Ko'rsatkichli tenglamalarni yechish. Misollar.
Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Qattiq "juda emas..." bo'lganlar uchun.
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)
Nima eksponensial tenglama? Bu noma'lumlar (x) va ular bilan ifodalangan tenglama ko'rsatkichlar ba'zi darajalar. Va faqat u erda! Bu muhim.
Mana qayerda ekansan ko'rsatkichli tenglamalarga misollar:
3 x 2 x = 8 x + 3
Eslatma! Darajalar asoslarida (pastda) - faqat raqamlar. DA ko'rsatkichlar darajalar (yuqorida) - x bilan ifodalangan keng ko'lamli. Agar to'satdan tenglamada indikatordan boshqa joyda x paydo bo'lsa, masalan:
bu aralash turdagi tenglama bo'ladi. Bunday tenglamalar yechishning aniq qoidalariga ega emas. Biz ularni hozircha ko'rib chiqmaymiz. Bu erda biz shug'ullanamiz ko'rsatkichli tenglamalar yechimi eng sof shaklda.
Aslida, hatto sof ko'rsatkichli tenglamalar ham har doim ham aniq echilmaydi. Ammo echilishi mumkin bo'lgan va kerak bo'lgan ko'rsatkichli tenglamalarning ayrim turlari mavjud. Bu biz ko'rib chiqadigan turlar.
Eng oddiy ko'rsatkichli tenglamalarni yechish.
Keling, juda oddiy narsadan boshlaylik. Masalan:
Hech qanday nazariya bo'lmasa ham, oddiy tanlash orqali x = 2 ekanligi ayon bo'ladi. Boshqa hech narsa, to'g'rimi!? Boshqa hech qanday x qiymati roliklari. Endi esa ushbu murakkab eksponensial tenglamaning yechimini ko‘rib chiqamiz:
Biz nima qildik? Biz, aslida, xuddi shu tagliklarni (uchlik) tashladik. To'liq tashqariga tashlangan. Va, nima xursand bo'lsa, belgini bosing!
Haqiqatan ham, agar eksponensial tenglamada chap va o'ng tomonda bo'lsa xuddi shu har qanday darajadagi raqamlar, bu raqamlar olib tashlanishi mumkin va teng ko'rsatkichlar. Matematika imkon beradi. Bu ancha sodda tenglamani yechish uchun qoladi. Bu yaxshi, to'g'rimi?)
Biroq, istehzo bilan eslaylik: siz bazalarni faqat chap va o'ngdagi asosiy raqamlar ajoyib izolyatsiyada bo'lganda olib tashlashingiz mumkin! Hech qanday qo'shnilar va koeffitsientlarsiz. Keling, tenglamalarda aytaylik:
2 x +2 x + 1 = 2 3 yoki
Siz dubllarni olib tashlay olmaysiz!
Xo'sh, biz eng muhim narsani o'zlashtirdik. Qanday qilib yomon eksponensial ifodalardan oddiy tenglamalarga o'tish mumkin.
"Mana o'sha paytlar!" - sen aytasan. "Kim nazorat va imtihonlarga shunday primitiv beradi!?"
rozi bo'lishga majbur. Hech kim qilmaydi. Ammo endi siz chalkash misollarni hal qilishda qaerga borishni bilasiz. Xuddi shu asosiy raqam chapda - o'ngda bo'lganda, buni yodda tutish kerak. Keyin hamma narsa osonroq bo'ladi. Aslida, bu matematikaning klassikasi. Biz asl misolni olamiz va uni kerakli holatga o'tkazamiz Biz aql. Albatta, matematika qoidalariga ko'ra.
Ularni eng oddiy holga keltirish uchun qo'shimcha kuch talab qiladigan misollarni ko'rib chiqing. Keling, ularni chaqiraylik oddiy eksponensial tenglamalar.
Oddiy ko'rsatkichli tenglamalarni yechish. Misollar.
Eksponensial tenglamalarni yechishda asosiy qoidalar quyidagilardir vakolatlari bilan harakatlar. Ushbu harakatlar haqida ma'lumotsiz, hech narsa ishlamaydi.
Darajali harakatlarga shaxsiy kuzatuv va zukkolikni qo'shish kerak. Bizga bir xil asosiy raqamlar kerakmi? Shunday qilib, biz ularni misolda aniq yoki shifrlangan shaklda qidiramiz.
Keling, bu amalda qanday amalga oshirilganini ko'rib chiqaylik?
Keling, bir misol keltiramiz:
2 2x - 8 x+1 = 0
Birinchi qarashda asoslar. Ular... Ular boshqacha! Ikki va sakkiz. Ammo tushkunlikka tushishga hali erta. Buni eslash vaqti keldi
Ikki va sakkiz daraja qarindoshlardir.) Buni yozish juda mumkin:
8 x+1 = (2 3) x+1
Agar formulani kuchlar bilan harakatlardan eslasak:
(a n) m = a nm,
odatda ajoyib ishlaydi:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
Asl misol quyidagicha ko'rinadi:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
Biz transfer qilamiz 2 3 (x+1) o'ngga (hech kim matematikaning elementar harakatlarini bekor qilmagan!), biz olamiz:
2 2x \u003d 2 3 (x + 1)
Bu deyarli hammasi. Bazalarni olib tashlash:
Biz bu yirtqich hayvonni hal qilamiz va olamiz
Bu to'g'ri javob.
Ushbu misolda ikkita kuchni bilish bizga yordam berdi. Biz aniqlangan sakkizda, shifrlangan deuce. Ushbu uslub (turli raqamlar ostida umumiy bazalarni kodlash) eksponensial tenglamalarda juda mashhur hiyla-nayrangdir! Ha, hatto logarifmlarda ham. Raqamlarda boshqa raqamlarning kuchlarini taniy bilish kerak. Bu eksponensial tenglamalarni yechish uchun juda muhimdir.
Haqiqat shundaki, har qanday raqamni istalgan kuchga ko'tarish muammo emas. Ko'paytiring, hatto qog'oz varag'ida ham, va bu hammasi. Misol uchun, har bir kishi 3 ni beshinchi kuchga ko'tarishi mumkin. Agar siz ko'paytirish jadvalini bilsangiz, 243 chiqadi.) Ammo eksponensial tenglamalarda ko'pincha kuchga ko'tarmaslik kerak, lekin aksincha ... qaysi raqam qay darajada 243 raqamining orqasiga yashirinadi yoki aytaylik, 343 ... Bu erda sizga hech qanday kalkulyator yordam bermaydi.
Ba'zi raqamlarning kuchlarini ko'rish orqali bilishingiz kerak, ha ... Biz mashq qilamizmi?
Qaysi kuchlar va qanday raqamlar raqamlar ekanligini aniqlang:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Javoblar (albatta tartibsizlikda!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Agar diqqat bilan qarasangiz, g'alati faktni ko'rishingiz mumkin. Savollardan ko'ra ko'proq javoblar bor! Xo'sh, shunday bo'ladi ... Masalan, 2 6 , 4 3 , 8 2 hammasi 64 ga teng.
