ОБОБЩЁННЫЕ СИЛЫ
ОБОБЩЁННЫЕ СИЛЫ
Величины, играющие роль обычных сил, когда при изучении равновесия или движения механич. системы её положение определяется обобщёнными координатами. Число О. с. равно числу s степеней свободы системы; при этом каждой обобщённой координате qi соответствует своя О. с. Qi. Значение О. с. Q1, соответствующей координате q1, можно найти, вычислив элем. работу dA1 всех сил на возможном перемещении системы, при к-ром изменяется только координата q1:, получая приращение dq1. Тогда dA1=Q1dq1т. е. коэффициент при dqi в выражении dA1 и будет О. с. Q1. Аналогично вычисляются Q2, Q3, . . ., Qs.
Размерность О. с. зависит от размерности обобщённой координаты. Если qi имеет длины, то Qi - размерность обычной силы; если qi - угол, то Qi имеет размерность момента силы, и т. д. При изучении движения механич. системы О. с, входят вместо обычных сил в Лагранжа уравнения механики, а при равновесии все О. с. равны нулю.
Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1983 .
Смотреть что такое "ОБОБЩЁННЫЕ СИЛЫ" в других словарях:
Величины, играющие роль обычных сил, когда при изучении равновесия или движения механической системы её положение определяется обобщёнными координатами (См. Обобщённые координаты). Число О. с. равно числу s степеней свободы системы; при… …
В механике величины Qi, произведение к рых на элементарные при рашения dqi обобщённых координат qi механич. системы дают выражение элементарной работы бА где образован из ворса волокнистых материалов (хлопок, вискоза). Для наклейки О. обычно… … Большой энциклопедический политехнический словарь
- (США) (United States of America, USA). I. Общие сведения США государство в Северной Америке. Площадь 9,4 млн. км2. Население 216 млн. чел. (1976, оценка). Столица г. Вашингтон. В административном отношении территория США … Большая советская энциклопедия
- (ВВС СССР) Флаг советских Военно воздушных сил Годы существования … Википедия
- الإمارات العربية المتحدة аль Имарат аль Арабия аль Муттахида … Википедия
Поле сил заданное в области Q конфигурационного пространства как градиент скалярной ф ции: где (обобщённые) координаты, U(q) потенциальная энергия. Работа П. с. по любому замкнутому контуру в Q, стягиваемому в точку, равна нулю. Признаком… … Физическая энциклопедия
- (ВВС) вид вооружённых сил государства, предназначенный для самостоятельных действий при решении оперативно стратегических задач и для совместных действий с другими видами вооружённых сил. По своим боевым возможностям современные ВВС… … Большая советская энциклопедия
Силы, мера действия силы, зависящая от численной величины и направления силы и от перемещения точки её приложения. Если сила F численно и по направлению постоянна, а перемещение M0M1 прямолинейно (рис. 1), то P. A = F․s․cosα, где s = M0M1 … Большая советская энциклопедия
Силы, мера действия силы, зависящая от численной величины и направления силы и от перемещения точки её приложения. Если сила F численно и по направлению постоянна, а перемещение М0М1 прямолинейно (рис. 1), то P. A = F s cosa, где s=M0M1, a угол… … Физическая энциклопедия
Механики. 1) Лагранжа уравнения 1 го рода дифференциальные ур ния движения механич. системы, к рые даны в проекциях на прямоугольные координатные оси и содержат т. н. множители Лагранжа. Получены Ж. Лагранжем в 1788. Для голономной системы,… … Физическая энциклопедия
Рассмотрим механическую систему с идеальными связями. Пусть активные силы системы. Дадим механической системе виртуальное перемещение и вычислим элементарную работу сил системы на этом перемещении:
.
Используя
равенство (17.2) выразим вариацию
радиусавектора
точкиM
k
через вариации
обобщенных координат:
следовательно,
. (17.6)
Поменяем в равенстве (17.6) порядок суммирования:
. (17.7)
Обозначим в выражении (17.7)
. (17.8)
.
Обобщенными силами Q j называют коэффициенты при вариациях обобщенных координат в выражении элементарной работы сил системы .
В
зависимости от размерности вариаций
обобщенных координат
обобщенные силыQ
j
могут иметь размерность силы, момента
и др.
