Desatinné čísla, napríklad 0,2; 1,05; 3.017 atď. ako sa počúva, tak sa aj píše. Nulový bod dva, dostaneme zlomok. Jedna celá päťstotina, dostaneme zlomok. Tri celé sedemnásťtisíciny, dostaneme zlomok. Číslice pred desatinnou čiarkou v desatinnom čísle sú celou časťou zlomku. Číslo za desatinnou čiarkou je čitateľ budúceho zlomku. Ak je za desatinnou čiarkou jednociferné číslo, menovateľ bude 10, ak dvojciferné - 100, trojmiestne - 1000 atď. Niektoré z výsledných frakcií je možné zredukovať. V našich príkladoch 
Prevod zlomku na desatinné číslo
Toto je opak predchádzajúcej transformácie. Čo je desatinný zlomok? Jej menovateľ je vždy 10, alebo 100, alebo 1000, alebo 10 000 atď. Ak má váš obvyklý zlomok takéhoto menovateľa, nie je problém. Napríklad, alebo
Ak zlomok, napr. V tomto prípade treba použiť základnú vlastnosť zlomku a menovateľa previesť na 10 alebo 100, alebo 1000... V našom príklade, ak čitateľa a menovateľa vynásobíme 4, dostaneme zlomok, ktorý sa dá zapísať ako desatinné číslo 0,12.
Niektoré zlomky sa ľahšie delia ako prevádzajú menovateľ. Napríklad,
Niektoré zlomky nie je možné previesť na desatinné čísla!
Napríklad,
Premena zmiešaného zlomku na nesprávny
Zmiešanú frakciu, ako napríklad , možno ľahko previesť na nesprávnu frakciu. Ak to chcete urobiť, musíte vynásobiť časť celého čísla menovateľom (dole) a pridať ho do čitateľa (hore), pričom menovateľ (dole) zostane nezmenený. T.j
Pri prevode zmiešaného zlomku na nesprávny si môžete pamätať, že môžete použiť sčítanie zlomkov
Prevod nesprávneho zlomku na zmiešaný (zvýraznenie celej časti)
Nesprávny zlomok možno previesť na zmiešaný zlomok zvýraznením celej časti. Zvážte príklad, . Určte, koľko celých čísel krát "3" sa zmestí do "23". Alebo na kalkulačke vydelíme 23 číslom 3, požadované je celé číslo až po desatinnú čiarku. Toto je "7". Ďalej určíme čitateľa budúceho zlomku: výslednú "7" vynásobíme menovateľom "3" a odčítame výsledok od čitateľa "23". 
Ako by sme našli prebytok, ktorý zostáva z čitateľa "23", ak odstránime maximálny počet "3". Menovateľ zostáva nezmenený. Všetko je hotové, zapíšte si výsledok
Racionálne výrazy a zlomky sú základným kameňom celého kurzu algebry. Tí, ktorí sa s takýmito výrazmi naučia pracovať, zjednodušovať ich a faktorizovať, v skutočnosti dokážu vyriešiť akýkoľvek problém, pretože transformácia výrazov je neoddeliteľnou súčasťou každej vážnej rovnice, nerovnosti a dokonca aj slovnej úlohy.
V tomto videonávode uvidíme, ako správne použiť skrátené vzorce na násobenie na zjednodušenie racionálnych výrazov a zlomkov. Naučme sa vidieť tieto vzorce tam, kde na prvý pohľad nič nie je. Zároveň si zopakujeme taký jednoduchý trik, akým je rozdelenie štvorcovej trojčlenky na faktory cez diskriminant.
Ako ste už pravdepodobne uhádli zo vzorcov za mojím chrbtom, dnes budeme študovať vzorce pre skrátené násobenie, respektíve nie vzorce samotné, ale ich aplikáciu na zjednodušenie a redukciu zložitých racionálnych výrazov. Ale predtým, ako prejdeme k riešeniu príkladov, pozrime sa bližšie na tieto vzorce alebo si ich pripomeňme:
- $((a)^(2))-((b)^(2))=\vľavo(a-b \vpravo)\vľavo(a+b \vpravo)$ je rozdiel štvorcov;
- $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ je druhá mocnina súčtu;
- $((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ je rozdiel na druhú;
- $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ je súčet kociek;
- $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \vpravo)$ je rozdiel kociek.
Ešte by som rád poznamenal, že naše školské školstvo je navrhnuté tak, že je so štúdiom tejto témy, t.j. racionálne výrazy, aj korene, moduly, všetci žiaci majú rovnaký problém, ktorý teraz vysvetlím.
Faktom je, že na úplnom začiatku štúdia vzorcov na skrátené násobenie, a teda aj opatrení na zníženie zlomkov (toto je asi 8. ročník), učitelia hovoria niečo také: „Ak vám niečo nie je jasné, nebojte sa , budeme sa k tejto téme ešte viackrát vrátime, na strednej škole určite. Prídeme na to neskôr." No a potom na prelome 9. a 10. ročníka tí istí učitelia vysvetľujú tým istým žiakom, ktorí ešte nevedia, ako riešiť racionálne zlomky, asi toto: „Kde ste boli predchádzajúce dva roky? To isté sa učilo v algebre v 8. ročníku! Čo tu môže byť nepochopiteľné? Je to také zrejmé!"
Pre bežných študentov však takéto vysvetlenia nie sú o nič jednoduchšie: stále mali v hlave neporiadok, preto si práve teraz rozoberieme dva jednoduché príklady, na základe ktorých uvidíme, ako tieto výrazy zvýrazniť v reálnych problémoch, čo nás privedie ku krátkym vzorcom násobenia a ako to neskôr aplikovať na transformáciu zložitých racionálnych výrazov.