Faraz qilaylik, siz raqamlar bilan tanishish haqidagi ma'lumotga e'tibor berdingiz.) Shuni ham eslatib o'tamanki, ko'rsatkichli tenglamalarni yechish uchun biz qo'llaymiz. butun matematik bilimlar zaxirasi. Jumladan, quyi va o'rta sinflardan. Siz to'g'ridan-to'g'ri o'rta maktabga bormadingiz, shunday emasmi?
Masalan, eksponensial tenglamalarni yechishda umumiy omilni qavs ichidan chiqarish juda tez-tez yordam beradi (7-sinfga salom!). Keling, misolni ko'rib chiqaylik:
3 2x+4 -11 9 x = 210
Va yana, birinchi qarash - maydonchada! Darajalar asoslari har xil ... Uch va to'qqiz. Va biz ular bir xil bo'lishini xohlaymiz. Xo'sh, bu holda istak juda mumkin!) Chunki:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Darajali harakatlar uchun bir xil qoidalarga muvofiq:
3 2x+4 = 3 2x 3 4
Bu ajoyib, siz yozishingiz mumkin:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Xuddi shu sabablarga ko'ra biz misol keltirdik. Va undan keyin nima!? Uchtasini tashlab bo'lmaydi ... O'lik nuqta?
Umuman yo'q. Eng universal va kuchli qaror qoidasini eslash hammasi matematika vazifalari:
Agar nima qilishni bilmasangiz, qo'lingizdan kelganini qiling!
Qarang, hamma narsa shakllangan).
Ushbu eksponensial tenglamada nima bor mumkin qilmoq? Ha, chap tomon to'g'ridan-to'g'ri qavslar so'raydi! 3 2x umumiy omili bunga aniq ishora qiladi. Keling, sinab ko'raylik, keyin ko'ramiz:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Misol yaxshilanishda davom etmoqda!
Esda tutamizki, bazalarni yo'q qilish uchun bizga hech qanday koeffitsientsiz sof daraja kerak. 70 raqami bizni bezovta qiladi. Shunday qilib, biz tenglamaning ikkala tomonini 70 ga bo'lamiz, biz quyidagilarni olamiz:
Opa! Hammasi yaxshi bo'ldi!
Bu oxirgi javob.
Shu bilan birga, xuddi shu asoslar bo'yicha taksidan chiqishga erishiladi, lekin ularni tugatish emas. Bu boshqa turdagi eksponensial tenglamalarda sodir bo'ladi. Keling, bu turni olaylik.
Ko'rsatkichli tenglamalarni yechishda o'zgaruvchining o'zgarishi. Misollar.
Keling, tenglamani yechamiz:
4 x - 3 2 x +2 = 0
Birinchisi - odatdagidek. Keling, bazaga o'tamiz. Ikkilik uchun.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Biz tenglamani olamiz:
2 2x - 3 2 x +2 = 0
Va bu erda biz osamiz. Oldingi fokuslar, uni qanday aylantirsangiz ham, ishlamaydi. Biz arsenaldan boshqa kuchli va ko'p qirrali yo'lni olishimiz kerak. Bu deyiladi o'zgaruvchan almashtirish.
Usulning mohiyati hayratlanarli darajada sodda. Bitta murakkab piktogramma o'rniga (bizning holatda, 2 x) biz boshqa, soddaroq (masalan, t) yozamiz. Bunday ko'rinadigan ma'nosiz almashtirish ajoyib natijalarga olib keladi!) Hamma narsa shunchaki aniq va tushunarli bo'ladi!
Shunday qilib, ruxsat bering
Keyin 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2
Tenglamamizdagi barcha kuchlarni x bilan t bilan almashtiramiz:
Xo'sh, tong otyaptimi?) Kvadrat tenglamalarni hali unutmadingizmi? Diskriminant orqali hal qilamiz, biz quyidagilarni olamiz:
Bu erda asosiy narsa to'xtamaslikdir, chunki bu sodir bo'ladi ... Bu hali javob emas, bizga t emas, x kerak. Biz Xs ga qaytamiz, ya'ni. almashtirishni amalga oshirish. t 1 uchun birinchi:
Anavi,
Bitta ildiz topildi. Biz t 2 dan ikkinchisini qidiramiz:
Hm... Chapga 2 x, O'ngga 1... Teshikmi? Ha, umuman emas! Birlik ekanligini eslash kifoya (darajali harakatlardan, ha ...). har qanday raqam nolga. Har qanday. Sizga nima kerak bo'lsa, biz uni qo'yamiz. Bizga ikkita kerak. Ma'nosi:
Endi hammasi shu. 2 ta ildiz bor:
Bu javob.
Da ko'rsatkichli tenglamalarni yechish oxirida, ba'zida noqulay iboralar olinadi. Turi:
Ettidan oddiy daraja orqali deuce ishlamaydi. Ular qarindosh emas... Qanday qilib bu yerda bo'laman? Kimdir sarosimaga tushishi mumkin... Lekin bu saytda “Logarifm nima?” mavzusini o‘qigan odam. , faqat ozgina tabassum qiling va qattiq qo'l bilan mutlaqo to'g'ri javobni yozing:
Imtihondagi "B" topshiriqlarida bunday javob bo'lishi mumkin emas. Muayyan raqam talab qilinadi. Ammo "C" vazifalarida - oson.
Ushbu darsda eng keng tarqalgan ko'rsatkichli tenglamalarni echish misollari keltirilgan. Keling, asosiysini ta'kidlaymiz.
Amaliy maslahatlar:
1. Avvalo, biz qaraymiz asoslar daraja. Keling, ularni amalga oshirish mumkin emasligini ko'rib chiqaylik xuddi shu. Keling, faol foydalanish orqali buni qilishga harakat qilaylik vakolatlari bilan harakatlar. Shuni unutmangki, x bo'lmagan raqamlar ham kuchga aylantirilishi mumkin!
2. Ko'rsatkichli tenglamani chap va o'ng bo'lgan shaklga keltirishga harakat qilamiz xuddi shu istalgan darajada raqamlar. Biz foydalanamiz vakolatlari bilan harakatlar va faktorizatsiya. Raqamlarda nimani hisoblash mumkin - biz hisoblaymiz.
3. Agar ikkinchi maslahat ishlamasa, biz o'zgaruvchan almashtirishni qo'llashga harakat qilamiz. Natijada osongina echiladigan tenglama bo'lishi mumkin. Ko'pincha - kvadrat. Yoki kasr, bu ham kvadratga tushadi.
4. Ko'rsatkichli tenglamalarni muvaffaqiyatli yechish uchun ba'zi sonlarning darajalarini "ko'rish orqali" bilish kerak.
Odatdagidek, dars oxirida sizni bir oz hal qilish taklif etiladi.) O'z-o'zidan. Oddiydan murakkabgacha.
