ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ
ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Цель работы : определить момент инерции физического маятника в виде стержня с грузами по периоду собственных колебаний.
Оборудование : маятник, секундомер.
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
Момент инерции твердого тела – это мера инертности тела при его вращательном движении. В этом смысле он является аналогом массы тела, которая является мерой инертности тела при поступательном движении. Согласно определению, момент инерции тела равен сумме произведений масс частиц тела m i на квадраты их расстояний до оси вращения r i 2:
,
или 
.
(1)
Момент инерции зависит не только от массы, но и от ее распределения относительно оси вращения. Как видно, инертность при вращении тела тем больше, чем дальше от оси расположены частицы тела.
Существуют различные экспериментальные методы определения момента инерции тел. В работе предлагается метод определения момента инерции по периоду собственных колебаний исследуемого тела как физического маятника. Физический маятник – это тело произвольной формы, точка подвеса которого расположена выше центра тяжести. Если в поле тяжести маятник отклонить от положения равновесия и отпустить, то под действием силы тяжести маятник стремится к положению равновесия, но, достигнув его, по инерции продолжает движение и отклоняется в противоположную сторону. Затем процесс движения повторяется в обратном направлении. В итоге маятник будет совершать вращательные собственные колебания.
Для вывода формулы периода собственных колебаний применим основной закон динамики вращательного движения. Угловое ускорение тела прямо пропорционально моменту силы и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения:
= 
. (2)
М
омент силы по определению равен произведению силы на плечо силы. Плечо силы – это перпендикуляр, опущенный из оси вращения на линию действия силы. Для маятника (рис. 1а) плечо силы тяжести равно d
= а
sin
,
где а
– расстояние между осью вращения и центром тяжести маятника. При малых колебаниях маятника угол отклонения
сравнительно мал, а синусы малых углов с достаточной точностью равны самим углам. Тогда момент силы тяжести можно определить по формуле М=−
mg
а∙
. Знак минус обусловлен тем, что момент силы тяжести противодействует отклонению маятника.
Так как угловое ускорение – это вторая производная от угла поворота по времени, то основной закон динамики вращательного движения (1) принимает вид
.
(3)
Это дифференциальное уравнение второго порядка. Его решением должна быть функция, превращающая уравнение в тождество. Такой функцией может быть функция синуса
= 0 sin ( t + ). (4)
При этом циклическая частота равна 
. Циклическая частота связана с периодом колебаний, то есть временем одного колебания, соотношением T
=
2
/
.
Отсюда
. (5)
Период колебаний Т и расстояние от оси вращения до центра тяжести маятника а измерить можно. Тогда из (5) момент инерции маятника относительно оси вращения С может быть определен экспериментально по формуле
. (6)
Маятник, момент инерции которого определяется в работе, представляет собой стержень с надетыми на него двумя дисками. Теоретически момент инерции маятника можно определить как сумму моментов инерции отдельных частей. Момент инерции дисков можно рассчитать по формуле момента инерции материальной точки, так как они невелики по сравнению с расстоянием до оси вращения: 
,
.
Момент инерции стержня относительно оси, находящейся на расстоянии b
от середины стержня, можно определить по теореме Штейнера 
. В итоге суммарный момент инерции маятника можно рассчитать по формуле
. (7)
Здесь m 1 , m 2 и m 0 – массы первого, второго дисков и стержня, l 1 , l 2 – расстояния от середин дисков до оси вращения, l 0 – длина стержня.
Расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника а , необходимое для определения момента инерции в формуле (6), можно определить экспериментально, используя понятие центра тяжести. Центр тяжести тела – это точка, к которой приложена равнодействующая сила тяжести. Поэтому если маятник положить горизонтально на опорную призму, расположенную под центром тяжести, то маятник будет в равновесии. Затем достаточно измерить расстояние от оси С до опорной призмы.
Но можно определить расстояние а расчетом. Из условия равновесия маятника на призме (рис. 1б) следует, что момент результирующей силы тяжести относительно оси С равен сумме моментов сил тяжести грузов и стержня: (m 1 + m 2 + m 0)g а = m 1 gl 1 + m 2 gl 2 + m 0 gb . Откуда получим
. (8)
ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
1. Взвешиванием на весах определить массы дисков и стержня. Расположить на стержне и закрепить диски. Измерить расстояния от оси вращения до середин дисков l 1 , l 2 и до середины стержня b , длину стержня l 0 по сантиметровым делениям на стержне. Результаты измерений записать в табл. 1.
Включить установку в сеть 220 В, нажать кнопку «Сеть».
Таблица 1
Масса 1 го диска m 1 , кг | |
Масса 2 го диска m 2 , кг | |
Масса стержня m 0 , кг | |
Расстояние l 1 , см | |
Расстояние l 2 , см | |
Длина стержня l 0 , см | |
Расстояние до оси b , см |
Выключить установку.
3. Произвести расчеты в системе СИ. Определить среднее значение <Т > периода колебаний. Определить расстояние а от оси до центра тяжести маятника по формуле (8), или положить маятник на опорную призму так, чтобы он находился в равновесии, и по делениям на стержне измерить расстояние а .
4. Определить экспериментальное среднее значение момента инерции маятника <J экс > по формуле (6) по среднему значению периода колебаний <T >.
Таблица 2
Т 1 , с | Т 2 , с | Т 3 , с | <T >,с | J теор , кг∙м 2 |
||
5. Определить теоретическое значение момента инерции маятника J теор по формуле (7).
6. Сделать вывод, сравнив теоретическое и экспериментальное значения момента инерции маятника. Оценить погрешность измерения J =< J эксп > – J теор .
7. Записать ответ в виде: J эксп = < J > J .
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дайте определение физического маятника, объясните, почему возможны собственные колебания маятника.
2. Запишите основной закон динамики вращательного движения для физического маятника.
3. В каком виде ищут функцию, являющуюся решением дифференциального уравнения динамики для физического маятника. Проверьте, будет ли эта функция решением.
4. Запишите формулу для периода колебаний физического маятника. Как изменится период колебаний, если нижний диск сместить еще ниже?
