Теорема. Вероятность суммы несовместных событий иравна сумме вероятностей этих событий:

Следствие 1. С помощью метода математической индукции формулу (3.10) можно обобщить на любое число попарно несовместных событий:

Следствие 2. Поскольку противоположные события являются несовместными, а их сумма – достоверным событием, то, используя (3.10), имеем:

Часто при решении задач формулу (3.12) используют в виде:

(3.13)

Пример 3.29. В опыте с бросанием игральной кости найти вероятности выпадения на верхней грани числа очков более 3 и менее 6.

Обозначим события, связанные с выпадением на верхней грани игральной кости одного очка, через U 1 , двух очков через U 2 ,…, шести очков через U 6 .

Пусть событие U – выпадение на верхней грани кости числа очков более 3 и менее 6. Это событие произойдет, если произойдет хотя бы одно из событий U 4 или U 5 , следовательно, его можно представить в виде суммы этих событий: . Т. к. событияU 4 и U 5 являются несовместными, то для нахождения вероятности их суммы используем формулу (3.11). Учитывая, что вероятности событий U 1 , U 2 ,…,U 6 равны , получим:

Замечание. Ранее задачи такого типа решали с помощью подсчета числа благоприятствующих исходов. Действительно, событию U благоприятствуют два исхода, а всего шесть элементарных исходов, следовательно, используя классический подход к понятию вероятности, получим:

Однако классический поход к понятию вероятности, в отличие от теоремы о вероятности суммы несовместных событий, применим только для равновозможных исходов.

Пример 3.30. Вероятность попадания в цель стрелком равна 0,7. Какова вероятность того, что стрелок не попадет в цель?

Пусть событие − попадание стрелком в цель, тогда событие, состоящее в том, что стрелок не попадет в цель, является противоположным событиемсобытию, т. к. в результате каждого испытания всегда происходит одно и только одно из этих событий. Используя формулу (3.13), получим:

3.2.10. Вероятность произведения событий

Определение. Событие называетсязависимым от события если вероятность события зависит от того, произошло событиеили нет.

Определение. Вероятность события вычисленная при условии, что событиепроизошло, называетсяусловной вероятностью события и обозначается

Теорема. Вероятность произведения событий иравна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

Условие независимости события от события можно записать в виде Из этого утверждения следует, что для независимых событий выполняется соотношение:

т. е. вероятность произведения независимых событий и, равна произведению их вероятностей.

Замечание. Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

Если события независимые, то имеем:

Пример 3.31. В ящике 5 белых и 3 черных шара. Из него наугад последовательно без возвращения вытаскивают два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Пусть событие − появление белого шара при первом вынимании,− появление белого шара при втором вынимании. Учитывая, что,(вероятность появления второго белого шара при условии, что первый вынутый шар был белым и его не возвратили в ящик). Так как событияизависимые, то вероятность их произведения найдем по формуле (3.15):

Пример 3.32. Вероятность попадания в цель первым стрелком 0,8; вторым – 0,7. Каждый стрелок выстрелил по мишени. Какова вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель? Какова вероятность того, что один стрелок попадет в цель?

Пусть событие – попадание в цель первым стрелком,– вторым. Все возможные варианты можно представить в видетаблицы 3.5 , где «+» обозначает, что событие произошло, а «−» − не произошло.

Таблица 3.5

Пусть событие – попадание хотя бы одним стрелком в цель, Тогда событиеявляется суммой независимых событийиследовательно, применить теорему о вероятности суммы несовместных событий в данной ситуации нельзя.

Рассмотрим событие противоположное событиюкоторое произойдет тогда, когда ни один стрелок не попадет в цель, т. е. является произведением независимых событийИспользуя формулы (3.13) и (3.15), получим:

Пусть событие – попадание одним стрелком в цель. Это событие можно представить следующим образом:

События и– независимые, событияитакже являются независимыми. События, являющиеся произведениями событийи– несовместными. Используя формулы (3.10) и (3.15) получим:

Свойства операций сложения и умножения событий:

3.2.11. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть событие может произойти только вместе с одним из попарно несовместных событий (гипотез),,…,, образующих полную группу, т. е.