Redukcia jednoduchých racionálnych zlomkov
Úloha č.1
\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]
Prvá vec, ktorú sa musíme naučiť, je rozlišovať presné druhé mocniny a vyššie mocniny v pôvodných výrazoch, na základe ktorých potom môžeme aplikovať vzorce. Poďme sa pozrieť:
Prepíšme náš výraz s prihliadnutím na tieto skutočnosti:
\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\left(3((y)^(2)) \right))^(2))-((\left(4x) \right))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3((y)^(2))-4x \right)\left(3 ((y)^(2))+4x \vpravo))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]
Odpoveď: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.
Úloha č. 2
Prejdime k druhej úlohe:
\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]
Tu nie je čo zjednodušovať, pretože čitateľ je konštanta, ale tento problém som navrhol práve preto, aby ste sa naučili faktorizovať polynómy obsahujúce dve premenné. Ak by namiesto neho bol nižšie napísaný polynóm, ako by sme ho rozložili?
\[((x)^(2))+5x-6=\vľavo(x-... \vpravo)\vľavo(x-... \vpravo)\]
Vyriešme rovnicu a nájdime $x$, ktoré môžeme vložiť namiesto bodiek:
\[((x)^(2))+5x-6=0\]
\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]
\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]
Trojčlenku môžeme prepísať takto:
\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\left(x-1 \right)\left(x+6 \right)\]
Naučili sme sa pracovať so štvorcovou trojčlenkou - na to sme museli nahrať túto video lekciu. Čo ak však okrem $x$ a konštanty existuje aj $y$? Pozrime sa na ne ako na ďalší prvok koeficientov, t.j. Prepíšme náš výraz takto:
\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]
\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]
\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]
Píšeme rozklad našej štvorcovej konštrukcie:
\[\left(x-y \right)\left(x+6y \right)\]
Celkovo, ak sa vrátime k pôvodnému výrazu a prepíšeme ho s prihliadnutím na zmeny, dostaneme nasledovné:
\[\frac(8)(\left(x-y \right)\left(x+6y \right))\]
Čo nám takýto rekord dáva? Nič, lebo sa to nedá zmenšiť, nie je to násobené ani ničím rozdelené. Akonáhle sa však tento zlomok ukáže ako neoddeliteľná súčasť zložitejšieho výrazu, takéto rozšírenie príde vhod. Preto, akonáhle uvidíte štvorcovú trojčlenku (či už je zaťažená ďalšími parametrami alebo nie), vždy ju skúste vynásobiť.
Nuansy riešenia
Pamätajte na základné pravidlá prevodu racionálnych výrazov:
- Všetky menovatele a čitatelia musia byť rozložené buď prostredníctvom skrátených vzorcov na násobenie alebo pomocou diskriminantu.
- Musíme pracovať podľa tohto algoritmu: keď sa pozrieme a pokúsime sa zvýrazniť skrátený vzorec násobenia, potom sa v prvom rade pokúsime preložiť všetko do maximálnej možnej miery. Potom zo zátvoriek vyberieme všeobecný stupeň.
- Veľmi často sa vyskytujú výrazy s parametrom: iné premenné sa objavia ako koeficienty. Nájdeme ich pomocou vzorca kvadratického rozšírenia.
Akonáhle teda uvidíte racionálne zlomky, prvá vec, ktorú musíte urobiť, je rozdeliť čitateľa aj menovateľa na faktory (do lineárnych výrazov), zatiaľ čo používame redukované vzorce na násobenie alebo diskriminant.
Pozrime sa na pár takýchto racionálnych vyjadrení a skúsme ich vypočítať.
Riešenie zložitejších príkladov
Úloha č.1
\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]
Prepisujeme a snažíme sa rozšíriť každý výraz:
Prepíšme celé naše racionálne vyjadrenie s ohľadom na tieto fakty:
\[\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\left(3y \right))^(2))-((\left(2x \right))^(2)))(((\left(2x \right))^(3))+ ((\left(3y\right))^(3)))=\]
\[=\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\left(3y-2x \right)\left(3y+2x \right))(\left(2x+3y \right)\left(((\left(2x \right))^(2))- 2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)) \right)))=-1\]
Odpoveď: $ - 1 $.
Úloha č. 2
\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4(x)^(2))-1)\]
Pozrime sa na všetky zlomky.
\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\vľavo(x-2 \vpravo))^(2))\]
Prepíšme celú štruktúru berúc do úvahy zmeny:
\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))\cdot \frac( 2x+1)(((\vľavo(x-2 \vpravo))^(2))\cdot \frac(\vľavo(2-x \vpravo)\vľavo(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \vpravo))(\vľavo(2x-1 \vpravo)\vľavo(2x+1 \vpravo))=\]
\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \left(x-2 \right))\]
Odpoveď: $\frac(3)(2\vľavo(x-2 \vpravo))$.
Nuansy riešenia
Čo sme sa teda práve naučili:
- Nie každá štvorcová trojčlenka je faktorizovaná, najmä to platí pre neúplnú druhú mocninu súčtu alebo rozdielu, ktoré sa veľmi často nachádzajú ako časti súčtových alebo rozdielových kociek.
- Konštanty, t.j. bežné čísla, ktoré nemajú pri sebe premenné, môžu tiež pôsobiť ako aktívne prvky v procese rozkladu. Po prvé, môžu byť vyňaté zo zátvoriek a po druhé, samotné konštanty môžu byť reprezentované ako mocniny.
