?b? ?(b c) + ?c?) ?a (?b? ? ?(b c) + ? c ?)/(b ± c) Esempio 4: 7/(?5 + ?4) ? 7 (?25-?20 +?16)/9.
7. Se il problema contiene sia una radice quadrata che una radice cubica, dividere la soluzione in due fasi: ricavare gradualmente la radice quadrata dal denominatore e quindi la radice cubica. Questo viene fatto secondo i metodi a te già noti: nella prima azione, è necessario preferire il moltiplicatore della differenza / somma delle radici, nella seconda - il quadrato incompleto della somma / differenza.
Suggerimento 2: come sbarazzarsi dell'irrazionalità nel denominatore
La notazione corretta per un numero frazionario non contiene irrazionalità in denominatore. Tale record è più facile da capire in apparenza, quindi, quando irrazionalità in denominatore intelligente per liberarsene. In questo caso, l'irrazionalità può andare al numeratore.
Istruzione
1. Per cominciare, diamo un'occhiata a un esempio primitivo: 1/sqrt(2). La radice quadrata di 2 è un numero irrazionale in denominatore.In questo caso, devi moltiplicare il numeratore e il denominatore della frazione per il suo denominatore. Ciò fornirà un numero ragionevole di denominatore. Infatti, sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2. Moltiplicando 2 radici quadrate identiche tra loro risulterà in ciò che è sotto tutte le radici: in questo caso, un due. Di conseguenza: 1 /sqrt(2) = (1*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)/2. Questo algoritmo è adatto anche per frazioni, in denominatore la cui radice è moltiplicata per un numero ragionevole. Il numeratore e il denominatore in questo caso devono essere moltiplicati per la radice che si trova in denominatore.Esempio: 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = sqrt(3)/(2*3) = sqrt( 3)/6.
2. Naturalmente, questo dovrebbe essere fatto se denominatore non è una radice quadrata, ma, diciamo, un cubo o qualsiasi altro grado. Radice denominatoreè necessario moltiplicare esattamente per la stessa radice e il numeratore deve essere moltiplicato per la stessa radice. Quindi la radice andrà al numeratore.
3. Nel caso più difficile denominatore c'è una somma o una differenza di un numero irrazionale e un numero ragionevole o numeri irrazionali 2. Nel caso di una somma (differenza) di 2 radici quadrate o una radice quadrata e un numero ragionevole, puoi usare la famosa formula )-(y ^2). Ti aiuterà a sbarazzartene irrazionalità in denominatore. Se dentro denominatore differenza, quindi moltiplica il numeratore e il denominatore per la somma degli stessi numeri, se la somma - quindi per la differenza. Questa somma o differenza moltiplicata sarà chiamata coniugata dell'espressione in denominatore.Il risultato di questo schema è perfettamente visibile nell'esempio: 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = (sqrt(2) )-1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (sqrt(2)-1)/(2-1) = sqrt(2)-1.
4. Se dentro denominatore c'è una somma (differenza) in cui c'è una radice di grado maggiore, allora la situazione diventa non banale e la liberazione da irrazionalità in denominatore non sempre accettabile
Suggerimento 3: come sbarazzarsi dell'irrazionalità nel denominatore di una frazione
Una frazione è composta da un numeratore in cima alla linea e da un denominatore che è divisibile in basso. Un numero irrazionale è un numero che non può essere rappresentato nella forma frazioni con un intero al numeratore e un naturale in denominatore. Tali numeri sono, diciamo, la radice quadrata di 2 o pi. Tradizionalmente, quando si parla di irrazionalità in denominatore, significa la radice.
Istruzione
1. Sbarazzati dell'irrazionalità moltiplicando per il denominatore. Pertanto, l'irrazionalità verrà trasferita al numeratore. Quando si moltiplicano numeratore e denominatore per lo stesso numero, il valore frazioni non cambia. Utilizzare questa opzione se ogni denominatore è una radice.
2. Moltiplica il numeratore e il denominatore per il denominatore tutte le volte necessarie, a seconda della radice. Se la radice è quadrata, allora una volta.