Вероятность события находится по формулеполной вероятности:

Если событие уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формулеБайеса :

(3.17)

Пример 3.33. Имеются две одинаковых урны с шарами. В первой урне 5 белых и 10 черных шаров, во второй − 3 белых и 7 черных шаров. Выбирают наугад одну урну и вытаскивают из нее один шар.

Найти вероятность того, что этот шар белый.

Из наугад выбранной урны вытащили белый шар. Найти вероятность того, что шар вытащили из первой урны.

При оценки вероятности наступления какого-либо случайного события очень важно предварительно хорошо представлять, зависит ли вероятность (вероятность события) наступления интересующего нас события от того, как развиваются остальные события. В случае классической схемы, когда все исходы равновероятны, мы уже можем оценить значения вероятности интересующего нас отдельного события самостоятельно. Мы можем сделать это даже в том случае, если событие является сложной совокупностью нескольких элементарных исходов. А если несколько случайных событий происходит одновременно или последовательно? Как это влияет на вероятность реализации интересующего нас события? Если я несколько раз кидаю игральную кость, и хочу, чтобы выпала "шестерка", а мне все время не везет, значит ли это, что надо увеличивать ставку, потому что, согласно теории вероятностей, мне вот-вот должно повезти? Увы, теория вероятности не утверждает ничего подобного. Ни кости, ни карты, ни монетки не умеют запоминать, что они продемонстрировали нам в прошлый раз. Им совершенно не важно, в первый раз или в десятый раз сегодня я испытываю свою судьбу. Каждый раз, когда я повторяю бросок, я знаю только одно: и на этот раз вероятность выпадения "шестерки" снова равна одной шестой. Конечно, это не значит, что нужная мне цифра не выпадет никогда. Это означает лишь то, что мой проигрыш после первого броска и после любого другого броска - независимые события. События А и В называются независимыми, если реализация одного из них никак не влияет на вероятность другого события. Например, вероятности поражения цели первым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события "первое орудие поразило цель" и "второе орудие поразило цель" независимы. Если два события А и В независимы, и вероятность каждого из них известна, то вероятность одновременного наступления и события А, и события В (обозначается АВ) можно посчитать, воспользовавшись следующей теоремой.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий

P(AB) = P(A)*P(B) вероятность одновременного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Пример 1 . Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р 1 = 0,7; р 2 = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе обоими орудиями одновременно.

как мы уже видели события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы, т.е. Р(АВ)=Р(А)*Р(В)=р1*р2=0,56. Что произойдет с нашими оценками, если исходные события не являются независимыми? Давайте немного изменим предыдущий пример.

Пример 2. Два стрелка на соревнованиях стреляют по мишеням, причем, если один из них стреляет метко, то соперник начинает нервничать, и его результаты ухудшаются. Как превратить эту житейскую ситуацию в математическую задачу и наметить пути ее решения? Интуитивно понятно, что надо каким-то образом разделить два варианта развития событий, составить по сути дела два сценария, две разные задачи. В первом случае, если соперник промахнулся, сценарий будет благоприятный для нервного спортсмена и его меткость будет выше. Во втором случае, если соперник прилично реализовал свой шанс, вероятность поразить мишень для второго спортсмена снижается. Для разделения возможных сценариев (их часто называют гипотезами) развития событий мы будем часто использовать схему "дерева вероятностей". Эта схема похожа по смыслу на дерево решений, с которым Вам, наверное, уже приходилось иметь дело. Каждая ветка представляет собой отдельный сценарий развития событий, только теперь она имеет собственное значение так называемой условной вероятности (q 1 , q 2 , q 1 -1, q 2 -1).

Эта схема очень удобна для анализа последовательных случайных событий. Остается выяснить еще один немаловажный вопрос: откуда берутся исходные значения вероятностей в реальных ситуациях? Ведь не с одними же монетами и игральными костями работает теория вероятностей? Обычно эти оценки берутся из статистики, а когда статистические сведения отсутствуют, мы проводим собственное исследование. И начинать его нам часто приходится не со сбора данных, а с вопроса, какие сведения нам вообще нужны.