Способы вычисления обобщенных сил
Рассмотрим три способа вычисления обобщенных сил.
1. Определение обобщенных сил по основной формуле (17.8)
. (17.9)
Формула (17.9) на практике применяется редко. При решении задач чаще применяется второй способ.
2. Способ «замораживания» обобщенных координат.
Дадим
механической системе такое виртуальное
перемещение, при котором все вариации
обобщенных координат кроме
равны нулю:
Вычислим
на это перемещение работу
всех активных сил, приложенных к системе
.
По
определению множитель при вариации
равен первой обобщенной силеQ
1 .
и определим вторую обобщенную силу Q 2 , вычислив виртуальную работу всех сил системы
.
Аналогично вычислим все остальные обобщенные силы системы.
3. Случай потенциального силового поля.
Предположим, известна потенциальная энергия механической системы
Тогда
и по формуле (32.8)
Принцип виртуальных перемещений статики в обобщенных координатах
Согласно принципу виртуальных перемещений статики для равновесия системы с идеальными удерживающими голономными, стационарными связями необходимо и достаточно является условие
при
нулевых начальных скоростях.
Переходя к обобщенным координатам, получим
. (17.11)
Так как вариации обобщенных координат независимы, то равенство нулю выражения (17.11) возможно только в том случае, когда все коэффициенты при вариациях обобщенных координат равны нулю:
Таким образом, для того, чтобы механическая система с идеальными, голономными, стационарными и удерживающими связями находилась в равновесии необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы системы равнялись нулю (при нулевых начальных скоростях системы).
Уравнения Лагранжа в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа второго рода)
Уравнения Лагранжа выводятся из общего уравнения динамики заменой виртуальных перемещений их выражениями через вариации обобщенных координат. Они представляют собой систему дифференциальных уравнений движения механической системы в обобщенных координатах:
. (17.13)
где
обобщенные скорости,
Т кинетическая энергия системы, представленная как функция обобщенных координат и обобщенных скоростей
Q j обобщенные силы.
Число уравнений системы (17.13) определяется числом степеней свободы и не зависит от количества тел входящих в систему. При идеальных связях в правые части уравнений войдут только активные силы. Если связи неидеальны, то их реакции следует отнести к активным силам.
В случае потенциальных сил, действующих на механическую систему уравнения (17.13) примут вид
.
Если ввести функцию Лагранжа L = Т П , то учитывая, что потенциальная энергия не зависит от обобщенных скоростей, получим уравнения Лагранжа второго рода для случая потенциальных сил в следующей форме
.
При составлении уравнений Лагранжа второго рода нужно выполнить следующие действия:
Установить число степеней свободы механической системы и выбрать ее обобщенные координаты.
Составить выражение кинетической энергии системы и представить ее как функцию обобщенных координат и обобщенных скоростей.
Пользуясь изложенными выше способами найти обобщенные активные силы системы.
Выполнить все необходимые в уравнениях Лагранжа операции дифференцирования.
Пример.
где
J
z
момент инерции тела относительно оси
вращения z
,
угловая скорость тела.
3. Определим обобщенную силу. Дадим телу виртуальное перемещение и вычислим виртуальную работу всех активных сил системы:
Следовательно, Q = M z главный момент активных сил системы относительно оси вращения тела.
4. Выполним операции дифференцирования в уравнении Лагранжа
:
(17.14)
.
(17.15)
Подставляя равенства (17.15) в уравнение (173
14) получим дифференциальное уравнение вращательного движения тела
.
Определение обобщенных сил
Для системы с одной степенью свободы обобщенной силой, соответствующей обобщенной координате q , называют величину, определяемую формулой
где dq – малое приращение обобщенной координаты; – сумма элементарных работ сил системы на ее возможном перемещении.
Напомним, что возможное перемещение системы определяется как перемещение системы в бесконечно близкое положение, допускаемое связями в данный момент времени (подробнее см. прил. 1).
