Ако две линии в пространството имат обща точка, тогава казваме, че тези две прави се пресичат. На следващата фигура правите a и b се пресичат в точка A. Правите a и c не се пресичат.

Всякакви две прави имат или само една обща точка, или нямат общи точки.

Паралелни линии

Две прави в пространството се наричат успоредни, ако лежат в една равнина и не се пресичат. За да обозначите успоредни прави, използвайте специална икона - ||.

Означението a||b означава, че права a е успоредна на права b. На фигурата, представена по-горе, правите a и c са успоредни.

Теорема за успоредни прави

През всяка точка от пространството, която не лежи на дадена права, минава права, успоредна на дадената и при това само една.

Пресичане на линии

Две прави, които лежат в една и съща равнина, могат да се пресичат или да са успоредни. Но в пространството две прави линии не принадлежат непременно на тази равнина. Те могат да бъдат разположени в две различни равнини.

Очевидно е, че линиите, разположени в различни равнини, не се пресичат и не са успоредни прави. Две прави, които не лежат в една равнина, се наричат пресичане на прави линии.

Следващата фигура показва две пресичащи се прави a и b, които лежат в различни равнини.

Тест и теорема за коси прави

Ако една от двете прави лежи в определена равнина, а другата права пресича тази равнина в точка, която не лежи на първата права, тогава тези прави се пресичат.

Теорема за косите прави: през всяка от двете пресичащи се прави минава равнина, успоредна на другата права, и освен това само една.

Така разгледахме всички възможни случаи на взаимно разположение на линиите в пространството. Те са само три.

1. Линиите се пресичат. (Тоест те имат само една обща точка.)

2. Правите са успоредни. (Тоест те нямат общи точки и лежат в една равнина.)

3. Правите линии се пресичат. (Тоест те са разположени в различни равнини.)

В тази статия първо ще дефинираме ъгъла между пресичащите се линии и ще предоставим графична илюстрация. След това ще отговорим на въпроса: „Как да намерим ъгъла между пресичащите се линии, ако координатите на векторите на посоката на тези линии в правоъгълна системакоординати"? В заключение ще се упражним да намираме ъгъла между пресичащите се прави при решаване на примери и задачи.

Навигация в страницата.

Ъгъл между пресичащи се прави - определение.

Ще подходим към определянето на ъгъла между пресичащите се прави линии постепенно.

Първо, нека си припомним дефиницията на косите линии: две линии в триизмерното пространство се наричат кръстосване, ако не лежат в една равнина. От това определение следва, че пресичащите се прави не се пресичат, не са успоредни и освен това не съвпадат, в противен случай и двете биха лежали в определена равнина.

Нека дадем допълнителни спомагателни разсъждения.

Нека в тримерното пространство са дадени две пресичащи се прави a и b. Нека построим прави a 1 и b 1 така, че да са успоредни съответно на косите прави a и b и да минават през някаква точка от пространството M 1 . Така получаваме две пресичащи се прави a 1 и b 1. Нека ъгълът между пресичащите се прави a 1 и b 1 е равен на ъгъл . Сега нека построим прави a 2 и b 2, успоредни съответно на косите прави a и b, минаващи през точка M 2, различна от точката M 1. Ъгълът между пресичащите се прави a 2 и b 2 също ще бъде равен на ъгъла. Това твърдение е вярно, тъй като правите a 1 и b 1 ще съвпаднат съответно с правите a 2 и b 2, ако се извърши паралелен трансфер, при който точка M 1 се премества в точка M 2. Така мярката на ъгъла между две прави, пресичащи се в точка M, съответно успоредни на дадените пресичащи се, не зависи от избора на точка M.

Сега сме готови да определим ъгъла между пресичащите се линии.

Определение.

Ъгъл между пресичащи се правие ъгълът между две пресичащи се прави, които са съответно успоредни на дадените пресичащи се прави.

От дефиницията следва, че ъгълът между пресичащите се линии също няма да зависи от избора на точка M. Следователно, като точка M можем да вземем всяка точка, принадлежаща на една от пресечните прави.

Нека дадем илюстрация за определяне на ъгъла между пресичащите се прави.

Намиране на ъгъла между пресичащите се прави.

Тъй като ъгълът между пресичащите се прави се определя чрез ъгъла между пресичащите се прави, намирането на ъгъла между пресичащите се прави се свежда до намиране на ъгъла между съответните пресичащи се прави в триизмерното пространство.