5. Дайте определение момента инерции. Выведите формулу для определения теоретического значения момента инерции маятника.
6. Дайте определение центра тяжести. Выведите формулу для расчета положения центра масс. Как экспериментально можно определить положение центра масс маятника?
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ
Цель работы : определить скорость звука в воздухе и длину волны методом фигур Лиссажу, определить показатель адиабаты.
Оборудование : звуковой генератор, трубка с телефоном и микрофоном, осциллограф, нагреватель.
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
Звук – это волны в упругой среде. В газах звуковые волны − это процесс распространения областей сжатия – разрежения.
Рассмотрим распространение звуковой волны в газе. Пусть мембрана телефона, находящаяся у основания воображаемой трубки с площадью сечения S , начала движение с дозвуковой скоростью U . Частицы газа, прилегающие к мембране, приходят в движение с такой же скоростью. Воздух перед мембраной сжимается и сжимает последующие слои газа. Граница между сжатым и невозмущенным газом, называемая фронтом, перемещается со скоростью звука V (рис. 1).
Применим для определения скорости звука уравнение второго закона Ньютона для движущейся массы газа: изменение импульса газа равно импульсу силы со стороны мембраны:
dm
U
=
F
dt
. Массу газа определим как произведение плотности на объем: dm
=
dL
∙
S
,
а
силу давления мембраны на газ как повышение давления на площадь: F
=
dp
∙
S
.
Примем, что отношение скоростей мембраны и фронта пропорционально отношению проходимых ими расстояний: 
, которое, в свою очередь, равно относительному изменению плотности газа. Подставив полученные преобразования в уравнение второго закона Ньютона, произведя замену dL
=
Vdt
, получим уравнение 
. Вследствие кратковременности процессы сжатия – разрежения газа в звуковой волне происходят адиабатически, без теплообмена между нагретой областью сжатия и охлажденной областью разрежения. Поэтому применим уравнение Пуассона 
. Дифференцируя 
и подставляя, получим
. (1)
Здесь R = 8,31 Дж/ моль∙К – газовая постоянная, Т – абсолютная температура, М = 28,9 10 –3 кг/моль – масса моль воздуха, = 1,4 – показатель адиабаты для двухатомных газов.
Запишем уравнение волны. Это уравнение зависимости параметра ψ
(давления, смещения и т.д.)
в некоторой точке пространства от времени и расстоянии Z
до источника. Если колебания источника происходят по уравнению 
, то частицы среды начинают колебания позже, чем источник, на время распространения волны 
. Тогда уравнение волны примет вид
. (2)
Д
ля экспериментального определения скорости звука в воздухе в данной работе используется метод фигур Лиссажу. Фигура Лиссажу− это повторяющаяся траектория движения точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях. Она возникает, если соотношение частот равно отношению целых чисел.
В лабораторной установке на экране осциллографа наблюдается сложение электрических колебаний одинаковой частоты от телефона как источника звука, и от приемника – микрофона, которые подаются соответственно на горизонтальный x и вертикальный y входы осциллографа (рис. 2).
Рассмотрим частные случаи сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты.
Пример
1. Пусть разность фаз кратна целому числу 2
радиан, так что колебания происходят по уравнениям: x
=
A
1
cos 2
t
,
y
=
A
2
cos
(2
t
+
2πк
) =
A
2
cos 2
t
.
Для получения уравнения траектории (фигуры Лиссажу) в явном виде y
(x
) исключим время t
,
например поделив уравнения. В результате получим 
. Это уравнение прямой линии (рис.3), проходящей через 1−3 квадранты в прямоугольнике со сторонами 2А
2 –2А
1 .
Пример
2. Пусть разность фаз кратна нечетному числу
радиан, так что х=
A
1
cos
2
t
,
y
=
A
2
sin
2
t
.
Исключим время t
по соотношению . В результате получим для фигуры Лиссажу уравнение эллипса: 
, вписанного в прямоугольник 2А
2 – 2А
1 .
К
ак видно, фигура Лиссажу зависит от разности фаз (рис.3).
При постоянном расстоянии между микрофоном и телефоном Z разность фаз слагаемых колебаний и фигура на экране осциллографа зависит частоты
или 
. (3)
Превращение эллипса опять в эллипс или прямой
в такую же прямую линию происходит, если разность фаз возрастает на целое число 2
радиан, то есть 
, где k
=
0,1,2,3 –
целое число (оно равно увеличению числа длин волн в трубке). Подставив в уравнение (3) условие повторения фигуры Лиссажу, получим
или 
(4)
ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
Установка 1
3. Плавно изменяя частоту генератора, наблюдать превращение фигуры Лиссажу, как показано на рис. 3. Получить изображение исходной фигуры. Записать в таблицу возрастание числа k над исходным k 0 и соответствующую частоту генератора. Опыт повторить не менее пяти раз.
k − k 0 | |||||
ν , Гц |
4. Построить график зависимости частоты генератора при повторении фигуры от числа k − k 0 . Размер графика не менее половины страницы. На осях нанести равномерный масштаб. Около точек провести прямую линию (рис. 4).
5. Определить среднее значение скорости звука по угловому коэффициенту экспериментальной прямой. Для этого на экспериментальной линии как на гипотенузе построить прямоугольный треугольник (рис. 4). По координатам вершин треугольника определить среднее значение скорости
. (5)
6
. Оценить случайную погрешность измерения 
. Записать результат V
=<
V
>±
δV
,
P
=
0,9.
7. Сравнить с теоретическим значением скорости звука в воздухе, рассчитанным по формуле (1). Сделать выводы.
Установка 2
Работа производится так же, как на установке 1. При постоянной частоте генератора изменяется расстояние между телефоном и микрофоном. Скорость звука определяется по формуле 
.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Объясните процесс распространения звука в газах. Дайте понятие фронта волны.
2. Запишите формулу для скорости звуковых волн в газах. Объясните, почему процесс сжатия – разрежения газа в звуковой волне происходит адиабатически.
3. Запишите уравнение плоской волны. Дайте понятие фазы.
4. Дайте определение фигуры Лиссажу. Выведите уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты, при разности фаз 2π k радиан.