Eksponensial tenglamalarni yechish:
Qiyinroq:
2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0
Ildiz hosilasi toping:
2 3-x + 2 x = 9
Bo'ldimi?
Xo'sh, keyin eng murakkab misol (bu ongda hal qilinadi ...):
7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3
Nima qiziqroq? Unda siz uchun yomon misol. Kattalashgan qiyinchilikda juda torting. Men ushbu misolda zukkolik va barcha matematik vazifalarni hal qilishning eng universal qoidasi tejalishini ta'kidlayman.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Misol oddiyroq, dam olish uchun):
9 2 x - 4 3 x = 0
Va desert uchun. Tenglama ildizlarining yig‘indisini toping:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
Ha ha! Bu aralash turdagi tenglama! Biz ushbu darsda ko'rib chiqmaganmiz. Va ularni nima deb hisoblash kerak, ularni hal qilish kerak!) Bu dars tenglamani hal qilish uchun etarli. Xo'sh, zukkolik kerak ... Va ha, ettinchi sinf sizga yordam beradi (bu maslahat!).
Javoblar (tartibsiz, nuqta-vergul bilan ajratilgan):
bitta; 2; 3; to'rtta; echimlar yo'q; 2; -2; -5; to'rtta; 0.
Hammasi muvaffaqiyatlimi? Ajoyib.
Muammo bormi? Muammo yo'q! 555-sonli maxsus bo'limda ushbu eksponensial tenglamalarning barchasi batafsil tushuntirishlar bilan hal qilinadi. Nima, nima uchun va nima uchun. Va, albatta, barcha turdagi eksponensial tenglamalar bilan ishlash bo'yicha qo'shimcha qimmatli ma'lumotlar mavjud. Faqat bular bilan emas.)
Ko'rib chiqilishi kerak bo'lgan oxirgi qiziqarli savol. Bu darsda biz eksponensial tenglamalar bilan ishladik. Nega men bu yerda ODZ haqida bir og‘iz so‘z aytmadim? Aytgancha, tenglamalarda bu juda muhim narsa ...
Agar sizga bu sayt yoqsa...
Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)
Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. O'rganish - qiziqish bilan!)
funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.
Orqaga oldinga
Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot olish uchun mo'ljallangan va taqdimotning to'liq hajmini ko'rsatmasligi mumkin. Agar siz ushbu ish bilan qiziqsangiz, to'liq versiyasini yuklab oling.
Dars turi
: “Ko‘rsatkichli tenglamalar va ularni yechish yo‘llari” mavzusidagi bilim, ko‘nikma va malakalarni umumlashtirish va kompleks qo‘llash darsi.Dars maqsadlari.
Uskunalar:
kompyuter va multimedia proyektori.Dars foydalanadi axborot texnologiyalari : dars uchun uslubiy yordam - Microsoft Power Point dasturida taqdimot.
Darslar davomida
Har bir mahorat mashaqqatli mehnat bilan birga keladi.
I. Darsning maqsadini belgilash(slayd raqami 2 )
Ushbu darsda biz “Ko‘rsatkichli tenglamalar, ularning yechimlari” mavzusini umumlashtiramiz va umumlashtiramiz. Keling, ushbu mavzu bo'yicha turli yillardagi imtihonning tipik vazifalari bilan tanishaylik.
Eksponensial tenglamalarni yechish uchun topshiriqlarni USE topshiriqlarining istalgan qismida topish mumkin. "qismida DA " odatda eng oddiy ko'rsatkichli tenglamalarni yechishni taklif qiladi. "qismida dan " siz ko'proq murakkab eksponensial tenglamalarni uchratishingiz mumkin, ularning echimi odatda vazifaning bosqichlaridan biridir.
Masalan ( slayd raqami 3 ).
- FOYDALANISH - 2007
B 4 - ifodaning eng katta qiymatini toping x y, qayerda ( X; da) tizimning yechimi:
B 1 - Tenglamalarni yechish:
a) X 6 3X – 36 6 3X = 0;
b) 4 X +1 + 8 4X= 3.
B 4 - ifodaning qiymatini toping x + y, qayerda ( X; da) tizimning yechimi:
- FOYDALANISH - 2010
II. Asosiy bilimlarni yangilash. Takrorlash
(Slaydlar №4-6 sinf taqdimotlari)Ekran ko'rsatiladi nazariy materialning ma'lumotnoma xulosasi ushbu mavzu bo'yicha.
Quyidagi savollar muhokama qilinadi:
- Qanday tenglamalar deyiladi indikativ?
- Ularni hal qilishning asosiy usullarini ayting. Ularning turlariga misollar keltiring ( slayd raqami 4 )
- Shaklning eng oddiy ko'rsatkichli tenglamalarini yechish uchun qanday teorema qo'llaniladi: va f(x) = a g(x) ?
- Eksponensial tenglamalarni yechishning yana qanday usullari mavjud? ( slayd raqami 5 )
(Har bir usul uchun taklif qilingan tenglamalarni o'z-o'zidan yechish va slayddan foydalanib o'z-o'zini sinab ko'rish)
- Faktorizatsiya usuli (bilan kuchlarning xususiyatlariga asoslanib bir xil asoslar, qabul qilish: eng past ko'rsatkichli daraja qavs ichidan chiqariladi).
- Bir jinsli ko'rsatkichli tenglamalarni yechishda noldan boshqa ko'rsatkichli ifoda bilan bo'lish (ko'paytirish)ni qabul qilish .
- Maslahat:
-
Tenglamalarni oxirgi ikki usuldan keyin izohlar bilan yechish
(slayd raqami 6 ).
. 4 X+ 1 – 2 4 X– 2 = 124, 4 X– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 X– 2 62 = 124,4 X– 2 = 2, 4 X– 2 = 4 0,5 , X– 2 = 0,5, x = 2,5 .
2 2 2x – 3 2 X 5X - 5 5 2X= 0¦: 5 2 X 0,2 (2/5) 2x - 3 (2/5) X - 5 = 0,
t = (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3t- 5 = 0,t= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, X= ?...
III. USE vazifalarini hal qilish 2010
Talabalar 3-slaydda dars boshida taklif qilingan vazifalarni mustaqil ravishda hal qilish bo'yicha ko'rsatmalardan foydalangan holda hal qiladilar, taqdimot yordamida qaror qabul qilish jarayoni va ularga javoblarni tekshiradilar ( slayd raqami 7). Ish jarayonida hal qilish variantlari va usullari muhokama qilinadi, yechimdagi mumkin bo'lgan xatolarga e'tibor qaratiladi.
: a) 7 X– 2 = 49, b) (1/6) 12 - 7 x = 36. Javob: a) X= 4, b) X = 2. : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X- 1 \u003d 0. (Siz 0,5 \u003d 4 - 0,5 ni almashtirishingiz mumkin)Yechim. ,
X 2 + 3X – 2 = -X 2 - 4X + 0,5 …
Javob: X= -5/2, X = 1/2.
