Definícia. Goniometrické funkcie numerického argumentu sú rovnomenné goniometrické funkcie uhla rovného radiánom.
Objasnime túto definíciu na konkrétnych príkladoch.
Príklad 1. Vypočítajte hodnotu . Tu máme na mysli abstraktné iracionálne číslo. Podľa definície. Takže, .
Príklad 2. Vypočítajte hodnotu . Tu 1,5 znamená abstraktné číslo. Ako je definované (pozri prílohu II).
Príklad 3. Vypočítajte hodnotu Podobne ako v predchádzajúcom získame (pozri prílohu II).
Takže v budúcnosti pod argumentom goniometrické funkcie budeme chápať uhol (oblúk) alebo len číslo, v závislosti od problému, ktorý riešime. A v niektorých prípadoch môže byť argumentom hodnota, ktorá má iný rozmer, ako je čas atď. Ak argument nazývame uhlom (oblúkom), môžeme ním myslieť číslo, s ktorým sa meria v radiánoch.
Späť dopredu
Pozor! Ukážka snímky slúži len na informačné účely a nemusí predstavovať celý rozsah prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.
Ciele lekcie:
- Rozvoj zručností a schopností aplikovať trigonometrické vzorce na zjednodušenie goniometrických výrazov.
- Uplatňovanie princípu akčného prístupu vo vyučovaní žiakov, rozvoj komunikačných zručností a tolerancie žiakov, schopnosti počúvať a počuť druhých a vyjadrovať svoj názor.
- Zvyšovanie záujmu žiakov o matematiku.
Typ lekcie:školenia.
Typ lekcie: lekcia rozvoja zručností.
Forma štúdia: skupina.
Typ skupiny: skupina sedí spolu. Žiaci rôznej úrovne učenia, informovanosti v tomto predmete, kompatibilných žiakov, čo im umožňuje vzájomne sa dopĺňať a obohacovať.
Vybavenie: doska; kúsok kriedy; tabuľka "Trigonometer"; cestovné listy; kartičky s písmenami (A, B, C.) na vyplnenie testu; štítky s menom posádky; hodnotiace hárky; tabuľky s názvami etáp cesty; magnety, multimediálny komplex.
Počas vyučovania
Žiaci sedia v skupinách: 4 skupiny po 5-6 ľudí. Každá skupina je posádka vozidla s menami zodpovedajúcimi názvom goniometrických funkcií na čele s kormidelníkom. Každá posádka dostane rozpis trasy a určí sa cieľ: prejsť danú trasu úspešne, bez chýb. Lekciu sprevádza prezentácia.
I. Organizačný moment.
Učiteľ nahlási tému hodiny, účel hodiny, priebeh hodiny, plán práce skupín, úlohu kormidelníkov.
Úvodné slovo učiteľa:
– Chlapci! Zapíšte si číslo a tému lekcie: "Trigonometrické funkcie číselného argumentu."
Dnes sa v lekcii naučíme:
- Vypočítajte hodnoty goniometrických funkcií;
- Zjednodušte trigonometrické výrazy.
Na to potrebujete vedieť:
- Definície goniometrických funkcií
- Goniometrické vzťahy (vzorce).
Už dávno je známe, že jedna hlava je dobrá, ale dve sú lepšie, a preto dnes pracujete v skupinách. Je známe aj to, že cestu zvládne aj ten peší. Ale žijeme v dobe rýchlostí a čas je vzácny, čo znamená, že môžeme povedať toto: „Jazdec zvládne cestu“, takže dnes budeme mať lekciu v podobe hry Matematická rally. Každá skupina je posádka auta na čele s kormidelníkom.
Účel hry:
- úspešne dokončiť trasu pre každú posádku;
- odhaliť šampiónov rally.
Názvy posádok zodpovedajú značke auta, na ktorom bežíte.
Predstavujú sa posádky a ich kormidelníci:
- Posádka - "sínus"
- Posádka - "kosínus"
- Posádka - "tangenta"
- Posádka - "kotangenta"
Motto pretekov: "Ponáhľaj sa pomaly!"