3. Considera l'esempio della radice quadrata. Prendi la frazione (56-y)/√(x+2). Ha un numeratore (56-y) e un denominatore irrazionale √(x+2), che è una radice quadrata.
4. Moltiplica numeratore e denominatore frazioni al denominatore, cioè a √(x+2). L'esempio originale (56-y)/√(x+2) diventa ((56-y)*√(x+2))/(√(x+2)*√(x+2)). Il risultato è ((56-y)*√(x+2))/(x+2). Ora la radice è nel numeratore e in denominatore nessuna irrazionalità.
5. Non sempre il denominatore frazioni ognuno è sotto la radice. Sbarazzati dell'irrazionalità usando la formula (x+y)*(x-y)=x²-y².
6. Si consideri l'esempio della frazione (56-y)/(√(x+2)-√y). Il suo denominatore irrazionale contiene la differenza di 2 radici quadrate. Completa il denominatore della formula (x+y)*(x-y).
7. Moltiplica il denominatore per la somma delle radici. Moltiplica per lo stesso numeratore per ottenere il valore frazioni non è cambiato. La frazione diventa ((56-y)*(√(x+2)+√y))/((√(x+2)-√y)*(√(x+2)+√y)).
8. Usa la suddetta proprietà (x+y)*(x-y)=x²-y² e libera il denominatore dall'irrazionalità. Il risultato è ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(x+2-y). Ora la radice è nel numeratore e il denominatore si è sbarazzato dell'irrazionalità.
9. Nei casi difficili, ripetere entrambe queste opzioni, applicando secondo necessità. Si noti che non è sempre lecito sbarazzarsi dell'irrazionalità denominatore .
Una frazione algebrica è un'espressione della forma A/B, dove le lettere A e B denotano eventuali espressioni numeriche o alfabetiche. Spesso il numeratore e il denominatore nelle frazioni algebriche hanno una forma massiccia, ma le operazioni con tali frazioni dovrebbero essere eseguite secondo le stesse regole delle operazioni con quelle ordinarie, dove numeratore e denominatore sono numeri interi positivi.
Istruzione
1. Se somministrato misto frazioni, convertili in irregolari (una frazione in cui il numeratore è maggiore del denominatore): moltiplica il denominatore per la parte intera e somma il numeratore. Quindi il numero 2 1/3 si trasformerà in 7/3. Per fare ciò, moltiplica 3 per 2 e aggiungi uno.
2. Se devi convertire una frazione decimale in una impropria, immagina che divida un numero senza virgola per uno con tanti zeri quanti sono i numeri dopo la virgola. Diciamo che il numero 2.5 è rappresentato come 25/10 (se lo riduci, ottieni 5/2) e il numero 3.61 - come 361/100. Lavorare con frazioni improprie è spesso più facile che con frazioni miste o decimali.
3. Se le frazioni hanno denominatori identici e devi sommarli, somma i numeratori in modo primitivo; i denominatori rimangono invariati.
4. Se devi sottrarre frazioni con denominatori identici dal numeratore della prima frazione, sottrai il numeratore della seconda frazione. Anche i denominatori non cambiano.
5. Se devi aggiungere frazioni o sottrarre una frazione da un'altra e hanno denominatori diversi, porta le frazioni a un denominatore comune. Per fare ciò, trova il numero che sarà il minimo comune multiplo (LCM) di entrambi i denominatori o più se le frazioni sono maggiori di 2. NOC è il numero che sarà diviso per i denominatori di tutte le frazioni date. Ad esempio, per 2 e 5 questo numero è 10.
6. Dopo il segno di uguale, traccia una linea orizzontale e scrivi questo numero (NOC) al denominatore. Aggiungi fattori aggiuntivi all'intero termine: il numero per il quale devi moltiplicare sia il numeratore che il denominatore per ottenere l'LCM. Moltiplica gradualmente i numeratori per fattori additivi, preservando il segno di addizione o sottrazione.
