Să începem să studiem subiectul integrală nedefinită", și, de asemenea, analizează în detaliu exemple de soluții la cele mai simple (și nu chiar) integrale. Ca de obicei, ne vom limita la teoria minimă care se află în numeroase manuale, sarcina noastră este să învățăm cum să rezolvăm integralele.
Ce trebuie să știi pentru a stăpâni cu succes materialul? Pentru a face față calculului integral, trebuie să puteți găsi derivate, cel puțin la un nivel mediu. Nu va fi o experiență de prisos dacă aveți câteva zeci, sau mai bine, o sută de derivate găsite independent în spate. Cel puțin, nu ar trebui să fii confuz de sarcina de a diferenția cele mai simple și mai comune funcții.
S-ar părea, unde sunt deloc derivatele, dacă vorbim de integrale în articol?! Și iată chestia. Cert este că găsirea derivatelor și găsirea integralelor nedefinite (diferențiere și integrare) sunt două acțiuni reciproc inverse, cum ar fi adunarea / scăderea sau înmulțirea / împărțirea. Astfel, fără o îndemânare și un fel de experiență în găsirea de derivate, din păcate, nu se poate avansa mai departe.
În acest sens, vom avea nevoie de următoarele materiale metodologice: Tabel de derivateși Tabelul integralelor.
Care este dificultatea studierii integralelor nedefinite? Dacă în derivate există strict 5 reguli de diferențiere, un tabel de derivate și un algoritm de acțiuni destul de clar, atunci în integrale totul este diferit. Există zeci de metode și tehnici de integrare. Și, dacă metoda de integrare a fost inițial aleasă incorect (adică nu știi cum să o rezolvi), atunci integrala poate fi literalmente „înțepată” pentru literalmente zile, ca un adevărat rebus, încercând să observi diverse trucuri și trucuri . Unora chiar le place.
Apropo, am auzit destul de des de la studenți (nu de științe umaniste) o opinie de genul: „Nu am avut niciodată interes să rezolv limita sau derivata, dar integralele sunt o chestiune complet diferită, este incitant, există întotdeauna dorința de a” crack” o integrală complexă” . Stop. Destul de umor negru, să trecem la aceste integrale foarte nedefinite.
Deoarece există multe moduri de a rezolva, atunci de unde începe un ceainic să studieze integralele nedefinite? În calculul integral, în opinia noastră, există trei piloni sau un fel de „axă” în jurul cărora se învârte totul. În primul rând, ar trebui să înțelegeți bine cele mai simple integrale (acest articol).
Apoi, trebuie să elaborați lecția în detaliu. ACEASTA ESTE CEA MAI IMPORTANTĂ RECEPȚIE! Poate chiar și cel mai important articol dintre toate articolele dedicate integralelor. Și în al treilea rând, asigurați-vă că citiți integrare pe părți, deoarece integrează o clasă largă de funcții. Dacă stăpânești cel puțin aceste trei lecții, atunci există deja „nu două”. Poți fi iertat că nu știi integrale ale funcțiilor trigonometrice, integrale ale fracțiilor, integrale ale funcţiilor raţionale fracţionale, integrale ale funcțiilor iraționale (rădăcini), dar dacă „intri într-o băltoacă” pe metoda înlocuirii sau pe metoda integrării prin piese, atunci va fi foarte, foarte rău.
Deci, să începem simplu. Să ne uităm la tabelul integralelor. Ca și în derivate, observăm mai multe reguli de integrare și un tabel de integrale ale unor funcții elementare. Orice integrală tabelară (și într-adevăr orice integrală nedefinită) are forma:
Să trecem direct la notație și termeni:
- pictograma integrală.
- funcția integrand (scrisă cu litera „s”).
– pictogramă diferenţial. Ce este, vom lua în considerare foarte curând. Principalul lucru este că atunci când scrieți integrala și în timpul soluției, este important să nu pierdeți această pictogramă. Va fi un defect vizibil.
este integrantul sau „umplutura” integralei.
– antiderivat funcţie.
– . Nu este nevoie să fii foarte încărcat cu termeni, cel mai important lucru aici este că în orice integrală nedefinită, la răspuns se adaugă o constantă.
A rezolva o integrală nedefinită înseamnă a găsiset de funcții antiderivate din integrantul dat
Să ne uităm din nou la intrare:
Să ne uităm la tabelul integralelor.
Ce se întâmplă? Părțile noastre din stânga se întorc la alte functii: .
Să simplificăm definiția noastră:
Rezolvați integrala nedefinită - înseamnă să-l transformi într-o funcție nedefinită (până la o constantă). , folosind unele reguli, tehnici și un tabel.
Luați, de exemplu, integrala tabelului 
. Ce s-a întâmplat? Înregistrarea simbolică s-a transformat într-un set de funcții antiderivate.
Ca și în cazul derivatelor, pentru a învăța cum să găsești integrale, nu este necesar să fii conștient de ce este o integrală sau o funcție antiderivată din punct de vedere teoretic. Este suficient doar să efectuați transformări după niște reguli formale. Deci, în caz că nu este deloc necesar să înţelegem de ce integrala se transformă în exact. Puteți lua aceasta și alte formule de la sine înțeles. Toată lumea folosește electricitate, dar puțini oameni se gândesc la modul în care electronii circulă de-a lungul firelor.
Deoarece diferențierea și integrarea sunt operații opuse, atunci pentru orice antiderivată care este găsită corect, următorul lucru este adevărat:
Cu alte cuvinte, dacă răspunsul corect este diferențiat, atunci trebuie obținut integrandul original.
Să revenim la aceeași integrală de tabel .