Musíte urobiť beh na "matematickom teréne" s mnohými prekážkami.
Pre každú posádku boli vydané traťové listy. Posádky, ktoré poznajú definície a trigonometrické vzorce, budú vedieť prekonať prekážky.
Počas behu každý kormidelník vedie posádku, pomáha a hodnotí prínos každého člena posádky k prekonaniu trasy vo forme „plusov“ a „mínusov“ v bodovacom lístku. Za každú správnu odpoveď dostane skupina „+“, nesprávne „-“.
Musíte prekonať nasledujúce fázy cesty:
ja inscenujem. SDA (pravidlá cestnej premávky).
II etapa. Inšpekcia.
III etapa. Cross country preteky.
IV štádium. Náhle zastavenie je nehoda.
V etapa. Zastaviť.
VI etapa. Záver.
VII etapa. Výsledky.
A tak na ceste!
ja inscenujem. SDA (pravidlá cestnej premávky).
1) V každej posádke rozdajú kormidelníci lístky každému členovi posádky s teoretickými otázkami:
- Povedzte definíciu sínusu čísla t a jeho znamienka v štvrtinách.
- Povedzte definíciu kosínusu čísla t a jeho znamienka v štvrtinách.
- Vymenujte najmenšie a najväčšie hodnoty sin t a cos t.
- Povedzte definíciu dotyčnice čísla t a jeho znamienka v štvrtinách.
- Povedzte definíciu kotangens čísla t a jeho znamienka v štvrtinách.
- Povedzte nám, ako nájsť hodnotu funkcie sin t zo známeho čísla t.
2) Zbierajte „rozmrvené“ vzorce. Na tajnej tabuli je stôl (pozri nižšie). Posádky musia upraviť vzorce. Každý tím napíše odpoveď na tabuľu vo forme riadku zodpovedajúcich písmen (v pároch).
| a | tg 2 t + 1 | e | 1 |
| v | tg t | dobre | cos t / sin t, t ≠ k, kZ. |
| d | sin2t + cos2t | a | 1/ sin 2 t, t ≠ k, kZ. |
| joj | ctg t | do | 1,t ≠ k / 2, kZ. |
| h | 1+ctg2t | G | sin t /cos t, t ≠ /2 + k, kZ. |
| th | tg t∙ctg t | b | 1/ cos 2 t, t ≠ /2 + k, kZ. |
odpoveď: ab, vg, de, ježko, zi, yk.
II etapa. Inšpekcia.
Ústna práca: test.
Na tajničke je napísané: úloha: zjednodušiť výraz.
Odpovede sú napísané vedľa. Posádky určia správne odpovede za 1 minútu. a zoberte zodpovedajúcu sadu písmen.
| № | Výraz | Možnosti odpovede | ||
| ALE | AT | S | ||
| 1. | 1 – náklady 2 t | čo 2 t | -sin2t | hriech 2 t |
| 2. | hriech 2 t - 1 | čo 2 t | - cena 2 t | 2 čo 2 t |
| 3. | (cena t – 1)(1+ cena t) | -sin2t | (1+ náklady t) 2 | (cena t – 1) 2 |
Odpoveď: S.V.A.
III etapa. Cross country preteky.
3 minúty posádkam na poradu pri riešení úlohy a potom zástupcovia posádok napíšu riešenie na tabuľu. Keď zástupcovia posádok dopíšu riešenie prvej úlohy, všetci žiaci (spolu s učiteľom) skontrolujú správnosť a racionálnosť riešení a zapíšu si ich do zošita. Kormidelníci hodnotia prínos každého člena posádky znamienkami „+“ a „-“ v hodnotiacich hárkoch.
Úlohy z učebnice:
- Posádka - "sínus": č.118 g;
- Posádka - "kosínus": č. 122 a;
- Posádka - "tangenta": č. 123 g;
- Posádka – „kotangenta“: č.125
IV štádium. Náhle zastavenie je nehoda.
– Vaše auto sa pokazilo. Vaše auto treba opraviť.
