ГЕНЕРАЛИЗИРАНИ СИЛИ
ГЕНЕРАЛИЗИРАНИ СИЛИ
Величини, които играят ролята на обикновени сили, при изучаване на баланса или движението на механичните. система, нейното положение се определя от обобщени координати. Номерът на О. с. е равно на броя s на степените на свобода на системата; освен това всяка обобщена координата qi съответства на собствената си обобщена координатна система. чи. Стойността на О. с. Q1, съответстващ на координатата q1, може да бъде намерен чрез изчисляване на елемента. работата dA1 на всички сили върху възможното преместване на системата, с която се променя само координатата q1:, получавайки приращение dq1. Тогава dA1=Q1dq1t. д. коефициентът при dqi в израза dA1 и ще бъде O. s. Q1. Q2, Q3 се изчисляват по подобен начин. . ., Qs.
Измерението на О. с. зависи от размерността на обобщената координата. Ако qi има дължини, тогава Qi е измерението на обикновената сила; ако qi е ъгъл, тогава Qi има измерението на момента на силата и т.н. Системите на О. вместо обикновените сили влизат в уравненията на Лагранж на механиката и в равновесие всички О. с. са равни на нула.
физически енциклопедичен речник. - М.: Съветска енциклопедия. Главен редактор А. М. Прохоров. 1983 .
Вижте какво е "ГЕНЕРАЛНИ СИЛИ" в други речници:
Количества, играещи ролята на обикновени сили, когато при изучаването на равновесието или движението механична системапозицията му се определя от обобщени координати (вижте обобщени координати). Номерът на О. с. е равно на броя s на степените на свобода на системата; в… …
В механиката на количеството Qi, произведението kpx от елементарни добавки dqi на обобщените координати qi е механичен. системи дават израз на елементарната работа на БА, където се образува от купчина влакнести материали (памук, вискоза). За стикер O. обикновено ... ... Голям енциклопедичен политехнически речник
- (САЩ) (Съединени американски щати, САЩ). аз Главна информацияСАЩ е щат в Северна Америка. Площта е 9,4 милиона км2. Население 216 милиона души (1976 г., прогнозно). Столицата на Вашингтон. Административно територията на Съединените щати... Голяма съветска енциклопедия
- (ВВС на СССР) Знаме на съветската армия въздушни силиГодини на съществуване ... Wikipedia
- الإمارات العربية المتحدة al Emarat al Arabiya al Muttahid ... Wikipedia
Силното поле е дадено в областта Q на конфигурационното пространство като градиент на скаларната функция: където са (обобщени) координати, U(q) е потенциалната енергия. Работата на П. с. по всеки затворен контур в Q свиваем към точка е равен на нула. Знак... ... Физическа енциклопедия
- (ВВС) изглед въоръжени силидържава, предназначена за самостоятелни действия при решаване на оперативни стратегически задачи и за съвместни действия с други видове въоръжени сили. По отношение на своите бойни способности, съвременните ВВС ... ... Голяма съветска енциклопедия
Сили, мярка за действието на сила, в зависимост от числената стойност и посоката на силата и от преместването на точката на нейното приложение. Ако силата F е числено и насочено постоянна, а преместването M0M1 е праволинейно (фиг. 1), тогава P. A = F․s․cosα, където s = M0M1 … Голяма съветска енциклопедия
Сили, мярка за действието на сила, в зависимост от числената стойност и посоката на силата и от преместването на точката на нейното приложение. Ако силата F е числено и в посока постоянна, а изместването M0M1 е праволинейно (фиг. 1), тогава P. A = F s cosa, където s = M0M1, ъгъл ... ... Физическа енциклопедия
механика. 1) Лагранжеви уравнения от 1-ви вид, диференциални уравнения на движението на механик. системи, които са дадени в проекции върху правоъгълни координатни оси и съдържат т.нар. Умножители на Лагранж. Получено от Ж. Лагранж през 1788 г. За холономна система, ... ... Физическа енциклопедия
Помислете за механична система с идеални ограничения. Нека са активните сили на системата. Да дадем на механичната система виртуално преместване и да изчислим елементарната работа на силите на системата върху това преместване:
.