Să verificăm validitatea acestei formule. Luăm derivata părții drepte:
este integrantul original.
Apropo, a devenit mai clar de ce o constantă este întotdeauna atribuită unei funcții. La diferențiere, o constantă se transformă întotdeauna în zero.
Rezolvați integrala nedefinităînseamnă a găsi Multe toate antiderivate și nu o singură funcție. În exemplul tabelar considerat, , , , etc. - toate aceste funcții sunt soluția integralei . Există infinit de soluții, așa că scriu pe scurt:
Astfel, orice integrală nedefinită este destul de ușor de verificat. Aceasta este o compensație pentru un număr mare de integrale de diferite tipuri.
Să trecem la exemple concrete. Să începem, ca și în studiul derivatei, cu două reguli de integrare:
- constant C poate (și ar trebui) să fie scos din semnul integral.
– integrala sumei (diferența) a două funcții este egală cu suma (diferența) a două integrale. Această regulă este valabilă pentru orice număr de termeni.
După cum puteți vedea, regulile sunt practic aceleași ca pentru instrumentele derivate. Uneori sunt chemați proprietăți de liniaritate integrală.
Exemplul 1
Aflați integrala nedefinită.
.
Efectuați o verificare.
Soluţie: Este mai convenabil să-l convertiți ca.
(1) Aplicarea regulii . Nu uitați să notați pictograma diferențial dx sub fiecare integrală. De ce sub fiecare? dxeste un multiplicator complet. Dacă pictezi în detaliu, atunci primul pas ar trebui să fie scris după cum urmează:
.
(2) Potrivit regulii scoatem toate constantele din semnele integralelor. Rețineți că în ultimul termen tg 5 este o constantă, o scoatem și noi.
În plus, la acest pas pregătim rădăcinile și gradele pentru integrare. La fel ca și în diferențiere, rădăcinile trebuie reprezentate în formă . Rădăcinile și gradele care sunt situate în numitor - se deplasează în sus.
Notă: spre deosebire de derivate, rădăcinile din integrale nu trebuie întotdeauna reduse la forma , și mutați gradele în sus.
De exemplu, - aceasta este o integrală tabelară gata făcută, care a fost deja calculată înaintea dvs. și tot felul de trucuri chinezești precum 
complet inutil. În mod similar: - aceasta este și o integrală tabelară, nu are rost să reprezinte o fracție în formă . Studiați cu atenție masa!
(3) Toate integralele sunt tabelare. Efectuăm transformarea folosind tabelul, folosind formulele: 
, și
pentru o funcție de putere - 
.
Trebuie remarcat faptul că integrala tabelului este un caz special al formulei pentru o funcție de putere: 
.
Constant C doar adăugați-l o dată la sfârșitul expresiei
(mai degrabă decât să le pună după fiecare integrală).
(4) Rezultatul obținut îl scriem într-o formă mai compactă, când toate gradele formei
din nou reprezentate ca rădăcini, iar puterile cu un exponent negativ sunt resetate la numitor.
Examinare. Pentru a efectua verificarea, trebuie să diferențiați răspunsul primit:
Iniţială integrand, adică integrala a fost găsită corect. Din ce au dansat, s-au întors. E bine când povestea cu integrala se termină chiar așa.
Din când în când există o abordare ușor diferită pentru verificarea integralei nedefinite, atunci când nu este derivată, dar diferența este luată din răspuns:
.
Ca rezultat, obținem nu un integrand, ci un integrand.
Nu vă fie teamă de conceptul de diferenţial.
Diferenţialul este derivata înmulţită cu dx.
Cu toate acestea, nu subtilitățile teoretice sunt importante pentru noi, ci ce să facem în continuare cu această diferență. Diferența se dezvăluie astfel: pictograma d eliminați, puneți o lovitură în dreapta deasupra parantezei, atribuiți un multiplicator la sfârșitul expresiei dx :
Inițiala primită integrand, adică integrala se găsește corect.
După cum puteți vedea, diferența se reduce la găsirea derivatei. Îmi place a doua modalitate de a verifica mai puțin, deoarece trebuie să trag în plus paranteze mari și să trag pictograma diferențial dx până la sfârșitul testului. Deși este mai corect, sau „mai solid”, sau așa ceva.
De fapt, a fost posibil să păstrăm tăcerea despre a doua metodă de verificare. Ideea nu este în metodă, ci în faptul că am învățat să deschidem diferența. Din nou.
Diferența este prezentată după cum urmează:
1) pictograma d elimina;
2) puneți o lovitură în dreapta deasupra parantezei (denumirea derivatului);
3) la sfârșitul expresiei atribuim un factor dx .
De exemplu:
Tine minte asta. Vom avea nevoie de tehnica luată în considerare foarte curând.
Exemplul 2
.
Când găsim o integrală nedefinită, încercăm ÎNTOTDEAUNA să verificămÎn plus, există o mare oportunitate pentru asta. Nu toate tipurile de probleme din matematica superioară sunt un dar din acest punct de vedere. Nu contează că verificarea nu este adesea necesară în sarcinile de control, nimeni și nimic nu împiedică să fie efectuată pe un proiect. O excepție poate fi făcută numai atunci când nu este suficient timp (de exemplu, la test, examen). Personal, verific integral integrale și consider că lipsa verificării este un hack și o sarcină prost finalizată.
Exemplul 3
Aflați integrala nedefinită:
. Efectuați o verificare.
Rezolvare: Analizând integrala, vedem că sub integrală avem produsul a două funcții, și chiar exponențiarea întregii expresii. Din păcate, în domeniul luptei integrale Nu bun si confortabil formule de integrare a produsului și a coeficientului la fel de: 
sau 
.
