Ранг матриці 2х2. Знаходження рангу матриці. Визначення рангу матриці

Число r називається рангом матриці A якщо:
1) в матриці A є мінор порядку r відмінний від нуля;
2) всі мінори порядку (r+1) і вище, якщо вони існують, дорівнюють нулю.
Інакше ранг матриці – це найвищий порядок мінору, відмінного від нуля.
Позначення: rangA, r A або r.
З визначення слід, що r – ціле позитивне число. Для нуль-матриці вважають ранг рівним нулю.

Призначення сервісу. Онлайн-калькулятор призначений для знаходження рангу матриці. При цьому рішення зберігається у форматі Word та Excel. див. приклад рішення.

Інструкція. Виберіть розмір матриці, натисніть Далі.

Визначення. Нехай дана матриця рангу r. Будь-який мінор матриці, відмінний від нуля і має порядок r, називається базисним, а рядки та стовпці його складові – базовими рядками та стовпцями.
Відповідно до цього визначення, матриця A може мати кілька базисних мінорів.

Ранг одиничної матриці E дорівнює n (кількості рядків).

Приклад 1 . Дано дві матриці , та їхні мінори , . Який з них можна прийняти як базисний?
Рішення. Мінор M 1 =0, тому він не може бути базовим для жодної з матриць. Мінор M 2 =-9≠0 і має порядок 2, значить його можна прийняти як базисні матриці A або / і B за умови, що вони мають ранги, рівні 2 . Оскільки detB=0 (як визначник з двома пропорційними стовпцями), то rangB=2 і M 2 можна взяти за базисний мінор матриці B. Ранг матриці A дорівнює 3, тому що detA=-27≠0 і, отже, порядок базисного мінору цієї матриці повинен дорівнювати 3, тобто M 2 не є базисним для матриці A . Зазначимо, що у матриці A єдиний базисний мінор, що дорівнює визначнику матриці A .

Теорема (про базисний мінор). Будь-який рядок (стовпчик) матриці є лінійною комбінацією її базисних рядків (стовпців).
Наслідки з теореми.

Будь-які (r+1) стовпчиків (рядків) матриці рангу r лінійно залежні.
Якщо ранг матриці менший за кількість її рядків (стовпців), то її рядки (стовпці) лінійно залежні. Якщо rangA дорівнює числу її рядків (стовпців), то рядки (стовпці) лінійно незалежні.
Визначник матриці A дорівнює нулю і тоді, коли її рядки (стовпці) лінійно залежні.
Якщо до рядка (стовпця) матриці додати інший рядок, (стовпець) помножену на будь-яке число, відмінне від нуля, то ранг матриці не зміниться.
Якщо у матриці закреслити рядок (стовпець), що є лінійною комбінацією інших рядків (стовпців), то ранг матриці не зміниться.
Ранг матриці дорівнює максимальному числу її лінійно незалежних рядків (стовпців).
Максимальна кількість лінійно незалежних рядків збігається з максимальною кількістю лінійно незалежних стовпців.

Приклад 2 . Знайти ранг матриці .
Рішення. Виходячи з визначення рангу матриці, шукатимемо мінор найвищого порядку, відмінний від нуля. Спочатку перетворимо матрицю до більш простого вигляду. Для цього перший рядок матриці помножимо на (-2) і додамо до другого, потім її помножимо на (-1) і додамо до третього.

А також розглянемо важливий практичний додаток теми: дослідження системи лінійних рівнянь на сумісність.

Що таке ранг матриці?

У гумористичному епіграфі статті міститься велика частина істини. Саме слово «ранг» у нас зазвичай асоціюється з деякою ієрархією, найчастіше, зі службовими сходами. Чим більше людина знань, досвіду, здібностей, блату тощо. – тим вище його посада та спектр можливостей. Висловлюючись молодіжним, під рангом мають на увазі загальний ступінь «крутості».