5. Выведите уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты, при разности фаз /2 рад.
6. При каком наименьшем изменении частоты генератора фигура Лиссажу принимает первоначальный вид.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОЕМКОСТИ ВОЗДУХА
Цель работы: познакомиться с процессом изобарического нагревания воздуха, определить молярную теплоемкость воздуха при изобарическом нагревании.
Оборудование : нагреватель, компрессор, термопара с мультиметром, блок питания, амперметр и вольтметр.
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
Теплоемкость – это теплофизический параметр веществ, определяемый как количество теплоты, необходимое для нагревания некоторой массы вещества на один Кельвин. Если масса вещества равна одному килограмму, то теплоемкость называется удельной теплоемкостью, если масса равна одному моль, то – молярной теплоемкостью. По определению молярная теплоемкость равна
. (1)
Здесь ν =
– количество вещества в моль, m
– масса, M
– масса одного моль, dQ
– количество теплоты, достаточной для повышения температуры на dT
. Для газов, в отличие от твердых и жидких тел, теплоемкость зависит от вида происходящего с газом термодинамического процесса нагревания. Это связано с тем, что, согласно первому началу термодинамики
, (2)
теплота расходуется не только на повышение внутренней энергии dU , то есть на повышение температуры, но и на работу изменения объема газа. В отличие от твердых и жидких тел изменение объема может быть сравнительно большим и зависит от вида термодинамического процесса. Поэтому величина работы сил давления и количество теплоты, необходимое для нагревания газа, также зависит от вида процесса.
Рассмотрим нагревание идеального газа. Идеальный газ – это газ, собственный объем молекул которого ничтожно мал по сравнению с объемом сосуда, и потенциальная энергия взаимодействия молекул отсутствует. Воздух при нормальных условиях можно считать идеальным газом.
Приизохорическом нагревании газа изменения объема нет, работы нет, и теплота идет только на повышение внутренней энергии, dQ
=
dU
. Для идеального газа, согласно молекулярно-кинетической теории, внутренняя энергия – это кинетическая энергия молекул 
. Откуда молярная теплоемкость при изохорическом нагревании идеального газа равна 
.
Приизобарическом нагревании газа в условиях постоянного давления дополнительно часть теплоты расходуется на работу изменения объема 
. Поэтому полученное количество теплоты (dQ
=
dU
+
dA
) будет равно 
. Сравнивая с формулой (1), получим, что молярная теплоемкость при изобарическом нагревании
В формулах теплоемкости R – универсальная газовая постоянная, i – число степеней свободы молекулы газа. Это число независимых координат, необходимых для определения положения молекулы в пространстве. Или это число компонент энергии, которыми обладает молекула. Например, для одноатомной молекулы это составляющие кинетической энергии при поступательном движении относительно трех координатных осей, i = 3. Для двухатомной молекулы добавляются еще кинетические энергии вращательного движения относительно двух осей, так как относительно третьей, проходящей через оба атома, момент инерции и энергия отсутствуют. В итоге двухатомная молекула имеет 5 степеней свободы. Точно так же и для воздуха, состоящего в основном из двухатомных молекул кислорода и азота.
Экспериментальное измерение молярной теплоемкости воздуха производится с помощью калориметра. В калориметре воздух нагревается при постоянном давлении, равном атмосферному. Измерение температуры при нагреве производится с помощью термопары, подсоединенной к мультиметру. Для повышения точности измерений следует нагревать большую массу воздуха. Поэтому с помощью компрессора воздух непрерывной струей пропускается через калориметр (рис. 1).
Нагреватель калориметра подключен к блоку питания. Потребляемая мощность определяется по показаниям вольтметра и амперметра N = J U. Когда после включения установки наступит тепловое равновесие и температура воздуха, выходящего из калориметра, перестанет изменяться, подводимая от электронагревателя тепловая мощность N расходуется на нагрев поступающего в калориметр воздуха и частично на теплопередачу q через стенки калориметра. Поэтому уравнение теплового баланса имеет вид
. (3)
Здесь m – секундный расход воздуха через калориметр, DT – повышение температуры воздуха после прохождения через калориметр.
Для исключения неизвестной мощности тепловых потерь q
нужно провести опыты при разном расходе воздуха, но при одинаковом повышении температуры. При этом мощность тепловых потерь будет одинакова, потому что теплопередача через стенки пропорциональна перепаду температур. Согласно уравнению (3), подводимая к калориметру тепловая мощность, при постоянном повышении температуры воздуха Δ Т
, зависит от секундного расхода воздуха линейно, и поэтому график – прямая линия. Угловой коэффициент линии равен 
. Его можно определить экспериментально по графику как отношение катетов прямоугольного треугольника, построенного на экспериментальной линии, по координатам его вершин А
и В
. Откуда получим
. (4)
ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
1. Измерить температуру воздуха в лаборатории термометром. Включить калориметр в сеть 220 В, установить переменным резистором компрессора сравнительно большой расход воздуха.
2. Установить переменным резистором нагревателя такую мощность, чтобы после установления теплового равновесия (3 мин) температура воздуха выходящего из калориметра повысилась бы на 30–50 К. Измерить температуру воздуха, определить по шкале резистора компрессора расход воздуха. Записать в таблицы повышение температуры, расход воздуха, показания амперметра и вольтметра.
3. Уменьшить расход воздуха примерно на одну пятую часть от начального и синхронно уменьшить мощность нагревателя так, чтобы температура воздуха на выходе из калориметра оставалась одинаковой. Эта часть работы требует терпения, плавности регулировки. Результаты измерений расхода воздуха, силы тока и напряжения записать в таблицу. Опыт провести не менее пяти раз во всем диапазоне расхода воздуха.
Повышение температуры D Т , К | ||||||
Расход воздуха m , г/с | ||||||
Сила тока I , А | ||||||
Напряжение U , В | ||||||
Мощность N = IU , Вт | ||||||
Выключить питание мультиметров. Выключить установку.
4. Произвести расчеты. Определить мощность, потребляемую электронагревателем, N = I U . Записать в таблицу.