Prin urmare, atunci când este dat un produs sau un coeficient, este întotdeauna logic să vedem dacă este posibil să transformăm integrandul într-o sumă? Exemplul luat în considerare este cazul când este posibil.
În primul rând, dăm soluția completă, comentariile vor fi mai jos.
Iniţială integrand, ceea ce înseamnă că integrala este găsită corect.
În cursul verificării, este întotdeauna de dorit să „împachetăm” funcția în forma sa originală, scotând, în acest caz, dintre paranteze și aplicând formula de înmulțire prescurtată în sens invers: .
Exemplul 4
Aflați integrala nedefinită
Efectuați o verificare.
Acesta este un exemplu de auto-rezolvare. Răspundeți și rezolvați complet la sfârșitul lecției.
Exemplul 5
Aflați integrala nedefinită
. Efectuați o verificare.
În acest exemplu, integrandul este o fracție. Când vedem o fracție în integrand, primul gând ar trebui să fie întrebarea: „Este posibil să scăpăm cumva de această fracție sau măcar să o simplificăm?”.
Observăm că numitorul conține o rădăcină singură a lui „x”. Unul din domeniu nu este un războinic, ceea ce înseamnă că puteți împărți numărătorul în numitor termen cu termen:
Nu comentăm acțiunile cu puteri fracționale, deoarece acestea au fost discutate în mod repetat în articole despre derivata unei funcții.
Dacă încă ești confuz de un astfel de exemplu ca
și nimeni nu primește răspunsul corect,
De asemenea, rețineți că soluția omite un pas, și anume aplicarea regulilor , . De obicei, cu o anumită experiență în rezolvarea integralelor, aceste reguli sunt considerate un fapt evident și nu sunt descrise în detaliu.
Exemplul 6
Aflați integrala nedefinită. Efectuați o verificare.
Acesta este un exemplu de auto-rezolvare. Răspundeți și rezolvați complet la sfârșitul lecției.
În cazul general, cu fracții în integrale, totul nu este atât de simplu, material suplimentar despre integrarea fracțiilor de unele tipuri poate fi găsit în articol: Integrarea unor fracții. Dar, înainte de a trece la articolul de mai sus, trebuie să citiți lecția: Metoda înlocuirii în integrală nedefinită. Faptul este că însumarea unei funcții sub o metodă de modificare diferenţială sau variabilă este punct-cheieîn studiul temei, deoarece se găsește nu numai „în sarcini pure pentru metoda înlocuirii”, ci și în multe alte varietăți de integrale.
Solutii si raspunsuri:
Exemplul 2: Soluție:
Exemplul 4: Soluție:
În acest exemplu, am folosit formula de înmulțire redusă
Exemplul 6: Soluție:
Integrale online pe site pentru a consolida materialul acoperit de elevi și școlari. De fiecare dată, de îndată ce începeți să rezolvați integrala, trebuie să identificați tipul acesteia, fără aceasta nu puteți utiliza nicio metodă, cu excepția tabelului ei. Nu fiecare integrală de tabel este clar vizibilă dintr-un exemplu dat, uneori trebuie să transformați funcția originală pentru a găsi antiderivată. În practică, soluția integralelor se rezumă la interpretarea problemei găsirii originalului, adică a antiderivatei dintr-o familie infinită de funcții, dar dacă sunt date limitele integrării, atunci după formula Newton-Leibniz rămâne o singură funcție căreia trebuie aplicate calcule. În mod informal, integrala online este aria dintre graficul funcției și axa x din cadrul integrării. Să calculăm integrala complexă pe o variabilă și să relaționăm răspunsul acesteia cu soluția ulterioară a problemei. După cum se spune, îl puteți găsi direct din integrand. Conform teoremei fundamentale de analiză, integrarea este operația inversă de diferențiere, care ajută la rezolvarea ecuațiilor diferențiale. Există mai multe definiții diferite ale operațiunii de integrare, care diferă în detalii tehnice. Cu toate acestea, toate sunt compatibile, adică oricare două metode de integrare, dacă pot fi aplicate unei anumite funcții, vor da același rezultat. Cea mai simplă este integrala Riemann - este o integrală definită sau o integrală nedefinită. În mod informal, integrala unei variabile poate fi introdusă ca zonă sub grafic (figura cuprinsă între graficul funcției și axa x). În încercarea de a găsi această zonă, se pot lua în considerare figuri formate dintr-un număr de dreptunghiuri verticale, ale căror baze formează împreună un segment de integrare și sunt obținute prin împărțirea segmentului în numărul corespunzător de segmente mici. Calculatorul rezolvă integrale cu o descriere a acțiunilor în detaliu și gratuit! Integrala nedefinită online pentru o funcție este totalitatea tuturor antiderivate ale funcției date. Dacă o funcție este definită și continuă pe un interval, atunci are o funcție antiderivată (sau o familie de antiderivate). Este mai bine să abordați cu atenție această problemă și să experimentați satisfacția interioară din munca depusă. Dar pentru a calcula integrala într-un mod diferit de cel clasic, uneori duce la rezultate neașteptate și nu ar trebui să fii surprins de acest lucru. Mulțumit de faptul că va avea un impact pozitiv asupra a ceea ce se întâmplă. Lista de integrale definite și integrale nedefinite cu soluție completă detaliată pas cu pas. Găsirea online a integralei nedefinite este o sarcină foarte comună în matematica superioară și în alte ramuri tehnice ale științei. Metode de bază de integrare. Gândiți-vă la clădirile finalizate înainte de a găsi greșeli. Rezolvarea integralelor online - veți obține o soluție detaliată pentru diferite tipuri de integrale: nedefinite, definite, improprii. Integrala unei funcții este analogă cu suma unei șiruri. Informal vorbind, o integrală definită