- Veľmi často po rozklade všetkých prvkov na faktory vznikajú opačné konštrukcie. Tieto zlomky musíte zmenšiť veľmi opatrne, pretože keď ich prečiarknete zhora alebo zdola, objaví sa dodatočný faktor $ -1$ - to je práve dôsledok toho, že sú opačné.
Riešenie zložitých problémov
\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9(a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]
Uvažujme každý termín samostatne.
Prvý zlomok:
\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left (3a \vpravo))^(2))+3a\cdot 4b+((\vľavo(4b \vpravo))^(2)) \vpravo)\]
\[((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \right)\]
Celý čitateľ druhého zlomku môžeme prepísať takto:
\[((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2))\]
Teraz sa pozrime na menovateľa:
\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right) ))^(2))\]
Prepíšme celé racionálne vyjadrenie s ohľadom na vyššie uvedené skutočnosti:
\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \vpravo))(\vľavo(b-2 \vpravo)\vľavo(b+2 \vpravo))\cdot \frac(((\vľavo(b+2 \vpravo))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]
\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]
Odpoveď: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.
Nuansy riešenia
Ako sme sa opäť presvedčili, neúplné druhé mocniny súčtu alebo neúplné druhé mocniny rozdielu, ktoré sa často vyskytujú v skutočných racionálnych vyjadreniach, sa ich však nebojte, pretože po transformácii každého prvku sa takmer vždy zrušia. Navyše, v žiadnom prípade by ste sa v konečnej odpovedi nemali báť veľkých konštrukcií - je dosť možné, že to nie je vaša chyba (najmä ak je všetko zohľadnené), ale autor takúto odpoveď vymyslel.
Na záver by som si dovolil rozobrať jeden komplexnejší príklad, ktorý už síce nesúvisí priamo s racionálnymi zlomkami, ale obsahuje všetko, čo vás na reálnych testoch a skúškach čaká, a to: faktorizáciu, redukciu na spoločného menovateľa, redukciu podobných pojmov . To je presne to, čo teraz urobíme.
Riešenie zložitého problému zjednodušovania a transformácie racionálnych výrazov
\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \vpravo)\]
Najprv zvážte a rozbaľte prvú zátvorku: v nej vidíme tri samostatné zlomky s rôznymi menovateľmi, takže prvá vec, ktorú musíme urobiť, je priviesť všetky tri zlomky do spoločného menovateľa, a preto by mal byť každý z nich faktorizovaný:
\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]
\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \vpravo)\]
Prepíšme celú našu štruktúru takto:
\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x -2 \vpravo)\vľavo(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \vpravo))-\frac(1)(x-2)=\]
\[=\frac(x\vľavo(x-2 \vpravo)+((x)^(3))+8-\vľavo(((x)^(2))+2x+((2)^(2 )) \vpravo))(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \vpravo))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \vpravo))=\]
\[=\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((( 2)^(2)) \vpravo))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]
Toto je výsledok výpočtov z prvej zátvorky.
Zaobchádzanie s druhou zátvorkou:
\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(x+2 \ správny)\]
Prepíšme druhú zátvorku, berúc do úvahy zmeny:
\[\frac(((x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\vľavo(x+2 \vpravo))(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(x+2 \vpravo))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(x+2 \vpravo))\]
Teraz napíšme celú pôvodnú konštrukciu:
\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]
Odpoveď: $\frac(1)(x+2)$.
Nuansy riešenia
Ako vidíte, odpoveď sa ukázala byť celkom rozumná. Pozor však: veľmi často pri takýchto rozsiahlych výpočtoch, keď je jediná premenná len v menovateli, študenti zabudnú, že toto je menovateľ a mal by byť na spodku zlomku a tento výraz zapíšu do čitateľa - toto je hrubá chyba.
Okrem toho by som vás chcel osobitne upozorniť na to, ako sú takéto úlohy formalizované. Pri akýchkoľvek zložitých výpočtoch sa všetky kroky vykonávajú krok za krokom: najprv počítame samostatne prvú zátvorku, potom oddelene druhú zátvorku a až na konci spojíme všetky časti a vypočítame výsledok. Poisťujeme sa tak proti hlúpym chybám, pozorne si zapisujeme všetky výpočty a zároveň nestrácame čas navyše, ako by sa na prvý pohľad mohlo zdať.
Na škole typu VIII sa žiaci oboznamujú s týmito premenami zlomkov: vyjadrenie zlomku väčšími zlomkami (6. ročník), vyjadrenie nevlastného zlomku celým číslom alebo zmiešaným číslom (6. ročník), vyjadrenie zlomkov rovnakým dielom. (7. ročník), vyjadrenie zmiešaného čísla ako nevlastného zlomku (7. ročník).