Пример 3. Допустим, нам надо оценить в городе с населением в сто тысяч жителей объем рынка для нового товара, который не является предметом первой необходимости, например, для бальзама по уходу за окрашенными волосами. Рассмотрим схему "дерева вероятностей". При этом значение вероятности на каждой "ветке" нам надо приблизительно оценить. Итак, наши оценки емкости рынка:

1) из всех жителей города женщин 50%,

2) из всех женщин только 30% красят волосы часто,

3) из них только 10% пользуются бальзамами для окрашенных волос,

4) из них только 10% могут набраться смелости попробовать новый товар,

5) из них 70% обычно покупает все не у нас, а у наших конкурентов.

По закону перемножения вероятностей, определяем вероятность интересующего нас события А ={житель города покупает у нас этот новый бальзам}=0,00045. Умножим это значение вероятности на число жителей города. В результате имеем всего 45 потенциальных покупательниц, а если учесть, что одного пузырька этого средства хватает на несколько месяцев, не слишком оживленная получается торговля. И все-таки польза от наших оценок есть. Во-первых, мы можем сравнивать прогнозы разных бизнес-идей, на схемах у них будут разные "развилки", и, конечно, значения вероятности тоже будут разные. Во-вторых, как мы уже говорили, случайная величина не потому называется случайной, что она совсем ни от чего не зависит. Просто ее точное значение заранее не известно. Мы знаем, что среднее количество покупателей может быть увеличено (например, с помощью рекламы нового товара). Так что имеет смысл сосредоточить усилия на тех "развилках", где распределение вероятностей нас особенно не устраивает, на тех факторах, на которые мы в состоянии повлиять. Рассмотрим еще один количественный пример исследования покупательского поведения.

Пример 3. За день продовольственный рынок посещает в среднем 10000 человек. Вероятность того, что посетитель рынка заходит в павильон молочных продуктов, равна 1/2. Известно, что в этом павильоне в среднем продается в день 500 кг различных продуктов. Можно ли утверждать, что средняя покупка в павильоне весит всего 100 г?

Обсуждение.

Конечно, нельзя. Понятно, что не каждый, кто заходил в павильон, в результате что-то там купил.

Как показано на схеме, чтобы ответить на вопрос о среднем весе покупки, мы должны найти ответ на вопрос, какова вероятность того, что человек, зашедший в павильон, что-нибудь там купит. Если таких данных в нашем распоряжении не имеется, а нам они нужны, придется их получить самим, понаблюдав некоторое время за посетителями павильона. Допустим, наши наблюдения показали, что только пятая часть посетителей павильона что-то покупает. Как только эти оценки нами получены, задача становится уже простой. Из 10000 человек, пришедших на рынок, 5000 зайдут в павильон молочных продуктов, покупок будет только 1000. Средний вес покупки равен 500 грамм. Интересно отметить, что для построения полной картины происходящего, логика условных "ветвлений" должна быть определена на каждом этапе нашего рассуждения так же четко, как если бы мы работали с "конкретной" ситуацией, а не с вероятностями.

Задачи для самопроверки.

1. Пусть есть электрическая цепь, состоящая из n последовательно соединенных элементов, каждый из которых работает независимо от остальных. Известна вероятность p невыхода из строя каждого элемента. Определите вероятность исправной работы всего участка цепи (событие А).

2. Студент знает 20 из 25 экзаменационных вопросов. Найдите вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.

3. Производство состоит из четырех последовательных этапов, на каждом из которых работает оборудование, для которого вероятности выхода из строя в течение ближайшего месяца равны соответственно р 1 , р 2 , р 3 и р 4 . Найдите вероятность того, что за месяц не случится ни одной остановки производства из-за неисправности оборудования.

Определение. Произведением или пересечением событий А и В называют событие, состоящее в одновременном наступлении событий и А, и В. Обозначение произведения: АВ или А В.

Пример . Двукратное попадание в цель есть произведение двух событий. Ответ на оба вопроса билета на экзамене есть произведение двух событий.

События А и В называют несовместными , если их произведение – событие невозможное, т.е. АВ = V.

События А – выпадение герба и В – выпадение цифры при однократном бросании монеты наступить одновременно не могут, их произведение событие невозможное, события А и В несовместные.