: 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y, at cos y< 0.Qaror qabul qilish uchun taklif
. 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y¦ 5 tg y 0,5 5 2g y+ 4 5 tg y- 1 = 0. Keling X= 5 tg y , …
5 tg y = -1 (?...), 5 tg y= 1/5.
tg dan beri y= -1 va cos y< 0, keyin da II koordinatali chorak
Javob: da= 3/4 + 2k, k N.
IV. Doskada hamkorlik
Yuqori darajadagi o'rganish vazifasi ko'rib chiqiladi - slayd raqami 8. Ushbu slayd yordamida o‘qituvchi va o‘quvchilar o‘rtasida dialog yuzaga keladi, bu yechimni ishlab chiqishga yordam beradi.
- Qaysi parametrda a tenglama 2 2 X – 3 2 X + a 2 – 4a= 0 ning ikkita ildizi bormi?Mayli t= 2 X, qayerda t > 0 . olamiz t 2 – 3t + (a 2 – 4a) = 0 .
biri). Tenglama ikkita ildizga ega bo'lgani uchun D > 0;
2). Chunki t 1,2 > 0, keyin t 1 t 2 > 0, ya'ni a 2 – 4a> 0 (?...).
Javob: a(– 0,5; 0) yoki (4; 4,5).
V. Tekshirish ishlari
(Slayd raqami 9 )Talabalar ijro etadilar tekshirish ishi varaqalar bo'yicha, o'z-o'zini nazorat qilish va taqdimot yordamida bajarilgan ishlarni o'z-o'zini baholash, mavzu bo'yicha o'zini tasdiqlash. Ular mustaqil ravishda ish kitoblarida yo'l qo'yilgan xatolar asosida bilimlarni tartibga solish va tuzatish dasturini belgilaydilar. Tugallangan mustaqil ish varaqlari tekshirish uchun o'qituvchiga topshiriladi.
Tagi chizilgan raqamlar asosiy, yulduzchali raqamlar esa kengaytirilgan.
Yechim va javoblar.
3. 2 X– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 X– 1 76 = 19, 2 X– 1 = 1/4, 2 X– 1 = 2 – 2 , X– 1 = -2,
x = -1.
4 *.3 9 x = 2 3 X 5X+ 5 25 X | : 25 X ,
3 (9/25) x = 2 (3/5) X+ 5,
3 (9/27) X = 2 (3/5) X + 5 = 0,
3 (3/5) 2X – 2 (3/5) X - 5 = 0,…, (3/5) X = -1 (tog'ri kelmaydi),
(3/5) X = 5, x = -1.
VI. Uy ishi
(Slayd raqami 10 )- § 11, 12-ni takrorlang.
- 2008 - 2010 yillardagi Yagona davlat imtihonining materiallaridan mavzu bo'yicha vazifalarni tanlang va ularni hal qiling.
- Uyda test ishi :
Ushbu dars eksponensial tenglamalarni endigina o'rganishni boshlayotganlar uchun mo'ljallangan. Har doimgidek, ta'rif va oddiy misollar bilan boshlaylik.
Agar siz ushbu darsni o'qiyotgan bo'lsangiz, men sizda eng oddiy tenglamalar - chiziqli va kvadrat haqida hech bo'lmaganda minimal tushunchaga ega ekanligingizga shubha qilaman: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ va hokazo. Endi muhokama qilinadigan mavzuda "osib qolmaslik" uchun bunday konstruktsiyalarni hal qila olish juda zarur.
Demak, eksponensial tenglamalar. Sizga bir-ikki misol keltiraman:
\[((2)^(x))=4;\to'rt ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\to'rt ((9)^(x))=- 3\]
Ulardan ba'zilari sizga murakkabroq tuyulishi mumkin, ba'zilari, aksincha, juda oddiy. Lekin ularning barchasini bitta muhim xususiyat birlashtiradi: ularda $f\left(x \right)=((a)^(x))$ eksponensial funksiya mavjud. Shunday qilib, biz ta'rifni kiritamiz:
Eksponensial tenglama - bu eksponensial funktsiyani o'z ichiga olgan har qanday tenglama, ya'ni. $((a)^(x))$ shaklining ifodasi. Belgilangan funktsiyaga qo'shimcha ravishda, bunday tenglamalar boshqa har qanday algebraik tuzilmalarni o'z ichiga olishi mumkin - polinomlar, ildizlar, trigonometriya, logarifmlar va boshqalar.
OK, unda. Ta'rifni tushundi. Endi savol tug'iladi: bu axlatni qanday hal qilish kerak? Javob bir vaqtning o'zida oddiy va murakkab.
Keling, yaxshi xabardan boshlaylik: ko'plab talabalar bilan bo'lgan tajribamdan shuni aytishim mumkinki, ularning ko'pchiligi uchun eksponensial tenglamalar bir xil logarifmlarga qaraganda ancha oson va undan ham ko'proq trigonometriya.
Ammo yomon xabar ham bor: ba'zida barcha turdagi darsliklar va imtihonlar uchun masalalarni tuzuvchilarga "ilhom" tashrif buyurishadi va ularning dori bilan yallig'langan miyasi shu qadar shafqatsiz tenglamalarni ishlab chiqara boshlaydiki, ularni echish nafaqat talabalar uchun muammoli bo'lib qoladi - hatto ko'plab o'qituvchilar ham bunday muammolarga duch kelishadi.
Biroq, qayg'uli narsalar haqida gapirmaylik. Keling, hikoyaning boshida berilgan uchta tenglamaga qaytaylik. Keling, ularning har birini hal qilishga harakat qilaylik.
Birinchi tenglama: $((2)^(x))=4$. Xo'sh, 4 raqamini olish uchun 2 raqamini qanday kuchga ko'tarish kerak? Balki ikkinchisi? Axir, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — va biz toʻgʻri raqamli tenglikni oldik, yaʼni. haqiqatan ham $x=2$. Rahmat, kepka, lekin bu tenglama shunchalik sodda ediki, hatto mening mushukim ham buni hal qila oldi. :)
Keling, quyidagi tenglamani ko'rib chiqaylik:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]
Ammo bu erda biroz qiyinroq. Ko'pgina talabalar $((5)^(2))=25$ ko'paytirish jadvali ekanligini bilishadi. Ba'zilar, shuningdek, $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ manfiy ko'rsatkichlarning ta'rifi ($((a)^(-n))= \ formulasiga o'xshash, deb gumon qilishadi. frac(1)(((a)^(n)))$).