Използвайки равенството (17.2) изразяваме вариацията 
радиус вектор 
точки М кчрез вариации 
обобщени координати:
следователно,
. (17.6)
Нека променим реда на сумиране в равенство (17.6):
. (17.7)
Означете в израз (17.7)
. (17.8)
.
Обобщени сили В j наричаме коефициентите за вариации на обобщени координати в израза на елементарната работа на силите на системата.
В зависимост от размерността на вариациите на обобщените координати 
обобщени сили В jможе да има размерите на сила, момент и т.н.
Начини за изчисляване на обобщени сили
Нека разгледаме три начина за изчисляване на обобщени сили.
1. Определяне на обобщените сили по основната формула(17.8)
. (17.9)
Формула (17.9) рядко се използва на практика. При решаване на проблеми по-често се използва вторият метод.
2. Метод за "замразяване" на обобщени координати.
Нека да дадем на механичната система такова виртуално преместване, при което всички вариации на обобщените координати освен 
са равни на нула:
Изчислете работата за това движение 
всички активни сили, приложени към системата
.
По дефиниция, множител в вариация 
е равна на първата обобщена сила В 1 .
и дефинирайте втората обобщена сила В 2 чрез изчисляване на виртуалната работа на всички сили на системата
.
По същия начин изчисляваме всички други обобщени сили на системата.
3. Случаят на потенциално силово поле.
Да приемем, че потенциалната енергия на механичната система е известна
Тогава 
и по формула (32.8)
Принципът на виртуалните премествания на статиката в обобщени координати
Съгласно принципа на виртуалните премествания на статиката, за равновесието на система с идеални холономни, стационарни ограничения е необходимо и достатъчно да има условието
при нулеви начални скорости.
Преминавайки към обобщени координати, получаваме
. (17.11)
Тъй като вариациите на обобщените координати са независими, равенството на нула на израза (17.11) е възможно само ако всички коефициенти за вариациите на обобщените координати са равни на нула:
По този начин, за да бъде в равновесие една механична система с идеални, холономни, стационарни и ограничаващи ограничения, е необходимо и достатъчно всички обобщени сили на системата да са равни на нула (при нулеви начални скорости на системата).
Уравнения на Лагранж в обобщени координати (уравнения на Лагранж от втори вид)
Уравненията на Лагранж са получени от общо уравнениединамика чрез заместване на виртуалните премествания с техните изрази чрез вариации на обобщени координати. Те са система диференциални уравнениядвижение на механична система в обобщени координати:
. (17.13)
където 
- обобщени скорости,
T кинетична енергия на системата, представена като функция на обобщени координати и обобщени скорости
В j- обобщени сили.
Броят на уравненията на системата (17.13) се определя от броя на степените на свобода и не зависи от броя на телата, включени в системата. При идеални връзки само активни сили ще влязат в правилните части на уравненията. Ако връзките не са идеални, тогава техните реакции трябва да се припишат на активни сили.
В случай на потенциални сили, действащи върху механична система, уравненията (17.13) приемат формата
.
Ако въведем функцията на Лагранж Л = T П, то като се има предвид, че потенциалната енергия не зависи от обобщените скорости, получаваме уравненията на Лагранж от втория вид за случая на потенциални сили в следната форма
.
Когато съставяте уравненията на Лагранж от втория вид, трябва да направите следното:
Задайте броя на степените на свобода на механичната система и изберете нейните обобщени координати.
Съставете израз кинетична енергиясистема и я представят като функция на обобщени координати и обобщени скорости.
Използвайки горните методи за намиране на обобщените активни сили на системата.
Извършете всички необходими операции на диференциране в уравненията на Лагранж.
Пример.
където Дж z момент на инерция на тялото спрямо оста на въртене z,
ъглова скоросттяло.