este aria unei părți a graficului unei funcții. Adesea, o astfel de integrală determină cât de mult este mai greu un corp în comparație cu un obiect de aceeași densitate și nu contează ce formă are, deoarece suprafața nu absoarbe apă. Fiecare student știe cum să găsească integrala online. Pe baza programului școlar, se studiază și această secțiune de matematică, dar nu în detaliu, ci doar elementele de bază ale unei teme atât de complexe și importante. În cele mai multe cazuri, studenții încep să studieze integralele cu o teorie extinsă, care este, de asemenea, precedată de subiecte importante, cum ar fi derivata și trecerile la limită - sunt și limite. Rezolvarea integralelor începe treptat cu cele mai elementare exemple din funcții simple și se termină cu utilizarea multor abordări și reguli propuse în ultimul secol și chiar mult mai devreme. Calculul integral este de natură exploratorie în licee și școli, adică în instituțiile de învățământ secundar. Site-ul nostru vă va ajuta întotdeauna, iar rezolvarea integralelor online va deveni o sarcină obișnuită și, cel mai important, de înțeles pentru dvs. Pe baza acestei resurse, puteți obține cu ușurință excelență în această secțiune matematică. Înțelegând pas cu pas regulile studiate, de exemplu, cum ar fi integrarea, pe părți sau aplicarea metodei Chebyshev, puteți rezolva cu ușurință orice test pentru numărul maxim de puncte. Deci, cum putem calcula în continuare integrala folosind tabelul de integrale cunoscut de toată lumea, dar în așa fel încât soluția să fie corectă, corectă și cu cel mai precis răspuns posibil? Cum să înveți asta și este posibil ca un boboc obișnuit să o facă în cel mai scurt timp posibil? Răspundem afirmativ la această întrebare - este posibil! În acest caz, nu numai că vei putea rezolva orice exemplu, dar vei ajunge și la nivelul unui inginer de înaltă clasă. Secretul este la fel de simplu ca întotdeauna - trebuie să depui efort maxim, să dedici timpul necesar autopregătirii. Din păcate, nimeni nu a venit încă cu un alt mod! Dar nu totul este atât de tulbure pe cât pare la prima vedere. Dacă vă referiți la serviciul nostru de site cu această întrebare, atunci vă vom face viața mai ușoară, deoarece site-ul nostru poate calcula integral online în detaliu, la o viteză foarte mare și cu un răspuns impecabil de precis. În esență, integrala nu determină modul în care raportul argumentelor afectează stabilitatea sistemului în ansamblu. Semnificația mecanică a integralei constă în multe probleme aplicate, aceasta este determinarea volumului corpurilor și calculul masei corporale. Integrale triple și duble sunt implicate doar în aceste calcule. Insistăm ca integralele online să fie rezolvate doar sub supravegherea unor profesori cu experiență și prin numeroase verificări.De multe ori suntem întrebați despre progresul elevilor care nu frecventează cursurile, săriți peste ele fără motiv, cum reușesc să găsească ei înșiși integrala. Răspundem că studenții sunt oameni liberi și pot fi bine pregătiți extern, pregătindu-se pentru un test sau un examen în condiții confortabile de acasă. În câteva secunde, serviciul nostru va ajuta pe oricine dorește să calculeze integrala oricărei funcții date în raport cu o variabilă. Verificați rezultatul obținut luând derivata funcției antiderivative. În acest caz, constanta din soluția integralei dispare. Această regulă este evident pentru toată lumea. Nu există multe astfel de site-uri care oferă un răspuns pas cu pas în câteva secunde și, cel mai important, cu precizie ridicată și într-o formă convenabilă. Dar nu trebuie să uităm cum este posibil să găsim integrala folosind un serviciu gata făcut, testat în timp și testat pe mii de exemple rezolvate online.
Integrale complexe
Acest articol completează subiectul integralelor nedefinite și include integrale pe care le consider destul de dificile. Lecția a fost creată la solicitarea repetată a vizitatorilor care și-au exprimat dorința ca pe site să fie analizate exemple mai dificile.
Se presupune că cititorul acestui text este bine pregătit și știe să aplice tehnicile de bază ale integrării. Manichinii și oamenii care nu sunt foarte încrezători în integrale ar trebui să se refere la prima lecție - Integrală nedefinită. Exemple de soluții unde poți învăța subiectul aproape de la zero. Studenții mai experimentați se pot familiariza cu tehnicile și metodele de integrare, care nu au fost încă întâlnite în articolele mele.
Ce integrale vor fi luate în considerare?
În primul rând, luăm în considerare integralele cu rădăcini, pentru soluția cărora o folosim succesiv substituție variabilăși integrare pe părți. Adică, într-un exemplu, două metode sunt combinate simultan. Și încă mai mult.
Apoi ne vom familiariza cu un interesant și original metoda de reducere a integralei la sine. Nu atât de puține integrale sunt rezolvate în acest fel.
Al treilea număr al programului va fi integrale ale fracțiilor complexe, care au trecut peste casa de marcat în articolele anterioare.
În al patrulea rând, vor fi analizate integrale suplimentare din funcțiile trigonometrice. În special, există metode care evită înlocuirea trigonometrică universală, consumatoare de timp.
(2) În integrand, împărțim numărătorul la numitor termen cu termen.
(3) Folosim proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite. În ultima integrală, imediat aduceți funcția sub semnul diferenţialului.
(4) Luăm integralele rămase. Rețineți că puteți utiliza paranteze în logaritm și nu în modul, deoarece .