І брати наші математичні живуть за тими самими принципами. Виведемо на прогулянку кілька довільних нульових матриць:

Задумаємося, якщо у матриці одні нулі, то про який ранг може йтися? Усім знайомий неформальний вираз «повний нуль». У суспільстві матриць все так само:

Ранг нульової матрицібудь-яких розмірів дорівнює нулю.

Примітка : нульова матриця позначається грецькою літерою «тета»

З метою кращого розуміння рангу матриці тут і далі я залучатиму на допомогу матеріали аналітичної геометрії. Розглянемо нульовий векторнашого тривимірного простору, який не ставить певного спрямування та марний для побудови афінного базису. З точки зору алгебри координати даного вектора записані в матрицю«один на три» та логічно (У зазначеному геометричному сенсі)вважати, що ранг цієї матриці дорівнює нулю.

Тепер розглянемо кілька ненульових векторів-стовпціві векторів-рядок:

У кожному екземплярі є хоча б один ненульовий елемент, і це вже дещо!

Ранг будь-якого ненульового вектора-рядки (вектора-стовпця) дорівнює одиниці

І взагалі - якщо у матриці довільних розмірівє хоча б один ненульовий елемент, то її ранг не меншеодиниці.

Алгебраїчні вектори-рядки та вектори-стовпці певною мірою абстрактні, тому знову звернемося до геометричної асоціації. Ненульовий векторставить цілком певний напрямок у просторі і годиться для побудови базисутому ранг матриці будемо вважати рівним одиниці.

Теоретична довідка : у лінійній алгебрі вектор – це елемент векторного простору (визначається через 8 аксіом), який, зокрема, може являти собою впорядкований рядок (або стовпець) дійсних чисел з певними для них операціями складання та множення на дійсне число. З більш детальною інформацією про вектори можна ознайомитись у статті Лінійні перетворення.

лінійно залежні(Виражаються один через одного). З геометричного погляду в другий рядок записані координати колінеарного вектора , який анітрохи не просунув справу у побудові тривимірного базису, будучи в цьому сенсі зайвим. Таким чином, ранг цієї матриці теж дорівнює одиниці.

Перепишемо координати векторів у стовпці ( транспонуємо матрицю):

Що змінилося з погляду рангу? Нічого. Стовпці пропорційні, отже, ранг дорівнює одиниці. До речі, зверніть увагу, що всі три рядки також пропорційні. Їх можна ототожнити з координатами трьохколінеарних векторів площини, з яких тільки одинкорисний для побудови «плоського» базису. І це повністю узгоджується з нашим геометричним змістом рангу.

З наведеного прикладу слід важливе твердження:

Ранг матриці за рядками дорівнює рангу матриці за стовпцями. Про це я вже трохи згадував на уроці про ефективні методи обчислення визначника.

Примітка : з лінійної залежності рядків слідує лінійна залежність стовпців (і навпаки). Але з метою економії часу, та й через звичку я майже завжди говоритиму про лінійну залежність рядків.

Продовжимо дресирувати нашого улюбленого улюбленця. Додамо в матрицю третім рядком координати ще одного колінеарного вектора :

Чи допоміг він нам у побудові тривимірного базису? Звичайно, ні. Всі три вектори гуляють туди-сюди однією доріжкою, і ранг матриці дорівнює одиниці. Можна взяти скільки завгодно колінеарних векторів, скажімо, 100, укласти їх координати в матрицю "сто на три" і ранг такого хмарочоса все одно залишиться поодиноким.

Познайомимося з матрицею, рядки якої лінійно незалежні. Пара неколлінеарних векторів придатна для побудови тривимірного базису. Ранг цієї матриці дорівнює двом.

А чому дорівнює ранг матриці? Рядки начебто не пропорційні ..., отже, за ідеєю трьом. Проте ранг цієї матриці теж дорівнює двом. Я склав перші два рядки і записав результат унизу, тобто лінійно висловивтретій рядок через перші два. Геометрично рядки матриці відповідають координатам трьох компланарних векторів, причому серед цієї трійки є пара неколлінеарних товаришів.