Известно, что сумма работ сил реакций идеальных связей на любом возможном перемещении системы равна нулю. Поэтому для системы с идеальными связями в выражении следует учитывать только работу активных сил системы. Если же связи не идеальны, то силы реакций их, например, силы трения, условно считаются активными силами (см. ниже указания к схеме на рис. 1.5). В включается элементарная работа активных сил и элементарная работа моментов активных пар сил. Запишем формулы для определения этих работ. Допустим, сила (F kx ,F ky ,F kz ) приложена в точке К , радиус-вектор которой есть (x k ,y k ,z k ), а возможное перемещение – (dx k , dy k , dz k ). Элементарная работа силы на возможном перемещении равна скалярному произведению , которому в аналитической форме соответствует выражение
dА( ) = F к dr к cos (), (1.3а)
а в координатной форме – выражение
dА( ) = F kx dx k + F ky dy k + F kz dz k . (1.3б)
Если пара сил с моментом М приложена к вращающемуся телу, угловая координата которого есть j, а возможное перемещение dj, то элементарная работа момента М на возможном перемещении dj определяется по формуле
dА(М) = ± M dj . (1.3в)
Здесь знак (+) соответствует случаю, когда момент М и возможное перемещение dj совпадают по направлению; знак (–), когда они противоположны по направлению.
Чтобы можно было по формуле (1.3) определить обобщенную силу, надо возможные перемещения тел и точек в выразить через малое приращение обобщенной координаты dq , используя зависимости (1)…(7) прил. 1.
Определение обобщенной силы Q , соответствующей выбранной обобщенной координате q , рекомендуется производить в следующем порядке.
· Изобразить на расчетной схеме все активные силы системы.
· Дать малое приращение обобщенной координате dq > 0; показать на расчетной схеме соответствующие возможные перемещения всех точек, в которых приложены силы, и возможные угловые перемещения всех тел, к которым приложены моменты пар сил.
· Составить выражение элементарной работы всех активных сил системы на этих перемещениях, возможные перемещения в выразить через dq .
· Определить обобщенную силу по формуле (1.3).
Пример 1.4 (см. условие к рис. 1.1).
Определим обобщенную силу, соответствующую обобщенной координате s (рис. 1.4).
На систему действуют активные силы: P – вес груза; G – вес барабана и вращающий момент M .
Шероховатая наклонная плоскость является для груза А неидеальной связью. Сила трения скольжения F тр , действующая на груз A со стороны этой связи, равна F тр = f N .
Для определения силы N нормального давления груза на плоскость при движении воспользуемся принципом Даламбера: если к каждой точке системы помимо действующих активных сил и сил реакций связей приложить условную силу инерции, то образованная совокупность сил будет уравновешенной и уравнениям динамики можно придать форму уравнений равновесия статики . Следуя известной методике применения этого принципа , изобразим все силы, действующие на груз A (рис. 1.5), – и , где – сила натяжения троса.
Рис. 1.4 Рис. 1.5
Добавим силу инерции , где – ускорение груза. Уравнение принципа Даламбера в проекции на ось y имеет вид N – P cos a = 0.
Отсюда N = P cos a. Силу трения скольжения теперь можно определить по формуле F тр = f P cos a.
Дадим обобщенной координате s малое приращение ds > 0. При этом груз (рис. 1.4) переместится вверх по наклонной плоскости на расстояние ds , а барабан повернется против часовой стрелки на угол dj.
Составим по формулам типа (1.3а) и (1.3в) выражение суммы элементарных работ момента M , сил P и F тр :
выразим в этом уравнении dj через ds : , тогда
определим обобщенную силу по формуле (1.3)
учтем записанную ранее формулу для F тр и получим окончательно
Если в этом же примере за обобщенную координату взять угол j, то обобщенная сила Q j выразится формулой
1.4.2. Определение обобщенных сил системы
с двумя степенями свободы
Если система имеет n степеней свободы, ее положение определяют n обобщенных координат. Каждой координате q i (i = 1,2,…,n ) соответствует своя обобщенная сила Q i , которая определяется по формуле
где – сумма элементарных работ активных сил на i -м возможном перемещении системы, когда dq i > 0, а остальные обобщенные координаты неизменны.
При определении надо учитывать указания к определению обобщенных сил по формуле (1.3).
Обобщенные силы системы с двумя степенями свободы рекомендуется определять в следующем порядке.
· Показать на расчетной схеме все активные силы системы.
