모든 완료 이차 방정식 ax2 + bx + c = 0떠올릴 수 있다 x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, 먼저 각 항을 계수 a로 나누면 x2. 그리고 새로운 표기법을 도입한다면 (b/a) = p그리고 (c/a) = q, 우리는 방정식을 가질 것입니다 x 2 + px + q = 0, 수학에서 호출 감소된 이차 방정식.
기약 2차 방정식의 근과 계수 피그리고 큐상호 연결. 확인되었습니다 비에타의 정리에 살았던 프랑스 수학자 Francois Vieta의 이름을 따서 명명되었습니다. 16세 말세기.
정리. 축소된 이차 방정식의 근의 합 x 2 + px + q = 0두 번째 계수와 같음 피, 반대 부호와 뿌리의 곱으로 취함 - 자유 용어 큐.
이 비율을 다음 형식으로 작성합니다.
허락하다 × 1그리고 x2환원 방정식의 다양한 근 x 2 + px + q = 0. Vieta의 정리에 따르면 x1 + x2 = -p그리고 엑스 1 엑스 2 = q.
이를 증명하기 위해 각 근 x 1과 x 2를 방정식에 대입해 봅시다. 우리는 두 가지 진정한 평등을 얻습니다.
x 1 2 + px 1 + q = 0
x 2 2 + px 2 + q = 0
첫 번째 평등에서 두 번째 평등을 뺍니다. 우리는 다음을 얻습니다. 
x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0
제곱의 차 공식에 따라 처음 두 항을 확장합니다.
(엑스 1 - 엑스 2)(엑스 1 - 엑스 2) + 피(엑스 1 - 엑스 2) = 0
조건에 따라 근 x 1과 x 2가 다릅니다. 따라서 (x 1 - x 2) ≠ 0으로 평등을 줄이고 p를 표현할 수 있습니다.
(x1 + x2) + p = 0;
(x 1 + x 2) = -p.
첫 번째 평등이 증명되었습니다.
두 번째 평등을 증명하기 위해 첫 번째 방정식으로 대체합니다.
x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 계수 p 대신 동일한 숫자는 (x 1 + x 2)입니다.
x 1 2-(x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0
방정식의 왼쪽을 변환하면 다음을 얻습니다.
x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;
x 1 x 2 = q, 이것은 증명되어야 했습니다.
비에타의 정리가 좋은 이유는, 이차 방정식의 근을 모르더라도 합과 곱을 계산할 수 있습니다. .
Vieta의 정리는 주어진 이차 방정식의 정수 근을 결정하는 데 도움이 됩니다. 그러나 많은 학생들에게 이것은 특히 방정식의 근이 다른 부호를 갖는 경우 명확한 행동 알고리즘을 모르기 때문에 어려움을 야기합니다.
따라서 주어진 이차 방정식의 형식은 x 2 + px + q \u003d 0이며 여기서 x 1과 x 2는 근입니다. Vieta 정리 x 1 + x 2 = -p 및 x 1 x 2 = q에 따르면.
우리는 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다..
방정식에서 마지막 용어 앞에 빼기 부호가 있으면 근 x 1과 x 2의 부호가 다릅니다. 또한 작은 근의 부호는 방정식의 두 번째 계수의 부호와 동일합니다.
부호가 다른 숫자를 더할 때 해당 모듈을 빼고 더 큰 숫자의 부호를 결과 앞에 배치한다는 사실을 바탕으로 다음과 같이 진행해야 합니다.
- 그 차이가 숫자 p와 같도록 숫자 q의 인수를 결정하십시오.
- 얻은 숫자 중 작은 것 앞에 방정식의 두 번째 계수의 부호를 넣으십시오. 두 번째 루트는 반대 부호를 갖습니다.
몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
예 1.
방정식 x 2 - 2x - 15 = 0을 풉니다.
해결책.
위에서 제안한 규칙을 사용하여 이 방정식을 풀어 봅시다. 그러면 우리는 이 방정식이 두 개의 다른 근을 가질 것이라고 확실히 말할 수 있습니다. D \u003d b 2-4ac \u003d 4-4 (-15) \u003d 64\u003e 0.