Як бачите, лінійна залежністьу розглянутій матриці не очевидна, і сьогодні ми навчимося виводити її «на чисту воду».

Думаю, багато хто здогадується, що таке ранг матриці!

Розглянемо матрицю, рядки якої лінійно незалежні. Вектори утворюють афінний базис, і ранг цієї матриці дорівнює трьом.

Як ви знаєте, будь-який четвертий, п'ятий, десятий вектор тривимірного простору лінійно виражатиметься через базисні вектори. Тому, якщо до матриці додати будь-яку кількість рядків, то її ранг все одно дорівнюватиме трьом.

Аналогічні міркування можна провести для матриць більших розмірів (зрозуміло, вже без геометричного сенсу).

Визначення : ранг матриці – це максимальна кількість лінійно незалежних рядків. Або: ранг матриці – це максимальна кількість лінійно незалежних стовпців. Так, їхня кількість завжди збігається.

З вищесказаного також випливає важливий практичний орієнтир: ранг матриці не перевищує її мінімальної розмірності. Наприклад, у матриці чотири рядки та п'ять стовпців. Мінімальна розмірність - чотири, отже, ранг цієї матриці явно не перевищить 4.

Позначення: у світовій теорії та практиці не існує загальноприйнятого стандарту для позначення рангу матриці, найчастіше можна зустріти: – як кажуть, англієць пише одне, німець інше. Тому давайте за мотивами відомого анекдоту про американське та російське пекло позначати ранг матриці рідним словом. Наприклад: . Якщо ж матриця «безіменна», яких зустрічається дуже багато, можна просто записати .

Як знайти ранг матриці за допомогою мінорів?

Якби у бабусі нас у матриці був п'ятий стовпець, то слід би вирахувати ще один мінор 4-го порядку («сині», «малиновий» + 5-й стовпець).

Висновок: максимальний порядок ненульового мінору дорівнює трьом, отже, .

Можливо, не всі остаточно осмислили цю фразу: мінор 4-го порядку дорівнює нулю, але серед мінорів 3-го порядку знайшовся ненульовий - тому максимальний порядок ненульовогомінору і дорівнює трьом.

Виникає питання, а чому б одразу не вирахувати визначник? Ну, по-перше, в більшості завдань матриця не квадратна, а по-друге, навіть якщо у вас і вийде ненульове значення, то завдання з високою ймовірністю забракують, тому що воно зазвичай має на увазі стандартне рішення «знизу нагору». А в розглянутому прикладі нульовий визначник 4-го порядку взагалі дозволяє стверджувати, що ранг матриці лише менше чотирьох.

Повинен зізнатися, розібране завдання я вигадав сам, щоб якісніше пояснити метод обрамляючих мінорів. У реальній практиці все простіше:

Приклад 2

Знайти ранг матриці методом облямівних мінорів

Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Коли алгоритм працює найшвидше? Повернемося до тієї ж матриці "чотири на чотири" . Очевидно, рішення буде найкоротшим у разі «хороших» кутових мінорів:

І, якщо , то , інакше – .

Роздум зовсім не гіпотетичний - існує чимало прикладів, де вся справа і обмежується тільки кутовими мінорами.

Однак у ряді випадків ефективніший і кращий інший спосіб:

Як знайти ранг матриці за допомогою методу Гауса?

Параграф розрахований на читачів, які вже знайомі з методом Гаусаі хоч трохи набили на ньому руку.

З технічного погляду метод не відрізняється новизною:

1) за допомогою елементарних перетворень наводимо матрицю до ступінчастого вигляду;

2) ранг матриці дорівнює кількості рядків.

Цілком зрозуміло, що використання методу Гауса не змінює рангу матриці, І суть тут гранично проста: згідно з алгоритмом, в ході елементарних перетворень виявляються та видаляються всі зайві пропорційні (лінійно залежні) рядки, внаслідок чого залишається «сухий залишок» – максимальна кількість лінійно незалежних рядків.

Перетворимо стару знайому матрицю з координатами трьох колінеарних векторів:

(1) До другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. До третього рядка додали перший рядок.