3. Да дефинираме обобщената сила. Да дадем на тялото виртуално изместване и да изчислим виртуалната работа на всички активни сили на системата:
следователно, В = М z- основният момент на активните сили на системата спрямо оста на въртене на тялото.
4. Извършете операции на диференциране в уравнението на Лагранж
:
(17.14)
.
(17.15)
Заместване на равенства (17.15) в уравнение (173
14) получаваме диференциалното уравнение на въртеливото движение на тялото
.
Дефиниция на обобщените сили
За система с една степен на свобода, обобщената сила, съответстваща на обобщената координата q, се нарича стойността, определена от формулата
къде qе малко увеличение на обобщената координата; е сборът от елементарната работа на силите на системата върху възможното й изместване.
Припомнете си, че възможното изместване на системата се дефинира като изместване на системата до безкрайно близко положение, позволено от ограниченията в този моментвреме (за подробности вижте Приложение 1).
Известно е, че сумата от работата на силите на реакцията на идеалните връзки при всяко възможно изместване на системата е равна на нула. Следователно, за система с идеални връзки, изразът трябва да отчита само работата на активните сили на системата. Ако връзките не са идеални, тогава техните реакционни сили, например силите на триене, условно се считат за активни сили (вижте по-долу за инструкции на диаграмата на фиг. 1.5). B включва елементарна работа на активни сили и елементарна работа на моменти на активни двойки сили. Нека напишем формули за определяне на тези работни места. Да кажем силата ( Fkx, Fky, Fkz) се прилага в точката Да се, чийто радиус вектор е ( xk ,yk ,zk), и възможното изместване - (d x k ,д y k ,д з к). Елементарната работа на сила върху възможно преместване е равна на точков продукт, което в аналитичен вид съответства на израза
д НО( ) = F къмд r към cos(), (1.3a)
и в координатна форма, изразът
д НО( ) = Fkxд x k + F kyд y k + F kzд з к. (1.3b)
Ако двойка сили с момент Мприложено към въртящо се тяло, чиято ъглова координата е j, а възможното преместване е dj, тогава елементарната работа на момента Мна възможно изместване dj се определя по формулата
д A(M) = ± Мд j. (1,3v)
Тук знакът (+) съответства на случая, когато моментът Ми възможното изместване dj съвпадат по посока; знак (–), когато са противоположни по посока.
За да може да се определи обобщената сила по формула (1.3), е необходимо да се изразят възможните премествания на тела и точки в чрез малко нарастване на обобщената координата d q, използвайки зависимости (1)…(7) прил. един.
Обобщено определение на силата Всъответстваща на избраната обобщена координата q, се препоръчва да го направите в следния ред.
· Покажете на проектната диаграма всички активни сили на системата.
Дайте малко увеличение на обобщената координата d q > 0; показват на проектната диаграма съответните възможни премествания на всички точки, в които се прилагат сили, и възможните ъглови премествания на всички тела, към които се прилагат моменти на двойки сили.
Съставете израз за елементарната работа на всички активни сили на системата върху тези премествания, възможни премествания в изразно чрез d q.
· Определете обобщената сила по формулата (1.3).
Пример 1.4 (виж условието за фиг. 1.1).
Нека дефинираме обобщената сила, съответстваща на обобщената координата с(фиг. 1.4).
Активните сили, действащи върху системата са: П- тегло на товара; г– тегло и въртящ момент на барабана М.
Грубата наклонена равнина е за натоварване НОнесъвършена връзка. сила на триене на плъзгане F trдействащи върху товара Аот страната на тази връзка, е равно на F tr \u003d f N.
За определяне на силата ннормално налягане на товара върху равнината по време на движение, използваме принципа на д'Аламбер: ако в допълнение към активните сили и силите на реакциите на връзките приложим условна сила на инерция към всяка точка от системата, тогава образуваният набор от сили ще бъде уравновесен и уравненията на динамиката могат да получат формата на равновесни уравнения на статиката. Следвайки добре познатия метод за прилагане на този принцип, ние изобразяваме всички сили, действащи върху товара А(фиг. 1.5), - и , където - силата на опъване на кабела.