이제 숫자 15의 모든 요소(1과 15, 3과 5)에서 차이가 2인 요소를 선택합니다. 이들은 숫자 3과 5가 됩니다. 작은 숫자 앞에 빼기 기호를 넣습니다. , 즉. 방정식의 두 번째 계수의 부호. 따라서 방정식 x 1 \u003d -3 및 x 2 \u003d 5의 근을 얻습니다.
대답. x 1 = -3 및 x 2 = 5.
예 2.
방정식 x 2 + 5x - 6 = 0을 풉니다.
해결책.
이 방정식에 근이 있는지 확인해 봅시다. 이를 위해 판별식을 찾습니다.
D \u003d b 2-4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. 방정식에는 두 개의 다른 근이 있습니다.
숫자 6의 가능한 약수는 2와 3, 6과 1입니다. 6과 1의 쌍에 대한 차이는 5입니다. 이 예에서 두 번째 항의 계수는 더하기 부호를 가지므로 더 작은 숫자는 같은 기호. 그러나 두 번째 숫자 앞에 빼기 기호가 있습니다.
답변: x 1 = -6 및 x 2 = 1.
Vieta의 정리는 완전한 이차 방정식에 대해서도 쓸 수 있습니다. 따라서 이차방정식이 ax2 + bx + c = 0근 x 1 및 x 2 가 있으면 다음을 만족합니다.
x 1 + x 2 = -(b/a)그리고 x 1 x 2 = (c/a). 그러나 완전 이차 방정식에 이 정리를 적용하는 것은 다소 문제가 있습니다. 근이 있으면 그 중 적어도 하나는 분수입니다. 분수 선택 작업은 매우 어렵습니다. 그러나 여전히 탈출구가 있습니다.
완전한 이차 방정식 ax 2 + bx + c = 0을 고려하십시오. 왼쪽과 오른쪽에 계수 a를 곱하십시오. 방정식은 (ax) 2 + b(ax) + ac = 0의 형식을 취합니다. 이제 예를 들어 t = ax와 같은 새 변수를 소개하겠습니다.
이 경우 결과 방정식은 t 2 + bt + ac = 0 형식의 축소된 이차 방정식으로 바뀌며, t 1 및 t 2(있는 경우)는 Vieta 정리에 의해 결정될 수 있습니다.
이 경우 원래 이차방정식의 근은
x 1 = (t 1 / a) 및 x 2 = (t 2 / a).
예 3.
방정식 15x 2 - 11x + 2 = 0을 풉니다.
해결책.
우리는 보조 방정식을 만듭니다. 방정식의 각 항에 15를 곱해 보겠습니다.
15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.
t = 15x로 변경합니다. 우리는:
티 2 - 11티 + 30 = 0.
Vieta의 정리에 의해 뿌리 주어진 방정식 t 1 = 5 및 t 2 = 6이 됩니다.
대체 t = 15x로 돌아갑니다.
5 = 15배 또는 6 = 15배. 따라서 x 1 = 5/15 및 x 2 = 6/15입니다. 축소하고 최종 답을 얻습니다. x 1 = 1/3 및 x 2 = 2/5.
대답. x 1 = 1/3 및 x 2 = 2/5.
Vieta 정리를 사용하여 이차 방정식의 해를 마스터하려면 학생들은 가능한 한 많이 연습해야 합니다. 이것이 바로 성공의 비결입니다.
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수학에는 많은 이차방정식을 판별식 없이 매우 빠르게 푸는 특별한 요령이 있습니다. 또한 적절한 교육을 받으면 많은 사람들이 문자 그대로 "한눈에" 구두로 이차 방정식을 풀기 시작합니다.
불행히도 현대 학교 수학 과정에서는 그러한 기술이 거의 연구되지 않습니다. 그리고 당신은 알아야합니다! 그리고 오늘 우리는 이러한 기술 중 하나 인 Vieta의 정리를 고려할 것입니다. 먼저 새로운 정의를 소개하겠습니다.
x 2 + bx + c = 0 형식의 이차 방정식을 축소라고 합니다. x 2의 계수는 1과 같습니다. 계수에 대한 다른 제한은 없습니다.