(5) Efectuăm substituția inversă, exprimând din substituția directă „te”:
Studenții masochiști pot diferenția răspunsul și pot obține integrandul original, așa cum tocmai am făcut eu. Nu, nu, am făcut verificarea în sensul corect =)
După cum puteți vedea, în cursul soluției, au trebuit folosite chiar și mai mult de două metode de soluție, așa că pentru a face față unor astfel de integrale, aveți nevoie de abilități de integrare încrezătoare și nu cea mai mică experiență.
În practică, desigur, rădăcina pătrată este mai comună, iată trei exemple pentru o soluție independentă:
Exemplul 2
Aflați integrala nedefinită
Exemplul 3
Aflați integrala nedefinită
Exemplul 4
Aflați integrala nedefinită
Aceste exemple sunt de același tip, așa că soluția completă de la sfârșitul articolului va fi doar pentru Exemplul 2, în Exemplele 3-4 - un singur răspuns. Ce înlocuitor să folosiți la începutul deciziilor cred că este evident. De ce am ales același tip de exemple? Deseori găsite în rolurile lor. Mai des, poate, doar ceva de genul 
.
Dar nu întotdeauna, atunci când rădăcina unei funcții liniare se află sub arc tangentă, sinus, cosinus, exponent și alte funcții, trebuie aplicate mai multe metode simultan. Într-un număr de cazuri, este posibil să „coborâți ușor”, adică imediat după înlocuire, se obține o integrală simplă, care este luată elementar. Cea mai ușoară dintre sarcinile propuse mai sus este Exemplul 4, în care, după înlocuire, se obține o integrală relativ simplă.
Metoda de reducere a integralei la sine
Metodă inteligentă și frumoasă. Să aruncăm o privire la clasicii genului:
Exemplul 5
Aflați integrala nedefinită
Există un binom pătrat sub rădăcină, iar atunci când încercați să integrați acest exemplu, ceainicul poate suferi ore întregi. O astfel de integrală este luată pe părți și se reduce la ea însăși. În principiu, nu este dificil. Dacă știi cum.
Să notăm integrala considerată printr-o literă latină și să începem soluția: 
Integrarea pe părți: 
(1) Pregătim integrantul pentru împărțirea termen cu termen.
(2) Împărțim termenul integrand cu termen. Poate că nu toată lumea înțelege, voi scrie mai detaliat:
(3) Folosim proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite.
(4) Luăm ultima integrală (logaritmul „lung”).
Acum să ne uităm la începutul soluției: 
Iar pentru final: 
Ce s-a întâmplat? Ca urmare a manipulărilor noastre, integrala s-a redus la sine!
Echivalează începutul și sfârșitul: 
Ne transferăm în partea stângă cu o schimbare de semn: 
Și dărâmăm zeul în partea dreaptă. Ca urmare: 
Constanta, strict vorbind, ar fi trebuit adăugată mai devreme, dar am adăugat-o la sfârșit. Recomand cu tărie să citiți care este severitatea aici:
Notă:
Mai strict, etapa finală a soluției arată astfel:
În acest fel:
Constanta poate fi redenumită cu . De ce poți redenumi? Pentru că mai trebuie orice valori, iar în acest sens nu există nicio diferență între constante și.
Ca urmare:
Un truc similar cu redenumirea constantă este utilizat pe scară largă în ecuatii diferentiale. Și acolo voi fi strict. Și aici astfel de libertăți sunt permise de mine doar pentru a nu te confunda cu lucruri inutile și a te concentra pe metoda de integrare în sine.
Exemplul 6
Aflați integrala nedefinită
O altă integrală tipică pentru soluție independentă. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Diferența cu răspunsul din exemplul anterior va fi!
Dacă sub rădăcina pătrată există un trinom pătrat, atunci soluția se reduce în orice caz la cele două exemple analizate.
De exemplu, luați în considerare integrala 
. Tot ce trebuie să faci este în avans selectați un pătrat complet:
.
În continuare, se efectuează o înlocuire liniară, care gestionează „fără consecințe”:
, rezultând o integrală . Ceva familiar, nu?
Sau acest exemplu, cu un binom pătrat:
Selectarea unui pătrat complet:
Și, după o înlocuire liniară, obținem integrala, care este rezolvată și de algoritmul deja considerat.
Luați în considerare încă două exemple tipice despre cum să reduceți o integrală la sine:
este integrala exponentului înmulțită cu sinusul;
este integrala exponentului înmulțită cu cosinusul.
În integralele enumerate pe părți, va trebui să integrați deja de două ori:
Exemplul 7
Aflați integrala nedefinită
Integrandul este exponentul înmulțit cu sinusul.
Integram de două ori pe părți și reducem integrala la sine: 
Ca rezultat al dublei integrări pe părți, integrala se reduce la sine. Echivalează începutul și sfârșitul soluției:
Ne transferăm în partea stângă cu o schimbare de semn și ne exprimăm integrala: 
Gata. Pe parcurs, este de dorit să pieptănați partea dreaptă, adică. scoateți exponentul din paranteze și puneți sinusul și cosinusul între paranteze într-o ordine „frumoasă”.
Acum să revenim la începutul exemplului sau, mai degrabă, la integrarea pe părți: 
Căci am desemnat expozantul. Apare întrebarea, exponentul este întotdeauna notat cu ? Nu este necesar. De fapt, în integrala considerată fundamental nu contează, pentru ce să notăm, se poate merge în altă direcție: 
De ce este posibil acest lucru? Deoarece exponentul se transformă în sine (la diferențiere și la integrare), sinusul și cosinusul se transformă reciproc (din nou, atât la diferențiere, cât și la integrare).