Nihoyat, faqat bir nechtasi bu faktlarni birlashtirish mumkinligini taxmin qiladi va natija quyidagi natijadir:
\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]
Shunday qilib, bizning asl tenglamamiz quyidagicha qayta yoziladi:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\O'ng strelka ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]
Va endi bu butunlay hal qilindi! Tenglamaning chap tomonida ko'rsatkichli funktsiya, o'ng tomonida ko'rsatkichli funktsiya mavjud, ulardan boshqa hech narsa yo'q. Shuning uchun, asoslarni "yo'q qilish" va ko'rsatkichlarni ahmoqona tenglashtirish mumkin:
Biz har qanday talaba bir-ikki qatorda yecha oladigan eng oddiy chiziqli tenglamani oldik. Yaxshi, to'rt qatorda:
\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Agar oxirgi to'rt qatorda nima sodir bo'lganini tushunmasangiz, "chiziqli tenglamalar" mavzusiga qaytishni unutmang va uni takrorlang. Chunki bu mavzuni aniq o'zlashtirmasdan turib, ko'rsatkichli tenglamalarni qabul qilishga hali erta.
\[((9)^(x))=-3\]
Xo'sh, qanday qaror qabul qilasiz? Birinchi fikr: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, shuning uchun asl tenglamani shunday qayta yozish mumkin:
\[((\left(((3)^(2)) \o'ng))^(x))=-3\]
Keyin biz eslaymizki, darajani kuchga ko'tarishda ko'rsatkichlar ko'paytiriladi:
\[((\left(((3)^(2)) \o'ng))^(x))=((3)^(2x))\O'ng strelka ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]
\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Va bunday qaror uchun biz halol ravishda munosib deuce olamiz. Chunki biz Pokemonning muloyimligi bilan uchtasining oldidagi minus belgisini aynan shu uchlikning kuchiga yubordik. Va siz buni qila olmaysiz. Va shuning uchun ham. Uchlikning turli kuchlarini ko'rib chiqing:
\[\begin(matritsa) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matritsa)\]
Ushbu planshetni yig'ish bilanoq, men buzganim yo'q: men ijobiy darajalarni, salbiy va hatto kasrlarni ko'rib chiqdim ... bu erda kamida bitta salbiy raqam qayerda? U yoq! Va bunday bo'lishi mumkin emas, chunki $y=((a)^(x))$ eksponensial funktsiyasi, birinchidan, har doim faqat ijobiy qiymatlarni oladi (qanchalik ko'paytirsangiz yoki ikkiga bo'lishingizdan qat'i nazar, u baribir shunday bo'ladi. musbat son), ikkinchidan, bunday funktsiyaning asosi $a$ soni ta'rifiga ko'ra musbat sondir!
Xo'sh, $((9)^(x))=-3$ tenglamasini qanday yechish mumkin? Yo'q, ildizlar yo'q. Va bu ma'noda eksponensial tenglamalar kvadratik tenglamalarga juda o'xshash - ildizlar ham bo'lmasligi mumkin. Ammo kvadrat tenglamalarda ildizlar soni diskriminant tomonidan aniqlansa (diskriminant musbat - 2 ta ildiz, manfiy - ildiz yo'q), u holda eksponensial tenglamalarda hammasi teng belgining o'ng tomonida joylashganiga bog'liq.
Shunday qilib, biz asosiy xulosani shakllantiramiz: $((a)^(x))=b$ ko‘rinishdagi eng oddiy eksponensial tenglama, agar $b \gt 0$ bo‘lsa, ildizga ega bo‘ladi. Ushbu oddiy haqiqatni bilib, sizga taklif qilingan tenglamaning ildizlari bor yoki yo'qligini osongina aniqlashingiz mumkin. Bular. uni umuman hal qilishga arziydimi yoki darhol hech qanday ildiz yo'qligini yozing.
Bu bilim bizga murakkabroq muammolarni hal qilishda ko'p marta yordam beradi. Ayni paytda, lyrics etarli - bu ko'rsatkichli tenglamalarni yechish uchun asosiy algoritmni o'rganish vaqti keldi.
Eksponensial tenglamalarni yechish usullari
Shunday qilib, keling, muammoni shakllantiramiz. Eksponensial tenglamani yechish kerak:
\[((a)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]
Biz ilgari qo‘llagan “sodda” algoritmga ko‘ra, $b$ sonini $a$ sonining kuchi sifatida ko‘rsatish kerak:
Bundan tashqari, agar $x$ o'zgaruvchisi o'rniga biron bir ifoda mavjud bo'lsa, biz allaqachon yechish mumkin bo'lgan yangi tenglamani olamiz. Masalan:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\O'ng strelka ((2)^(x))=((2)^(3))\O'ng strelka x=3; \\& ((3)^(-x))=81\O'ng strelka ((3)^(-x))=((3)^(4))\O'ngga -x=4\O'ngga x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Oʻng strelka ((5)^(2x))=((5)^(3))\Oʻng 2x=3\Oʻng strelka x=\frac(3)( 2). \\\end(tekislash)\]
Va g'alati, bu sxema taxminan 90% hollarda ishlaydi. Qolgan 10% haqida nima deyish mumkin? Qolgan 10% shakldagi biroz "shizofrenik" eksponensial tenglamalar:
\[((2)^(x))=3;\to'rt ((5)^(x))=15;\to'rt ((4)^(2x))=11\]
3 ni olish uchun 2 ni qanday kuchga oshirish kerak? Birinchisida? Lekin yo'q: $((2)^(1))=2$ yetarli emas. Ikkinchisida? Ikkalasi ham emas: $((2)^(2))=4$ juda koʻp. Keyin nima?
Bilimdon talabalar, ehtimol, allaqachon taxmin qilishgan: bunday hollarda, "chiroyli" hal qilishning iloji bo'lmaganda, "og'ir artilleriya" ish bilan bog'lanadi - logarifmlar. Sizga shuni eslatib o'tamanki, logarifmlardan foydalangan holda har qanday musbat son har qanday boshqa ijobiy sonning kuchi sifatida ifodalanishi mumkin (bittasidan tashqari):
Ushbu formulani eslaysizmi? Men o'quvchilarimga logarifmlar haqida gapirganda, men sizni doimo ogohlantiraman: bu formula (bu asosiy logarifmik identifikatsiya yoki, agar xohlasangiz, logarifmning ta'rifi) sizni juda uzoq vaqt ta'qib qiladi va eng ko'p "paydo bo'ladi". kutilmagan joylar. Xo'sh, u yuzaga chiqdi. Keling, tenglamamizni va ushbu formulani ko'rib chiqaylik:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]
Agar $a=3$ o'ng tomondagi asl raqamimiz va $b=2$ o'ng tomonni qisqartirmoqchi bo'lgan eksponensial funktsiyaning asosi deb hisoblasak, biz quyidagilarni olamiz:
\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\O'ng strelka 3=((2)^(((\log )_(2))3 ))) \\& ((2)^(x))=3\O'ng yo'l ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\O'ng strelka x=( (\log )_(2))3. \\\end(tekislash)\]
Biz biroz g'alati javob oldik: $x=((\log )_(2))3$. Boshqa bir vazifada, bunday javob bilan, ko'pchilik shubhalanib, o'z yechimini ikki marta tekshirishni boshlaydi: agar biror joyda xato bo'lsa-chi? Men sizni xursand qilishga shoshilaman: bu erda xatolik yo'q va eksponensial tenglamalarning ildizlaridagi logarifmlar odatiy holdir. Shunday ekan, ko'nik. :)
Endi qolgan ikkita tenglamani analogiya orqali hal qilamiz:
\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\O'ng strelka ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \O'ng strelka x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Oʻng strelka ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Oʻng 2x=( (\log )_(4))11\O'ng strelka x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(tekislash)\]
Ana xolos! Aytgancha, oxirgi javob boshqacha yozilishi mumkin:
Aynan biz ko'paytirgichni logarifm argumentiga kiritdik. Ammo bu omilni bazaga qo'shishimizga hech kim to'sqinlik qilmaydi:
Bundan tashqari, uchta variant ham to'g'ri - ular bir xil raqamni yozishning turli shakllari. Qaysi birini tanlash va ushbu qarorda yozish sizga bog'liq.