Ориз. 1.4 Фиг. 1.5
Нека добавим силата на инерцията, където е ускорението на товара. Уравнението на принципа на д'Аламбер в проекцията върху оста гима формата N-Pcosа = 0.
Оттук N = Pcosа. Силата на триене на плъзгане вече може да се определи по формулата F tr \u003d f P cosа.
Даваме обобщената координата смалко увеличение d s > 0. В този случай товарът (фиг. 1.4) ще се движи нагоре по наклонената равнина на разстояние d с, а барабанът ще се завърти обратно на часовниковата стрелка на ъгъл dj.
Използвайки формули като (1.3a) и (1.3c), съставяме израз за сумата от елементарната работа на момента М, сили Пи F tr:
изразете в това уравнение dj чрез d с: , тогава
дефинираме обобщената сила по формулата (1.3)
вземаме предвид предварително написаната формула за F trи накрая получаваме
Ако в същия пример вземем ъгъла j като обобщена координата, тогава обобщената сила Qjизразено с формулата
1.4.2. Определяне на обобщените сили на системата
с две степени на свобода
Ако системата има нстепени на свобода, нейното положение се определя нобобщени координати. Всяка координата чи(i = 1,2,…,н) съответства на неговата обобщена сила Q i, което се определя от формулата
където е сборът от елементарната работа на активните сили върху и-то възможно движение на системата, когато d q i > 0, а останалите обобщени координати остават непроменени.
При определяне е необходимо да се вземат предвид указанията за определяне на обобщените сили по формула (1.3).
Обобщените сили на система с две степени на свобода се препоръчва да се определят в следния ред.
· Покажете на проектната диаграма всички активни сили на системата.
Определете първата обобщена сила Q1. За да направите това, дайте на системата първото възможно движение, когато d q 1 > 0 и d q 2 =q 1възможни измествания на всички тела и точки на системата; композирай - израз на елементарната работа на силите на системата при първото възможно преместване; възможни измествания в експресно чрез d q 1; намирам Q1по формула (1.4), като се приеме i = 1.
Определете втората обобщена сила Q2. За да направите това, дайте на системата второто възможно движение, когато d q 2 > 0 и d q 1 = 0; покажете на изчислителната схема съответното d q2възможни измествания на всички тела и точки на системата; композирай - израз на елементарната работа на силите на системата върху второто възможно преместване; възможни измествания в експресно чрез d q2; намирам Q2по формула (1.4), като се приеме i = 2.
Пример 1.5 (виж условието за фиг. 1.2)
Да дефинираме Q1и Q2, съответстваща на обобщените координати x Dи х А(фиг. 1.6, а).
Върху системата действат три активни сили: P A = 2P, P B = P D = P.
Определение Q1. Нека дадем на системата първото възможно изместване, когато d x D > 0, г x A = 0 (фиг. 1.6, а). В същото време товарът д x D, блок Бзавъртете обратно на часовниковата стрелка с ъгъл dj Б, ос на цилиндъра Аостава неподвижен, цилиндърът Азавъртете около оста Ана ъгъла dj Апо часовниковата стрелка. Съставете сбора от работата по посочените премествания:
дефинирай
Да дефинираме Q2. Нека дадем на системата второто възможно изместване, когато d x D = 0, г x A > 0 (фиг. 1.6, б). В този случай оста на цилиндъра Апреместете вертикално надолу на разстояние d х А, цилиндър Азавъртете около оста Апо часовниковата стрелка до dj ъгъл А, блок Би товари дще остане неподвижно. Съставете сбора от работата по посочените премествания:
дефинирай
Пример 1.6 (виж условието за фиг. 1.3)
Да дефинираме Q1и Q2, съответстваща на обобщените координати j, с(фиг. 1.7, а). Върху системата действат четири активни сили: теглото на пръта П, тегло на топката , сила на пружината и .