5. Построить график зависимости потребляемой мощности от расхода воздуха N (m ). Размер графика не менее половины страницы. На осях координат нанести равномерный масштаб. Около точек провести прямую линию так, чтобы сумма отклонений точек была минимальной.
6. Построить на экспериментальной линии как на гипотенузе прямоугольный треугольник (рис. 2). Определить координаты вершин А и В треугольника. По формуле (4) рассчитать среднее значение молярной теплоемкости <C P >. Принять значение массы моля воздуха равным 28,9 10 -3 кг/моль.
7. Оценить графическим методом случайную погрешность измерения молярной теплоемкости. Для этого провести на графике параллельно экспериментальной прямой две близкие линии так, чтобы все точки кроме промахов были между ними. Определить расстояние между линиями σ N . Произвести расчет по формуле
. (5)
8. Записать результат в виде С Р = < C P > ± d C P , P = 90%. Сравнить с теоретическим значением, рассчитанным по формуле (3), при R = 8,31 Дж/моль К, i = 5.
Сделать выводы.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дайте определение молярной теплоемкости вещества.
2. Сформулируйте первое начало термодинамики. Запишите формулы для теплоты, работы, внутренней энергии идеального газа.
3. Выведите формулы для молярной теплоемкости идеального газа при изохорическом и изобарическом нагревании.
4. Запишите уравнение теплового баланса для калориметра.
5. Объясните, почему тепловые потери через стенки калориметра не влияют на измерение теплоемкости.
6. Объясните, почему в установке воздух должен непрерывной струей проходить через калориметр.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ АДИАБАТЫ
Цель работы : познакомиться с адиабатическим процессом, определить показатель адиабаты для воздуха.
Оборудование : баллон с клапанома, компрессор, манометр.
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
Адиабатический процесс – это процесс, протекающий в термодинамической системе без теплообмена с окружающей средой. Термодинамической системой является система, содержащая огромное количество частиц. Например газ, число молекул которого сравнимо с числом Авагадро 6,02∙10 23 1/моль. Хотя движение каждой частицы подчиняется законам Ньютона, но их так много, что состояние системы характеризуют макроскопическими параметрами, такими как давление P , объем V , температура T .
Согласно первому началу термодинамики, являющемуся законом сохранения энергии в термодинамических процессах, теплота Q , подводимая к системе, расходуется на совершение работы А и на изменение внутренней энергии Δ U
Q = A + U . (1)
В применении к идеальному газу теплота, подводимая к газу приводит к изменению температуры: 
, где
=
m
/
M
– количество газа, равное отношению массы к массе одного моля, С
− молярная теплоемкость, зависящая от вида процесса. Внутренняя энергия идеального газа − это кинетическая энергия всех молекул, она равна 
, где C
v
– молярная теплоемкость при изохорическом нагревании. Работа элементарного изменения объема силами давления равна произведению давления на изменение объема:
dA
= PdV
.
Для адиабатического процесса, происходящего без теплообмена (Q = 0), работа совершается за счет изменения внутренней энергии, A = − U . При адиабатическом расширении работа газа положительна, поэтому внутренняя энергия и температура понижаются. При сжатии – наоборот. Все быстро протекающие процессы можно достаточно точно считать адиабатическими.
Выведем уравнение
адиабатического процесса идеального газа. Для этого применим уравнение первого начала термодинамики для элементарного адиабатического процесса dA
= −
dU
,
которое
принимает вид
Р
dV
=−
С
v
dT
. Применим еще одно уравнение, полученное дифференцированием уравнения Менделеева – Клапейрона (PV
=ν
RT
)
: PdV
+
VdP
=
R
dT
.
Исключая один из параметров, например, температуру, получим соотношение для двух других параметров 
. Интегрируя и потенцируя, получим уравнение адиабаты через давление и объем: P
V
=
const
.
Аналогично для других пар параметров:
T V -1 = const, P -1 T -- = const . (2)
Здесь 
– показатель адиабаты, равный отношению теплоемкостей газа при изобарическом и изохорическом нагревании. Получим формулу для показателя адиабаты в молекулярно-кинетической теории. Молярная теплоемкость по определению это количество теплоты, необходимое для нагревания одного моль вещества на один Кельвин 
. При изохорическом нагревании теплота расходуется на повышение внутренней энергии 
. Подставив теплоту, получим 
. Тогда показатель адиабаты может быть определен теоретически по формуле
. (3)
Здесь i – число степеней свободы молекул газа. Это число координат, достаточное для определения положения молекулы в пространстве или число составляющих компонентов энергии молекулы. Например, для одноатомной молекулы кинетическая энергия может быть представлена как сумма трех компонентов энергии, соответствующих движению вдоль трех осей координат, i = 3. Для жесткой двухатомной молекулы следует добавить еще два компонента энергии вращательного движения, так как энергия вращения относительно третьей оси, проходящей через атомы, отсутствует. Итак, для двухатомных молекул i = 5. Для воздуха как для двухатомного газа теоретическое значение показателя адиабаты будет равно = 1,4.
Показатель адиабаты можно определить экспериментально методом Клемана – Дезорма. В баллон нагнетают воздух, сжимая до некоторого давления Р 1 , немного больше атмосферного. При сжатии воздух несколько нагревается. После установления теплового равновесия баллон на короткое время открывают. В этом процессе расширения 1–2 давление падает до атмосферного Р 2 =Р атм , а исследуемая масса газа, которая до этого занимала часть объема баллона V 1 , расширяется, занимая весь баллон V 2 (рис.1). Процесс расширения воздуха (1−2) происходит достаточно быстро, его можно считать адиабатическим, происходящим по уравнению (2)
. (4)
В адиабатическом процессе расширения воздух охлаждается. После закрытия клапана охлажденный воздух в баллоне через стенки баллона нагревается до температуры лаборатории Т 3 = Т 1 . Это изохорический процесс 2–3
. (5)
Решая совместно уравнения (4) и (5), исключая температуры, получим уравнение, связывающее давления: 
, из которого следует определить показатель адиабаты γ
. Датчик давления измеряет не абсолютное давление, которое записано в уравнениях процессов, а избыточное над атмосферным давлением. То есть Р
1 = ΔР
1 + Р
2 , и Р
3 =
ΔР
3 +Р
2 . Переходя к избыточным давлениям, получим 
. Избыточные давления невелики по сравнению с атмосферным давлением Р
2 . Разложим члены уравнения в ряд по соотношению 
. После сокращения на Р
2 получим для показателя адиабаты расчетную формулу
. (6)
Лабораторная установка (рис.2) состоит из стеклянного баллона, который сообщается с атмосферой через клапан «Атмосфера». Воздух накачивается в баллон компрессором при открытом кране «К». После накачивания, во избежание утечки воздуха, кран закрывают.
ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
1. Включить установку в сеть 220 В.
Открыть кран баллона. Включить компрессор, накачать воздух до избыточного давления в диапазоне 4 –11 кПа. Закрыть кран баллона. Выждать 1,5 –2 мин, записать величину давления ΔР 1 в таблицу.
ΔР 1 , кПа | |||||
ΔР 3 , кПа | |||||
Повторить опыт не менее пяти раз, изменяя исходное давление в диапазоне 3–11 кПа.
Выключить установку.
3. Произвести расчеты. Определить показатель адиабаты в каждом опыте по формуле (6). Записать в таблицу. Определить среднее значение показателя адиабаты <γ >
4. Оценить случайную погрешность измерения по формуле для прямых измерений
. (7)
5. Записать результат в виде: = . Р = 0,9. Сравнить результат с теоретическим значением показателя адиабаты двухатомного газа теор = 1,4.
Сделать выводы.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дайте определение адиабатического процесса. Запишите первое начало термодинамики для адиабатического процесса. Объясните изменение температуры газа при адиабатических процессах сжатия и расширения.
2. Выведите уравнение адиабатического процесса для параметров давление – объем.
3. Выведите уравнение адиабатического процесса для параметров давление – температура.
4. Дайте определение числа степеней свободы молекул. Как зависит внутренняя энергия идеального газа от вида молекул?
5. Как осуществляются процессы с воздухом в цикле Клемана – Дезорма, как изменяются давления и температуры в процессах?
6. Выведите расчетную формулу для экспериментального определения показателя адиабаты.
Вводное занятие 3
Работа 1. Изучение удара тел 13
Работа 2. Определение скорости пули баллистическим методом 18
Работа 3. Исследование движения тел в поле тяжести 22
Работа 4. Изучение динамики вращательного движения 27
Работа 5. Определение скорости пули крутильным маятником 32
Работа 6. Определение момента инерции тел 37
Работа 7. Изучение прецессии гироскопа 42
Работа 8. Изучение плоского движения при качении тел 47
Работа 9. Изучение плоского движения маятника Максвелла 52
Работа 10. Изучение затухающих колебаний 57
Работа 11. Изучение вынужденных колебаний 62
Работа 12. Изучение сложения колебаний 67
Работа 13. Определение момента инерции физического маятника 71
Работа 14. Определение скорости звука в воздухе 76
Работа 15. Определение теплоемкости воздуха 81
Работа 16. Определение показателя адиабаты 86
Механика
Учебно-методическое пособие
к лабораторным занятиям
Составитель Шушарин Анатолий Васильевич
Редактор Л. Л. Шигорина
Работам предназначено...
Сведения о научной и учебно-методической литературе опубликованной сотрудниками игу в 2008 году
Документ... 2008 И.А. Коваленко (шт.) Учебно -методическое пособие для подготовки к семинарским занятиям ... Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2008 . - № ... Челябинского гос. пед. ун-та. Сер. Педагогика и психология. – 2008 ... Е.А. // Лабораторна діагностика. – 2008 . – ...
Учебно-методический комплекс по дисциплине конфликтология
Рабочая программа... пособий , методических указаний по проведению конкретных видов учебных занятий , а также методических материалов к используемым в учебном ... человек. М., 2008 ; Чумиков А.Н. ... механиков ... Челябинской ... учебном процессе по дисциплине основного учебно -лабораторного ...
6.11. Физический маятник
Твердое тело произвольной формы, свободно совершающее колебания вокругнеподвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс, называют физическим маятником .
Согласно определению, физический маятник при колебаниях имеет одну степень свободы, т.е. действительно является одномерным гармоническим классическим осциллятором (рис. 6.14, где точка 0 называется осью качаний, а точка 0 * - центром качания физического маятника, точка C - центр масс).
При гармонических колебаниях угол отклонения от положения равновесия q мал и составляет не более трех-пяти градусов, что позволяет в некоторых случаях полагатьsin q » q (если угол q брать в радианах, а не в градусах), а сами колебания считать гармоническими и изохронными, т.е. их период или частота не зависят от амплитуды колебания.
Сначала напишем дифференциальное уравнение колебаний физического маятника. Для этого рассмотрим, какие на него действуют силы. Силу трения в точке подвеса 0 (ось Z ) физического маятника не учитываем. На физический маятник при колебаниях действуют сила тяжестиG и нормальная реакция опоры F (рис. 6.14). Для нахождения результирующей силы разложим силу тяжести на две взаимно перпендикулярные силы: G ^ = mg· sin q и G || = mg· cos q (рис. 6.14). Тогда силы нормальной реакции опоры и параллельная составляющая силы тяжести взаимно компенсируют другдруга (третий закон Ньютона). Поэтому силой, заставляющей физический маятник продолжать совершать гармонические колебания, остается перпендикулярная составляющая силы тяжести, которую часто называют возвращающей силой.
Такой же результат можно получить, если сложить вектор силы тяжести и вектор силы нормальной реакции опоры по правилу параллелограмма. (Представляем читателю выполнить эту операцию самостоятельно).
Из динамики вращательного движения (5.17 ) следует , что в этом случае на физический маятник (как любое твердое тело) действует момент силы М относительно оси Z, равный произведению момента инерции тела I на угловое ускорение e относительно этой же оси:
| M = I ×e , |
(6.33) |
где
| . |
(6.34) |
Момент силы М равен произведению составляющей силы тяжести G ^ на плечо ℓ :
где sin q » q ,что отмечалось выше. Подставим значения выражений (6.34) и (6.35) в формулу (6.33):
Таким образом, получили однородное дифференциальное уравнение второго порядка, характеризующее колебания физического маятника.