Shunday qilib, biz $((a)^(x))=b$ ko‘rinishdagi har qanday ko‘rsatkichli tenglamalarni yechishni o‘rgandik, bunda $a$ va $b$ raqamlari qat’iy musbat. Biroq, bizning dunyomizning qattiq haqiqati shundayki, bunday oddiy vazifalar sizni juda kamdan-kam hollarda kutib oladi. Ko'pincha siz shunga o'xshash narsalarni uchratasiz:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(tekislash)\]
Xo'sh, qanday qaror qabul qilasiz? Buni umuman hal qilish mumkinmi? Va agar shunday bo'lsa, qanday qilib?
Vahima yo'q. Bu tenglamalarning barchasi tez va sodda tarzda biz ko'rib chiqqan oddiy formulalarga tushiriladi. Siz faqat algebra kursidan bir nechta fokuslarni eslab qolishni bilishingiz kerak. Va, albatta, bu erda darajalar bilan ishlash qoidalari yo'q. Bularning barchasi haqida hozir gaplashaman. :)
Ko'rsatkichli tenglamalarni o'zgartirish
Esda tutish kerak bo'lgan birinchi narsa shundaki, har qanday ko'rsatkichli tenglama, qanchalik murakkab bo'lmasin, u yoki bu tarzda eng oddiy tenglamalarga - biz allaqachon ko'rib chiqqan va biz qanday echish kerakligini bilgan tenglamalarga keltirilishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, har qanday ko'rsatkichli tenglamani yechish sxemasi quyidagicha:
- Asl tenglamani yozing. Masalan: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Qandaydir ahmoqona ish qil. Yoki hatto "tenglamani o'zgartirish" deb nomlangan axlat;
- Chiqishda $((4)^(x))=4$ yoki shunga o'xshash eng oddiy iboralarni oling. Bundan tashqari, bitta boshlang'ich tenglama bir vaqtning o'zida bir nechta bunday ifodalarni berishi mumkin.
Birinchi nuqta bilan hamma narsa aniq - hatto mening mushukim ham bargga tenglama yozishi mumkin. Uchinchi nuqta bilan ham, bu ko'proq yoki kamroq aniq ko'rinadi - biz yuqorida bunday tenglamalarning to'liq to'plamini hal qildik.
Ammo ikkinchi nuqta haqida nima deyish mumkin? O'zgarishlar qanday? Nimani nimaga aylantirish kerak? Xo'sh qanday?
Keling, buni aniqlaylik. Avvalo, men quyidagilarni ta'kidlamoqchiman. Barcha eksponensial tenglamalar ikki turga bo'linadi:
- Tenglama bir xil asosli ko'rsatkichli funktsiyalardan iborat. Misol: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Formula turli asoslarga ega bo'lgan eksponensial funktsiyalarni o'z ichiga oladi. Misollar: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ va $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.
Birinchi turdagi tenglamalardan boshlaylik - ularni hal qilish eng oson. Va ularni hal qilishda bizga barqaror iboralarni tanlash kabi texnika yordam beradi.
Barqaror ifodani ta'kidlash
Keling, ushbu tenglamani yana ko'rib chiqaylik:
\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]
Biz nimani ko'ramiz? To'rttasi turli darajalarga ko'tariladi. Ammo bu kuchlarning barchasi $x$ o'zgaruvchisining boshqa raqamlar bilan oddiy yig'indisidir. Shuning uchun darajalar bilan ishlash qoidalarini esga olish kerak:
\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end(tekislash)\]
Oddiy qilib aytganda, ko'rsatkichlarni qo'shish darajalar mahsulotiga aylantirilishi mumkin va ayirish osonlik bilan bo'linishga aylantiriladi. Keling, ushbu formulalarni tenglamamizdagi kuchlarga qo'llashga harakat qilaylik:
\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1))))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(tekislash)\]
Biz ushbu faktni hisobga olgan holda asl tenglamani qayta yozamiz va keyin chapdagi barcha shartlarni yig'amiz:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 - o'n bir; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(tekislash)\]
Birinchi to'rtta atama $((4)^(x))$ elementini o'z ichiga oladi — keling, uni qavsdan chiqaramiz:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \o'ng)=-11. \\\end(tekislash)\]
Tenglamaning ikkala qismini $-\frac(11)(4)$ kasrga bo'lish qoladi, ya'ni. asosan teskari kasrga ko'paytiring - $-\frac(4)(11)$. Biz olamiz:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \o'ng )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \o'ng); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(tekislash)\]
Ana xolos! Biz asl tenglamani eng oddiyiga qisqartirdik va yakuniy javobni oldik.
Shu bilan birga, yechish jarayonida biz $((4)^(x))$ umumiy omilini topdik (va hatto qavsdan chiqardik) - bu barqaror ifoda. U yangi o'zgaruvchi sifatida belgilanishi mumkin yoki siz uni shunchaki aniq ifodalab, javob olishingiz mumkin. Har holda, yechimning asosiy printsipi quyidagicha:
Asl tenglamada barcha ko'rsatkichli funktsiyalardan osongina ajratiladigan o'zgaruvchini o'z ichiga olgan barqaror ifodani toping.
Yaxshi xabar shundaki, deyarli har bir eksponensial tenglama bunday barqaror ifodani qabul qiladi.