Научаваме това. Модулът на еластичните сили се определя по формула (а).
Имайте предвид, че точката на приложение на силата F2е неподвижен, следователно работата на тази сила при всяко възможно изместване на системата е равна на нула, в израза на обобщените сили силата F2няма да влезе.
Определение Q1. Нека направим на системата първия възможен ход, когато dj > 0, г s= 0 (фиг. 1.7, а). В същото време пръчката АБзавъртете около оста zобратно на часовниковата стрелка по dj ъгъл, възможни движения на топката ди център Епръчките са насочени перпендикулярно на сегмента АД, дължината на пружината няма да се промени. Съставете в координатна форма [вж. формула (1.3b)]:
(Обърнете внимание, че следователно работата на тази сила при първото възможно преместване е нула).
Нека изразим преместванията d х Еи г x Dчрез dj. За да направим това, първо пишем
След това, в съответствие с формула (7) adj. 1 находка
Замествайки намерените стойности в , получаваме
По формула (1.4), като се има предвид, че , ние дефинираме
Определение Q2. Нека дадем на системата втория възможен ход, когато dj = 0, г s > 0 (фиг. 1.7, б). В същото време пръчката АБостава неподвижен, а топката Мще се движи по пръта на разстояние d с. Съставете сбора от работата по посочените премествания:
дефинирай
замествайки стойността на силата F1от формула (а) получаваме
1.5. Изразяване на кинетичната енергия на системата
в обобщени координати
Кинетичната енергия на системата е равна на сумата от кинетичните енергии на нейните тела и точки (Приложение 2). За да получите за TВ израза (1.2), скоростите на всички тела и точки на системата трябва да бъдат изразени чрез обобщени скорости, използвайки методите на кинематиката. В този случай се счита, че системата е в произволно положение, всички нейни обобщени скорости се считат за положителни, т.е. насочени в посока на увеличаване на обобщените координати.
Пример 1 7 (вижте условието за фиг. 1.1)
Нека определим кинетичната енергия на системата (фиг. 1.8), приемайки разстоянието като обобщена координата с,
T = T A + T B.
Съгласно формули (2) и (3) прил. 2 имаме: .
Заместване на тези данни в Tи като вземем предвид това, получаваме
Пример 1.8(виж условието за фиг. 1.2)
Нека определим кинетичната енергия на системата на фиг. 1.9, като се приемат като обобщени координати величините x Dи х А,
T = T A + T B + T D.
По формули (2), (3), (4) прил. 2 запишете
експресно V A , V D , w Bи w Апрез :
При определяне на w Асчита, че точката О(фиг. 1.9) - моментен център на скоростите на цилиндъра Аи V k = V D(виж съответните обяснения за пример 2, приложение 2).
Заместване на получените резултати в Tи предвид това
дефинирай
Пример 1.9(виж условието за фиг. 1.3)
Нека определим кинетичната енергия на системата на фиг. 1.10, като се приемат като обобщени координати j и с,
T = T AB + T D.
Съгласно формули (1) и (3) прил. 2 имаме
Express w АБи V Dпрез и :
където е скоростта на прехвърляне на топката д, неговият модул се определя по формулата
Насочен перпендикулярно на сегмента АДв посока на увеличаване на ъгъла j; е относителната скорост на топката, нейният модул се определя по формулата , е насочен в посока на увеличаване на координатата с. Забележете, че е перпендикулярно, така че
Замествайки тези резултати в Tи предвид това
1.6. Формулиране на диференциални уравнения
движение на механичните системи
За да се получат желаните уравнения, е необходимо да се замести в уравненията на Лагранж (1.1) по-рано намереният израз за кинетичната енергия на системата в обобщени координати и обобщените сили В 1 , В 2 , … , Qn.
При намиране на частни производни Tпо отношение на обобщените координати и обобщените скорости трябва да се има предвид, че променливите q 1 , q 2 , … , qn; се считат за независими един от друг. Това означава, че чрез дефиниране на частната производна Tза една от тези променливи, всички останали променливи в израза за Tтрябва да се третира като константи.