Понятия суммы и произведения событий имеют наглядную геометрическую интерпретацию.

Рис. 6.4. Геометрическая интерпретация произведения(а) и суммы(б) двух совместных событий

Пусть событие А – множество точек области А; событие В – множество точек области В. Заштрихованная область соответствует событию АВ на рис.6.4,а; событию на рис.6.4,б.

Для несовместных событий А и В имеем: АВ=V (рис.6.5,а). Событию А+В соответствует заштрихованная область на рис.6.5,б.

Рис. 6.5. Геометрическая интерпретация произведения(а) и суммы(б) двух несовместных событий

События и называют противоположными , если они несовместны и в сумме составляют достоверное событие, т.е.

Например, произведем один выстрел по цели: событие – стрелок попал в цель, не попал; подброшена монета: событие – выпадение орла, − выпадение цифры; школьники пишут контрольную работу: событие – ни одной ошибки в контрольной работе, − есть ошибки в контрольной работе; студент пришел сдавать зачет: событие А − сдал зачет, − не сдал зачет.

В классе есть мальчики и девочки, отличники, хорошисты и троечники, изучающие английский и немецкий язык. Пусть событие M – мальчик, О – отличник, А – изучающий английский язык. Может ли случайно вышедший из класса ученик быть и мальчиком, и отличником, и изучающим английский язык? Это и будет произведение или пересечение событий МОА.

Пример . Бросают игральный кубик – куб, сделанный из однородного материала, грани которого занумерованы. Наблюдают за числом (числом очков), выпадающим на верхней грани. Пусть событие А – появление нечетного числа, событие В – появление числа, кратного трем. Найти исходы, составляющие каждое из событий: U, А, А+В, АВ и указать их смысл.

Решение . Исход – появление на верхней грани любого из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Множество всех исходов составляет пространство элементарных событий Ясно, что событие , событие

Событие − появление либо нечетного числа, либо числа, кратного трем. При перечислении исходов учтено, что каждый исход в множестве может содержаться только один раз.

Событие − появление и нечетного числа и числа, кратного трем.

Пример. Проверено домашнее задание у трех студентов. Пусть событие − выполнение задания -м студентом, Каков смысл событий: и ?

Решение. Событие − выполнение задания хотя бы одним студентом, т.е. или любым одним студентом (или первым, или вторым, или третьим), или любыми двумя, или всеми тремя.

Событие − задание не выполнено ни одним студентом: ни первым, ни вторым, ни третьим. Событие − выполнение задания тремя студентами: и первым, и вторым, и третьим.

При рассмотрении совместного наступления нескольких событий возможны случаи, когда появление одного из них сказывается на возможности появления другого. Например, если осенью день солнечный, то менее вероятно, что погода испортится (начнется дождь). Если же солнца не видно, то больше шансов, что пойдет дождь.

Определение. Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не меняется в зависимости от того, произошло или нет событие В. Иначе событие А называется зависимым от события В. Два события А и В называются независимыми , если вероятность одного из них не зависит от появления или не появления другого, зависимыми – в противном случае. События называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы друг от друга.

Теорема. (Умножения вероятностей ) Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А·В)=Р(А)·Р(В)

Эта теорема справедлива для любого конечного числа событий, если только они независимы в совокупности, т.е. вероятность любого из них не зависит от того, произошли или нет другие из этих событий.

Пример . Студент сдает три экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена 0,9, второго 0,65, третьего – 0,35. Найти вероятность того, что он не сдаст хотя бы один экзамен.

Решение : Обозначим А – событие студент не сдал хотя бы один экзамен. Тогда Р(А) = 1- Р(ùА), где ùА – противоположное событие студент сдал все экзамены. Поскольку сдача каждого экзамена не зависит от других экзаменов, то Р(А)=1-Р(ùА)= 1- 0,9*0,65*0,35=0,7953.

Определение . Вероятность события А, вычисленная при условии, что имеет место событие В, называется условной вероятностью события А при условии появления В и обозначается Р В (А) или Р(А/В).