Ammo yomon xabar ham bor: bunday iboralar juda qiyin bo'lishi mumkin va ularni farqlash juda qiyin bo'lishi mumkin. Shunday qilib, keling, boshqa muammoni ko'rib chiqaylik:
\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]
Ehtimol, kimdir endi savol tug'diradi: "Pasha, sizni toshbo'ron qildingizmi? Bu erda turli xil asoslar mavjud - 5 va 0,2. Ammo keling, quvvatni 0,2 bazasiga aylantirishga harakat qilaylik. Masalan, o'nlik kasrdan xalos bo'lib, uni odatiy holga keltiramiz:
\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \o'ng))))=((\left(\frac(2)(10) ) \o'ng))^(-\left(x+1 \o'ng))))=((\left(\frac(1)(5) \o'ng))^(-\left(x+1 \o'ng)) )\]
Ko'rib turganingizdek, 5 raqami maxrajda bo'lsa ham paydo bo'ldi. Shu bilan birga, indikator salbiy deb qayta yozildi. Va endi biz darajalar bilan ishlashning eng muhim qoidalaridan birini eslaymiz:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\O'ng strelka ((\chap(\frac(1)(5) \o'ng))^( -\left(x+1 \o'ng)))=((\left(\frac(5)(1) \o'ng))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]
Bu erda, albatta, men biroz aldadim. Chunki to'liq tushunish uchun salbiy ko'rsatkichlardan xalos bo'lish formulasi quyidagicha yozilishi kerak edi:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \o'ng))^(n ))\O‘ng strelka ((\chap(\frac(1)(5) \o‘ng))^(-\chap(x+1 \o‘ng)=((\left(\frac(5)(1) \ o'ng))^(x+1))=((5)^(x+1))\]
Boshqa tomondan, faqat bitta fraksiya bilan ishlashimizga hech narsa to'sqinlik qilmadi:
\[((\left(\frac(1)(5) \o'ng))^(-\left(x+1 \o'ng)=((\left(((5)^(-1)) \ o'ng))^(-\left(x+1 \o'ng)=((5)^(\left(-1 \o'ng)\cdot \left(-\left(x+1 \o'ng) \o'ng) ))=((5)^(x+1))\]
Ammo bu holda siz darajani boshqa darajaga ko'tarishingiz kerak (sizga eslataman: bu holda ko'rsatkichlar qo'shiladi). Ammo men kasrlarni "aylantirishim" shart emas edi - ehtimol kimdir uchun bu osonroq bo'ladi. :)
Har holda, asl eksponensial tenglama quyidagicha qayta yoziladi:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(tekislash)\]
Shunday qilib, asl tenglamani echish ilgari ko'rib chiqilganidan ko'ra osonroq ekanligi ma'lum bo'ldi: bu erda siz barqaror ifodani ajratib ko'rsatishingiz shart emas - hamma narsa o'z-o'zidan qisqartirilgan. Shuni yodda tutish kerakki, $1=((5)^(0))$, biz qaerdan olamiz:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(tekislash)\]
Bu butun yechim! Biz yakuniy javobni oldik: $x=-2$. Shu bilan birga, biz uchun barcha hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtirgan bitta hiylani ta'kidlamoqchiman:
Eksponensial tenglamalarda o'nlik kasrlardan xalos bo'lishni unutmang, ularni oddiy kasrlarga aylantiring. Bu sizga darajalarning bir xil asoslarini ko'rish va yechimni sezilarli darajada soddalashtirish imkonini beradi.
Keling, har xil asoslar mavjud bo'lgan, odatda kuchlar yordamida bir-biriga qisqartirilmaydigan murakkabroq tenglamalarga o'tamiz.
Ko'rsatkich xususiyatidan foydalanish
Sizga shuni eslatib o'tamanki, bizda yana ikkita keskin tenglama mavjud:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(tekislash)\]
Bu erda asosiy qiyinchilik nima va qanday asosga olib borishi aniq emas. Qattiq ifodalar qayerda? Umumiy asoslar qayerda? Buning hech biri yo'q.
Ammo keling, boshqa yo'ldan borishga harakat qilaylik. Agar tayyor bir xil bazalar bo'lmasa, ularni mavjud bazalarni faktoring orqali topishga harakat qilishingiz mumkin.
Birinchi tenglamadan boshlaylik:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Oʻng strelka ((21)^(3x))=((\chap(7\cdot 3 \oʻng))^(3x))=(7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(tekislash)\]
Axir, siz buning aksini qilishingiz mumkin - 7 va 3 raqamlaridan 21 raqamini tuzing. Buni chap tomonda qilish ayniqsa oson, chunki ikkala darajaning ko'rsatkichlari bir xil:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \o‘ng))^(x+ 6) ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(tekislash)\]
Ana xolos! Siz ko'rsatkichni mahsulotdan chiqarib oldingiz va darhol bir nechta satrda echilishi mumkin bo'lgan chiroyli tenglamaga ega bo'ldingiz.
Endi ikkinchi tenglama bilan shug'ullanamiz. Bu erda hamma narsa ancha murakkab:
\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]
\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \o'ng))^(1-x))=\frac(9)(100)\]
Bunday holda, kasrlar qisqartirilmaydigan bo'lib chiqdi, ammo agar biror narsani kamaytirish mumkin bo'lsa, uni kamaytirishni unutmang. Bu ko'pincha siz allaqachon ishlashingiz mumkin bo'lgan qiziqarli asoslarga olib keladi.
Afsuski, biz hech narsa o'ylab topmadik. Lekin mahsulotning chap tomonidagi ko‘rsatkichlar qarama-qarshi ekanligini ko‘ramiz:
Sizga eslatib o'taman: eksponentdagi minus belgisidan xalos bo'lish uchun kasrni "aylantirish" kifoya. Shunday qilib, keling, asl tenglamani qayta yozamiz:
\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \o'ng))^(x-1))=\frac(9) )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \o'ng))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\ chap (\ frac (1000) (27) \ o'ng)) ^ (x-1)) = \ frac (9) (100). \\\end(tekislash)\]
Ikkinchi qatorda biz $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right) qoidasiga asosan mahsulotdan jami qavs oldik. ))^ (x))$ va ikkinchisida ular 100 raqamini kasrga ko'paytirdilar.
Endi e'tibor bering, chapdagi (tayanchda) va o'ngdagi raqamlar biroz o'xshash. Qanday? Ha, aniq: ular bir xil miqdordagi kuchlardir! Bizda ... bor:
\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3))))=((\left(\frac() 10)(3) \o'ng))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac((3)^(2)(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \o'ng)))^(2)). \\\end(tekislash)\]
Shunday qilib, bizning tenglamamiz quyidagicha qayta yoziladi:
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \o'ng))^(3)) \o'ng))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \o'ng))^(2))\]
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \o'ng))^(3)) \o'ng))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \o'ng))^(3\left(x-1 \o'ng))))=((\left(\frac(10)(3) \o'ng))^(3x-3))\]
Shu bilan birga, o'ng tomonda siz xuddi shu asosga ega daraja olishingiz mumkin, buning uchun kasrni "aylantirish" kifoya qiladi:
\[((\left(\frac(3)(10) \o'ng))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \o'ng))^(-2))\]
Nihoyat, bizning tenglamamiz quyidagi shaklni oladi:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \o'ng)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(tekislash)\]
Bu butun yechim. Uning asosiy g'oyasi shundan iboratki, hatto turli sabablarga ko'ra, biz bu sabablarni bir xilga kamaytirishga harakat qilamiz. Bunda bizga tenglamalarni elementar o'zgartirishlar va kuchlar bilan ishlash qoidalari yordam beradi.
Lekin qanday qoidalar va qachon foydalanish kerak? Bir tenglamada ikkala tomonni ham biror narsaga bo'lish kerakligini, boshqasida esa eksponensial funktsiyaning asosini omillarga ajratish kerakligini qanday tushunish mumkin?