(2) Нульові рядки видаляємо.

Таким чином, залишився один рядок, отже, . Що й казати, це набагато швидше, ніж розрахувати дев'ять нульових мінорів 2-го порядку і лише потім зробити висновок.

Нагадую, що у самій по собі алгебраїчної матрицінічого міняти не можна, і перетворення виконуються лише з метою з'ясування рангу! До речі, зупинімося ще раз на питанні, чому не можна? Вихідна матриця несе інформацію, яка принципово відрізняється від інформації матриці та рядка . У деяких математичних моделях (без перебільшення) різниця в одному числі може бути питанням життя та смерті. …Згадалися шкільні вчителі математики початкових та середніх класів, які безжально зрізали оцінку на 1-2 бали за найменшу неточність чи відхилення від алгоритму. І було дуже прикро, коли замість, здавалося б, гарантованої «п'ятірки» виходило «добре» або ще гірше. Розуміння прийшло набагато пізніше – а як інакше довірити людині супутники, ядерні боєголовки та електростанції? Але ви не турбуйтеся, я не працюю у цих сферах =)

Перейдемо до змістовніших завдань, де ознайомимося з важливими обчислювальними прийомами. методу Гауса:

Приклад 3

Знайти ранг матриці за допомогою елементарних перетворень

Рішення: дана матриця «чотири на п'ять», значить, її ранг свідомо не більше ніж 4

У першому стовпці, відсутнє 1 або –1, отже, необхідні додаткові дії, створені задля отримання хоча б однієї одиниці. За весь час існування сайту мені неодноразово запитували: «Чи можна в ході елементарних перетворень переставляти стовпці?». Ось тут - переставили перший-другий стовпець, і все чудово! У більшості завдань, де використовується метод Гауса, стовпці справді переставляти можна. АЛЕ НЕ ПОТРІБНО. І справа навіть не в можливій плутанині зі змінними, справа в тому, що в класичному курсі навчання вищої математики ця дія традиційно не розглядається, тому на такий реверанс подивляться ДУЖЕ криво (а то й змусять все переробляти).

Другий момент стосується чисел. У результаті рішення корисно керуватися наступним емпіричним правилом: елементарні перетворення наскільки можна зменшувати числа матриці. Адже з одиницею-двійкою-трійкою працювати значно легше, ніж, наприклад, з 23, 45 та 97. І перша дія спрямована не лише на отримання одиниці у першому стовпці, а й на ліквідацію чисел 7 та 11.

Спочатку повне рішення, потім коментарі:

(1) До другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. До третього рядка додали перший рядок, помножений на -3. І до купи: до 4-го рядка додали 1-й рядок, помножений на -1.

(2) Останні три рядки пропорційні. Видалили 3-й і 4-й рядки, другий рядок перемістили на перше місце.

(3) До другого рядка додали перший рядок, помножений на –3.

У приведеній до ступінчастого виду матриці два рядки.

Відповідь:

Тепер ваша черга мучити матрицю «чотири на чотири»:

Приклад 4

Знайти ранг матриці методом Гауса

Нагадую, що метод Гаусане передбачає однозначної жорсткості, і ваше рішення, швидше за все, відрізнятиметься від мого рішення. Короткий зразок оформлення завдання наприкінці уроку.

Який метод використовуватиме знаходження рангу матриці?

Насправді часто взагалі не сказано, який метод необхідно використовувати для знаходження рангу. У такій ситуації слід аналізувати умову – для одних матриць раціональніше провести рішення через мінори, а для інших значно вигідніше застосувати елементарні перетворення:

Приклад 5

Знайти ранг матриці

Рішення: перший спосіб якось відразу відпадає =)

Трохи вище я радив не чіпати стовпці матриці, але коли є нульовий стовпець, або пропорційні/збігаються стовпці, то все ж таки варто провести ампутацію:

(1) П'ятий стовпець нульовий, видалимо його з матриці. Таким чином, ранг матриці не більший за чотири. Перший рядок помножили на –1. Це ще одна фірмова фішка методу Гауса, що перетворює наступну дію на приємну прогулянку:

(2) До всіх рядків, починаючи з другого, додали перший рядок.