Vyhlásenia sú uvedené pre každú posádku, ale obsahujú chyby. Nájdite tieto chyby a vysvetlite, prečo k nim došlo. Výpisy využívajú trigonometrické funkcie, ktoré zodpovedajú značkám vašich áut.
V etapa. Zastaviť.
Ste unavení a potrebujete si oddýchnuť. Kým posádka odpočíva, kormidelníci zhrňujú predbežné výsledky: zvažujú „plusy“ a „mínusy“ členov posádky a posádky ako celku.
Pre študentov:
3 alebo viac "+" - skóre "5";
2 "+" - skóre "4";
1 "+" - skóre "3".
Pre posádky:"+" a "-" sa navzájom rušia. Počítajú sa iba zvyšné postavy.
Hádajte šarádu.
Z čísel vezmeš moju prvú slabiku,
Druhý - od slova "hrdý".
A ty poháňaš tretie kone,
Štvrtým bude bľačanie ovečky.
Moja piata slabika je rovnaká ako prvá
Posledné písmeno v abecede je šieste,
A ak hádate správne,
Potom v matematike dostanete sekciu ako je táto.
(trigonometria)
Slovo "trigonometria" (z gréckych slov "trigonon" - trojuholník a "metreo" - meriam) znamená "meranie trojuholníkov". Vznik trigonometrie je spojený s rozvojom geografie a astronómie – vedy o pohybe nebeských telies, stavbe a vývoji vesmíru.
V dôsledku vykonaných astronomických pozorovaní bolo potrebné určiť polohu svietidiel, vypočítať vzdialenosti a uhly. Keďže niektoré vzdialenosti, napríklad od Zeme k iným planétam, nebolo možné merať priamo, vedci začali vyvíjať metódy na hľadanie vzťahov medzi stranami a rohmi trojuholníka, v ktorom sú dva vrcholy umiestnené na Zemi a tretí vrchol. je planéta alebo hviezda. Takéto vzťahy možno odvodiť štúdiom rôznych trojuholníkov a ich vlastností. Preto astronomické výpočty viedli k riešeniu (t. j. nájdeniu prvkov) trojuholníka. Toto robí trigonometria.
Počiatky trigonometrie boli objavené v starovekom Babylone. Babylonskí vedci dokázali predpovedať zatmenie Slnka a Mesiaca. Niektoré informácie trigonometrickej povahy sa nachádzajú v starovekých pamiatkach iných národov staroveku.
VI etapa. Záver.
Na úspešné prekročenie cieľovej čiary zostáva dotiahnuť a urobiť „trhnutie“. V trigonometrii je veľmi dôležité vedieť rýchlo určiť hodnoty sin t, náklady, tgt, ctg t, kde 0 ≤ t ≤ . Zatvorte učebnice.
Posádky striedavo pomenúvajú hodnoty funkcií sin t, cost, tgt, ctg t, ak:
VII etapa. Výsledky.
Výsledky hry.
Kormidelníci odovzdajú hodnotiace hárky. Je určená posádka, ktorá sa stala šampiónom „Matematickej rally“ a charakterizovaná práca ostatných skupín. Nasledujú mená tých, ktorí dostali známky „5“ a „4“.
Výsledky lekcie.
- Chlapci! Čo ste sa dnes v triede naučili? (zjednodušte goniometrické výrazy; nájdite hodnoty goniometrických funkcií). Čo k tomu potrebujete vedieť?
- definície a vlastnosti sin t, cos t, tg t, ctg t;
- vzťahy týkajúce sa hodnôt rôznych goniometrických funkcií;
- znaky goniometrických funkcií pozdĺž štvrtín číselného kruhu.
- hodnoty goniometrických funkcií prvej štvrtiny číselného kruhu.
– Myslím, že chápete, že vzorce musia byť dobre známe, aby ste ich mohli správne aplikovať. Uvedomili ste si tiež, že trigonometria je veľmi dôležitou súčasťou matematiky, keďže sa používa aj v iných vedách: astronómii, geografii, fyzike atď.
Domáca úloha:
- pre žiakov, ktorí dostali "5" a "4": §6, č.128a, 130a, 134a.