· Определить первую обобщенную силу Q 1 . Для этого дать системе первое возможное перемещение, когда dq 1 > 0, а dq 2 = q 1 возможные перемещения всех тел и точек системы; составить – выражение элементарной работы сил системы на первом возможном перемещении; возможные перемещения в выразить через dq 1 ; найти Q 1 по формуле (1.4), принимая i = 1.
· Определить вторую обобщенную силу Q 2 . Для этого дать системе второе возможное перемещение, когда dq 2 > 0, а dq 1 = 0; показать на расчетной схеме соответствующие dq 2 возможные перемещения всех тел и точек системы; составить – выражение элементарной работы сил системы на втором возможном перемещении; возможные перемещения в выразить через dq 2 ; найти Q 2 по формуле (1.4), принимая i = 2.
Пример 1.5 (см. условие к рис. 1.2)
Определим Q 1 и Q 2 , соответствующие обобщенным координатам x D и x A (рис. 1.6,а ).
На систему действуют три активные силы: P A = 2P , P B = P D =P .
Определение Q 1 . Дадим системе первое возможное перемещение, когда dx D > 0, dx A = 0 (рис. 1.6,а ). При этом груз D x D , блок B повернется против часовой стрелки на угол dj B , ось цилиндра A останется неподвижной, цилиндр A повернется вокруг оси A на угол dj A по часовой стрелке. Составим сумму работ на указанных перемещениях:
определим
Определим Q 2 . Дадим системе второе возможное перемещение, когда dx D = 0, dx A > 0 (рис. 1.6,б ). При этом ось цилиндра A переместится по вертикали вниз на расстояние dx A , цилиндр A повернется вокруг оси A по часовой стрелке на угол dj A , блок B и груз D останутся неподвижными. Составим сумму работ на указанных перемещениях:
определим
Пример 1.6 (см. условие к рис. 1.3)
Определим Q 1 и Q 2 , соответствующие обобщенным координатам j, s (рис. 1.7,а ). На систему действуют четыре активные силы: вес стержня P , вес шарика , силы упругости пружины и .
Учтем, что . Модуль сил упругости определяется по формуле (а).
Отметим, что точка приложения силы F 2 неподвижна, поэтому работа этой силы на любом возможном перемещении системы равна нулю, в выражение обобщенных сил сила F 2 не войдет.
Определение Q 1 . Дадим системе первое возможное перемещение, когда dj > 0, ds = 0 (рис. 1.7,а ). При этом стержень AB повернется вокруг оси z против часовой стрелки на угол dj, возможные перемещения шарика D и центра E стержня направлены перпендикулярно отрезку AD , длина пружины не изменится. Составим в координатной форме [см. формулу (1.3б)]:
(Обратим внимание на то, что , поэтому работа этой силы на первом возможном перемещении равна нулю).
Выразим перемещения dx E и dx D через dj. Для этого вначале запишем
Затем в соответствии с формулой (7) прил. 1 найдем
Подставляя найденные величины в , получим
По формуле (1.4), учитывая, что , определим
Определение Q 2 . Дадим системе второе возможное перемещение, когда dj = 0, ds > 0 (рис. 1.7,б ). При этом стержень AB останется неподвижным, а шарик M сместится вдоль стержня на расстояние ds . Составим сумму работ на указанных перемещениях:
определим
подставив значение силы F 1 из формулы (а), получим
1.5. Выражение кинетической энергии системы
в обобщенных координатах
Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий ее тел и точек (прил. 2). Чтобы получить для T выражение (1.2), следует скорости всех тел и точек системы выразить через обобщенные скорости, используя методы кинематики . При этом система считается находящейся в произвольном положении, все ее обобщенные скорости считаются положительными, т. е. направленными в сторону возрастания обобщенных координат.
Пример 1.7 (см. условие к рис. 1.1)
Определим кинетическую энергию системы (рис. 1.8), взяв в качестве обобщенной координаты расстояние s,
T = T A + T B .
По формулам (2) и (3) прил. 2 имеем: .
Подставляя эти данные в T и учитывая, что , получим
Пример 1.8 (см. условие к рис. 1.2)
Определим кинетическую энергию системы на рис. 1.9, взяв в качестве обобщенных координат величины x D и x A ,
T = T A + T B + T D .