При извършване на операцията всички променливи, включени в променливата, трябва да бъдат диференцирани по отношение на времето.
Подчертаваме, че уравненията на Лагранж се записват за всяка обобщена координата чи (i = 1, 2,…н) системи.
Нека имаме система от материални точки, подчинени на s ограничения, чиито уравнения имат формата, дадена по-горе.
Ако системата беше свободна, тогава всички декартови координати на нейните точки биха били независими. За да се посочи позицията на системата, ще е необходимо да се зададат всички декартови координати на нейните точки. В несвободна механична система от декартови координати, нейните точки трябва да удовлетворяват s уравненията на ограниченията, така че само координатите ще бъдат независими между тях.
Броят на независимите скаларни стойности, които еднозначно определят позицията на механична система в пространството, се нарича броят на степените на свобода на системата.
Следователно механична система, състояща се от N свободни материални точки, има степени на свобода. Несвободна система от N материални точки с s ограничения на степените на свобода.
Определяйки позицията на несвободна система, можем самостоятелно да посочим само координатите; останалите s координати се определят от ограничителните уравнения. Въпреки това, позицията на несвободна система може да бъде определена по по-удобен начин - вместо независими декартови координати, може да се посочи същия брой други геометрични величини, по отношение на които декартовите координати (както зависими, така и независими) могат да бъдат еднозначно изразено. Като такива величини могат да бъдат избрани ъгли, линейни разстояния, площи и др., наречени обобщени координати на системата. Удобството се състои във факта, че обобщените координати могат да бъдат избрани, като се вземат предвид наложените ограничения, т.е. в съответствие с естеството на движението, позволено за системата от съвкупността от наложените връзки. В този случай ограниченията се вземат предвид автоматично и няма нужда да се решават уравненията на ограниченията по отношение на зависими координати.
Пример 1. Положението на физическо махало, състоящо се от тежък прът O A, шарнирно закрепен в точка O, се определя напълно чрез задаване на ъгъла (фиг. 78). Ако е даден ъгълът, тогава за всяка точка от лентата с дадено разстояние могат да бъдат изчислени нейните декартови координати:
Пример 2. За механична система, състояща се от математическо махало върху подвижна платформа (фиг. 79), положението в пространството се определя напълно от дадените величини s и ().
Позицията на платформата се определя от разстоянието s, координатите на точковата маса M също се изчисляват лесно:
Величините (пример 1) и s (пример 2) са обобщените координати на посочените системи. Тази концепция може да бъде разширена до случай на произволна механична система.
Така обобщените координати на механична система са всякакви взаимно независими геометрични величини, които еднозначно определят позицията на системата в пространството. Броят на обобщените координати е равен на броя на степените на свобода на системата.
Независимо геометричен смисъли съответно размерите, обобщените координати се обозначават по еднакъв начин с буквата q с число: . От факта, че обобщените координати еднозначно определят позицията на механичната система в избраната координатна система Oxyz, следва, че има функции
изразяващи декартовите координати на всички точки от системата в термини на обобщени координати и, може би, време t. Специфичната форма на тези функции се задава за всяка система (виж примери 1 и 2).
Ако въведете радиус-векторите на точките (), тези функции могат да бъдат представени във векторна форма
Нека сега представим понятието за обобщена сила. Фиксираме системата в произволен момент t и й казваме възможното изместване от тази позиция.
Нека обобщените координати получават инкременти (вариации) като резултат. Ние намираме съответните елементарни премествания на точките на системата, като изчисляваме диференциалите на функциите във фиксирано () време:
Изчислявайки възможната работа на приложените сили, намираме:
Вижда се, че възможната работа се изразява с хомогенна функция от първа степен (линейна форма) по отношение на вариации на обобщени координати с коефициенти
т.е. има формата
Коефициентите се наричат обобщени сили.