- x 2 + 7x + 12 = 0은 축소된 이차 방정식입니다.
- x 2 − 5x + 6 = 0도 감소합니다.
- 2x 2 − 6x + 8 = 0 - 그러나 이것은 x 2의 계수가 2이므로 전혀 주어지지 않습니다.
물론 ax 2 + bx + c = 0 형식의 모든 이차 방정식을 줄일 수 있습니다. 모든 계수를 a로 나누면 충분합니다. a ≠ 0이라는 이차방정식의 정의를 따르기 때문에 우리는 항상 이것을 할 수 있습니다.
사실, 이러한 변환이 근을 찾는 데 항상 유용한 것은 아닙니다. 조금 더 낮으면 최종 제곱 방정식에서 모든 계수가 정수일 때만 이 작업을 수행해야 합니다. 지금은 몇 가지 간단한 예를 살펴보겠습니다.
작업. 이차 방정식을 감소된 것으로 변환:
- 3x2 - 12x + 18 = 0;
- −4x2 + 32x + 16 = 0;
- 1.5x2 + 7.5x + 3 = 0;
- 2x2 + 7x - 11 = 0.
각 방정식을 변수 x 2의 계수로 나누겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다.
- 3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 \u003d 0 - 모든 것을 3으로 나눕니다.
- −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - −4로 나누기;
- 1.5x 2 + 7.5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0-1.5로 나누면 모든 계수가 정수가되었습니다.
- 2x 2 + 7x-11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3.5x-5.5 \u003d 0-나누기 2. 이 경우 분수 계수가 발생했습니다.
보시다시피 원래 방정식에 분수가 포함되어 있어도 주어진 이차 방정식은 정수 계수를 가질 수 있습니다.
이제 우리는 기본 정리를 공식화합니다. 실제로 축소된 이차 방정식의 개념이 도입되었습니다.
비에타의 정리. x 2 + bx + c \u003d 0 형식의 축소된 이차 방정식을 고려하십시오. 이 방정식의 실근 x 1 및 x 2가 있다고 가정합니다. 이 경우 다음 진술이 참입니다.
- x1 + x2 = -b. 즉, 주어진 이차 방정식의 근의 합은 반대 기호로 취한 변수 x의 계수와 같습니다.
- x 1 x 2 = 다. 이차 방정식의 근의 곱은 자유 계수와 같습니다.
예. 단순화를 위해 추가 변환이 필요하지 않은 주어진 이차 방정식만 고려합니다.
- x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; ×1 ×2 = 20; 뿌리: x 1 = 4; 엑스 2 \u003d 5;
- x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; 엑스 1 엑스 2 \u003d -15; 뿌리: x 1 = 3; 엑스 2 \u003d -5;
- x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; ×1 ×2 = 4; 뿌리: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.
Vieta의 정리는 우리에게 추가 정보이차 방정식의 근에 대해. 언뜻 보기에 이것은 복잡해 보일 수 있지만 최소한의 교육으로도 루트를 "보고" 문자 그대로 몇 초 만에 루트를 추측하는 방법을 배우게 됩니다.
작업. 이차 방정식을 풉니다.
- x2 - 9x + 14 = 0;
- x 2 - 12x + 27 = 0;
- 3x2 + 33x + 30 = 0;
- −7x2 + 77x − 210 = 0.
Vieta 정리에 따라 계수를 기록하고 근을 "추측"해 봅시다.
- x 2 − 9x + 14 = 0은 기약 2차 방정식입니다.
비에타 정리에 따르면 x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. 근이 숫자 2와 7이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. - x 2 − 12x + 27 = 0도 줄어듭니다.
Vieta 정리: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. 따라서 근: 3과 9; - 3x 2 + 33x + 30 = 0 - 이 방정식은 축소되지 않습니다. 그러나 이제 방정식의 양쪽을 계수 a \u003d 3으로 나누어 이것을 고칠 것입니다. 우리는 x 2 + 11x + 10 \u003d 0을 얻습니다.
Vieta 정리에 따라 해결합니다. x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ 근: -10 및 -1; - −7x 2 + 77x − 210 \u003d 0 - 다시 x 2의 계수는 1과 같지 않습니다. 방정식이 주어지지 않았습니다. 모든 것을 숫자 a = −7로 나눕니다. x 2 - 11x + 30 = 0을 얻습니다.