7. Calcolare il totale, ridurlo se necessario o evidenziare l'intera parte. Ad esempio: devi piegare? e?. L'LCM per entrambe le frazioni è 12. Quindi il fattore aggiuntivo alla prima frazione è 4, alla 2a - 3. Totale: ?+?=(1 4+1 3)/12=7/12.
8. Se viene fornito un esempio di moltiplicazione, moltiplicare insieme i numeratori (questo sarà il numeratore del totale) ei denominatori (questo sarà il denominatore del totale). In questo caso, non è necessario ridurli a un denominatore comune.
9. Per dividere una frazione per una frazione, devi capovolgere la seconda frazione e moltiplicare le frazioni. Cioè, a/b: c/d = a/b d/c.
10. Fattorizzare il numeratore e il denominatore secondo necessità. Diciamo di trasferire il fattore universale fuori dalla parentesi o di espanderlo secondo le formule della moltiplicazione abbreviata, in modo che dopo sia possibile, se necessario, ridurre il numeratore e il denominatore di MCD - il minimo comun divisore.
Nota!
Aggiungi numeri con numeri, lettere dello stesso tipo con lettere dello stesso tipo. Diciamo che è impossibile aggiungere 3a e 4b, il che significa che la loro somma o differenza rimarrà nel numeratore - 3a±4b.
Nella vita di tutti i giorni, il più delle volte, non ci sono numeri reali: 1, 2, 3, 4, ecc. (5 kg di patate) e numeri frazionari non interi (5,4 kg di cipolle). Molti di loro sono presentati in modulo frazioni decimali. Ma rappresenta il decimale in modulo frazioni molto facile.
Istruzione
1. Diciamo che è dato il numero "0,12". Se non riduci questa frazione decimale e la presenti così com'è, apparirà così: 12/100 ("dodici centesimi"). Per eliminare il centinaio al denominatore, sia il numeratore che il denominatore devono essere divisi per un numero che li divide in numeri interi. Questo numero è 4. Quindi, dividendo numeratore e denominatore, si ottiene il numero: 3/25.
2. Se consideriamo più l'ambiente domestico, spesso sul cartellino del prezzo dei prodotti si può notare che il suo peso è, ad esempio, di 0,478 kg circa, un numero del genere è anche facile da rappresentare in modulo frazioni:478/1000 = 239/500. Questa frazione è piuttosto brutta e, se ci fosse una possibilità, questa frazione decimale potrebbe essere ulteriormente ridotta. E tutto allo stesso modo: selezionando un numero che divida sia il numeratore che il denominatore. Questo numero è chiamato il massimo fattore comune. Il moltiplicatore "più grande" prende il nome perché è molto più comodo dividere sia il numeratore che il denominatore per 4 in una volta (come nel primo esempio) che dividere due volte per 2.
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Decimale frazione- varietà frazioni, che ha un numero “tondo” al denominatore: 10, 100, 1000, ecc., diciamo, frazione 5/10 ha una notazione decimale di 0,5. Sulla base di questa tesi, frazione può essere espresso come decimale frazioni .
Istruzione
1. Eventualmente, dovrebbe essere espresso come decimale frazione 18/25 Innanzitutto, devi assicurarti che uno dei numeri "tondi" appaia nel denominatore: 100, 1000, ecc. Per fare ciò, devi moltiplicare il denominatore per 4. Ma per 4 dovrai moltiplicare sia il numeratore che il denominatore.
2. Moltiplicando numeratore e denominatore frazioni 18/25 per 4 fa 72/100. Questo viene registrato frazione in forma decimale: 0,72.
Quando si dividono 2 frazioni decimali, quando non c'è una calcolatrice a portata di mano, molti incontrano alcune difficoltà. In realtà, non c'è niente di difficile qui. Decimali frazioni sono chiamati tali se il loro denominatore è un multiplo di 10. Come al solito, tali numeri sono scritti in una riga e hanno una virgola che separa la parte frazionaria dall'intero. Apparentemente a causa della presenza di una parte frazionaria, che differisce anche per il numero di cifre successive al punto decimale, non è chiaro a molti come eseguire operazioni matematiche con tali numeri senza una calcolatrice.