Така всяка обобщена координата съответства на собствената си обобщена сила. В този случай обобщената сила, съответстваща на обобщената координата, е коефициентът на вариация на тази обобщена координата в израза за възможната работа на силите, приложени към точките на системата.
Обобщени сили могат да бъдат въведени за отделни групи сили, например за активни сили, за реакции на връзката, за потенциални сили и т.н. Тогава общата обобщена сила ще бъде изразена като сума от обобщените сили, съответстващи на тези разграничени групи. Така че, ако действащите сили се разделят на активни сили и реакции на връзките, тогава общите обобщени сили ще бъдат равни на
където са обобщените активни сили, са обобщените реакции на връзките.
Обобщените реакции на идеалните връзки винаги са равни на нула. Поради тази причина реакциите на идеалните връзки могат да бъдат пренебрегнати при изчисляване на обобщените сили.
Пример 3. Изчислете обобщената сила на физическо махало, състоящо се от прът OA с дължина и маса (фиг. 80).
Решение. физическо махалое система с една степен на свобода. Следователно положението на махалото се определя от една обобщена координата, за която избираме ъгъла на наклон спрямо вертикалата.
Изобразяваме махалото в произволна позиция, прилагаме действащите сили. Реакциите в опора А могат да бъдат пропуснати, тъй като шарнирът е идеална връзка и нейният принос към обобщената сила е нула. Информираме системата за възможно движение - елементарно завъртане на махалото на ъгъл в посока на увеличаване на ъгъла. Действа само тежестта на махалото. Неговата точка на приложение (центърът на тежестта C на пръта) ще опише дъга с дължина, докато тя ще се издигне по вертикала с количество, след като е извършил елементарна работа
Лекция 24
12. ОБОБЩЕНИ КООРДИНАТИ, ОБОБЩЕНИ СИЛИ
За да представим концепцията за обобщени координати, помислете за плоско двойно математическо махало, състоящо се от две безтегловни пръчки с дължина л 1 и л 2 с точкови маси м 1 и м 2 в краищата (фиг. 12.1). Системата има две степени на свобода.
Наистина пръчка ОМ 1 може да се върти около фиксирана хоризонтална ос О, перпендикулярно на равнината на движение хей, и пръчката М 1 М 2 - около хоризонталната ос, минаваща през точката М 1 в същата равнина. Следователно уравненията на ограниченията имат формата: z 1 = 0,z 2 = 0,
Следователно, тъй като н = 2 и броя на ограничителните уравнения к= 4, тогава С = 3н-к = 2, т.е. само две от шестте декартови координати са независими и трябва да бъдат посочени. Останалите координати могат да бъдат изразени от ограничителните уравнения по отношение на независими координати.
На практика координати x 1, y 1z 1 , x 2 , y 2 , z 2 се изразяват чрез някои независими променливи от различно естество, в нашия случай това са ъглите и отклоненията на прътите от вертикалата:
х 1 = l 1× cosj 1 , y 1 = l 1× гряхj 1 , z 1 = 0;
x 2 \u003d l 1× cosj 1 + l 2× cosj 2 , y 2 = l 1× гряхj 1 + l 2× гряхj 2 , z2 = 0. (12.1)
Тук ъглите и играят ролята на независими параметри, които еднозначно определят позицията на разглежданата механична система.
Сега нека имаме система нматериални точки, върху които се наслагват кхолономни ограничения, дадени от уравнения (10.2). Тъй като броят на степените на свобода е С, след това въвеждаме независими променливи q 1 , q 2 , ..., q s. Тогава за разглежданата система отношенията (12.1) приемат формата:
хн = хн (q 1 , q 2 , ...,q s ,T);
вн = yн (q 1, q 2, ...,q s ,T); (н= 1, 2,…, n),
zн =zн (q 1 , q 2 , ...,q s ,T);
(q 1 , q 2 , ...,q s ,T); (н= 1, 2,…, n). (12.2)
Имайте предвид, че независимите координати q m (m = 1, 2, …,с) не е непременно набор Спроменливи измежду декартовите координати хн, yн, zн. Те могат да бъдат променливи от различно естество, така че в горния пример вместо декартови координати се въвеждат ъглови координати.