Теорема Вероятность появления произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло:

Р(А·В)=Р(А)·Р А (В)=Р(В)·Р В (А).(*)

Пример . Ученик дважды извлекает по одному билету из 34. Какова вероятность того, что он сдаст экзамен, если им подготовлено 30 билетов и в первый раз вынут неудачный билет?

Решение : Пусть событие А состоит в том, что в первый раз достался неудачный билет, событие В – во второй раз вынут удачный билет. Тогда А·В – ученик сдаст экзамен (при указанных обстоятельствах). События А и В зависимы, т.к. вероятность выбора удачного билета со второй попытки зависит от исхода первого выбора. Поэтому используем формулу (6):

Р(А·В) = Р(А)·РА(В) = (4/34)*(30/33)= 20/187

Заметим, что полученная в решении вероятность ≈0,107. Почему так мала вероятность сдачи экзамена, если выучено 30 билетов из 34 и дается две попытки?!

Теорема . (Расширенная теорема сложения ) Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления (произведения):

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В).

Пример . Два студента решают задачу. Вероятность того, что первый студент решит задачу (событие А), равна 0,9; вероятность того, что второй студент решит задачу (событие В), равна 0,8. Какова вероятность того, что задача будет решена?

При отыскании вероятностей событий использовалось классическое определение вероятности.

Часто бывает так, что вероятность некото-рого события можно найти, зная вероятности других событий, связанных с этим со-бытием.

Теорема сложения вероятностей.

?Теорема 2.6. (Теорема сложения вероятностей ). Вероят-ность суммы (объедине-ния; появления одного из них, безраз-лично какого) двух произвольных событий равна сумме вероят-ностей этих событий за вычетом вероятности их совместного появле-ния, т.е. P (A +B ) = P (A ) + P (B ) - P (AB ).

Следствие 1. Вероятность суммы (объединения) попарно не-совместных событий равна сумме их вероятностей, т.е. P (A 1 +A 2 +...+A n ) = = P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n ).

Следствие 2. Пусть A 1 , A 2 , ... , A n - полная группа попарно несовместных собы-тий. Тогда P (A 1)+P (A 2)+ ... +P (A n ) = 1.

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных собы-тий равна единице, т.е. P (A ) + P (`A ) = 1.

Пример 2.10. В урне 5 белых, 6 черных и 9 красных шаров. Какова вероятность того, что первый наугад вынутый шар окажется черным или красным?

Решение. Здесь имеется всего 20 элементарных исходов, из кото-рых появлению черного шара бла-гоприятствует 6, а появлению крас-ного - 9. Поэтому вероятность со-бытия A - появление черного шара: P (A ) = 6/20, а вероятность события B - появление красного шара: P (A ) = 9/20. Поскольку собы-тия A и B несовме-стны (вынимается всего один шар), то P (A +B ) = P (A ) + P (B ) = 6/20 + 9/20 = 0,75. Ответ : 0,75.

? Условная вероятность события B (P A (B)) - вероятность события B, вычислен-ная при условии, что событие A уже про-изошло . Если A и B - независимые события, то P A (B ) = P (B ), P B (A ) = P (A ).

Теорема умножения вероятностей.

?Теорема 2.7. (Теорема умножения вероятностей ). Вероят-ность произведения (пе-ресечения; совместного появления) двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при усло-вии, что первое собы-тие уже наступило, т.е. P (AB ) = P (A )·P A (B ) = P (B )·P B (A ).

Пример 2.11. На полке стоят 11 научно-популярных книг и 5 ху-дожественных. Какова вероят-ность того, что две подряд наугад взятые книги окажутся художественными?

Решение. Рассмотрим два события B 1 и B 2: B 1 - при первом испы-та-нии взята художественная книга, B 2 - при втором испытании взята ху-дожественная книга. По теореме 2.7 вероятность такого собы-тия равна P (B 1 B 2)=P (B 1)·P B 1 (B 2). Вероятность события B 1 P (B 1) = 5/16. По-сле первого испытания на полке останется 15 книг, из которых 4 ху-доже-ственные, по-этому условная веро-ятность P B 1 (B 2) = 4/15. Отсюда искомая вероятность равна: P (B 1 B 2) = . Ответ : 1/12.