Vieta 정리: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; ×1 ×2 = 30; 이 방정식에서 5와 6의 근을 추측하기 쉽습니다.
위의 추론에서 Vieta의 정리가 어떻게 이차 방정식의 솔루션을 단순화하는지 볼 수 있습니다. 복잡한 계산, 산술 근 및 분수가 없습니다. 그리고 판별식도 필요하지 않았습니다.
물론 우리의 모든 성찰에서 우리는 일반적으로 실제 문제에서 항상 충족되지는 않는 두 가지 중요한 가정에서 진행했습니다.
- 이차 방정식이 감소합니다. x 2에서의 계수는 1이고;
- 방정식에는 두 개의 다른 근이 있습니다. 대수학의 관점에서, 이 경우 판별식 D > 0 - 사실 처음에는 이 부등식이 참이라고 가정합니다.
그러나 일반적인 수학 문제에서는 이러한 조건이 충족됩니다. 계산 결과가 "잘못된" 이차 방정식(x 2의 계수가 1과 다름)인 경우 쉽게 수정할 수 있습니다. 수업 시작 부분의 예를 살펴보십시오. 나는 일반적으로 뿌리에 대해 침묵합니다. 대답이없는 작업은 무엇입니까? 물론 뿌리가 있을 것이다.
따라서 Vieta 정리에 따라 이차 방정식을 풀기 위한 일반적인 체계는 다음과 같습니다.
- 문제의 조건에서 이미 수행되지 않은 경우 이차 방정식을 주어진 방정식으로 줄입니다.
- 위의 이차 방정식의 계수가 분수로 판명되면 판별식을 통해 해결합니다. 보다 "편리한" 숫자로 작업하기 위해 원래 방정식으로 돌아갈 수도 있습니다.
- 정수 계수의 경우 Vieta 정리를 사용하여 방정식을 풉니다.
- 몇 초 내에 근을 추측할 수 없는 경우 Vieta 정리에 점수를 매기고 판별식을 통해 해결합니다.
작업. 방정식을 풉니다: 5x 2 − 35x + 50 = 0.
그래서, 우리는 감소되지 않은 방정식을 가지고 있습니다. 왜냐하면 계수 a \u003d 5. 모든 것을 5로 나누면 x 2-7x + 10 \u003d 0을 얻습니다.
이차 방정식의 모든 계수는 정수입니다. Vieta의 정리를 사용하여 해결해 봅시다. x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. 이 경우 근은 추측하기 쉽습니다. 이들은 2와 5입니다. 판별자를 통해 계산할 필요가 없습니다.
작업. 방정식을 풉니다: -5x 2 + 8x - 2.4 = 0.
−5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - 이 방정식은 축소되지 않고 양쪽을 계수 a = −5로 나눕니다. x 2 - 1.6x + 0.48 \u003d 0 - 분수 계수가 있는 방정식.
원래 방정식으로 돌아가 판별식을 통해 계산하는 것이 좋습니다. −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1.2 ; x 2 \u003d 0.4.
작업. 방정식을 풉니다: 2x 2 + 10x − 600 = 0.
우선 모든 것을 계수 a \u003d 2로 나눕니다. 방정식 x 2 + 5x-300 \u003d 0을 얻습니다.
이것은 우리가 가진 Vieta 정리에 따른 축소 방정식입니다. x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300. 이 경우 이차 방정식의 근을 추측하기는 어렵습니다. 개인적으로 저는이 문제를 풀었을 때 심각하게 "멈췄습니다".
판별식을 통해 근을 찾아야 합니다: D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 . 판별식의 근이 기억나지 않는다면 1225: 25 = 49라고 적어두겠습니다. 따라서 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 입니다.
이제 판별식의 근을 알고 있으므로 방정식을 푸는 것은 어렵지 않습니다. 우리는 다음을 얻습니다. x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.
이 강의에서 우리는 이차 방정식의 근과 그 계수 사이의 흥미로운 관계에 대해 알게 될 것입니다. 이러한 관계는 프랑스 수학자 Francois Viet(1540-1603)에 의해 처음 발견되었습니다.