Adică se poate nota și funcția trigonometrică. Dar, în exemplul considerat, acest lucru este mai puțin rațional, deoarece vor apărea fracții. Dacă doriți, puteți încerca să rezolvați acest exemplu în al doilea mod, răspunsurile trebuie să fie aceleași.
Exemplul 8
Aflați integrala nedefinită
Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Înainte de a decide, gândiți-vă la ce este mai profitabil să desemnați în acest caz, funcție exponențială sau trigonometrică? Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.
Și, desigur, nu uitați că majoritatea răspunsurilor din această lecție sunt destul de ușor de verificat prin diferențiere!
Exemplele au fost considerate ca nu cele mai dificile. În practică, integralele sunt mai frecvente, unde constanta este atât în exponent, cât și în argumentul funcției trigonometrice, de exemplu: . Mulți oameni vor trebui să se încurce într-o astfel de integrală, iar eu însumi deseori mă confund. Faptul este că în soluție există o probabilitate mare de apariție a fracțiilor și este foarte ușor să pierzi ceva din cauza neatenției. În plus, există o probabilitate mare de eroare în semne, rețineți că există un semn minus în exponent, iar acest lucru introduce o dificultate suplimentară.
În etapa finală, de multe ori se dovedește ceva de genul:
Chiar și la sfârșitul soluției, ar trebui să fii extrem de atent și să tratați corect fracțiile: 
Integrarea fracțiilor complexe
Ne apropiem încet de ecuatorul lecției și începem să luăm în considerare integralele fracțiilor. Din nou, nu toate sunt super complexe, doar dintr-un motiv sau altul, exemplele au fost puțin „off topic” în alte articole.
Continuând tema rădăcinilor
Exemplul 9
Aflați integrala nedefinită
În numitorul de sub rădăcină există un trinom pătrat plus în afara rădăcinii „apendice” sub forma „X”. O integrală a acestei forme este rezolvată folosind o substituție standard.
Noi decidem: 
Înlocuirea aici este simplă: 
Privind viața după înlocuire: 
(1) După înlocuire, reducem termenii de sub rădăcină la un numitor comun.
(2) O scoatem de sub rădăcină.
(3) Reducem numărătorul și numitorul cu . În același timp, sub rădăcină, am rearanjat termenii într-o ordine convenabilă. Cu ceva experiență, pașii (1), (2) pot fi săriți prin efectuarea orală a acțiunilor comentate.
(4) Integrala rezultată, după cum vă amintiți din lecție Integrarea unor fracții, este rezolvată metoda de selecție a pătratului complet. Selectați un pătrat complet.
(5) Prin integrare, obținem un logaritm „lung” obișnuit.
(6) Efectuăm înlocuirea inversă. Dacă inițial , apoi înapoi: .
(7) Acțiunea finală vizează coafarea rezultatului: sub rădăcină, aducem din nou termenii la un numitor comun și îi scoatem de sub rădăcină.
Exemplul 10
Aflați integrala nedefinită 
Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Aici, se adaugă o constantă la singurul x, iar înlocuirea este aproape aceeași: 
Singurul lucru care trebuie făcut suplimentar este să exprimați „x” din înlocuire: 
Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.
Uneori într-o astfel de integrală poate exista un binom pătrat sub rădăcină, asta nu schimbă modul în care se rezolvă soluția, va fi chiar și mai simplu. Simte diferenta:
Exemplul 11
Aflați integrala nedefinită
Exemplul 12
Aflați integrala nedefinită
Scurte soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției. Trebuie remarcat faptul că Exemplul 11 este exact integrală binomială, a cărui metodă de rezolvare a fost luată în considerare în lecție Integrale ale funcțiilor iraționale.
Integrală a unui polinom necompunebil de gradul 2 la grad
(polinom la numitor)
O formă mai rară, dar, totuși, care apare în exemple practice a integralei.
Exemplul 13
Aflați integrala nedefinită
Dar să revenim la exemplul cu numărul norocos 13 (sincer, nu am ghicit). Această integrală este și din categoria celor cu care poți suferi destul de mult dacă nu știi să rezolvi.
Soluția începe cu o transformare artificială: 
Cred că toată lumea înțelege deja cum se împarte numărătorul la numitor termen cu termen.
Integrala rezultată este luată în părți: 
Pentru o integrală de forma ( este un număr natural), am derivat recurent formula de retrogradare:
, Unde 
este o integrală de grad inferior.
Să verificăm validitatea acestei formule pentru integrala rezolvată.
În acest caz: , , folosim formula: 
După cum puteți vedea, răspunsurile sunt aceleași.
Exemplul 14
Aflați integrala nedefinită
Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluția eșantion utilizează formula de mai sus de două ori consecutiv.
Dacă sub gradul este necompusa trinom pătrat, atunci soluția este redusă la un binom prin extragerea pătratului complet, de exemplu:
Ce se întâmplă dacă există un polinom suplimentar în numărător? În acest caz, se utilizează metoda coeficienților nedeterminați, iar integrandul este extins într-o sumă de fracții. Dar în practica mea a unui astfel de exemplu niciodată întâlnit, așa că am omis acest caz în articol Integrale ale unei funcții fracționale-raționale, îl voi omite acum. Dacă o astfel de integrală încă apare, consultați manualul - totul este simplu acolo. Nu consider oportună includerea materialului (chiar simplu), probabilitatea de întâlnire cu care tinde spre zero.