По формулам (2), (3), (4) прил. 2 запишем
Выразим V A , V D , w B и w A через :
При определении w A учтено, что точка O (рис. 1.9) – мгновенный центр скоростей цилиндра A и V k = V D (см. соответствующие пояснения к примеру 2 прил. 2).
Подставляя полученные результаты в T и учитывая, что
определим
Пример 1.9 (см. условие к рис. 1.3)
Определим кинетическую энергию системы на рис. 1.10, взяв в качестве обобщенных координат j и s ,
T = T AB + T D .
По формулам (1) и (3) прил. 2 имеем
Выразим w AB и V D через и :
где – переносная скорость шарика D , ее модуль определяется формулой
Направлена перпендикулярно отрезку AD в сторону возрастания угла j; – относительная скорость шарика, ее модуль определяется по формуле , направлена в сторону возрастания координаты s . Заметим, что перпендикулярна , поэтому
Подставляя эти результаты в T и учитывая, что
1.6. Составление дифференциальных уравнений
движения механических систем
Чтобы получить искомые уравнения, нужно в уравнения Лагранжа (1.1) подставить найденное ранее выражение кинетической энергии системы в обобщенных координатах и обобщенные силы Q 1 , Q 2 , … , Q n .
При нахождении частных производных T по обобщенным координатам и по обобщенным скоростям следует учитывать, что переменные q 1 , q 2 , … , q n ; считаются независимыми между собой. Это значит, что определяя частную производную T по одной из этих переменных, все остальные переменные в выражении для Т следует рассматривать как постоянные величины.
При выполнении операции следует дифференцировать по времени все входящие в переменные величины.
Подчеркнем, что уравнения Лагранжа записываются для каждой обобщенной координаты q i (i = 1, 2,…n ) системы.
Пусть имеем систему материальных точек , подчиненную s удерживающим связям, уравнения которых имеют вид, приведенный выше.
Если бы система была свободной, то все декартовых координат ее точек были бы независимыми. Для указания положения системы потребовалось бы задать все декартовых координат ее точек . В несвободной механической системе декартовых координат ее точек должны удовлетворять s уравнениям связей, поэтому независимыми среди них будут только координат.
Число независимых между собой скалярных величин, однозначно определяющих положение механической системы в пространстве, называется числом степеней свободы системы.
Следовательно, механическая система, состоящая из N свободных материальных точек, имеет степеней свободы. Несвободная система из N материальных точек с s удерживающими связями степеней свободы.
Определяя положение несвободной системы, мы можем независимо задавать только координат; остальные s координат определяются из уравнений связей. Однако положение несвободной системы можно задавать более удобным способом - вместо независимых декартовых координат задавать такое же число других геометрических величин, через которые декартовы координаты (как зависимые, так и независимые) могут быть однозначно выражены. В качестве таких величин, называемых обобщенными координатами системы, могут выбираться углы, линейные расстояния, площади и т.п. Удобство состоит в том, что обобщенные координаты можно выбирать с учетом наложенных связей, т.е. сообразуясь с характером движения, допускаемого для системы всей совокупностью наложенных связей. При этом связи учитываются автоматически, а необходимость решать уравнения связей относительно зависимых координат отпадает.
Пример 1. Положение физического маятника, состоящего из шарнирно закрепленного в точке О тяжелого стержня О А, вполне определяется заданием угла (рис. 78). Если угол задан, то для любой точки стержня с заданным расстоянием могут быть вычислены ее декартовы координаты:
Пример 2. Для механической системы, состоящей из математического маятника на подвижной платформе (рис. 79), положение в пространстве вполне определяется величинами s и ( заданы).
Положение платформы определяется расстоянием s, координаты точечной массы М также легко вычисляются:
Величины (пример 1), и s (пример 2) являются обобщенными координатами указанных систем. Это понятие можно распространить на случай произвольной механической системы.
Таким образом, обобщенными координатами механической системы называются любые независимые между собой геометрические величины, однозначно определяющие положение системы в пространстве. Число обобщенных координат равно числу степеней свободы системы .
Независимо от геометрического смысла и, соответственно, размерности, обобщенные координаты обозначают единообразным способом, буквой q с номером: . Из того факта, что обобщенные координаты однозначно определяют положение механической системы в выбранной системе координат Oxyz, следует, что существуют функции
выражающие декартовы координаты всех точек системы через обобщенные координаты и, быть может, время t. Конкретный вид этих функций устанавливается свой для каждой системы (см. примеры 1 и 2).