Следствие 1. Вероятность совместного появления несколь-ких событий равна про-изведению вероятности одного из них на условные вероят-ности всех остальных, при-чем вероятность ка-ждого последующего события вычис-ляют при условии, что все предыдущие события уже наступили, т.е. P (A 1 ·A 2 ·...·A n ) = P (A 1)·P A 1 (A 2) P A 1A 2 (A 3). · ... ·P A 1 A 2… An -1 (A n ).

Пример 2.12. Из десяти карточек составлено слово «МАТЕМА-ТИКА». Из них школьник нау-дачу выбирает поочередно четыре кар-точки и приставляет одну к другой. Какова вероятность того, что по-лучится слово «ТЕМА»?

Решение. Введем события A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , состоящие в том, что пер-вая выбранная буква - Т, вторая - Е, тре-тья - М и четвертая - А. Нам нужно найти вероят-ность произведения этих событий. По след-ствию 1 из тео-ремы 2.7 имеем:

P (A 1 ·A 2 ·A 3 ·A 4) = P (A 1)·P A 1 (A 2)·P A 1A 2 (A 3)·P A 1A 2A 3 (A 4) = Ответ : 1/420.

Следствие 2. Если A 1 ,A 2 ,...,A n - независимые события, то ве-роятность их произве-дения (совместного появления) равна про-изведению вероятностей этих собы-тий, т.е. P (A 1 ·A 2 · ... ·A n ) = P (A 1)·P (A 2)· ... ·P (A n ).

Пример 2.13. Два стрелка независимо один от другого де-лают по одному выстрелу по од-ной и той же мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком - 0,7, вторым - 0,8. Какова вероят-ность того, что ми-шень будет поражена?

Решение. Пусть событие А состоит в том, что мишень поразил пер-вый стрелок, а событие В - в том, что ми-шень поразил второй стрелок. По условию Р (А ) = 0,7 и Р (В ) =0,8.

1-й способ . Рассмотрим противоположные события:`A - промах первого стрелка,`B - промах вто-рого. По следствию 3 из тео-ремы 2.6 получаем Р (`A ) = 1-0,7 = 0,3 и Р (`B ) = 1-0,8 = 0,2. Произведение собы-тий `A ·`B означает промах обоих стрелков. По смыслу задачи собы-тия А и В являются незави-симыми, поэтому и противоположные со-бытия`A и`B также будут независимыми. По следствию 2 из теоремы 2.7 получаем вероят-ность того, что оба стрелка промахнутся: Р(`А·`В) = 0,3·0,2 = 0,06. Нас же интересу-ет вероятность противоположного события, состоящего в том, что мишень поражена. По-этому искомую вероят-ность мы находим по следствию 3 из теоремы 2.6: 1 - 0,06 = 0,94.

2-й способ . Искомая событие (мишень будет поражена хотя бы од-ним стрелком) есть сумма собы-тий A и B . По теореме 2.6. P (A +B ) = P (A ) + P (B ) - P (AB ) = 0,7 + 0,8 - 0,7·0,8 = 1,5 - 0,56 = 0,94. Ответ : 0,94.

Пример 2.14 . В студенческой группе 25 человек. Какова вероят-ность того, что дни рождения хотя бы у двоих совпадают?

Решение . Вероятность того, что дни рождения у двух произвольно взятых людей совпадают, равна 1/365 (считаем, что попадания дня рождения на любой день в году - равновозможные случаи). Тогда ве-роятность того, что дни рожде-ния двух людей не совпадают, т.е. веро-ятно-сть противопо-ложного события равна 1-1/365 = 364/365. Вероят-ность того, что день рожде-ния третьего отличается от дней рождения двух предыдущих, составит 363/365 (363 случая из 365 благо-приятст-вуют этому событию). Рассуждая аналогично, находим, что для 25-го члена группы эта веро-ятность равна 341/365. Далее найдем вероят-ность того, что дни рождения всех 25 членов группы не совпадают. По-скольку все эти события (несовпадение дня рождения каждого оче-редного члена группы с днями ро-ждения преды-дущих) независимы, то по следствию 2 из теоремы 2.7 получаем:

P (A 2 A 3 ... A 25) = · · ... · » 0,43.