Integrarea funcţiilor trigonometrice complexe
Adjectivul „dificil” pentru majoritatea exemplelor este din nou în mare măsură condiționat. Să începem cu tangente și cotangente în puteri mari. Din punct de vedere al metodelor folosite pentru rezolvarea tangentei și cotangentei sunt aproape aceleași, așa că voi vorbi mai mult despre tangentă, adică metoda demonstrată de rezolvare a integralei este valabilă și pentru cotangente.
În lecția de mai sus, ne-am uitat la substituție trigonometrică universală pentru rezolvarea unui anumit tip de integrale ale funcţiilor trigonometrice. Dezavantajul substituției trigonometrice universale este că aplicarea acesteia duce adesea la integrale greoaie cu calcule dificile. Și în unele cazuri, înlocuirea trigonometrică universală poate fi evitată!
Luați în considerare un alt exemplu canonic, integrala unității împărțită la sinus:
Exemplul 17
Aflați integrala nedefinită
Aici puteți folosi substituția trigonometrică universală și puteți obține răspunsul, dar există o modalitate mai rațională. Voi oferi o soluție completă cu comentarii pentru fiecare pas:
(1) Folosim formula trigonometrică pentru sinusul unui unghi dublu.
(2) Efectuăm o transformare artificială: La numitor împărțim și înmulțim cu .
(3) Conform formulei binecunoscute din numitor, transformăm fracția într-o tangentă.
(4) Aducem funcția sub semnul diferenţialului.
(5) Luăm integrala.
Câteva exemple simple de rezolvat singur:
Exemplul 18
Aflați integrala nedefinită
Sugestie: Primul pas este utilizarea formulei de reducere 
și efectuați cu atenție acțiuni similare cu exemplul anterior.
Exemplul 19
Aflați integrala nedefinită
Ei bine, acesta este un exemplu foarte simplu.
Soluții complete și răspunsuri la sfârșitul lecției.
Cred că acum nimeni nu va avea probleme cu integralele: 
etc.
Care este ideea din spatele metodei? Ideea este de a folosi transformări, formule trigonometrice pentru a organiza doar tangente și derivata tangentei în integrand. Adică vorbim despre înlocuirea: 
. În exemplele 17-19, am folosit de fapt această înlocuire, dar integralele erau atât de simple încât s-a făcut cu o acțiune echivalentă - aducerea funcției sub semnul diferențial.
Raționament similar, așa cum am menționat deja, poate fi efectuat pentru cotangentă.
Există, de asemenea, o condiție prealabilă formală pentru aplicarea înlocuirii de mai sus:
Suma puterilor cosinusului și sinusului este un număr întreg negativ PAR, de exemplu:
pentru o integrală, un număr întreg negativ PAR.
! Notă : dacă integrandul conține DOAR sinus sau DOAR cosinus, atunci integrala este luată par cu un grad impar negativ (cele mai simple cazuri sunt în Exemplele nr. 17, 18).
Luați în considerare câteva sarcini mai semnificative pentru această regulă:
Exemplul 20
Aflați integrala nedefinită
Suma gradelor de sinus și cosinus: 2 - 6 \u003d -4 - un număr întreg negativ PAR, ceea ce înseamnă că integrala poate fi redusă la tangente și derivata ei: 
(1) Să transformăm numitorul.
(2) Conform formulei binecunoscute, obținem .
(3) Să transformăm numitorul.
(4) Folosim formula 
.
(5) Aducem funcția sub semnul diferențial.
(6) Efectuăm înlocuirea. Este posibil ca studenții mai experimentați să nu efectueze înlocuirea, dar totuși este mai bine să înlocuiți tangenta cu o singură literă - există mai puțin risc de confuzie.
Exemplul 21
Aflați integrala nedefinită
Acesta este un exemplu de do-it-yourself.
Stai, încep rundele de campionat =)
Adesea, în integrand există un „mezul”:
Exemplul 22
Aflați integrala nedefinită 
Această integrală conține inițial o tangentă, care sugerează imediat un gând deja familiar:
Voi lăsa transformarea artificială chiar de la început și restul pașilor fără comentarii, deoarece totul a fost deja spus mai sus.
Câteva exemple creative pentru o soluție independentă:
Exemplul 23
Aflați integrala nedefinită 
Exemplul 24
Aflați integrala nedefinită 
Da, în ele, bineînțeles, puteți scădea gradele sinusului, cosinusului, folosiți substituția trigonometrică universală, dar soluția va fi mult mai eficientă și mai scurtă dacă este trasată prin tangente. Soluție completă și răspunsuri la sfârșitul lecției
integrala definita dintr-o funcție continuă f(X) pe intervalul finit [ A, b] (unde ) este incrementul unora dintre antiderivatele sale pe acest segment. (În general, înțelegerea va fi considerabil mai ușoară dacă repetați subiectul integralei nedefinite) În acest caz, notația
După cum se poate vedea în graficele de mai jos (incrementul funcției antiderivate este indicat prin ), Integrala definită poate fi pozitivă sau negativă.(Se calculează ca diferență între valoarea antiderivatei în limita superioară și valoarea acestuia în limita inferioară, adică ca F(b) - F(A)).
Numerele Ași b se numesc limitele inferioare și, respectiv, superioare de integrare și intervalul [ A, b] este segmentul de integrare.
Astfel, dacă F(X) este o funcție antiderivată pentru f(X), apoi, conform definiției,
(38)
Egalitatea (38) se numește formula Newton-Leibniz . Diferență F(b) – F(A) se scrie pe scurt astfel:
Prin urmare, formula Newton-Leibniz va fi scrisă după cum urmează:
(39)
Să demonstrăm că integrala definită nu depinde de ce antiderivată a integrandului este luată atunci când o calculăm. Lăsa F(X) și F( X) sunt antiderivate arbitrare ale integrandului. Deoarece acestea sunt antiderivate cu aceeași funcție, ele diferă printr-un termen constant: Ф( X) = F(X) + C. De aceea
Astfel, se stabilește că pe segmentul [ A, b] creșteri ale tuturor antiderivatelor funcției f(X) Meci.