Его решением является функция q = q 0 сos (w t + j o ), где q 0 - амплитудное значение угла q отклонения маятника от положения равновесия при его колебаниях.
Нетрудно показать, что любое движения твердого тела (например, движение космонавта на тренировочных центрифугах и т.д.) может быть представлено как наложение двух простых видов движения: поступательного и вращательного.
При поступательном движении все точки тела получают за одинаковые промежутки времени равные по величине и направлению перемещения, вследствие чего скорости и ускорения всех точек в каждый момент времени оказываются одинаковыми.
При вращательном движении все точки твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Для вращательного движения нужно задать положение в пространстве оси вращения и угловую скорость тела в каждый момент времени.
Представляет интерес сопоставление основных величин и формул механики вращающегося твердого тела и поступательного движения материальной точки. Для удобства такого сопоставления в таблице 1 слева приведены величины и основные соотношения для поступательного движения, а справа - аналогичные для вращательного движения.
Таблица 1
| Поступательное движение | Вращательное движение |
| S - путь - линейная скорость - линейное ускорение m - масса тела - импульс тела - сила Основной закон динамики: Кинетическая энергия: - работа | - поворот - угловая скорость - угловое ускорение J - момент инерции - момент импульса - момент силы Основной закон динамики: Кинетическая энергия: - работа |
Из таблицы видно, что переход в соотношениях от поступательного движения к вращательному осуществляется заменой скорости - на угловую скорость, ускорения - на угловое ускорение и т.д.
В данной работе рассматривается плоское движение, т.е. такое, при котором под действием внешних сил все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. Примером плоского движения может служить качение цилиндра по плоскости.
Это движение можно представить как сумму двух движений - поступательного со скоростью и вращательного с угловой скоростью .
Назвав систему отсчета, относительного которой мы рассматриваем сложное движение твердого тела, неподвижной, движение тела можно представить как вращение с угловой скоростью . В системе отсчета, которая движется относительно неподвижной системы поступательно со скоростью .
Таким образом, ускорение каждой точки тела складывается из ускорения поступательного движения и ускорения при вращении вокруг оси, проходящей через центр масс. Ускорение поступательного движения одинаково для всех точек тела и равно
где - момент всех внешних сил относительно оси, проходящей через центр масс тела,
- момент инерции тела относительно той же оси.
В данной работе плоское движение тела изучается на примере движения маятника Максвелла.
Маятник Максвелла состоит из плоского металлического стержня - оси AB с симметрично закреплены на нем диском С (рис. 1). К концам оси прикреплены две нити, предварительно намотанные на ось. Противоположные концы нитей закреплены на верхнем кронштейне. Диск опускается под действием силы тяжести на нитях, которые разматываются до полной длины. Диск, продолжая вращательное движение в том же направлении, наматывает нити на ось, вследствие чего он поднимается вверх, замедляя при этом свое вращение. Дойдя до верхней точки, диск опять будет опускаться вниз и т.д. Диск будет совершать колебания вверх и вниз, поэтому такое устройство и называют маятником. Суть работы заключается в измерении момента инерции маятника и сравнение полученных результатов с теоретически рассчитанными по известным формулам.
Составим уравнение поступательного движения маятника без учета сил трения о воздух (см. рис. 1)
где - радиус оси;
Сила натяжения одной нити.
Поступательное и вращательное ускорения связаны соотношением
Из уравнений (4.3), (4.4), (4.5) и (4.6) выразим момент инерции маятника Максвелла:
где - момент инерции оси маятника;
m о - масса оси;
Момент инерции диска маятника;
Внешний радиус диска;
m Д - масса диска;
Момент инерции только сменного кольца;
Внешний радиус кольца;
m к - масса кольца.
ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
Общий вид установки представлен на рис. 2.
На вертикальной стойке основания 1 крепятся два кронштейна: верхний 2 и нижний 3. Верхний кронштейн снабжен электромагнитами и устройством 4 для крепления и регулировки бифилярного подвеса 5. Маятник представляет собой диск 6, закрепленный на оси 7, подвешенной на бифилярном подвесе. На диск крепятся сменные кольца 8. Маятник со сменными кольцами фиксируется в верхнем исходном положении с помощью электромагнита.
На вертикальной стойке нанесена миллиметровая шкала, по которой определяется ход маятника.
Датчик фотоэлектрический 9 представляет собой отдельную сборку, закрепленную с помощью кронштейна 3 в нижней части вертикальной стойки. Кронштейн обеспечивает возможность перемещения фотодатчика вдоль вертикальной стойки и его фиксирования в любом положении в пределах шкалы 0 - 420 мм.
Фотодатчик 9 предназначен для выдачи электрических сигналов на миллисекундомер физический 10. Миллисекундомер выполнен самостоятельным прибором с цифровой индикацией времени. Он жестко закреплен на основании 1.
МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ
Задание 1 . Определить параметры маятника Максвелла.
1. Нарисовать табл. 1.
Таблица 1
| Ось маятника | Диск маятника | Кольца | |||||||
| № | R o , м | L o , м | R Д, м | L Д, м | R к1 , м | R к2 , м | R к3 , м | ||
| Средние значения | |||||||||
| V o = | m o = | V Д = | m Д = | ||||||
2. С помощью штангенциркуля измерить R и L , рассчитать объемы оси и диска V o иV Д.
3. Используя табличные значения плотности металла (алюминия), из которого изготовлены ось и диск, рассчитать значения масс m o иm Д. Полученные результаты занести в табл. 1.
4. Измерить штангенциркулем значения R к (для трех колец) и занести в табл. 1. Определить средние значения.
Задание 2 . Определить момент инерции маятника
1. Нарисовать табл. 2.
2. По шкале, пользуясь указателем кронштейна 3, определить ход маятника h .