Nesprávne vyjadrenie zlomkualebo zmiešané číslo
I Štúdium tohto materiálu by sa malo začať úlohou: vezmite 2 šité kruhy a rozdeľte každý z nich na 4 rovnaké časti, spočítajte počet štvrtých častí (obr. 25). Ďalej sa navrhuje zapísať túto sumu ako zlomok (t) Potom sa k sebe pridajú štvrté časti a študenti sú presvedčení, že to dopadlo
1. kruh. teda -t= jeden . Zvyšuje štyri štvrtiny – postupne viac -t, a študenti zapíšu: t=1, -7=1 6 2 7 3 8 9
Učiteľ upozorňuje študentov na skutočnosť, že vo všetkých uvažovaných prípadoch vzali nesprávny zlomok a v dôsledku transformácie dostali celé číslo alebo zmiešané číslo, to znamená, že nevlastný zlomok vyjadrili ako celé číslo. alebo zmiešané číslo. Ďalej sa musíme snažiť zabezpečiť, aby študenti nezávisle určili, akú aritmetickú operáciu možno túto transformáciu vykonať. Živé príklady vedúce k odpovedi
4. 8 0 5 ,1 7 ,3 „ L
na otázku sú: -2-=! a t = 2, 4" = 1t a tT " YV °D : do
Ak chcete vyjadriť nevlastný zlomok ako celé číslo alebo zmiešané číslo, musíte vydeliť čitateľa zlomku menovateľom, napísať podiel ako celé číslo, zvyšok zapísať do čitateľa a menovateľa ponechať rovnaký. Keďže pravidlo je ťažkopádne, nie je vôbec potrebné, aby si ho študenti zapamätali. Mali by byť schopní dôsledne rozprávať o činnostiach pri vykonávaní tejto transformácie.
Skôr ako žiakov oboznámime s vyjadrením nevlastného zlomku celým číslom alebo zmiešaným číslom, je vhodné si s nimi zopakovať delenie celého čísla celým číslom so zvyškom.
Upevnenie novej transformácie pre študentov je uľahčené riešením problémov životne dôležitého a praktického charakteru, napríklad:
„Vo váze je deväť štvrtín pomaranča. Skol| Z týchto akcií možno pridať celé pomaranče? Koľko štvrtín zostane?"
„Na výrobu vrchnákov na škatule, každý list karty
35 sa rozreže na 16 rovnakých častí. Mám -^. Koľko gólov!
Narezať listy kartónu? Koľko šestnástiny rezu! z dalsieho kusu? Atď.
Vyjadrenie celého čísla a zmiešaného číslanesprávny zlomok
Zoznámeniu študentov s touto novou transformáciou by malo predchádzať riešenie problémov, napr.
„2 kusy látky rovnakej dĺžky, ktoré majú tvar štvorca. > rozrežte na 4 rovnaké časti. Z každej takejto časti bola ušitá vreckovka. Koľko vreckoviek si dostal? I Záznam: 2= - 1 4^-, 2= -% ]
dostal si víno? Zapíšte si: boli 1 * kruhy, stali sa z toho * kruhy, čo znamená
Na vizuálnom a praktickom základe teda uvažujeme o množstve príkladov. V zvažovaných príkladoch sú študenti požiadaní, aby porovnali pôvodné číslo (zmiešané alebo celé číslo) a číslo, ktoré vyšlo po prevode (nepravý zlomok).
Na oboznámenie žiakov s pravidlom vyjadrenia celku a zmiešaného čísla ako nevlastného zlomku je potrebné upriamiť ich pozornosť na porovnanie menovateľov zmiešaného čísla a nevlastného zlomku, ako aj na to, ako sa získava čitateľ, napr. príklad:
1 2"=?, 1 = 2", plus ^, spolu ^ 3 ^=?, 3=-^-, plus ^, celkom
bude -^-. V dôsledku toho je pravidlo formulované: tak, že zmiešané číslo
vyjadrené ako nevlastný zlomok, je potrebné vynásobiť menovateľa celým číslom, pripočítať k súčinu čitateľa a ako čitateľa zapísať súčet a menovateľa ponechať nezmenený.
Najprv musíte precvičiť študentov vo vyjadrení jednotky ako nesprávneho zlomku, potom akéhokoľvek iného celého čísla s menovateľom a až potom zmiešaného čísla:
Základná vlastnosť zlomku 1
[koncept nemennosti zlomku pri zvyšovaní
1 úbytok jej členov, t. j. čitateľa a menovateľa, žiaci VIII. typu školy ťažko asimilujú. Tento koncept sa musí zaviesť na vizuálnom a didaktickom materiáli,
Prečo je dôležité, aby žiaci nielen pozorovali činnosť učiteľa, ale aj aktívne pracovali s didaktickým materiálom a na základe pozorovaní a praktických aktivít prichádzali k určitým záverom, zovšeobecneniam.
Napríklad učiteľ vezme celú repu, rozdelí ju na 2 rovnaké pomsty a spýta sa: „Čo ste dostali pri delení celej repy?
na polovicu? (2 polovice.) Ukáž * repy. Nakrájame (oddelíme)
polovicu repy na 2 rovnaké časti. čo získame? -y. Píšme:
tt \u003d - m - Porovnajme čitateľov a menovateľov týchto zlomkov. Kedy
krát sa čitateľ zvýšil? Koľkokrát sa menovateľ zvýšil? Koľkokrát sa zvýšil čitateľ aj menovateľ? Zmenil sa zlomok? Prečo sa to nezmenilo? Aké boli podiely: väčšie alebo menšie? Či sa počet zvýšil alebo znížil
Potom všetci žiaci rozdelia kruh na 2 rovnaké časti, každá polovica sa rozdelí na ďalšie 2 rovnaké časti, každá štvrtina sa ďalej rozdelí na
2 rovnaké časti atď. a napíšte: „o ^ A ^ tg ^ tgg a t - L- Potom zistia, koľkokrát sa zväčšil čitateľ a menovateľ zlomku, či sa zlomok zmenil. segmentujte a vydeľte ho postupne 3, 6, 12 rovnakými časťami a zapíšte:
1 21 4 Pri porovnaní zlomkov -^ a -^, -^ a -^ sa zistí, že
čitateľ a menovateľ zlomku r sa zväčšia rovnako, zlomok sa od toho nemení.