- pre ostatných študentov: §6, #119g, #120g, #121g.
Ciele lekcie:
Vzdelávacie:
- Poskytnúť opakovanie, zovšeobecnenie a systematizáciu učiva témy „Trigonometrické funkcie numerického argumentu“;
- Vytvárať podmienky na kontrolu (sebakontrolu) asimilácie vedomostí a zručností.
vyvíja sa:
- Prispieť k formovaniu schopnosti aplikovať techniky - porovnania, zovšeobecnenia, zdôraznenie hlavnej veci, prenos vedomostí do novej situácie;
- Rozvoj matematického rozhľadu, myslenia, reči, pozornosti a pamäti.
Vzdelávacie:
- Podporovať vzdelávanie so záujmom o matematiku, aktivitu, komunikačné zručnosti a spoločnú kultúru.
Typ lekcie: lekcia zovšeobecňovania a systematizácie vedomostí.
Vyučovacie metódy:čiastočné vyhľadávanie, (heuristické).
Testové overenie úrovne vedomostí, riešenie kognitívnych zovšeobecňujúcich problémov, sebaskúmanie, systémové zovšeobecnenia.
Plán lekcie.
- Org. moment - 2 min.
- Samokontrolný test - 10 min.
- Reportáž k téme - 3 min.
- Systematizácia teoretického materiálu - 15 min.
- Diferencovaná samostatná práca so samoskúškou - 10 min.
- Výsledok samostatnej práce - 2 min.
- Zhrnutie lekcie - 3 min.
Počas vyučovania
1. Organizačný moment.
Domáca úloha:
Odsek 1, odsek 1.4
- Testovacia práca (úlohy boli vyvesené na stánku).
Francúzsky spisovateľ Anatole France raz poznamenal: „Učenie môže byť len zábava. Aby človek mohol stráviť vedomosti, musí ich absorbovať s chuťou.“ Nasledujme túto radu spisovateľa dnes na lekcii, buďme aktívni, pozorní, nasávajme vedomosti s veľkou túžbou. Koniec koncov, budú vám užitočné v budúcnosti.
Dnes máme poslednú lekciu na tému: „Trigonometrické funkcie numerického argumentu“. Zopakujeme, zovšeobecníme preberaný materiál, metódy a techniky riešenia goniometrických výrazov.
2. Samokontrolný test.
Práca sa vykonáva v dvoch verziách. otázky na obrazovke.
| № | 1 možnosť | Možnosť 2 |
| 1 | Definujte sínus a kosínus ostrého uhla | Definujte tangens a kotangens ostrého uhla |
| 2 | Aké číselné funkcie sa nazývajú tangens a kotangens? Uveďte definíciu. | Ktoré číselné funkcie sa nazývajú sínus a kosínus? Uveďte definíciu. |
| 3 | Bod na jednotkovej kružnici má súradnice . Nájdite hodnoty hriechu, cos. | Bod jednotkovej kružnice má súradnice (-0,8; -0,6). Nájdite hodnotu tg, ctg. |
| 4 | Ktoré zo základných goniometrických funkcií sú nepárne? Napíšte zodpovedajúce rovnosti. | Ktoré zo základných goniometrických funkcií sú párne? Napíšte zodpovedajúce rovnosti. |
| 5 | Ako sa menia hodnoty sínusu a kosínusu, keď sa uhol zmení o celý počet otáčok? Napíšte zodpovedajúce rovnosti. | Ako sa zmenia hodnoty tangens a kotangens, keď sa uhol zmení o celý počet otáčok? Aká je funkcia? Napíšte zodpovedajúce rovnosti. |
| 6 | Nájdite hodnoty sin cos, sin(- 630°), cos (- 630°). | Nájdite hodnoty tg, ctg, tg 540°, ctg(-450°). |
| 7 | Ktorý obrázok znázorňuje graf funkcie y \u003d sin x?
|
Ktorý obrázok znázorňuje graf funkcie y \u003d tg x?
|
| 8 | Zapíšte si redukčné vzorce pre uhly ( - ), (- ). | Zapíšte si redukčné vzorce pre uhly (+ ), (+ ). |
| 9 | Napíšte vzorce na sčítanie. | Napíšte základné goniometrické identity. |
| 10 | Napíšte vzorce na zníženie stupňa. | Napíšte vzorce s dvojitým argumentom. |
Žiaci označujú nesprávne kroky. Počet správnych odpovedí je zaznamenaný vo vedomostnom hárku.