Несъмнено методите, изучавани в уроците по геометрия в гимназия. Тоест, след като завършите необходимите конструкции, можете да свържете желания ъгъл с всеки ъгъл, известен от условието, въз основа на равенството или сходството на фигурите, в някои случаи това ще помогне косинусова теорема, а понякога води и до резултата определение на синус, косинус и тангенс на ъгъл правоъгълен триъгълник.

Въпреки това е много удобно да се реши проблемът с намирането на ъгъла между пресичащите се линии с помощта на метода на координатите. Това ще разгледаме.

Нека Oxyz бъде въведен в триизмерното пространство (въпреки че в много задачи трябва да го въведете сами).

Нека си поставим задача: да намерим ъгъла между пресичащите се прави a и b, които съответстват на някои уравнения на права в пространството в правоъгълната координатна система Oxyz.

Нека го решим.

Нека вземем произволна точка в тримерното пространство M и приемем, че през нея минават прави a 1 и b 1 , успоредни съответно на пресичащите се прави a и b. Тогава търсеният ъгъл между пресичащите се прави a и b е равен на ъгъла между пресичащите се прави a 1 и b 1 по дефиниция.

Така че просто трябва да намерим ъгъла между пресичащите се прави a 1 и b 1. За да приложим формулата за намиране на ъгъла между две пресичащи се прави в пространството, трябва да знаем координатите на насочващите вектори на правите a 1 и b 1.

Как можем да ги получим? И това е много просто. Дефиницията на насочващия вектор на права линия ни позволява да твърдим, че наборите от насочващи вектори на успоредни линии съвпадат. Следователно векторите на посоката на правите a 1 и b 1 могат да се приемат като вектори на посоката И прави a и b съответно.

Така, Ъгълът между две пресичащи се прави a и b се изчислява по формулата
, Където И са насочващите вектори на прави a и b, съответно.

Формула за намиране на косинуса на ъгъла между пресичащите се прави a и b имат формата .

Позволява ви да намерите синуса на ъгъла между пресичащите се линии, ако косинусът е известен: .

Остава да анализираме решенията на примерите.

Пример.

Намерете ъгъла между пресичащите се прави a и b, които са определени в правоъгълната координатна система Oxyz от уравненията И .

Решение.

Каноничните уравнения на права линия в пространството ви позволяват незабавно да определите координатите на насочващия вектор на тази права линия - те се дават от числата в знаменателите на дробите, т.е. . Параметричните уравнения на права линия в пространството също позволяват незабавно записване на координатите на вектора на посоката - те са равни на коефициентите пред параметъра, т.е. - директен вектор . Така имаме всички необходими данни, за да приложим формулата, по която се изчислява ъгълът между пресичащите се линии:

Отговор:

Ъгълът между дадените пресичащи се прави е равен на .

Пример.

Намерете синуса и косинуса на ъгъла между пресечните прави, на които лежат ръбовете AD и BC на пирамидата ABCD, ако са известни координатите на нейните върхове: .

Решение.

Насочващите вектори на пресичащите се прави AD и BC са векторите и . Нека изчислим техните координати като разлика съответните координатикрайна и начална точка на вектора:

Според формулата можем да изчислим косинуса на ъгъла между посочените пресичащи се линии:

Сега нека изчислим синуса на ъгъла между пресичащите се линии:

Отговор:

В заключение ще разгледаме решението на задача, при която е необходимо да се намери ъгълът между пресичащите се линии, а правоъгълната координатна система трябва да бъде въведена независимо.

Пример.

Даден е правоъгълен паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, който има AB = 3, AD = 2 и AA 1 = 7 единици. Точка E лежи на ръба AA 1 и го разделя в съотношение 5 към 2, считано от точка A. Намерете ъгъла между пресичащите се прави BE и A 1 C.

Решение.

Тъй като ребрата правоъгълен паралелепипедако един връх е взаимно перпендикулярен, тогава е удобно да се въведе правоъгълна координатна система и да се определи ъгълът между посочените пресичащи се линии, като се използва методът на координатите чрез ъгъла между векторите на посоката на тези линии.

Нека въведем правоъгълна координатна система Oxyz по следния начин: нека началото съвпада с върха A, оста Ox съвпада с правата AD, оста Oy с правата AB и оста Oz с правата AA 1.