Таблица 2
| m к1 = кг; | h = м; | |||||||
| t , с | t ср, с | |||||||
| m к 2 = кг; | ||||||||
| t , с | t ср, с | |||||||
| m к 3 = кг; | ||||||||
| t , с | t ср, с | |||||||
3. Нажать кнопку «Сеть», расположенную на лицевой панели миллисекундомера, при этом должны загореться лампочка фотодатчика и цифровые индикаторы миллисекундомера.
4. Вращая маятник зафиксировать его в верхнем положении при помощи электромагнита, при этом необходимо следить за тем, чтобы нить наматывалась на ось виток к витку.
5. Нажать на кнопку «Сброс» для того, чтобы убедиться, что на индикаторах устанавливаются нули.
6. При нажатии кнопки «Пуск» на миллисекундомере, электромагнит должен обесточится, маятник должен начать раскручиваться, миллисекундомер должен произвести отсчет времени, а в момент пересечения маятником оптической оси фотодатчика счет времени должен прекратиться.
7. Испытания по пунктам 4 - 6 провести не менее пяти раз и определить среднее значение времени t .
8. Определить момент инерции маятника по формуле (4.7).
9. Испытания по пунктам 4 - 6 провести для трех сменных колец.
10. Все полученные результаты занести в таблицу. Определить средние значения.
12. Сравнить теоретические значения момента инерции маятника (4.8) с опытными значениями.
1. Что называется плоскопараллельным движением?
2. Из каких двух движений складывается сложное движение маятника? Опишите их.
3. Докажите, что маятник совершает движение с постоянным ускорением центра масс.
4. Дайте определение момента инерции. Запишите выражение момента инерции диска, кольца.
5. Сформулируйте закон сохранения механической энергии. Запишите его в применении к маятнику Максвелла.
Пока сила тяжести Р , приложенная в центре масс С , направлена вдоль оси стержня (рис. 5.1, а ), система находится в равновесии. Если отклонить стержень на некоторый малый угол (рис. 5.1, б ), то центр масс С поднимается на небольшую высоту и тело приобретает запас потенциальной энергии. На маятник относительно оси О , направление которой выбираем «к нам», будет при этом действовать момент силы тяжести, проекция которого на эту ось равна
где 
; L
– расстояние между осью вращения О
и центром масс С
.
Вращающий момент М , создаваемый силой Р , при малых углах равен
Он вызывает ускорение при вращательном движении маятника. Связь между этим ускорением и моментом сил дается основным уравнением динамики вращательного движения
, (5.2)
где J – момент инерции маятника относительно оси О .
Обозначим
Тогда из уравнения (5.2) получим
Уравнение (5.4) описывает колебательный процесс с циклической частотой .
Период колебаний, следовательно, равен
Из формулы (5.5) выразим момент инерции
Если положение центра масс системы не изменяется, то величина L постоянна и в формулу (5.6) можно ввести постоянный коэффициент
. (5.7)
Измеряя время t , в течение которого происходит n полных колебаний, найдем период . Подставляя T и K в (5.6), получаем рабочую формулу
С помощью формулы (5.8) производятся косвенные измерения момента инерции физического маятника относительно оси О .
С другой стороны, момент инерции J зависит от положения грузов на стержне. Переместим грузы по стержню так, чтобы они располагались симметрично относительно некоторой точки А . Эта математическая точка выбрана произвольно вблизи середины стержня. Центр масс системы при этом сохраняет свое местоположение. Будем считать размеры грузов малыми по сравнению с и (см. рис. 5.1). Тогда их можно рассматривать как материальные точки. В этом случае момент инерции системы определяется выражением
где – момент инерции системы без грузов; x – расстояние груза до точки А ; l – расстояние точки А до оси вращения маятника О .
Преобразуя формулу (5.9), получаем
где – момент инерции маятника при положении грузов в точке А .
Зависимость (5.10) будем проверять, получая величины J и J A экспериментально с помощью формулы (5.8).
Задание к работе
1. При подготовке к лабораторной работе получите расчетную формулу для погрешности косвенных измерений D J момента инерции (см. Введение). Учтите, что момент инерции определяется с помощью рабочей формулы (5.8). Для упрощения вычислений можно считать, что коэффициент K в этой формуле измерен точно: D K = 0.
2. Подготовьте эскиз табл. 1 для статистической обработки прямых пятикратных измерений времени t (образец см. Введение табл. В.1).
3. Подготовьте эскиз табл. 2 для исследования зависимости J от x 2 .
4. Включите электронный секундомер. Нажатием кнопки «Режим» установите режим №3 (светится индикатор «Реж.3»), при этом отключится тормозное устройство, удерживающее тело.
5. Приступая к работе, поместите оба груза в точке А (ее положение указано в таблице исходных данных, помещенной в Приложении и около лабораторной установки, на которой Вам предстоит работать).
6. Отклоните маятник рукой на небольшой угол , и в момент отпускания маятника включите секундомер нажатием кнопки «Пуск». Отсчитав 10 полных колебаний маятника, остановите секундомер нажатием кнопки «Стоп». Запишите полученное время в таблицу измерений.
7. Проведите пятикратные измерения времени t десяти полных колебаний физического маятника, не меняя положение грузов.
8. Рассчитайте среднее время и определите доверительную погрешность измерения D t .
9. Используя рабочую формулу (5.8), определите значение момента инерции J A , а по формуле, полученной в п. 1 этого задания, определите погрешность измерения этой величины D J . Результат запишите в виде и занесите в табл. 2 для значения .
10. Раздвиньте грузы симметрично относительно точки А на расстояние (см. рис. 5.1). Рекомендуется расстояние взять равным тому значению, которое использовалось в индивидуальном задании. Проведите однократные измерения времени t десяти полных колебаний физического маятника.
11. Повторите опыт п. 7 при пяти различных расстояниях x .
12. Определите момент инерции маятника с помощью формулы (5.8) при различных расстояниях x . Результаты занесите в табл. 2.
13. Постройте график зависимости момента инерции маятника
от x
2 , пользуясь табл. 2. Нанесите на этот же график ожидаемую за-
висимость (5.10). Проведите сравнение и анализ полученных резуль-
татов.
Контрольные вопросы
1. В чем состоит цель данной работы?