예를 들어 방정식 Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0의 경우 근을 찾지 않고 Vieta 정리를 사용하여 즉시 근의 합은 이고 근의 곱은
즉 - 2. 방정식 x 2 - 6x + 8 \u003d 0에 대해 결론을 내립니다. 근의 합은 6이고 근의 곱은 8입니다. 그건 그렇고, 근이 4와 2와 같은지 추측하는 것은 어렵지 않습니다.
Vieta의 정리 증명. 이차 방정식 ax 2 + bx + c \u003d 0의 근 x 1 및 x 2는 다음 공식으로 구합니다.
여기서 D \u003d b 2 - 4ac는 방정식의 판별식입니다. 이 뿌리를 내리고
우리는 얻는다
이제 근 x 1과 x 2의 곱을 계산합니다.
두 번째 관계가 증명됩니다.
논평.
Vieta의 정리는 이차 방정식에 근이 하나인 경우(즉, D \u003d 0인 경우)에도 유효합니다. 이 경우 방정식에 위의 관계가 적용되는 두 개의 동일한 근이 있는 것으로 간주됩니다. .
축소된 이차 방정식 x 2 + px + q \u003d 0에 대한 입증된 관계는 특히 간단한 형식을 취합니다. 이 경우 다음을 얻습니다.
x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
저것들. 주어진 이차 방정식의 근의 합은 반대 부호로 취한 두 번째 계수와 같고 근의 곱은 자유 항과 같습니다.
Vieta 정리를 사용하면 이차 방정식의 근과 계수 사이의 다른 관계도 얻을 수 있습니다. 예를 들어, x 1 및 x 2를 축소된 이차 방정식 x 2 + px + q = 0의 근이라고 합니다. 그런 다음
그러나 Vieta의 정리의 주요 목적은 이차 방정식의 근과 계수 사이의 특정 관계를 표현하는 것이 아닙니다. 훨씬 더 중요한 것은 Vieta의 정리의 도움으로 확장 공식이 유도된다는 사실입니다. 제곱 삼항식앞으로는 그것 없이는하지 않을 승수로.
증거. 우리는
예 1. 삼항식 3x 2 - 10x + 3을 인수분해합니다.
해결책. 방정식 Zx 2-10x + 3 \u003d 0을 풀면 삼항식 Zx 2-10x + 3의 근을 찾습니다. x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
정리 2를 사용하면
대신 Zx - 1이라고 쓰는 것이 이치에 맞습니다. 그러면 마침내 Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1)이 됩니다.
주어진 제곱 삼항식은 그룹화 방법을 사용하여 정리 2를 사용하지 않고 분해할 수 있습니다.
Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x-3)-(x-3) \u003d (x-3) (Zx-1).
그러나 보시다시피 이 방법의 성공은 성공적인 그룹화를 찾을 수 있는지 여부에 달려 있지만 첫 번째 방법의 성공은 보장됩니다.
예 1. 분수 줄이기
해결책. 방정식 2x 2 + 5x + 2 = 0에서 x 1 = - 2를 찾습니다.
방정식 x2 - 4x - 12 = 0에서 x 1 = 6, x 2 = -2를 찾습니다. 그래서
x 2-4x-12 \u003d (x-6) (x-(-2)) \u003d (x-6) (x + 2).
이제 주어진 분수를 줄여봅시다:
예 3. 식을 인수분해:
a) x4 + 5x 2 +6; b) 2x+-3
솔루션 a) 새 변수 y = x 2를 도입합니다. 이를 통해 변수 y에 대한 제곱 삼항식의 형태, 즉 y 2 + bу + 6의 형태로 주어진 표현식을 다시 작성할 수 있습니다.
방정식 y 2 + bу + 6 \u003d 0을 풀면 삼항식 y 2 + 5y + 6의 근을 찾습니다. y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3입니다. 이제 정리 2를 사용합니다. 우리는 얻는다
y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
y \u003d x 2, 즉 주어진 표현으로 돌아가는 것을 기억해야 합니다. 그래서,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) 새로운 변수 y = 를 소개합시다. 이렇게 하면 변수 y에 대한 제곱 삼항식의 형태, 즉 2y 2 + y - 3의 형태로 주어진 표현식을 다시 작성할 수 있습니다. 방정식을 풀었습니다.