Avrai bisogno
- foglio di carta, matita
Istruzione
1. Si scopre che per dividere una frazione decimale per un'altra, è necessario guardare entrambi i numeri e determinare quale di essi ha più segni dopo il punto decimale. Moltiplichiamo entrambi i numeri per un multiplo di 10, cioè 10, 1000 o 100000, il numero di zeri in cui è uguale al maggior numero di cifre decimali dopo uno dei nostri 2 numeri iniziali. Ora entrambi decimali frazioni trasformato in numeri interi regolari. Prendiamo un foglio di carta con una matita e separiamo i due numeri risultanti con un "angolo". Otteniamo il risultato.
2. Diciamo che dobbiamo dividere il numero 7,456 per 0,43. Il primo numero ha più cifre decimali (3 cifre decimali), quindi moltiplichiamo entrambi i numeri diversi da 1000 e otteniamo due interi primitivi: 7456 e 430. 17.3.
3. C'è un altro metodo di divisione. Annota i decimali frazioni sotto forma di frazioni primitive con numeratore e denominatore, nel nostro caso è 7456/1000 e 43/100. Successivamente, scriviamo l'espressione per dividere 2 frazioni primitive: 7456*100/1000*43, dopo di che diminuiamo le decine, otteniamo: 7456/10*43 = 7456/430 Nell'output finale, otteniamo nuovamente la divisione di 2 numeri primitivi 7456 e 430, che possono essere prodotti da un "angolo".
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Consigli utili
Pertanto, il modo per dividere i decimali è convertirli in numeri interi, con il supporto di moltiplicarli ciascuno per lo stesso numero. L'esecuzione di operazioni con numeri interi, come al solito, non crea difficoltà a nessuno.
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Quando si trasforma un'espressione algebrica frazionaria, nel denominatore di cui è scritta un'espressione irrazionale, si cerca di solito di rappresentare la frazione in modo tale che il suo denominatore sia razionale. Se A,B,C,D,... sono delle espressioni algebriche, allora è possibile indicare le regole con cui eliminare i segni radicali nel denominatore delle espressioni della forma
In tutti questi casi, l'irrazionalità viene eliminata moltiplicando il numeratore e denominatore della frazione per un fattore scelto in modo che il suo prodotto per il denominatore della frazione sia razionale.
1) Sbarazzarsi dell'irrazionalità al denominatore di una frazione della forma. Moltiplica numeratore e denominatore per
Esempio 1. .
2) Nel caso di frazioni del modulo. Moltiplica numeratore e denominatore per un fattore irrazionale
rispettivamente, cioè all'espressione irrazionale coniugata.
Il significato dell'ultima azione è che al denominatore il prodotto della somma e della differenza viene convertito nella differenza dei quadrati, che sarà già un'espressione razionale.
Esempio 2. Sbarazzati dell'irrazionalità nel denominatore dell'espressione:
Soluzione, a) Moltiplichiamo il numeratore e il denominatore della frazione per l'espressione. Otteniamo (ammesso che)
3) Nel caso di espressioni come
il denominatore viene trattato come somma (differenza) e moltiplicato per il quadrato incompleto della differenza (somma) per ottenere la somma (differenza) dei cubi ((20.11), (20.12)). Anche il numeratore viene moltiplicato per lo stesso fattore.
Esempio 3. Sbarazzati dell'irrazionalità nel denominatore delle espressioni:
Soluzione, a) Considerando il denominatore di una data frazione come somma di numeri e 1, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il quadrato incompleto della differenza di questi numeri:
o infine:
In alcuni casi è necessario compiere una trasformazione di natura opposta: liberare la frazione dall'irrazionalità al numeratore. Viene eseguito esattamente allo stesso modo.
Esempio 4. Sbarazzati dell'irrazionalità nel numeratore di una frazione.