(3) Перший рядок помножили на –1, третій рядок розділили на 2, четвертий рядок розділили на 3. До п'ятого рядка додали другий рядок, помножений на –1.

(4) До п'ятого рядка додали третій рядок, помножений на -2.

(5) Останні два рядки пропорційні, видаляємо п'яту.

В результаті отримано 4 рядки.

Відповідь:

Стандартна п'ятиповерхівка для самостійного дослідження:

Приклад 6

Знайти ранг матриці

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.

Слід зазначити, що словосполучення «ранг матриці» не так часто зустрінеш на практиці, і в більшості завдань взагалі можна обійтися без нього. Але існує одне завдання, де поняття, що розглядається, є головною дійовою особою, і на закінчення статті ми розглянемо цей практичний додаток:

Як досліджувати систему лінійних рівнянь на спільність?

Нерідко крім рішення системи лінійних рівняньза умовою попередньо потрібно досліджувати її на спільність, тобто довести, що будь-яке рішення взагалі існує. Ключову роль у такій перевірці відіграє теорема Кронекера-Капеллі, яку я сформулюю у необхідному вигляді:

Якщо ранг матриці системидорівнює рангу розширеної матриці системи, то система спільна, причому, якщо це число збігається з кількістю невідомих, то рішення єдине.

Таким чином, для дослідження системи на спільність необхідно перевірити рівність , де - матриця системи(Згадуємо термінологію з уроку Метод Гауса), а – розширена матриця системи(Тобто матриця з коефіцієнтами при змінних + стовпець вільних членів).

У цій статті йтиметься про таке поняття, як ранг матриці та необхідні додаткові поняття. Ми наведемо приклади та докази знаходження рангу матриці, а також розповімо, що таке мінор матриці, і чому він такий важливий.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Мінор матриці

Щоб зрозуміти, що таке ранг матриці, необхідно розібратися з таким поняттям як мінор матриці.

Визначення 1

Мінорk-ого порядку матриці - визначник квадратної матриці порядку k×k, яка складена з елементів матриці А, що знаходяться в заздалегідь вибраних k-рядках і k-стовпцях, при цьому зберігається положення елементів матриці А.

Простіше кажучи, якщо в матриці А викреслити (p-k) рядків і (n-k) стовпців, а їх тих елементів, що залишилися, скласти матрицю, зберігаючи розташування елементів матриці А, то визначник отриманої матриці є мінор порядку k матриці А.

З прикладу випливає, що мінори першого порядку матриці А є самі елементи матриці.

Можна навести кілька прикладів мінорів другого порядку. Виберемо два рядки та два стовпці. Наприклад, перший і другий рядок, третій і четвертий стовпець.

За такого вибору елементів мінором другого порядку буде - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Іншим мінором 2-го порядку матриці є 0 0 1 1 = 0

Надамо ілюстрації побудови мінорів другого порядку матриці А:

Мінор 3-го порядку виходить, якщо викреслити третій стовпець матриці А:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Ілюстрація, як виходить мінор 3-го порядку матриці А:

Для цієї матриці мінорів вище 3-го порядку не існує, тому що

k ≤ m i n (p , n) = m i n (3 , 4) = 3

Скільки існує мінорів k-ого порядку матриці А порядку p×n?

Число мінорів обчислюють за такою формулою:

C p k × C n k , де С p k = p ! k! (p - k)! і C n k = n! k! (n - k)! - Число поєднань з p по k, з n по k відповідно.

Після того, як ми визначилися, що таке мінори матриці А, можна переходити до визначення рангу матриці А.

Ранг матриці: методи знаходження

Визначення 2

Ранг матриці - Найвищий порядок матриці, відмінний від нуля.

Позначення 1

Rank (A), Rg(A), Rang(A).