2y 2 + y - 3 \u003d 0, 삼항식 2y 2 + y - 3의 근을 찾습니다.
y1 = 1, y2 = . 또한 정리 2를 사용하여 다음을 얻습니다.
y \u003d, 즉 주어진 표현으로 돌아가는 것을 기억해야 합니다. 그래서,
이 섹션은 다시 Vieta 정리 또는 오히려 반대 주장과 관련된 몇 가지 고려 사항으로 결론을 내립니다.
숫자 x 1, x 2가 x 1 + x 2 \u003d-p, x 1 x 2 \u003d q이면이 숫자는 방정식의 근입니다.
이 문장을 사용하면 번거로운 근 공식을 사용하지 않고 구두로 많은 이차방정식을 풀 수 있으며 주어진 근으로 이차방정식을 구성할 수도 있습니다. 예를 들어 보겠습니다.
1) x 2 - 11x + 24 = 0. 여기서 x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. x 1 = 8, x 2 = 3이라고 추측하기 쉽습니다.
2) x 2 + 11x + 30 = 0. 여기서 x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. x 1 = -5, x 2 = -6이라고 추측하기 쉽습니다.
참고: 방정식의 자유항이 양수이면 두 근 모두 양수이거나 음수입니다. 이것은 뿌리를 선택할 때 고려하는 것이 중요합니다.
3) x 2 + x - 12 = 0. 여기서 x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4라고 추측하기 쉽습니다.
참고: 방정식의 자유 항이 음수이면 근의 부호가 다릅니다. 이것은 뿌리를 선택할 때 고려하는 것이 중요합니다.
4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. x = 1이 방정식을 만족한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. x 1 \u003d 1 - 방정식의 근. x 1 x 2 \u003d -이고 x 1 \u003d 1이므로 x 2 \u003d -를 얻습니다.
5) x 2 - 293x + 2830 = 0. 여기서 x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. 2830 = 283이라는 사실에 주목하면. 10, 293 \u003d 283 + 10이면 x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10이라는 것이 분명해집니다(이제 표준 공식을 사용하여 이 이차 방정식을 풀기 위해 어떤 계산을 수행해야 하는지 상상해 보십시오).
6) 숫자 x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4가 근이 되도록 이차방정식을 작성합시다.일반적으로 이러한 경우 그들은 축소된 이차방정식 x 2 + px + q \u003d 0을 구성합니다.
x 1 + x 2 \u003d -p이므로 8-4 \u003d -p, 즉 p \u003d -4입니다. 또한, x 1 x 2 = q, 즉 8"(-4) = q, 여기서 q = -32를 얻습니다. 따라서 p \u003d -4, q \u003d -32는 원하는 이차 방정식의 형식이 x 2 -4x-32 \u003d 0임을 의미합니다.
거의 모든 이차 방정식 \은 \ 형식으로 변환될 수 있습니다. 그러나 각 항을 초기에 \ 앞에 있는 계수 \로 나누면 가능합니다. 또한 새로운 표기법을 도입할 수 있습니다.
\[(\frac (b)(a))= p\] 및 \[(\frac (c)(a)) = q\]
덕분에 우리는 수학에서 축약된 이차 방정식이라고 불리는 방정식을 갖게 될 것입니다. 이 방정식의 근과 계수 \는 서로 연결되어 있으며 이는 Vieta 정리에 의해 확인됩니다.
Vieta의 정리: 축소된 이차 방정식 \의 근의 합은 반대 부호로 취한 두 번째 계수 \와 같고 근의 곱은 자유항 \
명확성을 위해 다음 형식의 방정식을 풉니다.
작성된 규칙을 사용하여 이 이차 방정식을 풉니다. 초기 데이터를 분석한 후 다음과 같은 이유로 방정식에 두 개의 다른 근이 있다는 결론을 내릴 수 있습니다.