Если ввести радиусы-векторы точек () указанные функции можно представить в векторной форме
Введем теперь понятие обобщенной силы. Зафиксируем систему в произвольный момент времени t и сообщим ей из этого положения возможное перемещение.
Пусть в результате обобщенные координаты получают приращения (вариации) . Соответствующие элементарные перемещения точек системы найдем, вычисляя дифференциалы функций при фиксированном () времени:
Вычисляя возможную работу приложенных сил, найдем:
Видно, что возможная работа выражается однородной функцией первой степени (линейной формой) относительно вариаций обобщенных координат с коэффициентами
т. e. имеет вид
Коэффициенты называются обобщенными силами.
Таким образом, каждой обобщенной координате соответствует своя обобщенная сила . При этом обобщенной силой , соответствующей обобщенной координате , называется коэффициент при вариации этой обобщенной координаты в выражении для возможной работы сил, приложенных к точкам системы.
Обобщенные силы можно вводить для отдельных групп сил, например для активных сил, для реакций связей, для потенциальных сил и т.д. Тогда полная обобщенная сила будет выражаться суммой обобщенных сил, соответствующих этим выделенным группам. Так, если действующие силы поделены на активные силы и реакции связей, то полные обобщенные силы будут равны
где - обобщенные активные силы, - обобщенные реакции связей.
Обобщенные реакции идеальных связей всегда равны нулю. По этой причине реакции идеальных связей можно при вычислении обобщенных сил игнорировать.
Пример 3. Вычислить обобщенную силу физического маятника, состоящего из стержня ОА длиной и массой (рис. 80).
Решение. Физический маятник является системой с одной степенью свободы . Следовательно, положение маятника определяется одной обобщенной координатой, в качестве которой выберем угол наклона к вертикали .
Изображаем маятник в произвольном положении, прикладываем действующие силы. Реакции в опоре А можно не показывать, так как шарнир является идеальной связью и его вклад в обобщенную силу равен нулю. Сообщаем системе возможное перемещение - элементарный поворот маятника на угол в сторону возрастания угла . Работу совершает только вес маятника . Его точка приложения (центр тяжести С стержня) опишет дугу длиной , при этом поднимется вдоль вертикали на величину , совершив элементарную работу
Лекция 24
12. ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ, ОБОБЩЕННЫЕ СИЛЫ
Для введения понятия обобщенных координат рассмотрим плоский двойной математический маятник, состоящий из двух невесомых стержней длиной l 1 и l 2 с точечными массами m 1 и m 2 на концах (рис. 12.1). Система обладает двумя степенями свободы.
Действительно стержень ОМ 1 может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О , перпендикулярной плоскости движения хОу , а стержень M 1 M 2 – вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку M 1 , в той же плоскости. Поэтому уравнения связей имеют вид: z 1 = 0,z 2 = 0,
Поэтому, так как n = 2, а число уравнений связей k = 4, то S = 3n – k = 2, т.е. лишь две из шести декартовых координат являются независимыми и должны быть заданы. Остальные же координаты можно выразить из уравнений связей через независимые координаты.
На практике координаты х 1 , у 1 z 1 , х 2 , у 2 , z 2 выражают через какие-либо независимые переменные другой природы, в нашем случае ими являются углы и отклонения стержней от вертикали:
х 1 = l 1 × cos j 1 , y 1 = l 1 × sin j 1 , z 1 = 0;
x 2 = l 1 × cos j 1 + l 2 × cos j 2 , y 2 = l 1 × sin j 1 + l 2 × sin j 2 , z 2 = 0. (12.1)
Здесь углы и играют роль независимых параметров, однозначно определяющих положение рассматриваемой механической системы.