Тогава точка B има координати, точка E - (ако е необходимо, вижте статията), точка A 1 - и точка C -. От координатите на тези точки можем да изчислим координатите на векторите и . Ние имаме , .

Остава да се приложи формулата за намиране на ъгъла между пресичащите се линии, като се използват координатите на векторите на посоката:

Отговор:

Библиография.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Е.Г. Геометрия. Учебник за 10-11 клас на средното училище.
Погорелов А.В., Геометрия. Учебник за 7-11 клас в общообразователните институции.
Бугров Я.С., Николски С.М. Висша математика. Том първи: елементи на линейната алгебра и аналитичната геометрия.
Илин В.А., Позняк Е.Г. Аналитична геометрия.

ПРЕСЕЧАНЕ НА ПРАВИ Голям енциклопедичен речник

пресичащи линии- прави в пространството, които не лежат в една равнина. * * * ПРЕСЪЧВАЩИ ПРАВИ ПРЕСЪЧВАЩИ ПРАВИ, прави в пространството, които не лежат в една равнина... енциклопедичен речник

Пресичане на линии- прави в пространството, които не лежат в една равнина. През линейна точка могат да се прекарат успоредни равнини,разстоянието между които се нарича разстояние между линейните точки.То е равно на най-късото разстояние между точките на правата... Велика съветска енциклопедия

ПРЕСЕЧАНЕ НА ПРАВИ- прави в пространството, които не лежат в една равнина. Ъгълът между S. p. се нарича. всеки от ъглите между две успоредни прави, минаващи през произволна точка в пространството. Ако a и b са векторите на посоката на S. p., тогава косинусът на ъгъла между S. p. ... Математическа енциклопедия

ПРЕСЕЧАНЕ НА ПРАВИ- прави линии в пространството, които не лежат в една равнина... Естествени науки. енциклопедичен речник

Паралелни линии- Съдържание 1 В евклидовата геометрия 1.1 Свойства 2 В геометрията на Лобачевски ... Wikipedia

Ултрапаралелни прави линии- Съдържание 1 В евклидовата геометрия 1.1 Свойства 2 В геометрията на Лобачевски 3 Вижте също... Wikipedia

ГЕОМЕТРИЯ НА РИМАН- елиптична геометрия, една от неевклидовите геометрии, т.е. геометрична, теория, основана на аксиоми, изискванията за които са различни от изискванията на аксиомите на евклидовата геометрия. За разлика от евклидовата геометрия в R. g.... ... Математическа енциклопедия

Относителното положение на две прави в пространството.

Относителното разположение на две линии в пространството се характеризира със следните три възможности.

Правите лежат в една равнина и нямат общи точки - успоредни прави.

Правите лежат в една равнина и имат една обща точка - правите се пресичат.

В пространството две прави могат да бъдат разположени и така, че да не лежат в никоя равнина. Такива линии се наричат коси (те не се пресичат или са успоредни).

ПРИМЕР:

ЗАДАЧА 434 Триъгълник ABC лежи в равнина, a

Триъгълник ABC лежи в равнината, но точка D не е в тази равнина. Точките M, N и K са съответно среди на отсечки DA, DB и DC

Теорема.Ако една от двете прави лежи в определена равнина, а другата пресича тази равнина в точка, която не лежи на първата права, тогава тези прави се пресичат.

На фиг. 26 права a лежи в равнината, а права c се пресича в точка N. Правите a и c се пресичат.

Теорема.През всяка от двете пресичащи се прави минава само една равнина, успоредна на другата права.

На фиг. 26 прави a и b се пресичат. Начертана е права линия и е начертана равнина (алфа) || b (в равнина B (бета) е посочена правата a1 || b).

Теорема 3.2.

Две прави, успоредни на трета, са успоредни.

Това свойство се нарича преходностуспоредност на линиите.

Доказателство

Нека правите a и b са едновременно успоредни на правата c. Да приемем, че a не е успоредна на b, тогава права a пресича права b в някаква точка A, която не лежи на права c по условие. Следователно имаме две прави a и b, минаващи през точка A, която не лежи на дадена права c и в същото време е успоредна на нея. Това противоречи на аксиома 3.1. Теоремата е доказана.

Теорема 3.3.

През точка, която не лежи на дадена права, може да се прекара една и само една права, успоредна на дадената.