이제 숫자 15의 모든 약수(1과 15, 3과 5)에서 차이가 2인 것을 선택합니다. 숫자 3과 5는 이 조건에 해당합니다. 숫자. 따라서 우리는 방정식 \의 근을 얻습니다.
답: \[ x_1= -3 및 x_2 = 5\]
온라인에서 Vieta의 정리를 사용하여 방정식을 풀 수 있는 곳은 어디입니까?
저희 웹사이트 https: // 사이트에서 방정식을 풀 수 있습니다. 무료 온라인 솔버를 사용하면 복잡한 온라인 방정식을 몇 초 안에 풀 수 있습니다. 솔버에 데이터를 입력하기만 하면 됩니다. 비디오 지침을 시청하고 당사 웹 사이트에서 방정식을 푸는 방법을 배울 수도 있습니다. 질문이 있으시면 Vkontakte 그룹 http://vk.com/pocketteacher에서 질문하실 수 있습니다. 저희 그룹에 가입하시면 항상 기꺼이 도와드리겠습니다.
비에타의 정리(보다 정확하게는 비에타의 정리의 역 정리)를 사용하면 이차 방정식을 푸는 시간을 줄일 수 있습니다. 당신은 그것을 사용하는 방법을 알아야합니다. Vieta의 정리를 사용하여 이차 방정식을 푸는 방법을 배우는 방법은 무엇입니까? 조금만 생각하면 쉽습니다.
이제 비에타 정리를 이용한 기약이차방정식의 해에 대해서만 이야기하겠습니다.기약이차방정식은 a, 즉 x² 앞의 계수가 1인 방정식입니다. 주어진 이차 방정식은 Vieta 정리를 사용하여 해결할 수도 있지만 이미 근 중 적어도 하나는 정수가 아닙니다. 추측하기가 더 어렵습니다.
Vieta의 정리와 반대되는 정리는 다음과 같이 말합니다. 숫자 x1과 x2가 다음과 같은 경우
그러면 x1과 x2는 이차 방정식의 근입니다.
Vieta 정리를 사용하여 이차방정식을 풀 때는 4가지 옵션만 가능합니다. 추리 과정을 기억한다면 전체 근을 찾는 방법을 매우 빠르게 배울 수 있습니다.
I. q가 양수이면,
이것은 근 x1과 x2가 같은 부호의 숫자라는 것을 의미합니다(동일한 부호를 가진 숫자를 곱할 때만 양수가 얻어지기 때문입니다).
I.a. -p가 양수이면 (각각, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).
I.b. -p가 음수이면 (각각 p>0), 두 근은 모두 음수입니다(동일한 부호의 숫자를 더하면 음수가 됩니다).
II. q가 음수이면
이것은 근 x1과 x2의 부호가 다르다는 것을 의미합니다(숫자를 곱할 때 인수의 부호가 다를 때만 음수를 얻습니다). 이 경우 x1 + x2는 더 이상 합계가 아니라 차이입니다(결국 부호가 다른 숫자를 더할 때 더 큰 모듈로에서 더 작은 것을 뺍니다). 따라서 x1 + x2는 루트 x1과 x2가 얼마나 다른지, 즉 하나의 루트가 다른 루트보다 얼마나 많은지를 보여줍니다(모듈로).
II.a. -p가 양수이면 (즉. p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.
II.b. -p가 음수이면 (p>0)이면 더 큰 (모듈로) 근은 음수입니다.
예를 사용하여 Vieta의 정리에 따라 이차 방정식의 해를 고려하십시오.
Vieta의 정리를 사용하여 주어진 이차 방정식을 풉니다.
여기서 q=12>0이므로 근 x1과 x2는 동일한 부호의 숫자입니다. 합은 -p=7>0이므로 두 근 모두 양수입니다. 곱이 12인 정수를 선택합니다. 이들은 1과 12, 2와 6, 3과 4입니다. 쌍 3과 4의 합은 7입니다. 따라서 3과 4는 방정식의 근입니다.
이 예에서 q=16>0은 루트 x1과 x2가 동일한 부호의 숫자임을 의미합니다. 합계 -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.
여기서 q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0이면 더 큰 숫자가 양수입니다. 따라서 근은 5와 -3입니다.
q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.