З визначення рангу матриці та мінору матриці ставати зрозуміло, що ранг нульової матриці дорівнює нулю, а ранг ненульової матриці відмінний від нуля.

Знаходження рангу матриці за визначенням

Визначення 3

Метод перебору мінорів - метод, що базується на визначенні рангу матриці.

Алгоритм дій способом перебору мінорів :

Необхідно знайти ранг матриці А порядку p× n. За наявності хоча б одного елемента, відмінного від нуля, то ранг матриці як мінімум дорівнює одиниці ( т.к. є мінор 1-го порядку, який не дорівнює нулю).

Далі слідує перебір мінорів 2-го порядку. Якщо всі мінори 2-го порядку дорівнюють нулю, то ранг дорівнює одиниці. При існуванні хоча б одного не рівного нулю мінора 2-го порядку, необхідно перейти до перебору мінорів 3-го порядку, а ранг матриці, в такому разі, дорівнюватиме мінімум двом.

Аналогічно поступимо з рангом 3-го порядку: якщо всі мінори матриці дорівнюють нулю, то ранг дорівнюватиме двом. За наявності хоча б одного ненульового мінору 3-го порядку, то ранг матриці дорівнює мінімум трьох. І так далі, за аналогією.

Приклад 2

Знайти ранг матриці:

А = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Оскільки матриця ненульова, її ранг мінімум дорівнює одиниці.

Мінор 2-го порядку - 1 1 2 2 = (-1) × 2 - 1 × 2 = 4 відмінний від нуля. Звідси випливає, що ранг матриці не менше двох.

Перебираємо мінори 3-го порядку: З 3 3 × З 5 3 = 1 5! 3! (5 - 3)! = 10 шт.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (-1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (-1) × 2 × 3 - (-1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (-1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (-1) × 6 × 1 + (-1) × 0 × 4 + (-2) × 2 × 11 - (-2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (-1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (-1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (-2) × 2 × 3 - (-2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (-1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (-7) + (-1) × (-4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (-7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (-7) + (-2) × (-4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (-2) × 2 × (-7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (-1) × 0 × (-7) + (-2) × (-4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Мінори 3-го порядку дорівнюють нулю, тому ранг матриці дорівнює двом.

Відповідь : Rank (A) = 2

Знаходження рангу матриці методом облямівних мінорів

Визначення 3

Метод облямівних мінорів - метод, який дозволяє отримати результат за меншої обчислювальної роботи.

Облямовуючий мінор - мінор M o k (k + 1) -го порядку матриці А, який облямовує мінор M порядку k матриці А, якщо матриця, яка відповідає мінору M o k , «містить» матрицю, яка відповідає мінору М.

Простіше кажучи, матриця, яка відповідає мінеру М, що облямовується, виходить з матриці, що відповідає облямівному мінору M o k , викреслюванням елементів одного рядка і одного стовпця.

Приклад 3

Знайти ранг матриці:

А = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Для знаходження рангу беремо мінор 2-го порядку М = 2 - 1 4 1

Записуємо всі мінори, що облямовують:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Щоб обгрунтувати метод облямівних мінорів, наведемо теорему, формулювання якої вимагає доказової бази.

Теорема 1

Якщо всі мінори, що оздоблюють мінор k-ого порядку матриці А порядку p на n, дорівнюють нулю, всі мінори порядку (k+1) матриці А дорівнює нулю.

Алгоритм дій :

Щоб знайти ранг матриці, необов'язково перебирати всі мінори, достатньо подивитися на облямовувачі.

Якщо мінори, що облямовують, дорівнюють нулю, то ранг матриці нульовий. Якщо існує хоча б один мінор, який не дорівнює нулю, то розглядаємо мінори, що облямовують.

Якщо вони рівні нулю, то Rank(A) дорівнює двом. За наявності хоча б одного ненульового оздоблюючого мінору, то приступаємо до розгляду його каймових мінорів. І так далі, аналогічним чином.

Приклад 4

Знайти ранг матриці методом облямівних мінорів

А = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Як вирішити?