Po zvážení niekoľkých príkladov by mali byť študenti požiadaní, aby odpovedali na otázku: „Zmení sa zlomok, ak čitateľ Niektoré poznatky na tému „Obyčajné zlomky“ sú vylúčené z učiva matematiky na nápravných školách typu VIII, ale sú komunikované študentom v školách pre deti s mentálnou retardáciou, v vyrovnávacích triedach pre deti s poruchami učenia v matematike. V tejto učebnici sú odseky, ktoré uvádzajú metodiku štúdia tohto materiálu,
označené hviezdičkou (*).
Podobné príklady sú uvedené pri zvažovaní zníženia čitateľa a menovateľa rovnakým počtom krát (čitatelia a menovateľ sú delení rovnakým číslom). Napríklad cr>"
( 4 \ rozdelené na 8 rovnakých častí, vezmite 4 osminy kruhu I -o-]
po zväčšení podielov si vezmú štvrtý, budú ich 2. Po zväčšení podielov
4 2 1 vezmite druhú. Bude 1 : ~tý = -d--%- Porovnaj nasledovník!I
čitateľov a menovateľov týchto zlomkov, odpovedajúcich na otázky: „In<>koľkokrát sa zníži čitateľ a menovateľ? Zmení sa zlomok?
Dobrým benefitom sú pruhy, rozdelené na 12, 6, 3 rovnaké časti (obr. 26).
H
12 6 3 Obr. 26
a na základe uvažovaných príkladov môžu študenti dospieť k záveru: zlomok sa nezmení, ak je čitateľ a menovateľ zlomku delený rovnakým číslom (skrátený rovnakým počtom krát). Potom je uvedený všeobecný záver - hlavná vlastnosť zlomku: zlomok sa nezmení, ak sa čitateľ a menovateľ zlomku zvýši alebo zníži o rovnaký počet krát.Na škole typu VIII sa žiaci oboznamujú s týmito premenami zlomkov: vyjadrenie zlomku väčšími zlomkami (6. ročník), vyjadrenie nevlastného zlomku celým číslom alebo zmiešaným číslom (6. ročník), vyjadrenie zlomkov rovnakým dielom. (7. ročník), vyjadrenie zmiešaného čísla ako nevlastného zlomku (7. ročník).
Vyjadrenie nesprávneho zlomku celým alebo zmiešaným číslom
Štúdium tohto materiálu by malo začať úlohou: vezmite 2 rovnaké kruhy a rozdeľte každý z nich na 4 rovnaké časti, spočítajte počet štvrtých častí (obr. 25). Ďalej sa navrhuje zapísať túto sumu ako zlomok. Potom štvrté akcie na-
ľahli si k sebe a žiaci sú presvedčení, že sa zišiel celý kruh. Preto k štyrom štvrťrokom pridáva-
Xia postupne a študenti si zapíšu:
Učiteľ upozorňuje študentov na skutočnosť, že vo všetkých uvažovaných prípadoch vzali nesprávny zlomok a v dôsledku transformácie dostali celé číslo alebo zmiešané číslo, to znamená, že nevlastný zlomok vyjadrili ako celé číslo. alebo zmiešané číslo. Ďalej sa musíme snažiť zabezpečiť, aby študenti nezávisle určili, akú aritmetickú operáciu možno túto transformáciu vykonať. Živé príklady, ktoré vedú k odpovedi na otázku, sú: Záver: do
Ak chcete vyjadriť nevlastný zlomok ako celé číslo alebo zmiešané číslo, musíte vydeliť čitateľa zlomku menovateľom, napísať podiel ako celé číslo, zvyšok zapísať do čitateľa a menovateľa ponechať rovnaký. Keďže pravidlo je ťažkopádne, nie je vôbec potrebné, aby si ho študenti zapamätali. Mali by byť schopní dôsledne rozprávať o činnostiach pri vykonávaní tejto transformácie.
Skôr ako žiakov oboznámime s vyjadrením nevlastného zlomku celým číslom alebo zmiešaným číslom, je vhodné si s nimi zopakovať delenie celého čísla celým číslom so zvyškom.
Upevnenie novej transformácie pre študentov je uľahčené riešením problémov životne dôležitého a praktického charakteru, napríklad:
„Vo váze je deväť štvrtín pomaranča. Koľko celých pomarančov možno pridať z týchto podielov? Koľko štvrtín zostáva?
Vyjadrenie celého a zmiešaného čísla ako nesprávneho zlomku
Zoznámeniu študentov s touto novou transformáciou by malo predchádzať riešenie problémov, napr.
„2 kusy látky rovnakej dĺžky a tvaru štvorca boli rozrezané na 4 rovnaké časti. Z každej takejto časti bola ušitá vreckovka. Koľko vreckoviek si dostal? .
Učiteľ potom vyzve študentov, aby dokončili nasledujúcu úlohu: „Vezmite celý kruh a ďalšiu polovicu kruhu, ktorá má rovnakú veľkosť ako prvá. Celý kruh prerežte na polovicu. Koľko polčasov ste dostali? Napíšte: bol to kruh, stal sa kruhom.
Na vizuálnom a praktickom základe teda uvažujeme o množstve príkladov. V zvažovaných príkladoch sú študenti požiadaní, aby porovnali pôvodné číslo (zmiešané alebo celé číslo) a číslo, ktoré vyšlo po prevode (nepravý zlomok).