2. Что такое момент инерции тела? В чем его физический смысл?
3. Сформулируйте и примените к данной работе основной закон динамики вращательного движения.
4. Что такое центр масс системы?
5. Почему местоположение центра масс маятника не меняется при изменении положения грузов ?
6. Найдите момент инерции системы относительно центра масс, задав или измерив нужные для этого величины.
7. Сформулируйте закон сохранения энергии и запишите его применительно к физическому маятнику.
8. Как получить рабочую формулу (5.8) и зависимость (5.10)?
9. Как получить формулу для расчета погрешности косвенных измерений момента инерции?
10. Как формулируется теорема Штейнера? Как можно применить ее к исследуемой системе?
11. Почему предлагается построить график зависимости момента инерции от квадрата величины x ?
12. Что такое момент силы , угловая скорость , угловое ускорение , угловое перемещение , как направлены эти векторы?
Индивидуальные задания для членов бригады,
выполняющих лабораторную работу на одной установке
| Номер члена бригады | Индивидуальное задание |
| Рассчитайте момент инерции маятника, состоящего из барабана и спицы с грузами, закрепленными на спице вплотную в точке А | |
| Рассчитайте момент инерции маятника, состоящего из барабана и спицы с грузами, закрепленными на спице на расстоянии от точки А . Численные значения масс, размеров барабана и спицы возьмите в таблице исходных данных, помещенной в Приложении или около лабораторной установки, на которой Вам предстоит выполнять опыты | |
| Выполните задание, аналогичное заданию для второго номера, но с другим значением расстояния от точки А |
Литература
Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1982. – Т. 1 (и последующие издания этого курса).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ АДИАБАТЫ
МЕТОДОМ КЛЕМАНА И ДЕЗОРМА
Цель работы – изучение равновесных термодинамических процессов и теплоемкости идеальных газов, измерение показателя адиабаты классическим методом Клемана и Дезорма.
ВЫВОД РАСЧЕТНОЙ ФОРМУЛЫ
Физическим маятником называется твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси О , не проходящей через центр масстела точку С (рис. 2.1).
Если маятник выведен из положения равновесия на некоторый угол j , то составляющая силы тяжести уравновешивается силой реакции оси О , а составляющая стремится возвратить маятник в положение равновесия. Все силы приложены к центру масс тела. При этом
. (2.1)
Знак минус означает, что угловое смещение j и возвращающая сила имеют противоположные направления. При достаточно малых углах отклонения маятника из положения равновесия sinj » j , поэтому F t » -mgj . Поскольку маятник в процессе колебаний совершает вращательное движение относительно оси О , то оно может быть описано основным законом динамики вращательного движения
где М – момент силы F t относительно оси О , I – момент инерции маятника относительно оси О , – угловое ускорение маятника.
Момент силы в данном случае равен
M = F t ×l = –mgj×l , (2.3)
где l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника.
С учетом (2.2) уравнение (2.3) можно записать
(2.4)
где .
Решением дифференциального уравнения (2.5) является функция, позволяющая определить положение маятника в любой момент времени t ,
j=j 0 × cos(w 0 t+a 0) . (2.6)
Из выражения (2.6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с амплитудой колебаний j 0 , циклической частотой , начальной фазой a 0 и периодом, определяемым по формуле
где L=I/(mg) – приведенная длина физического маятника, т. е. длина такого математического маятника, период которого совпадает с периодом физического маятника. Формула (2.7) позволяет определить момент инерции твердого тела относительно любой оси, если измерен период колебаний этого тела относительно этой оси. Если физический маятник имеет правильную геометрическую форму и его масса равномерно распределена по всему объему, в формулу (2.7) можно подставить соответствующее выражение для момента инерции (Приложение 1).
В эксперименте исследуется физический маятник, называемый оборотным и представляющий собой тело, колеблющееся вокруг осей, расположенных на разном расстоянии от центра тяжести тела.
Оборотный маятник состоит из металлического стержня, на котором неподвижно укреплены опорные призмы О 1 и О 2 и две подвижные чечевицы А и B , которые могут закрепляться в определённом положении с помощью винтов (рис. 2.2).
Физический маятник совершает гармонические колебания при малых углах отклонения от положения равновесия . Период таких колебаний определяется соотношением (2.7)
,
где I – момент инерции маятника относительно оси вращения, m – масса маятника, d – расстояние от точки подвеса до центра масс, g – ускорение силы тяжести.
Применяемый в работе физический маятник имеет две опорные призмы О 1 и О 2 для подвешивания. Такой маятник называется оборотным.
Сначала маятник подвешивают на кронштейн опорной призмой О 1 и определяют период колебаний Т 1 относительно этой оси:
(2.8)
Затем маятник подвешивают призмой О 2 и определяют Т 2:
Таким образом, моменты инерции I 1 и I 2 О 1 и О 2 , будут соответственно равны и . Масса маятника m и периоды колебаний Т 1 и Т 2 могут быть измерены с высокой степенью точности.
По теореме Штейнера
где I 0 – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр тяжести. Таким образом, момент инерции I 0 можно определить,зная моменты инерции I 1 и I 2 .
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Снимите маятник с кронштейна, поместите его на трёхгранную призму так, чтобы расстояния от опоры до призм О 1 и О 2 не были равны между собой. Передвигая чечевицу вдоль стержня, установите маятник в положение равновесия, после чего закрепите чечевицу винтом.
2. Измерьте расстояние d 1 от точки равновесия (центр масс С ) до призмы О 1 и d 2 – от С до призмы О 2 .
3. Подвесив маятник опорной призмой О 1 , определите период колебаний , где N – число колебаний (не более 50 ).
4. Аналогичным образом определите период колебаний Т 2 относительно оси, проходящей через ребро призмы О 2 .
5. Подсчитайте моменты инерции I 1 и I 2 относительно осей, проходящих через опорные призмы О 1 и О 2 , по формулам и , измерив массу маятника m и периоды колебаний Т 1 и Т 2 . Из формул (2.10) и (2.11) определите момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр тяжести (масс) I 0 . Из двух опытов найдите среднее < I 0 > .