S независими параметриq 1 , q 2 , ..., q s, които еднозначно определят позицията на точките от материалната система, съвместими с ограниченията, се наричат обобщени координати.
Производни на обобщени координати по отношение на времето 
се наричат обобщени скорости (
=
dq m /dt).
Размерността на обобщената скорост зависи от размерността на обобщената координата: ако q mтогава е линейна величина – линейна скорост; ако q m- ъгъл, значи е ъгловата скорост; ако q m- площ, значи – секторна скорост. Следователно концепцията за обобщена скорост обхваща всички познати ни понятия за скорости.
За да представим концепцията за обобщени сили, разгледайте холономна система, състояща се от нматериални точки, на които действат съответно силите , , ..., . Нека системата има Сстепени на свобода, а положението му се определя от обобщените координати q 1 , q 2, ...,qs. Нека кажем на системата във фиксиран момент от време такова виртуално преместване, за което обобщената координата q mпечели увеличение дq m> 0, а останалите обобщени координати не се променят. Тогава всеки радиус вектор ще получи виртуално изместване ( ) м, което се изчислява като частичен диференциал:
(д) м= 
.
(12.3)
Съгласно (10.9), виртуалната работа на всички активни сили с вариации дq mобобщена координата q mще бъде записано във формата:
където 
(12.4)
Стойността се извиква обобщена сила, съответна обобщена координатаq m. Ако всеки Собобщени координати в даден момент за отчитане на положителни увеличения (вариации) дq 1 ,дq2, ..., дqs, след това общата виртуална работа на всички активни сили в обобщени координати
От израз (12.5) следва, че обобщените сили са коефициенти за вариации на обобщените координати в израза за виртуална работа.Проектирайки (11.4) върху декартовите оси, получаваме
. (12.6)
Ако всички действащи сили са потенциални, тогава техните проекции Фнх, Фнг, Фнzпо декартови оси могат да бъдат изразени чрез потенциална енергия Псистеми по формулите:
(22.7)
Замествайки (12.7) в (12.6), получаваме:
За механична система в потенциално силово поле, обобщената сила се определя от частичната производна на потенциалната енергия, взета с противоположен знак по отношение на съответната обобщена координата:
. (12.8)
Забележете, че размерът на обобщената сила е равен на размерността на работата, разделена на размерността на обобщената координата.
Пример 12.1. Определете обобщената сила на математическото махало по тегло ако дължината на конеца е л. За обобщена координата вземете ъгъла на отклонение jмахало от вертикалата (фиг. 12.2).
Ориз. 12.2 Фиг. 12.3
Решение.Математическото махало е система с една степен на свобода ( S=1), тъй като е достатъчно да се посочи един параметър, за да се определи неговата позиция.
Помислете за махало в произволна позиция. За обобщената координата qвземете ъгъла j. Активната сила, действаща върху махалото, е гравитацията. .
Метод 1.Тъй като силата е потенциална, тогава да се определи обобщената сила Визползваме формула (12.8). За изчисляване на потенциалната енергия Пмахалото ще насочи оста хвертикално надолу, поемайки точката Омахало окачване, т.е. P(x= 0) = 0. Потенциалната енергия на махалото е равна на работата на гравитацията върху преместването материална точкаот тази позиция Мдо нула, т.е. P = -P× х 1 = -P× л× cosj. Според (12.8)
Метод 2.Най-често срещаният метод за изчисляване на обобщената сила е нейното дефиниране по формулата (11.4) Q m =дA m /дq m. Нека кажем на махалото в даден момент от време виртуалното преместване дj> 0, т.е. в посока на увеличаване на ъгъла j(фиг. 12.3) и изчислете елементарната работа на гравитацията върху това преместване:
дA=-P× з× дj,
където h = l× гряхj, е рамото на силата спрямо центъра на въртене на точката О. следователно,