Na oboznámenie žiakov s pravidlom vyjadrenia celku a zmiešaného čísla ako nevlastného zlomku je potrebné upriamiť ich pozornosť na porovnanie menovateľov zmiešaného čísla a nevlastného zlomku, ako aj na to, ako sa získava čitateľ, napr. príklad:
bude 15.4. V dôsledku toho je formulované pravidlo: na vyjadrenie zmiešaného čísla ako nevlastného zlomku je potrebné vynásobiť menovateľa celým číslom, pridať čitateľa k súčinu a napísať súčet ako čitateľa a ponechať menovateľa. nezmenené.
Najprv musíte študentov precvičiť vo vyjadrení jednotky ako nesprávneho zlomku, potom akéhokoľvek iného celého čísla s uvedením menovateľa a až potom zmiešaného čísla -
Základná vlastnosť zlomku 1
Pojem nemennosti zlomku pri súčasnom zvyšovaní alebo znižovaní jeho členov, teda čitateľa a menovateľa, si žiaci VIII. typu školy osvojujú len veľmi ťažko. Tento pojem je potrebné zaviesť na základe názorného a didaktického materiálu, pričom je dôležité, aby žiaci nielen pozorovali činnosť učiteľa, ale s didaktickým materiálom aj aktívne pracovali a na základe pozorovaní a praktických činností dospeli k určitým závery, zovšeobecnenia.
Napríklad učiteľ vezme celú repu, rozdelí ju na 2 rovnaké časti a spýta sa: „Čo ste získali, keď ste celú repu rozdelili na polovicu? (2 polovice.) Ukážte repu. Polovicu repy prekrojíme (rozdelíme na 2 rovnaké časti). čo získame? Napíšte: Porovnajte čitateľov a menovateľov týchto zlomkov. Kedy
krát sa čitateľ zvýšil? Koľkokrát sa menovateľ zvýšil? Koľkokrát sa zvýšil čitateľ aj menovateľ? Zmenil sa zlomok? Prečo sa to nezmenilo? Aké boli podiely: väčšie alebo menšie? Zvýšil sa alebo znížil počet akcií?
Potom všetci žiaci rozdelia kruh na 2 rovnaké časti, každú polovicu rozdelia na dve rovnaké časti, každú štvrtinu na dve rovnaké časti atď. a zapíšu: atď.
zistite, koľkokrát sa zvýšil čitateľ a menovateľ zlomku, či sa zlomok zmenil. Potom nakreslia segment a rozdelia ho postupne na 3, 6, 12 rovnakých častí a zapíšu:
Pri porovnávaní zlomkov 
ukazuje sa, že
čitateľ a menovateľ zlomku sa zväčšia o rovnaký počet, zlomok sa od toho nemení.
Po zvážení niekoľkých príkladov by mali byť študenti vyzvaní, aby odpovedali na otázku: „Zmení sa zlomok, ak čitateľ
Niektoré poznatky na tému „Obyčajné zlomky“ sú z učiva matematiky v špeciálnych školách VIII. typu vylúčené, ale sprostredkúvajú sa žiakom v školách pre deti s mentálnou retardáciou, v vyrovnávacích triedach pre deti s poruchami učenia matematiky. V tejto učebnici sú odseky, ktoré uvádzajú metodiku štúdia tohto materiálu, označené hviezdičkou (*).
 |
a vynásobiť menovateľa zlomku rovnakým číslom (zväčšiť rovnakým počtom krát)? Okrem toho by mali byť študenti požiadaní, aby sami uviedli príklady.
Podobné príklady sú uvedené pri zvažovaní zníženia čitateľa a menovateľa rovnakým počtom krát (čitateľ a menovateľ sa delia rovnakým číslom). Napríklad kruh je rozdelený na 8 rovnakých častí, vezmite 4 osminy kruhu,
po zväčšení podielov si vezmú štvrtý, budú 2. Po zväčšení podielov si vezmú druhý. Budú sa porovnávať postupne
čitateľov a menovateľov týchto zlomkov, pričom odpovedá na otázky: „Koľkokrát sa zníži čitateľ a menovateľ? Zmení sa zlomok?*.
Dobrým benefitom sú pruhy, rozdelené na 12, 6, 3 rovnaké časti (obr. 26).
Na základe uvažovaných príkladov môžu študenti dospieť k záveru, že zlomok sa nezmení, ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vydelí rovnakým číslom (zmenší sa rovnakým počtom krát). Potom je uvedený všeobecný záver - hlavná vlastnosť zlomku: zlomok sa nezmení, ak sa čitateľ a menovateľ zlomku zvýši alebo zníži o rovnaký počet krát.
Zníženie frakcií
Najprv je potrebné pripraviť žiakov na tento prevod zlomkov. Ako viete, zmenšiť zlomok znamená vydeliť čitateľa a menovateľa zlomku rovnakým číslom. Ale deliteľ musí byť číslo, ktoré dáva v odpovedi nezredukovateľný zlomok.
Mesiac a pol predtým, ako sa študenti zoznámia s redukciou zlomkov, sa vykonajú prípravné práce - navrhuje sa vymenovať dve odpovede z multiplikačnej tabuľky, ktoré sú rozdelené rovnakým číslom. Napríklad: "Pomenujte dve čísla, ktoré sú deliteľné 4." (Najskôr sa žiaci pozrú na 1 v tabuľke a potom tieto čísla volajú spamäti.) Vyvolajú obe čísla a výsledky ich delenia 4. Potom učiteľ ponúkne žiakom zlomky, 3
napríklad vyberte deliteľa - pre čitateľa a menovateľa (základom na vykonanie takejto akcie je tabuľka násobenia).
na akú tabuľku sa mám pozrieť? Akým číslom možno deliť 5 a 15?) Ukazuje sa, že pri delení čitateľa a menovateľa zlomku tým istým číslom sa hodnota zlomku nezmenila (môže sa to zobraziť na pásiku, segmente, kruhu) , len sa stali väčšími ako zlomok: Zobrazenie zlomku sa zjednodušilo . Žiaci sú vedení k záveru o pravidle redukcie zlomkov.