Доказателство

Нека (AB) е дадена права, C точка, която не лежи на нея. Правата AC разделя равнината на две полуравнини. Точка B лежи в една от тях. В съответствие с аксиома 3.2 е възможно да се извади ъгъл (ACD) от лъча C A равен на ъгъл(CAB), към друга полуравнина. ACD и CAB са равни вътрешни напречно лежащи с правите AB и CD и секущата (AC). Тогава, съгласно теорема 3.1 (AB) || (CD). Като се има предвид аксиома 3.1. Теоремата е доказана.

Свойството на успоредните прави се дава от следната теорема, обратна на теорема 3.1.

Теорема 3.4.

Ако две успоредни прави са пресечени от трета права, тогава пресичащите се вътрешни ъгли са равни.

Доказателство

Нека (AB) || (CD). Да приемем, че ACD ≠ BAC. През точка A прекарваме права AE, така че EAC = ACD. Но тогава, по Теорема 3.1 (AE ) || (CD ), а по условие – (AB ) || (CD). В съответствие с теорема 3.2 (AE ) || (AB). Това противоречи на теорема 3.3, според която през точка A, която не лежи на правата CD, може да се начертае единствена права, успоредна на нея. Теоремата е доказана.

Фигура 3.3.1.

Въз основа на тази теорема следните свойства могат лесно да бъдат обосновани.

Ако две успоредни прави са пресечени от трета права, тогава съответните ъгли са равни.

Ако две успоредни прави се пресичат от трета права, тогава сумата от вътрешните едностранни ъгли е 180°.

Следствие 3.2.

Ако една права е перпендикулярна на една от успоредните прави, то тя е перпендикулярна и на другата.

Концепцията за паралелизъм ни позволява да въведем следната нова концепция, която ще бъде необходима по-късно в глава 11.

Двата лъча се наричат еднакво насочени, ако има права, така че, първо, те са перпендикулярни на тази права, и второ, лъчите лежат в една и съща полуравнина спрямо тази права.

Двата лъча се наричат противоположно насочени, ако всеки от тях е еднакво насочен с допълнителен към другия лъч.

Ще означим еднакво насочени лъчи AB и CD: и противоположно насочени лъчи AB и CD -

Фигура 3.3.2.

Знак за пресичане на линии.

Случаи на взаимно разположение на прави в пространството.

Има четири различни случая на разположение на две линии в пространството:

– право пресичане, т.е. не лежат в една равнина;

– пресичат се прави, т.е. лежат в една равнина и имат една обща точка;

– успоредни прави, т.е. лежат в една равнина и не се пресичат;

- линиите съвпадат.

Нека получим характеристиките на тези случаи на относителната позиция на линиите, дадени от каноничните уравнения

Където — точки, принадлежащи на правиИ съответно, а— насочващи вектори (фиг. 4.34). Нека означим свектор, свързващ дадени точки.

Следните характеристики съответстват на случаите на относителна позиция на линиите, изброени по-горе:

– прави и пресичащи се вектори не са копланарни;

– правите и пресичащите се вектори са компланарни, но векторите не са колинеарни;

– директните и успоредните вектори са колинеарни, но векторите не са колинеарни;

– прави и съвпадащи вектори са колинеарни.

Тези условия могат да бъдат записани, като се използват свойствата на смесени и векторни продукти. Спомнете си, че смесеното произведение на векторите в дясната правоъгълна координатна система се намира по формулата:

и детерминантата intersects е нула, а нейният втори и трети ред не са пропорционални, т.е.
– прави и успоредни втори и трети ред на определителя са пропорционални, т.е. и първите два реда не са пропорционални, т.е.

– прави и всички прави от детерминантата съвпадат и са пропорционални, т.е.

Доказателство за теста за наклонена линия.

Ако една от двете прави лежи в равнина, а другата пресича тази равнина в точка, която не принадлежи на първата права, тогава тези две прави се пресичат.

Доказателство

Нека a принадлежи на α, b пресича α = A, A не принадлежи на a (Чертеж 2.1.2). Да приемем, че правите a и b не се пресичат, т.е. се пресичат. Тогава съществува равнина β, на която принадлежат правите a и b. В тази равнина β лежат права a и точка A. Тъй като правата a и точката A извън нея определят една равнина, то β = α. Но b задвижва β и b не принадлежи на α, следователно равенството β = α е невъзможно.