3. Správa.
Správa o histórii vývoja trigonometrie (hovorí vyškolený študent).
4. Systematizácia teoretického materiálu.
ústne zadania.
1) O čom hovoríme? čo je špeciálne?
Určite znamienko výrazu:
a) cos (700°) tg 380°,
b) čo (- 1) hriech (- 2)
2) Čo hovorí tento blok vzorcov? kde sa stala chyba?
3) Zvážte tabuľku:
Goniometrické transformácie |
|||
| Nájdenie hodnôt goniometrických výrazov | Zistenie hodnoty goniometrickej funkcie zo známej hodnoty danej goniometrickej funkcie | Zjednodušenie goniometrických výrazov | identity |
4) Riešenie úloh každého typu goniometrických transformácií.
Nájdenie hodnôt goniometrických výrazov.
Nájdenie hodnoty goniometrickej funkcie zo známej hodnoty danej goniometrickej funkcie.
Dané: hriech = ;< <
Nájdite cos2, ctg2.
Odpoveď: .< < 2
Nájsť: cos2 , tg2
Tretia úroveň obtiažnosti:
Dané: hriech = ;< <
Nájdi: sin2 ; sin(60° - ); tg (45° + )
Dodatočná úloha.
Dokážte totožnosť:
4 sin 4 - 4 sin 2 = cos 2 2 - 1
6. Výsledok samostatnej práce.
Žiaci si skontrolujú svoju prácu a výsledky zapíšu do pracovného listu.
7. Hodina je zhrnutá.
Definícia 1:Číselná funkcia daná vzorcom y=sin x sa nazýva sínus.
Táto krivka sa nazýva sínusoida.
Vlastnosti funkcie y=sin x
2. Rozsah funkcií: E(y)=[-1; jeden]
3. Paritná funkcia:
y=hriech x – nepárne,.
4. Periodicita: sin(x+2πn)=sin x, kde n je celé číslo.
Táto funkcia nadobúda rovnaké hodnoty po určitom intervale. Táto vlastnosť funkcie sa nazýva periodicita. Interval je perióda funkcie.
Pre funkciu y=sin x je perióda 2π.
Funkcia y=sin x je periodická, s periódou T=2πn, n je celé číslo.
Najmenšia kladná perióda T=2π.
Matematicky to možno zapísať ako: sin(x+2πn)=sin x, kde n je celé číslo.
Definícia 2:Číselná funkcia daná vzorcom y=cosx sa nazýva kosínus.
Vlastnosti funkcie y=cos x
1. Rozsah funkcie: D(y)=R
2. Rozsah funkcie: E(y)=[-1;1]
3. Paritná funkcia:
y=cos x je párne.
4. Periodicita: cos(x+2πn)=cos x, kde n je celé číslo.
Funkcia y=cos x je periodická s periódou Т=2π.
Definícia 3:Číselná funkcia daná vzorcom y=tg x sa nazýva tangens.
Vlastnosti funkcie y=tg x
1. Oblasť funkcie: D(y) - všetky reálne čísla okrem π/2+πk, k je celé číslo. Pretože v týchto bodoch dotyčnica nie je definovaná.
3. Paritná funkcia:
y=tg x je nepárne.
4. Periodicita: tg(x+πk)=tg x, kde k je celé číslo.
Funkcia y=tg x je periodická s periódou π.
Definícia 4:Číselná funkcia daná vzorcom y=ctg x sa nazýva kotangens.
Vlastnosti funkcie y=ctg x
1. Oblasť funkcie: D(y) - všetky reálne čísla okrem πk, k je celé číslo. Pretože v týchto bodoch kotangens nie je definovaný.
2. Rozsah funkcie: E(y)=R.