Študenti školy typu VIII často ťažko hľadajú najväčšie číslo, ktorým je čitateľ aj menovateľ zlomku deliteľný. Preto sa často pozorujú chyby tohto charakteru, napríklad 4/12 = 2/6, t. j. študent nenašiel najväčšie spoločné
deliteľ pre čísla 4 a 12. Najprv teda môžete povoliť postupné delenie, to znamená, ale zároveň sa spýtať, na aké číslo bol najprv rozdelený čitateľ a menovateľ zlomku, na aké číslo potom a aké číslo by mohlo okamžite rozdeliť zlomky čitateľa a menovateľa. Takéto otázky pomáhajú žiakom postupne nájsť najväčšieho spoločného deliteľa čitateľa a menovateľa zlomku.
Casting zlomky po najnižší spoločný menovateľ*
Redukciu zlomkov na najnižšieho spoločného menovateľa treba považovať nie za samoúčelnú, ale za transformáciu potrebnú na porovnávanie zlomkov a potom na sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
Študenti sú už oboznámení s porovnávaním zlomkov s rovnakým čitateľom, ale rôznymi menovateľmi, a zlomkov s rovnakým menovateľom, ale rôznymi čitateľmi. Stále však nevedia porovnávať zlomky s rôznymi čitateľmi a rôznymi menovateľmi.
Predtým, ako žiakom vysvetlíme význam novej transformácie, je potrebné zopakovať si preberanú látku splnením napríklad nasledujúcich úloh:
Porovnanie zlomkov 2/5,2/7,2/3 Povedzte pravidlo na porovnávanie zlomkov s
rovnakých čitateľov.
 |
Porovnávanie zlomkov Povedzte pravidlo na porovnávanie zlomkov
s rovnakými menovateľmi.
Porovnanie zlomkov Tieto zlomky sa žiakom ťažko porovnávajú
pretože majú rôznych čitateľov a rôznych menovateľov. Ak chcete tieto zlomky porovnať, musíte zrovnoprávniť čitateľov alebo menovateľov týchto zlomkov. Menovatelia sa zvyčajne vyjadrujú rovnakým dielom, to znamená, že zlomky sa redukujú na najnižšieho spoločného menovateľa.
Žiakov je potrebné oboznámiť so spôsobom vyjadrovania zlomkov rovným dielom.
Najprv sa berú do úvahy zlomky s rôznymi menovateľmi, ale tie, v ktorých je menovateľ jedného zlomku bezo zvyšku deliteľný menovateľom iného zlomku, a teda môže byť aj menovateľom iného zlomku.
Napríklad v zlomkoch sú menovateľmi čísla 8 a 2.
Na vyjadrenie týchto zlomkov v rovnakých častiach učiteľ navrhuje vynásobiť menšieho menovateľa postupne číslami 2, 3, 4 atď., a to dovtedy, kým sa nedosiahne výsledok rovný menovateľovi prvého zlomku. Napríklad vynásobíme 2 číslom 2, dostaneme 4. Menovatelia oboch zlomkov sú opäť rozdielni. Ďalej vynásobíme 2 x 3, dostaneme 6. Číslo 6 tiež nesedí. Vynásobíme 2 x 4, dostaneme 8. V tomto prípade sa menovatelia stali rovnakými. Aby sa zlomok nezmenil, je potrebné vynásobiť čitateľa zlomku číslom 4 (na základe hlavnej vlastnosti zlomku). Získajte zlomok Teraz sú zlomky vyjadrené v rovnakých častiach. ich
ľahko porovnávať a vykonávať akcie s nimi.
Číslo, ktorým sa má vynásobiť menší menovateľ jedného zo zlomkov, nájdete tak, že väčšieho menovateľa vydelíte menším. Ak je napríklad 8 delené 2, dostaneme číslo 4. Týmto číslom musíte vynásobiť menovateľa aj čitateľa zlomku. To znamená, že na vyjadrenie niekoľkých zlomkov v rovnakých častiach je potrebné vydeliť väčšieho menovateľa menším, vynásobiť podiel menovateľom a čitateľom zlomku s menšími menovateľmi. Napríklad dané zlomky Ak chcete priniesť tieto zlomky
k najnižšiemu spoločnému menovateľovi potrebujete 12:6=2, 2x6=12, 306
2x1=2. Zlomok bude mať tvar . Potom 12:3=4, 4x3=12, 4x2=8. Zlomok bude mať tvar Preto zlomky budú mať tvar, t.j. budú vyjadrené
nym v rovnakom pomere.
Vykonávajú sa cvičenia, ktoré vám umožňujú vytvoriť schopnosť zredukovať zlomky na spoločného najnižšieho menovateľa.