Оскільки елемент а 11 матриці А не дорівнює нулю, візьмемо мінор 1-го порядку. Почнемо шукати мінер, що облямовує, відмінний від нуля:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

Ми знайшли облямівний мінор 2-го порядку не рівний нулю 2 0 4 1 .

Здійснимо перебір обрамляючих мінорів - (їх (4 - 2) × (5 - 2) = 6 штук).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Відповідь : Rank(A) = 2

Знаходження рангу матриці методом Гауса (за допомогою елементарних перетворень)

Згадаймо, що є елементарними перетвореннями.

Елементарні перетворення:

шляхом перестановки рядків (стовпців) матриці;
шляхом множення всіх елементів будь-якого рядка (стовпця) матриці на довільне ненульове число k;

шляхом додавання до елементів будь-якого рядка (стовпця) елементів, які відповідають іншій стоки (стовпця) матриці, які помножені на довільне число k.

Визначення 5

Знаходження рангу матриці методом Гауса - метод, що ґрунтується на теорії еквівалентності матриць: якщо матриця отримана з матриці А за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень, то Rank(A) = Rank(B).

Справедливість цього твердження випливає з визначення матриці:

у разі перестановки рядків чи стовпців матриці її визначник змінює знак. Якщо він дорівнює нулю, то при перестановці рядків або стовпців залишається рівним нулю;
у разі множення всіх елементів якогось рядка (стовпця) матриці на довільне число k, яке не дорівнює нулю, визначник отриманої матриці дорівнює визначнику вихідної матриці, яка помножена на k;

у разі додавання до елементів деякого рядка або стовпця матриці відповідних елементів іншого рядка або стовпця, які помножені на число k, не змінює його визначника.

Суть методу елементарних перетворень : привести матрицю, чий ранг необхідно знайти, до трапецієподібної за допомогою елементарних перетворень.

Для чого?

Ранг матриць такого виду досить легко знайти. Він дорівнює кількості рядків, у яких є хоча б один ненульовий елемент. Оскільки ранг під час проведення елементарних перетворень не змінюється, це і буде ранг матриці.

Проілюструємо цей процес:

для прямокутних матриць А порядку p на n, число рядків яких більше від числа стовпців:

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , R a n k (A) = n

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k(A) = k

для прямокутних матриць А порядку p на n, число рядків яких менше числа стовпців:

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 p b 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 p b 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 1 ⋯ b p n , R a n k (A) = p

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

для квадратних матриць А порядку n на n:

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n 1 0 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k , k< n

Приклад 5

Знайти ранг матриці А за допомогою елементарних перетворень:

А = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Як вирішити?

Оскільки елемент а 11 відмінний від нуля, необхідно помножити елементи першого рядка матриці А на 1 а 11 = 1 2:

А = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Додаємо до елементів 2-го рядка відповідні елементи 1-го рядка, які помножені на (-3). До елементів 3-го рядка додаємо елементи 1-го рядка, які помножені на (-1):

~ А (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ А (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (-3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (-1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (-7) 2 + 1 2 (-7) - 4 + (-1) (-7) 11 + 3 (-7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Елемент а 22 (2) відмінний від нуля, тому ми множимо елементи 2-го рядка матриці А на А (2) на 1 а 22 (2) = - 2 3:

А (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ А (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

До елементів 3-го рядка отриманої матриці додаємо відповідні елементи 2-го рядка, які помножені на 3 2 ;
до елементів 4-го рядка - елементи 2-го рядка, які помножені на 9 2;
до елементів 5-го рядка - елементи 2-го рядка, які помножені на 3 2 .

Усі елементи рядків дорівнюють нулю. Таким чином, за допомогою елементарних перетворень ми привели матрицю до трапецеїдального вигляду, звідки видно, що R a n k (A (4)) = 2 . Звідси випливає, що ранг вихідної матриці також дорівнює двом.

Зауваження

Якщо проводити елементарні перетворення, не допускаються наближені значення!