Tokarev Kirill
Il lavoro aiuta a imparare come estrarre la radice quadrata di qualsiasi numero senza utilizzare una calcolatrice e una tabella dei quadrati e liberare il denominatore di una frazione dall'irrazionalità.
Esenzione dall'irrazionalità del denominatore di una frazione
L'essenza del metodo è moltiplicare e dividere una frazione per un'espressione che eliminerà l'irrazionalità (radici quadrate e cubiche) dal denominatore e lo renderà più semplice. Dopodiché, è più facile portare le frazioni a un denominatore comune e infine semplificare l'espressione originale.
Estrazione di una radice quadrata con approssimazione a un dato bit.
Sia necessario estrarre la radice quadrata del numero naturale 17358122, ed è noto che la radice viene estratta. Per trovare il risultato, a volte è conveniente utilizzare la regola descritta nel documento.
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Radicale. Esenzione dall'irrazionalità del denominatore di una frazione. Estrazione di una radice quadrata con un determinato grado di precisione. Alunno della classe 9B MOU scuola secondaria n. 7 della città di Salsk Tokarev Kirill
DOMANDA FONDAMENTALE: È possibile estrarre la radice quadrata di qualsiasi numero con un certo grado di precisione senza calcolatrice e tabella dei quadrati?
OBIETTIVI E OBIETTIVI: Considerare casi di risoluzione di espressioni con radicali che non sono studiati nel corso di matematica della scuola, ma sono necessari per l'esame.
STORIA DELLA RADICE Il segno della radice deriva dalla lettera latina minuscola r (iniziale nella parola latina radix - radice), fusa con l'apice. Ai vecchi tempi, si usava sottolineare l'espressione al posto dell'attuale parentesi, quindi è solo un modo antico modificato di scrivere qualcosa di simile. Questa notazione fu usata per la prima volta dal matematico tedesco Thomas Rudolf nel 1525.
ESENZIONE DALL'IRRAZIONALITÀ DEL DENOMINATORE DELLA FRAZIONE L'essenza del metodo è moltiplicare e dividere la frazione per tale espressione, che eliminerà l'irrazionalità (radici quadrate e cubiche) dal denominatore e la semplificherà. Dopodiché, è più facile portare le frazioni a un denominatore comune e infine semplificare l'espressione originale. ALGORITMO PER IL RILASCIO DALL'IRRAZIONALITÀ NEL DENOMINATORE DI UNA FRAZIONE: 1. Fattorizzare il denominatore di una frazione. 2. Se il denominatore ha la forma o contiene un fattore, moltiplicare il numeratore e il denominatore per. Se il denominatore ha la forma o o contiene un fattore di questo tipo, allora il numeratore e il denominatore della frazione devono essere moltiplicati rispettivamente per o per. I numeri e sono detti coniugati. 3. Convertire il numeratore e il denominatore della frazione, se possibile, quindi ridurre la frazione risultante.
a) b) c) d) = - Esenzione dall'irrazionalità al denominatore di una frazione.
ESTRAZIONE DELLA RADICE QUADRATA CON APPROSSIMAZIONE A DATO SCARICO. 1) -1 100 96 400 281 11900 11296 24 4 281 1 2824 4 16 135 81 5481 4956 52522 49956 81 1 826 6 8326 6 2) Antica maniera babilonese: Esempio: Trova. Per risolvere il problema, questo numero viene scomposto nella somma di due termini: 1700 = 1600 + 100 = 40 2 + 100, il primo dei quali è un quadrato perfetto. Quindi applichiamo la formula. Modo algebrico:
ESTRAZIONE DELLA RADICE QUADRATA CON APPROSSIMAZIONE A DATO SCARICO. , 4 16 8 . 1 1 1 3 5 1 8 1 5 4 8 1 8 2 + 66 4 9 5 6 6 5 2 5 2 2 + 8 3 2 66 4 9 9 5 6 6 + 8 3 3 2 33 2 5 6 6 0 0 , 3
Bibliografia 1. Raccolta di problemi di matematica per gli studenti che entrano nelle università, a cura di M.I.Skanavi. V. K. Egerev, B. A. Kordemsky, V. V. Zaitsev, “ONYX 21° secolo”, 2003 2. Algebra e funzioni elementari. RA Kalnin, "Scienza", 1973 3. Matematica. Materiali di riferimento. VA Gusev, AG Mordkovich, casa editrice "Illuminismo", 1990 4. Scolari di matematica e matematici. Compilato da MM Liman, Enlightenment, 1981.