Napríklad je potrebné vyjadriť v rovnakých častiach zlomok
Aby študenti nezabudli na kvocient, ktorý získame delením väčšieho menovateľa menším, je vhodné.
prepíšte zlomok s menším menovateľom. Napríklad a
Potom uvažujeme zlomky, v ktorých väčší menovateľ nie je deliteľný menším, a preto nie je
spoločné pre tieto zlomky. Napríklad menovateľ 8 nie je
je deliteľné 6. V tomto prípade bude väčší menovateľ 8 postupne násobený číslami číselného radu počnúc od 2, až kým nedostaneme číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné oboma menovateľmi 8 a 6. Aby aby zlomky zostali rovné údajom, je potrebné, aby čitatelia vynásobili rovnakými číslami. na-
3 5 tak, že zlomky r a * sú vyjadrené rovnakým dielom,
väčší menovateľ 8 sa vynásobí 2 (8x2=16). 16 nie je deliteľné 6, takže 8 sa vynásobí ďalším číslom 3 (8x3=24). 24 je deliteľné 6 a 8, takže 24 je spoločný menovateľ týchto zlomkov. Aby však zlomky zostali rovnaké, ich čitateľ sa musí zväčšiť o rovnaký počet, koľkokrát sa zvýšili menovatelia, teda 8 trojnásobne, čo znamená, že čitateľ tohto zlomku 3 sa zväčší 3-krát.
Zlomok bude mať tvar Menovateľ 6 zvýšený 4-krát. V súlade s tým musí byť čitateľ 5. zlomku zvýšený 4-krát. Zlomky budú mať tvar
Študentov tak privedieme k všeobecnému záveru (pravidlu) a oboznámime ich s algoritmom na vyjadrenie zlomkov rovným dielom. Napríklad, ak sú dané dva zlomky ¾ a 5/7
1. Nájdite najnižšieho spoločného menovateľa: 7x2=14, 7x3=21,
7x4=28. 28 je deliteľné 4 a 7. 28 je najmenej bežný banner
držiak frakcií
2. Nájdite ďalšie multiplikátory: 28:4=7,
3. Napíšme ich cez zlomky:
4. Čitateľov zlomkov vynásobíme ďalšími faktormi:
3x7=21, 5x4=20.
Dostaneme zlomky s rovnakými menovateľmi.
zlomky sme zredukovali na spoločného najmenšieho menovateľa.
Skúsenosti ukazujú, že pred štúdiom rôznych počtových operácií so zlomkami je vhodné oboznámiť študentov s prevodom zlomkov. Napríklad zmenšenie zlomkov alebo nahradenie nesprávneho zlomku celým číslom alebo zmiešaným číslom sa odporúča uviesť pred štúdiom sčítania a odčítania zlomkov s rovnakými menovateľmi, pretože vo výslednom súčte alebo rozdiele
Budete musieť urobiť jednu alebo obe transformácie.
Redukovanie zlomku na najmenší spoločný menovateľ je najlepšie preštudovať so študentmi pred témou „Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi“ a nahradenie zmiešaného čísla nesprávnym zlomkom – pred témou „Násobenie a delenie zlomkov celým číslom“ .
Sčítanie a odčítanie obyčajných zlomkov
1. Sčítanie a odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
Štúdia vykonaná Alysheva T.V. 1, naznačuje, že pri štúdiu činností sčítania a odčítania obyčajných zlomkov s rovnakými menovateľmi je vhodné použiť analógiu so sčítaním a odčítaním, ktoré už študenti poznajú.
čísla získané ako výsledok merania veličín a študovať akcie deduktívnou metódou, to znamená „od všeobecného po konkrétne“.
Najprv sa opakuje sčítanie a odčítanie čísel s názvami mier hodnoty a dĺžky. Napríklad 8 p. 20 k. ± 4 str. 15 k Pri vykonávaní ústneho sčítania a odčítania musíte najskôr pridať (odčítať) ruble a potom kopecky.
3 m 45 cm ± 2 m 24 cm - najprv pridajte (odčítajte) metre a potom centimetre.
Pri sčítavaní a odčítaní zlomkov zvážte všeobecný prípad: vykonávanie týchto akcií so zmiešanými číslami (menovatele sú rovnaké): V tomto prípade je potrebné: „Pridajte (odčítajte) celé čísla, potom čitateľov a menovateľ zostane rovnaký. Toto všeobecné pravidlo platí pre všetky prípady sčítania a odčítania zlomkov. Postupne sa zavádzajú konkrétne prípady: sčítanie zmiešaného čísla so zlomkom, potom zmiešaného čísla s celým číslom. Potom sa zvažujú ťažšie prípady odčítania: 1) od zmiešaného čísla zlomku: 2) od zmiešaného čísla celého čísla:
Po zvládnutí týchto pomerne jednoduchých prípadov odčítania sa študenti oboznamujú s ťažšími prípadmi, kedy je potrebná redukcia: odčítanie z jedného celku alebo z viacerých jednotiek, napr.
V prvom prípade musí byť jednotka reprezentovaná ako zlomok s menovateľom rovným menovateľovi subtrahendu. V druhom prípade zoberieme jednotku z celého čísla a zapíšeme ju aj ako nevlastný zlomok s vedľajším menovateľom, dostaneme zmiešané číslo v redukovanom čísle. Odčítanie sa vykonáva podľa všeobecného pravidla.
Nakoniec sa zvažuje najťažší prípad odčítania: zo zmiešaného čísla a čitateľ zlomkovej časti je menší ako čitateľ v subtrahende. V tomto prípade je potrebné zmeniť menu tak, aby sa dalo použiť všeobecné pravidlo, t. j. v menu zobrať jednu jednotku z celku a rozdeliť
v pätinách, dostaneme, áno, dostaneme príklad
bude mať nasledujúcu podobu: už je možné aplikovať na jeho riešenie
všeobecné pravidlo.
Využitie deduktívnej metódy výučby sčítania a odčítania zlomkov prispeje k rozvoju schopnosti žiakov zovšeobecňovať, porovnávať, diferencovať, zaraďovať jednotlivé prípady výpočtov do všeobecného systému poznatkov o dejoch so zlomkami.