Это вероятность того, что дни рождения у всех 25 человек не сов-падают. Ве-роятность противопо-ложного события будет вероятностью того, что хотя бы у двоих дни рождения совпадают, т.е. иско-мой веро-ятностью P » 1-0,43 = 0,57. Ответ : » 0,57.

Формула полной вероятно-сти.

?Теорема 2.8. Пусть B 1 , B 2 , …, B n - полная группа попарно не-совместных событий. Ве-роятность события A , которое может наступить лишь при условии наступления од-ного из событий B 1 , B 2 , …, B n , равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность собы-тия A , т.е.

P(A ) = P (B 1)·P B 1 (A ) + P (B 2)·P B 2 (A ) + … + P (B n )·P Bn (A ).

Эта формула называется формулой полной вероятно-сти . События B 1 , B 2 , …, B n , удовлетворяющие условию теоремы 2.8, называют гипотезами .

Пример 2.15. Турист равновероятно выбирает один из трех маршру-тов: конный, водный и горный. Вероятность, что он успешно преодолеет путь при выборе конного способа передвижения, равна 0,75, при выборе водного пути - 0,8, при выборе горного маршрута - 0,55. Найдите вероятность, что турист успешно преодолеет весь путь при любом выборе маршрута.

Решение . Введем события: A - «Турист успешно преодолеет весь путь при любом выборе маршрута», B 1 , B 2 , B 3 - выбран соответственно, конный, водный и горный маршрут. Поскольку выбор маршрута равновероятен, то вероятно-сти выбора каждого маршрута P (B 1) = P (B 2) = P (B 3) = 1/3. По условию P B 1 (A ) = 0,75; P B 2 (A ) = 0,8; P B 3 (A ) = 0,55. Тогда по формуле полной вероятности: P (A ) = P (B 1)·P B 1 (A ) + P (B 2)·P B 2 (A ) + P (B 3)·P B 3 (A ) = (1/3)·0,75 + (1/3) ·0,8 + (1/3)0,55 = 0,7.

Ответ : 0,7.

?Теорема 2.9. Условная вероятность любой гипотезы B i (i = 1, 2, … ,n ) вычисляется по формуле Бейеса :

Формула Бейеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как ста-но-вится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие A .

Пример 2.16. Имеется три набора микросхем, первый из которых содержит 100, второй 300 и тре-тий 600 микросхем. Вероятность того, что микросхема, взятая наугад из первого набора, исправна, равна 0,9, а для второго и третьего наборов - соответственно 0,85 и 0,8. Какова вероятность того, что: а) произвольно взятая микросхема исправна: б) исправная микросхема извлечена из второго на-бора?

Решение . а) В данном случае имеется три гипотезы, вероятности которых P (B 1) = 0,1, P (B 2) = 0,3, P (B 3) = 0,6. Пользуясь формулой полной вероятности, находим P (A ) = P (B 1)·P B 1 (A ) + P (B 2)·P B 2 (A ) + P (B 3)·P B 3 (A ) = 0,1·0,9 + 0,3·0,85 + 0,6·0,8 = 0,825.

б) Допустим, что искомое событие A произошло - извлечена ис-правная микросхема. Найдем ве-ро-ятность P A (B 2) того, что эта микро-схема извлечена из второго набора. Согласно формулы Бейеса,

Ответ : а) 0,825; б) 17/55.

Пример 2.17. Из 10 учеников, которые пришли на экзамен по ма-тематике, трое подготовились от-лично, четверо - хорошо, двое - удовлетворительно, а один совсем не готовился. В билетах 20 вопро-сов. Отлично подготовившиеся ученики могут ответить на все 20 во-просов, хорошо - на 16 вопросов, удовлетворительно - на 10, и непод-готовившийся - на 5 вопросов. Каждый ученик получает наугад 3 во-проса из 20. Ученик, приглашенный первым, ответил на все 3 вопроса. Какова вероятность того, что он отличник?

P A (B 1). По фор-муле Бейеса P A (B 1) = » 0,58.

Как видим, искомая вероятность сравнительно не велика, Поэтому учителю придется предложить ученику еще несколько дополнитель-ных вопросов. Ответ : 0,58.