Consideriamo un problema dall'algebra dei polinomi.
Compito 4.1
Sia a la radice del polinomio x 3 + 6x - 3. Dobbiamo eliminare l'irrazionalità algebrica nel denominatore della frazione
Quelli. rappresentare la frazione come un polinomio in a con razionale
coefficienti reali.
Decisione. Il denominatore di una frazione è il valore da un polinomio correggere) = x 2 + 5, e il polinomio minimo di un elemento algebrico unè f(x) \u003d x 3 + 6x- 3, poiché questo polinomio è irriducibile nel campo Q (secondo il criterio di Eisenstein per primo p = 3). Troviamo NODO 3 + 6x - 3, x 2 + 5) con utilizzando l'algoritmo di Euclide:
Generalizziamo la situazione e consideriamo il problema generale.
Il problema di eliminare l'irrazionalità algebrica al denominatore di una frazione
Sia a un'irrazionalità algebrica su un campo P con mi-
, . „ a k a k + a k _, a k ~ l-f-. + aia + Oo
polinomio minimo fOO e B = - - 1
b t a t +bro-ioc" 1 - 1 +... + bja +b 0
dove appartengono al campo i coefficienti dei polinomi al numeratore e denominatore della frazione R. Sbarazzarsi dell'irrazionalità algebrica nel denominatore di una frazione, cioè presente (3 come
dove i coefficienti appartengono al campo R.
Decisione. Denota /)*) = b nl x" + b m _ 1 x nl_1 +... + b ) x + b 0 e y =/(a). Da ^ 0, quindi per la proprietà del polinomio minimo gcd(/(x), φ(x)) = 1. Utilizzando l'algoritmo euclideo, troviamo i polinomi u(x) e v(x) tali che f(x) e(x) + f(x)y(x) = 1. Quindi sì) e (a) + f (a) y (a) \u003d 1, e poiché f (a) \u003d 0, quindi Da) e (a) \u003d 1. Pertanto, moltiplicando il numeratore e il denominatore di questa frazione per q (a), abbiamo prendine uno al denominatore e il compito è risolto.
Si noti che il metodo generale per eliminare l'irrazionalità algebrica al denominatore di una frazione nel caso di complessi a + s
numeri - porta alla nota procedura per moltiplicare i numeri -
denominatore e denominatore per il coniugato del denominatore.
Digressione storica
Per la prima volta, l'esistenza di numeri trascendenti sul campo Q fu scoperta da J. Liouville (1809-1882) nei suoi articoli nel 1844 e nel 1851. Uno dei numeri trascendentali di Liouville è il numero
S. Eremita (1822-
a = Y--. Decimale a = 0D100010..
classe 10*
1901) ha dimostrato la trascendenza del numero e nel 1873, e K. F. Lindemann (1852-1939) ha dimostrato nel 1882 la trascendenza del numero P. Questi risultati non sono stati ottenuti facilmente. Allo stesso tempo, G. Kantor (1845-1918) dimostrò semplicemente che ci sono "significativamente più" numeri trascendentali di quelli algebrici: ci sono "lo stesso numero" di numeri trascendentali quanti sono tutti i numeri reali, mentre ci sono " lo stesso numero” di numeri algebrici, quanti numeri naturali. Più precisamente, l'insieme dei numeri algebrici è numerabile, mentre l'insieme dei numeri trascendentali è non numerabile. La prova di questo fatto, stabilendo l'esistenza di numeri trascendentali, non fornisce una ricetta per ottenerne nessuno. Teoremi di esistenza di questo tipo sono estremamente importanti in matematica già perché infondono fiducia nel successo della ricerca di un oggetto la cui esistenza è stata dimostrata. Allo stesso tempo, c'è una direzione nella matematica, i cui rappresentanti non riconoscono i teoremi di pura esistenza, definendoli non costruttivi. I più importanti di questi rappresentanti sono L. Kronecker e J. Brouwer.