Bu savolga javob tajriba bilan keladi. Avvaliga oddiy tenglamalarda qo'lingizni sinab ko'ring, so'ngra asta-sekin vazifalarni murakkablashtiring - va tez orada sizning mahoratingiz bir xil USE yoki har qanday mustaqil/sinov ishidagi har qanday eksponensial tenglamani echish uchun etarli bo'ladi.
Va bu qiyin vazifada sizga yordam berish uchun men mustaqil yechim uchun veb-saytimdagi tenglamalar to'plamini yuklab olishni taklif qilaman. Barcha tenglamalarning javoblari bor, shuning uchun siz har doim o'zingizni tekshirishingiz mumkin.
Umuman olganda, sizga muvaffaqiyatli mashg'ulotlar tilayman. Va keyingi darsda ko'rishguncha - u erda biz yuqorida tavsiflangan usullar etarli bo'lmagan haqiqatan ham murakkab eksponensial tenglamalarni tahlil qilamiz. Va oddiy mashg'ulot ham etarli bo'lmaydi. :)
Barcha yangi video darslardan xabardor bo'lish uchun saytimizning youtube kanaliga.
Birinchidan, darajalarning asosiy formulalarini va ularning xususiyatlarini eslaylik.
Raqamning mahsuloti a o'z-o'zidan n marta sodir bo'lsa, bu ifodani a … a=a n shaklida yozishimiz mumkin
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m \u003d a n - m
Quvvat yoki eksponensial tenglamalar- bu o'zgaruvchilar darajalarda (yoki ko'rsatkichlarda) bo'lgan tenglamalar va asosi sondir.
Eksponensial tenglamalarga misollar:
Ushbu misolda 6 raqami asos bo'lib, u har doim pastda va o'zgaruvchidir x daraja yoki o'lchov.
Keling, ko'rsatkichli tenglamalarga ko'proq misollar keltiraylik.
2 x *5=10
16x-4x-6=0
Endi ko'rsatkichli tenglamalar qanday yechilishini ko'rib chiqamiz?
Oddiy tenglamani olaylik:
2 x = 2 3
Bunday misolni hatto aql bilan hal qilish mumkin. Ko'rinib turibdiki, x = 3. Axir, chap va o'ng tomonlar teng bo'lishi uchun x o'rniga 3 raqamini qo'yish kerak.
Keling, ushbu qaror qanday qabul qilinishi kerakligini ko'rib chiqaylik:
2 x = 2 3
x = 3
Ushbu tenglamani yechish uchun biz olib tashladik bir xil asoslar(ya'ni, deuces) va qolganini yozdi, bu darajalar. Biz izlagan javobni oldik.
Endi yechimimizni umumlashtiramiz.
Eksponensial tenglamani yechish algoritmi:
1. Tekshirish kerak xuddi shu tenglamaning asoslari o'ngda va chapda. Agar asoslar bir xil bo'lmasa, biz ushbu misolni hal qilish variantlarini qidiramiz.
2. Asoslar bir xil bo'lgandan keyin, tenglashtirmoq daraja va hosil bo'lgan yangi tenglamani yeching.
Endi ba'zi misollarni hal qilaylik:
Oddiydan boshlaylik.
Chap va o'ng tomonlardagi asoslar 2 raqamiga teng, ya'ni biz bazani tashlab, ularning darajalarini tenglashtirishimiz mumkin.
x+2=4 Eng oddiy tenglama chiqdi.
x=4 - 2
x=2
Javob: x=2
Quyidagi misolda siz asoslar boshqacha ekanligini ko'rishingiz mumkin, bular 3 va 9.
3 3x - 9 x + 8 = 0
Boshlash uchun biz to'qqiztasini o'ng tomonga o'tkazamiz, biz quyidagilarni olamiz:
Endi siz bir xil asoslarni qilishingiz kerak. Biz 9=3 2 ekanligini bilamiz. (a n) m = a nm quvvat formulasidan foydalanamiz.
3 3x \u003d (3 2) x + 8
Biz 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16 ni olamiz
3 3x \u003d 3 2x + 16 endi chap va o'ng tomonlardagi asoslar bir xil va uchtaga teng ekanligi aniq, ya'ni biz ularni tashlab, darajalarni tenglashtirishimiz mumkin.
3x=2x+16 eng oddiy tenglamani oldi
3x-2x=16
x=16
Javob: x=16.
Keling, quyidagi misolni ko'rib chiqaylik:
2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4
Avvalo, biz bazalarni ko'rib chiqamiz, bazalar ikki va to'rtta farq qiladi. Va biz bir xil bo'lishimiz kerak. Biz to'rtburchakni (a n) m = a nm formulasiga muvofiq aylantiramiz.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Shuningdek, biz a n a m = a n + m formulasidan foydalanamiz:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Tenglamaga qo'shing:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Xuddi shu sabablarga ko'ra biz misol keltirdik. Ammo boshqa 10 va 24 raqamlari bizga xalaqit beradi.Ular bilan nima qilish kerak? Agar siz diqqat bilan qarasangiz, chap tomonda biz 2 2x takrorlanganimizni ko'rishingiz mumkin, mana javob - biz qavs ichidan 2 2x qo'yishimiz mumkin:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Qavs ichidagi ifodani hisoblaymiz:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Biz butun tenglamani 6 ga bo'lamiz:
4=2 2 ni tasavvur qiling:
2 2x \u003d 2 2 tayanch bir xil, ularni tashlang va darajalarni tenglashtiring.
2x \u003d 2 eng oddiy tenglama bo'lib chiqdi. Biz uni 2 ga bo'lamiz, olamiz
x = 1
Javob: x = 1.
Keling, tenglamani yechamiz:
9 x - 12*3 x +27= 0
Keling, aylantiramiz:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Biz tenglamani olamiz:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Biz uchun asoslar bir xil, uchtaga teng.Bu misolda birinchi uchlik ikkinchisiga (faqat x) nisbatan ikki marta (2x) darajaga ega ekanligini ko'rish mumkin. Bunday holda siz qaror qabul qilishingiz mumkin almashtirish usuli. Eng kichik darajali raqam quyidagi bilan almashtiriladi:
Keyin 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2
t bilan tenglamada barcha darajalarni x bilan almashtiramiz:
t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Biz kvadrat tenglamani olamiz. Diskriminant orqali hal qilamiz, biz quyidagilarni olamiz:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3
Oʻzgaruvchi sahifasiga qaytish x.
Biz t 1 ni olamiz:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x
Anavi,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Bitta ildiz topildi. Biz t 2 dan ikkinchisini qidiramiz:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Javob: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.
Saytda siz bo'limda bo'lishingiz mumkin QAROR QILISHGA YORDAM BERING Agar sizda biron bir savol bo'lsa, biz sizga albatta javob beramiz.
Guruhga qo'shiling