Astfel, pentru a calcula integrala definită, este necesar să se găsească orice antiderivată a integrandului, i.e. Mai întâi trebuie să găsiți integrala nedefinită. Constant DIN excluse din calculele ulterioare. Apoi se aplică formula Newton-Leibniz: valoarea limitei superioare este substituită în funcția antiderivată b , în continuare - valoarea limitei inferioare A si calculeaza diferenta F(b) - F(a) . Numărul rezultat va fi o integrală definită..
La A = b acceptate prin definitie
Exemplul 1
Soluţie. Să găsim mai întâi integrala nedefinită:
Aplicarea formulei Newton-Leibniz la antiderivat
(la DIN= 0), obținem
Cu toate acestea, atunci când calculați o integrală definită, este mai bine să nu găsiți antiderivată separat, ci să scrieți imediat integrala în forma (39).
Exemplul 2 Calculați o integrală definită
Soluţie. Folosind formula
Proprietățile Integralei Definite
Teorema 2.Valoarea integralei definite nu depinde de desemnarea variabilei de integrare, adică
(40)
Lăsa F(X) este antiderivat pentru f(X). Pentru f(t) antiderivata are aceeasi functie F(t), în care variabila independentă se notează diferit. Prin urmare,
Pe baza formulei (39), ultima egalitate înseamnă egalitatea integralelor
Teorema 3.Factorul constant poate fi scos din semnul unei integrale definite, adică
(41)
Teorema 4.Integrala definită a sumei algebrice a unui număr finit de funcții este egală cu suma algebrică a integralelor definite ale acestor funcții, adică
(42)
Teorema 5.Dacă segmentul de integrare este împărțit în părți, atunci integrala definită pe întregul segment este egală cu suma integralelor definite din părțile sale., adică dacă
(43)
Teorema 6.La rearanjarea limitelor de integrare, valoarea absolută a integralei definite nu se modifică, ci se schimbă doar semnul acesteia., adică
(44)
Teorema 7(teorema valorii medii). Integrala definită este egală cu produsul dintre lungimea segmentului de integrare și valoarea integrandului la un moment dat în interiorul acestuia., adică
(45)
Teorema 8.Dacă limita superioară de integrare este mai mare decât cea inferioară și integrandul este nenegativ (pozitiv), atunci integrala definită este și nenegativă (pozitivă), adică. dacă
Teorema 9.Dacă limita superioară a integrării este mai mare decât limita inferioară și funcțiile și sunt continue, atunci inegalitatea
pot fi integrate termen cu termen, adică
(46)
Proprietățile integralei definite ne permit să simplificăm calculul direct al integralelor.
Exemplul 5 Calculați o integrală definită
Folosind teoremele 4 și 3, iar când găsim antiderivate - integrale tabulare (7) și (6), obținem
Integrală definită cu limită superioară variabilă
Lăsa f(X) este continuă pe segmentul [ A, b] funcția și F(X) este prototipul său. Luați în considerare integrala definită
(47)
si prin t variabila de integrare se notează pentru a nu o confunda cu limita superioară. Când se schimbă X se modifică și integrala definită (47), adică este o funcţie a limitei superioare de integrare X, pe care îl notăm prin F(X), adică
(48)
Să demonstrăm că funcția F(X) este antiderivat pentru f(X) = f(t). Într-adevăr, diferențierea F(X), primim
deoarece F(X) este antiderivat pentru f(X), A F(A) este o valoare constantă.
Funcţie F(X) este unul din setul infinit de antiderivate pentru f(X), și anume cel care X = A merge la zero. Această afirmație se obține dacă în egalitatea (48) punem X = Ași folosiți teorema 1 din secțiunea anterioară.
Calculul integralelor definite prin metoda integrarii pe parti si metoda schimbarii variabilei
unde, prin definiție, F(X) este antiderivat pentru f(X). Dacă în integrand facem schimbarea de variabilă
apoi, în conformitate cu formula (16), putem scrie
În această expresie
functie antiderivata pentru
Într-adevăr, derivatul său, conform regula de diferențiere a unei funcții complexe, este egal cu
Fie α și β valorile variabilei t, pentru care funcția
ia respectiv valorile Ași b, adică
Dar, conform formulei Newton-Leibniz, diferența F(b) – F(A) există
Dacă definițiile manualelor sunt prea complicate și de neînțeles, citiți articolul nostru. Vom încerca să explicăm cât mai simplu posibil, „pe degete”, punctele principale ale unei astfel de secțiuni de matematică ca integrale definite. Cum se calculează integrala, citiți în acest manual.
Din punct de vedere geometric, integrala unei funcții este aria figurii formate din graficul acestei funcții și axa din cadrul integrării. Scrieți integrala, analizați funcția sub integrală: dacă integrandul poate fi simplificat (reduceți, factorizați semnul integrală, împărțiți în două integrale simple), faceți-o. Deschideți tabelul integral pentru a determina care derivată a funcției se află sub integrală. Răspuns găsit? Notați factorul scos din integrală (dacă a avut loc), notați funcția găsită din tabel, înlocuiți limitele integralei.
Desigur, aici sunt luate în considerare doar cele mai simple versiuni de integrale - sigur, de fapt, există o mare varietate de integrale, acestea sunt studiate în cursul matematicii superioare, analizei matematice și ecuațiilor diferențiale în universități pentru studenții de specialități tehnice.