Пусть теперь имеется система n материальных точек, на которую наложены k голономных связей, заданных уравнениями (10.2). Поскольку число степеней свободы равно S , то введем независимые переменные q 1 , q 2 , ..., q s . Тогда для рассматриваемой системы соотношения (12.1) примут вид:
x n = x n (q 1 , q 2 , ... , q s , t );
у n = у n (q 1 , q 2 , ..., q s , t ); (n = 1, 2,…, n ),
z n = z n (q 1 , q 2 , ..., q s , t );
(q 1 , q 2 , ..., q s , t ); (n = 1, 2,…, n ). (12.2)
Отметим, что независимые координаты q m (m = 1, 2, …, s ) – это не обязательно набор S переменных из числа декартовых координат x n , у n , z n . Ими могут быть переменные другой природы, так в приведенном выше примере вместо декартовых координат введены угловые координаты.
S независимых параметров q 1 , q 2 , ..., q s однозначно определяющих положение точек материальной системы, совместимое со связями, называются обобщенными координатами .
Производные от обобщенных координат по времени 
называются
обобщенными скоростями
(
=
dq m /dt
).
Размерность обобщенной скорости зависит от размерности обобщенной координаты: если q m – линейная величина, то – линейная скорость; если q m – угол, то – угловая скорость; если q m – площадь, то – секторная скорость. Следовательно, понятие обобщенной скорости охватывает все известные нам понятия о скоростях.
Для введения понятия обобщенных сил рассмотрим голономную систему, состоящую из n материальных точек, на которые действуют соответственно силы , , ..., . Пусть система имеет S степеней свободы, и ее положение определяется обобщенными координатами q 1 , q 2 , ...,q s . Сообщим системе в фиксированный момент времени такое виртуальное перемещение, при котором обобщенная координата q m приобретает приращение d q m > 0, а остальные обобщенные координаты не изменяются. Тогда каждый радиус-вектор получит виртуальное перемещение ( ) m , которое вычисляется как частный дифференциал:
(d
) m
= 
.
(12.3)
Согласно (10.9) виртуальная работа всех активных сил при вариации d q m обобщенной координаты q m запишется в виде:
где
(12.4)
Величину называют обобщенной силой , соответствующей обобщенной координате q m . Если всем S обобщенным координатам в данный момент времени сообщить положительные приращения (вариации) d q 1 , d q 2 , ..., d q s , то полная виртуальная работа всех активных сил в обобщенных координатах
Из выражения (12.5) следует, что обобщенные силы представляют собой коэффициенты при вариациях обобщенных координат в выражении для виртуальной работы. Проецируя (11.4) на декартовые оси, получим
. (12.6)
Если все действующие силы потенциальные, то их проекции F n x , F n y , F n z на декартовые оси могут быть выражены через потенциальную энергию П системы согласно формулам:
(22.7)
Подставив (12.7) в (12.6), получим:
Для механической системы, находящейся в потенциальном силовом поле, обобщенная сила определяется взятой с обратным знаком частной производной от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате:
. (12.8)
Отметим, что размерность обобщенной силы равна размерности работы, деленной на размерность обобщенной координаты.
Пример 12.1 . Определить обобщенную силу математического маятника весом , если длина нити равна l . За обобщенную координату взять угол отклонения j маятника от вертикали (рис. 12.2).
Рис. 12.2 Рис. 12.3
Решение. Математический маятник является системой с одной степенью свободы (S = 1 ), так как для определения его положения достаточно задать один параметр.
Рассмотрим маятник в произвольном положении. За обобщенную координату q примем угол j . Активной силой, действующей на маятник, является сила тяжести .
Способ 1. Поскольку сила потенциальна, то для определения обобщенной силы Q воспользуемся формулой (12.8). Для вычисления потенциальной энергии П маятника направим ось х по вертикали вниз, взяв за начало отсчета потенциальной энергии точку О подвеса маятника, т.е. П(х= 0) = 0. Потенциальная энергия маятника равна работе силы тяжести на перемещении материальной точки из данного положения М в нулевое, т.е. П = –Р × х 1 = –Р × l × cos j . Согласно (12.8)
Способ 2. Наиболее распространен-ным методом вычисления обобщенной силы является её определение по формуле (11.4) Q m = d A m / d q m . Сообщим маятнику в данный момент времени виртуальное перемещение d j > 0, т.е. в сторону возрастания угла j (рис. 12.3), и вычислим элементарную работу силы тяжести на этом перемещении:
d A= – P × h × d j ,
где h = l × sin j , – плечо силы относительно центра вращения точки O . Следовательно,