Nel 1900, al Congresso Mondiale dei Matematici di Parigi, il matematico tedesco D. Hilbert (1862-1943) formulò il seguente problema22: Qual è la natura del numero aP, dove a e (3 sono numeri algebrici, a ^ 0, a ^ 1 e il grado del numero algebrico (3 non è inferiore a 2? A. O. Gel'fond (1906-1968) ha dimostrato che tali numeri sono trascendentali. Ne consegue, in particolare, che i numeri 2^, 3r sono trascendentali.
Risolvere equazioni con frazioni diamo un'occhiata agli esempi. Gli esempi sono semplici e illustrativi. Con il loro aiuto, puoi capire nel modo più comprensibile.
Ad esempio, devi risolvere una semplice equazione x/b + c = d.
Un'equazione di questo tipo è chiamata lineare, perché il denominatore contiene solo numeri.
La soluzione si ottiene moltiplicando entrambi i membri dell'equazione per b, quindi l'equazione assume la forma x = b*(d – c), cioè il denominatore della frazione sul lato sinistro è ridotto.
Ad esempio, come risolvere un'equazione frazionaria:
x/5+4=9
Moltiplichiamo entrambe le parti per 5. Otteniamo:
x+20=45
x=45-20=25
Un altro esempio in cui l'incognita è al denominatore:
Equazioni di questo tipo sono dette razionali frazionarie o semplicemente frazionarie.
Risolveremmo un'equazione frazionaria eliminando le frazioni, dopodiché questa equazione, molto spesso, si trasforma in un'equazione lineare o quadratica, che viene risolta nel solito modo. Dovresti prendere in considerazione solo i seguenti punti:
- il valore di una variabile che porta il denominatore a 0 non può essere una radice;
- non puoi dividere o moltiplicare l'equazione per l'espressione =0.
È qui che entra in vigore un concetto come la regione dei valori consentiti (ODZ): questi sono i valori delle radici dell'equazione per cui l'equazione ha senso.
Pertanto, risolvendo l'equazione, è necessario trovare le radici e quindi verificarne la conformità con l'ODZ. Sono escluse dalla risposta quelle radici che non corrispondono al nostro DHS.
Ad esempio, devi risolvere un'equazione frazionaria:
In base alla regola precedente, x non può essere = 0, cioè ODZ in questo caso: x - qualsiasi valore diverso da zero.
Eliminiamo il denominatore moltiplicando tutti i termini dell'equazione per x
E risolvi la solita equazione
5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3
Risposta: x = 1/3
Risolviamo l'equazione più complicata:
ODZ è presente anche qui: x -2.
Risolvendo questa equazione, non trasferiremo tutto in una direzione e porteremo le frazioni a un denominatore comune. Moltiplichiamo immediatamente entrambi i membri dell'equazione per un'espressione che ridurrà tutti i denominatori contemporaneamente.
Per ridurre i denominatori, devi moltiplicare il lato sinistro per x + 2 e il lato destro per 2. Quindi, entrambi i lati dell'equazione devono essere moltiplicati per 2 (x + 2):
Questa è la moltiplicazione di frazioni più comune, di cui abbiamo già discusso sopra.
Scriviamo la stessa equazione, ma in un modo leggermente diverso.
Il lato sinistro è ridotto di (x + 2) e il lato destro di 2. Dopo la riduzione, otteniamo la consueta equazione lineare:
x \u003d 4 - 2 \u003d 2, che corrisponde al nostro ODZ
Risposta: x = 2.
Risolvere equazioni con frazioni non così difficile come potrebbe sembrare. In questo articolo, lo abbiamo mostrato con esempi. Se hai qualche difficoltà con come risolvere le equazioni con le frazioni, quindi annullare l'iscrizione nei commenti.