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Нехай задана деяка матриця:

Виділимо у цій матриці довільних рядків та довільних стовпців
. Тоді визначник -го порядку, складений із елементів матриці
, розташованих на перетині виділених рядків та стовпців, називається мінором -го порядку матриці
.

Визначення 1.13.Рангом матриці
називається найбільший порядок мінору цієї матриці, відмінного від нуля.

Для обчислення рангу матриці слід розглядати всі її мінори найменшого порядку і, якщо хоч один із них відмінний від нуля, переходити до розгляду мінорів старшого порядку. Такий підхід до визначення рангу матриці називається методом облямівки (або методом облямівних мінорів).

Завдання 1.4.Методом окаймляючих мінорів визначити ранг матриці
.

Розглянемо оздоблення першого порядку, наприклад,
. Потім перейдемо до розгляду деякого облямівки другого порядку.

Наприклад,
.

Нарешті, проаналізуємо оздоблення третього порядку.

Таким чином, найвищий порядок мінору, відмінного від нуля, дорівнює 2, отже,
.

При розв'язанні задачі 1.4 можна помітити, що ряд облямівних мінорів другого порядку відмінні від нуля. У цьому має місце таке поняття.

Визначення 1.14.Базовим мінором матриці називається всякий, відмінний від нуля мінор, порядок якого дорівнює рангу матриці.

Теорема 1.2.(Теорема про базисний мінор). Базисні рядки (базисні стовпці) лінійно незалежні.

Зауважимо, що рядки (стовпці) матриці лінійно залежні тоді і лише тоді, коли хоча б одну з них можна як лінійну комбінацію інших.

Теорема 1.3.Число лінійно незалежних рядків матриці дорівнює числу лінійно незалежних стовпців матриці і дорівнює рангу матриці.

Теорема 1.4.(Необхідна та достатня умова рівності нулю визначника). Для того, щоб визначник -го порядку дорівнював нулю, необхідно і достатньо, щоб його рядки (стовпці) були лінійно залежні.

Обчислення рангу матриці, засноване на використанні його визначення є занадто громіздкою операцією. Особливо це стає суттєвим для матриць високих порядків. У зв'язку з цим на практиці ранг матриці обчислюють на підставі застосування теорем 10.2 - 10.4, а також використання понять еквівалентності матриць та елементарних перетворень.

Визначення 1.15.Дві матриці
і називаються еквівалентними, якщо їх ранги дорівнюють, тобто.
.

Якщо матриці
і еквівалентні, то відзначають
 .

Теорема 1.5.Ранг матриці не змінюється від елементарних перетворень.

Будемо називати елементарними перетвореннями матриці
будь-які з наступних дій над матрицею:

Заміну рядків стовпцями, а стовпців відповідними рядками;

Перестановка рядків матриці;

Викреслювання рядка, всі елементи якого дорівнюють нулю;

Розмноження будь-якого рядка на число, відмінне від нуля;

Додавання до елементів одного рядка відповідних елементів іншого рядка помножених на одне й те саме число
.

Наслідок теореми 1.5.Якщо матриця
отримана з матриці за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень, то матриці
і еквівалентні.

При обчисленні рангу матриці її слід навести за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень до трапецієподібної форми.

Визначення 1.16.Трапецієподібною будемо називати таку форму уявлення матриці, коли в облямівному мінорі найбільшого порядку відмінного від нуля всі елементи, що стоять нижче за діагональні, звертаються в нуль. Наприклад:

Тут
, елементи матриці
звертаються в нуль. Тоді форма представлення такої матриці буде трапецієподібною.

Як правило, матриці до трапецієподібної форми наводять за допомогою алгоритму Гауса. Ідея алгоритму Гауса полягає в тому, що, помножуючи елементи першого рядка матриці на відповідні множники, домагаються, щоб усі елементи першого стовпця, розташовані нижче за елемент
, перетворювалися б на нуль. Потім, помножуючи елементи другого стовпця на відповідні множники, домагаються, щоб усі елементи другого стовпця, розташовані нижче елемента
, перетворювалися б на нуль. Далі надходять аналогічно.